Coordenadas do centro de gravidade de uma fórmula trapezoidal. Posição do centro de massa. Características geométricas de um triângulo isósceles

Na prática da engenharia, acontece que é necessário calcular as coordenadas do centro de gravidade de uma figura plana complexa composta por elementos simples para os quais a localização do centro de gravidade é conhecida. Esta tarefa faz parte da tarefa de determinar...

Características geométricas de seções transversais mistas de vigas e tirantes. Freqüentemente, os engenheiros de projeto de matrizes de corte têm que enfrentar questões semelhantes ao determinar as coordenadas do centro de pressão, os desenvolvedores de esquemas de carregamento para vários veículos ao colocar a carga, os projetistas de construção de estruturas metálicas ao selecionar as seções transversais dos elementos e, claro, alunos ao cursar as disciplinas “Mecânica Teórica” e “Resistência dos Materiais”.

Biblioteca de figuras elementares.

Para figuras planas simétricas, o centro de gravidade coincide com o centro de simetria. O grupo simétrico de objetos elementares inclui: círculo, retângulo (incluindo quadrado), paralelogramo (incluindo losango), polígono regular.

Das dez figuras apresentadas na figura acima, apenas duas são básicas. Ou seja, usando triângulos e setores de círculos, você pode combinar quase qualquer figura de interesse prático. Quaisquer curvas arbitrárias podem ser divididas em seções e substituídas por arcos circulares.

As restantes oito figuras são as mais comuns, razão pela qual foram incluídas nesta biblioteca única. Na nossa classificação, esses elementos não são básicos. Um retângulo, um paralelogramo e um trapézio podem ser formados a partir de dois triângulos. Um hexágono é a soma de quatro triângulos. Um segmento de círculo é a diferença entre um setor de um círculo e um triângulo. O setor anular de um círculo é a diferença entre dois setores. Um círculo é um setor de um círculo com um ângulo α=2*π=360˚. Um semicírculo é, portanto, um setor de um círculo com um ângulo α=π=180˚.

Cálculo em Excel das coordenadas do centro de gravidade de uma figura composta.

É sempre mais fácil transmitir e perceber informações considerando um exemplo do que estudar o assunto por meio de cálculos puramente teóricos. Consideremos a solução para o problema “Como encontrar o centro de gravidade?” usando o exemplo da figura composta mostrada na figura abaixo deste texto.

A seção composta é um retângulo (com dimensões a1 =80mm, b1 =40 mm), ao qual foi adicionado um triângulo isósceles no canto superior esquerdo (com o tamanho da base a2 =24 mm e altura h2 =42 mm) e do qual foi recortado um semicírculo no canto superior direito (com o centro no ponto com coordenadas x03 =50 mm e sim03 =40 mm, raio R3 =26mm).

Usaremos um programa para ajudá-lo a realizar os cálculos Excel ou programa OOo Calc . Qualquer um deles irá facilmente cumprir a nossa tarefa!

Em células com amarelo vamos preenchê-lo preliminar auxiliar cálculos .

Calculamos os resultados em células com preenchimento amarelo claro.

Azul fonte é Dados iniciais .

Preto fonte é intermediário resultados do cálculo .

Vermelho fonte é final resultados do cálculo .

Começamos a resolver o problema - iniciamos a busca pelas coordenadas do centro de gravidade do trecho.

Dados iniciais:

1. Escreveremos os nomes das figuras elementares formando uma seção composta de acordo

para a célula D3: Retângulo

para a célula E3: Triângulo

para a célula F3: Semicírculo

2. Utilizando a “Biblioteca de Figuras Elementares” apresentada neste artigo, determinaremos as coordenadas dos centros de gravidade dos elementos da seção composta xci E sim em mm em relação aos eixos 0x e 0y selecionados arbitrariamente e escreva

para a célula D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

para a célula D5: =40/2 =20,000

sim 1 = b 1 /2

para a célula E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

para a célula E5: =40+42/3 =54,000

sim 2 = b 1 + h 2 /3

para a célula F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

para a célula F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

sim 3 = sim 03 -4* r3 /3/ π

3. Vamos calcular as áreas dos elementos F 1 , F 2 , F3 em mm2, novamente usando as fórmulas da seção “Biblioteca de figuras elementares”

na célula D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

na célula E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

na célula F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

A área do terceiro elemento – o semicírculo – é negativa porque é um recorte – um espaço vazio!

