Encontre todas as raízes racionais do polinômio. Teorema sobre raízes racionais de um polinômio. Raízes racionais de polinômios com coeficientes inteiros. Esquema de Horner
Deixar
- polinômio de grau n ≥ 1
de uma variável real ou complexa z com coeficientes reais ou complexos a i.
Aceitemos o seguinte teorema sem prova.
Teorema 1 Equação Pn(z) = 0
tem pelo menos uma raiz.
Vamos provar o seguinte lema.
Lema 1 Seja P n(z) 1
- polinômio de grau n, z
- raiz da equação: P n.
(z 1) = 0 Seja P n Então P n
- raiz da equação: pode ser representado da única maneira na forma:,
(z) = (z - z 1) P n-1 (z) onde Pn- 1(z) 1
.
- polinômio de grau n -
Prova Seja P n Para provar isso, aplicamos o teorema (ver Divisão e multiplicação de um polinômio por um polinômio por um canto e uma coluna), segundo o qual para quaisquer dois polinômios P n Seja P n e Q k
- raiz da equação: , graus n e k, com n ≥ k, existe uma representação única na forma:,
(z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z) Seja P n onde P n-k onde Pn-- polinômio de grau n-k, U k- 1
.
- polinômio de grau não superior a k- 1
Vamos colocar k = , Q k(z) = z - z 1
- raiz da equação: , Então,
(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c 1
onde c é uma constante. Vamos substituir z = z aqui P n:
- raiz da equação: e leve em consideração que P n;
(z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c.
0 = 0 + c 0
Portanto c =
.
Então
Pn,
Q.E.D. Seja P n Fatorando um polinômio 1
Então, com base no Teorema 1, o polinômio P n P n tem pelo menos uma raiz. Vamos denotar isso como z
- raiz da equação: ,Pn.
. 1
Então, com base no Lema 1: onde Pn-(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) 2
Além disso, se n > , então o polinômio P n- Portanto c =
também tem pelo menos uma raiz, que denotamos como z ,Pn-;
- raiz da equação: 1 (z 2) = 0.
Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z)(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z)
- raiz da equação: Continuando este processo, chegamos à conclusão de que existem n números z.
1 , z 2 , ... , z n tal que(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z)
(1)
Mas P. 0(z).
- esta é uma constante. Igualando os coeficientes para z n, descobrimos que é igual a a n. Seja P n.
Como resultado, obtemos a fórmula para fatorar um polinômio: (1)
P n (1)
pode ser escrito como:
(2)
Mas P. (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Aqui z i ≠ z j para i ≠ j. 1
Se n eu = , Que raiz z eu chamado simples . Ele entra em fatoração na forma(z-z i) 1
Se n eu = , Que raiz . Se n eu > chamada raiz múltipla da multiplicidade.
não eu.
Entra na fatoração como um produto de n i fatores primos:
(z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i
- polinômio de grau n -
Polinômios com coeficientes reais
Lema 2
,
Se é uma raiz complexa de um polinômio com coeficientes reais, então o número conjugado complexo também é uma raiz do polinômio,.
Na verdade, se e os coeficientes do polinômio são números reais, então. (2)
Assim, raízes complexas entram na fatoração aos pares com seus valores conjugados complexos:
(3)
;
.
onde , são números reais.
Então a decomposição 0 um polinômio com coeficientes reais em fatores pode ser representado de uma forma em que apenas constantes reais estão presentes: Métodos para fatorar um polinômio Levando em consideração o exposto, para fatorar um polinômio, é necessário encontrar todas as raízes da equação P n (z) = (3) .
e determine sua multiplicidade. Multiplicadores com
1.
raízes complexas 1
devem ser agrupados com conjugados complexos. Então a expansão é determinada pela fórmula Assim, o método para fatorar um polinômio é o seguinte:.
2.1.
Encontrando a raiz z 1
equações P n (z 1) = 0 (z 1) = 0 1
:
.
Se a raiz z real, então adicionamos o fator à expansão (1)
(z - z 1)
2.2.
1(z)
,
, partindo do ponto até encontrarmos todas as raízes. Se a raiz for complexa, então o número complexo conjugado também será a raiz do polinômio. Então a expansão inclui o fator onde b.
1 = - 2 x 1 , c 1 = x 1 2 + y 1 2 , c Neste caso, adicionamos o fator à expansão 2
:
.
(z 2 + b 1 z + c 1) e divida o polinômio P n (z) por real, então adicionamos o fator à expansão (1)
(z - z 1)
.
Como resultado, obtemos um polinômio de grau n -
A seguir repetimos o processo para o polinômio P n-
2(z)
.
Encontrando as raízes de um polinômio
A principal tarefa ao fatorar um polinômio é encontrar suas raízes. Infelizmente, isso nem sempre pode ser feito analiticamente. Aqui veremos vários casos em que você pode encontrar analiticamente as raízes de um polinômio.
Raízes de um polinômio de primeiro grau Um polinômio de primeiro grau é uma função linear. Tem uma raiz. A expansão possui apenas um fator contendo a variável z:.
Se o discriminante for , então a equação tem duas raízes reais:
, .
Então a fatoração tem a forma:
.
Se discriminante D = 0
, então a equação tem uma raiz dupla:
;
.
Se discriminante D< 0
, então as raízes da equação são complexas,
.
Polinômios de grau superior a dois
Existem fórmulas para encontrar as raízes de polinômios de 3º e 4º graus. No entanto, eles raramente são usados porque são volumosos. Não existem fórmulas para encontrar as raízes de polinômios de grau superior a 4º. Apesar disso, em alguns casos é possível fatorar o polinômio.
Encontrando raízes inteiras
Se for conhecido que um polinômio cujos coeficientes são inteiros tem uma raiz inteira, então ele pode ser encontrado pesquisando todos os valores possíveis.
Lema 3
Deixe o polinômio
,
cujos coeficientes a i são inteiros, tem uma raiz inteira z 1
. 0
.
- polinômio de grau n -
Então esta raiz é um divisor do número a P n Vamos reescrever a equação P n
.
na forma:
Então o todo Mz.
1 = - um 0 1
:
.
Divida por z
Como M é um número inteiro, então M é um número inteiro. Q.E.D. 0
Portanto, se os coeficientes do polinômio forem inteiros, você poderá tentar encontrar as raízes inteiras. Para fazer isso, você precisa encontrar todos os divisores do termo livre a Equação Pn e, substituindo na equação P n
, verifique se são raízes desta equação. Observação Equação Pn. Se os coeficientes do polinômio são números racionais, então multiplicando a equação P n
pelo denominador comum dos números a i , obtemos uma equação para um polinômio com coeficientes inteiros. Encontrando
raízes racionais 1
Se os coeficientes do polinômio são inteiros e não há raízes inteiras, então para a n ≠
, você pode tentar encontrar raízes racionais. Para fazer isso você precisa fazer uma substituição
z = s/um n 1
e multiplique a equação por a n n-
.
Como resultado, obtemos uma equação para um polinômio na variável y com coeficientes inteiros. A seguir, procuramos as raízes inteiras desse polinômio entre os divisores do termo livre. Se encontramos tal raiz y i, então passando para a variável x, obtemos uma raiz racional
z eu = y eu /uma n .
Fórmulas úteis
- raiz da equação: Apresentamos fórmulas que podem ser usadas para fatorar um polinômio.,
Mais geralmente, para expandir um polinômio 0
(z) = z n - a 0
onde um 0
.
- complexo, é preciso encontrar todas as suas raízes, ou seja, resolver a equação: 0
z n = uma
.
Esta equação pode ser facilmente resolvida expressando uma 0
via módulo r e argumento φ: Desde um não mudará se adicionarmos ao argumento 0
Vamos reescrever a equação P n
,
2π
;
.
, então imagine um onde k é um número inteiro. Então Atribuindo k os valores k =
.
0, 1, 2, ...n-1
, obtemos n raízes do polinômio. Então sua fatoração tem a forma:
.
Um polinômio biquadrático pode ser fatorado sem encontrar as raízes.
Quando , temos:
,
Onde .
Polinômios bicúbicos e quadráticos
Considere o polinômio:
.
Suas raízes são determinadas a partir da equação:
.
É reduzido a uma equação quadrática substituindo t = z n:
um 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Tendo resolvido esta equação, encontramos suas raízes, t 1
, t 2
.
.
Então encontramos a expansão na forma: 1
A seguir, usando o método indicado acima, fatoramos z n - t 2
e z n - t
.
Finalmente, agrupamos os fatores contendo raízes conjugadas complexas. Polinômios recorrentes O polinômio é chamado
retornável
.
, se seus coeficientes forem simétricos: -1 Um exemplo de polinômio reflexivo: + 1 Se o grau de um polinômio recorrente n for ímpar, então tal polinômio tem uma raiz z =
. Dividindo tal polinômio por z, obtemos um polinômio recorrente de grau
Neste artigo começaremos a explorar
números racionais
. Aqui daremos definições de números racionais, daremos as explicações necessárias e daremos exemplos de números racionais. Depois disso, focaremos em como determinar se um determinado número é racional ou não.
Navegação na página. Definição e exemplos de números racionais Nesta seção daremos várias definições de números racionais. Apesar das diferenças de redação, todas essas definições têm o mesmo significado: os números racionais unem inteiros e frações, assim como os inteiros unem os números naturais, seus opostos e o número zero. Em outras palavras, os números racionais generalizam números inteiros e fracionários.
Vamos começar com
- definições de números racionais
- , que é percebido com mais naturalidade.
- Da definição declarada segue-se que um número racional é:
- Qualquer número natural n. Na verdade, você pode representar qualquer número natural como uma fração ordinária, por exemplo, 3=3/1.
- Qualquer número inteiro, em particular o número zero. Na verdade, qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração positiva, uma fração negativa ou zero. Por exemplo, 26=26/1, .
Também está claro que qualquer fração decimal infinita não periódica NÃO é um número racional, uma vez que não pode ser representada como uma fração comum.
Agora podemos facilmente dar exemplos de números racionais. Os números 4.903, 100.321 são números racionais porque são números naturais. Os inteiros 58, −72, 0, −833.333.333 também são exemplos de números racionais. As frações comuns 4/9, 99/3 também são exemplos de números racionais. Os números racionais também são números.
A partir dos exemplos acima, fica claro que existem números racionais positivos e negativos, e o número racional zero não é positivo nem negativo.
A definição acima de números racionais pode ser formulada de uma forma mais concisa.
Definição.
Números racionais são números que podem ser escritos como uma fração z/n, onde z é um número inteiro en é um número natural.
Vamos provar que esta definição de números racionais é equivalente à definição anterior. Sabemos que podemos considerar a linha de uma fração como um sinal de divisão, então a partir das propriedades de divisão de inteiros e das regras de divisão de inteiros segue-se a validade das seguintes igualdades e. Portanto, essa é a prova.
Vamos dar exemplos de números racionais com base nesta definição. Os números −5, 0, 3 e são números racionais, pois podem ser escritas como frações com numerador inteiro e denominador natural da forma e, respectivamente.
A definição de números racionais pode ser dada na seguinte formulação.
Definição.
Números racionais são números que podem ser escritos como uma fração decimal periódica finita ou infinita.
Esta definição também é equivalente à primeira definição, pois toda fração ordinária corresponde a uma fração decimal finita ou periódica e vice-versa, e qualquer número inteiro pode ser associado a uma fração decimal com zeros após a vírgula.
Por exemplo, os números 5, 0, −13 são exemplos de números racionais porque podem ser escritos como as seguintes frações decimais 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 e −7, (18).
Vamos terminar a teoria deste ponto com as seguintes afirmações:
- inteiros e frações (positivos e negativos) compõem o conjunto dos números racionais;
- todo número racional pode ser representado como uma fração com um numerador inteiro e um denominador natural, e cada uma dessas frações representa um certo número racional;
- todo número racional pode ser representado como uma fração decimal periódica finita ou infinita, e cada uma dessas frações representa um número racional.
Esse número é racional?
No parágrafo anterior, descobrimos que qualquer número natural, qualquer número inteiro, qualquer fração ordinária, qualquer número misto, qualquer fração decimal finita, bem como qualquer fração decimal periódica é um número racional. Este conhecimento permite-nos “reconhecer” números racionais a partir de um conjunto de números escritos.
Mas e se o número for dado na forma de algum, ou como, etc., como responder à questão de saber se esse número é racional? Em muitos casos é muito difícil responder. Indiquemos algumas direções de pensamento.
Se um número for dado como uma expressão numérica que contém apenas números racionais e sinais aritméticos (+, −, · e:), então o valor desta expressão é um número racional. Isso decorre de como as operações com números racionais são definidas. Por exemplo, após realizar todas as operações na expressão, obtemos o número racional 18.
Às vezes, depois de simplificar expressões e muito mais tipo complexo, torna-se possível determinar se um determinado número é racional.
Vamos em frente. O número 2 é um número racional, pois qualquer número natural é racional. E o número? É racional? Acontece que não, não é um número racional, é um número irracional (a prova desse fato por contradição é dada no livro didático de álgebra da 8ª série, listado abaixo na lista de referências). Também foi provado que a raiz quadrada de número naturalé um número racional apenas nos casos em que a raiz contém um número que é o quadrado perfeito de algum número natural. Por exemplo, e são números racionais, pois 81 = 9 2 e 1 024 = 32 2, e os números e não são racionais, pois os números 7 e 199 não são quadrados perfeitos números naturais.
O número é racional ou não? EM nesse casoÉ fácil perceber que, portanto, esse número é racional. O número é racional? Foi provado que a k-ésima raiz de um inteiro é um número racional somente se o número sob o sinal da raiz for a k-ésima potência de algum inteiro. Portanto, não é um número racional, pois não existe nenhum número inteiro cuja quinta potência seja 121.
O método por contradição permite provar que os logaritmos de alguns números não são números racionais por algum motivo. Por exemplo, vamos provar que - não é um número racional.
Vamos supor o contrário, ou seja, digamos que é um número racional e pode ser escrito como uma fração ordinária m/n. Então damos as seguintes igualdades: . A última igualdade é impossível, pois do lado esquerdo está número ímpar 5 n, e no lado direito está o número par 2 m. Portanto, nossa suposição está incorreta e, portanto, não é um número racional.
Concluindo, vale ressaltar especialmente que, ao determinar a racionalidade ou irracionalidade dos números, deve-se evitar tirar conclusões repentinas.
Por exemplo, você não deve afirmar imediatamente que o produto dos números irracionais π e e é um número irracional, isso é “aparentemente óbvio”, mas não comprovado; Isto levanta a questão: “Por que um produto seria um número racional?” E porque não, porque podemos dar um exemplo de números irracionais, cujo produto dá um número racional: .
Também não se sabe se os números e muitos outros números são racionais ou não. Por exemplo, existem números irracionais cujo poder irracional é um número racional. Para ilustração, apresentamos um grau da forma, a base deste grau e o expoente não são números racionais, mas sim, e 3 é um número racional.
Referências.
- Matemática. 6ª série: educacional. para educação geral instituições / [N. Sim. Vilenkin e outros]. - 22ª ed., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: il. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Álgebra: livro didático para a 8ª série. educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M.: Educação, 2008. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa nas escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Mais alto escola, 1984.-351 p., il.
Este polinômio possui coeficientes inteiros. Se um número inteiro for a raiz deste polinômio, então ele é um divisor do número 16. Assim, se um determinado polinômio tiver raízes inteiras, então estas só podem ser os números ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Por verificação direta, estamos convencidos de que o número 2 é a raiz deste polinômio, ou seja, x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), onde Q (x) é um polinômio de o segundo grau. Consequentemente, o polinômio é decomposto em fatores, um dos quais é (x – 2). Para encontrar o tipo de polinômio Q(x) usamos o chamado esquema de Horner. A principal vantagem deste método é a notação compacta e a capacidade de dividir rapidamente um polinômio em um binômio. Na verdade, o esquema de Horner é outra forma de registrar o método de agrupamento, embora, ao contrário deste último, seja completamente não visual. A resposta (fatoração) é obtida aqui por si só, e não vemos o processo de obtenção dela. Não nos empenharemos numa fundamentação rigorosa do esquema de Horner, mas apenas mostraremos como ele funciona.
| 1 | −5 | −2 | 16 | |
| 2 | 1 | −3 | −8 | 0 |
O número da célula acima é “movido” para a segunda célula da linha inferior, ou seja, 1. Então eles fazem isso. A raiz da equação (número 2) é multiplicada pelo último número escrito (1) e o resultado é somado com o número que está na linha superior acima da próxima célula livre, no nosso exemplo temos:
O grau de um polinômio resultante da divisão é sempre 1 menor que o grau do original. Então:
A questão de encontrar raízes racionais de um polinômio f(x)P[x] (com coeficientes racionais) reduz-se à questão de encontrar raízes racionais de polinômios k
∙
f(x)
Z[x] (com coeficientes inteiros). Aqui está o número ké o mínimo múltiplo comum dos denominadores dos coeficientes de um determinado polinômio.
Necessário, mas não condições suficientes a existência de raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros é dada pelo seguinte teorema.
Teorema 6.1 (sobre raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros).
Se
–
raiz racional de um polinômiof(x)
=
um n
x n +
+
…+
um 1
x
+
um 0
Com
todo
coeficientes, e(p,
q)
= 1, então o numerador da fraçãopé um divisor do termo livre a 0
, e o denominadorqé um divisor do coeficiente líder a 0
.
Teorema 6.2.Se
P
(
Onde
(p,
q)
=
1)
é a raiz racional do polinômio
f(x)
com coeficientes inteiros, então
–números inteiros.
Exemplo. Encontre todas as raízes racionais do polinômio
f(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x+ 1.
1. Pelo Teorema 6.1: se
–
raiz racional de um polinômio f(x),
( Onde( p,
q)
= 1),
Que um 0
= 1
p,
um n
= 6
q. É por isso p 
{
1}, q 
(1, 2, 3, 6), o que significa
.
2. Sabe-se que (Corolário 5.3) o número UMé a raiz do polinômio f(x) se e somente se f(x) é dividido por ( x-uma).
Portanto, para verificar se os números 1 e –1 são raízes de um polinômio f(x) você pode usar o esquema de Horner:
f(1)
= 6
0,f(–1)
= 12
0, então 1 e –1 não são raízes do polinômio f(x).
3. Para eliminar alguns dos números restantes 
, vamos usar o Teorema 6.2. Se expressões 
ou 
aceita valores inteiros para os valores correspondentes do numerador p e denominador q, então nas células correspondentes da tabela (veja abaixo) escreveremos a letra “ts”, caso contrário - “dr”.
|
|
|
|
|
|||
|
| ||||||
|
|
=
=
4. Usando o esquema de Horner, verificamos se os números restantes após a triagem serão 
raízes f(x). Primeiro vamos dividir f(x) para ( X
–
).
Como resultado temos: f(x) = (X – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2) e – raiz f(x). Privado q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - divida 2 por ( X + ).
Porque q
(–)
= 3
0, então (–) não é uma raiz do polinômio q(x) e, portanto, o polinômio f(x).
Finalmente, dividimos o polinômio q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 X - 2 em ( X – ).
Recebido: q () = 0, ou seja – raiz q(x) e, portanto, é a raiz f (x). Então o polinômio f (x) tem duas raízes racionais: e.
Libertação da irracionalidade algébrica no denominador de uma fração
No curso escolar, ao resolver certos tipos de problemas para se livrar da irracionalidade no denominador de uma fração, basta multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo número conjugado ao denominador.
Exemplos. 1.t
=
.
Aqui a fórmula abreviada de multiplicação (diferença de quadrados) funciona no denominador, o que permite que você se liberte da irracionalidade no denominador.
2. Liberte-se da irracionalidade no denominador da fração
t
=
. Expressão – quadrado incompleto da diferença de números UM=
E b= 1. Usando a fórmula de multiplicação abreviada UM 3
–
b 3
=
(um +b)
· ( um 2
–
ab
+
b 2
), podemos determinar o multiplicador eu
= (um +b)
=
+ 1, pelo qual o numerador e o denominador da fração devem ser multiplicados t livrar-se da irracionalidade no denominador da fração t. Por isso,
Nas situações em que as fórmulas de multiplicação abreviadas não funcionam, outras técnicas podem ser utilizadas. A seguir formularemos um teorema, cuja prova, em particular, nos permite encontrar um algoritmo para se livrar da irracionalidade no denominador de uma fração em situações mais complexas.
Definição 6.1. Número z chamado algébrico sobre o campo
F, se houver um polinômio f(x)
F[x], cuja raiz é z, caso contrário o número z chamado transcendental sobre o campoF.
Definição 6.2.Grau de algébrica sobre campo
F
números
zé chamado de grau de um irredutível sobre um corpo F polinomial p(x)
F[x], cuja raiz é o número z.
Exemplo. Vamos mostrar que o número z = 
é algébrico sobre o campo P e encontre seu grau.
Vamos encontrar um irredutível sobre o campo P polinomial p(X), cuja raiz é x
=
. Vamos levantar os dois lados da igualdade x
=
elevado à quarta potência, obtemos X 4
= 2 ou X 4
–
2
= 0. Então, p(X)
= X 4
–
2, e a potência do número z igual a graus
p(X)
= 4.
Teorema 6.3
(sobre a libertação da irracionalidade algébrica no denominador de uma fração).Deixarz– número algébrico sobre um corpoFgrausn. Expressão do formuláriot
=
,Onde
f(x),
(x)
F[x],
(z) 
0
só pode ser representado na forma:
t
= Com n -1
z n -1
+
c n -2
z n -2
+ … +
c 1
z
+
c 0
,
c eu
F.
