Como será direcionado o momento das bolas após a colisão? Impulso após colisão. Solução. O problema descreve vários processos: queda da haste, impacto, movimento do cubo, levantamento da haste. Vamos considerar cada um dos processos

A lei da conservação da energia permite-nos resolver problemas mecânicos nos casos em que, por algum motivo, as forças curativas que atuam no corpo são desconhecidas. Um exemplo interessante A colisão de dois corpos é precisamente um caso assim. Este exemplo é especialmente interessante porque ao analisá-lo não se pode utilizar apenas a lei da conservação da energia. Também é necessário envolver a lei da conservação do momento (momentum).

Na vida cotidiana e na tecnologia, nem sempre é necessário lidar com colisões de corpos, mas na física dos átomos e das partículas atômicas, as colisões são uma ocorrência muito comum.

Para simplificar, consideraremos primeiro a colisão de duas bolas com massas das quais a segunda está em repouso, e a primeira se move em direção à segunda com velocidade. Assumiremos que o movimento ocorre ao longo da linha que liga os centros de ambas as bolas (Fig. . 205), de forma que quando as bolas colidem ocorre o seguinte impacto denominado central ou frontal. Quais são as velocidades de ambas as bolas após a colisão?

Antes da colisão, a energia cinética da segunda bola é zero e da primeira. A soma das energias de ambas as bolas é:

Após a colisão, a primeira bola começará a se mover com uma certa velocidade. A segunda bola, cuja velocidade era igual a zero, também receberá alguma velocidade. Portanto, após a colisão, a soma das energias cinéticas das duas bolas irá. tornar-se igual

De acordo com a lei da conservação da energia, esta soma deve ser igual à energia das bolas antes da colisão:

A partir desta equação, é claro que não podemos encontrar duas velocidades desconhecidas: é aqui que a segunda lei de conservação vem em socorro - a lei da conservação do momento. Antes da colisão das bolas, o momento da primeira bola era igual e o momento da segunda era zero. O momento total das duas bolas foi igual a:

Após a colisão, os impulsos de ambas as bolas mudaram e tornaram-se iguais e o impulso total tornou-se

De acordo com a lei da conservação do momento, o momento total não pode mudar durante uma colisão. Portanto devemos escrever:

Como o movimento ocorre ao longo de uma linha reta, em vez de equação vetorial podemos escrever algébrico (para projeções de velocidades em um eixo de coordenadas direcionado ao longo da velocidade de movimento da primeira bola antes do impacto):

Agora temos duas equações:

Tal sistema de equações pode ser resolvido e as velocidades desconhecidas delas e das bolas após a colisão podem ser encontradas. Para fazer isso, reescrevemos da seguinte forma:

Dividindo a primeira equação pela segunda, obtemos:

Agora resolvendo esta equação junto com a segunda equação

(faça você mesmo), descobriremos que a primeira bola após o impacto se moverá com velocidade

e o segundo - com velocidade

Se ambas as bolas tiverem a mesma massa, isso significa que a primeira bola, colidindo com a segunda, transferiu para ela sua velocidade e parou (Fig. 206).

Assim, utilizando as leis de conservação da energia e do momento, é possível, conhecendo as velocidades dos corpos antes da colisão, determinar suas velocidades após a colisão.

Como foi a situação durante a colisão propriamente dita, no momento em que os centros das bolas estavam o mais próximos possível?

É óbvio que neste momento eles estavam se movendo juntos a alguma velocidade. Com as mesmas massas de corpos, eles massa total igual a 2t. De acordo com a lei da conservação do momento, durante o movimento conjunto de ambas as bolas, seu momento deve ser igual ao momento total antes da colisão:

Segue-se que

Assim, a velocidade de ambas as bolas quando se movem juntas é igual à metade

a velocidade de um deles antes da colisão. Vamos encontrar a energia cinética de ambas as bolas neste momento:

E antes da colisão energia total ambas as bolas eram iguais

Conseqüentemente, no exato momento da colisão das bolas, a energia cinética foi reduzida à metade. Para onde foi metade da energia cinética? Existe aqui uma violação da lei da conservação da energia?

