O menor valor de uma função de várias variáveis. O maior e o menor valor da função. O maior e o menor valor de uma função - definições, ilustrações

E para resolvê-lo, você precisa de um conhecimento mínimo do assunto. O próximo ano letivo está acabando, todos querem sair de férias e, para aproximar esse momento, começo imediatamente a trabalhar:

Vamos começar com a área. A área referida na condição é limitado fechado conjunto de pontos do plano. Por exemplo, um conjunto de pontos limitados por um triângulo, incluindo TODO o triângulo (se de fronteiras“Poke out” pelo menos um ponto, então a área não será mais fechada). Na prática, também existem áreas de formas retangulares, redondas e um pouco mais complexas. Deve-se notar que na teoria da análise matemática, definições estritas são dadas limitações, isolamento, limites, etc., mas acho que todos estão cientes desses conceitos em um nível intuitivo e não é necessário mais agora.

A área plana é normalmente denotada pela letra e, via de regra, é dada analiticamente - por várias equações (não necessariamente linear); menos frequentemente desigualdades. Uma rotatividade verbal típica: "área fechada limitada por linhas".

Uma parte integrante da tarefa em consideração é a construção da área no desenho. Como fazer isso? É necessário traçar todas as linhas listadas (em este caso 3 direto) e analisar o que aconteceu. A área desejada geralmente é levemente hachurada e sua borda é destacada com uma linha em negrito:


A mesma área pode ser definida desigualdades lineares: , que por algum motivo são mais frequentemente escritos como uma lista de enumeração e não sistema.
Como o limite pertence à região, todas as desigualdades, é claro, não estrito.

E agora o cerne da questão. Imagine que o eixo vai direto para você a partir da origem das coordenadas. Considere uma função que contínuo em cada ponto de área. O gráfico desta função é superfície, e a pequena felicidade é que, para resolver o problema de hoje, não precisamos saber como é essa superfície. Pode estar localizado acima, abaixo, cruzar o avião - tudo isso não é importante. E o seguinte é importante: de acordo com teoremas de Weierstrass, contínuo V limitado fechadoárea, a função atinge seu máximo (do "mais alto") e menos (dos "mais baixos") valores a serem encontrados. Esses valores são alcançados ou V pontos estacionários, pertencente à regiãoD , ou em pontos que se encontram no limite desta região. Do qual segue um algoritmo de solução simples e transparente:

Exemplo 1

Em uma área fechada limitada

Solução: Primeiro de tudo, você precisa representar a área no desenho. Infelizmente, é tecnicamente difícil para mim fazer um modelo interativo do problema e, portanto, darei imediatamente a ilustração final, que mostra todos os pontos "suspeitos" encontrados durante o estudo. Normalmente, eles são colocados um após o outro à medida que são encontrados:

Com base no preâmbulo, a decisão pode ser convenientemente dividida em dois pontos:

I) Vamos encontrar pontos estacionários. Esta é uma ação padrão que realizamos repetidamente na lição. sobre extremos de várias variáveis:

Ponto estacionário encontrado pertenceáreas: (marque no desenho), o que significa que devemos calcular o valor da função em um determinado ponto:

- como no artigo Os maiores e menores valores de uma função em um segmento, destacarei os resultados importantes em negrito. Em um caderno, é conveniente circulá-los com um lápis.

Preste atenção à nossa segunda felicidade - não adianta verificar condição suficiente para um extremo. Por que? Mesmo que no ponto em que a função alcance, por exemplo, mínimo local, então isso NÃO SIGNIFICA que o valor resultante será mínimo em toda a região (veja o início da aula sobre extremos incondicionais) .

E se o ponto estacionário NÃO pertencer à área? Quase nada! Deve-se notar que e ir para o próximo parágrafo.

II) Investigamos a fronteira da região.

Como a borda consiste nos lados de um triângulo, é conveniente dividir o estudo em 3 subparágrafos. Mas é melhor não fazer isso de qualquer maneira. Do meu ponto de vista, a princípio é mais vantajoso considerar os segmentos paralelos aos eixos coordenados e, antes de tudo, aqueles que se encontram nos próprios eixos. Para captar toda a sequência e lógica das ações, tente estudar o final "de uma só vez":

1) Vamos lidar com o lado inferior do triângulo. Para fazer isso, substituímos diretamente na função:

Alternativamente, você pode fazer assim:

Geometricamente, isso significa que o plano coordenado (que também é dado pela equação)"cortar" de superfícies parábola "espacial", cujo topo imediatamente cai sob suspeita. Vamos descobrir onde ela está:

- o valor resultante "acertou" na área, e pode muito bem ser que no ponto (marcar no desenho) a função atinge o maior ou o menor valor em toda a área. De qualquer forma, vamos fazer os cálculos:

Outros “candidatos” são, claro, as pontas do segmento. Calcule os valores da função nos pontos (marcar no desenho):

Aqui, aliás, você pode fazer uma miniverificação oral na versão "despojada":

2) Para estudar o lado direito do triângulo, nós o substituímos na função e “colocamos as coisas em ordem ali”:

Aqui, realizamos imediatamente uma verificação grosseira, “tocando” o final já processado do segmento:
, Ótimo.

A situação geométrica está relacionada com o ponto anterior:

- o valor resultante também “entrou no escopo de nossos interesses”, o que significa que precisamos calcular a que a função é igual no ponto que apareceu:

Vamos examinar a segunda extremidade do segmento:

Usando a função , vamos checar:

3) Todo mundo provavelmente sabe como explorar o lado restante. Substituímos na função e realizamos simplificações:

Fim da linha já foram investigados, mas no rascunho ainda verificamos se encontramos a função corretamente :
– coincidiu com o resultado do 1º parágrafo;
– coincidiu com o resultado do 2º parágrafo.

Resta saber se há algo interessante dentro do segmento:

- Há! Substituindo uma linha reta na equação, obtemos a ordenada desse “interesse”:

Marcamos um ponto no desenho e encontramos o valor correspondente da função:

Vamos controlar os cálculos de acordo com a versão "orçamento" :
, ordem.

E o passo final: Olhe CUIDADOSAMENTE todos os números "gordos", recomendo mesmo aos iniciantes que façam uma única lista:

de onde escolhemos os maiores e menores valores. Responder escreva no estilo do problema de encontrar os maiores e menores valores da função no segmento:

Vou comentar novamente apenas no caso. significado geométrico resultado:
– aqui é o ponto mais alto da superfície da região;
- aqui é o ponto mais baixo da superfície na área.

No problema analisado, encontramos 7 pontos “suspeitos”, mas seu número varia de tarefa para tarefa. Para uma região triangular, o "conjunto de exploração" mínimo consiste em três pontos. Isso acontece quando a função, por exemplo, define avião- é bastante claro que não há pontos estacionários, e a função pode atingir os valores máximos / mínimos apenas nos vértices do triângulo. Mas não existem tais exemplos uma vez, duas vezes - geralmente você tem que lidar com algum tipo de superfície de 2ª ordem.

Se você resolver um pouco essas tarefas, os triângulos podem fazer sua cabeça girar e, portanto, preparei exemplos incomuns para você torná-lo quadrado :))

Exemplo 2

Encontre os maiores e menores valores de uma função em uma área fechada delimitada por linhas

Exemplo 3

Encontre os maiores e menores valores de uma função em uma área fechada limitada.

Preste atenção especial à ordem racional e à técnica de explorar o limite da área, bem como à cadeia de verificações intermediárias, o que evitará quase completamente erros computacionais. De um modo geral, você pode resolvê-lo como quiser, mas em alguns problemas, por exemplo, no mesmo Exemplo 2, há todas as chances de complicar significativamente sua vida. Um exemplo aproximado de tarefas de acabamento no final da lição.

Sistematizamos o algoritmo de solução, caso contrário, com minha diligência de aranha, de alguma forma se perdeu em um longo fio de comentários do 1º exemplo:

- Na primeira etapa, construímos uma área, é desejável sombrear e destacar a borda com uma linha grossa. Durante a solução, aparecerão pontos que precisam ser colocados no desenho.

– Encontre pontos estacionários e calcule os valores da função apenas naqueles, que pertencem à área . Os valores obtidos são destacados no texto (por exemplo, circulados com um lápis). Se o ponto estacionário NÃO pertencer à área, marcamos esse fato com um ícone ou verbalmente. Se não houver nenhum ponto estacionário, concluímos por escrito que eles estão ausentes. De qualquer forma, este item não pode ser pulado!

– Explorando a área de fronteira. Primeiro, é vantajoso lidar com linhas retas paralelas aos eixos de coordenadas (se houver algum). Os valores da função calculados em pontos "suspeitos" também são destacados. Muito foi dito sobre a técnica de solução acima e algo mais será dito abaixo - leia, releia, mergulhe!

- Dos números selecionados, selecione o maior e o menor valor e dê uma resposta. Às vezes acontece que a função atinge esses valores em vários pontos ao mesmo tempo - nesse caso, todos esses pontos devem ser refletidos na resposta. Deixe, por exemplo, e descobriu-se que este é o menor valor. Então escrevemos isso

Os exemplos finais são dedicados a outras ideias úteis que serão úteis na prática:

Exemplo 4

Encontre os maiores e menores valores de uma função em uma área fechada .

Mantive a formulação do autor, em que a área é dada como uma dupla desigualdade. Esta condição pode ser escrita em um sistema equivalente ou em uma forma mais tradicional para este problema:

Eu te lembro que com não linear encontramos desigualdades em , e se você não entender o significado geométrico da entrada, não demore e esclareça a situação agora ;-)

Solução, como sempre, começa com a construção da área, que é uma espécie de “sola”:

Hmm, às vezes você tem que roer não apenas o granito da ciência ....

I) Encontrar pontos estacionários:

Sistema de sonho de idiota :)

O ponto estacionário pertence à região, ou seja, encontra-se em seu limite.

E então, não é nada ... foi uma lição divertida - é isso que significa beber o chá certo =)

II) Investigamos a fronteira da região. Sem mais delongas, vamos começar com o eixo x:

1) Se , então

Descubra onde está o topo da parábola:
- Aprecie esses momentos - "acerte" direto ao ponto, a partir do qual tudo já está claro. Mas não se esqueça de verificar:

Vamos calcular os valores da função nas extremidades do segmento:

2) Trataremos da parte inferior da “sola” “de uma só vez” - sem complexos a substituímos na função, aliás, só nos interessará o segmento:

Ao controle:

Agora, isso já está trazendo algum renascimento ao passeio monótono em uma pista serrilhada. Vamos encontrar os pontos críticos:

Nós decidimos Equação quadrática você se lembra deste? ... No entanto, lembre-se, é claro, caso contrário, você não leria essas linhas =) Se nos dois exemplos anteriores os cálculos em frações decimais fossem convenientes (o que, aliás, é raro), então aqui estamos aguardando o habitual frações ordinárias. Encontramos as raízes “x” e, usando a equação, determinamos as coordenadas correspondentes do “jogo” dos pontos “candidatos”:


Vamos calcular os valores da função nos pontos encontrados:

Verifique você mesmo a função.

Agora estudamos cuidadosamente os troféus conquistados e anotamos responder:

Aqui estão os "candidatos", então os "candidatos"!

Para uma solução autônoma:

Exemplo 5

Encontre o menor e maior valor funções em uma área fechada

Uma entrada com chaves é lida assim: “um conjunto de pontos tal que”.

Às vezes, em tais exemplos, eles usam Método do multiplicador de Lagrange, mas é improvável que surja a necessidade real de usá-lo. Assim, por exemplo, se uma função com a mesma área "de" for fornecida, após a substituição nela - com uma derivada sem dificuldades; além disso, tudo é traçado em “uma linha” (com sinais) sem a necessidade de considerar separadamente os semicírculos superior e inferior. Mas, claro, existem casos mais complicados, onde sem a função Lagrange (onde , por exemplo, é a mesma equação do círculo) difícil de fazer - quão difícil é fazer sem tenha um bom descanso!

Tudo de bom para passar a sessão e até breve na próxima temporada!

Soluções e respostas:

Exemplo 2: Solução: desenhe a área no desenho:

Teorema 1.5 Let em um domínio fechado D função é dada z=z(x,y) , que tem derivadas parciais contínuas de primeira ordem. Fronteira G áreas D é suave por partes (ou seja, consiste em pedaços de curvas ou linhas retas "suaves ao toque"). Então na área D função z (x,y) atinge o seu mais alto M e menos m valores.

Sem provas.

Você pode sugerir o seguinte plano para encontrar M E m .
1. Construímos um desenho, selecionamos todas as partes da borda da área D e encontre todos os pontos de "canto" da fronteira.
2. Encontre pontos estacionários dentro D .
3. Encontre pontos estacionários em cada um dos limites.
4. Calculamos em todos os pontos estacionários e de canto e, em seguida, escolhemos o maior M e menos m valores.

Exemplo 1.14 Encontre o maior M e menos m valores de função z = 4x2-2xy+y2-8x em uma área fechada D , limitado: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Vamos construir a área D (Fig. 1.5) no avião Ohu .

Pontos de canto: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Fronteira G áreas D consiste em três partes:

2. Encontre pontos estacionários dentro da área D :

3. Pontos estacionários nos limites l 1 , l 2 , l 3 :

4. Calcule seis valores:

Exemplos

Exemplo 1

esta função definido para todos os valores de variáveis x E y , exceto para a origem, onde o denominador desaparece.

Polinomial x2+y2 é contínua em toda parte e, portanto, a raiz quadrada de uma função contínua também é contínua.

A fração será contínua em todos os lugares, exceto nos pontos onde o denominador é igual a zero. Ou seja, a função considerada é contínua em todo o plano coordenado Ohu excluindo a origem.

Exemplo 2

Investigar a continuidade de uma função z=tg (x,y) . A tangente é definida e contínua para todos os valores finitos do argumento, exceto para valores iguais a um número ímpar de magnitude π /2 , ou seja exceto nos pontos onde

Para cada fixo "k" a equação (1.11) define uma hipérbole. Portanto, a função em questão é função contínua x e você , excluindo os pontos situados nas curvas (1.11).

Exemplo 3

Encontrar Derivadas Parciais de Funções u=z-xy , z > 0 .

Exemplo 4

Mostrar essa função

satisfaz a identidade:

– esta igualdade é válida para todos os pontos M(x; y; z) , exceto o ponto M 0 (a; b; c) .

Considere a função z=f(x, y) de duas variáveis ​​independentes e estabeleça o significado geométrico das variáveis ​​privadas z"x=f"x (x,y) E z" y=f" y (x,y) .

Neste caso, a equação z=f (x,y) é a equação de alguma superfície (fig.1.3). Desenhe um avião y = const . Na seção deste plano da superfície z=f (x,y) pegue alguma linha eu 1 interseção, ao longo da qual apenas as quantidades mudam x E z .

Derivativo parcial z"x (seu significado geométrico decorre diretamente do significado geométrico conhecido da derivada de uma função de uma variável) é numericamente igual à tangente do ângulo α inclinação, em relação ao eixo Oh , tangente L1 para a curva eu 1 , obtido na seção transversal da superfície z=f (x,y) avião y = const no ponto M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

Na seção transversal da superfície z=f (x,y) avião x = const obter uma linha de intersecção eu 2 , ao longo do qual apenas as quantidades no E z . Então a derivada parcial z" y numericamente igual à tangente do ângulo β inclinação em relação ao eixo OU , tangente L2 para a linha especificada eu 2 ponto de intersecção M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Exemplo 5

Que ângulo ele faz com o eixo Oh tangente à linha:

no ponto M(2,4,5) ?

Usamos o significado geométrico da derivada parcial em relação a uma variável x (em constante no ):

Exemplo 6

De acordo com (1.31):

Exemplo 7

Supondo que a equação

define implicitamente uma função

encontrar z"x , z" y .

portanto, de acordo com (1.37), obtemos a resposta.

Exemplo 8

Explorar ao extremo:

1. Encontre pontos estacionários resolvendo o sistema (1.41):

ou seja, quatro pontos estacionários são encontrados.
2.

pelo Teorema 1.4 em um ponto é um mínimo.

E

4. Calcule seis valores:

Dos seis valores obtidos, escolhemos o maior e o menor.

Bibliografia:

ü Belko I.V., Kuzmich K.K. matemática superior para economistas. I semestre: Curso expresso. - M.: Novos conhecimentos, 2002. - 140 p.

ü Gusak A. A.. Analise matemática e equações diferenciais - Minsk: TetraSystems, 1998. - 416 p.

ü Gusak A. A. Matemática superior. Tutorial para estudantes universitários em 2 volumes. - Min., 1998. - 544 p. (1 vol.), 448 p. (2 toneladas).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Higher Mathematics for Economists: Textbook for High Schools / Ed. prof. N. Sh. Kremer.- M.: UNITI, 2002. - 471 p.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. e outros. Matemática superior. curso geral: Livro didático / Sob o general. ed. S. A. Samalya.– Mn.: Vysh. escola, 2000. - 351 p.

Aula 28 Extremo condicional de funções de várias variáveis.

O estudo de funções de muitas variáveis ​​para um extremo é um procedimento muito mais complicado do que um procedimento similar para funções de uma variável. Portanto, nos limitamos a considerar esta questão no exemplo mais simples e ilustrativo de uma função de duas variáveis ​​(ver Fig. 1). Aqui M1(x1; a 1), M2(x2; y2), M3(x3; y 3) são os pontos extremos desta função. Ou seja, os pontos M 1 E M 3 - os pontos mínimos da função e o ponto M 2é o seu ponto máximo. A Figura 1 mostra uma função com três pontos extremos, mas esses pontos, claro, podem ser mais ou menos.

Vamos definir mais precisamente o que são pontos extremos para uma função de duas variáveis.

Definição. A função tem máximo(mínimo) em um ponto , se para qualquer ponto localizado em alguma vizinhança - uma vizinhança do ponto , (). - a vizinhança pode ser representada por um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a condição , onde é um número positivo suficientemente pequeno.

Os máximos e mínimos de uma função são chamados extremos, A - ponto extremo.

Deixar M0(x 0 ; y 0) é um ponto de algum extremo (ponto máximo ou ponto mínimo) da função . Então

Teorema 1.

Se no ponto extremo M0(x 0 ; y 0) existem derivadas parciais E , então ambos são iguais a zero:

2) Considere agora a função . Porque é o valor extremo desta função, então a derivada desta função em y = y0, se existir, é igual a zero:

(3)

O teorema foi provado.

Observe que as condições (1) são apenas necessário condições extremas no ponto M0(x 0 ; y 0) da função diferenciável neste ponto. Ou seja, essas condições não são condições suficientes o que está no ponto M0(x 0 ; y 0) a função terá um extremo (máximo ou mínimo). Em outras palavras, ponto M0(x 0 ; y 0), em que ambas as igualdades (1) valem, é apenas suspeito ao ponto extremo da função . A conclusão final sobre a natureza de tal ponto extremo suspeito pode ser feita usando o seguinte teorema (apresentamos sem derivação):

Teorema 2.(Condições suficientes para um extremo)

Deixar M0(x 0 ; y 0) é tal ponto da região D determinando a função que as condições necessárias (1) para o extremo desta função são satisfeitas para ela. Aquilo é M0(x 0 ; y 0) é um ponto suspeito para um extremo. Vamos encontrar números neste ponto

(4)

1) Se > 0 e > 0 (ou С>0 no A=0), Que M0(x 0 ; y 0) – função ponto mínimo .

2) Se > 0 e < 0 (ou COM<0 no A=0), Que M0(x 0 ; y 0) – função ponto máximo .

3) Se < 0 então aponte M0(x 0 ; y 0) – não é o extremo da função .

4) Se = 0, a questão permanece em aberto - mais pesquisas são necessárias.

Exemplo 1 Deixar x E no- a quantidade de dois bens produzidos; p 1 = 8 esfregue. E p 2 = 10 esfregar. - preço unitário de cada um desses bens, respectivamente; C= 0,01(x 2 + xy + y 2) é uma função dos custos (em rublos) para a produção desses bens. então renda R da venda de mercadorias será R = 8x+10a(esfregar.) e lucro P será (em rublos)

P \u003d R - C \u003d 8x + 10y- 0,01(x2+xy+y2).

Vamos encontrar volumes x E no bens para os quais o lucro P será máximo.

1) Primeiro, encontre os valores ( x;y), suspeito de um extremo para a função P:

2) Agora examinamos o encontrado suspeito para o extremo para a função P apontar M 0(200; 400). Para isso, encontramos neste ponto os valores determinados pelas expressões (4). Porque

e isso vale para qualquer X; no) e, portanto, também no ponto M 0(200; 400), então

Desde um ponto M 0(200; 400) – ponto máximo da função P. Isso é lucro P das vendas será máximo em x = 200(unidade) E y= 400(unidade) e é igual a 2800 rublos.

Exemplo 2 Encontre pontos extremos e valores extremos de uma função

Solução. Esta função é uma função de duas variáveis ​​definidas para qualquer x E no, ou seja, em todo o plano como, e tendo derivadas parciais de primeira ordem em cada um de seus pontos:

Primeiro, encontre os pontos do plano como, suspeito de um extremo para esta função:

Então, tendo encontrado as derivadas parciais de segunda ordem da função , escrevemos as expressões para:

Calculando agora os valores numéricos dessas quantidades para cada um dos quatro pontos suspeitos de um extremo, obtemos as seguintes conclusões sobre esses pontos:

Ponto min.

Ponto máximo.

Não é um ponto extremo.

Não é um ponto extremo.

Agora vamos encontrar dois valores extremos (máximos) da função que determinam a altura dos dois vértices do gráfico desta função:

Determinação dos maiores e menores valores de uma função de duas variáveis ​​em uma área fechada.

Considere o seguinte problema. Seja alguma função contínua de duas variáveis ​​consideradas em um domínio fechado , onde é o interior do domínio , e G- sua borda (Fig. 8.6).

O fato de a função ser contínua no domínio significa que o gráfico dessa função (uma superfície no espaço) é uma superfície contínua (sem descontinuidades) para todo . Ou seja, o conceito de continuidade de uma função de duas variáveis ​​é semelhante ao conceito de continuidade de uma função de uma variável. Como as funções de uma variável, as funções de duas variáveis ​​formadas a partir de funções elementares são contínuas para todos os valores de seus argumentos para os quais são definidas. Isso também se aplica a funções de três, quatro ou mais variáveis.

Voltemos à fig. 2. Façamos a seguinte pergunta: em que pontos da região a função atinge seus valores máximo e mínimo z mais E z nome? E quais são esses valores? Observe que este problema é semelhante ao que foi considerado para uma função de uma variável considerada em um intervalo fechado [ a; b] eixo Oh.

Obviamente, os pontos desejados da região , nos quais a função atinge seus valores máximos e mínimos, ou estão entre os pontos extremos dessa função, localizados dentro da região (na região ), ou estão localizados em algum ponto da fronteira G esta área. Em uma região fechada, tais pontos certamente existem (teorema de Weierstrass). E em área aberta (sem borda G) tais pontos podem não existir.

O seguinte decorre do anterior. o esquema para encontrar esses pontos, semelhante ao que foi estabelecido para funções de uma variável.

1. Encontramos todos os pontos da função suspeitos de extremo localizados na área D. Estes são os pontos em que ambas as derivadas parciais e são iguais a zero (uma é igual a zero e a outra não existe; ou ambas não existem).

2. Encontramos todos os pontos extremos suspeitos da função localizados na fronteira Gáreas. Neste caso, usamos a equação de contorno G.

3. Sem examinar os pontos suspeitos encontrados nos pontos 1 e 2 (isso é redundante), encontramos os valores da função em todos os pontos suspeitos encontrados e selecionamos aqueles onde z será o maior e o menor.

Exemplo 3 Encontrar z mais E z nome função considerada em uma área fechada, que é uma placa triangular com vértices O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) (Fig. 3).

Solução. Vamos fazer o diagrama acima.

1. Encontre dentro do triângulo (na área D) pontos suspeitos de serem um extremo para nossa função z. Para fazer isso, primeiro encontramos as derivadas parciais de primeira ordem e:

Essas derivadas existem (elas podem ser calculadas) para qualquer (x;y). Consequentemente, apenas aqueles pontos para os quais ambas as derivadas parciais são iguais a zero serão pontos suspeitos de um extremo:

O ponto obviamente pertence à área D(o triângulo em consideração). Ou seja, é um ponto extremo suspeito para uma dada função z dentro do triângulo, e é o único ali.

2. Vamos agora encontrar os pontos suspeitos de extremo na borda do triângulo.

a) Primeiro examinamos o site OA fronteiras ( no= 0; 0 £ x£ 1). Nesta seção é uma função de uma variável x. Sua derivada existe para todo xО . Portanto, a função z pode ter no ponto onde , ou seja, no ponto , ou nas extremidades do segmento OA, ou seja, nos pontos SOBRE(0; 0) e A(1; 0).

b) Agora exploramos o site OV bordas do triângulo (há x= 0; 0 £ no£ 1). Neste segmento, a função (0 £ no£ 1) é uma função de uma variável no. Repetindo o raciocínio do parágrafo (a), chegamos à conclusão de que seus valores extremos da função z pode ter no ponto ou nas extremidades do segmento OV, ou seja, nos pontos SOBRE(0; 0) e B(0; 1).

c) Finalmente, explore o site AB fronteiras. Desde em AB(certifique-se disso) y = - x + 1 (0 £ x£ 1), então há a função z assume a forma: (0 £ x£ 1). Sua derivada é, portanto, sua função de valores extremos z pode chegar apenas no ponto onde , ou seja, no ponto , ou nas extremidades do segmento AB, ou seja, nos pontos A E EM.

Assim, o conjunto completo de pontos extremos suspeitos da função
em um triângulo OABé:

; ; ; ; ; ; .

3. Agora vamos encontrar os valores da função z em todos os pontos suspeitos encontrados e escolha entre esses valores o maior valor z mais e o menor valor z nome:

Por isso, z máx = 3 e é obtido pela função z em um triângulo OAB em dois pontos ao mesmo tempo - em seus vértices A E EM. E e é obtido pela função z em um triângulo OAB em seu ponto interior.

Exemplo 4 O orçamento da cidade tem a oportunidade de gastar não mais que 600 milhões de rublos em habitação social, tendo projetos e lotes de terreno para 10 casas de cinco andares com 90 apartamentos cada e 8 casas de nove andares com 120 apartamentos cada. O custo médio estimado de um apartamento em um prédio de cinco andares é de 400 mil rublos e em um prédio de nove andares de 500 mil rublos. Quantos prédios de cinco andares e quantos prédios de nove andares a cidade deve construir para obter o número máximo de apartamentos?

Solução. Deixar x- o número desejado de casas de cinco andares, y- nove andares e z- número total de apartamentos nestas casas:

z= 90x + 120y

O custo de todos os apartamentos em prédios de cinco andares será de 90 × 0,4 x = 36x milhões de rublos e em edifícios de nove andares 120 × 0,5 no = 60no milhões de rublos. De acordo com as condições do problema, temos:

0 £ x£ 10; 0 £ no£ 8; 36 x + 60no£600

Essas desigualdades restritivas são obviamente satisfeitas no pentágono (Fig. 4). Nesta área fechada, você precisa encontrar um ponto M(x;y), para o qual a função z= 90x + 120y assume o maior valor z mais.

Implementamos o esquema acima para resolver tais problemas.

1. Encontre pontos dentro do pentágono que são suspeitos de um extremo para a função z. Porque , e essas derivadas parciais obviamente não são iguais a zero, então não há pontos dentro do pentágono suspeitos de um extremo.

2. Vamos encontrar os pontos suspeitos para um extremo nas bordas do pentágono. Em cada um dos cinco segmentos que compõem o limite do pentágono, a função zé uma função linear da forma z = ax + por, e consequentemente, atinge seus valores máximo e mínimo nas bordas dos segmentos. Ou seja, o valor máximo desejado z mais função z atinge um dos pontos de canto (O; A; M 1; M 2; B). Calculando o valor z nestes pontos, obtemos:

z(SOBRE) = 0; z( A) = 960; z( M1) = 1260; z( M2) = 1380; z( B) = 900.

Por isso z naimb= 1380 e é atingido no ponto M2(10; 4). Ou seja, o maior número de apartamentos (1380) será obtido se forem construídas 10 casas de cinco andares e 4 casas de nove andares.

Exemplo 5. Prove que de todos os triângulos com um dado perímetro 2p, o triângulo equilátero tem a maior área. M(2p/3, 2p/3), porque os restantes pontos não satisfazem o sentido do problema: não pode haver um triângulo cujo lado seja igual a metade do perímetro.

Investigue o ponto extremo M(2p/3, 2p/3):

∂ 2 f/∂x 2 = -2p(p-y); ∂ 2 f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂ 2 f/∂y 2 = -2p(p-x);

D=AC-B 2 = ;

D>0, e desde A<0 , então a função atinge seu máximo no ponto em estudo. Assim, em um único ponto estacionário, a função atinge seu máximo e, portanto, o maior valor; assim, quando x=2p/3, y=2p/3 função atinge seu valor máximo. Mas então z=2p-x-y=2p/3. E desde x=y=z, então o triângulo é equilátero.

Valores máximos e mínimos

Uma função limitada em uma região fechada limitada atinge seus valores máximos e mínimos em pontos estacionários ou em pontos situados no limite da região.

Para encontrar os maiores ou menores valores de uma função, você deve:

1. Encontre os pontos estacionários que estão dentro da região dada e calcule o valor da função neles.

2. Encontre o maior (menor) valor da função no limite da região.

3. Compare todos os valores obtidos da função: o maior (menor) e será o maior (menor) valor da função na área especificada.

Exemplo 2. Encontre o maior (menor) valor da função: em um círculo.

Solução.

ponto é estacionário; .

2 .O limite desta área fechada é um círculo ou , onde .

A função na fronteira da região torna-se uma função de uma variável: , onde . Vamos encontrar os maiores e menores valores desta função.

Para x=0 ; (0,-3) e (0,3) são pontos críticos.

Calcule os valores da função nas extremidades do segmento

3 . Comparando os valores, obtemos

Nos pontos A e B.

Nos pontos C e D.

Exemplo 3 Encontre os maiores e menores valores da função na área fechada dada pela desigualdade:

Solução. A área é um triângulo limitado pelos eixos coordenados e pela reta x+y=1.

1. Encontre pontos estacionários dentro da área:

; ; y \u003d - 1/ 8; x = 1/8.

O ponto estacionário não pertence à área em consideração, portanto o valor de z nele não é calculado.

2 .Investigue a função na fronteira. Como o limite consiste em três seções descritas por três equações diferentes, estudamos a função em cada seção separadamente:

A) na seção 0A: y=0 - equação 0A, então ; fica claro pela equação que a função aumenta em 0A de 0 a 1. Portanto, .

b) na seção 0B: x=0 - equação 0B, então ; –6a+1=0; - ponto crítico.

V) na linha x+y = 1: y=1-x, então obtemos a função

Calculemos o valor da função z no ponto B(0,1).

3 .Comparando os números, obtemos que

Na reta AB.

No ponto B.

Testes de autocontrole do conhecimento.

1 . O extremo da função é

a) suas derivadas de primeira ordem

b) sua equação

c) sua agenda

d) seu máximo ou mínimo

2. O extremo de uma função de várias variáveis ​​pode ser alcançado:

a) apenas em pontos situados dentro de seu domínio de definição, nos quais todas as derivadas parciais de primeira ordem são maiores que zero

b) apenas em pontos situados dentro de seu domínio de definição, nos quais todas as derivadas parciais de primeira ordem são menores que zero

c) apenas em pontos situados dentro de seu domínio de definição, nos quais todas as derivadas parciais de primeira ordem não são iguais a zero

d) apenas em pontos situados dentro de seu domínio de definição, nos quais todas as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero

3. Uma função contínua em uma área fechada limitada atinge seus valores máximo e mínimo:

a) em pontos estacionários

b) quer em pontos estacionários, quer em pontos situados na fronteira da região

c) em pontos situados no limite da região

d) em todos os pontos

4. Pontos estacionários para uma função de várias variáveis ​​são chamados de pontos:

a) em que todas as derivadas parciais de primeira ordem não são iguais a zero

b) em que todas as derivadas parciais de primeira ordem são maiores que zero

c) em que todas as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero

d) em que todas as derivadas parciais de primeira ordem são menores que zero

Funções de várias variáveis

1. Definições básicas

Definição 1. A correspondência que corresponde a cada par (x; y) de valores das variáveis ​​x e y pertencentes a algum conjunto de pares D, um e apenas um número zОR, é chamada de função de duas variáveis, definidas no conjunto D com valores em R. Neste caso, escrevemos z = f (x;y). D = D(f) é o domínio da função f.