Demonstraremos o algoritmo para se livrar da irracionalidade no denominador de uma fração usando um exemplo específico.
Exemplo. Liberte-se da irracionalidade no denominador de uma fração:
t
=
1. O denominador da fração é o valor do polinômio 
(X)
= X 2
– X+1 quando X
=
. O exemplo anterior mostra que 
– número algébrico sobre um corpo P grau 4, uma vez que é a raiz de um irredutível sobre P polinomial p(X)
= X 4
–
2.
2. Vamos encontrar a expansão linear do GCD ( 
(X),
p(x)) usando o algoritmo euclidiano.
_x 4 – 2 | x 2 –x + 1
x 4 –x 3 +x 2 x 2 + x = q 1 (x)
_ x 3 –x 2 – 2
x 3 –x 2 +x
x 2 –x + 1 | – x –2 = R 1 (x )
x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x)
_–3x+ 1
–3 x – 6
_ – x –2 |7 = R 2
– x –2 -x - =q 3 (x)
Então, GCD ( 
(X),
p(x))
= R 2
=
7. Vamos encontrar sua expansão linear.
Vamos escrever a sequência euclidiana usando notação polinomial.
p(x)
=
(x)
· q 1
(x)
+ R 1
(x)
R 1
(x)
=p(x)
–
(x)
· q 1
(x)
(x)
= R 1
(x)
· q 2
(x)
+ R 2
(x)
R 2
(x)
=
(x)
– R 1
(x)
· q 2
(x)
R 1 (x) = R 2 (x) · q 2 (x).
Vamos substituir 7= na igualdade R 2
(x)
=
(x)
– R 1
(x)
· q 2
(x) valor restante R 1
(x)
=
p(x)
–
(x)
· q 1
(x), após as transformações obtemos uma expansão linear de GCD( 
(X),
p(x)):
7 = p(x)
· (– q 2
(x))
+
(x) · . Se substituirmos os polinômios correspondentes na última igualdade em vez de notações e levarmos em conta que p(
) = 0, então temos:
(1 –
+
)
· (– 
+ 2
+ 3
+ 1)] = 7 (1)
3. Da igualdade (1) segue-se que se o denominador da fração t multiplicar por número eu= , então obtemos 7. Assim,
t
=
=.
MÉTODO 16. Tópico da lição: Forma padrão de um polinômio
Tipo de aula: teste de aula e monitoramento de conhecimentos e habilidades
Objetivos da lição:
Teste sua capacidade de reduzir um polinômio à forma padrão
Desenvolva o pensamento lógico e a atenção dos alunos
Promova a independência
Estrutura da aula:
Momento organizacional
Resumo
Trabalho independente.
1. Complete as frases:
a) Uma expressão contendo a soma dos monômios é chamada ... (polinômio).
b) Um polinômio que consiste em monômios padrão e não contém termos semelhantes é chamado ... (polinômio padrão).
c) A maior das potências dos monômios incluídos em um polinômio da forma padrão é chamada ... (o grau do polinômio).
d) Antes de determinar o grau de um polinômio, você precisa... (trazê-lo para a forma padrão).
e) Para encontrar o valor de um polinômio, você precisa fazer o primeiro... (apresentar o polinômio na forma padrão), o segundo... (substituir o valor da variável nesta expressão).
2. Encontre o valor do polinômio:
UM) 2 um 4 - ab+2 b 2 no um=-1, b=-0,5
b) x 2 +2 xy+ sim 2 no x=1,2, sim=-1,2
3. Reduza o polinômio à forma padrão:
UM) -5ah 2 + 7a 2 x + 2a 2 x + 9ax 2 – 4h 2 – 8a 2 X;
b) (5x 2 – 7x – 13) – (3x 2 – 8x + 17);
V) 2a – (1.4av + 2a 2 – 1) + (3a + 6,4av);
G) (2s 2 – 1,6s + 4) – ((10,6s 2 + 4,4s – 0,3) – (3,6s 2 – 7s – 0,7));
4. Traga o polinômio para a forma padrão e descubra em quais valores X seu valor é 1:
UM) 2 x 2 -3 x- x 2 -5+2 x- x 2 +10;
b) 0,3 x 3 - x 2 + x- x 3 +3 x 2 +0,7 x 3 -2 x 2 +0,07
Bilhete número 17.Divisibilidade de inteiros