A energia, claro, permaneceu a mesma durante o movimento conjunto das bolas. O fato é que durante a colisão ambas as bolas ficaram deformadas e, portanto, possuíam energia potencial de interação elástica. É pela quantidade dessa energia potencial que a energia cinética das bolas diminuiu.

Problema 1. Uma bola com massa igual a 50 g move-se com velocidade e colide com uma bola estacionária cuja massa quais são as velocidades de ambas as bolas após a colisão? A colisão das bolas é considerada central.

Demonstre absolutamente não impacto elástico Você também pode usar bolas de plasticina (argila) movendo-se uma em direção à outra. Se as massas das bolas eu 1 e eu 2, sua velocidade antes do impacto, então, usando a lei da conservação do momento, podemos escrever:

Se as bolas se movessem uma em direção à outra, juntas elas continuariam a se mover na direção em que a bola se movia com maior impulso. Num caso particular, se as massas e velocidades das bolas forem iguais, então

Vamos descobrir como a energia cinética das bolas muda durante um impacto central absolutamente inelástico. Como durante a colisão de bolas entre elas atuam forças que dependem não das próprias deformações, mas de suas velocidades, estamos lidando com forças semelhantes às forças de atrito, portanto a lei da conservação da energia mecânica não deve ser observada. Devido à deformação, há uma “perda” de energia cinética, convertida em energia térmica ou outras formas de energia ( dissipação de energia). Esta “perda” pode ser determinada pela diferença nas energias cinéticas antes e depois do impacto:

.

A partir daqui obtemos:

(5.6.3)

Se o corpo atingido estava inicialmente imóvel (υ 2 = 0), então

Quando eu 2 >> eu 1 (a massa de um corpo estacionário é muito grande), então quase toda a energia cinética no momento do impacto é convertida em outras formas de energia.

Portanto, por exemplo, para obter uma deformação significativa, a bigorna deve ser mais maciça que o martelo.

Quando então, quase toda a energia é gasta no maior movimento possível, e não na deformação residual (por exemplo, um martelo - um prego).

Um impacto absolutamente inelástico é um exemplo de como ocorre a “perda” de energia mecânica sob a influência de forças dissipativas.

Começarei com algumas definições, sem o conhecimento das quais uma análise mais aprofundada da questão não terá sentido. A resistência que um corpo exerce ao tentar colocá-lo em movimento ou alterar sua velocidade é chamada

inércia. Medida de inércia –.

peso

1. Assim, as seguintes conclusões podem ser tiradas:
2. Quanto maior a massa de um corpo, mais ele resiste às forças que tentam tirá-lo do repouso.

Quanto maior a massa de um corpo, mais ele resiste às forças que tentam alterar sua velocidade se o corpo se mover uniformemente.

Resumindo, podemos dizer que a inércia do corpo neutraliza as tentativas de dar aceleração ao corpo. E a massa serve como indicador do nível de inércia. Quanto maior a massa, maior será a força que deve ser aplicada ao corpo para lhe dar aceleração. Sistema fechado (isolado)

Se pelo menos uma das duas condições acima não for atendida, o sistema não poderá ser considerado fechado. Seja um sistema composto por dois pontos materiais com velocidades e, respectivamente. Vamos imaginar que ocorreu uma interação entre os pontos, como resultado da mudança das velocidades dos pontos. Denotemos por e os incrementos dessas velocidades durante a interação entre os pontos. Assumiremos que os incrementos têm direções opostas e estão relacionados pela relação . Sabemos que os coeficientes não dependem da natureza da interação dos pontos materiais - isso foi confirmado por muitos experimentos. Os coeficientes são características dos próprios pontos. Esses coeficientes são chamados de massas (massas inerciais). A relação dada para o incremento de velocidades e massas pode ser descrita como segue.

A proporção das massas de dois pontos materiais é igual à proporção dos incrementos nas velocidades desses pontos materiais como resultado da interação entre eles.

A relação acima pode ser apresentada de outra forma. Denotemos as velocidades dos corpos antes da interação como e , respectivamente, e depois da interação como e . Neste caso, os incrementos de velocidade podem ser apresentados na seguinte forma - e . Portanto, o relacionamento pode ser escrito da seguinte forma - .

