Um sinal necessário e suficiente de um extremo. Extremos de uma função. Um sinal necessário de um extremo. Um sinal suficiente de um extremo usando a primeira e a segunda derivadas. Condições suficientes para uma função aumentar e diminuir

Informações muito importantes sobre o comportamento de uma função são fornecidas pelos intervalos crescentes e decrescentes. Encontrá-los faz parte do processo de examinar a função e traçar o gráfico. Além disso, os pontos extremos em que há uma mudança de aumento para diminuição ou de diminuição para aumento recebem atenção especial ao encontrar os maiores e menores valores da função em um determinado intervalo.

Neste artigo daremos as definições necessárias, formularemos evidência suficiente o aumento e a diminuição de uma função num intervalo e condições suficientes para a existência de um extremo, aplicaremos toda esta teoria na resolução de exemplos e problemas.

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Função crescente e decrescente em um intervalo.

Definição de uma função crescente.

A função y=f(x) aumenta no intervalo X se for qualquer e a desigualdade se mantém. Em outras palavras, um valor de argumento maior corresponde a um valor de função maior.

Definição de uma função decrescente.

A função y=f(x) diminui no intervalo X se for qualquer e a desigualdade se mantém . Em outras palavras, um valor maior do argumento corresponde a um valor menor da função.

NOTA: se a função for definida e contínua nas extremidades do intervalo crescente ou decrescente (a;b), ou seja, em x=a e x=b, então esses pontos estão incluídos no intervalo crescente ou decrescente. Isso não contradiz as definições de uma função crescente e decrescente no intervalo X.

Por exemplo, a partir das propriedades do principal funções elementares sabemos que y=sinx é definido e contínuo para todos os valores reais do argumento. Portanto, a partir do aumento da função seno no intervalo, podemos afirmar que ela aumenta no intervalo.

Pontos extremos, extremos de uma função.

O ponto é chamado ponto máximo função y=f(x) se a desigualdade for verdadeira para todo x em sua vizinhança. O valor da função no ponto máximo é chamado máximo da função e denotar.

O ponto é chamado ponto mínimo função y=f(x) se a desigualdade for verdadeira para todo x em sua vizinhança. O valor da função no ponto mínimo é chamado função mínima e denotar.

A vizinhança de um ponto é entendida como o intervalo , onde é um número positivo suficientemente pequeno.

Os pontos mínimo e máximo são chamados pontos extremos, e os valores da função correspondentes aos pontos extremos são chamados extremos da função.

Não confunda os extremos de uma função com o maior e valor mais baixo funções.

Na primeira foto valor mais alto a função no segmento é alcançada no ponto máximo e é igual ao máximo da função, e na segunda figura - o valor máximo da função é alcançado no ponto x=b, que não é o ponto máximo.

Condições suficientes para funções crescentes e decrescentes.

Com base em condições suficientes (sinais) para o aumento e diminuição de uma função, são encontrados intervalos de aumento e diminuição da função.

Aqui estão as formulações dos sinais de funções crescentes e decrescentes em um intervalo:

• se a derivada da função y=f(x) for positiva para qualquer x do intervalo X, então a função aumenta em X;
• se a derivada da função y=f(x) for negativa para qualquer x do intervalo X, então a função diminui em X.

Assim, para determinar os intervalos de aumento e diminuição de uma função, é necessário:

Vamos considerar um exemplo de como encontrar os intervalos de funções crescentes e decrescentes para explicar o algoritmo.

Exemplo.

Encontre os intervalos da função crescente e decrescente.

Solução.

O primeiro passo é encontrar o domínio de definição da função. No nosso exemplo, a expressão no denominador não deve ir a zero, portanto, .

Vamos prosseguir para encontrar a derivada da função:

Para determinar os intervalos de aumento e diminuição de uma função com base em um critério suficiente, resolvemos desigualdades no domínio de definição. Vamos usar uma generalização do método intervalar. A única raiz real do numerador é x = 2, e o denominador vai para zero em x=0. Esses pontos dividem o domínio de definição em intervalos nos quais a derivada da função mantém seu sinal. Vamos marcar esses pontos na reta numérica. Denotamos convencionalmente por mais e menos os intervalos em que a derivada é positiva ou negativa. As setas abaixo mostram esquematicamente o aumento ou diminuição da função no intervalo correspondente.

Por isso, E .

No ponto A função x=2 é definida e contínua, portanto deve ser adicionada aos intervalos crescentes e decrescentes. No ponto x=0 a função não está definida, portanto não incluímos este ponto nos intervalos requeridos.

