Definição de integral indefinida e propriedades elementares. Antiderivada e integral indefinida, suas propriedades. Métodos básicos de integração

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Reparação e limpeza

O conceito de integral indefinida. diferenciação é a operação pela qual uma dada função encontra sua derivada ou diferencial. Por exemplo, se F (x) \u003d x 10, então F "(x) \u003d 10x 9, dF (x) \u003d 10x 9 dx.

Integração - Este é o inverso da diferenciação. Integrando sobre uma dada derivada ou diferencial de uma função, a própria função é encontrada. Por exemplo, se F "(x) \u003d 7x 6, então F (x) \u003d\u003d x 7, pois (x 7)" \u003d 7x 6.

Função diferenciável F(x), хЄ]a; b[é chamado primitivo para a função f(x) no intervalo ]a; b[, se F" (x) = f (x) para cada xЄ]a; b[.

Portanto, para a função f (x) \u003d 1 / cos 3 x, a função F (x) \u003d tg x serve como uma antiderivada, pois (tg x) "= 1 / cos 2 x.

O conjunto de todas as funções antiderivadas f(x) no intervalo ]a; b[é chamado integral indefinida da função f(x) neste intervalo e escreva f(x)dx = F(x) + C. Aqui f(x)dx é o integrando;

F(x)-função integral; x-variável de integração: C - constante arbitrária.

Por exemplo, 5x 4 dx \u003d x 5 + C, já que (x 3 + C) "\u003d 5x 4.

Vamos trazer Propriedades básicas da integral indefinida. 1. O diferencial do integral indefinido é igual ao integrando:

Df(x)dx=f(x)dx.

2. A integral indefinida da diferencial de uma função é igual a esta função adicionada a uma constante arbitrária, ou seja,

3. O fator constante pode ser retirado do sinal da integral indefinida:

af(x)dx = af(x)dx

4. A integral indefinida da soma algébrica das funções é igual à soma algébrica das integrais indefinidas de cada função:

(f 1 (x) ± f 2 (x)) dx \u003d f 1 (x) dx ± f 2 (x) dx.

Fórmulas básicas de integração

(integrais tabulares).

Exemplo 1 Achar

Solução. Vamos fazer uma substituição 2 - Зх 2 = t então -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. A seguir, obtemos

Exemplo 3 Achar

Solução. Vamos colocar 10x = t; então 10dx = dt, de onde dx=(1/10)dt.

Então, ao encontrar sinl0xdx, você pode usar a fórmula sinkxdx = - (1/k) cos kx+C, onde k=10.

Então sinl0xdx = -(1/10) cos10x+C.

Perguntas e exercícios para auto-exame

1. Que ação é chamada de integração?

2. Que função é chamada de antiderivada para a função f(x)?

3. Dê a definição de integral indefinida.

4. Liste as principais propriedades da integral indefinida.

5. Que ação pode ser usada para verificar a integração?

6. Escreva as fórmulas básicas de integração (integrais de tabela).

7. Encontre as integrais: a) b) c)

onde a é o limite inferior, b é o limite superior, F (x) é alguma antiderivada da função f (x).

A partir desta fórmula pode-se ver o procedimento para calcular uma certa integral 1) encontrar uma das primitivas F(x) da função dada; 2) encontre o valor de F (x) em x = a e x = b; 3) calcule a diferença F(b) - F(a).

Exemplo 1 Calcular Integral

Solução. Vamos usar a definição do grau com um expoente fracionário e negativo e calcular a integral definida:

2. O segmento de integração pode ser dividido em partes:

3. O fator constante pode ser retirado do sinal integral:

4. A integral da soma das funções é igual à soma das integrais de todos os termos:

2) Vamos definir os limites de integração para a variável t. Em x=1 obtemos t n =1 3 +2=3, em x=2 obtemos t em =2 3 +2=10.

Exemplo 3 Calcular Integral

Solução. 1) coloque cos x=t; então - sinxdx = dt e

sinxdx = -dt. 2) Vamos definir os limites de integração para a variável t: t n =cos0=1:t in =cos (π/2)=0.

3) Expressando o integrando em termos de t e dt e passando para novos limites, obtemos

Calculamos cada integral separadamente:

Exemplo 5 Calcule a área da figura limitada pela parábola y \u003d x 2, linhas retas x \u003d - 1, x \u003d 2 e o eixo das abcissas (Fig. 47).