Impulso (quantidade de energia ponto material) – vetor igual ao produto da massa de um ponto material e seu vetor velocidade –

Momentum do sistema (quantidade de movimento do sistema de pontos materiais)– soma vetorial dos momentos dos pontos materiais que compõem este sistema - .

Podemos concluir que, no caso de um sistema fechado, o momento antes e depois da interação dos pontos materiais deve permanecer o mesmo - , onde e . Podemos formular a lei da conservação do momento.

O momento de um sistema isolado permanece constante ao longo do tempo, independentemente da interação entre eles.

Definição necessária:

Forças conservadoras – forças cujo trabalho não depende da trajetória, mas é determinado apenas pelas coordenadas inicial e final do ponto.

Formulação da lei da conservação da energia:

Num sistema em que atuam apenas forças conservativas, a energia total do sistema permanece inalterada. Somente é possível a transformação de energia potencial em energia cinética e vice-versa.

A energia potencial de um ponto material é função apenas das coordenadas deste ponto. Aqueles. energia potencial depende da posição do ponto no sistema. Assim, as forças que atuam sobre um ponto podem ser definidas da seguinte forma: podem ser definidas da seguinte forma: . – energia potencial de um ponto material. Multiplique ambos os lados e obtenha . Vamos transformar e obter uma expressão provando lei da conservação da energia .

Colisões elásticas e inelásticas

Impacto absolutamente inelástico - uma colisão de dois corpos, como resultado da qual eles se conectam e depois se movem como um só.

Duas bolas, com e experimentando um presente completamente inelástico entre si. De acordo com a lei da conservação do momento. A partir daqui podemos expressar a velocidade de duas bolas se movendo após uma colisão como um todo - . Energias cinéticas antes e depois do impacto: E . Vamos encontrar a diferença

,

Onde - massa reduzida de bolas . A partir disso pode-se ver que durante uma colisão absolutamente inelástica de duas bolas há uma perda de energia cinética do movimento macroscópico. Essa perda é igual à metade do produto da massa reduzida pelo quadrado da velocidade relativa.

Momentum é uma quantidade física que, sob certas condições, permanece constante para um sistema de corpos em interação. O módulo de momento é igual ao produto da massa e velocidade (p = mv). A lei da conservação do momento é formulada da seguinte forma:

Num sistema fechado de corpos, a soma vetorial dos momentos dos corpos permanece constante, ou seja, não muda. Por fechado queremos dizer um sistema onde os corpos interagem apenas entre si. Por exemplo, se o atrito e a gravidade puderem ser desprezados. O atrito pode ser pequeno e a força da gravidade é equilibrada pela força da reação normal do suporte.

Digamos que um corpo em movimento colida com outro corpo de mesma massa, mas imóvel. O que vai acontecer? Em primeiro lugar, uma colisão pode ser elástica ou inelástica. Em uma colisão inelástica, os corpos aderem em um todo. Vamos considerar exatamente essa colisão.

Como as massas dos corpos são iguais, denotamos suas massas pela mesma letra sem índice: m. O momento do primeiro corpo antes da colisão é igual a mv 1, e o segundo é igual a mv 2. Mas como o segundo corpo não está se movendo, então v 2 = 0, portanto, o momento do segundo corpo é 0.

Após uma colisão inelástica, o sistema de dois corpos continuará a se mover na direção em que o primeiro corpo se moveu (o vetor momento coincide com o vetor velocidade), mas a velocidade se tornará 2 vezes menor. Ou seja, a massa aumentará 2 vezes e a velocidade diminuirá 2 vezes. Assim, o produto da massa pela velocidade permanecerá o mesmo. A única diferença é que antes da colisão a velocidade era 2 vezes maior, mas a massa era igual a m. Após a colisão, a massa passou a ser 2m e a velocidade foi 2 vezes menor.

Imaginemos que dois corpos que se movem um em direção ao outro colidem inelasticamente. Os vetores de suas velocidades (assim como os impulsos) são direcionados em direções opostas. Isto significa que os módulos de pulso devem ser subtraídos. Após a colisão, o sistema de dois corpos continuará a se mover na direção em que o corpo com maior momento se movia antes da colisão.

