Fórmula para a derivada de uma função especificada implicitamente. Provas e exemplos de aplicação desta fórmula. Exemplos de cálculo de derivadas de primeira, segunda e terceira ordem.

Derivada de primeira ordem

Deixe a função ser especificada implicitamente usando a equação
(1) .
E deixe esta equação, para algum valor, ter uma solução única.
.
Seja a função uma função diferenciável no ponto, e
(2) .

Então, neste valor, existe uma derivada, que é determinada pela fórmula:

Prova
.
Para provar isso, considere a função como uma função complexa da variável:
(3) :
.
Vamos aplicar a regra de diferenciação de uma função complexa e encontrar a derivada em relação a uma variável dos lados esquerdo e direito da equação
(4) ;
.

Como a derivada de uma constante é zero e , então

A fórmula está comprovada.

Derivadas de ordem superior
(4) .
Vamos reescrever a equação (4) usando notações diferentes:
;
.
Ao mesmo tempo, e são funções complexas da variável:
(1) .

A dependência é determinada pela equação (1):
Encontramos a derivada em relação à variável dos lados esquerdo e direito da equação (4).
;
.
De acordo com a fórmula da derivada de uma função complexa, temos:

.
De acordo com a fórmula da derivada do produto:


.

Usando a fórmula da soma derivada:
(5) .
Como a derivada do lado direito da equação (4) é igual a zero, então

Substituindo aqui a derivada, obtemos o valor da derivada de segunda ordem na forma implícita.
.
Diferenciando a equação (5) de forma semelhante, obtemos uma equação contendo uma derivada de terceira ordem:

Substituindo aqui os valores encontrados das derivadas de primeira e segunda ordem, encontramos o valor da derivada de terceira ordem.

Continuando a diferenciação, pode-se encontrar uma derivada de qualquer ordem.

Exemplos

Exemplo 1
Encontre a derivada de primeira ordem da função dada implicitamente pela equação: .

(P1)

Solução pela fórmula 2
(2) .

Encontramos a derivada usando a fórmula (2):
.
Vamos mover todas as variáveis ​​para o lado esquerdo para que a equação fique na forma .

Daqui.
;
;
;
.

Encontramos a derivada em relação a , considerando-a constante.
;
;
;
.

Encontramos a derivada em relação à variável, considerando a variável constante.
.

Usando a fórmula (2), encontramos:
.
Multiplique o numerador e o denominador por:
.

Solução de segunda via

Vamos resolver este exemplo da segunda maneira. Para isso, encontraremos a derivada em relação à variável dos lados esquerdo e direito da equação original (A1).

Aplicamos:
.
Aplicamos a fórmula da fração derivada:
;
.
Aplicamos a fórmula para a derivada de uma função complexa:
.
Vamos diferenciar a equação original (A1).
Encontre a derivada de primeira ordem da função dada implicitamente pela equação: ;
;
.
Multiplicamos e agrupamos os termos.
;
.

Vamos substituir (da equação (A1)):
.
Multiplique por:
.

Exemplo 2

Encontre a derivada de segunda ordem da função dada implicitamente usando a equação:
(A2.1) .

Diferenciamos a equação original em relação à variável, considerando que ela é função de:
;
.
Aplicamos a fórmula da derivada de uma função complexa.
.

Vamos diferenciar a equação original (A2.1):
;
.
Da equação original (A2.1) segue-se que.
.
Vamos substituir:
;
Abra os colchetes e agrupe os membros: .
(A2.2)
Encontramos a derivada de primeira ordem: .

(A2.3)
;
;
;
.
Para encontrar a derivada de segunda ordem, diferenciamos a equação (A2.2).
.
Multiplique por:

;
.
Vamos substituir a expressão pela derivada de primeira ordem (A2.3):

A partir daqui encontramos a derivada de segunda ordem.

Exemplo 3
Encontre a derivada de terceira ordem da função dada implicitamente usando a equação: .

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
Diferenciamos a equação original em relação à variável, assumindo que é uma função de. ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
Vamos diferenciar a equação (A3.2) em relação à variável. .

(A3.3)
;
;
;
;
;
Vamos diferenciar a equação (A3.3). .

(A3.4)
;
;
.

