As funções de Walsh são periódicas se. Representação de sinais por funções descontínuas. Funções Rademacher, Walsh, Haar. Transformada discreta de Walsh

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As funções de Walsh são uma família de funções que formam um sistema ortogonal, assumindo apenas os valores 1 e -1 em todo o domínio de definição.

Em princípio, as funções de Walsh podem ser representadas em forma contínua, mas mais frequentemente eles são definidos como sequências discretas de $2^n$ elementos. Grupo de $2^n$ As funções de Walsh formam a matriz de Hadamard.

As funções de Walsh são amplamente utilizadas em comunicações de rádio, onde são utilizadas para implementar acesso múltiplo por divisão de código (CDMA), por exemplo, em tais padrões comunicações celulares como IS-95, CDMA2000 ou UMTS.

O sistema de funções de Walsh é uma base ortonormal e, como consequência, permite expandir sinais de forma arbitrária em uma série de Fourier generalizada.

Uma generalização das funções de Walsh para o caso de mais de dois valores são as funções de Vilenkin-Chrestenson.

Designação

Seja a função de Walsh definida no intervalo; fora deste intervalo a função é repetida periodicamente. Vamos apresentar o tempo adimensional $\teta = t / T$ . Então a função de Walsh numerada k é denotada como $wal(k,\teta)$ . A numeração das funções depende do método de ordenação das funções. Existe a ordem de Walsh - neste caso, as funções são designadas conforme descrito acima. Ordens Paley também são comuns ( $amigo(p,\teta)$ ) e Hadamard ( $tinha(h,\teta)$ ).

Em relação ao momento $\teta = 0$ As funções de Walsh podem ser divididas em pares e ímpares. Eles são designados como $cal(k,\teta)$ E $sal(k,\teta)$ respectivamente. Essas funções são semelhantes aos senos e cossenos trigonométricos. A relação entre essas funções é expressa da seguinte forma:

$cal(k,\teta) = wal(2k,\teta)$ $sal(k,\teta) = wal(2k-1,\teta)$

Formação

Existem vários métodos de formação. Consideremos um deles, o mais visual: A matriz Hadamard pode ser formada por um método recursivo construindo matrizes de blocos usando a seguinte fórmula geral:

$H_(2^n) = \begin(bmatriz)H_(2^(n-1)) & H_(2^(n-1)) \\ H_(2^(n-1)) & -H_(2^(n-1)) \end(bmatriz)$

É assim que uma matriz de comprimento de Hadamard pode ser formada $2^n$ :

$H_1 = \begin(bmatriz)1\fim(bmatriz)$

$H_2 = \begin(bmatriz)1 e 1 \\ 1 & -1 \end(bmatriz)$

$H_4 = \begin(bmatriz)1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end(bmatriz)$

Cada linha da Matriz Hadamard é uma função de Walsh.

EM nesse caso as funções são ordenadas por Hadamard. O número da função de Walsh é calculado a partir do número da função de Hadamard reorganizando os bits na notação binária do número na ordem inversa, seguido pela conversão do resultado do código de Gray.

Exemplo

O resultado é uma matriz de Walsh na qual as funções são ordenadas por Walsh:

$W_4 = \begin(bmatriz)1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end(bmatriz)$

Propriedades

1. Ortogonalidade

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Literatura

Baskakov S. I. Circuitos e sinais de engenharia de rádio. - M.: Ensino Superior, 2005 - ISBN 5-06-003843-2
Golubov B.I., Efimov A.V., Skvortsov V.A. Séries e transformações de Walsh: teoria e aplicações. - M.: Ciência, 1987
Zalmanzon L. A. Transformadas de Fourier, Walsh, Haar e sua aplicação em controle, comunicações e outras áreas. - M.: Nauka, 1989 - ISBN 5-02-014094-5

Veja também

Notas

Trecho caracterizando a Função Walsh

“Aparentemente, nem todos foram embora ainda, príncipe”, disse Bagration. – Até amanhã de manhã, amanhã descobriremos tudo.
“Há um piquete na montanha, Excelência, ainda no mesmo lugar onde estava à noite”, relatou Rostov, inclinando-se para a frente, colocando a mão na viseira e não conseguindo conter o sorriso de diversão que lhe causou sua viagem e, o mais importante, pelos sons das balas.
"Ok, ok", disse Bagration, "obrigado, Sr. Oficial."
“Excelência”, disse Rostov, “permita-me perguntar-lhe”.
- O que aconteceu?
“Amanhã nosso esquadrão está designado para a reserva; Deixe-me pedir-lhe que me apoie no 1º Esquadrão.
- Qual é o seu sobrenome?
- Conde Rostov.
- Oh, tudo bem. Permaneça comigo como ordenança.
– Filho de Ilya Andreich? - disse Dolgorukov.
Mas Rostov não lhe respondeu.
- Assim espero, Excelência.
- Vou pedir.
“Amanhã, talvez, enviem algum tipo de ordem ao soberano”, pensou. - Deus abençoe".

