Significado mecânico da derivada de segunda ordem. Significado mecânico da definição de derivada. Função diferencial completa

Significado mecânico da derivada

A interpretação mecânica da derivada foi dada pela primeira vez por I. Newton. É o seguinte: velocidade de movimento ponto material V no momento o tempo é igual à derivada temporal do caminho, ou seja, Assim, se a lei do movimento de um ponto material é dada por uma equação, então para encontrar a velocidade instantânea do ponto em qualquer momento específico no tempo, você precisa encontrar a derivada e substituir nela o valor t correspondente.

Derivada de segunda ordem e seu significado mecânico

Obtemos (a equação do que foi feito no livro Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. “matemática” p. 240):

Por isso, a aceleração do movimento retilíneo de um corpo em um determinado momento é igual à segunda derivada da trajetória em relação ao tempo, calculada para um determinado momento. Este é o significado mecânico da segunda derivada.

Definição e significado geométrico de diferencial

Definição 4. A parte principal do incremento de uma função, linear em relação ao incremento da função, linear em relação ao incremento da variável independente, é chamada diferencial função e é denotado por d, ou seja, .

O diferencial de uma função é representado geometricamente pelo incremento da ordenada da tangente traçada no ponto M (x; y) para determinados valores de x e?x.

Cálculo diferencial - .

Aplicação de diferencial em cálculos aproximados - , o valor aproximado do incremento da função coincide com o seu diferencial.

Teorema 1.Se a função que está sendo diferenciada aumenta (diminui) em um determinado intervalo, então a derivada desta função não é negativa (não positiva) neste intervalo.

Teorema 2.Se a função derivada é positivo (negativo) em um determinado intervalo, então a função neste intervalo aumenta monotonicamente (diminui monotonicamente).

Vamos agora formular a regra para encontrar intervalos de monotonicidade da função

1. Calcule a derivada desta função.

2. Encontre os pontos onde é zero ou não existe. Esses pontos são chamados crítico para função

3. A partir dos pontos encontrados, o domínio de definição da função é dividido em intervalos, em cada um dos quais a derivada mantém seu sinal. Esses intervalos são intervalos de monotonicidade.

4. Examine o sinal em cada um dos intervalos encontrados. Se estiver no intervalo em consideração, então nesse intervalo aumenta; se, então diminui nesse intervalo.

Dependendo das condições do problema, a regra para encontrar intervalos de monotonicidade pode ser simplificada.

Definição 5. Um ponto é chamado de ponto máximo (mínimo) de uma função se a desigualdade for válida para qualquer x em alguma vizinhança do ponto.

Se é o ponto máximo (mínimo) da função, então dizem que (mínimo) naquele ponto. As funções máximo e mínimo combinam o nome extremo funções, e os pontos de máximo e mínimo são chamados pontos extremos (pontos extremos).

Teorema 3.(um sinal necessário de um extremo). Se é um ponto extremo de uma função e a derivada existe neste ponto, então é igual a zero: .

Teorema 4.(um sinal suficiente de um extremo). Se a derivada muda de sinal quando x passa por a, então a é o ponto extremo da função.

Pontos-chave na pesquisa derivada:

1. Encontre a derivada.

2. Encontre todos os pontos críticos do domínio de definição da função.

3. Defina os sinais da derivada da função ao passar pelos pontos críticos e anote os pontos extremos.

4. Calcule os valores da função em cada ponto extremo.

Seja dado um ponto material no plano. A lei de seu movimento ao longo do eixo de coordenadas é descrita pela lei $x(t)$, onde $t$ especifica o tempo. Então, no tempo de $ t_0 $ a $ t_0 + \Delta t $ o ponto passa pelo caminho $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Acontece que velocidade média tal ponto é encontrado pela fórmula: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Se $\Delta t$ tende a zero, então o valor da velocidade média tenderá a um valor chamado velocidade instantânea no ponto $t_0$:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Ao definir a derivada através do limite, obtemos uma conexão entre a velocidade e a lei do movimento da trajetória de um ponto material:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Exemplos de soluções

Uma função é complexa se puder ser representada como uma função da função y = f[φ(x)], onde y = f(u), аu = φ(x), onde u é um argumento intermediário. Qualquer função complexa pode ser representada na forma de funções elementares (simples), que são seus argumentos intermediários.