Apresentamos um gráfico da função para comparar os resultados obtidos com ela.

Responder:

A função aumenta com , diminui no intervalo (0;2] .

Condições suficientes para o extremo de uma função.

Para encontrar os máximos e mínimos de uma função, você pode usar qualquer um dos três sinais de extremo, é claro, se a função satisfizer suas condições. O mais comum e conveniente é o primeiro deles.

A primeira condição suficiente para um extremo.

Seja a função y=f(x) diferenciável na vizinhança do ponto e contínua no próprio ponto.

Em outras palavras:

Algoritmo para encontrar pontos extremos baseado no primeiro sinal de extremo de uma função.

• Encontramos o domínio de definição da função.
• Encontramos a derivada da função no domínio de definição.
• Determinamos os zeros do numerador, os zeros do denominador da derivada e os pontos do domínio de definição em que a derivada não existe (todos os pontos listados são chamados pontos de possível extremo, passando por esses pontos, a derivada pode simplesmente mudar de sinal).
• Esses pontos dividem o domínio de definição da função em intervalos nos quais a derivada mantém seu sinal. Determinamos os sinais da derivada em cada um dos intervalos (por exemplo, calculando o valor da derivada de uma função em qualquer ponto de um intervalo específico).
• Selecionamos pontos nos quais a função é contínua e, passando pelos quais, a derivada muda de sinal - esses são os pontos extremos.

Existem muitas palavras, vamos dar uma olhada em alguns exemplos de como encontrar pontos extremos e extremos de uma função usando a primeira condição suficiente para o extremo de uma função.

Exemplo.

Encontre os extremos da função.

Solução.

O domínio de uma função é todo o conjunto dos números reais, exceto x=2.

Encontrando a derivada:

Os zeros do numerador são os pontos x=-1 e x=5, o denominador vai para zero em x=2. Marque esses pontos no eixo numérico

Determinamos os sinais da derivada em cada intervalo; para isso, calculamos o valor da derivada em qualquer um dos pontos de cada intervalo, por exemplo, nos pontos x=-2, x=0, x=3 e x=6.

Portanto, no intervalo a derivada é positiva (na figura colocamos um sinal de mais neste intervalo). Da mesma maneira

Portanto, colocamos menos acima do segundo intervalo, menos acima do terceiro e mais acima do quarto.

Resta escolher os pontos nos quais a função é contínua e sua derivada muda de sinal. Esses são os pontos extremos.

No ponto x=-1 a função é contínua e a derivada muda de sinal de mais para menos, portanto, de acordo com o primeiro sinal do extremo, x=-1 é o ponto máximo, o máximo da função corresponde a ele .

No ponto x=5 a função é contínua e a derivada muda de sinal de menos para mais, portanto, x=-1 é o ponto mínimo, o mínimo da função corresponde a ele .

Ilustração gráfica.

Responder:

ATENÇÃO: o primeiro critério suficiente para um extremo não requer diferenciabilidade da função no próprio ponto.

Exemplo.

Encontre pontos extremos e extremos da função .

Solução.

O domínio de uma função é todo o conjunto dos números reais. A função em si pode ser escrita como:

Vamos encontrar a derivada da função:

No ponto x=0 a derivada não existe, pois os valores dos limites unilaterais não coincidem quando o argumento tende a zero:

Ao mesmo tempo, a função original é contínua no ponto x=0 (veja a seção sobre o estudo da função para continuidade):

Vamos encontrar o valor do argumento no qual a derivada vai para zero:

Vamos marcar todos os pontos obtidos na reta numérica e determinar o sinal da derivada em cada um dos intervalos. Para fazer isso, calculamos os valores da derivada em pontos arbitrários de cada intervalo, por exemplo, em x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Aquilo é,

Assim, de acordo com o primeiro sinal de um extremo, os pontos mínimos são , os pontos máximos são .

Calculamos os mínimos correspondentes da função

Calculamos os máximos correspondentes da função

Ilustração gráfica.

Responder:

.

O segundo sinal de um extremo de uma função.

Como você pode ver, este sinal de extremo de uma função requer a existência de uma derivada de pelo menos segunda ordem no ponto.

Para examinar o comportamento da função, você precisa:

2) Iguale esta derivada a zero e resolva a equação resultante
Suas raízes
são pontos estacionários.