A partir das equações (A3.2), (A3.3) e (A3.4) encontramos os valores das derivadas em .
Derivada de uma função especificada implicitamente.

Derivada de uma função definida parametricamente Neste artigo, veremos mais duas tarefas típicas que são frequentemente encontradas em testes Por matemática superior . Para dominar o material com sucesso, você deve ser capaz de encontrar derivadas pelo menos em um nível intermediário. Você pode aprender a encontrar derivadas praticamente do zero em duas lições básicas e Derivada de uma função complexa

. Se suas habilidades de diferenciação estiverem corretas, então vamos lá.

Derivada de uma função especificada implicitamente

Ou, resumindo, a derivada de uma função implícita. O que é uma função implícita? Vamos primeiro lembrar a própria definição de uma função de uma variável: Função de variável única

é uma regra segundo a qual cada valor da variável independente corresponde a um e apenas um valor da função. A variável é chamada variável independente ou.
argumento A variável é chamada variável independente variável dependente .

função Até agora vimos funções definidas em explícito

forma. O que isso significa? Vamos realizar um debriefing usando exemplos específicos.

Considere a função Vemos que à esquerda temos um “jogador” solitário e à direita -. Ou seja, a função explicitamente expresso através da variável independente.

Vejamos outra função:

É aqui que as variáveis ​​se misturam. Além disso impossível de qualquer maneira expresse “Y” apenas por meio de “X”. Quais são esses métodos? Transferindo termos de parte para parte com mudança de sinal, tirando-os dos colchetes, jogando fatores de acordo com a regra da proporção, etc. Reescreva a igualdade e tente expressar o “y” explicitamente: . Você pode torcer e virar a equação por horas, mas não terá sucesso.

Deixe-me apresentar a você: – exemplo função implícita.

No decorrer da análise matemática foi provado que a função implícita existe(porém, nem sempre), possui um gráfico (assim como uma função “normal”). A função implícita é exatamente a mesma existe primeira derivada, segunda derivada, etc. Como se costuma dizer, todos os direitos das minorias sexuais são respeitados.

E nesta lição aprenderemos como determinar a derivada de uma função especificada implicitamente. Não é tão difícil! Todas as regras de diferenciação, tabela de derivativos funções elementares permanecem em vigor. A diferença está em um ponto peculiar, que veremos agora.

Sim, e vou lhe contar uma boa notícia: as tarefas discutidas abaixo são executadas de acordo com um algoritmo bastante rígido e claro, sem pedra na frente de três trilhas.

Exemplo 1

1) Na primeira etapa, aplicamos traços em ambas as partes:

2) Usamos as regras de linearidade da derivada (as duas primeiras regras da lição Como encontrar a derivada? Exemplos de soluções):

3) Diferenciação direta.
Como diferenciar é completamente claro. O que fazer onde há “jogos” sob os golpes?

- até o ponto da desgraça, a derivada de uma função é igual à sua derivada: .

Como diferenciar
Aqui temos função complexa. Por que? Parece que sob o seno existe apenas uma letra “Y”. Mas o fato é que só existe uma letra “y” - É UMA FUNÇÃO(veja a definição no início da lição). Assim, o seno é uma função externa e é uma função interna. Usamos a regra para diferenciar uma função complexa :

Diferenciamos o produto de acordo com a regra usual :

Observe que – também é uma função complexa, qualquer “jogo com sinos e assobios” é uma função complexa:

A solução em si deve ser mais ou menos assim:


Se houver colchetes, expanda-os:

4) No lado esquerdo coletamos os termos que contém um “Y” com primo. Mova todo o resto para o lado direito:

5) No lado esquerdo retiramos a derivada dos colchetes:

6) E de acordo com a regra da proporção, colocamos esses colchetes no denominador do lado direito:

A derivada foi encontrada. Preparar.

É interessante notar que qualquer função pode ser reescrita implicitamente. Por exemplo, a função pode ser reescrito assim: . E diferencie-o usando o algoritmo que acabamos de discutir. Na verdade, as frases “função implícita” e “função implícita” diferem em uma nuance semântica. A frase “função especificada implicitamente” é mais geral e correta, – esta função é especificada implicitamente, mas aqui você pode expressar o “jogo” e apresentar a função explicitamente. As palavras “função implícita” significam mais frequentemente função implícita “clássica”, quando o “jogo” não pode ser expresso.