Exemplos:

Funções simples: Funções complexas:

y= x 2 y = (x+1) 2 ;você= (x+1); você=você 2 ;

y = senx; y =sen2x;u= 2x; y = seno;

y = e x y = e 2x; y = e você;

y = lnx y = ln(x+2); y =lnu.

A regra geral para diferenciar uma função complexa é dada pelo teorema acima sem prova.

Se a função u=φ(x) tem uma derivada u" x =φ"(x) no ponto x, e a função y =f(u) tem uma derivada u" u =f " (u) no ponto correspondenteu, então a derivada da função complexa y =f[φ(x)] no ponto x é encontrada pela fórmula: y" x =f " (você) você"(x).

Uma formulação menos precisa, mas mais curta, deste teorema é frequentemente usada : a derivada de uma função complexa é igual ao produto da derivada em relação à variável intermediária e a derivada da variável intermediária em relação à variável independente.

Exemplo: y = sen2x 2 ; você= 2x 2 ; y = seno;

y" x = (sinu)" u · (2x 2)" x =cosu · 4x = 4x · cos2x 2.

3. Derivada de segunda ordem. Significado mecânico da segunda derivada.

A derivada da função y =f(x) é chamada de derivada de primeira ordem ou simplesmente a primeira derivada da função. Esta derivada é uma função de x e pode ser diferenciada uma segunda vez. A derivada de uma derivada é chamada de derivada de segunda ordem ou derivada de segunda ordem. É designado: y" xx - (jogador duas tacadas x);f"(x) – ( ef dois golpes em x);d 2 y/dх 2 – (de dois yrek em de x duas vezes);d 2 f/dх 2 – (de dois ef em de x duas vezes).

Com base na definição da segunda derivada, podemos escrever:

y" xx = (y" x)" x; f" (x) = " x d 2 y/dx 2 = d/dx (dу/dx).

A segunda derivada, por sua vez, é função de x e pode ser diferenciada para obter uma derivada de terceira ordem, etc.

Exemplo: y = 2x 3 +x 2;

y" xx = [(2x 3 +x 2)" x ]" x = (6x 2 +2x)" x = 12x+2;

O significado mecânico da segunda derivada é explicado com base na aceleração instantânea, que caracteriza o movimento alternado. Se S=f(t) é a equação do movimento, então=S" t ; UM

Se S=f(t) é a equação do movimento, então=S" t ; qua =;
Se S=f(t) é a equação do movimento, então=S" t ; instantâneo =
média = Se S=f(t) é a equação do movimento, então=S" t ;="t;

instantâneo

Exemplo:= " t = (S" t)" t = S" tt . Se S=f(t) é a equação do movimento, então=S" t ; Assim, a segunda derivada do caminho em relação ao tempo é igual à aceleração instantânea do movimento alternado. Este é o significado físico (mecânico) da 2ª derivada.

Deixe o movimento retilíneo de um ponto material ocorrer de acordo com a lei S = t 3 /3. A aceleração de um ponto material será determinada como a segunda derivada S" tt:

= S" tt = (t 3/3)" = 2t.

4. Função diferencial. Intimamente relacionado ao conceito de derivada está o conceito de diferencial de uma função, que tem importantes aplicações práticas. Função f(
X " ) tem uma derivada

=f
(X); X " De acordo com o teorema (não consideramos o teorema) sobre a conexão entre a quantidade infinitesimal α(∆х)( " α(∆х)=0) com derivada:

(x)+ α (∆x), de onde ∆f = f

(x) ∆х+α(∆х) · ∆х.

Da última igualdade segue-se que o incremento da função consiste em uma soma, cada termo da qual é um valor infinitesimal para ∆x→ 0. Vamos determinar a ordem de pequenez de cada valor infinitesimal desta soma em relação ao ∆x infinitesimal: Consequentemente, f(x) ∆x infinitesimal

e ∆х " têm a mesma ordem de pequenez.

Consequentemente, o valor infinitesimal α(∆x)∆x possui uma ordem de pequenez superior em relação ao valor infinitesimal ∆x. Isso significa que nas expressões para ∆f, o segundo termo α(∆x)∆x tende a 0 mais rápido que ∆x→0 do que o primeiro termo f " (x)∆x. Este é o primeiro termo f " (x)∆x é chamado de diferencial da função no ponto x. É designado " dy (de igrek) ou df (de ef). Então dy = df = f " (x)∆х ordy= f

(x)dx, porque o diferencial dх do argumento é igual ao seu incremento ∆х (se na fórmula df = f (x)dx suponha que f(x)=x, então obtemos df=dx=x" x ∆x, masx" x =1, ou seja, dx=∆x). Assim, o diferencial de uma função é igual ao produto desta função e o diferencial do argumento. O significado analítico do diferencial é que o diferencial de uma função é a parte principal do incremento da função ∆f, linear em relação ao argumento ∆x. O diferencial de uma função difere do incremento de uma função por um valor infinitesimal α(∆х)∆х " de uma ordem de pequenez superior a ∆х.

Exemplo: y = 2x 3 +x 2;dу =?dу = y"dx = (2x 3 +x 2)" x dx= (6x 2 +2x)dx.

Desprezando o valor infinitesimal α(∆х)∆х de ordem superior um pouco mais do que ∆Intimamente relacionado ao conceito de derivada está o conceito de diferencial de uma função, que tem importantes aplicações práticas., obtemos df≈ ∆f≈ f " (x)dх ou seja O diferencial de uma função pode ser usado para aproximar o incremento de uma função, pois o diferencial geralmente é mais fácil de calcular. O diferencial também pode ser aplicado ao cálculo aproximado do valor de uma função. Deixe-nos conhecer a função y = f(x) e sua derivada no ponto x. É necessário encontrar o valor da função f(x+∆x) em algum ponto próximo (x+∆x). Para fazer isso, usaremos a igualdade aproximada ∆у ≈dyou ∆у ≈f " (x)∆x. Considerando que ∆у=f(х+∆х)-f(х), obtemosf(х+∆х)-f (х) ≈f " (x)dх , ondecef(x+∆x) = f(x)+f " (x)dx. A fórmula resultante resolve o problema.

Cartão de instruções nº 20

Takyryby/Assunto: « A segunda derivada e sua significado físico ».

Maksaty/ Finalidade:

Ser capaz de encontrar a equação da tangente, bem como a tangente do ângulo de inclinação da tangente ao eixo OX. Ser capaz de encontrar a taxa de variação de uma função, bem como a aceleração.

Criar condições para a formação de competências para comparar e classificar factos e conceitos estudados.

Promover uma atitude responsável perante o trabalho educativo, vontade e perseverança para alcançar resultados finais na determinação da equação tangente, bem como na determinação da taxa de variação de uma função e aceleração.

Material teórico:

(Significado geométrico derivado)

A equação tangente ao gráfico de uma função é:

Exemplo 1: Vamos encontrar a equação da tangente ao gráfico da função no ponto com obscenidade 2.

Resposta: y = 4x-7

O coeficiente angular k da tangente ao gráfico da função no ponto com a abcissa x o é igual a f / (x o) (k= f / (x o)). O ângulo de inclinação da tangente ao gráfico da função em um determinado ponto é igual a

arctg k = arctg f / (x o), ou seja, k= f / (x o)= tg

Exemplo 2: Em que ângulo está a onda senoidal intercepta o eixo x na origem?

O ângulo no qual o gráfico de uma determinada função intercepta o eixo x é igual ao ângulo a inclinação a da tangente desenhada ao gráfico da função f(x) neste ponto. Vamos encontrar a derivada: Considerando significado geométrico derivada, temos: e a = 60°. Resposta: =60 0 .

Se uma função tem uma derivada em todos os pontos do seu domínio de definição, então a sua derivada é uma função de. A função, por sua vez, pode ter uma derivada, que é chamada derivada de segunda ordem funções (ou segunda derivada) e são designados pelo símbolo .

Exemplo 3: Encontre a segunda derivada da função: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada desta função f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2,

Então, encontramos a segunda derivada da primeira derivada obtida

f""x)=(3x 2 -8x+2)’’=6x-8. Resposta: f""x) = 6x-8.

(Significado mecânico da segunda derivada)

Se um ponto se move retilínea e a lei do seu movimento é dada, então a aceleração do ponto é igual à segunda derivada do caminho em relação ao tempo:

A velocidade de um corpo material é igual à primeira derivada do caminho, ou seja:

A aceleração de um corpo material é igual à primeira derivada da velocidade, ou seja:

Exemplo 4: O corpo se move retilíneamente de acordo com a lei s (t) = 3 + 2t + t 2 (m). Determine sua velocidade e aceleração no instante t = 3 s. (A distância é medida em metros, o tempo em segundos).
Solução
v (t) = sim (t) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
um (t) = v΄ (t) =(2+2t)’= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/s). Resposta: 8m/s; 2 m/s 2 .

Parte prática:

Perguntas de segurança:

Qual você considera o significado físico da derivada - é velocidade instantânea ou velocidade média?

Qual é a conexão entre uma tangente desenhada ao gráfico de uma função através de qualquer ponto e o conceito de derivada?

Qual é a definição de tangente ao gráfico de uma função no ponto M(x 0 ;f(x 0))?

Qual é o significado mecânico da segunda derivada?

Derivado(funções em um ponto) - o conceito básico do cálculo diferencial, caracterizando a taxa de variação de uma função (em um determinado ponto). É definido como o limite da razão entre o incremento de uma função e o incremento de seu argumento, à medida que o incremento do argumento tende a zero, se tal limite existir. Uma função que possui uma derivada finita (em algum ponto) é chamada diferenciável (nesse ponto).

Derivado. Vamos considerar alguma função sim = f (x ) em dois pontos x 0 e x 0 + : f (x 0) e f (x 0+). Aqui, através denota alguma pequena mudança no argumento, chamada incremento de argumento; consequentemente, a diferença entre dois valores de função: f (x 0 + )  f (x 0 ) é chamado incremento de função.Derivado funções sim = f (x ) no ponto x 0 chamado limite:

Se esse limite existir, então a função f (x ) é chamado diferenciável no ponto x 0. Derivada de uma função f (x ) é denotado da seguinte forma:

Significado geométrico da derivada. Considere o gráfico da função sim = f (x ):

Da Fig. 1 fica claro que para quaisquer dois pontos A e B do gráfico da função:

onde está o ângulo de inclinação da secante AB.

Assim, a razão das diferenças é igual à inclinação da secante. Se você fixar o ponto A e mover o ponto B em sua direção, ele diminuirá sem limite e se aproximará de 0, e a secante AB se aproximará da tangente AC. Portanto, o limite da razão das diferenças é igual à inclinação da tangente no ponto A. Segue-se: A derivada de uma função num ponto é a inclinação da tangente ao gráfico desta função naquele ponto. Isso é o que significado geométrico derivado.

Equação tangente. Vamos derivar a equação da tangente ao gráfico da função no ponto A ( x 0 , f (x 0 )). Em geral, a equação de uma linha reta com coeficiente de inclinação f ’(x 0 ) tem a forma:

sim = f ’(x 0 ) · x + b.

Para encontrar b, Vamos aproveitar que a tangente passa pelo ponto A:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 +b ,

daqui, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , e substituindo esta expressão b, obteremos equação tangente:

sim =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x – x 0 ) .

Significado mecânico de derivada. Vamos considerar caso mais simples: movimento de um ponto material ao longo do eixo de coordenadas, e a lei do movimento é dada: coordenada x ponto móvel - função conhecida x (t) tempo t. Durante o intervalo de tempo de t 0 a t 0 + o ponto se move uma distância: x (t 0 + ) x (t 0) = , e ela velocidade média é igual a: v um =  . Em 0, a velocidade média tende para um determinado valor, que é denominado velocidade instantânea v ( t 0 ) ponto material no tempo t 0. Mas pela definição de derivada temos:

daqui, v (t 0 ) =x' (t 0 ), ou seja a velocidade é a derivada da coordenada Por tempo. Isso é o que sentido mecânico derivado . Da mesma maneira, aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: um = v' (t).

8. Tabela de derivadas e regras de diferenciação

Falamos sobre o que é uma derivada no artigo “O significado geométrico de uma derivada”. Se uma função é dada por um gráfico, sua derivada em cada ponto é igual à tangente da tangente ao gráfico da função. E se a função for dada por uma fórmula, a tabela de derivadas e as regras de diferenciação vão te ajudar, ou seja, as regras para encontrar a derivada.

§ 2. Definição de derivada.

Deixe a função sim= f(x) definido no intervalo ( um;b). Considere o valor do argumento

(um;b) . Vamos dar um incremento ao argumento ∆ x 0, de modo que a condição ( x 0 +∆ x)

um;b). Vamos denotar os valores correspondentes da função por y 0 e y 1:

sim 0 = f(x 0 ), sim 1 = f(x 0 +∆ x). Ao passar de x 0 Para x 0 +∆ x a função será incrementada

∆e = sim 1 - sim 0 = f(x 0 +∆ x) -f(x 0 ). Se, enquanto se esforça ∆ x para zero há um limite para a razão do incremento da função ∆y ao incremento do argumento que o causou ∆ x,

aqueles. há um limite

=

,

então esse limite é chamado de derivada da função sim= f(x) no ponto x 0 . Então, a derivada da função sim= f(x) no ponto x=x 0 é o limite da razão entre o incremento de uma função e o incremento do argumento quando o incremento do argumento tende a zero. Derivada de uma função sim= f(x) no ponto x indicado por símbolos (x) ou (x). As notações também são usadas , , ,. EM últimos três notação enfatiza o fato de que a derivada é obtida em relação à variável x.

Se a função sim= f(x) tem uma derivada em cada ponto de um determinado intervalo, então neste intervalo a derivada ( x) é um argumento de função x.

§ 3. Significado mecânico e geométrico da derivada.

Equações da normal e da tangente ao gráfico de uma função.

Como foi mostrado no § 1, a velocidade instantânea de um ponto é

v = .

Mas isso significa que a velocidade v é a derivada da distância percorrida S por tempo t ,

v =. Assim, se a função sim= f(x) descreve a lei do movimento retilíneo de um ponto material, onde simé o caminho percorrido por um ponto material desde o momento em que ele começa a se mover até o momento x, então a derivada ( x) determina a velocidade instantânea de um ponto por vez x. Este é o significado mecânico da derivada.

No § 1º também foi encontrado o coeficiente angular da tangente ao gráfico da função sim= f(x) k= tgα= . Esta relação significa que a inclinação da tangente é igual à derivada ( x). Mais estritamente falando, a derivada ( x) funções sim= f(x) , calculado com o valor do argumento igual a x, é igual à inclinação da tangente ao gráfico desta função no ponto cuja abcissa é igual a x. Este é o significado geométrico da derivada.

Deixe em x=x 0 função sim= f(x) assume o valor sim 0 =f(x 0 ) , e o gráfico desta função tem uma tangente no ponto com coordenadas ( x 0 ;sim 0). Então a inclinação da tangente

k = ( x 0). Usando a equação de uma reta que passa por um determinado ponto em uma determinada direção, conhecida no curso de geometria analítica ( sim-sim 0 =k(x-x 0)), escrevemos a equação tangente:

A linha reta que passa pelo ponto tangente perpendicular à tangente é chamada de normal à curva. Como a normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular k normas está relacionada à inclinação da tangente k conhecido da geometria analítica pela relação: k normas = ─, ou seja, para a passagem normal pelo ponto com coordenadas ( x 0 ;sim 0),k normais = ─ . Portanto, a equação desta normal tem a forma:

(desde que

).

§ 4. Exemplos de cálculos de derivadas.

Para calcular a derivada de uma função sim= f(x) no ponto x, necessário:

Argumento x dê um incremento ∆ x;

Encontre o incremento correspondente da função ∆ sim=f(x+∆x) -f(x);

Faça uma relação ;

Encontre o limite desta razão em ∆ x→0.

Exemplo 4.1. Encontre a derivada de uma função sim=C=const.

Argumento x dê um incremento ∆ x.

Seja o que for x, ∆sim=0: ∆sim=f(x+∆x) ─f(x)=С─С=0;

Daqui =0 e =0, ou seja =0.

Exemplo 4.2. Encontre a derivada de uma função sim=x.

∆ sim=f(x+∆x) ─f(x)= x+∆x– x=∆ x;

1, =1, ou seja =1.

Exemplo 4.3. Encontre a derivada de uma função sim=x 2.

∆ sim= (x+∆ x)2–x 2= 2 x∙∆ x+ (∆ x)2;

= 2 x+ ∆ x, = 2 x, ou seja =2 x.

Exemplo 4.4. Encontre a derivada da função y=sin x.

∆ sim=pecado( x+∆x) – pecado x= 2 pecado porque ( x+);

=

;

=



=porque x, ou seja =porque x.

Exemplo 4.5. Encontre a derivada de uma função sim=

.

=

, ou seja = .

SENTIDO MECÂNICO DE DERIVADO

É sabido pela física que a lei do movimento uniforme tem a forma s = v t, Onde é– o caminho percorrido até o momento do tempo t, v– velocidade do movimento uniforme.

No entanto, porque A maioria dos movimentos que ocorrem na natureza são desiguais, então em geral a velocidade e, conseqüentemente, a distância é vai depender do tempo t, ou seja será uma função do tempo.

Então, deixe um ponto material se mover em linha reta em uma direção de acordo com a lei s=s(t).

Vamos marcar um determinado momento t 0. Neste ponto o ponto ultrapassou o caminho s=s(t 0 ). Vamos determinar a velocidade v ponto material em um momento no tempo t 0 .

Para fazer isso, vamos considerar algum outro momento t 0 + Δ t. Corresponde ao caminho percorrido s =s(t 0 + Δ t). Então, durante um período de tempo Δ t o ponto percorreu o caminho Δs =s(t 0 + Δ t)–s(t).

Vamos considerar a atitude. É chamada de velocidade média no intervalo de tempo Δ t. A velocidade média não pode caracterizar com precisão a velocidade de movimento de um ponto no momento t 0 (porque o movimento é desigual). Para expressar com mais precisão essa velocidade verdadeira usando a velocidade média, é necessário considerar um período de tempo mais curto Δ t.

Então, a velocidade do movimento em um determinado momento t 0 (velocidade instantânea) é o limite da velocidade média no intervalo de t 0 a t 0 +Δ t, quando Δ t→0:

,

aqueles. velocidade irregular esta é a derivada da distância percorrida em relação ao tempo.

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA

Vamos primeiro introduzir a definição de uma tangente a uma curva em um determinado ponto.

Vamos ter uma curva e um ponto fixo nela M 0(veja a figura). M esta curva e desenhe uma secante M 0 M. Se o ponto M começa a se mover ao longo da curva, e o ponto M 0 permanece imóvel, então a secante muda de posição. Se, com aproximação ilimitada do ponto M ao longo de uma curva até um ponto M 0 em qualquer lado a secante tende a ocupar a posição de uma certa linha reta M 0 T, então direto M 0 T chamada de tangente à curva em um determinado ponto M 0.

Que., tangente para a curva em um determinado ponto M 0 chamada de posição limite da secante M 0 M quando ponto M tende ao longo da curva até um ponto M 0.

Vamos agora considerar função contínua y=f(x) e a curva correspondente a esta função. Com algum valor Intimamente relacionado ao conceito de derivada está o conceito de diferencial de uma função, que tem importantes aplicações práticas. 0 função assume valor y 0 =f(x 0). Esses valores x 0 e sim 0 na curva corresponde a um ponto M 0 (x 0 ; y 0). Vamos dar o argumento x0 incremento Δ Intimamente relacionado ao conceito de derivada está o conceito de diferencial de uma função, que tem importantes aplicações práticas.. O novo valor do argumento corresponde ao valor incrementado da função sim 0 +Δ y=f(x 0 –Δ x). Nós entendemos o ponto M(x 0+Δ x; e 0+Δ e). Vamos desenhar uma secante M 0 M e denotamos por φ o ângulo formado por uma secante com a direção positiva do eixo Boi. Vamos criar uma relação e observar isso.

Se agora Δ x→0, então devido à continuidade da função Δ no→0 e, portanto, o ponto M, movendo-se ao longo de uma curva, aproxima-se do ponto sem limite M 0. Então a secante M 0 M tenderá a assumir a posição de uma tangente à curva no ponto M 0, e o ângulo φ→α em Δ x→0, onde α denota o ângulo entre a tangente e a direção positiva do eixo Boi. Como a função tan φ depende continuamente de φ para φ≠π/2, então para φ→α tan φ → tan α e, portanto, a inclinação da tangente será:

aqueles. f"(x)= tg α .

Assim, geometricamente y "(x 0) representa a inclinação da tangente ao gráfico desta função no ponto x0, ou seja para um determinado valor de argumento x, a derivada é igual à tangente do ângulo formado pela tangente ao gráfico da função f(x) no ponto apropriado M 0 (x; y) com direção de eixo positiva Boi.

Exemplo. Encontre a inclinação da tangente à curva y = x 2 no ponto M(-1; 1).

Já vimos anteriormente que ( x 2)" = 2Intimamente relacionado ao conceito de derivada está o conceito de diferencial de uma função, que tem importantes aplicações práticas.. Mas o coeficiente angular da tangente à curva é tan α = sim"| x=-1 = – 2.

Significado geométrico, mecânico e econômico da derivada

Definição de derivada.

Aula nº 7-8

Lista de literatura usada

1 Ukhobotov, V. I. Matemática: Tutorial.- Chelyabinsk: Chelyab. estado univ., 2006.- 251 p.

2Ermakov, V.I. Coleção de problemas em matemática superior. Guia de estudo. –M.: INFRA-M, 2006. – 575 p.

3Ermakov, V.I. Curso geral matemática superior. Livro didático. –M.: INFRA-M, 2003. – 656 p.

Tema "Derivada"

Alvo: explicar o conceito de derivada, traçar a relação entre continuidade e diferenciabilidade de uma função, mostrar a aplicabilidade do uso da derivada com exemplos.

Esse limite em economia é chamado de custo marginal de produção.

Definição de derivada. Significado geométrico e mecânico da derivada, a equação de uma função tangente ao gráfico.

Precisa de uma resposta curta (sem água desnecessária)

Dead_white_snow

Derivada é o conceito básico do cálculo diferencial, caracterizando a taxa de variação de uma função.
Geométrico?
Tangente a uma função em um ponto... .
Condição para aumentar a função: f " (x) > 0.
Condição para a função diminuir: f " (x)< 0.
Ponto de inflexão ( condição necessária): f " " (x0) = 0.
Convexo para cima: f " " (x) Convexo para baixo: f " " (x) >0
Equação normal: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
Mecânico?
a velocidade é uma derivada em relação à distância, a aceleração é uma derivada em relação à velocidade e uma segunda derivada em relação à distância...
Equação da tangente ao gráfico da função f no ponto x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

Usuário excluído

Se houver um limite na razão de delta y para delta x do incremento da função delta y para o incremento do argumento delta x que o causou, quando delta x tende a zero, então esse limite é chamado de derivada do função y = f(x) em um determinado ponto x e é denotado por y" ou f "(x)
A velocidade v do movimento retilíneo é a derivada do caminho s em relação ao tempo t: v = ds/dt. Este é o significado mecânico da derivada.
O coeficiente angular da tangente à curva y = f(x) no ponto com a abcissa x é zero é a derivada de f"(x é zero). Este é o significado geométrico da derivada.
Uma curva tangente em um ponto M zero é uma linha reta M zero T, cujo coeficiente angular é igual ao limite declive secante M zero M um quando delta x tende a zero.
tg phi = lim tg alfa quando delta x tende a zero = lim (delta x / delta y) quando delta x tende a zero
A partir do significado geométrico da derivada, a equação tangente assume a forma:
y - y zero = f"(x zero)(x - x zero)