Solução. Aplicando a fórmula (1), obtemos

Essa. S = 3 m² unidades

A área da figura ABCD (Fig. 48), delimitada por gráficos funções contínuas y \u003d f 1 (x) e y f 2 \u003d (x), onde x Є [a, b], segmentos de linha x \u003d a e x \u003d b, é calculado pela fórmula





		O volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo Oy do trapézio curvilíneo aABb, limitado por uma curva contínua x \u003d f (y), onde y é [a, b], um segmento [a, b] do Oy eixo, segmentos de linha y \u003d a e y \u003d b (Fig. 53), é calculado pela fórmula O caminho percorrido pelo ponto. Se o ponto se move em linha reta e sua velocidade v = f(t) é uma função conhecida do tempo t, então o caminho percorrido pelo ponto no intervalo de tempo é calculado pela fórmula Perguntas para auto-exame 1. Dê a definição de uma integral definida. 2. Liste as principais propriedades de uma integral definida. 3. Qual é o significado geométrico de uma integral definida? 4. Escreva fórmulas para determinar a área de uma figura plana usando uma integral definida. 5. Que fórmulas são usadas para encontrar o volume de um corpo de revolução? 6. Escreva uma fórmula para calcular o caminho percorrido pelo corpo. 7. Escreva uma fórmula para calcular o trabalho de uma força variável. 8. Qual fórmula é usada para calcular a força de pressão de um líquido sobre um prato?

A integral é uma parte importante do cálculo diferencial. As integrais podem ser duplas, triplas, etc. Para encontrar a área de superfície e o volume corpos geométricos vários tipos de integrais são usados.

A integral indefinida é da forma: \(∫f (x)\, dx\) e a integral definida é da forma: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\)

A área do plano limitada pelo gráfico de uma integral definida:

As operações de integração são inversas à diferenciação. Por esta razão, devemos lembrar a antiderivada, função, tabela de derivadas.

A função \(F (x) = x^2\) é a primitiva da função \(f (x) = 2x\) . As funções \(f (x) = x^2+2\) e \(f (x) = x^2+7\) também são antiderivadas para a função \(f (x) = 2x\) . \(2\) e \(7-\) são constantes cujas derivadas são iguais a zero, então podemos substituí-las o quanto quisermos, o valor da antiderivada não mudará. Para escrever a integral indefinida usa-se o sinal \(∫\) . Integral indefinidaé a coleção de todas as primitivas da função \(f (x) = 2x\) . As operações de integração são inversas à diferenciação. \(∫2x = x^2+C\) , onde \(C\) é a constante de integração, ou seja, se calcularmos a derivada \(x^2\) , obtemos \(2x\) , e isso é \ (∫2x\) . Fácil, não é? Se você não entender, precisará repetir a derivada da função. Agora podemos derivar a fórmula pela qual calcularemos a integral: \(∫u^ndu=\frac(u^n+1) (n+1), n ≠ -1\). subtraímos 1, agora adicionamos 1 , n não pode ser 0. Existem também outras regras de integração para aprender outras funções básicas:

Resolver uma integral indefinida é o processo inverso de encontrar primitivas equação diferencial. Encontramos uma função cuja derivada é uma integral, e não se esqueça de adicionar "+ C" no final.

Os princípios do cálculo integral foram formulados independentemente por Isaac Newton e Gottfried Leibniz no final do século XVII. Bernhard Riemann deu uma definição matemática rigorosa de integrais. O primeiro método sistemático documentado capaz de determinar integrais é o método de cálculo do antigo astrônomo grego Eudoxo, que tentou encontrar áreas e volumes dividindo-os em um número infinito de áreas e volumes conhecidos. Este método foi desenvolvido e usado por Arquimedes no século III aC. e. e foi usado para calcular as áreas das parábolas e aproximar a área de um círculo.

Um método semelhante foi desenvolvido independentemente na China por volta do século 3 dC por Liu Hui, que o usou para encontrar a área de um círculo. Este método foi usado mais tarde no século 5 por pai e filho matemáticos chineses Zu Chongzhi e Zu Geng para encontrar o volume de uma esfera.

Os próximos desenvolvimentos significativos no cálculo integral não apareceram até o século XVII. Durante este tempo, o trabalho de Cavalieri e Fermat começou a lançar as bases para o cálculo moderno.