Cálculo das coordenadas do centro de gravidade:

4. Vamos definir área total valor final F0 em mm2

na célula mesclada D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Vamos calcular os momentos estáticos de uma figura composta Sx E Sy em mm3 em relação aos eixos selecionados 0x e 0y

na célula mesclada D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

na célula mesclada D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. E finalmente, vamos calcular as coordenadas do centro de gravidade da seção composta Xc E Sim em mm no sistema de coordenadas selecionado 0x - 0y

na célula mesclada D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

na célula mesclada D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

O problema foi resolvido, o cálculo em Excel foi concluído - foram encontradas as coordenadas do centro de gravidade do trecho, compiladas a partir de três elementos simples!

Conclusão.

O exemplo do artigo foi escolhido por ser muito simples para facilitar a compreensão da metodologia de cálculo do centro de gravidade de uma seção complexa. O método é que qualquer figura complexa deve ser dividido em elementos simples com lugares famosos localização dos centros de gravidade e fazer os cálculos finais para todo o trecho.

Se a seção for composta por perfis laminados - ângulos e canais, não há necessidade de dividi-los em retângulos e quadrados com setores circulares recortados “π/2”. As coordenadas dos centros de gravidade desses perfis são fornecidas nas tabelas GOST, ou seja, tanto o ângulo quanto o canal serão os elementos elementares básicos em seus cálculos de seções compostas (não faz sentido falar em vigas I, tubos, hastes e hexágonos - são seções centralmente simétricas).

A localização dos eixos coordenados, é claro, não afeta a posição do centro de gravidade da figura! Portanto, escolha um sistema de coordenadas que simplifique seus cálculos. Se, por exemplo, eu girasse o sistema de coordenadas 45˚ no sentido horário em nosso exemplo, o cálculo das coordenadas dos centros de gravidade de um retângulo, triângulo e semicírculo se transformaria em outra etapa separada e complicada de cálculos que não pode ser realizada “ na cabeça".

O arquivo de cálculo Excel mostrado abaixo está em nesse caso não é um programa. Pelo contrário, é um esboço de uma calculadora, um algoritmo, um modelo que segue em cada caso específico crie sua própria sequência de fórmulas para células com preenchimento amarelo brilhante.

Então agora você sabe encontrar o centro de gravidade de qualquer seção! O cálculo completo de todas as características geométricas de seções compostas complexas arbitrárias será considerado em um dos próximos artigos da seção “”. Acompanhe as novidades no blog.

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Algumas palavras sobre o copo, a moeda e os dois garfos, que estão representados no “ícone de ilustração” logo no início do artigo. Muitos de vocês certamente conhecem esse “truque”, que evoca olhares de admiração de crianças e adultos não iniciados. O tema deste artigo é o centro de gravidade. É ele e o fulcro, brincando com a nossa consciência e experiência, que estão simplesmente enganando as nossas mentes!

O centro de gravidade do sistema “garfo+moeda” está sempre localizado fixo distância verticalmente para baixo da borda da moeda, que por sua vez é o fulcro. Esta é uma posição de equilíbrio estável! Se você sacudir os garfos, fica imediatamente óbvio que o sistema está se esforçando para assumir sua posição estável anterior! Imagine um pêndulo - um ponto de fixação (= o ponto de apoio de uma moeda na borda de um copo), um eixo da haste do pêndulo (= no nosso caso, o eixo é virtual, pois a massa dos dois garfos é espalhados em diferentes direções do espaço) e uma carga na parte inferior do eixo (= centro de gravidade de todo o sistema “garfo” + moeda”). Se você começar a desviar o pêndulo da vertical em qualquer direção (para frente, para trás, para a esquerda, para a direita), ele inevitavelmente retornará à sua posição original sob a influência da gravidade. estado estacionário de equilíbrio(a mesma coisa acontece com nossos garfos e moedas)!

Se você não entende, mas quer entender, descubra você mesmo. É muito interessante “chegar lá” sozinho! Acrescentarei que o mesmo princípio de utilização do equilíbrio estável também é implementado no brinquedo Vanka-stand-up. Apenas o centro de gravidade deste brinquedo está localizado acima do fulcro, mas abaixo do centro do hemisfério da superfície de suporte.

Fico sempre feliz em ver seus comentários, queridos leitores!!!

Perguntar, RESPEITANDO trabalho do autor, baixar arquivo APÓS A INSCRIÇÃO para anúncios de artigos.