Por exemplo, se um corpo tinha massa de 2 kg e se movia a uma velocidade de 3 m/s, e o outro tinha massa de 1 kg e velocidade de 4 m/s, então o impulso do primeiro é de 6 kg. m/s, e o impulso do segundo é de 4 kg m /Com. Isso significa que o vetor velocidade após a colisão será codirecional com o vetor velocidade do primeiro corpo. Mas o valor da velocidade pode ser calculado assim. O impulso total antes da colisão era igual a 2 kg m/s, pois os vetores têm sentidos opostos, e devemos subtrair os valores. Deve permanecer o mesmo após a colisão. Mas após a colisão, a massa corporal aumentou para 3 kg (1 kg + 2 kg), o que significa que da fórmula p = mv segue que v = p/m = 2/3 = 1,6(6) (m/s) . Vemos que como resultado da colisão a velocidade diminuiu, o que é consistente com a nossa experiência quotidiana.

Se dois corpos se movem em uma direção e um deles alcança o segundo, empurra-o, envolvendo-se com ele, então como mudará a velocidade desse sistema de corpos após a colisão? Digamos que um corpo pesando 1 kg se moveu a uma velocidade de 2 m/s. Um corpo pesando 0,5 kg, movendo-se a uma velocidade de 3 m/s, alcançou-o e agarrou-se a ele.

Como os corpos se movem em uma direção, o impulso do sistema desses dois corpos é igual à soma dos impulsos de cada corpo: 1 2 = 2 (kg m/s) e 0,5 3 = 1,5 (kg m/s) . O impulso total é de 3,5 kg m/s. Deve permanecer o mesmo após a colisão, mas a massa corporal aqui já será de 1,5 kg (1 kg + 0,5 kg). Então a velocidade será igual a 3,5/1,5 = 2,3(3) (m/s). Essa velocidade é maior que a velocidade do primeiro corpo e menor que a velocidade do segundo. Isso é compreensível, o primeiro corpo foi empurrado e o segundo, pode-se dizer, encontrou um obstáculo.

Agora imagine que dois corpos estão inicialmente acoplados. Alguma força igual os empurra em direções diferentes. Qual será a velocidade dos corpos? Como uma força igual é aplicada a cada corpo, o módulo do impulso de um deve ser igual ao módulo do impulso do outro. Porém, os vetores têm direções opostas, portanto sua soma será igual a zero. Isto está correto, porque antes dos corpos se afastarem, o seu momento era igual a zero, porque os corpos estavam em repouso. Como o momento linear é igual à massa vezes a velocidade, então nesse casoé claro que quanto mais massivo for o corpo, menor será sua velocidade. Quanto mais leve for o corpo, maior será sua velocidade.

Quando os corpos colidem entre si, eles sofrem deformações. Neste caso, a energia cinética que os corpos possuíam antes do impacto é parcial ou totalmente convertida em energia potencial de deformação elástica e na chamada energia interna telefone. Um aumento na energia interna dos corpos é acompanhado por um aumento na sua temperatura.

Existem dois tipos limitantes de impacto: absolutamente elástico e absolutamente inelástico. Um impacto absolutamente elástico é aquele em que energia mecânica corpos não se transforma em outros tipos de energia não mecânicos. Com tal impacto, a energia cinética é convertida total ou parcialmente em energia potencial de deformação elástica. Então os corpos retornam à sua forma original, repelindo-se. Como resultado, a energia potencial de deformação elástica novamente se transforma em energia cinética e os corpos se separam em velocidades, cuja magnitude e direção são determinadas por duas condições - conservação da energia total e conservação do momento total do sistema de corpos.

Um impacto completamente inelástico é caracterizado pelo fato de não surgir energia potencial de deformação; a energia cinética dos corpos é total ou parcialmente convertida em energia interna; Após o impacto, os corpos em colisão movem-se na mesma velocidade ou ficam em repouso. Com um impacto absolutamente inelástico, apenas a lei da conservação do momento é satisfeita, mas a lei da conservação da energia mecânica não é observada - existe uma lei de conservação da energia total de vários tipos - mecânica e interna.