Em particular, o teorema fundamental do cálculo integral torna possível resolver uma classe muito mais ampla de problemas. De igual importância é a complexa estrutura matemática que Newton e Leibniz desenvolveram. Essa estrutura de integrais é retirada diretamente do trabalho de Leibniz e se tornou o cálculo integral moderno, modificado por Riemann usando limites. Posteriormente, foram consideradas funções mais gerais, especialmente no contexto da análise de Fourier, às quais a definição de Riemann não se aplica. Lebesgue formulou outra definição da integral baseada na teoria da medida (um subcampo da análise real).

A notação moderna para a integral indefinida foi introduzida por Gottfried Leibniz em 1675.

As integrais são amplamente utilizadas em muitas áreas da matemática. Por exemplo, na teoria da probabilidade, as integrais são usadas para determinar a probabilidade de que alguma variável aleatória caia dentro de um determinado intervalo.

As integrais podem ser usadas para calcular a área de uma região 2D com um limite curvo, bem como para calcular o volume de um objeto 3D com um limite curvo.

As integrais são usadas em física, em áreas como cinemática, para encontrar deslocamento, tempo e velocidade.

Função antiderivada e integral indefinida

Fato 1. A integração é o oposto da diferenciação, ou seja, a restauração de uma função da derivada conhecida dessa função. A função restaurada desta forma F(x) é chamado primitivo para função f(x).

Definição 1. Função F(x f(x) em algum intervalo X, se para todos os valores x deste intervalo a igualdade F "(x)=f(x), isso é determinada função f(x) é a derivada da função antiderivada F(x). .

Por exemplo, a função F(x) = pecado x é a primitiva da função f(x) = co x em toda a reta numérica, pois para qualquer valor de x (pecado x)" = (cos x) .

Definição 2. Integral indefinido de uma função f(x) é a coleção de todas as suas primitivas. Isso usa a notação

∫

f(x)dx

onde está o sinal ∫ é chamado de sinal de integral, a função f(x) é um integrando e f(x)dx é o integrando.

Assim, se F(x) é alguma primitiva de f(x) , então

∫

f(x)dx = F(x) +C

Onde C - constante arbitrária (constante).

Para entender o significado do conjunto de primitivas de uma função como uma integral indefinida, a seguinte analogia é apropriada. Que haja uma porta (uma porta de madeira tradicional). Sua função é "ser uma porta". De que é feita a porta? De uma árvore. Isso significa que o conjunto de primitivas do integrando "ser uma porta", ou seja, sua integral indefinida, é a função "ser uma árvore + C", onde C é uma constante, que neste contexto pode denotar, por exemplo, uma espécie de árvore. Assim como uma porta é feita de madeira com algumas ferramentas, a derivada de uma função é "feita" da função antiderivada com fórmula que aprendemos estudando a derivada .

Então a tabela de funções de objetos comuns e suas primitivas correspondentes ("ser uma porta" - "ser uma árvore", "ser uma colher" - "ser um metal", etc.) integrais indefinidas básicas, que serão dadas abaixo. A tabela de integrais indefinidas lista funções comuns, indicando as primitivas das quais essas funções são "feitas". Como parte dos problemas de encontrar uma integral indefinida, são dados tais integrandos que podem ser integrados diretamente sem esforços especiais, ou seja, de acordo com a tabela de integrais indefinidas. Em problemas mais complexos, o integrando deve primeiro ser transformado para que as integrais tabulares possam ser usadas.

Fato 2. Restaurando uma função como uma antiderivada, devemos levar em conta uma constante arbitrária (constante) C, e para não escrever uma lista de primitivas com diferentes constantes de 1 a infinito, você precisa escrever um conjunto de primitivas com uma constante arbitrária C, assim: 5 x³+C. Assim, uma constante arbitrária (constante) é incluída na expressão da antiderivada, pois a antiderivada pode ser uma função, por exemplo, 5 x³+4 ou 5 x³+3 e ao diferenciar 4 ou 3 ou qualquer outra constante desaparece.

Colocamos o problema de integração: para uma dada função f(x) encontre tal função F(x), cuja derivadaé igual a f(x).