A técnica matemática de cálculo do centro de massa pertence à área dos cursos de matemática; tarefas semelhantes servem lá bons exemplos em cálculo integral. Mas mesmo que você saiba integrar, é útil conhecer alguns truques para calcular a posição do centro de massa. Um desses truques baseia-se no uso do chamado teorema de Pappus, que funciona da seguinte maneira. Se pegarmos alguma figura fechada e formarmos um corpo rígido, girando esta figura no espaço de modo que cada ponto se mova perpendicularmente ao plano da figura, então o volume do corpo resultante é igual ao produto da área da figura e a distância percorrida pelo seu centro de gravidade! É claro que este teorema também é verdadeiro no caso em que uma figura plana se move em linha reta perpendicular à sua área, mas se a movermos ao longo de um círculo ou de algum outro

curva, então isso resulta em um corpo muito mais interessante. Ao mover-se ao longo de um caminho curvo, a parte interna da figura se move menos que a parte externa e esses efeitos compensam-se mutuamente. Então, se quisermos definir; o centro de massa de uma figura plana com densidade uniforme, então é preciso lembrar que o volume formado por sua rotação em torno do eixo é igual à distância percorrida pelo centro de massa multiplicada pela área da figura.
Por exemplo, se precisarmos encontrar o centro de massa triângulo retângulo com base D e altura H (Fig. 19.2), então isso é feito da seguinte forma. Imagine um eixo ao longo de H e gire o triângulo 360° em torno desse eixo. Isso nos dá um cone. A distância percorrida pela coordenada x do centro de massa é 2πx, e a área da região que se moveu, ou seja, a área do triângulo, é l/2 HD. O produto da distância percorrida pelo centro de massa e a área do triângulo é igual ao volume do cone, ou seja, 1/3 πD 2 H. Assim, (2πх) (1/2HD) = 1/3D 2 H, ou x = D/З. De forma bastante análoga, girando em torno da segunda perna ou simplesmente por razões de simetria, descobrimos que y = H/3. Em geral, o centro de massa de qualquer triângulo homogêneo está localizado no ponto de intersecção de suas três medianas (linhas que ligam o vértice do triângulo ao meio do lado oposto), que está localizado a uma distância da base igual a 1 /3 do comprimento de cada mediana.
Como ver isso? Corte o triângulo com linhas paralelas à base em várias tiras. Observe agora que a mediana divide cada tira ao meio, portanto o centro de massa deve estar na mediana.
Tomemos agora uma figura mais complexa. Suponha que precisemos encontrar a posição do centro de massa de um semicírculo homogêneo, ou seja, um círculo cortado ao meio. Onde estará o centro de massa neste caso? Para um círculo completo, o centro de massa está localizado no centro geométrico, mas para um semicírculo é mais difícil encontrar sua posição. Seja r o raio do círculo e x a distância do centro de massa ao limite reto do semicírculo. Ao girá-lo em torno desta borda como se estivesse em torno de um eixo, obtemos uma bola. Neste caso, o centro de massa percorre uma distância de 2πx, e a área do semicírculo é igual a 1/2πr 2 (metade da área do círculo). Como o volume da bola é, obviamente, 4πg 3/3, então a partir daqui encontramos

ou

Existe outro teorema de Pappus, que na verdade é um caso especial do teorema formulado acima e, portanto, também é válido. Suponha que em vez de um semicírculo sólido tomemos um semicírculo, por exemplo um pedaço de arame em forma de semicírculo com densidade uniforme, e queremos encontrar o seu centro de massa. Acontece que a área que é “varrida” por uma curva plana durante seu movimento, semelhante à descrita acima, é igual à distância percorrida pelo centro de massa multiplicada pelo comprimento dessa curva. (A curva pode ser vista como uma faixa muito estreita e o teorema anterior aplicado a ela.)

Com base nas fórmulas gerais obtidas acima, é possível indicar métodos específicos para determinação das coordenadas dos centros de gravidade dos corpos.

1. Simetria. Se um corpo homogêneo possui plano, eixo ou centro de simetria (Fig. 7), então seu centro de gravidade situa-se, respectivamente, no plano de simetria, eixo de simetria ou no centro de simetria.

Figura 7

2. Divisão. O corpo é dividido em um número finito de partes (Fig. 8), para cada uma das quais são conhecidas a posição do centro de gravidade e a área.

Figura 8

3.Método de área negativa. Um caso especial do método de particionamento (Fig. 9). Aplica-se a corpos que possuem recortes se forem conhecidos os centros de gravidade do corpo sem recorte e da parte recortada. Um corpo em forma de placa com recorte é representado por uma combinação de uma placa maciça (sem recorte) com área S 1 e área da parte recortada S 2 .

Figura 9

4.Método de agrupamento.É um bom complemento aos dois últimos métodos. Depois de dividir uma figura em seus elementos componentes, é conveniente combinar novamente alguns deles para depois simplificar a solução levando em consideração a simetria deste grupo.

Centros de gravidade de alguns corpos homogêneos.

1) Centro de gravidade de um arco circular. Considere o arco AB raio R com ângulo central. Devido à simetria, o centro de gravidade deste arco está no eixo Boi(Fig. 10).