Os gritos e fogos no exército inimigo ocorreram porque enquanto a ordem de Napoleão era lida entre as tropas, o próprio imperador cavalgava em torno de seus acampamentos. Os soldados, vendo o imperador, acenderam feixes de palha e, gritando: vive l "empereur! correram atrás dele. A ordem de Napoleão foi a seguinte:
“Soldados! O exército russo sai contra você para vingar o exército austríaco de Ulm. Estes são os mesmos batalhões que você derrotou em Gollabrunn e que desde então você tem perseguido constantemente até este lugar. As posições que ocupamos são poderosas e, enquanto se movem para me flanquear pela direita, irão expor o meu flanco! Soldados! Eu mesmo liderarei seus batalhões. Ficarei longe do fogo se você, com sua coragem habitual, trouxer desordem e confusão às fileiras do inimigo; mas se a vitória estiver em dúvida por um minuto sequer, você verá seu imperador exposto aos primeiros golpes do inimigo, porque não pode haver dúvida na vitória, especialmente num dia em que a honra da infantaria francesa, que é tão necessário para a honra de sua nação, está em questão.
Sob o pretexto de retirar os feridos, não perturbem as fileiras! Que todos estejam plenamente imbuídos do pensamento de que é necessário derrotar estes mercenários da Inglaterra, inspirados por tanto ódio contra a nossa nação. Esta vitória encerrará a nossa campanha e poderemos regressar aos quartéis de inverno, onde nos encontrarão as novas tropas francesas que se formam em França; e então a paz que farei será digna do meu povo, de você e de mim.
Napoleão."