Exemplo 1 Encontre o conjunto de primitivas de uma função

Solução. Para esta função, a primitiva é a função

Função F(x) é chamada de antiderivada para a função f(x) se a derivada F(x) é igual a f(x), ou, o que é a mesma coisa, o diferencial F(x) é igual a f(x) dx, ou seja

(2)

Portanto, a função é antiderivada para a função . No entanto, não é a única antiderivada para . Também são funções

Onde A PARTIR DEé uma constante arbitrária. Isso pode ser verificado por diferenciação.

Assim, se existe uma primitiva para uma função, então para ela existe um conjunto infinito de primitivas que diferem por uma soma constante. Todas as primitivas de uma função são escritas na forma acima. Isso decorre do seguinte teorema.

Teorema (enunciado formal do fato 2). Se um F(x) é a primitiva da função f(x) em algum intervalo X, então qualquer outra primitiva para f(x) no mesmo intervalo pode ser representado como F(x) + C, Onde A PARTIR DEé uma constante arbitrária.

No exemplo a seguir, já nos voltamos para a tabela de integrais, que será dada no parágrafo 3, após as propriedades da integral indefinida. Fazemos isso antes de nos familiarizarmos com toda a tabela, para que a essência do acima fique clara. E depois da tabela e das propriedades, vamos usá-las em sua totalidade na integração.

Exemplo 2 Encontre conjuntos de primitivas:

Solução. Encontramos conjuntos de funções antiderivadas dos quais essas funções são "feitas". Ao mencionar fórmulas da tabela de integrais, por enquanto, apenas aceite que existem tais fórmulas, e estudaremos a tabela de integrais indefinidas na íntegra um pouco mais.

1) Aplicando a fórmula (7) da tabela de integrais para n= 3, obtemos

2) Usando a fórmula (10) da tabela de integrais para n= 1/3, temos

3) Desde

então de acordo com a fórmula (7) em n= -1/4 encontrar

Sob o sinal de integral, eles não escrevem a função em si f, e seu produto pelo diferencial dx. Isso é feito principalmente para indicar qual variável a primitiva está sendo pesquisada. Por exemplo,

, ;

aqui em ambos os casos o integrando é igual a , mas suas integrais indefinidas nos casos considerados são diferentes. No primeiro caso, esta função é considerada como uma função de uma variável x, e no segundo - em função de z .

O processo de encontrar a integral indefinida de uma função é chamado de integração dessa função.

O significado geométrico da integral indefinida

Seja necessário encontrar uma curva y=F(x) e já sabemos que a tangente da inclinação da tangente em cada um de seus pontos é determinada função f(x) abscissa deste ponto.

De acordo com sentido geométrico derivada, tangente da inclinação da tangente em um determinado ponto na curva y=F(x) igual ao valor da derivada F"(x). Então, precisamos encontrar tal função F(x), para qual F"(x)=f(x). Função necessária na tarefa F(x)é derivado de f(x). A condição do problema é satisfeita não por uma curva, mas por uma família de curvas. y=F(x)- uma dessas curvas, e qualquer outra curva pode ser obtida a partir dela transferência paralela ao longo do eixo Oi.

Vamos chamar o gráfico da função antiderivada de f(x) curva integral. Se um F"(x)=f(x), então o gráfico da função y=F(x)é uma curva integral.

Fato 3. A integral indefinida é representada geometricamente pela família de todas as curvas integrais como na imagem abaixo. A distância de cada curva da origem é determinada por uma constante arbitrária (constante) de integração C.

Propriedades da integral indefinida

Fato 4. Teorema 1. A derivada de uma integral indefinida é igual ao integrando, e sua diferencial é igual ao integrando.

Fato 5. Teorema 2. A integral indefinida da diferencial de uma função f(x) é igual à função f(x) até um termo constante , ou seja

(3)

Os teoremas 1 e 2 mostram que a diferenciação e a integração são operações mutuamente inversas.

Fato 6. Teorema 3. O fator constante no integrando pode ser retirado do sinal da integral indefinida , ou seja

Uma função restaurada de sua derivada ou diferencial é chamada primitivo.

Definição. Função F(x) chamado primitivo para função

f(x) em algum intervalo, se em cada ponto desse intervalo

F"(x) = f(x)

ou, que também é

dF(x) = f(x)dx

Por exemplo, F(x) = sen xé um protótipo para f(x) = cos x na reta numérica inteira OX, Porque

(sen x)" = cos x

Se a função F(x) existe uma primitiva para a função f(x) no [ uma; b], então a função F(x) + C, Onde C qualquer número real também é uma antiderivada para f(x) para qualquer valor C. Sério ( F(x) + C)" = F"(x) + C" = f(x).

