Lar
Folha ondulada
Volume de uma pirâmide regular. Volume da pirâmide V de uma pirâmide triangular regular

Volume de uma pirâmide regular. Volume da pirâmide V de uma pirâmide triangular regular

Um poliedro cuja base é um triângulo regular e as demais faces são representadas por triângulos isósceles é denominado pirâmide triangular Essa pirâmide também é chamada de tetraedro.

Uma pirâmide regular tem muitas propriedades derivadas de suas figuras constituintes:

  • Todos os lados da base são iguais entre si porque ela é representada por um triângulo regular;
  • Todas as arestas da pirâmide também são iguais entre si;
  • Porque cada rosto se forma triângulo isósceles, em que as arestas são iguais e as bases são iguais, então podemos dizer que a área de cada face é a mesma;
  • Todos os ângulos diédricos na base são iguais.

É calculado como a soma das áreas da base e da varredura lateral. Também pode ser encontrado calculando a área de uma das faces laterais e da base. A fórmula para o volume de uma pirâmide triangular também é derivada das propriedades dos triângulos que a compõem:

A área base é calculada a partir da fórmula:

Consideremos um exemplo de cálculo do volume de uma pirâmide triangular.

Vamos receber uma pirâmide triangular. O lado da base é a = 2 cm e a altura é h = 2√3. Encontre o volume do poliedro fornecido.
Primeiro, vamos encontrar a área da base. Para fazer isso, vamos substituir os dados conhecidos na fórmula acima:

Agora usamos o valor encontrado para calcular o volume de uma pirâmide triangular:

Você também pode usar uma fórmula abreviada para calcular a área de uma pirâmide triangular. Combina a área da base e a altura, e a fórmula é lida como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide:

Ao utilizar esta fórmula, é importante seguir rigorosamente os cálculos e reduções. Um pequeno erro pode levar a um resultado incorreto. Em geral, encontrar o volume de uma pirâmide triangular regular é muito simples.

Manter sua privacidade é importante para nós. Por este motivo, desenvolvemos uma Política de Privacidade que descreve como utilizamos e armazenamos as suas informações. Revise nossas práticas de privacidade e informe-nos se tiver alguma dúvida.

Coleta e uso de informações pessoais

Informações pessoais referem-se a dados que podem ser usados ​​para identificar ou contatar uma pessoa específica.

Você pode ser solicitado a fornecer suas informações pessoais a qualquer momento quando entrar em contato conosco.

Abaixo estão alguns exemplos dos tipos de informações pessoais que podemos coletar e como podemos usar essas informações.

Quais informações pessoais coletamos:

  • Quando você envia uma inscrição no site, podemos coletar diversas informações, incluindo seu nome, número de telefone, endereço e-mail etc.

Como usamos suas informações pessoais:

  • Coletado por nós informações pessoais nos permite entrar em contato com você e informá-lo sobre ofertas exclusivas, promoções e outros eventos e eventos futuros.
  • De tempos em tempos, poderemos usar suas informações pessoais para enviar avisos e comunicações importantes.
  • Também poderemos utilizar informações pessoais para fins internos, como a realização de auditorias, análises de dados e pesquisas diversas, a fim de melhorar os serviços que prestamos e fornecer-lhe recomendações sobre os nossos serviços.
  • Se você participar de um sorteio, concurso ou promoção semelhante, poderemos usar as informações que você fornecer para administrar tais programas.

Divulgação de informações a terceiros

Não divulgamos as informações recebidas de você a terceiros.

Exceções:

  • Se necessário, de acordo com a lei, procedimento judicial, em processos judiciais e/ou com base em solicitações públicas ou solicitações de agências governamentais na Federação Russa - para divulgar suas informações pessoais. Também poderemos divulgar informações sobre você se determinarmos que tal divulgação é necessária ou apropriada para fins de segurança, aplicação da lei ou outros fins de importância pública.
  • No caso de uma reorganização, fusão ou venda, poderemos transferir as informações pessoais que coletamos para o terceiro sucessor aplicável.

Proteção de informações pessoais

Tomamos precauções - inclusive administrativas, técnicas e físicas - para proteger suas informações pessoais contra perda, roubo e uso indevido, bem como acesso não autorizado, divulgação, alteração e destruição.

Respeitando sua privacidade no nível da empresa

Para garantir que suas informações pessoais estejam seguras, comunicamos padrões de privacidade e segurança aos nossos funcionários e aplicamos rigorosamente as práticas de privacidade.

