Como encontrar a área total de uma figura. Área de figuras em papel quadriculado. Instruções completas (2020). Sala retangular ou quadrada

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Na geometria, a área de uma figura é uma das principais características numéricas de um corpo plano. O que é área, como determiná-la para várias figuras, bem como quais propriedades ela possui - consideraremos todas essas questões neste artigo.

O que é área: definição

A área de uma figura é o número de quadrados unitários nessa figura; informalmente falando, este é o tamanho da figura. Na maioria das vezes, a área de uma figura é indicada como “S”. Pode ser medido usando uma paleta ou um planímetro. Além disso, a área de uma figura pode ser calculada conhecendo suas dimensões básicas. Por exemplo, a área de um triângulo pode ser calculada usando três fórmulas diferentes:

A área de um retângulo é igual ao produto de sua largura por seu comprimento, e a área de um círculo é igual ao produto do quadrado do raio pelo número π = 3,14.

Propriedades da área de uma figura

a área é igual para números iguais;
a área é sempre não negativa;
A unidade de medida de área é a área de um quadrado com lado igual a 1 unidade de comprimento;
se uma figura for dividida em duas partes, então a área total da figura é igual à soma das áreas de suas partes constituintes;
figuras iguais em área são chamadas de iguais em área;
se uma figura pertence a outra figura, a área da primeira não pode exceder a área da segunda.

Teorema 1.

A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado.

Vamos provar que a área S de um quadrado de lado a é igual a 2. Vamos pegar um quadrado com lado 1 e dividi-lo em n quadrados iguais, conforme mostrado na Figura 1. Teorema da figura da área geométrica

Figura 1.

Como o lado do quadrado é 1, então a área de cada pequeno quadrado igual. O lado de cada pequeno quadrado é igual, ou seja, igual a um. Segue-se disso. O teorema foi provado.

Teorema 2.

A área de um paralelogramo é igual ao produto do seu lado pela altura desenhada para este lado (Fig. 2.):

S = uma * h.

Seja ABCD o paralelogramo dado. Se não for um retângulo, então um de seus cantos A ou B é agudo. Para maior definição, seja o ângulo A agudo (Fig. 2).

Figura 2.

Vamos deixar cair uma perpendicular AE do vértice A à linha CB. A área do trapézio AECD é igual à soma das áreas do paralelogramo ABCD e do triângulo AEB. Vamos deixar cair uma DF perpendicular do vértice D à linha CD. Então a área do trapézio AECD é igual à soma das áreas do retângulo AEFD e do triângulo DFC. Os triângulos retângulos AEB e DFC são congruentes e, portanto, possuem áreas iguais. Segue-se que a área do paralelogramo ABCD é igual à área do retângulo AEFD, ou seja, é igual a AE * AD. O segmento AE é a altura do paralelogramo baixado para o lado AD e, portanto, S = uma * h. O teorema foi provado.

Teorema 3

A área de um triângulo é igual à metade do produto de seu lado pela sua altura(Fig. 3.):

Figura 3.

Prova.

Seja ABC o triângulo dado. Vamos adicioná-lo ao paralelogramo ABCD, conforme mostrado na figura (Fig. 3.1.).

Figura 3.1.

A área de um paralelogramo é igual à soma das áreas dos triângulos ABC e CDA. Como esses triângulos são congruentes, a área do paralelogramo é igual ao dobro da área do triângulo ABC. A altura do paralelogramo correspondente ao lado CB é igual à altura do triângulo desenhado ao lado CB. Isso implica a afirmação do teorema. O teorema está provado.

Teorema 3.1.

A área de um triângulo é igual à metade do produto de seus dois lados pelo seno do ângulo entre eles(Figura 3.2.).

Figura 3.2.

Prova.

Vamos introduzir um sistema de coordenadas com origem no ponto C de modo que B esteja no semieixo positivo C x, e o ponto A tenha uma ordenada positiva. A área de um determinado triângulo pode ser calculada usando a fórmula, onde h é a altura do triângulo. Mas h é igual à ordenada do ponto A, ou seja, h=b sen C. Portanto, . O teorema foi provado.

Teorema 4.

A área de um trapézio é igual ao produto da metade da soma de suas bases pela sua altura(Fig. 4.).

Figura 4.

Prova.

Seja ABCD o trapézio dado (Fig. 4.1.).

Figura 4.1.

A diagonal AC de um trapézio o divide em dois triângulos: ABC e CDA.

Portanto, a área do trapézio é igual à soma das áreas desses triângulos.

A área do triângulo ACD é igual à área do triângulo ABC. As alturas AF e CE desses triângulos são iguais à distância h entre as linhas paralelas BC e AD, ou seja, altura do trapézio. Por isso, . O teorema foi provado.

As áreas das figuras são de grande importância na geometria, como na ciência. Afinal, a área é uma das quantidades mais importantes da geometria. Sem conhecimento das áreas é impossível resolver muitos problemas geométricos, provar teoremas e justificar axiomas. As áreas das figuras tiveram grande importância há muitos séculos, mas não perderam a sua importância na mundo moderno. Os conceitos de área são usados em muitas profissões. Eles são usados na construção, design e muitas outras atividades humanas. Disto podemos concluir que sem o desenvolvimento da geometria, em particular dos conceitos de áreas, a humanidade não teria sido capaz de fazer um avanço tão grande no campo da ciência e da tecnologia.

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Quadrado figura geométrica - uma característica numérica de uma figura geométrica mostrando o tamanho desta figura (parte da superfície limitada pelo contorno fechado desta figura). O tamanho da área é expresso pelo número de unidades quadradas nela contidas.

Fórmulas de área de triângulo

Fórmula para a área de um triângulo por lado e altura
Área de um triângulo igual à metade do produto do comprimento de um lado de um triângulo e o comprimento da altitude traçada para esse lado
Fórmula para a área de um triângulo com base em três lados e no raio do círculo circunscrito
Fórmula para a área de um triângulo baseada em três lados e no raio do círculo inscrito
Área de um triânguloé igual ao produto do semiperímetro do triângulo e o raio do círculo inscrito.

Fórmulas de área quadrada

Fórmula para a área de um quadrado pelo comprimento do lado
Área quadrada igual ao quadrado do comprimento do seu lado.
Fórmula para a área de um quadrado ao longo da diagonal
Área quadrada igual à metade do quadrado do comprimento de sua diagonal.
S = 1 2
2

Fórmula de área retangular

Área de um retângulo

Fórmulas de área do paralelogramo

Fórmula para a área de um paralelogramo com base no comprimento e altura do lado
Área de um paralelogramo
Fórmula para a área de um paralelogramo baseada em dois lados e no ângulo entre eles
Área de um paralelogramoé igual ao produto dos comprimentos de seus lados multiplicado pelo seno do ângulo entre eles.
a b sen α

Fórmulas para a área de um losango

Fórmula para a área de um losango com base no comprimento e altura do lado
Área de um losango igual ao produto do comprimento do seu lado e o comprimento da altura abaixada para este lado.
Fórmula para a área de um losango com base no comprimento e ângulo do lado
Área de um losangoé igual ao produto do quadrado do comprimento do seu lado e o seno do ângulo entre os lados do losango.
Fórmula para a área de um losango com base no comprimento de suas diagonais
Área de um losango igual à metade do produto dos comprimentos de suas diagonais.

Fórmulas de área trapezoidal

Fórmula de Heron para trapézio
Onde S é a área do trapézio,
- comprimentos das bases do trapézio,
- comprimentos dos lados do trapézio,

Aula: 5

Na minha opinião, a tarefa do professor não é apenas ensinar, mas desenvolver o interesse cognitivo no aluno. Por isso, sempre que possível, conecto os tópicos das aulas com as tarefas práticas.

Durante a aula, os alunos, sob orientação do professor, elaboram um plano de resolução de problemas para encontrar a área de uma “figura complexa” (para calcular estimativas de reparação), consolidam competências na resolução de problemas para encontrar a área; há desenvolvimento da atenção, capacidade para atividades de pesquisa, educação para a atividade, independência.

Trabalhar em dupla cria uma situação de comunicação entre quem tem conhecimento e quem o adquire; Este trabalho tem como base a melhoria da qualidade da formação na temática. Promove o desenvolvimento do interesse pelo processo de aprendizagem e uma assimilação mais profunda do material didático.

A aula não só sistematiza o conhecimento dos alunos, mas também contribui para o desenvolvimento de habilidades criativas e analíticas. A utilização de problemas com conteúdo prático em sala de aula permite mostrar a relevância do conhecimento matemático no dia a dia.

Objetivos da lição:

Educacional:

consolidação do conhecimento das fórmulas da área de um retângulo, triângulo retângulo;
análise de tarefas de cálculo da área de uma figura “complexa” e métodos para realizá-las;
conclusão independente de tarefas para testar conhecimentos, habilidades e habilidades.

Educacional:

desenvolvimento de métodos de atividade mental e de pesquisa;
desenvolver a capacidade de ouvir e explicar o curso de uma decisão.

Educacional:

desenvolver as habilidades acadêmicas dos alunos;
cultivar uma cultura de discurso matemático oral e escrito;
levantar a questão atitude amigável em sala de aula e capacidade de trabalhar em grupo.

Tipo de aula: combinado.

Equipamento:

Matemática: livro didático para a 5ª série. educação geral instituições/ N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov et al., M.: “Mnemosyne”, 2010.
Cartões para grupos de alunos com formas para calcular a área de uma forma complexa.
Ferramentas de desenho.

Plano de aula:

Momento organizacional.
Atualizando conhecimentos.
UM) Questões teóricas(teste).
b) Declaração do problema.
Aprendeu novo material.
a) encontrar uma solução para o problema;
b) solução do problema.
Fixando o material.
a) resolução coletiva de problemas;
Minuto de educação física.
b) trabalho independente.
Trabalho de casa.
Resumo da lição. Reflexão.

Progresso da lição

I. Momento organizacional.

Começaremos a lição com estas palavras de despedida:

Matemática, amigos,
Absolutamente todo mundo precisa disso.
Trabalhe diligentemente nas aulas
E o sucesso certamente espera por você!

II. Atualizando conhecimentos.

UM) Trabalho frontal com cartões sinalizadores (cada aluno possui cartões com os números 1, 2, 3, 4; ao responder uma questão da prova, o aluno levanta um cartão com o número da resposta correta).

1. Um centímetro quadrado é:

área de um quadrado com 1 cm de lado;
quadrado com lado de 1 cm;
quadrado com perímetro de 1 cm.

2. A área da figura mostrada na figura é igual a:

8 dm;
8dm2;
15dm2.

3. É verdade que figuras iguais têm perímetros e áreas iguais?

4. A área de um retângulo é determinada pela fórmula:

S = a2;
S = 2 (a + b);
S = umab.

5. A área da figura mostrada na figura é igual a:

12cm;
8cm;
16 cm.

b) (Declaração do problema). Tarefa. Quanta tinta é necessária para pintar um piso que tem o seguinte formato (ver figura), se são consumidos 200 g de tinta por 1 m2?

III. Aprendendo novo material.

O que precisamos saber para resolver o último problema? (Encontre a área do piso que se parece com uma “figura complexa”.)

Os alunos formulam o tema e os objetivos da aula (se necessário, o professor ajuda).

Considere um retângulo ABCD. Vamos traçar uma linha nele KPMN, quebrando o retângulo ABCD em duas partes: ABNMPK E KPMNCD.

Qual é a área? ABCD? (15cm2)

Qual é a área da figura? ABMNPK? (7cm2)

Qual é a área da figura? KPMNCD? (8cm2)

Analise seus resultados. (15 = = 7 + 8)

Conclusão? (A área de toda a figura é igual à soma das áreas de suas partes.)

S = S 1 + S 2

Como podemos aplicar essa propriedade para resolver nosso problema? (Vamos decompô-lo figura complexa em partes, encontre as áreas das partes e, em seguida, a área da figura inteira.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

Vamos fazer as pazes planeje resolver problemas para encontrar a área de uma “figura complexa”:

Dividimos a figura em figuras simples.
Encontrar as áreas de figuras simples.

a) Tarefa 1. Quantos ladrilhos serão necessários para projetar um terreno com as seguintes dimensões:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

Existe outra maneira de resolver? (Estamos considerando as opções propostas.)

Resposta: 2100 dm 2.

Tarefa 2. (decisão coletiva no quadro e em cadernos.) Quantos m2 de linóleo são necessários para reformar uma sala que tem o seguinte formato:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Resposta: 8 m2.

Minuto de educação física.

E agora, pessoal, levantem-se.
Eles rapidamente levantaram as mãos.
Para os lados, para frente, para trás.
Virou à direita, à esquerda.
Eles se sentaram em silêncio e voltaram ao trabalho.

b) Trabalho independente (educacional) .

Os alunos são divididos em grupos (os números 5 a 8 são mais fortes). Cada grupo é uma equipe de reparos.

Tarefa para as equipes: determine a quantidade de tinta necessária para pintar um piso que tenha o formato da figura mostrada no cartão, se forem necessários 200 g de tinta por 1 m2.

Você constrói essa figura em seu caderno e anota todos os dados e inicia a tarefa. Você pode discutir a solução (mas apenas no seu grupo!). Se algum grupo lidar com a tarefa rapidamente, eles receberão uma tarefa adicional (depois de verificar o trabalho independente).

Tarefas para grupos:

V. Lição de casa.

parágrafo 18, nº 718, nº 749.

Tarefa adicional. Diagrama da planta do Jardim de Verão (São Petersburgo). Calcule sua área.

VI. Resumo da lição.

Reflexão. Continue a frase:

Hoje eu descobri...
Foi interessante...
Foi difícil...
Agora eu posso...
Me deu uma lição para a vida...

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