Figura 10

Vamos encontrar a coordenada usando a fórmula. Para fazer isso, selecione no arco AB elemento MILÍMETROS' comprimento, cuja posição é determinada pelo ângulo. Coordenada X elemento MILÍMETROS' vai . Substituindo esses valores X e d eu e tendo em mente que a integral deve se estender por todo o comprimento do arco, obtemos:

Onde eu- comprimento do arco AB, igual a .

A partir daqui, finalmente descobrimos que o centro de gravidade de um arco circular está no seu eixo de simetria, a uma distância do centro SOBRE, igual

onde o ângulo é medido em radianos.

2) Centro de gravidade da área do triângulo. Considere um triângulo situado no plano Oxi, cujas coordenadas dos vértices são conhecidas: Um eu(XI,sim, eu), (eu= 1,2,3). Quebrando o triângulo em tiras estreitas paralelas ao lado A 1 A 2, chegamos à conclusão que o centro de gravidade do triângulo deve pertencer à mediana A 3 M 3 (fig. 11).

Figura 11

Quebrando um triângulo em tiras paralelas ao lado A 2 A 3, podemos verificar que deve estar na mediana A 1 M 1. Por isso, o centro de gravidade de um triângulo está no ponto de intersecção de suas medianas, que, como se sabe, separa um terço de cada mediana, contando a partir do lado correspondente.

Em particular, para a mediana A 1 M 1 obtemos, levando em consideração que as coordenadas do ponto M 1 é a média aritmética das coordenadas dos vértices A 2 e A 3:

x-c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Assim, as coordenadas do centro de gravidade do triângulo são a média aritmética das coordenadas dos seus vértices:

x c =(1/3)Σ XI ; sim c =(1/3)Σ sim, eu.

3) Centro de gravidade da área de um setor circular. Considere um setor de círculo com raio R com um ângulo central de 2α, localizado simetricamente em relação ao eixo Boi(Fig. 12) .

É óbvio que sim c = 0, e a distância do centro do círculo do qual este setor é cortado até seu centro de gravidade pode ser determinada pela fórmula:

Figura 12

A maneira mais fácil de calcular esta integral é dividindo o domínio de integração em setores elementares com ângulo dφ. Com precisão de infinitesimais de primeira ordem, tal setor pode ser substituído por um triângulo com base igual a R× dφ e altura R. A área de tal triângulo dF=(1/2)R 2 ∙dφ, e seu centro de gravidade está a uma distância de 2/3 R do vértice, portanto em (5) colocamos x = (2/3)R∙cosφ. Substituindo em (5) F= α R 2, obtemos:

Usando a última fórmula, calculamos, em particular, a distância ao centro de gravidade semicírculo.

Substituindo α = π/2 em (2), obtemos: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Exemplo 1. Vamos determinar o centro de gravidade do corpo homogêneo mostrado na Fig. 13.

Figura 13

O corpo é homogêneo, composto por duas partes de formato simétrico. Coordenadas de seus centros de gravidade:

Seus volumes:

Portanto, as coordenadas do centro de gravidade do corpo

Exemplo 2. Vamos encontrar o centro de gravidade de uma placa dobrada em ângulo reto. As dimensões estão no desenho (Fig. 14).

Figura 14

Coordenadas dos centros de gravidade:

Áreas:

Arroz. 6.5.

Exemplo 3. Uma folha quadrada cm tem um furo quadrado recortado cm (Fig. 15). Vamos encontrar o centro de gravidade da folha.

Figura 15

Neste problema, é mais conveniente dividir o corpo em duas partes: um grande quadrado e um buraco quadrado. Apenas a área do furo deve ser considerada negativa. Então as coordenadas do centro de gravidade da folha com o furo:

coordenada, pois o corpo possui um eixo de simetria (diagonal).

Exemplo 4. O suporte de arame (Fig. 16) consiste em três seções de igual comprimento eu.

Figura 16

Coordenadas dos centros de gravidade das seções:

Portanto, as coordenadas do centro de gravidade de todo o colchete são:

Exemplo 5. Determine a posição do centro de gravidade da treliça, cujas hastes possuem a mesma densidade linear (Fig. 17).

Lembremos que em física a densidade de um corpo ρ e sua gravidade específica g estão relacionadas pela relação: γ= ρ g, Onde g- aceleração da gravidade. Para encontrar a massa de um corpo tão homogêneo, é necessário multiplicar a densidade pelo seu volume.

Figura 17

O termo densidade “linear” ou “linear” significa que para determinar a massa de um tensor, a densidade linear deve ser multiplicada pelo comprimento deste tensor.

Para resolver o problema, você pode usar o método de particionamento. Representando uma determinada treliça como a soma de 6 hastes individuais, obtemos:

Onde eu eu comprimento eu o tensor, e XI, sim, eu- coordenadas do seu centro de gravidade.