A principal característica de qualquer figura geométrica no espaço é o seu volume. Neste artigo veremos o que é uma pirâmide com um triângulo na base e também mostraremos como encontrar o volume de uma pirâmide triangular - regular cheia e truncada.

O que é isso - uma pirâmide triangular?

Todo mundo já ouviu falar dos antigos Pirâmides egípcias, entretanto, são quadrangulares regulares, não triangulares. Vamos explicar como obter uma pirâmide triangular.

Vamos pegar um triângulo arbitrário e conectar todos os seus vértices a algum ponto localizado fora do plano desse triângulo. A figura resultante será chamada de pirâmide triangular. É mostrado na figura abaixo.

Como você pode perceber, a figura em questão é formada por quatro triângulos, que em geral são diferentes. Cada triângulo são os lados da pirâmide ou sua face. Essa pirâmide costuma ser chamada de tetraedro, ou seja, uma figura tridimensional tetraédrica.

Além dos lados, a pirâmide também possui arestas (são 6) e vértices (de 4).

com base triangular

Uma figura obtida usando um triângulo arbitrário e um ponto no espaço será uma pirâmide irregular e inclinada no caso geral. Agora imagine que o triângulo original tenha lados idênticos e que um ponto no espaço esteja localizado exatamente acima de seu centro geométrico, a uma distância h do plano do triângulo. A pirâmide construída com esses dados iniciais estará correta.

Obviamente, o número de arestas, lados e vértices de uma pirâmide triangular regular será igual ao de uma pirâmide construída a partir de um triângulo arbitrário.

No entanto, o número correto tem alguns características distintivas:

  • sua altura traçada a partir do vértice cruzará exatamente a base no centro geométrico (o ponto de intersecção das medianas);
  • a superfície lateral dessa pirâmide é formada por três triângulos idênticos, que são isósceles ou equiláteros.

Uma pirâmide triangular regular não é apenas um objeto geométrico puramente teórico. Algumas estruturas na natureza têm seu formato, por exemplo a rede cristalina do diamante, onde um átomo de carbono está conectado a quatro átomos iguais por ligações covalentes, ou uma molécula de metano, onde os vértices da pirâmide são formados por átomos de hidrogênio.

pirâmide triangular

Você pode determinar o volume de absolutamente qualquer pirâmide com um n-gon arbitrário na base usando a seguinte expressão:

Aqui o símbolo S o denota a área da base, h é a altura da figura desenhada até a base marcada a partir do topo da pirâmide.

Como a área de um triângulo arbitrário é igual à metade do produto do comprimento de seu lado a e o apótema h a colocado neste lado, a fórmula para o volume de uma pirâmide triangular pode ser escrita da seguinte forma:

V = 1/6 × a × ha × h

Para tipo geral Determinar a altura não é uma tarefa fácil. Para resolvê-lo, a maneira mais fácil é utilizar a fórmula da distância entre um ponto (vértice) e um plano (base triangular), representada pela equação visão geral.

Para o correto, tem uma aparência específica. A área da base (de um triângulo equilátero) é igual a:

Substituindo-o na expressão geral de V, obtemos:

V = √3/12 × a 2 × h

Um caso especial é a situação em que todos os lados de um tetraedro são triângulos equiláteros idênticos. Neste caso, seu volume só pode ser determinado com base no conhecimento do parâmetro de sua aresta a. A expressão correspondente se parece com:

Pirâmide truncada

Se a parte superior que contém o vértice for cortada de uma pirâmide triangular regular, você obterá uma figura truncada. Ao contrário do original, será composto por duas bases triangulares equiláteras e três trapézios isósceles.

A foto abaixo mostra a aparência de uma pirâmide triangular truncada regular feita de papel.

Para determinar o volume de uma pirâmide triangular truncada, é necessário conhecer suas três características lineares: cada um dos lados das bases e a altura da figura, igual à distância entre as bases superior e inferior. A fórmula correspondente para o volume é escrita da seguinte forma:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Aqui h é a altura da figura, A e a são os comprimentos dos lados dos triângulos equiláteros grande (inferior) e pequeno (superior), respectivamente.

Solução de problemas

Para deixar as informações do artigo mais claras para o leitor, mostraremos com um exemplo claro como utilizar algumas das fórmulas escritas.