3) Submeter pontos estacionários a pesquisas adicionais, para isso plote-os no eixo numérico e determine os sinais
nas áreas resultantes. Conhecendo esses sinais, você pode determinar a natureza de cada ponto estacionário .
Se, ao passar por um ponto estacionário, a derivada
muda o sinal de mais para menos, então o ponto estacionário é o ponto máximo. Se, ao passar por um ponto estacionário, o sinal da derivada mudar de menos para mais, então o ponto estacionário é um ponto mínimo. Se, ao passar por um ponto estacionário, a derivada

não muda de sinal, então o ponto estacionário não é um ponto extremo.

Às vezes, ao encontrar extremos, são utilizadas outras condições suficientes, nas quais a natureza do ponto extremo é determinada pelo sinal da segunda derivada no ponto estacionário. Teorema (segunda condição suficiente para a existência de um extremo). --- ponto estacionário da função
(aquilo é E tem uma segunda derivada , contínuo na vizinhança do ponto

.Então
1) se , Que ;

--- ponto máximo da função
1) se 2) se

--- ponto mínimo da função.

Exemplo 3. Encontre o extremo da função.
Solução. Porque
, basta considerar apenas o intervalo de 0 a
. Nós vamos encontrar
(aquilo é
:

,
.

Equacionando
a zero, encontramos pontos estacionários:

ou
. Entre
existem duas raízes desta equação:
(aquilo é
. Vamos definir o sinal
nestes pontos:
, por isso
--- ponto máximo:

, por isso
--- ponto mínimo.

Estudo de funções de convexidade e concavidade. Pontos de inflexão

Consideremos a curva Г no plano, que é o gráfico da função diferenciável
.

Definição 1. Diz-se que uma curva é convexa para cima (convexa) em (a,b) se neste intervalo todos os pontos da curva não estiverem acima de qualquer uma de suas tangentes.

Definição 2. A curva é chamada de convexa para baixo (côncava) em
, se neste intervalo todos os pontos da curva não estiverem abaixo de nenhuma de suas tangentes.

A direção da convexidade de uma curva é uma característica importante de sua forma. Estabeleçamos os critérios com os quais determinamos os intervalos em que o gráfico da função é convexo (côncavo). Tal sinal é, por exemplo, o sinal da segunda derivada da função
(se existir).

Teorema 1.
segunda derivada da função é negativo, então a curva
convexo para cima neste intervalo.

Teorema 2. Se em todos os pontos do intervalo
segunda derivada da função
é positivo, então a curva
neste intervalo é côncavo (convexo para baixo).

Exemplo 1. Encontre os intervalos convexo-côncavos de uma função

Solução. No

portanto, a função para estes convexo; no

, portanto, para estes a função é côncava.

Definição 3. O ponto que separa a parte convexa da curva da parte côncava é denominado ponto de inflexão.

É óbvio que no ponto de inflexão a tangente, se existir, intercepta a curva, pois de um lado deste ponto a curva fica abaixo da tangente, e do outro lado - acima dela.

Teorema 3. (Condição necessária para inflexão). Se existe um ponto de inflexão da curva
e tem uma segunda derivada
Que
.

Daí resulta que é necessário verificar a inflexão apenas nos pontos em que a segunda derivada é igual a zero ou não existe.

Teorema 4. Se, ao passar por um ponto segunda derivada
muda de sinal, então o ponto da curva
com abscissa há um ponto de inflexão.

Exemplo 2. Encontre os pontos de inflexão da curva
.

Solução. Faixa de valores aceitáveis:
.

Encontrando derivadas:

;
.

Segunda derivada não desaparece em lugar nenhum, mas quando
não existe.

Vamos definir os sinais
à esquerda e à direita do ponto
:

no
, portanto no intervalo
a função é côncava;

no
, portanto no intervalo
a função é convexa.

Assim, quando
há um ponto de inflexão
.

Teorema (a primeira condição suficiente para um extremo). Seja a função contínua em um ponto e a derivada mude de sinal ao passar pelo ponto. Então é o ponto extremo: máximo se o sinal mudar de “+” para “–”, e mínimo se de “–” para “+”.

Prova. Deixe em e em .

De acordo com o teorema de Lagrange , onde .Então se , então ; é por isso , por isso, , ou . Se, então; é por isso , por isso, ou .

Assim, está provado que em qualquer ponto próximo, ou seja, – o ponto máximo da função.

A prova do teorema do ponto mínimo é realizada de forma semelhante. O teorema está provado.