Deve-se notar também que uma “equação implícita” pode especificar implicitamente duas ou até mais funções ao mesmo tempo, por exemplo, a equação de um círculo define implicitamente as funções , , que definem semicírculos. não farei uma distinção especial entre os termos e nuances, foram apenas informações para desenvolvimento geral.

Segunda solução

Atenção! Você só poderá se familiarizar com o segundo método se souber como encontrar com segurança derivadas parciais. Iniciantes para estudar análise matemática e bules por favor não leia e pule este ponto, caso contrário sua cabeça ficará uma bagunça completa.

Vamos encontrar a derivada da função implícita usando o segundo método.

Movemos todos os termos para o lado esquerdo:

E considere uma função de duas variáveis:

Então nossa derivada pode ser encontrada usando a fórmula
Vamos encontrar as derivadas parciais:

Por isso:

A segunda solução permite realizar uma verificação. Mas não é aconselhável que escrevam a versão final do trabalho, pois as derivadas parciais são dominadas posteriormente, e um aluno que estuda o tema “Derivada de uma função de uma variável” ainda não deve saber derivadas parciais.

Vejamos mais alguns exemplos.

Exemplo 2

Encontre a derivada de uma função dada implicitamente

Adicione traços a ambas as partes:

Usamos regras de linearidade:

Encontrando derivadas:

Abrindo todos os colchetes:

Movemos todos os termos para o lado esquerdo e o restante para o lado direito:

Resposta final:

Exemplo 3

Encontre a derivada de uma função dada implicitamente

Solução completa e modelo de amostra no final da lição.

Não é incomum que surjam frações após a diferenciação. Nesses casos, você precisa se livrar das frações. Vejamos mais dois exemplos.

Exemplo 4

Encontre a derivada de uma função dada implicitamente

Colocamos ambas as partes sob traços e usamos a regra de linearidade:

Diferencie usando a regra para diferenciar uma função complexa e a regra de diferenciação de quocientes :

Expandindo os colchetes:

Agora precisamos nos livrar da fração. Isso pode ser feito mais tarde, mas é mais racional fazê-lo imediatamente. O denominador da fração contém . Multiplicar sobre . Em detalhes, ficará assim:

Às vezes, após a diferenciação, aparecem 2-3 frações. Se tivéssemos outra fração, por exemplo, a operação precisaria ser repetida - multiplicar cada termo de cada parte sobre

No lado esquerdo, colocamos fora dos colchetes:

Resposta final:

Exemplo 5

Encontre a derivada de uma função dada implicitamente

Este é um exemplo para decisão independente. A única coisa é que antes de se livrar da fração, primeiro você precisará se livrar da estrutura de três andares da própria fração. Solução completa e resposta no final da lição.

Derivada de uma função definida parametricamente

Não vamos nos estressar, tudo neste parágrafo também é bastante simples. Você pode escrever a fórmula geral de uma função definida parametricamente, mas, para deixar isso claro, escreverei imediatamente exemplo concreto. Na forma paramétrica, a função é dada por duas equações: . Freqüentemente, as equações não são escritas entre colchetes, mas sequencialmente: , .

A variável é chamada de parâmetro e pode assumir valores de “menos infinito” a “mais infinito”. Considere, por exemplo, o valor e substitua-o nas duas equações: . Ou em termos humanos: “se x é igual a quatro, então y é igual a um”. Você pode marcar um ponto no plano de coordenadas, e este ponto corresponderá ao valor do parâmetro. Da mesma forma, você pode encontrar um ponto para qualquer valor do parâmetro “te”. Quanto a uma função “regular”, para os índios americanos de uma função definida parametricamente, todos os direitos também são respeitados: você pode construir um gráfico, encontrar derivadas, etc. A propósito, se você precisar traçar um gráfico de uma função definida parametricamente, poderá usar meu programa.

Nos casos mais simples, é possível representar a função explicitamente. Vamos expressar o parâmetro: – da primeira equação e substituí-lo na segunda equação: . O resultado é uma função cúbica comum.