Exemplo.

Definição. Se um F(x) uma das primitivas da função f(x) no [ uma; b], então a expressão F(x) + C, Onde C constante arbitrária é chamada integral indefinida da função f(x) e é indicado pelo símbolo ʃ f(x)dx(leia-se: integral indefinida de f(x) no dx). Então,

ʃ f (x ) dx=F (x ) +C ,

Onde f(x)é chamado de integrando, f(x)dx- integrando, xé a variável de integração, e o símbolo ʃ é o sinal da integral indefinida.

Propriedades da integral indefinida e suas propriedades geométricas.

Da definição de integral indefinida segue que:

1. A derivada da integral indefinida é igual ao integrando:

Sério, F"(x) = f(x) e ʃ f(x)dx=F(x)+C. Então

2. O diferencial do integral indefinido é igual ao integrando

Sério,

3. A integral indefinida da derivada é igual à própria função mais uma constante arbitrária:

Sério, F"(x) = f(x). Então,

4. A integral indefinida do diferencial é igual à função diferenciável mais uma constante arbitrária:

Sério, . Então,

5. Multiplicador constante k(k≠ 0) pode ser retirado do sinal da integral indefinida:

6. A integral indefinida da soma algébrica de um número finito de funções é igual à soma algébrica das integrais dessas funções:

Vamos chamar o gráfico de primitivo F(x) da curva integral. Gráfico de qualquer outra antiderivada F(x) + Cé obtido por translação paralela da curva integral F(x) ao longo do eixo OY.

Exemplo.

Tabela de integrais básicas

Técnicas Básicas de Integração

1. Integração direta (tabular).

A integração direta (tabular) é a redução de uma integral para uma forma tabular usando as propriedades e fórmulas básicas da matemática elementar.

Exemplo 1

Solução:

Exemplo2 .

Solução:

Exemplo3 .

Solução:

2. O método de trazer sob o diferencial.

Exemplo 1

Solução:

Exemplo2 .

Solução:

Exemplo3 .

Solução:

Exemplo4 .

Solução:

Exemplo5 .

Solução:

Exemplo6 .

Solução:

Exemplo7 .

Solução:

Exemplo8 .

Solução:

Exemplo9 .

Solução:

Exemplo10 .

Solução:

3. A segunda maneira de trazer o diferencial.

Exemplo 1

Solução:

Exemplo2 .

Solução:

4. Método de substituição de variáveis (substituição).

Exemplo.

Solução:

5. Método de integração por partes.

De acordo com esta fórmula, os seguintes tipos de integrais são tomados:

1 tipo.

, fórmula aplicada n‒ uma vez, o resto DVD.

2 tipo de.

, a fórmula é aplicada uma vez.

Exemplo1 .

Solução:

Exemplo 2

Solução:

Exemplo3 .

Solução:

Exemplo4 .

Solução:

INTEGRAÇÃO DE FRAÇÕES RACIONAIS.

Fração racional é a razão de dois polinômios - graus m e ‒ graus n,

Os seguintes casos são possíveis:

1. Se , então o método de divisão por um ângulo é usado para excluir a parte inteira.

2. Se o denominador também tiver um trinômio quadrado, então é usado o método de complementar para um quadrado completo.

Exemplo 1

Solução:

Exemplo2 .

Solução:

3. O método dos coeficientes indefinidos na expansão de uma fração racional regular em uma soma de frações simples.

Qualquer fração racional própria , onde, pode ser representada como uma soma de frações simples:

Onde A, B, C, D, E, F, M, N,…‒ coeficientes indefinidos.

Para encontrar os coeficientes indefinidos, o lado direito deve ser reduzido a um denominador comum. Como o denominador coincide com o denominador da fração do lado direito, eles podem ser descartados e os numeradores equalizados. Então, igualando os coeficientes nas mesmas potências x nos lados esquerdo e direito, obtemos um sistema de equações lineares com n- desconhecido. Resolvendo este sistema, encontramos os coeficientes desejados UMA, B, C, D e assim por diante. E, portanto, decompomos a fração racional própria em frações simples.

Vejamos as opções possíveis com exemplos:

1. Se os fatores do denominador forem lineares e diferentes: