Números complexos extraindo a raiz do 3º grau. Potência com um expoente racional arbitrário

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Número complexo Z chamado raizn– c, Se Z n = c.

Vamos encontrar todos os valores da raiz n– oh potência de um número complexo Com. Deixar c=| c|·(porque Argumento c+ eu· pecado ArgumentoCom), UM Z = | Z|·(comsistema operacional Argumento Z + eu· pecado Argumento Z) , Onde Z raiz n- oh potência de um número complexo Com. Então deve ser = c = | c|·(porque Argumento c+ eu· pecado ArgumentoCom). Segue-se que
E n· Argumento Z = ArgumentoCom
Argumento Z =
(k=0,1,…) . Por isso, Z =
(porque
+ eu· pecado
), (k=0,1,…) . É fácil ver que qualquer um dos valores
, (k=0,1,…) difere de um dos valores correspondentes
,(k = 0,1,…, n-1) por múltiplos 2π. É por isso , (k = 0,1,…, n-1) .

Exemplo.

Vamos calcular a raiz de (-1).

, obviamente |-1| = 1, argumento (-1) = π

-1 = 1·(porque π + eu· pecado π )

, (k = 0, 1).

= eu

Potência com um expoente racional arbitrário

Vamos pegar um número complexo arbitrário Com. Se n número natural, então Com n = | c| n ·(Comsistema operacional nArgs +eu· pecado nArgCom)(6). Esta fórmula também é verdadeira no caso n = 0 (s≠0)
. Deixar n < 0 E n Z E s ≠ 0, Então

Com n =
(porque nArgCom+i·sin nArgCom) = (porque nArgCom+ i·sin nArgCom) . Assim, a fórmula (6) é válida para qualquer n.

Vamos pegar um número racional , Onde q número natural e R está inteiro.

Então sob grau c R vamos entender o número
.

Nós entendemos isso ,

(k = 0, 1, …, q-1). Esses valores q pedaços, se a fração não for redutível.

Aula nº 3 O limite de uma sequência de números complexos

Uma função de valor complexo de um argumento natural é chamada sequência de números complexos e é designado (Com n ) ou Com 1 , Com 2 , ..., Com n . Com n = um n + b n · eu (n = 1,2, ...) números complexos.

Com 1 , Com 2 , … - membros da sequência; Com n – membro comum

Número complexo Com = um+ b· eu chamado limite de uma sequência de números complexos (c n ) , Onde Com n = um n + b n · eu (n = 1, 2, …) , onde para qualquer

que na frente de todos n > N a desigualdade se mantém
. Uma sequência com limite finito é chamada convergente sequência.

Teorema.

Para que uma sequência de números complexos (com n ) (Com n = um n + b n · eu) convergiu para um número com = um+ b· eu, é necessário e suficiente para que a igualdade se mantenhalimão um n = um, limão b n = b.

Prova.

Provaremos o teorema com base na seguinte desigualdade dupla óbvia

, Onde Z = x + sim· eu (2)

Necessidade. Deixar limão(Com n ) = s. Vamos mostrar que as igualdades são verdadeiras limão um n = um E limão b n = b (3).

Obviamente (4)

Porque
, Quando n → ∞ , então do lado esquerdo da desigualdade (4) segue que
E
, Quando n → ∞ . portanto, as igualdades (3) são satisfeitas. A necessidade foi comprovada.

Adequação. Deixemos agora as igualdades (3) serem satisfeitas. Da igualdade (3) segue que
E
, Quando n → ∞ , portanto, devido ao lado direito da desigualdade (4), será
, Quando n→∞ , Significa limão(Com n )=c. A suficiência foi comprovada.

Assim, a questão da convergência de uma sequência de números complexos equivale à convergência de duas sequências de números reais, portanto todas as propriedades básicas dos limites das sequências de números reais se aplicam a sequências de números complexos.

Por exemplo, para sequências de números complexos o critério de Cauchy é válido: para que uma sequência de números complexos (com n ) converge, é necessário e suficiente que para qualquer

, que para qualquern, eu > Na desigualdade se mantém
.