Em casos mais “graves”, esse truque não funciona. Mas isso não importa, porque existe uma fórmula para encontrar a derivada de uma função paramétrica:

Encontramos a derivada do “jogo em relação à variável te”:

Todas as regras de diferenciação e a tabela de derivadas são válidas, naturalmente, para a letra , portanto, não há novidade no processo de encontrar derivadas. Apenas substitua mentalmente todos os “X” da tabela pela letra “Te”.

Encontramos a derivada de “x em relação à variável te”:

Agora só falta substituir as derivadas encontradas em nossa fórmula:

Preparar. A derivada, assim como a própria função, também depende do parâmetro.

Quanto à notação, em vez de escrevê-la na fórmula, poderia simplesmente escrevê-la sem subscrito, pois se trata de uma derivada “regular” “em relação a X”. Mas na literatura sempre há uma opção, então não vou me desviar do padrão.

Exemplo 6

Usamos a fórmula

EM nesse caso:

Por isso:

Uma característica especial de encontrar a derivada de uma função paramétrica é o fato de que em cada etapa é benéfico simplificar o resultado tanto quanto possível. Então, no exemplo considerado, quando o encontrei, abri os parênteses na raiz (embora talvez não tenha feito isso). Há uma boa chance de que, ao substituir na fórmula, muitas coisas sejam bem reduzidas. Embora, é claro, existam exemplos com respostas desajeitadas.

Exemplo 7

Encontre a derivada de uma função especificada parametricamente

Este é um exemplo para você resolver sozinho.

No artigo Os problemas típicos mais simples com derivadas vimos exemplos em que precisávamos determinar a segunda derivada de uma função. Para uma função definida parametricamente, você também pode encontrar a segunda derivada, e ela é encontrada usando a seguinte fórmula: . É bastante óbvio que, para determinar a segunda derivada, é necessário primeiro determinar a primeira derivada.

Exemplo 8

Encontre a primeira e a segunda derivadas de uma função dada parametricamente

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada.
Usamos a fórmula

Nesse caso:

Uma função Z= f(x; y) é chamada implícita se for dada pela equação F(x,y,z)=0 não resolvida em relação a Z. Vamos encontrar as derivadas parciais da função Z dadas implicitamente. Para fazer isso, substituindo a função f(x;y) na equação em vez de Z, obtemos a identidade F(x,y, f(x,y))=0. As derivadas parciais de uma função identicamente igual a zero em relação a x e y também são iguais a zero.

F(x,y, f(x, y)) =
=0 (considerado constante)

F(x,y, f(x, y)) =
=0 (xconsiderado constante)

Onde
E

Exemplo: Encontre as derivadas parciais da função Z dada pela equação
.

Aqui F(x,y,z)=
;
;
;
. De acordo com as fórmulas fornecidas acima, temos:

E

1. Derivada direcional

Seja dada uma função de duas variáveis ​​Z= f(x; y) em uma determinada vizinhança do ponto M (x,y). Considere alguma direção definida pelo vetor unitário
, Onde
(ver foto).

Em uma linha reta que passa nesta direção pelo ponto M, tomamos o ponto M 1 (
) para que o comprimento
segmentoMM 1 é igual a
. O incremento da função f(M) é determinado pela relação, onde
conectados por relacionamentos. Limite de proporção no
será chamada de derivada da função
no ponto
na direção e ser designado .

=

Se a função Z é diferenciável no ponto
, então seu incremento neste ponto levando em consideração as relações para
pode ser escrito na seguinte forma.

dividindo ambas as partes por

e passando ao limite em
obtemos uma fórmula para a derivada da função Z= f(x; y) na direção:

1. Gradiente

Considere uma função de três variáveis
diferenciável em algum ponto
.

O gradiente desta função
no ponto M é um vetor cujas coordenadas são respectivamente iguais às derivadas parciais
neste ponto. Para indicar um gradiente, use o símbolo
.
=
.

.O gradiente indica a direção de crescimento mais rápido da função em um determinado ponto.

Como o vetor unitário tem coordenadas (
), então a derivada direcional para o caso de uma função de três variáveis ​​​​é escrita na forma, ou seja, tem a fórmula para o produto escalar de vetores E
. Vamos reescrever a última fórmula da seguinte forma:

, Onde - ângulo entre o vetor E
. Porque
, segue-se que a derivada da função na direção assume o valor máximo em =0, ou seja quando a direção dos vetores E
corresponder. Ao mesmo tempo
Ou seja, de fato, o gradiente de uma função caracteriza a direção e a magnitude da taxa máxima de aumento dessa função em um ponto.