Se, ao passar por um ponto, a derivada não muda de sinal, então não há extremo no ponto.

Teorema (segunda condição suficiente para extremo). Seja a derivada de uma função duas vezes diferenciável em um ponto igual a 0 (), e sua segunda derivada neste ponto seja diferente de zero () e contínua em alguma vizinhança do ponto. Então é o ponto extremo; neste é o ponto mínimo e neste é o ponto máximo.

Um algoritmo para encontrar extremos de uma função usando a primeira condição suficiente para um extremo.

1. Encontre a derivada.

2. Encontre os pontos críticos da função.

3. Investigue o sinal da derivada à esquerda e à direita de cada ponto crítico e tire uma conclusão sobre a presença de extremos.

4. Encontre os valores extremos da função.

Um algoritmo para encontrar extremos de uma função usando a segunda condição suficiente para um extremo.

1. Encontre a derivada.

2. Encontre a segunda derivada.

3. Encontre os pontos em que .

4. Determine o sinal nesses pontos.

5. Tire uma conclusão sobre a existência e natureza dos extremos.

6. Encontre os valores extremos da função.

Exemplo. Vamos considerar . Nós vamos encontrar . A seguir, em e em . Estudemos os pontos críticos usando a primeira condição suficiente para o extremo. Temos isso para e para, e para. Nos pontos e a derivada muda de sinal: at de “+” para “–” e at de “–” para “+”. Isto significa que num ponto a função tem um máximo e num ponto tem um mínimo; . Para efeito de comparação, estudamos os pontos críticos usando a segunda condição suficiente para o extremo. Vamos encontrar a segunda derivada. Temos: , e isso significa que em um ponto a função tem um máximo e em um ponto ela tem um mínimo.

O conceito de assíntota de um gráfico de função. Assíntotas horizontais, oblíquas e verticais. Exemplos.

Definição. Uma assíntota do gráfico de uma função é uma reta que tem a propriedade de que a distância de um ponto a essa reta tende a zero à medida que o ponto do gráfico se move indefinidamente a partir da origem.

Existem assíntotas verticais (Fig. 6.6 a), horizontais (Fig. 6.6 b) e inclinadas (Fig. 6.6 c).

Na Fig. 6.6a é mostrado assíntota vertical.

Na Fig. 6.6b - assíntota horizontal.

Na Fig. 6,6v – assíntota oblíqua.

Teorema 1. Em pontos de assíntotas verticais (por exemplo, ) a função sofre uma descontinuidade, seu limite à esquerda e à direita do ponto é igual a:

Teorema 2. Deixe a função ser definida para suficientemente grande e há limites finitos

E .

Então a reta é a assíntota oblíqua do gráfico da função.

Teorema 3. Deixe a função ser definida como suficientemente grande e há um limite da função. Então a reta é a assíntota horizontal do gráfico da função.

A assíntota horizontal é um caso especial da assíntota oblíqua, quando. Portanto, se em qualquer direção uma curva tem uma assíntota horizontal, então nesta direção não há inclinação e vice-versa.

Exemplo. Encontre as assíntotas do gráfico da função.

Solução. No ponto em que a função não está definida, vamos encontrar os limites da função à esquerda e à direita do ponto:

; .

Portanto, é uma assíntota vertical.

Esquema geral pesquisa de funções e construção de seus gráficos. Exemplo.

Esquema geral de pesquisa funcional e traçando isso.

1. Encontre o domínio de definição.

2. Investigue a função de paridade - estranheza.

3. Encontre assíntotas verticais e pontos de descontinuidade (se houver).

4. Investigar o comportamento de uma função no infinito; encontre assíntotas horizontais e oblíquas (se houver).

5. Encontre extremos e intervalos de monotonicidade da função.

6. Encontre os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados e, se necessário para a construção esquemática do gráfico, encontre pontos adicionais.

7. Desenhe um gráfico esquematicamente.

Diagrama detalhado estudos de função e plotando .

1. Encontre o domínio de definição .

um. Se y tiver um denominador, ele não deverá ir para 0.

b. A expressão radical de uma raiz de grau par deve ser não negativa (maior ou igual a zero).

c. A expressão do sublog deve ser positiva.

2. Investigue a função de paridade - estranheza.

um. Se , então a função é par.

b. Se , então a função é ímpar.

c. Se nem, nem , então é uma função de forma geral.