Seja o volume da pirâmide triangular 15 cm 3 . Sabe-se que o número está correto. É necessário encontrar o apótema a b da aresta lateral se se sabe que a altura da pirâmide é de 4 cm.

Como o volume e a altura da figura são conhecidos, você pode usar a fórmula apropriada para calcular o comprimento do lado de sua base. Nós temos:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

uma b = √(h 2 + a 2/12) = √(16 + 25,98 2/12) = 8,5 cm

O comprimento calculado do apótema da figura acabou sendo maior que sua altura, o que vale para qualquer tipo de pirâmide.

Aqui veremos exemplos relacionados ao conceito de volume. Para resolver tais problemas, você precisa conhecer a fórmula do volume da pirâmide:

S

h – altura da pirâmide

A base pode ser qualquer polígono. Mas na maioria dos problemas do Exame de Estado Unificado, a condição geralmente diz respeito a pirâmides regulares. Deixe-me lembrá-lo de uma de suas propriedades:

Vértice pirâmide regular projetado para o centro de sua base

Observe a projeção das pirâmides regulares triangulares, quadrangulares e hexagonais (VISTA SUPERIOR):


Você pode fazer isso no blog, onde foram discutidos problemas relacionados à localização do volume de uma pirâmide.Vamos considerar as tarefas:

27087. Encontre o volume de uma pirâmide triangular regular cujos lados da base são iguais a 1 e cuja altura é igual à raiz de três.

S– área da base da pirâmide

h– altura da pirâmide

Vamos encontrar a área da base da pirâmide, este é um triângulo regular. Vamos usar a fórmula - a área de um triângulo é igual à metade do produto dos lados adjacentes pelo seno do ângulo entre eles, o que significa:

Resposta: 0,25

27088. Encontre a altura de uma pirâmide triangular regular cujos lados da base são iguais a 2 e cujo volume é igual à raiz de três.

Conceitos como a altura de uma pirâmide e as características de sua base são relacionados pela fórmula do volume:

S– área da base da pirâmide

h– altura da pirâmide

Conhecemos o volume em si, podemos encontrar a área da base, pois conhecemos os lados do triângulo, que é a base. Conhecendo os valores indicados, podemos encontrar facilmente a altura.

Para encontrar a área da base, usamos a fórmula - a área de um triângulo é igual à metade do produto dos lados adjacentes e o seno do ângulo entre eles, o que significa:

Assim, substituindo esses valores na fórmula do volume, podemos calcular a altura da pirâmide:

A altura é três.

Resposta: 3

27109. Em uma pirâmide quadrangular regular, a altura é 6, a aresta lateral é 10. Encontre seu volume.

O volume da pirâmide é calculado pela fórmula:

S– área da base da pirâmide

h– altura da pirâmide

Sabemos a altura. Você precisa encontrar a área da base. Deixe-me lembrá-lo de que o topo de uma pirâmide regular é projetado no centro de sua base. A base de uma pirâmide quadrangular regular é um quadrado. Podemos encontrar sua diagonal. Considere um triângulo retângulo (destacado em azul):

O segmento que liga o centro do quadrado ao ponto B é uma perna igual à metade da diagonal do quadrado. Podemos calcular esta perna usando o teorema de Pitágoras:

Isso significa BD = 16. Vamos calcular a área do quadrado usando a fórmula da área de um quadrilátero:

Por isso:

Assim, o volume da pirâmide é:

Resposta: 256

27178. Em uma pirâmide quadrangular regular, a altura é 12 e o volume é 200. Encontre a aresta lateral desta pirâmide.

A altura da pirâmide e seu volume são conhecidos, o que significa que podemos encontrar a área do quadrado, que é a base. Conhecendo a área de um quadrado, podemos encontrar sua diagonal. A seguir, considerando um triângulo retângulo usando o teorema de Pitágoras, calculamos a aresta lateral:

Vamos encontrar a área do quadrado (base da pirâmide):

Vamos calcular a diagonal do quadrado. Como sua área é 50, o lado será igual à raiz de cinquenta e segundo o teorema de Pitágoras:

O ponto O divide a diagonal BD ao meio, o que significa a perna do triângulo retângulo OB = 5.

Assim, podemos calcular a que é igual a aresta lateral da pirâmide:

Resposta: 13

245353. Encontre o volume da pirâmide mostrada na figura. Sua base é um polígono cujos lados adjacentes são perpendiculares e uma das arestas laterais é perpendicular ao plano da base e igual a 3.