Às 5 horas da manhã ainda estava completamente escuro. As tropas do centro, das reservas e do flanco direito de Bagration ainda permaneciam imóveis; mas no flanco esquerdo as colunas de infantaria, cavalaria e artilharia, que deveriam ser as primeiras a descer das alturas para atacar o flanco direito francês e jogá-lo de volta, conforme a disposição, nas montanhas da Boêmia, já haviam começaram a se agitar e a subir de suas posições durante a noite. A fumaça das fogueiras onde jogavam tudo o que era desnecessário comia meus olhos. Estava frio e escuro. Os oficiais tomaram chá e tomaram café da manhã às pressas, os soldados mastigaram biscoitos, bateram um tiro com os pés, se aquecendo, e se aglomeraram contra as fogueiras, jogando na lenha os restos de barracas, cadeiras, mesas, rodas, banheiras, tudo o que fosse desnecessário. não poderia ser levado com eles. Os líderes da coluna austríaca correram entre as tropas russas e serviram como arautos do ataque. Assim que um oficial austríaco apareceu perto do acampamento do comandante do regimento, o regimento começou a se mover: os soldados fugiram do fogo, esconderam tubos nas botas, bolsas nas carroças, desmontaram as armas e fizeram fila. Os oficiais se abotoaram, colocaram espadas e mochilas e andaram pelas fileiras gritando; Os comboios e auxiliares atrelaram, embalaram e amarraram as carroças. Ajudantes, comandantes de batalhão e regimento sentaram-se a cavalo, benzeram-se, deram as últimas ordens, instruções e instruções aos comboios restantes, e soou o tropeço monótono de mil pés. As colunas moviam-se sem saber para onde e sem ver das pessoas à sua volta, do fumo e do nevoeiro crescente, nem a zona de onde saíam nem aquela por onde entravam.
Um soldado em movimento é tão cercado, limitado e atraído por seu regimento quanto um marinheiro pelo navio em que está localizado. Não importa quão longe ele vá, não importa em que latitudes estranhas, desconhecidas e perigosas ele entre, ao seu redor - como para um marinheiro, há sempre e em todos os lugares os mesmos conveses, mastros, cordas de seu navio - sempre e em todos os lugares os mesmos camaradas, as mesmas fileiras, o mesmo sargento Ivan Mitrich, o mesmo cão da companhia Zhuchka, os mesmos superiores. Um soldado raramente quer saber as latitudes em que todo o seu navio está localizado; mas no dia da batalha, Deus sabe como e de onde, no mundo moral do exército, ouve-se para todos uma nota severa, que soa como a aproximação de algo decisivo e solene e desperta uma curiosidade inusitada. Durante os dias de batalha, os soldados tentam com entusiasmo fugir dos interesses de seu regimento, ouvir, olhar com atenção e perguntar ansiosamente sobre o que está acontecendo ao seu redor.
O nevoeiro tornou-se tão forte que, apesar de já amanhecer, era impossível ver dez passos à sua frente. Os arbustos pareciam árvores enormes, os lugares planos pareciam penhascos e encostas. Em todos os lugares, de todos os lados, era possível encontrar um inimigo invisível a dez passos de distância. Mas as colunas caminharam muito tempo no mesmo nevoeiro, descendo e subindo montanhas, passando por jardins e cercas, por terrenos novos e incompreensíveis, sem nunca encontrar o inimigo. Pelo contrário, ora na frente, ora atrás, de todos os lados, os soldados souberam que nossas colunas russas se moviam na mesma direção. Cada soldado sentia-se bem na alma porque sabia que no mesmo lugar para onde ia, ou seja, sem saber para onde, iam muitos, muitos mais dos nossos.
“Olha, os soldados de Kursk passaram”, disseram nas fileiras.
- Paixão, meu irmão, que nossas tropas tenham se reunido! À noite observei como as luzes estavam dispostas, não havia fim à vista. Moscou - uma palavra!
Embora nenhum dos comandantes de coluna tenha se aproximado das fileiras ou falado com os soldados (os comandantes de coluna, como vimos no conselho militar, não estavam de bom humor e estavam insatisfeitos com o empreendimento e, portanto, apenas cumpriam ordens e não se importavam com divertindo os soldados), apesar de No entanto, os soldados caminharam alegremente, como sempre, entrando em ação, principalmente ofensivamente. Mas, depois de caminhar cerca de uma hora em meio a uma neblina espessa, a maior parte do exército teve que parar, e uma consciência desagradável da desordem e confusão em curso varreu as fileiras. É muito difícil determinar como essa consciência é transmitida; mas o que é certo é que é transmitido de forma incomumente fiel e se espalha rápida, imperceptível e incontrolavelmente, como a água através de uma ravina. Se ao menos Exército russo havia uma coisa, sem aliados, então talvez muito tempo teria passado antes que essa consciência de desordem se tornasse uma confiança geral; mas agora, com especial prazer e naturalidade atribuindo a causa da agitação aos estúpidos alemães, todos estavam convencidos de que havia uma confusão prejudicial causada pelos fabricantes de salsichas.

O sistema IS95c (CDMA-2000-1x) utiliza tecnologia de acesso múltiplo por divisão de código (ver PSP e características), graças ao uso desta tecnologia, o método de endereçamento de canais, estações móveis e base no sistema também é implementado usando códigos em uma maneira especial. Para explicar os princípios implementados neste sistema, esta seção explicará primeiro alguns conceitos técnicos e, em seguida, abordará detalhadamente os problemas.

Configuração de canal de rádio

A configuração de rádio (RC) define a configuração dos canais físicos com base na taxa de dados específica. Cada RC define um conjunto de taxas de dados, baseadas em 9,6 ou 14,4 kbit/s. Estas são as duas taxas de dados existentes suportadas pelo IS95c. Cada RC também define a largura espectral (taxa de espalhamento SR1) e o tipo de codificação. Existem atualmente cinco configurações de enlace de rádio definidas em cdma2000-1x para o enlace direto e três para o enlace de retorno.

Taxa de espalhamento: A velocidade do chip do canal direto ou reverso IS95c usa SR1 (taxa de espalhamento 1): igual a “1XRTT”. Os canais CDMA direto e reverso usam espectro espalhado direto com uma sequência pseudo-aleatória a uma velocidade de chip de 1,2288 MHz.

A configuração RC2 baseada em uma velocidade de 14,4 kbit/s também suporta velocidades de 9,6, 4,8, 2,4 e 1,5 kbit/s para voz executada em SR1 n=9 R=1/2.

A configuração RC3, baseada em 9,6 kbps, também suporta 4,8, 2,7 e 1,5 kbps para voz, enquanto para fluxos de dados com código de canal são utilizadas configurações - suportando 19,2, 38,4, 76,8 e 153,6 kbps /s e funciona em SR1 e. usa codificação de canal com parâmetros n=9 R=1/2.