A solução deste problema pode ser simplificada agrupando as últimas 5 barras da treliça. É fácil perceber que formam uma figura com centro de simetria localizado no meio da quarta haste, onde está localizado o centro de gravidade deste grupo de hastes.

Assim, uma determinada treliça pode ser representada por uma combinação de apenas dois grupos de hastes.

O primeiro grupo consiste na primeira haste, pois eu 1 = 4m, x 1 = 0m, sim 1 = 2 m. O segundo grupo de hastes consiste em cinco hastes, para isso eu 2 = 20 metros, x 2 = 3m, sim 2 = 2 metros.

As coordenadas do centro de gravidade da treliça são encontradas pela fórmula:

x c = (eu 1 ∙x 1 +eu 2 ∙x 2)/(eu 1 + eu 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

sim c = (eu 1 ∙sim 1 +eu 2 ∙sim 2)/(eu 1 + eu 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2m.

Observe que o centro COM está na linha reta que conecta COM 1 e COM 2 e divide o segmento COM 1 COM 2 sobre: COM 1 COM/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = eu 2 /eu 1 = 2,5/0,5.

Perguntas de autoteste

Como é chamado o centro de forças paralelas?

Como são determinadas as coordenadas do centro de forças paralelas?

Como determinar o centro de forças paralelas cuja resultante é zero?

Quais propriedades o centro de forças paralelas possui?

Quais fórmulas são usadas para calcular as coordenadas do centro de forças paralelas?

Qual é o centro de gravidade de um corpo?

Por que as forças gravitacionais da Terra agindo sobre um ponto de um corpo podem ser consideradas um sistema de forças paralelas?

Escreva a fórmula para determinar a posição do centro de gravidade de corpos não homogêneos e homogêneos, a fórmula para determinar a posição do centro de gravidade de seções planas?

Escreva a fórmula para determinar a posição do centro de gravidade de simples formas geométricas: retângulo, triângulo, trapézio e semicírculo?

Qual é o momento estático da área?

Dê um exemplo de corpo cujo centro de gravidade está localizado fora do corpo.

Como as propriedades de simetria são utilizadas na determinação dos centros de gravidade dos corpos?

Qual é a essência do método dos pesos negativos?

Onde está o centro de gravidade de um arco circular?

Que construção gráfica pode ser usada para encontrar o centro de gravidade de um triângulo?

Escreva a fórmula que determina o centro de gravidade de um setor circular.

Usando fórmulas que determinam os centros de gravidade de um triângulo e de um setor circular, derive uma fórmula semelhante para um segmento circular.

Que fórmulas são utilizadas para calcular as coordenadas dos centros de gravidade de corpos homogêneos, figuras planas e retas?

Como se chama o momento estático da área de uma figura plana em relação ao eixo, como é calculado e que dimensão possui?

Como determinar a posição do centro de gravidade de uma área se a posição dos centros de gravidade de suas partes individuais é conhecida?

Quais teoremas auxiliares são usados ​​para determinar a posição do centro de gravidade?

6.1. informações gerais

Centro de Forças Paralelas
Consideremos duas forças paralelas direcionadas em uma direção e aplicadas ao corpo em pontos A 1 e A 2 (Fig.6.1). Este sistema de forças tem uma resultante cuja linha de ação passa por um determinado ponto COM. Posição do ponto COM pode ser encontrado usando o teorema de Varignon:

Se você virar as forças e perto dos pontos A 1 e A 2 em uma direção e no mesmo ângulo, obtemos novo sistema salas paralelas com os mesmos módulos. Neste caso, sua resultante também passará pelo ponto COM. Este ponto é chamado de centro de forças paralelas.
Vamos considerar um sistema de forças paralelas e direcionadas de forma idêntica aplicadas a um corpo sólido em pontos. Este sistema tem uma resultante.
Se cada força do sistema for girada perto dos pontos de sua aplicação na mesma direção e no mesmo ângulo, serão obtidos novos sistemas de forças paralelas direcionadas de forma idêntica com os mesmos módulos e pontos de aplicação. A resultante de tais sistemas terá o mesmo módulo R, mas cada vez uma direção diferente. Tendo dobrado minha força F 1 e F 2 descobrimos que sua resultante R 1, que sempre passará pelo ponto COM 1, cuja posição é determinada pela igualdade. Dobrando ainda mais R 1 e F 3, encontramos sua resultante, que sempre passará pelo ponto COM 2 deitado em linha reta A 3 COM 2. Tendo completado o processo de adição de forças até o final, chegaremos à conclusão de que a resultante de todas as forças passará de fato sempre pelo mesmo ponto COM, cuja posição em relação aos pontos permanecerá inalterada.
Ponto COM, através do qual passa a linha de ação do sistema resultante de forças paralelas para qualquer rotação dessas forças próximo aos pontos de sua aplicação na mesma direção e no mesmo ângulo, é chamado de centro de forças paralelas (Fig. 6.2).