Teorema.

Seja uma sequência de números complexos (com n ) E (z n ) convergem para c e respectivamentez, então as igualdades são verdadeiraslimão(Com n z n ) = c z, limão(Com n · z n ) = c· z. Se for sabido com certeza queznão é igual a 0, então a igualdade é verdadeira
.

números na forma trigonométrica.

Fórmula de Moivre

Seja z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) e z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

A forma trigonométrica de escrever um número complexo é conveniente para realizar as operações de multiplicação, divisão, elevação a uma potência inteira e extração da raiz do grau n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + eu sin( 1 +  2)).

Ao multiplicar dois números complexos na forma trigonométrica, seus módulos são multiplicados e seus argumentos são somados. Ao dividir seus módulos são divididos e seus argumentos são subtraídos.

Um corolário da regra para multiplicar um número complexo é a regra para elevar um número complexo a uma potência.

z = r(cos  + i sen ).

z n = r n (cos n + isin n).

Essa proporção é chamada Fórmula de Moivre.

Exemplo 8.1 Encontre o produto e o quociente dos números:

Solução

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Exemplo 8.2 Escreva um número na forma trigonométrica

∙
–eu) 7 .

Solução

Vamos denotar
e z 2 =
- eu.

r1 = |z1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = arg z 1 = arctan
;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 ·2 7n§ 9 Extraindo a raiz de um número complexo Definição. Raiz
a potência de um número complexo
= 0.

z (denotar

) é um número complexo w tal que w n = z. Se z = 0, então

Seja z  0, z = r(cos + isin). Vamos denotar w = (cos + sin), então escrevemos a equação w n = z na seguinte forma

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

Portanto,  n = r,

Assim sem =

Entre esses valores existem exatamente n valores diferentes.
Portanto k = 0, 1, 2,…, n – 1.

No plano complexo, esses pontos são os vértices de um n-gon regular inscrito em um círculo de raio

com centro no ponto O (Figura 12). Figura 12
.

Exemplo 9.1

Encontre todos os valores

Solução.
Vamos representar esse número na forma trigonométrica. Vamos encontrar seu módulo e argumento.

w k =
.

, onde k = 0, 1, 2, 3.
.

C 0 =
.

C 1 =
.

No plano complexo, esses pontos são os vértices de um quadrado inscrito em um círculo de raio
com o centro na origem (Figura 13).

Figura 13 Figura 14

Exemplo 9.2 Figura 12
.

Exemplo 9.1

z = – 64 = 64(cos +isin);

Solução.
, onde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w k =
;
;

C 0 =
C 1 =

C 3 =
c 4 =
.

;

c 5 =

No plano complexo, esses pontos são os vértices de um hexágono regular inscrito em um círculo de raio 2 com centro no ponto O (0; 0) - Figura 14.

Vamos denotar
§ 10 Forma exponencial de um número complexo.
Fórmula de Euler = cos  + isin  e .

= cos  - isin  .
Essas relações são chamadas

Fórmulas de Euler

Função

tem as propriedades usuais de uma função exponencial:
.

Deixe o número complexo z ser escrito na forma trigonométrica z = r(cos + isin). Usando a fórmula de Euler, podemos escrever: z = r

Esta entrada é chamada
forma exponencial
número complexo. Com ele obtemos as regras de multiplicação, divisão, exponenciação e extração de raízes.

Se z 1 = r 1 ·
;

e z 2 = r 2 ·

?Que

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 · z n = r n ·

, onde k = 0, 1,…, n – 1.
.

Exemplo 9.1

Exemplo 10.1 Escreva um número na forma algébrica

Exemplo 9.1

z =
Exemplo 10.2

Resolva a equação z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.
Para quaisquer coeficientes complexos, esta equação tem duas raízes z 1 e z 1 (possivelmente coincidentes). Essas raízes podem ser encontradas usando a mesma fórmula do caso real. Porque