A configuração RC4 para transmissão de dados utiliza fluxos com mudança de código de canal – suportando velocidades de 9,6, 19,2, 38,4, 76,8, 153,6 e 307,2 kbit/s e opera em SR1 e utiliza códigos turbo.

RC5 - utilizado apenas para transmissão de dados, são utilizados streams com configurações de código de canalização - suportando velocidades 14,4, 28,8, 57,6, 115,2 e 230,4 funciona em SR1 utiliza usos especiais. codificação e, graças a uma faixa padronizada de velocidades, é a configuração preferida para transmissão de dados.

Configuração de rádio	Configuração	Fórmula de velocidade, kbit/s
	rolar código R = 1/2, k = 9
	rolar código R = 1/2, k = 9
	rolar código R = 1/2, k = 9
	códigos turbo
	especialista. codificação

Tabela 1. Lista de configurações de link de rádio direto.

A configuração RC também determina o modo de operação do caminho de transmissão de rádio, por exemplo, o modo RC3 usa um novo método de modulação, veja a Fig. 1, e o modo RC1 é totalmente compatível com o IS95a CCC, veja. foto 1.

Arroz. 1. Modulador usado para configurar o canal de rádio RC3

Nesta seção consideraremos o sistema no modo RC1.

Códigos utilizados no sistema IS-95c.

SSMS usa três tipos de códigos: sequências m curtas e longas e códigos Walsh.

PSP curto

O PSP curto consiste em duas sequências de embaralhamento pseudo-aleatórias PSP - I e PSP - Q (os símbolos I e Q correspondem à finalidade física e indicam os componentes em fase e quadratura no modulador). O período de cada um dos PSP nomeados contém 215 chips, cuja taxa de repetição, segundo o padrão, é de 1,2288 Mchip/s. O cálculo direto mostra que exatamente 75 períodos de PSP curto cabem em um segmento de dois segundos. PSPs estruturalmente curtos são M - sequências de comprimento

N=2-1 com polinômios característicos

f i = x 15 + x 13 + x 9 + x 8 + x 7 + x 5 +1 e

f Q = X 15 + X 12 + X 11 + X 10 + X 6 + X 5 + X 4 + X 3 +1,

estendido adicionando um símbolo de zero a uma cadeia de 14 zeros consecutivos em cada período.

PSP longo

Os símbolos PSP longos têm uma taxa de repetição de 1,2288 Mchip/s. A formação de um PSP longo é realizada por meio de um polinômio

f( x) = x 42 + x 35 + x 33 + x 31 + x 27 + x 26 + x 25 + x 22 + x 21 + x 19 + + X 18 + X 17 + X 16 + X 10 + X 7 + X 6 + X 5 + X 3 + X 2 + X + 1.

Códigos Walsh

Os códigos Walsh usados no sistema são designados como: W n N , onde N é o comprimento do código, n é a linha na matriz Walsh-Hadamard. Esta matriz é construída por um algoritmo iterativo (ver Fig. 2). A cada iteração, qualquer palavra-código obtida na etapa anterior é convertida em duas novas, duplicando o comprimento, repetindo duas vezes em uma palavra e repetindo com mudança de sinal na outra. Portanto, se C k , uma determinada palavra obtida na k-ésima etapa, seus “descendentes” na k+1-ésima etapa serão palavras da forma (C k ,C k),(C k ,-C k) , partindo assim das palavras triviais de comprimento 1 igual a 1, em k iterações você pode obter 2 k vetores de código de comprimento N = 2 k cuja ortogonalidade é óbvia (ver Fig. 2.).

Fig.2 Árvore de códigos de canalização.

Usando método especificado, você pode criar um código Walsh cuja dimensão seja igual a 2 k X 2 k(k- inteiro positivo). O conjunto de códigos Walsh é caracterizado por uma matriz 64 x 64 (RC1) ou 128 x 128 (RC3), onde cada linha corresponde a um código separado. Como os elementos do conjunto de códigos Walsh são mutuamente ortogonais, seu uso permite dividir o canal de comunicação direta em 64 (RC1) ou 128 (RC3) sinais ortogonais.

Endereçamento de Canal Direto

Arroz. 3. Diagrama de blocos do canal na direção direta

Endereçamento de canal.