Figura 6.2

Vamos determinar as coordenadas do centro das forças paralelas. Como a posição do ponto COM em relação ao corpo permanece inalterado, então suas coordenadas não dependem da escolha do sistema de coordenadas. Vamos girar todas as forças em torno de sua aplicação para que fiquem paralelas ao eixo UO e aplicar o teorema de Varignon às forças rotacionadas. Porque R"é a resultante dessas forças, então, de acordo com o teorema de Varignon, temos , porque , , Nós temos

A partir daqui encontramos a coordenada do centro das forças paralelas zc:

Para determinar as coordenadas xc Vamos criar uma expressão para o momento das forças em torno do eixo onça.

Para determinar as coordenadas sim vamos girar todas as forças para que fiquem paralelas ao eixo onça.

A posição do centro de forças paralelas em relação à origem (Fig. 6.2) pode ser determinada pelo seu vetor raio:

6.2. Centro de gravidade de um corpo rígido

Centro de gravidade de um corpo rígido é um ponto invariavelmente associado a este corpo COM, por onde passa a linha de ação das forças resultantes da gravidade de um determinado corpo, para qualquer posição do corpo no espaço.
O centro de gravidade é utilizado no estudo da estabilidade das posições de equilíbrio de corpos e meios contínuos sob a influência da gravidade e em alguns outros casos, nomeadamente: na resistência dos materiais e na mecânica estrutural - quando se utiliza a regra de Vereshchagin.
Existem duas maneiras de determinar o centro de gravidade de um corpo: analítica e experimental. Método Analítico A definição do centro de gravidade decorre diretamente do conceito de centro de forças paralelas.
As coordenadas do centro de gravidade, como centro de forças paralelas, são determinadas pelas fórmulas:

Onde R- peso corporal total; pacote- peso das partículas corporais; xk, yk, zk- coordenadas das partículas do corpo.
Para um corpo homogêneo, o peso de todo o corpo e de qualquer parte dele é proporcional ao volume P=Vγ, pk =vk γ, Onde γ - peso por unidade de volume, V- volume corporal. Substituindo expressões P, pacote na fórmula para determinar as coordenadas do centro de gravidade e, reduzindo por um fator comum γ , Nós temos:

Ponto COM, cujas coordenadas são determinadas pelas fórmulas resultantes, é chamado centro de gravidade do volume.
Se o corpo for uma placa fina e homogênea, o centro de gravidade será determinado pelas fórmulas:

Onde S- área de toda a placa; sk- área da sua parte; xk, sim- coordenadas do centro de gravidade das peças da placa.
Ponto COM neste caso é chamado área do centro de gravidade.
Os numeradores das expressões que determinam as coordenadas do centro de gravidade das figuras planas são chamados com momentos estáticos da área em relação aos eixos no E X:

Então o centro de gravidade da área pode ser determinado pelas fórmulas:

Para corpos cujo comprimento é muitas vezes maior que as dimensões da seção transversal, determine o centro de gravidade da linha. As coordenadas do centro de gravidade da linha são determinadas pelas fórmulas:

Onde eu- comprimento da linha; haha- o comprimento de suas partes; xk, yk, zk- coordenada do centro de gravidade de partes da linha.

6.3. Métodos para determinar as coordenadas dos centros de gravidade dos corpos

Com base nas fórmulas obtidas, é possível propor métodos práticos para determinação dos centros de gravidade dos corpos.
1. Simetria. Se um corpo tem um centro de simetria, então o centro de gravidade está no centro de simetria.
Se o corpo tiver um plano de simetria. Por exemplo, o plano XOU, então o centro de gravidade está neste plano.
2. Divisão. Para corpos constituídos por corpos com formas simples, é utilizado o método de divisão. O corpo é dividido em partes, cujo centro de gravidade é determinado pelo método de simetria. O centro de gravidade de todo o corpo é determinado pelas fórmulas do centro de gravidade do volume (área).

Exemplo. Determine o centro de gravidade da placa mostrada na figura abaixo (Fig. 6.3). A placa pode ser dividida em retângulos De maneiras diferentes e determine as coordenadas do centro de gravidade de cada retângulo e sua área.

Figura 6.3

Responder: xc=17,0cm; simc=18,0cm.

