Propriedades básicas da integral dupla. Definição de integral dupla. Integral dupla. Definições e propriedades básicas
Integrais duplas. Definição de integral dupla e suas propriedades. Integrais iteradas. Reduzindo integrais duplas a integrais iteradas. Definindo os limites da integração. Cálculo integrais duplas em um sistema de coordenadas cartesianas.
1. INTEGRAIS DUPLOS
1.1. Definição de integral dupla
A integral dupla é uma generalização do conceito de integral definida para o caso de uma função de duas variáveis. Nesse caso, ao invés do segmento de integração, haverá uma espécie de figura plana.
Deixar Dé alguma área fechada e limitada, e f(x, sim) é uma função arbitrária definida e limitada nesta área. Assumiremos que os limites da região D consistem em um número finito de curvas definidas por equações da forma sim=f(x) ou x=g( sim), Onde f(x) E g(sim) – funções contínuas.
R
Arroz. 1.1
área azobiem D aleatoriamente em n peças. Quadrado eu a décima seção será denotada pelo símbolo é eu. Em cada seção, selecionamos aleatoriamente um ponto P eu , e deixe-o ter coordenadas em algum sistema cartesiano fixo ( x eu , sim eu). Vamos compor soma integral para função f(x, sim) por região D, para fazer isso, encontre os valores da função em todos os pontos P eu, multiplique-os pela área das seções correspondentes s eu e resumir todos os resultados obtidos:
.
(1.1)
Vamos ligar diâmetro diâmetro(G) áreas G a maior distância entre os pontos limites desta área.
Integral dupla
funções
f(x,
sim)
por região
D
é o limite para o qual tende a sequência de integrais
valores
(1.1) com um aumento ilimitado no número de partições
n
(ao mesmo tempo
). Isto está escrito da seguinte forma
.
(1.2)
Observe que, de modo geral, a soma integral para dada função e um determinado domínio de integração depende do método de particionamento do domínio D e selecionando pontos P eu. Porém, se existir uma integral dupla, isso significa que o limite das somas integrais correspondentes não depende mais dos fatores indicados. Para que a integral dupla exista(ou, como dizem, para função f(x, sim) era integrado ao campoD), é suficiente que a função integrando sejacontínuo em um determinado domínio de integração.
P
Arroz. 1.2
.
(1.3)
Comentário . Se o integrando f(x, sim)1, então a integral dupla será igual à área da região de integração:
.
(1.4)
Observe que as integrais duplas têm as mesmas propriedades que as integrais definidas. Vamos observar alguns deles.
Propriedades de integrais duplos.
1 0 . Propriedade linear. A integral da soma das funções é igual à soma das integrais:
e o fator constante pode ser retirado do sinal integral:
.
2 0 . Propriedade aditiva. Se o domínio de integraçãoDdividido em duas partes, então a integral dupla será igual à soma das integrais sobre cada uma dessas partes:
.
3 0 . Teorema do valor médio. Se a função f( x, sim)contínua na regiãoD, então nesta região existe tal ponto() , O que:
.
A próxima questão é: como são calculadas as integrais duplas? Pode ser calculado aproximadamente; para este fim, foram desenvolvidos métodos eficazes para compilar as somas integrais correspondentes, que são então calculadas numericamente por meio de um computador. Ao calcular analiticamente integrais duplas, elas são reduzidas a duas integrais definidas.
1.2. Integrais iteradas
Integrais iteradas são integrais da forma
.
(1.5)
Nesta expressão, a integral interna é calculada primeiro, ou seja, Primeiro, a integração sobre a variável é realizada sim(neste caso a variável xé considerado um valor constante). Como resultado da integração ao longo sim você obtém alguma função de acordo com x:
.
Então a função resultante é integrada sobre x:
.
Exemplo 1.1. Calcular integrais:
UM) 
, b) 
.
Solução . a) Vamos integrar sim, assumindo que a variável x= const. Depois disso, calculamos a integral sobre x:
.
b) Como na integral interna a integração é realizada sobre a variável x, Que sim 3 pode ser considerado na integral externa como um fator constante. Desde sim 2 na integral interna é considerado um valor constante, então esta integral será tabular. Executando integração sequencial em sim E x, obtemos
Existe uma relação entre integrais duplas e iteradas, mas vamos examinar primeiro as áreas simples e complexas. A área é chamada simples em qualquer direção se qualquer linha reta traçada nesta direção cruzar o limite da região em não mais do que dois pontos. No sistema de coordenadas cartesianas, as direções ao longo dos eixos O são geralmente consideradas x e Ó sim. Se a área for simples em ambas as direções, então dizem brevemente - uma área simples, sem destacar a direção. Se uma região não é simples, diz-se que é complexo.
eu
um b
Arroz. 1.4
Qualquer região complexa pode ser representada como uma soma de regiões simples. Conseqüentemente, qualquer integral dupla pode ser representada como uma soma de integrais duplas sobre regiões simples. Portanto, a seguir consideraremos principalmente integrais sobre domínios simples.
Teorema . Se o domínio de integraçãoD– simples na direção do eixoOi(ver Fig. 1.4a), então a integral dupla pode ser escrita na forma repetida como segue:
;
(1.6)
se o domínio de integraçãoD– simples na direção do eixoBoi(ver Fig. 1.4b), então a integral dupla pode ser escrita na forma repetida como segue:
.
(1.7)
E
Arroz. 1.3
1.3. DEFININDO LIMITES DE INTEGRAÇÃO
1.3.1. Região de integração retangular
P
Arroz. 1,5
Exemplo 1.2. Calcular integral dupla
.
Solução . Vamos escrever a integral dupla como uma iterativa:
.
1.3.2. Domínio arbitrário de integração
Para passar de uma integral dupla para uma integral repetida, você deve:
construir o domínio de integração;
definir limites em integrais, lembrando que os limites da integral externa devem ser quantidades constantes (ou seja, números), independentemente de qual variável a integral externa é calculada.
Exemplo 1.3. Organize os limites de integração nas integrais iteradas correspondentes para a integral dupla
, se a) 
b) 
R
Arroz. 1.6
.
Deixe agora a integração na integral externa ser realizada de acordo com sim, e no interno – de acordo com x. sim mudará de 0 para 2. Porém, então o limite superior de alterações nos valores da variável x consistirá em duas seções x= sim/2 e x=1. Isto significa que a região de integração precisa ser dividida em duas partes da linha reta sim=1. Então, na primeira região, y muda de 0 para 1, e x da linha reta x= sim/2 para linha reta x= sim. Na segunda região, y muda de 1 para 2, e x– de uma linha reta x= sim/2 para linha reta x=1. Como resultado obtemos
.
b
Arroz. 1.7
; variável no segmento sim varia de sim=0 a sim=1–x. Por isso,
.
Deixemos agora na integral externa a integração ser realizada de acordo com sim, e no interno – de acordo com x. Nesse caso sim mudará de 0 para 1, e a variável x– do arco de um círculo 
para uma linha reta x=1–sim. Como resultado obtemos
.
Esses exemplos mostram como é importante escolher a ordem correta de integração.
Exemplo 1.4. Alterar ordem de integração
UM) 
; 
.
R
b)
.
O resultado é a seguinte região de integração (ver Fig. 1.8). Com base na figura construída, definimos os limites de integração Arroz. 1,8 sim Vamos construir o domínio de integração. No segmento para x variável x=sim b) 
para uma parábola x=sim; em um segmento - de uma linha reta x=
para uma linha reta
.
3/4. O resultado é a seguinte região de integração (ver Fig. 1.9). Com base na figura construída, definimos os limites de integração,
A integral dupla tem propriedades semelhantes às da integral definida. Observemos apenas os principais: 
1. Se as funções e 
integrado em áreas
, então sua soma e diferença são integráveis nele, e
2. O fator constante pode ser retirado do sinal da integral dupla: 
3. Se 
integrável em áreas 
, e esta área é dividida em duas áreas não sobrepostas 
E
.
, Que 
, e esta área é dividida em duas áreas não sobrepostas 
1. Se as funções e 
4. Se 
E
.
, em que 
5. Se estiver na área 
função 
satisfaz as desigualdades 
, e esta área é dividida em duas áreas não sobrepostas 
,Onde
,
alguns números reais, então 
Onde 
.
– área da região
As provas destas propriedades são semelhantes às provas dos teoremas correspondentes para a integral definida.
Cálculo da integral dupla em coordenadas cartesianas retangulares 
Suponha que precisemos calcular a integral dupla 
, onde a área 
,
.
- retângulo definido por desigualdades 
Vamos supor que 
é contínuo neste retângulo e assume valores não negativos nele, então esta integral dupla é igual ao volume do corpo com a base 
, limitado acima pela superfície 
,
,
,
:
.
Por outro lado, o volume de tal figura pode ser calculado usando uma integral definida:
,
alguns números reais, então 
- área da seção transversal de um determinado corpo por um plano que passa por um ponto 
e perpendicular ao eixo 
. E como a seção em consideração é um trapézio curvo 
, limitado acima pelo gráfico da função 
, Onde 
fixo e 
E
.
Destas três igualdades segue-se que
.
Assim, o cálculo desta integral dupla foi reduzido ao cálculo de duas integrais definidas; ao calcular a "integral interna" (escrita entre parênteses) 
considerado permanente.
Comentário. Pode-se provar que a última fórmula também é verdadeira para 
, e também no caso em que a função 
muda o sinal no retângulo especificado.
O lado direito da fórmula é chamado de integral iterada e é denotado da seguinte forma:
.
Da mesma forma, pode-se mostrar que
.
Do exposto segue-se que
.
A última igualdade significa que o resultado da integração não depende da ordem de integração.
Para considerar um caso mais geral, introduzimos o conceito de domínio padrão. Uma região padrão (ou regular) na direção de um determinado eixo é aquela região para a qual qualquer linha reta paralela a esse eixo cruza o limite da região em não mais do que dois pontos. Em outras palavras, ele cruza a própria região e sua fronteira ao longo de apenas um segmento de reta.
Suponhamos que a área limitada 
e é limitado acima pelo gráfico da função 
, abaixo - gráfico de função 
. Seja R( 
,
) - o retângulo mínimo que envolve esta área 
.
Deixe entrar na área 
função definida e contínua 
. Vamos apresentar uma nova função:
,
então, de acordo com as propriedades da integral dupla
.
E portanto
.
Desde o segmento 
pertence inteiramente à região 
então, portanto, 
no 
, e se 
está fora deste segmento, então 
.
Em fixo 
podemos escrever:
.
Como a primeira e a terceira integrais do lado direito são iguais a zero, então
.
Por isso,
.
Da qual obtemos a fórmula para calcular a integral dupla sobre uma região padrão em relação ao eixo 
reduzindo-o a uma integral iterada:
.
Se a área 
é padrão na direção do eixo 
e é determinado pelas desigualdades 
,
, da mesma forma pode-se provar que
.
Comentário. Para área 
, padrão na direção dos eixos 
, e esta área é dividida em duas áreas não sobrepostas 
, ambas as últimas igualdades serão satisfeitas, portanto
Esta fórmula altera a ordem de integração ao calcular a integral dupla correspondente.
Comentário. Se a área de integração não for padrão (correta) na direção de ambos os eixos coordenados, ela será dividida pela soma das áreas padrão e a integral será apresentada como a soma das integrais sobre essas áreas.
Exemplo. Calcular integral dupla 
por região 
, delimitado por linhas: 
,
,
.
Solução.
Esta área é padrão em relação ao eixo 
, e em relação ao eixo 
.
Vamos calcular a integral, considerando a área padrão em relação ao eixo 
.
.
Comentário. Se calcularmos a integral, considerando o padrão de área em relação ao eixo 
, obtemos o mesmo resultado:
.
Exemplo. Calcular integral dupla 
por região 
, delimitado por linhas: 
,
,
.
Solução. Vamos representar o domínio de integração fornecido na figura.
Esta área é padrão em relação ao eixo 
.
.
Exemplo. Altere a ordem de integração na integral iterada:
Solução. Vamos representar a região de integração na figura.
Dos limites de integração encontramos as linhas que limitam a área de integração: 
,
,
,
. Para alterar a ordem de integração, expressamos 
como funções de 
e encontre os pontos de intersecção:
,
,
.
Como em um dos intervalos a função 
é expressa por duas expressões analíticas, então a região de integração deve ser dividida em duas regiões, e a integral repetida deve ser apresentada como a soma de duas integrais.
.
1.1 Definição de integral dupla
1.2 Propriedades da integral dupla
As propriedades de uma integral dupla (e sua derivação) são semelhantes às propriedades correspondentes de uma integral única definida.
1°. Aditividade. Se a função f(x, y) for integrável em uma região D e se a região D for dividida por uma curva Г de área zero em duas regiões conectadas D1 e D2 que não possuem pontos internos comuns, então a função f(x , y) é integrável em cada uma das áreas D 1 e D 2, e
2°. Propriedade linear. Se as funções f(x, y) e g(x, y) são integráveis no domínio D, hein? E? - qualquer números reais, então a função [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] também é integrável no domínio D, e
3°. Se as funções f(x, y) e g(x, y) são integráveis no domínio D, então o produto dessas funções também é integrável em D.
4°. Se as funções f(x, y) e g(x, y) são ambas integráveis no domínio D e em todos os lugares deste domínio f(x, y) ? g(x, y), então
5°. Se a função f(x, y) for integrável no domínio D, então a função |f(x, y)| é integrável no domínio D, e
(É claro que a integrabilidade de |f(x, y)| em D não implica a integrabilidade de f(x, y) em D.)
6°. Teorema do valor médio. Se ambas as funções f(x, y) e g(x, y) são integráveis em um domínio D, a função g(x, y) é não negativa (não positiva) em todos os lugares neste domínio, M e m são os supremo e ínfimo da função f( x, y) no domínio D, então existe um número que satisfaz a desigualdade m ? ? ? M e tal que a fórmula é válida
Em particular, se a função f(x, y) é contínua em D e o domínio D está conectado, então neste domínio existe um ponto (?, ?) tal que? = f(?, ?), e a fórmula assume a forma
7°. Importante propriedade geométrica. igual à área da região D
Seja um corpo T dado no espaço (Fig. 2.1), limitado de baixo pela região D, de cima - pelo gráfico de uma função contínua e não negativa) z=f (x, y), que é definido em a região D, dos lados - superfície cilíndrica, cuja direção é o limite da região D, e as geratrizes são paralelas ao eixo Oz. Um corpo deste tipo é denominado corpo cilíndrico.
1.3 Interpretação geométrica da integral dupla
1.4 O conceito de integral dupla para um retângulo
Deixe uma função arbitrária f(x, y) ser definida em qualquer lugar do retângulo R = ?
(ver Fig. 1).< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.
Vamos dividir o segmento a? x? b em n segmentos parciais usando pontos a = x 0
Esta partição utilizando retas paralelas aos eixos Ox e Oy corresponde à partição do retângulo R em n · p retângulos parciais R kl = ?
(k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Denotamos a partição indicada do retângulo R pelo símbolo T. Mais adiante nesta seção, o termo “retângulo” será entendido como um retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados.
Em cada retângulo parcial R kl escolhemos um ponto arbitrário (? k, ? l). Colocando?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, denotamos por?R kl a área do retângulo R kl. Obviamente, ?R kl = ?x k ?y l .
é chamada de soma integral da função f(x, y) correspondente a uma dada partição T do retângulo R e uma dada escolha de pontos intermediários (? k, ? l) nos retângulos parciais da partição T. Chamaremos de diagonal o diâmetro do retângulo R kl. Um símbolo? vamos denotar o maior dos diâmetros de todos os retângulos parciais por R kl . O número I é chamado de limite das somas integrais (1) em? > 0 se for para qualquer número positivo? você pode especificar isso< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство
número positivo< ?.
?, e quanto?
| ? - eu |
Uma função f(x, y) é chamada Riemann integrável em um retângulo R se existe um limite finito I das somas integrais desta função em? > 0.
O limite especificado I é chamado de integral dupla da função f(x, y) sobre o retângulo R e é denotado por um dos seguintes símbolos:
Comentário. Da mesma forma que para uma única integral definida, estabelece-se que qualquer função f(x, y) integrável em um retângulo R é limitada neste retângulo.
Isto dá motivos para considerar no que se segue apenas funções limitadas f(x, y). Tangente e normal à superfície Definição.
Em qualquer ponto a superfície tem apenas um plano tangente ou não o tem.
Se a superfície é dada pela equação z = f(x, y), onde f(x, y) é uma função diferenciável no ponto M 0 (x 0, y 0), o plano tangente no ponto N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) existe e tem a equação:
A equação da normal à superfície neste ponto é:
Sentido geométrico diferencial completo função de duas variáveis f(x, y) no ponto (x 0, y 0) é o incremento da aplicação (coordenadas z) do plano tangente à superfície ao se mover do ponto (x 0, y 0) para o ponto (x 0 + Dx, y 0 +Dу).
Como você pode ver, significado geométrico O diferencial total de uma função de duas variáveis é um análogo espacial do significado geométrico do diferencial de uma função de uma variável.
Exemplo. Encontre as equações do plano tangente e normal à superfície
no ponto M(1, 1, 1).
Equação do plano tangente:
Equação normal:
Cálculo de integral dupla em coordenadas polares.
Deixe a área D ser limitada por uma linha r = r() e raios = E = , onde e R– coordenadas polares de um ponto no plano associado às suas coordenadas cartesianas x E sim
Relacionamentos (Fig. 5). Nesse caso
Comentário. Se a área D em Coordenadas cartesianas ax é dado por uma equação contendo um binômio, por exemplo, etc., então é mais conveniente calcular a integral dupla sobre tal região em coordenadas polares.
Integral dupla. Definições e propriedades básicas.
Integrais duplas.
Vamos considerar alguma curva fechada no plano cuja equação é
O conjunto de todos os pontos situados dentro da curva e na própria curva será chamado de região fechada D. Se você selecionar pontos na região sem levar em conta os pontos situados na curva, a região será chamada de região aberta D.
Do ponto de vista geométrico, D é a área da figura delimitada pelo contorno.
Vamos dividir a região D em n regiões parciais por uma grade de linhas espaçadas umas das outras ao longo do eixo x por uma distância Dx i, e ao longo do eixo y por uma distância Dу i. De modo geral, esta ordem de particionamento é obrigatória, sendo possível particionar a área em áreas parciais de formato e tamanho arbitrários;
Descobrimos que a área S é dividida em retângulos elementares, cujas áreas são iguais a S i = Dx i × Dy i.
Em cada região parcial, pegue um ponto arbitrário P(x i, y i) e componha a soma integral
onde f é uma função contínua e inequívoca para todos os pontos da região D.
Se aumentarmos infinitamente o número de regiões parciais D i , então, obviamente, a área de cada região parcial S i tende a zero.
Definição: Se, à medida que a etapa de partição do domínio D se aproxima de zero, as somas integrais têm um limite finito, então esse limite é chamado integral dupla da função f(x, y) no domínio D.
Levando em consideração o fato de que S i = Dx i × Dy i obtemos:
Na notação acima existem dois sinais S, porque a soma é realizada sobre duas variáveis x e y.
Porque A divisão da região de integração é arbitrária, e a escolha dos pontos Р i também é arbitrária, então, considerando todas as áreas Si iguais, obtemos a fórmula:
Condições para a existência de uma integral dupla.
Vamos formular condições suficientes existência de uma integral dupla.
Teorema. Se a função f(x, y) for contínua em um domínio fechado D, então a integral dupla existe
Teorema. Se a função f(x, y) for limitada em um domínio fechado D e for contínua nele em todos os lugares, exceto por um número finito de linhas suaves por partes, então a integral dupla existe.
Propriedades da integral dupla.
3) Se D = D 1 + D 2, então
4) Teorema do valor médio. A integral dupla da função f(x, y) é igual ao produto do valor desta função em algum ponto do domínio de integração e a área do domínio de integração.
5) Se f(x, y) ³ 0 no domínio D, então .
6) Se f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), então .
#43 Definição Suponhamos que a curva Cé dado por uma função vetorial onde a variável é− comprimento do arco da curva. Então a derivada da função vetorial
É um vetor unitário direcionado ao longo da tangente a esta curva (Figura 1).
Na fórmula acima α, β
E γ
− ângulos entre as direções tangente e positiva dos eixos O x, Ó sim e Ó z, respectivamente.