O canal direto cdma2000-1x, embora mantenha a compatibilidade do IS95a, usa a mesma estrutura para o piloto do canal direto (F-Pilot), canal de sincronização (F-Sync) e sinalização (F-Paging).

Também no CDMA2000-1x, cada usuário recebe seu próprio canal de tráfego direto (F-Traffic), que pode incluir:

Oito canais adicionais (F-SCCHs) para RC1 e RC2;

Três canais adicionais (F-SCHs) para RC3 a RC9;

Dois canais de controle dedicados (F-DCCHs);

F-FCHs são usados para transmissão de voz, F-SCCHs e F-SCHs são usados para transmissão de dados. A estação transceptora base também pode enviar os zero ou os primeiros F-DCCHs. O F-DCCH está associado a canais de tráfego (ou FCH e SCH, ou SCCH) e pode conter dados de sinalização e transmitir dados de controle de potência.

Neste manual, veremos mais de perto os principais canais:

canal piloto (canal f-piloto);

canal de sincronização (canal de sincronização f);

canal de chamada pessoal (paginação f canal);

canal de tráfego direto (canal de tráfego direto).

No modo RC1, o mapeamento de canais lógicos para canais físicos na direção direta é realizado usando um sistema de funções de Walsh ortogonais de comprimento 64: eu, eu= 0,1,..., 63, onde i é o número da função de Walsh. O padrão CDMA-2000 prevê a organização de um canal piloto, um canal de sincronização, de um a sete canais de chamadas (dependendo da carga de assinantes no BS) e de 55 a 62 canais de tráfego direto, já que alguns canais de chamadas podem ser utilizados como canais de tráfego. A correspondência entre canais lógicos e físicos é mostrada na Fig. 4.

Arroz. 5. Estrutura do canal CCMS direto do padrão CDMA-2000-1x

No modo RC3, o mapeamento dos canais lógicos para os canais físicos é realizado da mesma forma que no RC1, com a única diferença de que, graças ao uso da modulação de fase em quadratura, o número de códigos Walsh utilizados é aumentado de 64 para 128 - consequentemente, o número de canais endereçáveis possíveis é duplicado em comparação com o modo RC1.

1. Canal piloto

De acordo com a Fig. O canal piloto 5 recebe uma função de Walsh zero c0 , ou seja, uma sequência de apenas zeros.

2. Canal sincronização

Após o intercalador de blocos, o fluxo de dados é espalhado diretamente pelo espectro adicionando o módulo 2 com a função de Walsh atribuída ao canal de sincronização v 32.

3. Canalchamada pessoal

Após embaralhar o PSP longo dizimado do período 2 42-1, o fluxo de dados é submetido à expansão do espectro da mesma forma que foi feito para os canais já considerados: soma-se o módulo dois com a função de Walsh atribuída ao canal do conjunto C 1 -C 7 . Isto é seguido pela combinação com os canais restantes (entradas P 1 - P 7 na Fig. 2) e então (no modulador) multiplicação com uma largura de banda curta complexa e transferência para a portadora.

4. Canal de tráfego direto

Uma das sequências de Walsh w 8 + w 31 e S. 33 + S. 63 com uma velocidade de chip de 1,2288 Mchip/s, com o número de sequência de Walsh identificando exclusivamente o número do canal de tráfego direto.

Endereçamento de estações base.

Um par de PSP - I e PSP - Q ou, equivalentemente, um PSP complexo. Esta complexa largura de banda curta é a mesma para todos os 64 canais CDMA e é usada por todas as BSs do sistema, mas com diferentes deslocamentos cíclicos. A diferença nos deslocamentos cíclicos permite ao MS separar os sinais emitidos pelas BSs de diferentes células ou setores, ou seja, permite identificar a BS ou número do setor. Para diferentes BSs, o deslocamento muda com um passo constante igual a 64 chip x PILOT_INC, onde o parâmetro do sistema PILOT_INC assume valores de 1 a 4. Assim, com um passo mínimo, 2 15 /2 6 =2 9 =512 deslocamentos curtos de largura de banda estão disponíveis, ou seja, é possível a existência livre de conflitos de uma rede composta por 512 BS. Se for necessário que a rede seja composta por um número maior de BSs, então quando planejamento territorial A rede pode facilmente garantir que BSs com os mesmos deslocamentos cíclicos de PSPs curtos não possam estar simultaneamente na zona de visibilidade de rádio do MS.