Como já foi dito várias vezes, o volume da pirâmide é calculado pela fórmula:

S– área da base da pirâmide

h– altura da pirâmide

A aresta lateral perpendicular à base é igual a três, o que significa que a altura da pirâmide é três. A base da pirâmide é um polígono cuja área é igual a:

Por isso:

Resposta: 27

27086. A base da pirâmide é um retângulo com lados 3 e 4. Seu volume é 16. Encontre a altura desta pirâmide.

Uma pirâmide é um poliedro com um polígono na base. Todas as faces, por sua vez, formam triângulos que convergem em um vértice. As pirâmides são triangulares, quadrangulares e assim por diante. Para determinar qual pirâmide está à sua frente, basta contar o número de ângulos de sua base. A definição de “altura de uma pirâmide” é frequentemente encontrada em problemas de geometria no currículo escolar. Neste artigo tentaremos considerar maneiras diferentes a localização dela.

Partes da pirâmide

Cada pirâmide consiste nos seguintes elementos:

  • faces laterais, que possuem três cantos e convergem no ápice;
  • o apótema representa a altura que desce do seu ápice;
  • o topo da pirâmide é um ponto que conecta as costelas laterais, mas não fica no plano da base;
  • a base é um polígono no qual o vértice não se encontra;
  • a altura de uma pirâmide é um segmento que cruza o topo da pirâmide e forma um ângulo reto com sua base.

Como encontrar a altura de uma pirâmide se seu volume for conhecido

Através da fórmula V = (S*h)/3 (na fórmula V é o volume, S é a área da base, h é a altura da pirâmide) descobrimos que h = (3*V)/ S. Para consolidar o material, vamos resolver imediatamente o problema. A base triangular mede 50 cm 2 , enquanto seu volume é 125 cm 3 . A altura da pirâmide triangular é desconhecida, e é isso que precisamos de determinar. Tudo é simples aqui: inserimos os dados em nossa fórmula. Obtemos h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Como encontrar a altura de uma pirâmide se o comprimento da diagonal e suas arestas são conhecidos

Como lembramos, a altura da pirâmide forma um ângulo reto com sua base. Isso significa que a altura, a aresta e a metade da diagonal juntas formam muitos, é claro, lembram-se do teorema de Pitágoras. Conhecendo duas dimensões, não será difícil encontrar a terceira quantidade. Lembremos o conhecido teorema a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e, no nosso caso, a aresta da pirâmide; b - a primeira perna ou metade da diagonal ec - respectivamente, a segunda perna, ou a altura da pirâmide. Desta fórmula c² = a² - b².

Agora o problema: em uma pirâmide regular a diagonal é de 20 cm, quando o comprimento da aresta é de 30 cm Você precisa encontrar a altura. Resolvemos: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Portanto c = √ 500 = cerca de 22,4.

Como encontrar a altura de uma pirâmide truncada

É um polígono com seção transversal paralela à sua base. A altura de uma pirâmide truncada é o segmento que conecta suas duas bases. A altura pode ser encontrada para uma pirâmide regular se os comprimentos das diagonais de ambas as bases, bem como a borda da pirâmide, forem conhecidos. Seja a diagonal da base maior d1, enquanto a diagonal da base menor seja d2 e a aresta tenha comprimento l. Para encontrar a altura, você pode diminuir as alturas dos dois pontos superiores opostos do diagrama até sua base. Vemos que temos dois triângulo retângulo, resta encontrar o comprimento de suas pernas. Para fazer isso, subtraia a menor da diagonal maior e divida por 2. Assim encontraremos uma perna: a = (d1-d2)/2. Depois disso, de acordo com o teorema de Pitágoras, tudo o que precisamos fazer é encontrar a segunda perna, que é a altura da pirâmide.

Agora vamos ver tudo isso na prática. Temos uma tarefa pela frente. Uma pirâmide truncada tem um quadrado na base, o comprimento diagonal da base maior é de 10 cm, enquanto a menor tem 6 cm e a aresta tem 4 cm. Primeiro, encontramos uma perna: a = (10-6)/2 = 2 cm Uma perna é igual a 2 cm e a hipotenusa é 4 cm. Acontece que a segunda perna ou altura será igual a 16-. 4 = 12, ou seja, h = √12 = cerca de 3,5 cm.

Seções