Limitar-nos-emos a considerar o impacto central de duas bolas. Uma rebatida é chamada de central se as bolas antes da rebatida se moverem ao longo de uma linha reta que passa por seus centros. Com um impacto central, um impacto pode ocorrer se; 1) as bolas se movem uma em direção à outra (Fig. 70, a) e 2) uma das bolas alcança a outra (Fig. 70.6).

Assumiremos que as bolas formam um sistema fechado ou que as forças externas aplicadas às bolas se equilibram.

Consideremos primeiro um impacto completamente inelástico. Sejam as massas das bolas iguais a m 1 e m 2, e as velocidades antes do impacto V 10 e V 20. Em virtude da lei de conservação, o momento total das bolas após o impacto deve ser o mesmo que antes do impacto:

Como os vetores v 10 e v 20 são direcionados ao longo da mesma linha, o vetor v também tem uma direção que coincide com esta linha. No caso b) (ver Fig. 70) é direcionado na mesma direção dos vetores v 10 e v 20. No caso a) o vetor v é direcionado para aquele dos vetores v i0 para os quais o produto m i v i0 é maior.

A magnitude do vetor v pode ser calculada usando a seguinte fórmula:

onde υ 10 e υ 20 são os módulos dos vetores v 10 e v 20; o sinal “-” corresponde ao caso a), o sinal “+” ao caso b).

Agora considere um impacto perfeitamente elástico. Com tal impacto, duas leis de conservação são satisfeitas: a lei da conservação do momento e a lei da conservação da energia mecânica.

Denotamos as massas das bolas como m 1 e m 2, as velocidades das bolas antes do impacto como v 10 e v 20 e, finalmente, as velocidades das bolas após o impacto como v 1 e v 2. Sejam escrevemos as equações de conservação para momento e energia;

Levando em conta isso, reduzamos (30.5) à forma

Multiplicando (30,8) por m 2 e subtraindo o resultado de (30,6), e depois multiplicando (30,8) por m 1 e somando o resultado com (30,6), obtemos os vetores velocidade das bolas após o impacto:

Para cálculos numéricos, vamos projetar (30.9) na direção do vetor v 10 ;

Nessas fórmulas, υ 10 e υ 20 são módulos, e υ 1 e υ 2 são projeções dos vetores correspondentes. O sinal “-” superior corresponde ao caso das bolas se moverem uma em direção à outra, o sinal “+” inferior ao caso em que a primeira bola ultrapassa a segunda.

Observe que as velocidades das bolas após um impacto absolutamente elástico não podem ser as mesmas. Na verdade, igualando as expressões (30.9) para v 1 e v 2 entre si e fazendo transformações, obtemos:

Conseqüentemente, para que as velocidades das bolas sejam as mesmas após o impacto, é necessário que sejam as mesmas antes do impacto, mas neste caso a colisão não pode ocorrer. Segue-se que a condição de velocidades iguais das bolas após o impacto é incompatível com a lei da conservação da energia. Assim, durante um impacto inelástico, a energia mecânica não é conservada - ela se transforma parcialmente na energia interna dos corpos em colisão, o que leva ao seu aquecimento.

Consideremos o caso em que as massas das bolas em colisão são iguais: m 1 =m 2. De (30.9) segue-se que sob esta condição

ou seja, quando as bolas colidem, elas trocam de velocidade. Em particular, se uma das bolas da mesma massa, por exemplo a segunda, está em repouso antes da colisão, então após o impacto ela se move com a mesma velocidade que a primeira bola utilizada inicialmente; A primeira bola após o impacto fica imóvel.

Usando as fórmulas (30.9), você pode determinar a velocidade da bola após um impacto elástico em uma parede estacionária e imóvel (que pode ser considerada como uma bola de massa infinitamente grande m2 e raio infinitamente grande). Dividindo o numerador e denominador das expressões (30,9) por m 2 e desprezando os termos contendo o fator m 1 /m 2 obtemos:

Como decorre dos resultados obtidos, logo as paredes permanecem inalteradas. A velocidade da bola, se a parede estiver estacionária (v 20 = 0), muda na direção oposta; no caso de uma parede em movimento, a velocidade da bola também muda (aumenta para 2υ 20 se a parede se mover em direção à bola, e diminui 2υ 20 se a parede “se afastar” da bola que a alcança)