3. Adição. Este método é um caso especial do método de particionamento. É utilizado quando o corpo possui recortes, fatias, etc., se forem conhecidas as coordenadas do centro de gravidade do corpo sem o recorte.

Exemplo. Determine o centro de gravidade de uma placa circular com raio de recorte R = 0,6 R(Fig. 6.4).

Figura 6.4

Uma placa redonda possui um centro de simetria. Vamos colocar a origem das coordenadas no centro da placa. Área da placa sem recorte, área recortada. Prato quadrado com recorte; .
A placa com recorte possui um eixo de simetria O1 x, por isso, sim=0.

4. Integração. Se o corpo não puder ser dividido em um número finito de partes, cujas posições dos centros de gravidade são conhecidas, o corpo é dividido em pequenos volumes arbitrários, para os quais a fórmula usando o método de partição assume a forma: .
Então eles vão até o limite, direcionando os volumes elementares para zero, ou seja, contratação de volumes em pontos. As somas são substituídas por integrais estendidas a todo o volume do corpo, então as fórmulas para determinar as coordenadas do centro de gravidade do volume assumem a forma:

Fórmulas para determinar as coordenadas do centro de gravidade de uma área:

As coordenadas do centro de gravidade da área devem ser determinadas no estudo do equilíbrio das placas, no cálculo da integral de Mohr na mecânica estrutural.

Exemplo. Determine o centro de gravidade de um arco circular de raio R com ângulo central AOB= 2α (Fig. 6.5).

Arroz. 6,5

O arco de um círculo é simétrico ao eixo Oh, portanto, o centro de gravidade do arco está no eixo Oh, sim = 0.
De acordo com a fórmula do centro de gravidade de uma linha:

6.Método experimental. Os centros de gravidade de corpos não homogêneos de configuração complexa podem ser determinados experimentalmente: pelo método de suspensão e pesagem. O primeiro método consiste em suspender o corpo por um cabo em vários pontos. A direção do cabo no qual o corpo está suspenso dará a direção da gravidade. O ponto de intersecção dessas direções determina o centro de gravidade do corpo.
O método de pesagem envolve primeiro determinar o peso de um corpo, como um carro. Em seguida, a pressão do eixo traseiro do veículo no suporte é determinada na balança. Ao traçar uma equação de equilíbrio em relação a um ponto, por exemplo, o eixo das rodas dianteiras, pode-se calcular a distância deste eixo ao centro de gravidade do carro (Fig. 6.6).

Figura 6.6

Às vezes, na resolução de problemas, é necessário utilizar simultaneamente diferentes métodos para determinar as coordenadas do centro de gravidade.

6.4. Centros de gravidade de algumas figuras geométricas simples

Para determinar os centros de gravidade de corpos de formas frequentes (triângulo, arco circular, setor, segmento), é conveniente utilizar dados de referência (Tabela 6.1).

Tabela 6.1

Coordenadas do centro de gravidade de alguns corpos homogêneos

№	Nome da figura	Desenho
	Arco de um círculo: o centro de gravidade de um arco de círculo uniforme está no eixo de simetria (coordenada uc=0). R- raio do círculo.
	Setor circular homogêneo uc=0). onde α é metade do ângulo central; R- raio do círculo.
	Segmento: o centro de gravidade está localizado no eixo de simetria (coordenada uc=0). onde α é metade do ângulo central; R- raio do círculo.
	Semicírculo:
	Triângulo: o centro de gravidade de um triângulo homogêneo está no ponto de intersecção de suas medianas. Onde x1, y1, x2, y2, x3, y3- coordenadas dos vértices do triângulo
	Cone: o centro de gravidade de um cone circular uniforme encontra-se em sua altura e a uma distância de 1/4 da altura da base do cone.

Centro de gravidade de um arco circular

O arco tem um eixo de simetria. O centro de gravidade está neste eixo, ou seja, sim C = 0 .

dl– elemento de arco, dl = Rdφ, R– raio do círculo, x = Rcosφ, eu= 2αR,

Por isso:

x C = R(sinα/α).

Centro de gravidade de um setor circular

Setor de raio R com ângulo central 2 α tem um eixo de simetria Boi, onde está localizado o centro de gravidade.

Dividimos o setor em setores elementares, que podem ser considerados triângulos. Os centros de gravidade dos setores elementares estão localizados em um arco circular de raio (2/3) R.

O centro de gravidade do setor coincide com o centro de gravidade do arco AB:

Semicírculo:

37. Cinemática. Cinemática de um ponto. Métodos para especificar o movimento de um ponto.

Cinemática– ramo da mecânica em que o movimento dos corpos materiais é estudado do ponto de vista geométrico, sem levar em conta a massa e as forças que atuam sobre eles. Maneiras de especificar o movimento de um ponto: 1) natural, 2) coordenada, 3) vetor.