2. Incrementos parciais e totais de uma função de duas variáveis

Se na função z \u003d f (x; y) de duas variáveis ​​x e y fixamos o valor de uma delas, por exemplo y \u003d y 0 , obtemos a função z \u003d f (x; y 0 ), dependendo de uma variável x.

Da mesma forma, se fixarmos a variável x \u003d x 0, obteremos a função z \u003d f (x 0; y) de uma variável y.

Definição 2. O valor D x z \u003d f (x 0 + Dx; y 0) - f (x 0; y 0) é chamado incremento privado funções z \u003d f (x; y) no ponto (x 0; y 0) pelo argumento x.

Definição 3. O valor D y z \u003d f (x 0; y 0 + Dy) - f (x 0; y 0) é chamado incremento privado funções z = f(x; y) no ponto (x 0 ; y 0) pelo argumento y.

Definição 4. O valor Dz \u003d f (x 0 + Dx; y 0 + Dy) - f (x 0; y 0) é chamado incremento completo funções z = f(x; y) no ponto (x 0 ; y 0).

3. Derivadas parciais de funções de duas variáveis

Seja dada uma função z = f(x; y) de duas variáveis ​​independentes x e y. Fixando uma delas, por exemplo, definindo y = const, chegamos a uma função de uma variável x. Então podemos introduzir o conceito de derivada da função obtida em relação a x, que denotamos por . De acordo com a definição da derivada de uma função de uma variável, temos:

Definição 5. O limite da razão do incremento parcial D x z da função z=f(x; y) em relação à variável x para o incremento Dx da variável x com Dx tendendo a zero é chamado derivativo parcial funções em x e é denotado por ; ;

Da mesma forma, é definido e denotado derivativo parcial funções z = f(x; y) em relação à variável y.

Exemplo 1 Encontre derivadas parciais de funções:

1. f(x; y) = x 3 + x 2 y 2 + y 3 + 3;

2. z = x y + y x .

Solução

1. Assumindo y = const, e considerando x como uma variável independente, encontramos

Da mesma forma, para x = const, obtemos .

2. Para y = const

;

para x = const

Todos os itens acima podem ser estendidos para funções de qualquer número de variáveis.

Exemplo 2 Encontrar Derivadas Parciais de Funções

u \u003d f (x; y; z) \u003d cos (x 2 + y 2 + z 2).

Solução

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = const, y = const.

Como as derivadas parciais de uma função de várias variáveis ​​também são, de modo geral, funções de várias variáveis, também é possível calcular derivadas parciais para elas. Esses derivados são chamados derivadas parciais de ordens superiores.

Por exemplo, para uma função f(x; y) de duas variáveis, existem os seguintes tipos de derivadas de segunda ordem:

- segunda derivada parcial em relação a x;

e = - derivadas parciais mistas

é a segunda derivada parcial em relação a y.

4. Diferencial total de uma função de duas variáveis

Definição 6. A diferencial total da função z=f(x;y) de duas variáveis ​​xey é a parte principal do incremento total Dz, que é linear em relação aos incrementos dos argumentos Dx e Dy.

Levando em consideração o fato de que Dx = dx e Dy = dy, o diferencial total da função z = f(x; y) é calculado pela fórmula

Exemplo 3 Calcular o diferencial total de uma função

z \u003d ln (x 2 + y 2).

Solução. Encontre as derivadas parciais e desta função

Depois de substituí-los na fórmula (3.5), obtemos

dz =

Encontrar derivadas parciais de funções

284. z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285. z = (x + y) 3

286.z= 287.z=

288. z = x 3 y - y 3 x 289. z = 2y

290. z = x y ln(x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x y 293. z =

294. z = e y/x – e x/y 295. z = x y + sin

296. z = sin(x 2 y + xy 2) 297. z = y x + arctg

Encontrar Derivadas Parciais de Segunda Ordem

298. z = x 4 + 4x 2 y 3 + 7xy + 1 299. z = x 2 y

300. z = 4x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 301. z = xy + sin(x + y)

302.z = sen x cos y 303.z =

304. z = xe y 305. z = x + y +

306. z = x 2y 307. z = ln(x + e xy)

Verifique isso

308,z = 309,z = ln(x - 2y)

310.z = 311.z = x 2 sen

312.z = 313.z = arctan

Encontre o diferencial total de funções

314. z = xy 3 - 3x 2 y 2 + 2y 4 +1 315. z = 3x 2 y 5

316. z = sin(x 2 + y 2) 317. z = x y

318. z = e xy 319. z = e x cos y

320. z = e y cos x 321. z = cos + sen

5. Extremos de uma função de duas variáveis

Definições básicas

Definição 1. O ponto M (x 0; y 0) é chamado de ponto máximo (mínimo) da função z \u003d f (x; y), se houver uma vizinhança do ponto M, tal que para todos os pontos (x; y ) dessa vizinhança vale a seguinte desigualdade:

f(x 0 ; y 0) ³ f(x; y), .

Teorema 1 (condição necessária para a existência de um extremo) . Se uma função diferenciável z = f(x; y) atinge um extremo no ponto M(x 0 ; y 0), então suas derivadas parciais de primeira ordem neste ponto são iguais a zero, ou seja, ;

Os pontos nos quais as derivadas parciais são iguais a zero são chamados estacionário ou Pontos críticos.

Teorema 2 (condição suficiente para a existência de um extremo)

Seja a função z = f(x; y):

a) é definido em alguma vizinhança do ponto (x 0 ; y 0), onde E ;

b) tem derivadas parciais contínuas de segunda ordem neste ponto

;

Então, se D \u003d AC - B 2 > 0, então no ponto (x 0; y 0) a função z \u003d f (x; y) tem um extremo, além disso, se A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (ou C > 0) é o mínimo. No caso de D \u003d AC - B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Exemplo 1 Encontre o extremo da função z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y.

Solução. Vamos encontrar derivadas parciais de primeira ordem:

vamos usar Condição necessaria a existência de um extremo:

Resolvendo o sistema de equações, encontramos as coordenadas x e y dos pontos estacionários: x = 0; y = 3, ou seja, M(0; 3).

Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem e encontramos seus valores no ponto M.

A = = 2; C = = 2;

Compomos o discriminante D \u003d AC - B 2 \u003d 2 × 2 - 1\u003e 0, A \u003d 2\u003e 0. Portanto, no ponto M (0; 3) dada função tem um mínimo. O valor da função neste ponto é z min = -9.

Encontrar extremos de funções

322. z \u003d x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z \u003d y 3 - x 3 - 3xy

324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6y

326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2y

328. z = e - x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 - 6xy + 1

330. z = 3x 2 y - x 3 - y 4 331. z = 3x + 6y - x 2 - xy + y 2

Os maiores e menores valores de uma função de duas variáveis

Em uma área fechada

Encontrar o melhor E ao menos valores de função em uma área fechada, é necessário:

1) encontre os pontos críticos localizados na área indicada e calcule os valores da função nesses pontos;

2) encontre pontos críticos no limite da região e calcule os valores máximo e mínimo das funções neles;

3) de todos os valores encontrados, escolha o maior e o menor.

Exemplo 2 Encontre os maiores e menores valores da função z = no círculo x 2 + y 2 £ 1.

Solução. Vamos encontrar as coordenadas dos pontos críticos localizados dentro da região considerada, para os quais calculamos as derivadas parciais de primeira ordem da função z e as igualamos a zero.

onde x = 0, y = 0 e, portanto, M(0; 0) é o ponto crítico.

Vamos calcular o valor da função z no ponto М(0; 0): z(0; 0) = 2.

Vamos encontrar os pontos críticos no limite da região - o círculo dado pela equação x 2 + y 2 \u003d 1. Substituindo y 2 \u003d 1 - x 2 na função z \u003d z (x; y), temos obter uma função de uma variável

z= ;

e xí[-1; 1].

Tendo calculado a derivada e igualando a zero, obtemos pontos críticos na fronteira da região x 1 = 0, x 2 = , x 3 =

Encontre o valor da função z(x) = nos pontos críticos e nas extremidades do segmento [-1; 1]: z(0) = ; = ; ; z(-1) = ; z(1) =

Escolhemos o maior e o menor entre os valores da função z em pontos críticos localizados dentro e na fronteira do círculo.

Então, z máx. = z(0; 0) = 2

z nome =z

Extremo condicional

Definição 2. O extremo condicional da função z = f(x; y) é o extremo desta função, alcançado sob a condição de que as variáveis ​​xey estejam relacionadas pela equação j(x; y) = 0 (equação de relacionamento). , y = .

Assim, a hipotenusa tem o menor valor se os catetos do triângulo forem iguais entre si.

Encontre os maiores e menores valores das funções:

332. z \u003d x 2 - xy + y 2 - 4x em uma área fechada delimitada pelas linhas x \u003d 0, y \u003d 0, 2x + 3y - 12 \u003d 0.

333. z = xy + x + y ao quadrado por linhas x = 1, x = 2, y = 2, y = 3.

334. z = x 2 + 3y 2 + x - y em um triângulo limitado por linhas x = 1, y = 1, x + y = 1.

335. z = sin x + sin y + sin (x + y) na região 0 £ x £ , 0 £ y £ .

336. z = xy no círculo x 2 + y 2 £ 1.

337. z = 1 - x 2 - y 2 no círculo (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1.

338. z \u003d x 2 + y 2 no círculo (x - ) 2 + (y - ) 2 £ 9.

339. Encontre o extremo da função z \u003d x 2 + y 2 se x e y estiverem relacionados pela equação \u003d 1.

340. De todos os triângulos com perímetro P, encontre o maior em área.

341. De todos os retângulos com uma dada área S, encontre aquele cujo perímetro tenha o menor valor.

342. Determine as dimensões de uma piscina aberta de volume V, que tem a menor superfície.

343. Encontre as dimensões de um paralelepípedo retangular com o volume máximo para uma dada superfície total S.

344. Determine as dimensões do cilindro de maior volume, desde que sua superfície total seja S = 6p.

*Sob conceitos convexo E concavidade gráfico de função deve ser entendido inchar E abaixo respectivamente.