3. Encontre assíntotas verticais e pontos de descontinuidade (se houver).

um. Uma assíntota vertical só pode surgir no limite do domínio de definição da função.

b. Se (ou), então é a assíntota vertical do gráfico.

4. Investigue o comportamento de uma função no infinito; encontre assíntotas horizontais e oblíquas (se houver).

um. Se , então é a assíntota horizontal do gráfico.

b. Se e , então a linha reta é a assíntota inclinada do gráfico.

c. Se os limites indicados nos parágrafos a, b existem apenas quando unilateral tende ao infinito (ou ), então as assíntotas resultantes serão unilaterais: canhoto em e destro quando .

5. Encontre extremos e intervalos de monotonicidade da função.

um. Encontre a derivada.

b. Encontre pontos críticos (aqueles pontos onde ou onde não existe).

c. No eixo dos números, marque o domínio de definição e seus pontos críticos.

d. Em cada um dos intervalos numéricos resultantes, determine o sinal da derivada.

e. Com base nos sinais da derivada, tire uma conclusão sobre a presença de extremos em y e seu tipo.

f. Encontre valores extremos.

g. Com base nos sinais da derivada, tire conclusões sobre aumento e diminuição.

6. Encontre os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados e, se necessário para a plotagem esquemática do gráfico, encontre pontos adicionais.

um. Para encontrar os pontos de intersecção do gráfico com o eixo, é necessário resolver a equação. Os pontos onde estão zeros serão os pontos de intersecção do gráfico com o eixo.

b. O ponto de intersecção do gráfico com o eixo se parece com . Existe apenas se o ponto estiver dentro do domínio da função.

8. Desenhe esquematicamente um gráfico.

um. Construa um sistema de coordenadas e assíntotas.

b. Marque os pontos extremos.

c. Marque os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados.

d. Construa esquematicamente um gráfico para que ele passe pelos pontos marcados e se aproxime das assíntotas.

Exemplo. Explore a função e construa esquematicamente seu gráfico.

2. – função de forma geral.

3. Como e , então as retas e são assíntotas verticais; pontos são pontos de interrupção. , quando não está incluído no domínio de definição da função

Para encontrar os máximos e mínimos de uma função, você pode usar qualquer um dos três sinais suficientes de um extremo. Embora o mais comum e conveniente seja o primeiro.

A primeira condição suficiente para um extremo.

Deixe a função y =f(x)é diferenciável em uma vizinhança do ponto e é contínuo no próprio ponto. Então

Em outras palavras:

Algoritmo.

• Encontramos o domínio de definição da função.

Encontramos a derivada da função no domínio de definição.

Determinamos os zeros do numerador, os zeros do denominador da derivada e os pontos do domínio de definição nos quais a derivada não existe (esses pontos são chamados pontos de possível extremo, passando por esses pontos, a derivada pode simplesmente mudar de sinal).

Esses pontos dividem o domínio de definição da função em intervalos nos quais a derivada mantém seu sinal. Determinamos os sinais da derivada em cada um dos intervalos (por exemplo, calculando o valor da derivada de uma função em qualquer ponto de um intervalo específico).

Selecionamos pontos nos quais a função é contínua e, passando pelos quais, a derivada muda de sinal.

Exemplo. Encontre os extremos da função.
Solução.
O domínio de uma função é todo o conjunto dos números reais, exceto x = 2.
Encontrando a derivada:

Os zeros do numerador são pontos x = -1 E x = 5, o denominador vai para zero em x = 2. Marque esses pontos no eixo numérico

Determinamos os sinais da derivada em cada intervalo, para isso calculamos o valor da derivada em qualquer um dos pontos de cada intervalo, por exemplo, nos pontos; x = -2, x = 0, x = 3 E x=6.

Portanto, no intervalo a derivada é positiva (na figura colocamos um sinal de mais neste intervalo). Da mesma maneira

Portanto, colocamos menos acima do segundo intervalo, menos acima do terceiro e mais acima do quarto.

Resta selecionar os pontos nos quais a função é contínua e sua derivada muda de sinal. Esses são os pontos extremos.
No ponto x = -1 a função é contínua e a derivada muda de sinal de mais para menos, portanto, de acordo com o primeiro sinal de um extremo, x = -1é o ponto máximo; o máximo da função lhe corresponde.
No ponto x = 5 a função é contínua e a derivada muda de sinal de menos para mais, portanto, x = -1é o ponto mínimo; corresponde ao mínimo da função.
Ilustração gráfica.

Responder: .