Por outro lado, a etapa de deslocamento do PRP determina exclusivamente o tamanho da célula (ou setor) no qual o MS pode distinguir com segurança os PRPs com um deslocamento de tempo mínimo. É fácil perceber que com um deslocamento mínimo de 64 chips, o raio da célula será de cerca de 15,5 km.

Endereçamento de canal traseiro

No canal reverso (uplinks)

Canal de acesso (canal de acesso);

Canal de tráfego reverso canal de tráfego).

A assincronia da divisão do código torna irracional o uso de funções de Walsh como sequências formadoras de canais (assinaturas) de canais físicos, uma vez que com mudanças de tempo relativas elas não podem manter a ortogonalidade e têm propriedades de correlação cruzada muito pouco atraentes. Portanto, vários deslocamentos cíclicos do PSP longo do período 2 42 -1 são responsáveis pela separação dos canais no uplink. As funções de Walsh no canal reverso também são utilizadas, mas com uma capacidade diferente: para organizar mais uma etapa de codificação resistente a ruído dos dados transmitidos pelo MS.

Estrutura geral O canal de comunicação reversa do sistema IS-95c é ilustrado na Fig. 6. Os canais de tráfego de acesso e retorno utilizados pelo MS estão associados a determinados canais de paging. Como resultado, um canal de chamada pessoal pode ter até n = 32 canais de acesso e até t = 64 canais de tráfego de retorno.

Arroz. 6. Estrutura do canal reverso SSMS padrão IS-95c

1. Canal acesso

Canal acesso fornece conexão entre a MS e a BS até que a MS esteja sintonizada no canal de tráfego reverso atribuído a ela. O processo de seleção do canal de acesso é aleatório - a MS seleciona aleatoriamente um número de canal na faixa O...ACC_CHAN, onde ACC_CHAN é um parâmetro transmitido pela BS na mensagem de parâmetros de acesso. Um modulador ortogonal mapeia (codifica) grupos de 6 símbolos binários em uma função de Walsh de comprimento 64. Esta operação é a codificação de blocos de 6 bits (64,6) com um código ortogonal. Com a decodificação ideal (“suave”), o ganho de energia do uso de tal código tende assintoticamente para 4,8 dB (45). Ao mesmo tempo, em muitas fontes o procedimento em consideração é chamado de modulação ortogonal ou modulação de Walsh. é substituído pela função de Walsh de acordo com a seguinte regra: o valor decimal de um número binário de 6 bits correspondente a um grupo de 6 bits determina exclusivamente o número da função de Walsh. Por exemplo, se um grupo de 6 símbolos da forma. (010110) é fornecido à entrada do modulador ortogonal, então corresponde ao valor decimal 22, o que significa que este grupo é substituído pelo modulador com a função de Walsh. 22, composto por 64 caracteres. Como resultado da modulação ortogonal, a taxa de dados aumenta para

O fluxo de dados modulados ortogonalmente é submetido a espalhamento direto do espectro através de um PSP longo com um certo deslocamento cíclico que identifica exclusivamente um determinado MS, o que permite identificá-lo no BS e, portanto, implementar a separação de código dos assinantes. O deslocamento cíclico de uma longa largura de banda de memória é determinado por uma máscara geradora de 42 bits, que é construída a partir do identificador BS, números de canais de chamada e acesso após expansão do espectro (soma do módulo 2 com uma longa largura de banda de memória e conversão de símbolos booleanos em bipolares. uns), o fluxo segue na velocidade dos chips, ou seja, e. 1,2288 Mchip/s, entra nos canais de quadratura do modulador de fase, onde é embaralhado por dois PSPs curtos (PSP-I e PSP-Q) de período 2 15. Todos os MSs em uma determinada célula usam o mesmo deslocamento curto de PRP. Como o canal de retorno usa quadratura de deslocamento PSK (OQPSK), um elemento de atraso é introduzido no braço Q do modulador durante metade da duração do chip. O uso de OQPSK reduz a profundidade de quedas indesejadas no envelope do sinal e, portanto, reduz a faixa dinâmica linear necessária do amplificador de potência do transmissor MS.

As funções de Walsh são uma família de funções que formam um sistema ortogonal, assumindo apenas os valores 1 e -1 em todo o domínio de definição.

Em princípio, as funções de Walsh podem ser representadas na forma contínua, mas mais frequentemente são definidas como sequências discretas de 2^n (\displaystyle 2^(n))22 elementos. Um grupo de (\displaystyle 2^(n))2^n funções de Walsh forma a matriz Hadamard.

As funções de Walsh são amplamente utilizadas em comunicações de rádio, onde são utilizadas para implementar MA de divisão de código (CDMA), por exemplo, em padrões celulares como IS-95, CDMA2000 ou UMTS.

O sistema de funções de Walsh é uma base ortonormal e, como consequência, permite expandir sinais de forma arbitrária em uma série de Fourier generalizada.

Uma generalização das funções de Walsh para o caso de mais de dois valores são as funções de Vilenkin-Chrestenson.

Sequências M. Método de formação e propriedades de sequências M. Aplicação de sequências M em sistemas de comunicação

Atualmente, entre as sequências de código binário de comprimento longo, as mais amplamente utilizadas são sequências M, sequências de Legendre, sequências de código Gold e Kassami, sequências de código Walsh e sequências de código não linear.

A vantagem de sequências M longas é que o nível de lóbulos laterais periódicos da função de incerteza da sequência M diminui à medida que seu comprimento aumenta. eu. O nível máximo do lóbulo lateral periódico do TCF de uma sequência M é inversamente proporcional ao comprimento da sequência (1/L).

Sequências M

Foi mencionado acima que as sequências ótimas para expandir o espectro do sinal são comprimento máximo ou sequências M. Tais sequências são formadas por meio de máquinas digitais, cujo elemento principal é um registrador de deslocamento com células de memória. T1, T2, …, Tk(Figura 2).

Figura 2 – Máquina automática digital para formação de sequência M

Os pulsos de clock chegam a todas as células simultaneamente com um período, movendo os símbolos armazenados nessas células para as células adjacentes à direita em um ciclo de clock. Denotemos por letras os símbolos armazenados nas células correspondentes no ciclo. - símbolo na entrada da primeira célula; o valor deste símbolo é formado usando uma relação de recorrência linear

De acordo com o valor do símbolo na célula com o número, ele é multiplicado por um coeficiente e somado a outros produtos semelhantes. Tanto os símbolos quanto os coeficientes podem ter valores 0 ou 1; as operações de soma são realizadas módulo 2. Se o coeficiente for , então o símbolo da célula não participa da formação do valor da soma.

Se considerarmos o conteúdo das células do registrador de deslocamento como o estado inicial, então, após os ciclos do clock, esse estado ocorrerá novamente. Se ao mesmo tempo registrarmos a sequência de símbolos da -ésima célula, então o comprimento dessa sequência será igual a . Nos compassos subsequentes esta sequência será repetida novamente, etc. O número é chamado de período da sequência. O valor para um comprimento fixo de registrador de deslocamento depende do número e da localização dos taps. Para cada valor, você pode especificar o número de taps e suas posições nas quais o período da sequência resultante é máximo. Qualquer estado do registrador de deslocamento (exceto a combinação zero) pode ser considerado inicial; alterar o estado inicial causará apenas uma mudança de sequência. Sequências com o período máximo possível para um comprimento de registro fixo são chamadas de sequências M. Seu período (duração).

Diagrama de blocos O autômato que gera sequências M é geralmente especificado pelo polinômio característico:

em que sempre , . Na mesa 1 para os conjuntos de valores dos coeficientes deste polinômio, definindo sequências de comprimento máximo. Conhecimento vetorial permite indicar inequivocamente a estrutura de um autômato digital que forma a sequência M polinomial (1.16) correspondente:

– se , então a saída da célula com o número do registrador de deslocamento é conectada ao somador módulo 2;

– se , então a saída da célula com o número do registrador de deslocamento não está conectada ao somador módulo 2 (código longo para embaralhamento e identificação de estações móveis).

Paul Feyerabend (n. 1924).

Thomas Kuhn (n. 1922).

Imre Lakatos (1921–1974).

As funções de Walsh são uma extensão natural do sistema de funções de Rademacher, obtido por Walsh em 1923 e representam sistema completo funções retangulares ortonormais.

O conjunto de funções de Walsh, ordenadas por frequência, é geralmente denotado da seguinte forma:

As funções de Walsh, ordenadas por frequência, semelhantes às funções trigonométricas, podem ser divididas em pares cal(i,t) e ímpares sal(i,t)

(17.3)

A Figura 17.1 mostra as primeiras oito funções wal c(isto).

UM)

Figura 17.1

É claro que a frequência de cada função de Walsh subsequente é maior ou igual à frequência da função de Walsh anterior e tem mais um cruzamento por zero no intervalo aberto tÎ. É daí que vem o nome “ordenação de frequência”.