1. Extremo de uma função de duas variáveis

Os conceitos de máximo, mínimo, extremo de uma função de duas variáveis ​​são semelhantes aos conceitos correspondentes de uma função de uma variável. Deixe a função Z= f(x; y) ser definida em algum domínio D, etc.
pertence a esta área. Ponto M
é chamado de ponto máximo da função Z= f(x; y) se existe tal vizinhança δ do ponto
, que para cada ponto desta vizinhança a desigualdade
. O ponto min é determinado de forma semelhante, apenas o sinal de desigualdade mudará
. O valor da função no ponto max(min) é denominado máximo (mínimo). O máximo e o mínimo de uma função são chamados de extremos.

1. Condições necessárias e suficientes para um extremo

Teorema:(Condições necessárias para um extremo). Se no ponto M
a função diferenciável Z= f(x; y) tem um extremo, então suas derivadas parciais neste ponto são iguais a zero:
,
.

Prova: Tendo fixado uma das variáveis ​​​​x ou y, transformamos Z = f(x; y) em uma função de uma variável, para cujo extremo as condições acima devem ser atendidas. Igualdades geométricas
E
significa que no ponto extremo da função Z= f(x; y), o plano tangente à superfície que representa a função f(x,y)=Z é paralelo ao plano OXY, porque a equação do plano tangente é Z = Z 0. O ponto em que as derivadas parciais de primeira ordem da função Z = f (x; y) são iguais a zero, ou seja,
,
, são chamados de ponto estacionário da função. Uma função pode ter um extremo em pontos onde pelo menos uma das derivadas parciais não existe. Por exemploZ=|-
| tem máximo no ponto O(0,0), mas não tem derivadas neste ponto.

Os pontos estacionários e os pontos nos quais não existe pelo menos uma derivada parcial são chamados pontos críticos. Em pontos críticos, a função pode ou não ter um extremo. A igualdade das derivadas parciais a zero é uma condição necessária, mas não suficiente, para a existência de um extremo. Por exemplo, quando Z=xy, o ponto O(0,0) é crítico. No entanto, a função Z=xy não possui um extremo. (Porque nos trimestres I e III Z>0, e nos trimestres II e IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorema: (Condição suficiente para extremos). Deixe em um ponto estacionário
e em uma determinada vizinhança a função f(x; y) tem derivadas parciais contínuas até a 2ª ordem inclusive. Vamos calcular no ponto
valores
,
E
. Vamos denotar

Em caso
, extremo no ponto
pode ou não ser. Mais pesquisas são necessárias.

Ou, resumindo, a derivada de uma função implícita. O que é uma função implícita? Como minhas aulas são práticas, tento evitar definições e teoremas, mas seria apropriado fazê-lo aqui. Afinal, o que é uma função?

Uma função de variável única é uma regra que afirma que para cada valor da variável independente existe um e apenas um valor da função.

é uma regra segundo a qual cada valor da variável independente corresponde a um e apenas um valor da função. A variável é chamada variável independente ou.
A variável é chamada A variável é chamada variável independente variável dependente.

Grosso modo, a letra “Y” neste caso é a função.

função Até agora vimos funções definidas em explícito

forma. O que isso significa? Vamos realizar um debriefing usando exemplos específicos.

Vemos que à esquerda temos um “jogo” (função) solitário, e à direita - Vemos que à esquerda temos um “jogador” solitário e à direita -. Ou seja, a função explicitamente expresso através da variável independente.

Vejamos outra função:

É aqui que as variáveis ​​se misturam. Além disso impossível de qualquer maneira expresse “Y” apenas por meio de “X”. Quais são esses métodos? Transferindo termos de parte para parte com mudança de sinal, tirando-os dos colchetes, jogando fatores de acordo com a regra da proporção, etc. Reescreva a igualdade e tente expressar o “y” explicitamente: . Você pode torcer e virar a equação por horas, mas não terá sucesso.

Deixe-me apresentar a você: - exemplo função implícita.

No decorrer da análise matemática foi provado que a função implícita existe(porém, nem sempre), possui um gráfico (assim como uma função “normal”). A função implícita é exatamente a mesma existe primeira derivada, segunda derivada, etc. Como se costuma dizer, todos os direitos das minorias sexuais são respeitados.

E nesta lição aprenderemos como determinar a derivada de uma função especificada implicitamente. Não é tão difícil! Todas as regras de diferenciação e a tabela de derivadas de funções elementares permanecem em vigor. A diferença está em um ponto peculiar, que veremos agora.

Sim, e vou lhe contar uma boa notícia: as tarefas discutidas abaixo são executadas de acordo com um algoritmo bastante rígido e claro, sem pedra na frente de três trilhas.

Exemplo 1

1) Na primeira etapa, aplicamos traços em ambas as partes:

2) Usamos as regras de linearidade da derivada (as duas primeiras regras da lição Como encontrar a derivada? Exemplos de soluções):

3) Diferenciação direta.
Como diferenciar é completamente claro. O que fazer onde há “jogos” sob os golpes?

Apenas ao ponto da desgraça a derivada de uma função é igual à sua derivada: .

Como diferenciar

Aqui temos função complexa. Por que? Parece que sob o seno existe apenas uma letra “Y”. Mas o fato é que só existe uma letra “y” - É UMA FUNÇÃO(veja a definição no início da lição). Assim, o seno é uma função externa e é uma função interna. Usamos a regra para diferenciar uma função complexa:

Diferenciamos o produto de acordo com a regra usual:

Observe que - também é uma função complexa, qualquer “jogo com sinos e assobios” é uma função complexa:

A solução em si deve ser mais ou menos assim:

Se houver colchetes, expanda-os:

4) No lado esquerdo coletamos os termos que contém um “Y” com primo. Mova todo o resto para o lado direito:

5) No lado esquerdo retiramos a derivada dos colchetes:

6) E de acordo com a regra da proporção, colocamos esses colchetes no denominador do lado direito:

A derivada foi encontrada. Preparar.

É interessante notar que qualquer função pode ser reescrita implicitamente. Por exemplo, a função pode ser reescrita assim: . E diferencie-o usando o algoritmo que acabamos de discutir. Na verdade, as frases “função implícita” e “função implícita” diferem em uma nuance semântica. A frase “função especificada na forma implícita” é mais geral e correta - esta função é especificada na forma implícita, mas aqui você pode expressar “jogo” e representar a função explicitamente. A frase “função implícita” refere-se à função implícita “clássica” quando o “y” não pode ser expresso.

Segunda solução

Atenção! Você só poderá se familiarizar com o segundo método se souber como encontrar derivadas parciais com segurança. Iniciantes e iniciantes no estudo da análise matemática, por favor, não leiam e pulem este ponto, caso contrário sua cabeça ficará uma bagunça completa.

Vamos encontrar a derivada da função implícita usando o segundo método.

Movemos todos os termos para o lado esquerdo:

E considere uma função de duas variáveis:

Então nossa derivada pode ser encontrada usando a fórmula

Vamos encontrar as derivadas parciais:

Por isso:

A segunda solução permite realizar uma verificação. Mas não é aconselhável que escrevam a versão final do trabalho, pois as derivadas parciais são dominadas posteriormente, e um aluno que estuda o tema “Derivada de uma função de uma variável” ainda não deve saber derivadas parciais.

Vejamos mais alguns exemplos.

Exemplo 2

Encontre a derivada de uma função dada implicitamente

Adicione traços a ambas as partes:

Usamos regras de linearidade:

Encontrando derivadas:

Abrindo todos os colchetes:

Movemos todos os termos C para o lado esquerdo, o resto - para o lado direito:

No lado esquerdo, colocamos fora dos colchetes:

Resposta final:

Exemplo 3

Encontre a derivada de uma função dada implicitamente

Solução completa e modelo de amostra no final da lição.

Não é incomum que surjam frações após a diferenciação. Nesses casos, você precisa se livrar das frações. Vejamos mais dois exemplos: cada termo de cada parte

Exemplo 5

Encontre a derivada de uma função dada implicitamente

Este é um exemplo para você resolver sozinho. A única coisa é que antes de se livrar da fração, primeiro você precisará se livrar da estrutura de três andares da própria fração. Solução completa e resposta no final da lição.