O segundo sinal suficiente de um extremo de uma função.
Deixar

se , então é o ponto mínimo;

se , então é o ponto máximo.

Como você pode ver, este critério exige a existência de uma derivada pelo menos até a segunda ordem no ponto .
Exemplo. Encontre os extremos da função.
Solução.
Vamos começar com o domínio de definição:

Vamos diferenciar a função original:

A derivada vai para zero em x = 1, ou seja, este é um ponto de extremo possível.
Encontramos a segunda derivada da função e calculamos seu valor em x = 1:Além disso,

A função y = f(x) é chamada aumentando (diminuindo) em um determinado intervalo, se para x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Se a função diferenciável y = f(x) aumenta (diminui) em um intervalo, então sua derivada neste intervalo f " (x) > 0

(f"(x)< 0).

Ponto xó chamado ponto máximo local (mínimo) função f(x), se existe uma vizinhança do ponto xó, para todos os pontos dos quais a desigualdade f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) é verdadeira.

Os pontos máximo e mínimo são chamados pontos extremos, e os valores da função nesses pontos são seus extremos.

Pré-requisitos extremo. Se o ponto xóé um ponto extremo da função f(x), então f " (x o) = 0, ou f (x o) não existe. Esses pontos são chamados crítico, e a própria função é definida no ponto crítico. Os extremos de uma função devem ser procurados entre os seus pontos críticos.

A primeira condição suficiente. Deixar xó- ponto crítico. Se f "(x) ao passar por um ponto xó muda o sinal de mais para menos, então no ponto xó a função tem máximo, caso contrário tem mínimo. Se, ao passar pelo ponto crítico, a derivada não muda de sinal, então no ponto xó não há extremo.

Segunda condição suficiente. Deixe a função f(x) ter uma derivada
f "(x) nas proximidades do ponto xó e a segunda derivada no próprio ponto xó. Se f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка xóé o ponto mínimo (máximo) local da função f(x). Se =0, então você precisa usar a primeira condição suficiente ou usar derivadas superiores.

Em um segmento, a função y = f(x) pode atingir seu valor mínimo ou máximo em pontos críticos ou nas extremidades do segmento.

Estudando condições e traçando gráficos.

Encontre o domínio de uma função

Encontre os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados

Encontre intervalos do sinal de constância

Examine se há uniformidade, estranheza

Encontre assíntotas do gráfico de uma função

Encontre intervalos de monotonicidade de uma função

Encontre os extremos da função

Encontre intervalos de convexidade e pontos de inflexão

Assíntotas de gráficos de funções. Esquema geral para estudo e construção de gráficos de funções. Exemplos.

Vertical

Assíntota vertical - uma linha reta, sujeita à existência de um limite .

Via de regra, ao determinar a assíntota vertical, procuram não um limite, mas dois unilaterais (esquerdo e direito). Isso é feito para determinar como a função se comporta ao se aproximar da assíntota vertical em diferentes direções. Por exemplo:

Nota: preste atenção aos sinais de infinito nessas igualdades.

[editar]Horizontal

Assíntota horizontal - uma linha reta, sujeita à existência de um limite

.

[editar] Oblíquo

Assíntota oblíqua - uma linha reta, sujeita à existência de limites

Exemplo de uma assíntota oblíqua

1.

Nota: uma função não pode ter mais do que duas assíntotas oblíquas (horizontais)!

Nota: Se pelo menos um dos dois limites mencionados acima não existir (ou for igual a ), então a assíntota oblíqua em (ou ) não existe!

Relação entre assíntotas oblíquas e horizontais

Se ao calcular o limite , então é óbvio que a assíntota oblíqua coincide com a horizontal. Qual é a conexão entre esses dois tipos de assíntotas?

A questão é, que a assíntota horizontal é um caso especial da oblíqua no , e dos comentários acima segue-se que

1. A função tem apenas uma assíntota oblíqua, ou uma assíntota vertical, ou uma oblíqua e uma vertical, ou duas oblíquas, ou duas verticais, ou não tem nenhuma assíntota.

2. A existência das assíntotas indicadas no n.º 1.) está directamente relacionada com a existência dos limites correspondentes.

Gráfico de uma função com duas assíntotas horizontais

]Encontrando assíntotas

A ordem de encontrar assíntotas

1. Encontrando assíntotas verticais.

2. Encontrando dois limites

3. Encontrando dois limites:

se estiver no item 2.), então , e o limite é buscado usando a fórmula da assíntota horizontal, .