Momento de inércia durante a translação paralela dos eixos. Mudança nos momentos de energia durante a translação paralela dos eixos. Momentos estáticos. Determinando o centro de gravidade

Lar

Árvore

Os eixos que passam pelo centro de gravidade de uma figura plana são chamados de eixos centrais.
O momento de inércia em torno do eixo central é chamado de momento central de inércia.

Teorema

O momento de inércia em torno de qualquer eixo é igual à soma do momento de inércia em torno do eixo central paralelo a este e o produto da área da figura pelo quadrado da distância entre os eixos.

Para provar este teorema, considere uma figura plana arbitrária cuja área é igual a UM , o centro de gravidade está localizado no ponto COM , e o momento central de inércia em torno do eixo x vai eu x .
Vamos calcular o momento de inércia da figura em relação a um determinado eixo x 1 , paralelo ao eixo central e espaçado dele a uma distância UM (arroz).

Eu x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Analisando a fórmula resultante, notamos que o primeiro termo é o momento de inércia axial em relação ao eixo central, o segundo termo é o momento estático da área desta figura em relação ao eixo central (portanto, é igual a zero), e o terceiro termo após a integração pode ser representado como um produto um 2 A , ou seja, como resultado obtemos a fórmula:

Eu x1 = Eu x + a 2 A- o teorema está provado.

Com base no teorema, podemos concluir que de uma série de eixos paralelos, o momento de inércia axial de uma figura plana será o menor em relação ao eixo central .

Eixos principais e principais momentos de inércia

Imaginemos uma figura plana cujos momentos de inércia em relação aos eixos coordenados eu x E eu sim , e o momento polar de inércia em relação à origem é igual a eu ρ . Como foi estabelecido anteriormente,

Eu x + eu y = eu ρ.

Se os eixos coordenados forem girados em seu plano em torno da origem das coordenadas, o momento polar de inércia permanecerá inalterado e os momentos axiais mudarão, enquanto sua soma permanecerá constante. Como a soma das variáveis é constante, uma delas diminui e a outra aumenta, e vice-versa.
Consequentemente, em uma determinada posição dos eixos, um dos momentos axiais atingirá o valor máximo e o outro - o mínimo.

Os eixos em torno dos quais os momentos de inércia têm valores mínimos e máximos são chamados de eixos principais de inércia.
O momento de inércia em torno do eixo principal é denominado momento de inércia principal.

Se o eixo principal passa pelo centro de gravidade de uma figura, ele é chamado de eixo central principal, e o momento de inércia em torno de tal eixo é chamado de momento de inércia central principal.
Podemos concluir que se uma figura é simétrica em relação a qualquer eixo, então este eixo será sempre um dos principais eixos centrais de inércia desta figura.

Momento centrífugo de inércia

O momento centrífugo de inércia de uma figura plana é a soma dos produtos das áreas elementares tomadas em toda a área e a distância a dois eixos perpendiculares entre si:

Eu xy = Σ xy dA,

Onde x , sim - distâncias do local dA para eixos x E sim .
O momento centrífugo de inércia pode ser positivo, negativo ou zero.

O momento de inércia centrífugo está incluído nas fórmulas de determinação da posição dos eixos principais das seções assimétricas.
As tabelas de perfis padrão contêm uma característica chamada raio de giração da seção , calculado pelas fórmulas:

eu x = √ (eu x / A),eu y = √ (eu y / A) , (doravante o sinal"√"- sinal de raiz)

Onde eu x, eu y - momentos axiais de inércia da seção em relação aos eixos centrais; UM - área da seção transversal.
Esta característica geométrica é utilizada no estudo de tensão ou compressão excêntrica, bem como flexão longitudinal.

Deformação torcional

Conceitos básicos sobre torção. Torção de uma viga redonda.

Torção é um tipo de deformação em que ocorre apenas um torque em qualquer seção transversal de uma viga, ou seja, um fator de força que provoca um movimento circular da seção em relação a um eixo perpendicular a esta seção, ou impede tal movimento. Em outras palavras, as deformações torcionais ocorrem se um par ou pares de forças são aplicados a uma viga reta em planos perpendiculares ao seu eixo.
Os momentos desses pares de forças são chamados de torção ou rotação. O torque é denotado por T .
Esta definição divide convencionalmente os fatores de força da deformação torcional em externos (torcional, torque T ) e interno (torques M cr ).

Em máquinas e mecanismos, os eixos redondos ou tubulares são mais frequentemente submetidos à torção, portanto, os cálculos de resistência e rigidez são feitos com mais frequência para tais unidades e peças.

Considere a torção de um eixo cilíndrico redondo.
Imagine um eixo cilíndrico de borracha no qual uma das extremidades está rigidamente fixada e na superfície há uma grade de linhas longitudinais e círculos transversais. Aplicaremos algumas forças na extremidade livre do eixo, perpendicular ao eixo deste eixo, ou seja, vamos torcê-lo ao longo do eixo. Se você examinar cuidadosamente as linhas de grade na superfície do eixo, notará que:
- o eixo do eixo, denominado eixo de torção, permanecerá reto;
- os diâmetros dos círculos permanecerão os mesmos e a distância entre os círculos adjacentes não mudará;
- as linhas longitudinais no eixo se transformarão em linhas helicoidais.

Disto podemos concluir que quando uma viga cilíndrica redonda (eixo) é torcida, a hipótese de seções planas é válida, e também podemos assumir que os raios dos círculos permanecem retos durante a deformação (já que seus diâmetros não mudaram). E como não há forças longitudinais nas seções do eixo, a distância entre elas é mantida.

Consequentemente, a deformação torcional de um eixo redondo consiste na rotação das seções transversais umas em relação às outras em torno do eixo de torção, e seus ângulos de rotação são diretamente proporcionais às distâncias da seção fixa - quanto mais longe qualquer seção estiver da extremidade fixa do eixo, maior será o ângulo em relação ao eixo do eixo que ele gira.
Para cada seção do eixo, o ângulo de rotação é igual ao ângulo de torção da parte do eixo encerrada entre esta seção e a vedação (extremidade fixa).

Canto ( arroz. 1) a rotação da extremidade livre do eixo (seção final) é chamada ângulo completo torcer a viga cilíndrica (eixo).
Ângulo de torção relativo φ 0 chamada razão do ângulo de torção φ1 para a distância eu 1 de uma determinada seção para a incorporação (seção fixa).
Se a viga cilíndrica (eixo) for longa eu tem uma seção transversal constante e é carregado com um momento de torção na extremidade livre (ou seja, consiste em uma seção geométrica homogênea), então a seguinte afirmação é verdadeira:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = const - o valor é constante.

Se considerarmos uma fina camada na superfície da barra cilíndrica de borracha acima ( arroz. 1), limitado por uma célula de grade cdef , notamos então que esta célula se deforma durante a deformação, e seu lado, distante da seção fixa, se desloca em direção à torção da viga, ocupando a posição cde 1 f 1 .

Deve-se notar que um quadro semelhante é observado durante a deformação por cisalhamento, somente neste caso a superfície é deformada devido ao movimento translacional das seções entre si, e não devido ao movimento rotacional, como na deformação torcional. Com base nisso, podemos concluir que durante a torção em seções transversais surgem apenas tangentes forças internas(tensões) que geram torque.

Assim, o torque é o momento resultante em relação ao eixo do feixe de forças tangenciais internas atuando na seção transversal.

Sejam também conhecidos Ix, Iy, Ixy. Vamos desenhar um novo eixo x 1, y 1 paralelo aos eixos xy.

E vamos determinar o momento de inércia da mesma seção em relação aos novos eixos.

X 1 = x-a; y 1 =y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix – 2b Sx + b 2 A.

Se o eixo x passa pelo centro de gravidade da seção, então o momento estático Sx =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Semelhante ao novo eixo y 1, teremos a fórmula I y 1 = Iy + a 2 A

Momento centrífugo de inércia em relação a novos eixos

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.

Se os eixos xy passam pelo centro de gravidade da seção, então Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Se a seção for simétrica, pelo menos um dos eixos centrais coincide com o eixo de simetria, então Ixy =0, o que significa Ix 1 y 1 = abA

Alteração dos momentos de inércia ao girar os eixos.

Sejam conhecidos os momentos axiais de inércia em torno dos eixos xy.

Obtemos um novo sistema de coordenadas xy girando sistema antigo por ângulo (a >0), se girado no sentido anti-horário.

Vamos estabelecer a relação entre as coordenadas antigas e as novas do site

y 1 =ab = ac – bc = ab-de

do triângulo acd:

ac/ad =cos α ac= ad*cos α

do triângulo oed:

de / od = pecado α dc = od * pecado α

Vamos substituir esses valores na expressão para y

y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.

Da mesma maneira

x 1 = x cos α + y sin α.

Vamos calcular o momento de inércia axial em relação ao novo eixo x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sen α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sen α cos α + x 2 sen 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sen2 α ∫xy dA + sen 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sen2 α + Iy sen 2 α .

Da mesma forma, Iy 1 = Ix sen 2 α - Ixy sen2 α + Iy cos 2 α.

Vamos adicionar os lados esquerdo e direito das expressões resultantes:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sen 2 α + cos 2 α) + Iy (sen 2 α + cos 2 α) + Ixy (sen2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

A soma dos momentos axiais de inércia durante a rotação não muda.

Vamos determinar o momento centrífugo de inércia em relação aos novos eixos. Vamos imaginar os valores x 1 ,y 1 .

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sen 2 α + Ixy cos 2 α .

Principais momentos e principais eixos de inércia.

Principais momentos de inércia eles são chamados de valores extremos.

Os eixos sobre os quais os valores extremos foram obtidos são chamados de eixos principais de inércia. Eles são sempre mutuamente perpendiculares.

O momento de inércia centrífugo em relação aos eixos principais é sempre igual a 0. Como se sabe que existe um eixo de simetria na seção, o momento centrífugo é igual a 0, o que significa que o eixo de simetria é o eixo principal. Se tomarmos a primeira derivada da expressão I x 1 e igualá-la a “0”, obtemos o valor do ângulo = correspondente à posição dos eixos principais de inércia.

tan2 α 0 = -

Se α 0 >0, então para uma determinada posição dos eixos principais o eixo antigo deve ser girado no sentido anti-horário. Um dos eixos principais é máximo e o outro é mínimo. Neste caso, o eixo máximo corresponde sempre a um ângulo menor com aquele eixo aleatório em relação ao qual possui um momento de inércia axial maior. Os valores extremos do momento axial de inércia são determinados pela fórmula:

Capítulo 2. Conceitos básicos de resistência de materiais. Objectivos e métodos.

Ao projetar várias estruturas, é necessário resolver vários problemas de resistência, rigidez e estabilidade.

Força– a capacidade de um determinado corpo de suportar várias cargas sem destruição.

Rigidez– a capacidade de uma estrutura absorver cargas sem grandes deformações (deslocamentos). Os valores de deformação previamente permitidos são regulamentados códigos de construção e regras (SNIP).

Sustentabilidade

Considere a compressão de uma haste flexível

Se a carga aumentar gradualmente, a haste primeiro encurtará. Quando a força F atinge um certo valor crítico, a haste irá entortar. - encurtamento absoluto.

Nesse caso, a haste não entra em colapso, mas muda drasticamente de forma. Este fenômeno é chamado de perda de estabilidade e leva à destruição.

Sopromat– estes são os fundamentos das ciências da resistência, rigidez e estabilidade das estruturas de engenharia. Os materiais de resistência usam métodos de mecânica teórica, física e matemática. Ao contrário da mecânica teórica, a resistência mecânica leva em consideração as mudanças no tamanho e na forma dos corpos sob a influência da carga e da temperatura.

Muitas vezes ao decidir problemas práticosé necessário determinar os momentos de inércia da seção em relação aos eixos orientados de forma diferente em seu plano. Neste caso, é conveniente utilizar os valores já conhecidos dos momentos de inércia de toda a seção (ou de suas partes constituintes individuais) em relação a outros eixos, fornecidos na literatura técnica, livros de referência especiais e tabelas, também conforme calculado usando fórmulas disponíveis. Portanto, é muito importante estabelecer as relações entre os momentos de inércia de uma mesma seção em relação a diferentes eixos.

No caso mais geral, passar de qualquer antigo para qualquer novo sistema as coordenadas podem ser consideradas como duas transformações sucessivas do antigo sistema de coordenadas:

1) por transferência paralela de eixos coordenados para uma nova posição e

2) girando-os em relação à nova origem. Consideremos a primeira dessas transformações, ou seja, translação paralela dos eixos coordenados.

Suponhamos que os momentos de inércia de uma determinada seção em relação aos eixos antigos (Fig. 18.5) sejam conhecidos.

Tomemos um novo sistema de coordenadas cujos eixos sejam paralelos aos anteriores. Vamos denotar aeb as coordenadas do ponto (ou seja, a nova origem) no antigo sistema de coordenadas

Vamos considerar um site elementar cujas coordenadas no antigo sistema de coordenadas são iguais a y e . No novo sistema eles são iguais

Vamos substituir esses valores de coordenadas na expressão do momento axial de inércia em relação ao eixo

Na expressão resultante, o momento de inércia, o momento estático da seção em relação ao eixo, é igual à área F da seção.

Por isso,

Se o eixo z passa pelo centro de gravidade da seção, então o momento estático e

Da fórmula (25.5) fica claro que o momento de inércia em torno de qualquer eixo que não passa pelo centro de gravidade é maior que o momento de inércia em torno do eixo que passa pelo centro de gravidade, em um valor que é sempre positivo. Consequentemente, de todos os momentos de inércia em torno de eixos paralelos, o momento de inércia axial tem menor valor em relação a um eixo que passa pelo centro de gravidade da seção.

Momento de inércia em torno do eixo [por analogia com a fórmula (24.5)]

No caso particular quando o eixo y passa pelo centro de gravidade da seção

As fórmulas (25.5) e (27.5) são amplamente utilizadas no cálculo dos momentos axiais de inércia de seções complexas (compostas).

Vamos agora substituir os valores na expressão do momento centrífugo de inércia em relação aos eixos

Figura 7.

Onde eu x, eu y – momentos axiais de inércia relativos aos eixos de referência;

eu xy– momento de inércia centrífuga em relação aos eixos de referência;

Eu xc, eu yc– momentos axiais de inércia em relação aos eixos centrais;

Eu xcic– momento centrífugo de inércia em relação aos eixos centrais;

um, b– distância entre eixos.

Determinação dos momentos de inércia de uma seção ao girar os eixos

Todas as características geométricas da seção em relação aos eixos centrais são conhecidas x C,em C(Fig. 8). Vamos determinar os momentos de inércia em relação aos eixos x 1,às 1, girado em relação aos centrais em um determinado ângulo um.

Figura 8

Onde Eu x 1, eu e 1 – momentos axiais de inércia em torno dos eixos x 1,às 1 ;

Eu x 1 e 1– momento centrífugo de inércia em relação aos eixos x 1,às 1 .

Determinação da posição dos principais eixos centrais de inércia

A posição dos principais eixos centrais de inércia da seção é determinada pela fórmula:

Onde um 0 – o ângulo entre os eixos de inércia central e principal.

Determinação dos principais momentos de inércia

Os principais momentos de inércia da seção são determinados pela fórmula:

Sequência de cálculo de uma seção complexa

1) Divida uma seção complexa em seções mais simples formas geométricas [S1, S2,…;x 1, e 1; x 2, e 2, …]

2) Selecione eixos arbitrários XOY .

3) Determine a posição do centro de gravidade da seção [xc, yc].

4) Desenhe os eixos centrais X c OY c.

5) Calcule momentos de inércia Ixc, Eu c , usando o teorema da translação paralela de eixos.

6) Calcule o momento centrífugo de inércia Ix c e c.

7) Determine a posição dos principais eixos de inércia tg2a0.

8) Calcule os principais momentos de inércia Imax, Imin.

EXEMPLO 2

Para a figura mostrada na Figura 13, determine os pontos principais

inércia e a posição dos principais eixos de inércia.

1) Dividimos a seção complexa em formas geométricas simples

S 1 = 2.000 mm 2, S2 = 1200mm2, S = 3200mm2.

2) Selecione eixos XOY arbitrários.

3) Determine a posição do centro de gravidade da seção

x c = 25 mm, e c=35mm.

4) Desenhando os eixos centrais X c OY c

5) Calcule momentos de inércia Ixc, Iyc

6) Calcule o momento centrífugo de inércia Ix c e c

7) Determine a posição dos principais eixos de inércia

Se eu x >eu y E um 0 >0 , então o ângulo um 0 deslocamento do eixo Xs sentido anti-horário.

8) Calcule os principais momentos de inércia Imax, Imin

EXEMPLO 3

Para a figura mostrada na Fig. 8 determinar a posição dos eixos principais

Figura 8.

inércia e principais momentos de inércia.

1) Anotamos os dados iniciais básicos de cada figura

Canal

S1 = 10,9cm2

eu x = 20,4cm4

eu e = 174cm4

e 0= 1,44 centímetros

h= 10 centímetros

Canto desigual

S3 = 6,36cm2

eu x = 41,6cm4

eu e = 12,7cm4

eu min = 7,58cm4

tga= 0,387

x0= 1,13 centímetros

e 0= 2,6 centímetros

Retângulo

S2 = 40cm2

centímetros 4

2) Desenhe a seção em escala

3) Desenhe eixos coordenados arbitrários

4) Determine as coordenadas do centro de gravidade da seção

5) Desenhe os eixos centrais

6) Determine os momentos axiais de inércia em relação aos eixos centrais

7) Determine o momento centrífugo de inércia em relação aos eixos centrais

O momento centrífugo de inércia do aço laminado angular em relação ao seu centro de gravidade é determinado por uma das seguintes fórmulas:

-4

O sinal do momento centrífugo de inércia para aço laminado angular é determinado de acordo com a Fig. 9, portanto eu xy 3= -13,17cm4.

8) Determine a posição dos principais eixos de inércia

a0 = 21,84°

9) Determine os principais momentos de inércia

TAREFA 4

Para os esquemas fornecidos (Tabela 6) é necessário:

1) Desenhe uma seção transversal em uma escala estrita.

2) Determine a posição do centro de gravidade.

3) Encontre os valores dos momentos axiais de inércia em relação aos eixos centrais.

4) Encontre o valor do momento centrífugo de inércia em relação aos eixos centrais.

5) Determine a posição dos principais eixos de inércia.

6) Encontre os principais momentos de inércia.

Pegue os dados numéricos da tabela. 6.

Esquemas de cálculo para o problema nº 4

Tabela 6

Dados iniciais para a tarefa nº 4

№	Canto de ângulo igual	Canto desigual	feixe em I	Canal	Retângulo	Esquema nº.
	30'5	50'32'4			100'30
	40'6	56'36'4			100'40
	50'4	63'40'8			100'20
	56'4	70'45'5			80'40
	63'6	80'50'6		14a	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80'8	100'63'6	20h	16a	80'20
	90'9	90'56'8			60'40
	75'9	140´90´10	22a	18a	60'60
	100´10	160´100´12			60'40
	d	UM	b	V	G	d

Instruções para o Problema 5

A flexão é um tipo de deformação em que V.S.F aparece na seção transversal da haste. – momento fletor.

Para calcular uma viga para flexão é necessário saber o valor do momento fletor máximo M e a posição da seção em que ocorre. Da mesma forma, você precisa saber a força de cisalhamento máxima P. Para tanto, são construídos diagramas de momentos fletores e forças cortantes. A partir dos diagramas é fácil julgar onde está o valor máximo do momento ou força de cisalhamento. Para determinar os valores M E P use o método de seção. Considere o circuito mostrado na Fig. 9. Vamos compilar a soma das forças no eixo S, atuando na parte cortada da viga.

Figura 9.

A força transversal é igual à soma algébrica de todas as forças que atuam em um lado da seção.

Compilemos a soma dos momentos atuantes na parte cortada da viga em relação à seção.

O momento fletor é igual à soma algébrica de todos os momentos que atuam na parte cortada da viga em relação ao centro de gravidade da seção.

Para poder realizar cálculos a partir de qualquer extremidade da viga, é necessário adotar a regra do sinal para os fatores de força internos.

Para força de cisalhamento P.

Figura 10.

Se uma força externa girar a parte cortada da viga no sentido horário, então a força será positiva; se uma força externa girar a parte cortada da viga no sentido anti-horário, então a força será negativa;

Para momento fletor M.

Figura 11.

Se, sob a influência de uma força externa, o eixo curvo da viga assume a forma de uma tigela côncava, de modo que a chuva vinda de cima a enche de água, então o momento fletor é positivo (Fig. 11a). Se, sob a influência de uma força externa, o eixo curvo da viga assume a forma de uma tigela convexa, de modo que a chuva vinda de cima não a enche de água, então o momento fletor é negativo (Fig. 11b).

Entre intensidade de carga distribuída q, força de cisalhamento P e momento fletor M, atuando em uma determinada seção, existem as seguintes dependências diferenciais:

As dependências diferenciais indicadas durante a flexão permitem estabelecer algumas características dos diagramas de forças transversais e momentos fletores.

1) Nas áreas onde não há carga distribuída, diagrama P é limitado por linhas retas paralelas ao eixo do diagrama, e o diagrama M , no caso geral, por retas inclinadas (Fig. 19).

2) Nas áreas onde uma carga uniformemente distribuída é aplicada à viga, diagrama P é limitado por linhas retas inclinadas, e o diagrama M – parábolas quadráticas (Fig. 20). Ao construir um diagrama M nas fibras comprimidas, a convexidade da parábola está voltada na direção oposta à ação da carga distribuída (Fig. 21a, b).

Figura 12.

Figura 13.

3) Nas seções onde P= 0, tangente ao diagrama M paralelo ao eixo do diagrama (Fig. 12, 13). O momento fletor em tais seções da viga é de magnitude extrema ( M máx.,Mmin).

4) Em áreas onde P> 0, M aumenta, ou seja, da esquerda para a direita as ordenadas positivas do diagrama M aumentam, os negativos diminuem (Fig. 12, 13); naquelas áreas onde P < 0, M diminui (Fig. 12, 13).

5) Nas seções onde forças concentradas são aplicadas à viga:

a) no diagrama P haverá saltos na magnitude e na direção das forças aplicadas (Fig. 12, 13).

b) no diagrama M haverá fraturas (Fig. 12, 13), a ponta da fratura é direcionada contra a ação da força.

6) Nas seções onde os momentos concentrados são aplicados à viga, no diagrama M haverá saltos na magnitude desses momentos no diagrama P não haverá alterações (Fig. 14).

Figura 14.

Figura15.

7) Se for concentrado

momento, então nesta seção o momento fletor é igual ao momento externo (seção C E B na Fig. 15).

8) Diagrama P representa um diagrama da derivada do gráfico M. Então as ordenadas P proporcional à tangente do ângulo de inclinação da tangente ao diagrama M(Fig. 14).

A ordem de plotagem P E M:

1) É elaborado um diagrama de projeto da viga (em forma de eixo) mostrando as cargas que atuam sobre ela.

2) A influência dos apoios na viga é substituída pelas reações correspondentes; as designações das reações e suas direções aceitas são indicadas.

3) São compiladas equações de equilíbrio da viga, cuja solução determina os valores das reações de apoio.

4) A viga é dividida em seções, cujos limites são os pontos de aplicação de forças e momentos externos concentrados, bem como os pontos de início e fim da ação ou mudança na natureza das cargas distribuídas.

5) Expressões para momentos fletores são compiladas M e forças de cisalhamento P para cada seção da viga. O diagrama de cálculo indica o início e a direção da medição da distância para cada seção.

6) Usando as expressões obtidas, as ordenadas dos diagramas são calculadas para um número de seções da viga em quantidade suficiente para exibir esses diagramas.

7) São determinadas seções nas quais as forças transversais são iguais a zero e nas quais, portanto, atuam os momentos Mmáx. ou Mmin para uma determinada seção da viga; os valores desses momentos são calculados.

8) Os diagramas são construídos usando os valores ordenados obtidos.

9) Os diagramas construídos são verificados comparando-os entre si.

Diagramas de fatores de força internos durante a flexão são construídos para determinar a seção perigosa. Depois que a seção perigosa for encontrada, a resistência da viga é calculada. No caso geral de flexão transversal, quando um momento fletor e uma força transversal atuam nas seções de uma haste, surgem tensões normais e de cisalhamento na seção da viga. Portanto, é lógico considerar duas condições de força:

a) de acordo com tensões normais

b) por tensões tangenciais

Como o principal fator destrutivo para vigas são as tensões normais, as dimensões da seção transversal de uma viga com o formato aceito são determinadas a partir da condição de resistência para tensões normais:

Em seguida é verificado se a seção da viga selecionada satisfaz a condição de resistência para tensões de cisalhamento.

No entanto, esta abordagem para cálculo de vigas ainda não caracteriza a resistência da viga. Em muitos casos, existem pontos nas seções da viga nos quais grandes tensões normais e de cisalhamento atuam simultaneamente. Nestes casos, torna-se necessário verificar a resistência da viga utilizando tensões principais. A terceira e quarta teorias de resistência são mais aplicáveis para tais testes:

, .

EXEMPLO 1

Construir diagramas de força de cisalhamento P e momento fletor M para a viga mostrada na Fig. 16 se: F1= 3kN, F2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, UM = 2m, b = 1m, Com = 3m.

Figura 16.

1) Determine as reações de apoio.

;

Exame:

Reações encontradas corretamente

2) Dividimos a viga em seções CA,ANÚNCIO,DE,E. K.,KB.

3) Determine os valores P E M em cada local.

, ; , .

ANÚNCIO

, ;

, .

, ;

, .

, , ;

, , .

Vamos encontrar o momento fletor máximo na área KB.

Vamos igualar a equação P nesta área para zero e expressar a coordenada z máx. , em que P= 0, e o momento tem um valor máximo. Em seguida, substituímos z máx. na equação do momento nesta seção e encontre Mmáx..

, ;

, .

4) Construímos diagramas (Fig. 16)

EXEMPLO 2

Para a viga mostrada na Fig. 16 determine as dimensões de um redondo, retangular ( h/b = 2) e seção I. Verifique a resistência da viga I pelas tensões principais, se [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.

1) Determine o momento de resistência necessário a partir da condição de resistência

2) Determine as dimensões da seção circular

3) Determine as dimensões da seção retangular

4) Selecionamos a viga I nº 10 de acordo com o sortimento (GOST 8239-89)

W X= 39,7cm3, S X * =23cm3, eu X = 198 centímetros 4, h = 100mm, b = 55mm, d = 4,5mm, t = 7,2 mm.

Para verificar a resistência de uma viga com base nas tensões principais, é necessário construir diagramas de tensões normais e tangenciais em uma seção perigosa. Como a magnitude das tensões principais depende das tensões normais e tangenciais, o ensaio de resistência deve ser realizado na seção da viga onde M E P grande o suficiente. Em um suporte EM(Fig. 16) força de cisalhamento P tem um valor máximo, porém aqui M= 0. Portanto, consideramos a seção sobre o suporte perigosa UM, onde o momento fletor é máximo e a força cortante é relativamente grande.

As tensões normais, mudando ao longo da altura da seção, obedecem a uma lei linear:

Onde sim– coordenada do ponto de corte (Fig. 24).

no no= 0, s = 0;

no ymax ,

A lei das mudanças nas tensões de cisalhamento é determinada pela lei das mudanças no momento estático da área, que, por sua vez, muda ao longo da altura da seção de acordo com a lei parabólica. Calculado o valor dos pontos característicos da seção, construiremos um diagrama das tensões tangenciais. Ao calcular os valores de t, usaremos a notação para dimensões de seção adotada na Fig. 17.

A condição de resistência para a camada 3–3 é atendida.

TAREFA 5

Para determinados esquemas de vigas (Tabela 12), construa diagramas de forças transversais P e momento fletor M. Selecione a seção transversal para o diagrama a) redondo [s]= 10 MPa; b) viga I [s]= 150MPa.

Pegue os dados numéricos da tabela. 7.

Tabela 7

Dados iniciais para o problema nº 6

№

sou

q 1 =q 3, kN/m

q 2 , kN/m

F 1, kN

F 2,kN

F 3, kN

M 1, kN∙m

M 2, kN∙m

M 3, kN∙m

Esquema nº.

0,8

1,2

Continuação da tabela 12

Se os eixos forem centrais, então os eixos de momento serão parecidos com:

15.Dependência entre momentos de inércia ao girar os eixos:

J x 1 =J x cos 2 a + J y sen 2 a - J xy sen2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sen 2 a + J xy sen2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

Ângulo a>0, se a transição do sistema de coordenadas antigo para o novo ocorrer no sentido anti-horário. J e 1 + J x 1 = J e + J x

Valores extremos (máximo e mínimo) de momentos de inércia são chamados principais momentos de inércia. Os eixos em torno dos quais os momentos axiais de inércia têm valores extremos são chamados principais eixos de inércia. Os principais eixos de inércia são mutuamente perpendiculares. Momentos centrífugos de inércia em torno dos eixos principais = 0, ou seja, eixos principais de inércia - eixos em torno dos quais o momento centrífugo de inércia = 0. Se um dos eixos coincide ou ambos coincidem com o eixo de simetria, então eles são os principais. Ângulo que define a posição dos eixos principais: , se a 0 >0 Þ os eixos giram no sentido anti-horário. O eixo máximo sempre forma um ângulo menor com o eixo em relação ao qual o momento de inércia é maior. Os eixos principais que passam pelo centro de gravidade são chamados principais eixos centrais de inércia. Momentos de inércia em relação a estes eixos:

J máx + J min = J x + J y . O momento de inércia centrífugo em relação aos principais eixos centrais de inércia é igual a 0. Se os principais momentos de inércia forem conhecidos, então as fórmulas de transição para eixos girados são:

J x 1 =J máx cos 2 a + J min sen 2 a; J y 1 =J máx cos 2 a + J min sen 2 a; J x 1 y1 = (J máx - J min)sin2a;

O objetivo final do cálculo das características geométricas da seção é determinar os principais momentos centrais de inércia e a posição dos principais eixos centrais de inércia. Raio de inércia - ; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .

Se J x e J y são os principais momentos de inércia, então i x e i y - raios principais de giração. Uma elipse construída nos raios de inércia principais e nos semieixos é chamada elipse de inércia. Usando a elipse de inércia, você pode encontrar graficamente o raio de inércia i x 1 para qualquer eixo x 1. Para fazer isso, você precisa desenhar uma tangente à elipse, paralelo ao eixo x 1 e meça a distância deste eixo à tangente. Conhecendo o raio de inércia, pode-se encontrar o momento de inércia da seção em relação ao eixo x 1: . Para seções com mais de dois eixos de simetria (por exemplo: círculo, quadrado, anel, etc.), os momentos de inércia axiais em torno de todos os eixos centrais são iguais, J xy =0, a elipse de inércia se transforma em um círculo de inércia .

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