A discretização das funções de Walsh mostradas na Figura 17.1a em oito pontos igualmente espaçados resulta na matriz (8x8) mostrada na Figura 17.1b. Esta matriz é denotada por H c(n) onde n=log 2 N e a matriz terá tamanho NxN.

As funções de Walsh, quando ordenadas por frequência, no caso geral podem ser obtidas a partir das funções de Rademacher r k (x) usando a fórmula:

(17.4)

onde w é o número da função de Walsh; k – número da função Rademacher; expoente da função Rademacher, que assume o valor 0 ou 1 como resultado do somatório do módulo dois, ou seja, de acordo com a regra: 1Å1=0Å0=0; 1Å0=0Å1=1 bits de um número binário c. Por exemplo, para a sexta função de Walsh ( c=6), incluído em um sistema de tamanho N=2 3 =8, o produto (17.4) consiste em três fatores da forma: para k=1 para k=2 para k=3 . Um número no sistema binário é escrito como uma combinação de zeros e uns. No nosso caso, o valor c e suas categorias são mostradas na tabela 17.1

Tabela 17.1

c 0 – o dígito mais significativo do número, c 3 – dígito menos significativo do número c.

Os expoentes das funções Rademacher são iguais a: ; ; e, portanto,

wal(6,x)=r 1 1 (x)×r 2 0 (x)×r 3 1 (x)=r 1 (x)r 3 (x)

A regra para obtenção de expoentes para a função Rademacher é mostrada esquematicamente na Tabela 17.1, onde as setas indicam os dígitos somáveis do número c e funções de Rademacher, às quais o expoente resultante se refere. Na Figura 17.1 pode-se ver que os números pares das funções de Walsh referem-se a funções pares e os números ímpares referem-se a funções ímpares. Outra forma de fazer o pedido é o pedido Paley. Quando ordenada por Paley, a notação analítica da função de Walsh tem a forma:

p 1 é o dígito menos significativo de um número binário, p n é o dígito mais significativo de um número binário. Ao ordenar segundo Paley, para formar funções de Walsh, é necessário tomar o produto das funções de Rademacher elevadas a uma potência, cujos números coincidem com os números dos dígitos correspondentes da dupla representação do número p, e o expoente de cada função é igual ao conteúdo do dígito correspondente, ou seja, 0 ou 1. Além disso, a função Rademacher menos significativa corresponde ao dígito menos significativo da combinação binária do número p. De acordo com esta regra, a tabela 17.2 mostra os valores das funções de Walsh ordenadas por Paley.

Tabela 17.2

R	página 1	página 2	página 3	r 1 (x) × r 2 (x) × r 3 (x)	wal p(i,x) = wal c(j,x)
				r 1 0 (x) × r 2 0 (x) × r 3 0 (x)	wal p(0,x) = wal c(0,x)
				r 1 1 (x) × r 2 0 (x) × r 3 0 (x)	wal p(1,x) = wal c(1,x)
				r 1 0 (x) × r 2 1 (x) × r 3 0 (x)	wal p(2,x) = wal c(3.x)
				r 1 1 (x) × r 2 1 (x) × r 3 0 (x)	wal p(3,x) = wal c(2.x)
				r 1 0 (x) × r 2 0 (x) × r 3 1 (x)	wal p(4,x) = wal c(7.x)
				r 1 1 (x) × r 2 0 (x) × r 3 1 (x)	wal p(5,x) = wal c(6.x)
				r 1 0 (x) × r 2 1 (x) × r 3 1 (x)	wal p(6,x) = wal c(4.x)
				r 1 1 (x) × r 2 1 (x) × r 3 1 (x)	wal p(7,x) = wal c(5.x)

As funções Rademacher na tabela são mostradas na forma: . Uma comparação dos produtos e potências das funções de Rademacher escritas nas tabelas 17.1 e 17.2 mostra que existe uma correspondência entre as funções de Walsh ordenadas por Paley e Walsh, o que se reflete na última coluna da tabela 17.2. De acordo com as funções de Walsh ordenadas por Paley, uma matriz de amostras H p (n) também pode ser construída, semelhante à mostrada na Figura 17.1b.

wal h (0,x)=wal c(0,x); c wal h (2,x)=wal c(3,x); c wal h (4,x)=wal

(1,x); c wal h (6,x)=wal c(2,x); c wal h (1,x)=wal c(7,x);

(17.9)

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