Vamos introduzir uma função vetorial definida na curva C, de modo que para função escalar
Havia uma integral curvilínea. Tal integral é chamada de integral curvilínea do segundo tipo de função vetorial ao longo de uma curva. C e é denotado como
Assim, por definição,
onde está o vetor unitário da tangente à curva C.
A última fórmula também pode ser reescrita na forma vetorial:
Onde.
Se a curva C está no plano O xy, então assumindo R = 0, obtemos
Propriedades de uma integral curvilínea de segundo tipo
Uma integral curvilínea de segundo tipo tem as seguintes propriedades: Seja C denota uma curva começando em um ponto UM e ponto final B. Vamos denotar por −C curva na direção oposta - de B Para UM. Então
Se C− combinação de curvas C 1 e C 2 (Figura 2 acima), então se a curva Cé dado parametricamente na forma, então se a curva C está no plano O xy e a equação Tm é dada (presume-se que R = 0 e t = x), então a última fórmula é escrita na forma
Nº 49A superfície F é dada explicitamente z = z(x,y), (x,y)О D (compacto),
onde z(x,y) tem derivadas parciais contínuas de primeira ordem em D, a função f(x,y,z) é definida e contínua em F. Então existe uma integral igual a
Prova. Para as áreas que obtemos
Então as somas integrais serão iguais
A primeira das somas é integral para, a segunda pode ser arbitrariamente pequena escolhendo uma partição suficientemente pequena. Este último decorre da continuidade uniforme da função f(x,y,z(x,y)) em D.
Nº 40 (continuação) Condição suficiente para existência integral curvilínea O primeiro tipo será formulado posteriormente, quando mostrarmos como calculá-lo.
A definição de uma integral curvilínea de primeiro tipo tem a mesma estrutura que a definição de uma integral definida. Portanto, uma integral curvilínea de primeiro tipo tem as mesmas propriedades que uma integral definida. Apresentamos essas propriedades sem provas.
PROPRIEDADES DO INTEGRAL CURVILINEAR DE 1º TIPO
1. , onde é o comprimento da curva.
2. O fator constante pode ser retirado do sinal da integral curvilínea de primeiro tipo, ou seja,
3. A integral curvilínea de primeiro tipo da soma algébrica de duas funções (número finito) é igual à soma algébrica das integrais curvilíneas de primeiro tipo dessas funções, ou seja,
4. Se a curva estiver dividida em duas partes e não tiver pontos internos comuns, então
(propriedade de aditividade de uma integral curvilínea de primeiro tipo).
5. Se a função () estiver em toda parte da curva, então
6. Se estiver em qualquer lugar da curva (),
7. (uma consequência das propriedades 6 e 1) Se e são, respectivamente, os menores e maiores valores da função na curva, então
onde está o comprimento da curva.
8. (teorema do valor médio para uma integral curvilínea de primeiro tipo) Se a função é contínua na curva, então existe um ponto tal que a igualdade
onde está o comprimento da curva.
Nº 42 Comprimento da curva.
Se a função integrando f(x, y, z) ≡ 1, então a partir da definição de uma integral curvilínea de 1º tipo descobrimos que neste caso é igual ao comprimento da curva ao longo da qual a integração é realizada:
Massa curva.
Supondo que a função integrando γ (x, y, z) determine a densidade de cada ponto da curva, encontramos a massa da curva usando a fórmula
3. Encontraremos os momentos da curva l, raciocinando da mesma forma que no caso de uma região plana: -
momentos estáticos curva plana l em relação aos eixos Ox e Oy;
momento de inércia da curva espacial em relação à origem;
· momentos de inércia da curva em relação aos eixos coordenados.
4. As coordenadas do centro de massa da curva são calculadas usando as fórmulas
Nº 38(2) Mudança de variáveis em integrais triplas
Ao calcular uma integral tripla, como uma integral dupla, muitas vezes é conveniente fazer uma mudança de variáveis. Isso permite simplificar a forma do domínio de integração ou integrando.
Seja a integral tripla original dada nas coordenadas cartesianas x, y, z no domínio U:
É necessário calcular esta integral em novas coordenadas u, v, w. A relação entre as coordenadas antigas e as novas é descrita pelas relações:
Supõe-se que as seguintes condições sejam atendidas:
1. As funções φ, ψ, χ são contínuas juntamente com suas derivadas parciais;
2. Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da região de integração U no espaço xyz e os pontos da região U" no espaço uvw;
3. Jacobiano da transformação I (u,v,w), igual a
é diferente de zero e mantém um sinal constante em todo o domínio de integração U.
Então a fórmula para alterar variáveis em uma integral tripla é escrita como:
Na expressão acima significa valor absoluto Jacobiano
Nº 38 Integrais triplas em coordenadas esféricas
As coordenadas esféricas do ponto M(x,y,z) são três números − ρ, φ, θ, onde
ρ é o comprimento do vetor raio do ponto M;
φ é o ângulo formado pela projeção do vetor raio no plano Oxy e no eixo Ox;
θ é o ângulo de desvio do vetor raio da direção positiva do eixo Oz (Figura 1).
Observe que as definições de ρ, φ em coordenadas esféricas e cilíndricas são diferentes umas das outras.
As coordenadas esféricas de um ponto estão relacionadas às suas coordenadas cartesianas pelas relações
O Jacobiano da transição das coordenadas cartesianas para as esféricas tem a forma:
Expandindo o determinante na segunda coluna, obtemos
Assim, o valor absoluto do Jacobiano é igual a
Portanto, a fórmula para alterar variáveis ao converter coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas tem a forma:
Integral triploé mais conveniente calcular em coordenadas esféricas quando o domínio de integração U é uma bola (ou alguma parte dela) e/ou quando o integrando tem a forma f (x2 + y2 + z2).
Superfície
Vamos selecionar um ponto M0 em uma superfície lisa (fechada ou delimitada por um contorno suave) e desenhar nele uma normal à superfície, escolhendo uma determinada direção para ela (uma das duas possíveis). Vamos traçar um contorno fechado ao longo da superfície, começando e terminando no ponto M0. Vamos considerar um ponto M que contorna esse contorno, e em cada uma de suas posições traçamos a normal da direção pela qual passa continuamente a normal do ponto anterior. Se, após percorrer o contorno, a normal retornar no ponto M0 à sua posição original para qualquer escolha do ponto M0 na superfície, a superfície é chamada de dupla face. Se a direção da normal, depois de percorrer pelo menos um ponto, muda para o oposto, a superfície é chamada unilateral (um exemplo de superfície unilateral é uma faixa de Mobius. Do exposto segue-se que a escolha de). a direção da normal em um ponto determina inequivocamente a direção da normal em todos os pontos da superfície.
Definição
O conjunto de todos os pontos da superfície com a mesma direção normal é chamado de lado da superfície.
Orientação de superfície.
Considere uma superfície S aberta e lisa de dois lados, limitada por um contorno L, e escolha um lado dessa superfície.
Definição
Chamaremos de positiva a direção de travessia do contorno L, em que o movimento ao longo do contorno ocorre no sentido anti-horário em relação ao observador localizado no ponto final da normal a algum ponto da superfície S correspondente ao lado selecionado da superfície. Direção reversa chamamos o circuito de bypass negativo.
Fluxo de campo vetorial.
Considere um campo vetorial A(M) definido em um domínio espacial G, uma superfície lisa orientada S G e um campo de normais unitárias n(M) em um lado selecionado da superfície S.
Definição 13.3. Integral de superfície de 1º tipo, (13.1)
onde An é o produto escalar dos vetores correspondentes e An é a projeção do vetor A na direção normal, chamada de fluxo do campo vetorial A(M) através do lado selecionado da superfície S.
Nota 1.
Se você escolher o outro lado da superfície, então o normal e, conseqüentemente, o fluxo mudarão de sinal.
Nota 2.
Se o vetor A especifica a velocidade do fluxo de fluido em um determinado ponto, então a integral (13.1) determina a quantidade de fluido que flui por unidade de tempo através da superfície S na direção positiva (daí o termo geral “fluxo”).
Nº 53 Integral de superfície de segundo tipo. Definição e santos.
Definição
Consideremos uma superfície bilateral, lisa ou lisa por partes, e fixemos qualquer um dos seus dois lados, o que equivale a escolher uma determinada orientação na superfície.
Para fins de definição, vamos primeiro supor que a superfície é dada por uma equação explícita e o ponto varia em uma região do plano delimitada por um contorno suave por partes.
Deixe agora alguma função ser definida nos pontos desta superfície. Tendo dividido a superfície com uma rede de curvas suaves por partes em partes e escolhendo um ponto em cada parte, calculamos o valor da função em um determinado ponto e multiplicamos pela área da projeção no plano de o elemento, equipado com um determinado sinal. Vamos fazer uma soma integral:
O limite final desta soma integral, à medida que os diâmetros de todas as partes tendem a zero, é chamado de integral de superfície do segundo tipo de
espalhado para o lado selecionado da superfície e é designado pelo símbolo
(aqui) nos lembra a área de projeção de um elemento de superfície em um plano
Se em vez de um plano projetarmos elementos de superfície em um plano ou , obteremos duas outras integrais de superfície do segundo tipo:
Nas aplicações, as conexões de integrais de todos esses tipos são encontradas com mais frequência:
onde estão funções de, definidas em pontos da superfície.
Relação entre integrais de superfície de segundo e primeiro tipo
Onde está o vetor normal unitário da superfície - ort.
Propriedades
1. Linearidade: ;
2. Aditividade: ;
3. Quando a orientação da superfície muda, a integral da superfície muda de sinal.
Nº 60 Operatornabla (operadora de Hamilton)- operador diferencial vetorial, denotado pelo símbolo (nabla). Para o espaço euclidiano tridimensional em coordenadas cartesianas retangulares, o operador nabla é definido da seguinte forma: onde estão os vetores unitários ao longo dos eixos x, y, z.
Propriedades do operador observável. Este vetor faz sentido quando combinado com a função escalar ou vetorial à qual é aplicado. Se você multiplicar o vetor pelo escalar φ, obterá um vetor que representa o gradiente da função. Se um vetor for multiplicado escalarmente por um vetor, o resultado será um escalar
isto é, a divergência do vetor. Se você multiplicar por vetor, obterá o rotor de um vetor:
Nota: assim como para denotar o produto escalar e vetorial em geral, quando são usados com o operador nabla, junto com os usados acima, notações alternativas equivalentes são frequentemente usadas, por exemplo, em vez de frequentemente eles escrevem , e em vez de eles escrever ; isso também se aplica às fórmulas fornecidas abaixo.
Conseqüentemente, o produto escalar é um operador escalar denominado operador de Laplace. Este último também é designado. Nas coordenadas cartesianas, o operador Laplace é definido da seguinte forma: Como o operador nabla é um operador diferencial, ao transformar expressões é necessário levar em consideração tanto as regras da álgebra vetorial quanto as regras de diferenciação. Por exemplo:
Ou seja, a derivada de uma expressão dependente de dois campos é a soma das expressões em cada uma das quais apenas um campo é diferenciado. Para a comodidade de indicar em quais campos nabla atua, é geralmente aceito que no produto de campos e operadores, cada operador atua na expressão à direita dele, e não atua em tudo à esquerda. Se for necessário que o operador atue em um campo à esquerda, este campo é marcado de alguma forma, por exemplo, colocando uma seta acima da letra: Esta forma de notação é geralmente usada em transformações intermediárias. Por causa do inconveniente, eles estão tentando se livrar das flechas na resposta final.
№61 Operações diferenciais vetoriais de segunda ordem As cinco operações a seguir são chamadas:
1. onde está o operador Laplace.
- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -
2
- - - - - - - - - - - - -
3 .
- - - - - - - - - - - - - - - - -
4. Aqui está a grandeza vetorial obtida aplicando o operador Laplace a cada projeção do vetor.
- - - - - - - - - - - - - - -
O problema que leva ao conceito de integral dupla Definição de uma integral dupla Propriedades básicas de uma integral dupla Área de uma região plana Redução de uma integral dupla a uma integral repetida Mudança de variáveis em uma integral dupla Elemento de área em coordenadas curvilíneas Jacobianas e seu significado geométrico Fórmula para mudança de variáveis em uma integral dupla Integral dupla em coordenadas polares
Um problema que leva ao conceito de integral dupla. Definição de integral dupla. Chegamos ao conceito de integral dupla resolvendo o problema específico de cálculo do volume de um corpo cilíndrico. Um corpo cilíndrico é um corpo delimitado pelo plano xOy, uma determinada superfície e uma superfície cilíndrica, cujas geratrizes são paralelas ao eixo (ver Fig. 1). A região D de mudança nas variáveis x e y é chamada de base do corpo cilíndrico. Ao determinar o volume de um corpo, partiremos de dois princípios: !) se dividirmos o corpo em partes, então seu volume é igual à soma dos volumes de todas as partes (propriedade da aditividade); 2) o volume de um cilindro reto limitado pelo plano z = const, paralelo ao plano xOy, é igual à área da base multiplicada pela altura. A seguir, assumiremos que a região D é conectada (consiste em uma peça), quadrangular (ou seja, possui uma área) e limitada (ou seja, localizada dentro de um certo círculo centrado na origem). Seja uma função contínua do ponto P(x, y) na região em todos os lugares da região Z>, ou seja, que a superfície cilíndrica em consideração esteja inteiramente acima do plano xOy. Denotemos o volume de um corpo cilíndrico por V. Dividimos a região D - a base do corpo cilíndrico - em um certo número n de regiões quadráticas não intersectadas de forma arbitrária; vamos chamá-las de regiões parciais. Tendo numerado as áreas parciais em alguma ordem, as áreas - através de acordo. Vamos chamar o diâmetro de uma região parcial Dk de quantidade Problema que leva ao conceito de integral dupla Definição de uma integral dupla Propriedades básicas de uma integral dupla Área de uma região plana Redução de uma integral dupla a uma integral repetida Mudança de variáveis em uma integral dupla Elemento de área em coordenadas curvilíneas Jacobiana e seu significado geométrico Fórmula para mudança de variáveis em uma integral dupla Integral dupla em coordenadas polares onde o símbolo p(P; Q) significa a distância entre os pontos P e Q. Vamos denotar por d o maior dos diâmetros das regiões parciais Dk (k = 1,2,..., n). Vamos traçar através do limite de cada região parcial uma superfície cilíndrica com geradores paralelos ao eixo de Oz. Como resultado, o corpo cilíndrico será dividido em n corpos cilíndricos parciais. Substituamos este corpo parcial por um cilindro reto de mesma base e altura igual à aplicação de algum ponto da superfície substituída (Fig. 2). O volume de tal cilindro é igual onde o ponto é a área da região Dk. Realizadas as construções descritas para cada corpo cilíndrico parcial, obtemos um corpo de n etapas, cujo volume (o) Intuitivamente, fica claro que Vn expressa com maior precisão o volume desejado V, quanto menor o tamanho das regiões parciais Dk. Consideramos o volume V de um corpo cilíndrico igual ao limite para o qual o volume (1) de um corpo de n passos tende a n-ω e o maior diâmetro d das regiões parciais Dk tende a zero. Naturalmente, o limite não deve depender do tipo de partição da região D nas regiões parciais Dk e da escolha dos pontos Pk nas regiões parciais. Seja f(x, y) uma função arbitrária definida no domínio D. A soma n (1) é chamada de soma integral da função f(x)y) no domínio D, correspondendo a uma determinada partição deste domínio em n domínios parciais e uma dada escolha de pontos Ж ®*,!/*) em domínios parciais Dk. Definição. Se para d -* 0 existe um limite de somas integrais n que não depende nem do método de particionamento do domínio D em domínios parciais nem da escolha dos pontos Pk nos domínios parciais, então é chamada de integral dupla de a função f(P) (ou f(x, y )) sobre o domínio D e é denotada pelo símbolo OR Então, (2) A própria função f(x, y) é chamada integrável no domínio D (f( P) é o integrando, f(P) dS é o integrando, dS é o diferencial (ou elemento) de área, região D - região de integração ponto P(®, y) - variável de integração). ,.. Voltando ao corpo cilíndrico, concluímos: o volume de um corpo cilíndrico delimitado pelo plano xOy, a superfície, e uma superfície cilíndrica com geratrizes paralelas ao eixo Oz, é igual à integral dupla da função /( x, y) sobre a região D, que é a base do corpo cilíndrico / OR Aqui dx dy é o elemento de área em coordenadas cartesianas. Este é o significado geométrico da integral dupla de uma função não negativa. Se então o volume If na região D da função f(P) assume valores positivos e negativos, então a integral representa a soma algébrica dos volumes das partes do corpo que estão localizadas acima do plano xOy (tomadas com um sinal “+”) e as partes do corpo que estão localizadas sob o plano xOy (tomadas com um sinal “-”). Teorema 2. Se uma função f(x, y) é limitada em um domínio fechado D e é contínua em todo lugar em D exceto em algum conjunto de pontos de área zero, então esta função é integrável no domínio D. §2. Propriedades básicas da integral dupla As integrais duplas têm uma série de propriedades semelhantes às propriedades da integral definida para funções de uma variável independente. 2.1. Propriedade linear Se as funções) são integráveis no domínio D, e a e p são quaisquer números reais, então a função af) também é integrável no domínio D, e o) 2.2. Integração de desigualdades Se as funções) são integráveis no domínio D e em todos os lugares deste domínio, então (2), isto é, as desigualdades podem ser integradas. Em particular, integrando as desigualdades óbvias obtemos A área de uma região plana A área de uma região plana D é igual à integral dupla sobre esta região de uma função identicamente igual à unidade. Na verdade, a soma integral para a função /(P) = 1 no domínio D tem a forma e, para qualquer partição do domínio D em domínios parciais Dt, é igual à sua área S. Mas então o limite desta soma, isto é, a integral dupla, é igual à área S área D: ou, o que dá no mesmo, (3) 2.4. Estimativa da integral Seja a função f(P) contínua em um domínio fechado limitado D, sejam M e mn os maiores e menores valores de f(P) no domínio D e 5 sua área. Então (4) 2,5. Aditividade: Se a função /(P) é integrável no domínio D e o domínio Z) é dividido em dois domínios D\ e Di sem pontos internos comuns, então /(P) é integrável em cada um dos domínios D\ e Di e (5) 2.6. Teorema do valor médio Teorema 3 (valor médio). Se a função /(P) é contínua em um domínio fechado e limitado D, então existe pelo menos um ponto Pc do domínio D tal que a fórmula e onde S é a área do domínio D é válida, pois. /(P) é contínuo em uma área delimitada fechada D, então toma seu valor mais alto M e seu menor valor m. Pela propriedade 4 sobre a avaliação da integral que temos Assim, o número está contido entre o maior e o maior. valores mais baixos função /(P) no domínio D. Devido à continuidade da função /(P) no domínio D, ela assume em algum ponto Pc G D um valor igual a este número, de onde S o valor de f(Pc), determinado pela fórmula (7), é chamado de função de valor médio f(P) no domínio D. Significado geométrico do teorema do valor médio Se no domínio D a função f(P) → O, então a fórmula (6) significa que existe um cilindro reto de base D (cuja área é 5) e altura Н = /(Рс), cujo volume é igual ao volume de um corpo cilíndrico (Fig. 3). § 3. Redução de uma integral dupla a uma integral repetida Um dos maneiras eficazes calcular uma integral dupla é reduzi-la a uma integral repetida. 3.1. Caso de um retângulo Seja a área D um retângulo fechado P com lados paralelos aos eixos coordenados. Seja a função f(x, y) contínua no retângulo P. A integral dupla pode ser interpretada como o volume (algébrico) de um corpo cilíndrico de base P, limitado por uma superfície cilíndrica correspondente. Vamos desenhar um plano perpendicular ao eixo Oy (Fig. 4). Este plano cortará o corpo cilíndrico ao longo de um trapézio curvilíneo limitado superiormente por uma linha plana z, descrita pelas equações A área do trapézio ABC\A\ é expressa pela integral onde a integração é realizada sobre x, e yo - o segundo argumento do integrando - é considerado constante (c ^ Uo ^ d ). O valor da integral (1) depende da escolha do valor уо. Coloquemos (2) A expressão (2) dá a área da seção transversal de um corpo cilíndrico a em função de y. Portanto, o volume de um corpo cilíndrico pode ser calculado usando a fórmula. Por outro lado, este volume é expresso pela integral dupla da função f(x, y) sobre o retângulo P. Isso significa que substituindo S(y) por sua expressão (2), obtemos Problema que leva ao conceito de integral dupla Definição de uma integral dupla Propriedades básicas de uma integral dupla Área de uma região plana Redução de uma integral dupla a uma integral repetida Substituição de variáveis em uma integral dupla Elemento de área em coordenadas curvilíneas Jacobianas e seu significado geométrico Fórmula para substituição de variáveis em uma integral dupla Integral dupla em coordenadas polares A última relação é geralmente escrita como segue O volume de um corpo cilíndrico também pode ser encontrado a partir das áreas da seção transversal do planos x = x0. Isto leva à fórmula (4). Cada uma das expressões do lado direito das fórmulas (3) e (4) contém duas operações sucessivas de integração ordinária da função /(x, y). Eles são chamados de integrais repetidas da função /(x, y) sobre o domínio P. Se f(x, y) for contínuo em um retângulo fechado P, então a transição para integrais repetidas é sempre possível e (5), ou seja, o valores de integrais repetidas de uma função contínua /(x, y) não dependem da ordem de integração. Exemplo 1. Encontre a integral dupla de uma função sobre um domínio Temos (ver Fig. 5): 3.2. O caso de um domínio arbitrário Vamos agora supor que o domínio de integração é um domínio fechado quadrático limitado arbitrário D no plano xOy, satisfazendo a seguinte condição: qualquer linha reta paralela ao eixo Oy intercepta o limite do domínio D em nenhum mais de dois pontos ou ao longo de um segmento inteiro (Fig. . 6a). Vamos delimitar a área D dentro do retângulo como mostrado na Fig. 66. O segmento [a, 6] é uma projeção ortogonal da região D no eixo Oxy, e o segmento [c, dj é uma projeção ortogonal da região D no eixo Oy. Os pontos A e C dividem o limite da área D em duas curvas ABC e AEC. Cada uma dessas curvas cruza com uma linha reta arbitrária paralela ao eixo Oy em não mais do que um ponto. Portanto, suas equações podem ser escritas em uma forma resolvida em relação a y: Seja f(x, y) alguma função contínua no domínio D. Vamos dissecar o corpo cilíndrico em consideração por um plano. Na seção obtemos um trapézio curvilíneo PQMN (Fig. 7), cuja área é expressa pela integral ordinária da função /(x, y), considerada como função de uma variável y. Neste caso, a variável y muda da ordenada do ponto P para a ordenada do ponto Q\ ponto P é a “entrada” da reta x = const (no plano) na região - o ponto de sua “saída” desta região. Como a equação da curva ABC é, e a curva é, essas ordenadas para x tomadas são respectivamente iguais. Consequentemente, a integral nos dá uma expressão para a área de uma seção plana de um corpo cilíndrico em função da posição do plano de corte x = const. O volume de todo o corpo será igual à integral desta expressão sobre x no intervalo de mudança. Assim, em particular, para a área S da região D obtemos: Suponhamos agora que cada linha reta intercepta o limite da região D em não mais do que dois pontos P e Q, cujas abcissas são iguais, respectivamente ( ou ao longo de todo o segmento) (Fig. 8). Fazendo um raciocínio semelhante, chegamos a uma fórmula que também reduz o cálculo da integral dupla a uma repetida. Exemplo 2. Calcule a integral dupla de uma função sobre a área D. delimitada por linhas ^ Primeiro método. Vamos representar o domínio de integração D. A reta y = x e a parábola y = x2 se cruzam em pontos). Isto significa que x varia dentro de 8 limites a partir de 0. Qualquer linha reta x = const) intercepta o limite da região em não mais do que dois pontos. Portanto, a fórmula (8) é aplicável: Segundo método (Fig. 10). Usando a fórmula (10). obtemos o mesmo resultado: Exemplo 3. Calcule o volume de um corpo limitado por uma superfície interceptada pelo plano xOy ao longo da linha de uma elipse com semieixos devido à simetria deste corpo em relação aos planos coordenados xOz e y Ox obtemos: Nota. Se a região D for tal que algumas linhas retas (ostratecal ou horizontal) cruzam seu limite em mais de dois pontos, então para calcular a integral dupla sobre a região D, deve-se dividi-la apropriadamente em partes, repetir cada uma das integrais em partes e adicione os resultados obtidos. Exemplo 4. Calcule a integral dupla sobre a área D delimitada entre dois quadrados com centros e na origem e lados paralelos aos eixos coordenados, se o lado do quadrado interno for 2 e o externo for 4. É contínuo como em um grande quadrado Q, cujo lado é 4 , e em um pequeno quadrado R. cujo lado é igual a 2 (Fig. 12). De acordo com o Teorema 1, existem integrais da função e*** sobre os quadrados indicados, portanto o valor da integral necessária §4. Mudança de variáveis numa integral dupla 4.1. O conceito de coordenadas curvilíneas de um ponto Seja dado um par de funções na região D* do plano uOv, que consideraremos contínuas nesta região e com derivadas parciais contínuas. Em virtude da equação (1), cada ponto M*(α, v) do domínio D* corresponde a um ponto específico M(x, y) no plano xOy, e assim os pontos do domínio D* correspondem a um certo conjunto D de pontos (x, y) no plano xOy (Fig. 13). Neste caso, dizem que as funções (1) mapeiam o domínio D4 no conjunto D. Suponhamos que diferentes pontos (u, v) correspondem a diferentes pontos (x, y). Isto é equivalente à solubilidade única das equações (1) em relação a u, v: Neste caso, o mapeamento é chamado de mapeamento um-para-um do domínio D* no domínio D. Com tal transformação, qualquer curva contínua L* situada no domínio D* se transformará em uma curva contínua L situada na região D. Se as funções d(x) y) e h(x, y) também forem contínuas, então qualquer linha contínua LCD com a ajuda da transformação (2) passará pela linha contínua L* C D*.<)> Vq) na própria região £)*, mas a posição do ponto correspondente M(xo, vo) na região D, xo = 4>(io, v0), 3/0 = o,vo). Isso dá motivos para considerar os números u, v como algumas novas coordenadas do ponto D da região M no plano xOy. Eles são chamados de coordenadas curvilíneas do ponto M. O conjunto de pontos na área D para os quais uma das coordenadas permanece constante é chamado de linha de coordenadas. Definindo u = vq na fórmula (1), obtemos equações paramétricas da reta coordenada. Aqui o papel do parâmetro é desempenhado pela variável u. Dando à coordenada v vários valores constantes (possíveis para ela), obtemos uma família de linhas de coordenadas (v = const) no plano xOy. Da mesma forma, obtemos outra família de linhas coordenadas (u = const). Se houver uma correspondência biunívoca entre as regiões D* e D, diferentes linhas de coordenadas da mesma família não se cruzam e uma linha de cada família passa por qualquer ponto da região D. A grade de linhas de coordenadas curvilíneas no plano xOp é uma imagem de uma grade retangular no plano uOv (ver Fig. 13). 4.2. Elemento de área em coordenadas curvilíneas. O Jacobiano e seu significado geométrico Selecionemos na região D* do plano Uo*V um pequeno retângulo P*P?P$Pl com lados paralelos aos eixos coordenados 0*u e O"v e comprimentos laterais Ai e Av (para definição, assumimos que A ) respectivamente (Fig. 14 a). Sua área Retângulo se transforma em um quadrilátero curvilíneo * na área D (Fig. 146) Se os vértices P) tiverem coordenadas, então, de acordo com as fórmulas (1). ), os vértices correspondentes Pi possuem coordenadas). Utilizando a fórmula de Taylor para uma função de duas variáveis e limitando-nos aos termos de primeira ordem/pc relativos a A e Av, obtemos os seguintes valores aproximados das coordenadas para o. vértices do quadrilátero onde as funções são todas as suas derivadas calculadas no ponto As expressões encontradas para as coordenadas dos pontos mostram que, até o menor valor de ordem, um quadrilátero P\PiPiPa é um paralelogramo. fato de que Então a área DS de um quadrilátero pode ser expressa aproximadamente em termos do comprimento do produto vetorial, Problema que leva ao conceito de integral dupla Definição de integral dupla Propriedades básicas de integral dupla Área de uma região plana Redução de uma integral dupla em uma integral repetida Substituição de variáveis na integral dupla Elemento de área em coordenadas curvilíneas Jacobiano e seu significado geométrico Fórmula para alteração de variáveis na integral dupla Integral dupla em coordenadas polares Determinante Das fórmulas (7) e (8) do vídeo , o valor absoluto do Jacobiano desempenha o papel de um coeficiente de alongamento local da região D" (neste ponto (tx, v)) ao mapeá-lo no domínio D usando fórmulas de transformação (1). 4.3. Fórmula para alterar variáveis em uma integral dupla Deixe que as funções contínuas realizem um mapeamento biunívoco do domínio D* em D e tenham derivadas parciais contínuas de primeira ordem. Seja dada uma função contínua na região D no plano xOy Cada valor da função) na região D corresponde a um valor igual da função r = na região D", onde. Vamos dividir a região D* em regiões parciais. e construir uma partição correspondente da região D. Selecione pontos nas regiões parciais correspondentes (u, v) e (x, y) para que os valores das funções neles coincidam, e compomos somas integrais para as funções z = /(x, y) e v) sobre os domínios D e D* Obtemos a igualdade Jacobiana (9) até o limite à medida que o maior diâmetro d* das regiões parciais D\ tende a zero (devido a. a continuidade do mapa (I), o maior dos diâmetros d das regiões parciais em D também tenderá a zero), teremos onde a Condição J Ф 0 é a condição do mapeamento local um a um realizado pelas funções Teorema 4. Para transformar a integral dupla especificada em coordenadas cartesianas em uma integral dupla em coordenadas curvilíneas, é necessário substituir as variáveis x e y na função integrando /(x, y) respectivamente através do elemento de área dx dy - sua expressão em coordenadas curvilíneas: Exemplo. Encontrar a área de uma figura delimitada por hipérboles m. Encontrar a área da figura indicada se resume a calcular a integral dupla sobre a região O. Vamos introduzir novas, coordenadas curvilíneas ee sobre fórmulas Da condição de aadachi yashio, isso. Isso significa que no plano uOv obtivemos um retângulo (Fig. 156) - uma figura mais simples que a figura D dada. Vamos expressar x e y a partir das relações (11) através de u e t>: Fig. 15 Então Integral dupla em coordenadas polares Cálculo da integral dupla muitas vezes simplificado pela substituição coordenadas retangulares coordenadas polares x e y de acordo com as fórmulas O elemento de área em coordenadas polares tem a forma e a fórmula para a transição da integral em coordenadas cartesianas para a integral em coordenadas polares pode ser escrita da seguinte forma: Neste caso (13) A área elemento em coordenadas polares também pode ser obtido a partir de considerações geométricas (ver. Fig. 16). Área da área sombreada na figura A = pl. setores. setores Descartando a quantidade infinitesimal de ordem superior, obtemos e tomamos ela como um elemento de área em coordenadas polares. Assim, para transformar uma integral dupla em coordenadas cartesianas em uma integral dupla em coordenadas polares, é necessário substituir a: e y no integrando, respectivamente, por meio de p costp e psiny, e substituir o elemento de área em coordenadas cartesianas dx dy com o elemento de área em coordenadas polares p dp dip. Vamos agora começar a calcular a integral dupla em coordenadas polares. Como no caso das coordenadas cartesianas retangulares, o cálculo da integral em coordenadas polares é realizado reduzindo-a a uma integral iterada. Vamos primeiro considerar o caso em que o pólo O está fora de uma determinada região D. Deixe a região D ter a propriedade de que qualquer raio que emana do pólo (a linha coordenada y cruza seu limite em não mais do que dois pontos ou ao longo de um segmento inteiro (Fig. 17). Observemos que os valores extremos i do ângulo polar são os limites da integração externa. O raio μ>= passa pelo ponto A do contorno da região D, e o raio passa pelo ponto B. Os pontos Aw B dividem o contorno da região D em duas partes: ACB e AFB e) são funções contínuas de valor único que satisfazem a condição Funções são limites de integração interna. Passando para integrais repetidas, obtemos a seguinte fórmula Em particular, para a área S da região D com F(p, r 1 obtemos Deixe agora o pólo O estar localizado dentro da região D. Suponhamos que a região D. é estelar em relação ao pólo, ou seja, qualquer raio tp = const cruza o limite da região em apenas um ponto ou ao longo de um segmento inteiro (Fig. 18). Seja a equação do limite da região em coordenadas polares. Então Fig. 18. Exemplo. Calcule a integral onde a região é um quarto do círculo unitário localizado no primeiro quadrante, o domínio de integração será um retângulo. A integral transformada / é facilmente calculada: d Nota. diferente de zero no domínio D, então o mapeamento em uma determinada vizinhança de cada ponto deste domínio é um para um. No entanto, pode acontecer que o mapeamento de todo o domínio não seja um para um. Consideremos que o mapeamento definido pelas funções O Jacobiano destas funções é igual e, portanto, em todos os lugares diferente de zero. Independentemente disso, obtemos, então esse mapeamento não é um para um. Por outro lado, se o Jacobiano de um mapeamento desaparece em algum ponto, então, mesmo assim, o mapeamento numa vizinhança deste ponto pode revelar-se um-para-um. Por exemplo, para um mapeamento definido por funções, o Jacobiano é igual a zero e at, mas o mapeamento é um para um. O mapeamento inverso é determinado pelas funções