Cinemática de um ponto- seção de cinemática que estuda descrição matemática movimentos de pontos materiais. A principal tarefa da cinemática é descrever o movimento por meio de um aparato matemático sem identificar as causas desse movimento.

Sp natural. são indicadas a trajetória do ponto, a lei do seu movimento ao longo desta trajetória, o início e a direção da coordenada do arco: s=f(t) – a lei do movimento do ponto. Para movimento linear: x=f(t).

Coordenada sp. a posição de um ponto no espaço é determinada por três coordenadas, mudanças nas quais determinam a lei do movimento do ponto: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Se o movimento estiver em um plano, então existem duas equações de movimento. As equações de movimento descrevem a equação da trajetória na forma paramétrica. Ao excluir o parâmetro t das equações, obtemos a equação da trajetória na forma usual: f(x,y)=0 (para um avião).

Vetor sp. a posição de um ponto é determinada por seu vetor raio traçado a partir de algum centro. Uma curva desenhada no final de um vetor é chamada. hodógrafo esse vetor. Aqueles. trajetória – hodógrafo vetorial de raio.

38. Relação entre coordenadas e vetores, coordenadas e métodos naturais para especificar o movimento de um ponto.

RELAÇÃO DO MÉTODO VETORIAL COM O MÉTODO COORDENADO E NATURAL expresso pelas proporções:

onde é a unidade da tangente à trajetória em um determinado ponto, direcionada para a referência de distância, e é a unidade da normal à trajetória em um determinado ponto, direcionada para o centro de curvatura (ver Fig. 3) .

CONEXÃO DO MÉTODO COORDENADO COM O NATURAL. Equação de trajetória f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y é obtido a partir das equações de movimento em forma de coordenadas eliminando o tempo t. Uma análise adicional dos valores que as coordenadas de um ponto podem assumir determina aquela seção da curva que é uma trajetória. Por exemplo, se o movimento de um ponto é dado pelas equações: x=sin t; y=sin 2 t=x 2 , então a trajetória do ponto é aquela seção da parábola y=x 2 para a qual -1≤x≤+1, 0≤x≤1. O início e a direção da contagem da distância são escolhidos arbitrariamente, o que determina ainda o sinal da velocidade e a magnitude e o sinal da distância inicial s 0 .

A lei do movimento é determinada pela dependência:

o sinal + ou - é determinado dependendo da direção aceita de medição de distância.

Velocidade do pontoé uma medida cinemática de seu movimento, igual à derivada temporal do vetor raio deste ponto no sistema de referência em consideração. O vetor velocidade é direcionado tangente à trajetória do ponto na direção do movimento

Vetor de velocidade (v)é a distância que um corpo percorre em uma determinada direção por unidade de tempo. Observe que a definição vetor velocidadeé muito semelhante à definição de velocidade, exceto por uma diferença importante: a velocidade de um corpo não indica a direção do movimento, mas o vetor velocidade de um corpo indica tanto a velocidade quanto a direção do movimento. Portanto, são necessárias duas variáveis ​​que descrevam o vetor velocidade do corpo: velocidade e direção. As grandezas físicas que possuem um valor e uma direção são chamadas de grandezas vetoriais.

Vetor de velocidade corpo pode mudar de tempos em tempos. Se a velocidade ou a direção mudarem, a velocidade do corpo também mudará. Um vetor velocidade constante implica uma velocidade constante e uma direção constante, enquanto o termo velocidade constante implica apenas um valor constante sem levar em conta a direção. O termo "vetor de velocidade" é frequentemente usado de forma intercambiável com o termo "velocidade". Ambos expressam a distância que um corpo percorre por unidade de tempo

Aceleração de pontoé uma medida da mudança em sua velocidade, igual à derivada em relação ao tempo da velocidade deste ponto ou à segunda derivada do vetor raio do ponto em relação ao tempo. A aceleração caracteriza a mudança no vetor velocidade em magnitude e direção e é direcionada para a concavidade da trajetória.

Vetor de aceleração

Esta é a razão entre a mudança na velocidade e o período de tempo durante o qual essa mudança ocorreu. A aceleração média pode ser determinada pela fórmula:

Onde - vetor de aceleração.

A direção do vetor aceleração coincide com a direção da mudança na velocidade Δ = - 0 (aqui 0 é a velocidade inicial, ou seja, a velocidade na qual o corpo começou a acelerar).

No instante t1 (ver Fig. 1.8) o corpo tem velocidade 0. No instante t2 o corpo tem velocidade. De acordo com a regra de subtração vetorial, encontramos o vetor de mudança de velocidade Δ = - 0. Então você pode determinar a aceleração assim: