Como poucas pessoas dominam o pensamento matemático, falarei sobre a maior descoberta científica - a prova elementar do Último Teorema de Fermat - na linguagem escolar mais compreensível.

A prova foi encontrada para um caso especial (para um grau simples n>2), ao qual (e para o caso n=4) todos os casos com n composto podem ser facilmente reduzidos.

Portanto, precisamos provar que a equação A^n=C^n-B^n não tem solução em números inteiros. (Aqui o sinal ^ significa grau.)

A prova é realizada em um sistema numérico com base simples n. Neste caso, os últimos dígitos de cada tabuada não se repetem. No sistema decimal habitual a situação é diferente. Por exemplo, ao multiplicar o número 2 por 1 e 6, ambos os produtos – 2 e 12 – terminam nos mesmos dígitos (2). E, por exemplo, no sistema setenário para o número 2, todos os últimos dígitos são diferentes: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, com um conjunto de últimos dígitos 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Graças a esta propriedade, para qualquer número A que não termine em zero (e na igualdade de Fermat, o último dígito dos números A, ou B, após a divisão da igualdade por divisor comum números A, B, C não é igual a zero), você pode escolher um fator g tal que o número Ag terá um final arbitrariamente longo na forma 000...001. É por este número g que multiplicamos todos os números de base A, B, C na igualdade de Fermat. Neste caso, faremos com que a unidade termine bastante longa, ou seja, dois dígitos a mais que o número (k) de zeros no final do número U=A+B-C.

O número U não é igual a zero - caso contrário, C=A+B e A^n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

Isto, na verdade, é toda a preparação da igualdade de Fermat para um estudo breve e final. A única coisa que faremos é reescrever o lado direito da igualdade de Fermat – C^n-B^n – usando a fórmula de decomposição escolar: C^n-B^n=(C-B)P, ou aP. E como iremos operar (multiplicar e somar) apenas com os dígitos das terminações de (k+2) dígitos dos números A, B, C, então suas partes principais não podem ser levadas em consideração e simplesmente descartá-las (deixando apenas um fato na memória: o lado esquerdo da igualdade de Fermat é uma POTÊNCIA).

A única coisa que vale a pena mencionar são os últimos dígitos dos números a e P. Na igualdade original de Fermat, o número P termina com o número 1. Isto decorre da fórmula do pequeno teorema de Fermat, que pode ser encontrado em livros de referência. E depois de multiplicar a igualdade de Fermat pelo número g ^ n, o número P é multiplicado pelo número g elevado à potência n-1, que, de acordo com o pequeno teorema de Fermat, também termina no número 1. Portanto, na nova igualdade equivalente de Fermat , o número P termina em 1. E se A termina em 1, então A^n também termina em 1 e, portanto, o número a também termina em 1.

Então, temos uma situação inicial: os últimos dígitos A, a, P dos números A, a, P terminam no número 1.

Pois bem, então começa uma operação fofa e fascinante, chamada preferencialmente de “moinho”: introduzindo em consideração os números subsequentes a"", a""" e assim por diante, números a, calculamos com extrema “facilidade” que eles são todos também igual a zero! Palavra que coloquei “fácil” entre aspas, porque a humanidade não conseguiu encontrar a chave para esse “fácil” por 350 anos. E a chave realmente acabou sendo inesperada e chocantemente primitiva: o número P deve ser representado em! a forma P=q^(n-1)+Qn ^(k+2). Não vale a pena prestar atenção ao segundo termo nesta soma - afinal, na prova adicional descartamos todos os números após o (). k+2)-ésimo nos números (e isso simplifica radicalmente a análise). Então, depois de descartar os números das partes principais, a igualdade de Fermat assume a forma: ...1=aq^(n-1), onde a e q não são! números, mas apenas as terminações dos números a e q!

A última questão filosófica permanece: por que o número P pode ser representado como P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? A resposta é simples: porque qualquer inteiro P com 1 no final pode ser representado desta forma, e IDENTICAMENTE. (Pode ser representado de muitas outras maneiras, mas não precisamos disso.) Na verdade, para P=1 a resposta é óbvia: P=1^(n-1). Para Р=hn+1, o número q=(n-h)n+1, que é fácil de verificar resolvendo a equação [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 usando dois dígitos finais. E assim por diante (mas não precisamos de mais cálculos, pois precisamos apenas representar números na forma P=1+Qn^t).

Ufa! Bem, a filosofia acabou, você pode passar para os cálculos no nível da segunda série, talvez apenas lembre-se da fórmula binomial de Newton mais uma vez.

Então, vamos introduzir o número a"" (no número a=a""n+1) e usá-lo para calcular o número q"" (no número q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), ou...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], de onde q""=a"".

E agora o lado direito da igualdade de Fermat pode ser reescrito como:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), onde o valor do número D não nos interessa.

Agora chegamos à conclusão decisiva. O número a""n+1 é a terminação de dois dígitos do número A e, PORTANTO, de acordo com um lema simples, determina ÚNICAMENTE o TERCEIRO dígito do grau A^n. E além disso, a partir da expansão do binômio de Newton
(a""n+1)^n, levando em consideração que a cada termo da expansão (exceto o primeiro, que não pode mudar o clima!) é adicionado um fator SIMPLES n (a base numérica!), fica claro que este terceiro dígito é igual a a"" . Mas multiplicando a igualdade de Fermat por g^n, transformamos k+1 dígitos antes do último 1 do número A em 0. E, portanto, a""=0!!!

Assim, completamos o ciclo: tendo inserido a"", descobrimos que q""=a"", e finalmente a""=0!

Bem, resta dizer que, tendo realizado cálculos completamente semelhantes e os próximos k dígitos, obtemos a igualdade final: a terminação de (k + 2) dígitos do número a, ou CB, - assim como o número A - é igual a 1. Mas então o (k+2)-ésimo dígito do número C-A-B é IGUAL a zero, embora NÃO seja IGUAL a zero!!!

Isso, na verdade, é toda a prova. Para entendê-lo, não é necessário ter formação superior e, principalmente, ser matemático profissional. Porém, os profissionais permanecem em silêncio...

O texto legível da prova completa está localizado aqui:

Avaliações

Olá, Vitor. Gostei do seu currículo. “Não deixe morrer antes da morte” parece ótimo, é claro. Para ser honesto, fiquei surpreso com meu encontro com o teorema de Fermat em prosa! Ela pertence aqui? Existem sites científicos, de ciência popular e de bules. Caso contrário, obrigado pelo seu trabalho literário.
Atenciosamente, Anya.

Querida Anya, apesar da censura bastante rígida, a Prosa permite que você escreva SOBRE TUDO. A situação com o teorema de Fermat é a seguinte: grandes fóruns matemáticos tratam os fermatistas com desconfiança, com grosseria, e geralmente os tratam da melhor maneira possível. No entanto, apresentei a versão mais recente da prova em pequenos fóruns em russo, inglês e francês. Ninguém apresentou ainda quaisquer contra-argumentos e, tenho a certeza, ninguém apresentará nenhum (as provas foram verificadas com muito cuidado). No sábado publicarei uma nota filosófica sobre o teorema.
Quase não há grosseiros na prosa e, se você não ficar com eles, logo eles cairão.
Quase todos os meus trabalhos são apresentados em Prosa, por isso incluí aqui também a prova.
Vejo você em breve,

Pierre Fermat, lendo a “Aritmética” de Diofante de Alexandria e refletindo sobre seus problemas, tinha o hábito de anotar os resultados de seus pensamentos na forma de breves comentários nas margens do livro. Contra o oitavo problema de Diofanto nas margens do livro, Fermat escreveu: “ Pelo contrário, é impossível decompor um cubo em dois cubos, ou um biquadrado em dois biquadrados e, em geral, nenhuma potência maior que um quadrado em duas potências com o mesmo expoente. Eu descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa disso, mas esses campos são muito estreitos para isso.» / E.T. Bell "Os Criadores da Matemática". M., 1979, p.69/. Trago à sua atenção uma prova elementar do teorema de Fermat, que qualquer estudante do ensino médio interessado em matemática pode compreender.

Comparemos o comentário de Fermat sobre o problema de Diofanto com a formulação moderna do último teorema de Fermat, que tem a forma de uma equação.
« Equação

x n + y n = z n(onde n é um número inteiro maior que dois)

não tem soluções em inteiros positivos»

O comentário está em conexão lógica com a tarefa, semelhante à conexão lógica do predicado com o sujeito. O que é afirmado pelo problema de Diofante é, pelo contrário, afirmado pelo comentário de Fermat.

O comentário de Fermat pode ser interpretado da seguinte forma: se uma equação quadrática com três incógnitas tem um número infinito de soluções no conjunto de todos os triplos Números pitagóricos, então, ao contrário, uma equação com três incógnitas elevada a uma potência maior que o quadrado

Não há sequer um indício na equação de sua conexão com o problema de Diofante. Sua afirmação requer prova, mas não há nenhuma condição da qual se possa concluir que ela não tenha soluções em números inteiros positivos.

As opções para provar a equação que conheço resumem-se ao seguinte algoritmo.

1. A equação do teorema de Fermat é tomada como conclusão, cuja validade é verificada por meio de prova.
2. Esta mesma equação é chamada original equação da qual sua prova deve proceder.

Como resultado, formou-se uma tautologia: “ Se uma equação não tem soluções em números inteiros positivos, então ela não tem soluções em números inteiros positivos“A prova da tautologia é obviamente incorreta e desprovida de qualquer significado. Mas isso é provado por contradição.

• É feita uma suposição que é o oposto do que é afirmado pela equação que precisa ser provada. Não deveria contradizer a equação original, mas contradiz. Não faz sentido provar o que é aceito sem provas, e aceitar sem provas o que precisa ser provado.
• Com base na suposição aceita, operações e ações matemáticas absolutamente corretas são realizadas para provar que ela contradiz a equação original e é falsa.

Portanto, há 370 anos, provar a equação do Último Teorema de Fermat continua sendo um sonho irrealizável para especialistas e entusiastas da matemática.

Tomei a equação como a conclusão do teorema, e o oitavo problema de Diofante e sua equação como a condição do teorema.

“Se a equação x 2 + y 2 = z 2 (1) tem um número infinito de soluções no conjunto de todos os triplos dos números pitagóricos, então, inversamente, a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 (2) não tem soluções no conjunto dos inteiros positivos.”

Prova.

UM) Todo mundo sabe que a equação (1) tem um número infinito de soluções no conjunto de todos os triplos dos números pitagóricos. Vamos provar que nem um único triplo dos números pitagóricos que seja uma solução para a equação (1) é uma solução para a equação (2).

Com base na lei da reversibilidade da igualdade, trocamos os lados da equação (1). Números pitagóricos (z, x, y) pode ser interpretado como os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, e os quadrados (x 2 , y 2 , z 2) pode ser interpretada como a área dos quadrados construídos sobre sua hipotenusa e catetos.

Multipliquemos as áreas dos quadrados da equação (1) por uma altura arbitrária h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

A equação (3) pode ser interpretada como a igualdade do volume de um paralelepípedo à soma dos volumes de dois paralelepípedos.

Deixe a altura de três paralelepípedos h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

O volume do cubo é decomposto em dois volumes de dois paralelepípedos. Deixaremos o volume do cubo inalterado e reduziremos a altura do primeiro paralelepípedo para x e reduzir a altura do segundo paralelepípedo para sim . O volume de um cubo é maior que a soma dos volumes de dois cubos:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

No conjunto dos triplos dos números pitagóricos ( x, y, z ) no n=3 não pode haver nenhuma solução para a equação (2). Conseqüentemente, no conjunto de todos os triplos dos números pitagóricos é impossível decompor um cubo em dois cubos.

Deixe na equação (3) a altura de três paralelepípedos h=z2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

O volume de um paralelepípedo é decomposto na soma dos volumes de dois paralelepípedos.
Deixamos o lado esquerdo da equação (6) inalterado. No seu lado direito a altura z 2 reduzir para X no primeiro mandato e antes às 2 no segundo mandato.

A equação (6) se transformou em desigualdade:

O volume do paralelepípedo é decomposto em dois volumes de dois paralelepípedos.

Deixamos o lado esquerdo da equação (8) inalterado.
No lado direito a altura zn-2 reduzir para xn-2 no primeiro termo e reduzir para e n-2 no segundo mandato. A equação (8) torna-se desigualdade:

No conjunto dos trigêmeos dos números pitagóricos não pode haver uma única solução para a equação (2).

Consequentemente, no conjunto de todos os triplos de números pitagóricos para todos n > 2 a equação (2) não tem soluções.

Uma “prova verdadeiramente milagrosa” foi obtida, mas apenas para trigêmeos Números pitagóricos. Isso é falta de evidências e o motivo da recusa de P. Fermat em relação a ele.

B) Vamos provar que a equação (2) não tem soluções no conjunto de trigêmeos de números não pitagóricos, que representa uma família de um triplo arbitrário de números pitagóricos z = 13, x = 12, y = 5 e uma família de um triplo arbitrário de inteiros positivos z = 21, x = 19, y = 16

Ambos os trigêmeos de números são membros de suas famílias:

O número de membros da família (10) e (11) é igual à metade do produto de 13 por 12 e 21 por 20, ou seja, 78 e 210.

Cada membro da família (10) contém z = 13 e variáveis X E no 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Cada membro da família (11) contém z = 21 e variáveis X E no , que assumem valores inteiros 21 > x >0 , 21 > y > 0 . As variáveis ​​​​diminuem sucessivamente em 1 .

Triplos de números da sequência (10) e (11) podem ser representados como uma sequência de desigualdades de terceiro grau:

e na forma de desigualdades de quarto grau:

A correção de cada desigualdade é verificada elevando os números à terceira e quarta potências.

Um cubo de um número maior não pode ser decomposto em dois cubos números menores. É menor ou maior que a soma dos cubos dos dois números menores.

A biquadrática de um número maior não pode ser decomposta em duas biquadradas de números menores. É menor ou maior que a soma dos biquadrados de números menores.

À medida que o expoente aumenta, todas as desigualdades, exceto a desigualdade extrema esquerda, têm o mesmo significado:

Todos eles têm o mesmo significado: a potência do número maior é maior que a soma das potências dos dois números menores com o mesmo expoente:

O termo extremo esquerdo das sequências (12) (13) representa a desigualdade mais fraca. Sua correção determina a correção de todas as desigualdades subsequentes da sequência (12) para n > 8 e sequência (13) em n > 14 .

Não pode haver igualdade entre eles. Um triplo arbitrário de inteiros positivos (21,19,16) não é uma solução para a equação (2) do último teorema de Fermat. Se um triplo arbitrário de inteiros positivos não for uma solução para a equação, então a equação não tem soluções no conjunto de inteiros positivos, que é o que precisava ser provado.

COM) O comentário de Fermat sobre o problema de Diofanto afirma que é impossível decompor " em geral, nenhuma potência maior que um quadrado, duas potências com o mesmo expoente».

Beijo um grau maior que um quadrado não pode realmente ser decomposto em dois graus com o mesmo expoente. Sem beijos um grau maior que um quadrado pode ser decomposto em duas potências com o mesmo expoente.

Qualquer triplo arbitrário de inteiros positivos (z, x, y) pode pertencer a uma família, cada membro da qual consiste em um número constante z e dois números menores z . Cada membro da família pode ser representado na forma de uma desigualdade, e todas as desigualdades resultantes podem ser representadas na forma de uma sequência de desigualdades:

A sequência de desigualdades (14) começa com desigualdades para as quais o lado esquerdo é menor que o lado direito e termina com desigualdades para as quais o lado direito é menor que o lado esquerdo. Com expoente crescente n > 2 o número de desigualdades no lado direito da sequência (14) aumenta. Com o expoente n=k todas as desigualdades do lado esquerdo da sequência mudam de significado e assumem o significado das desigualdades do lado direito das desigualdades da sequência (14). Como resultado do aumento do expoente de todas as desigualdades, o lado esquerdo acaba sendo maior que o lado direito:

Com um novo aumento no expoente n>k nenhuma das desigualdades muda de sentido e se transforma em igualdade. Nesta base, pode-se argumentar que qualquer triplo de inteiros positivos escolhido arbitrariamente (z, x, y) no n > 2 , z > x , z > y

Em um triplo de inteiros positivos escolhido arbitrariamente z pode ser um número natural arbitrariamente grande. Para todos os números naturais que não sejam maiores que z , o Último Teorema de Fermat está provado.

D) Não importa quão grande seja o número z , na série natural de números há um conjunto grande, mas finito de inteiros antes dela, e depois dela há um conjunto infinito de inteiros.

Vamos provar que todo o conjunto infinito de números naturais grandes z , formam triplos de números que não são soluções para a equação do Último Teorema de Fermat, por exemplo, um triplo arbitrário de inteiros positivos (z + 1,x,y) , em que z + 1 > x E z + 1 > y para todos os valores do expoente n > 2 não é uma solução para a equação do último teorema de Fermat.

Um triplo selecionado aleatoriamente de inteiros positivos (z + 1, x, y) pode pertencer a uma família de triplos de números, cada membro consistindo em um número constante z+1 e dois números X E no , assumindo valores diferentes, menores z+1 . Os membros da família podem ser representados na forma de desigualdades em que o lado esquerdo constante é menor ou maior que o lado direito. As desigualdades podem ser ordenadas na forma de uma sequência de desigualdades:

Com um novo aumento no expoente n>k ao infinito, nenhuma das desigualdades da sequência (17) muda de significado e se transforma em igualdade. Na sequência (16), a desigualdade formada a partir de um triplo de inteiros positivos escolhido arbitrariamente (z + 1, x, y) , pode estar localizado no seu lado direito na forma (z + 1) n > x n + y n ou estar no seu lado esquerdo na forma (z+1)n< x n + y n .

Em qualquer caso, um triplo de inteiros positivos (z + 1, x, y) no n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y na sequência (16) representa uma desigualdade e não pode representar uma igualdade, ou seja, não pode representar uma solução para a equação do último teorema de Fermat.

É fácil e simples compreender a origem da sequência de desigualdades de poder (16), em que a última desigualdade do lado esquerdo e a primeira desigualdade do lado direito são desigualdades de significado oposto. Pelo contrário, não é fácil e difícil para os escolares, estudantes do ensino médio e estudantes do ensino médio, compreender como uma sequência de desigualdades (16) se forma a partir de uma sequência de desigualdades (17), em que todas as desigualdades têm o mesmo significado .

Na sequência (16), aumentar o grau inteiro das desigualdades em 1 unidade transforma a última desigualdade do lado esquerdo na primeira desigualdade de sentido oposto do lado direito. Assim, o número de desigualdades no lado esquerdo da sequência diminui e o número de desigualdades no lado direito aumenta. Entre a última e a primeira desigualdade de poder de significado oposto existe necessariamente uma igualdade de poder. Seu grau não pode ser um número inteiro, pois apenas números não inteiros estão entre dois números naturais consecutivos. Uma igualdade de potências de grau não inteiro, segundo as condições do teorema, não pode ser considerada uma solução para a equação (1).

Se na sequência (16) continuarmos a aumentar o grau em 1 unidade, então a última desigualdade do seu lado esquerdo se transformará na primeira desigualdade do significado oposto do lado direito. Como resultado, não haverá mais desigualdades à esquerda e apenas permanecerão desigualdades à direita, o que será uma sequência de desigualdades de poder crescentes (17). Um aumento adicional em sua potência inteira em 1 unidade apenas fortalece suas desigualdades de poder e exclui categoricamente a possibilidade de igualdade na potência inteira.

Consequentemente, em geral, nenhuma potência inteira de um número natural (z+1) da sequência de desigualdades de potências (17) pode ser decomposta em duas potências inteiras com o mesmo expoente. Portanto, a equação (1) não tem solução para um conjunto infinito de números naturais, que é o que precisava ser provado.

Consequentemente, o último teorema de Fermat está provado na sua totalidade:

• na seção A) para todos os trigêmeos (z, x, y) Números pitagóricos (a descoberta de Fermat é verdadeiramente uma prova maravilhosa),
• na seção B) para todos os membros da família de qualquer triplo (z, x, y) Números pitagóricos,
• na seção C) para todos os triplos de números (z, x, y) , não números grandes z
• na seção D) para todos os triplos de números (z, x, y) série natural de números.

Quais teoremas podem e não podem ser provados por contradição?

O dicionário explicativo de termos matemáticos define uma prova por contradição de um teorema, o oposto de um teorema inverso.

“A prova por contradição é um método de provar um teorema (proposição), que consiste em provar não o teorema em si, mas o seu teorema equivalente (equivalente). A prova por contradição é usada sempre que o teorema direto é difícil de provar, mas o teorema oposto é mais fácil de provar. Numa prova por contradição, a conclusão do teorema é substituída pela sua negação, e através do raciocínio chega-se à negação das condições, ou seja, a uma contradição, ao oposto (o oposto do que é dado; esta redução ao absurdo prova o teorema).

A prova por contradição é frequentemente usada em matemática. A prova por contradição baseia-se na lei do terceiro excluído, que consiste no fato de que de duas afirmações (afirmações) A ​​e A (negação de A), uma delas é verdadeira e a outra é falsa.”/Dicionário Explicativo de Termos Matemáticos: Um Manual para Professores/O. V. Manturov [etc.]; editado por V. A. Ditkina.- M.: Educação, 1965.- 539 p.: Il.-C.112/.

Não seria melhor declarar abertamente que o método de prova por contradição não é um método matemático, embora seja usado em matemática, que é um método lógico e pertence à lógica. É aceitável dizer que a prova por contradição é “usada sempre que um teorema direto é difícil de provar”, quando na verdade é usada quando, e somente quando, não há substituto.

A caracterização da relação dos teoremas direto e inverso entre si também merece atenção especial. “O teorema inverso para um determinado teorema (ou para um determinado teorema) é um teorema em que a condição é a conclusão, e a conclusão é a condição do teorema dado. Este teorema em relação ao teorema inverso é denominado teorema direto (original). Ao mesmo tempo, o teorema inverso ao teorema inverso será o teorema dado; portanto, os teoremas direto e inverso são chamados de mutuamente inversos. Se o teorema direto (dado) for verdadeiro, então o teorema inverso nem sempre é verdadeiro. Por exemplo, se um quadrilátero é um losango, então suas diagonais são mutuamente perpendiculares (teorema direto). Se num quadrilátero as diagonais são mutuamente perpendiculares, então o quadrilátero é um losango – isto é falso, ou seja, o teorema inverso é falso.”/Dicionário Explicativo de Termos Matemáticos: Um Manual para Professores/O. V. Manturov [etc.]; editado por V. A. Ditkina.- M.: Educação, 1965.- 539 p.: Il.-C.261 /.

Esta característica A relação entre os teoremas direto e inverso não leva em consideração o fato de que a condição do teorema direto é aceita como dada, sem prova, portanto sua correção não é garantida. A condição do teorema inverso não é aceita como dada, pois é a conclusão do teorema direto provado. Sua correção é confirmada pela prova do teorema direto. Esta diferença lógica essencial nas condições dos teoremas direto e inverso revela-se decisiva na questão de quais teoremas podem ou não ser provados pelo método lógico por contradição.

Suponhamos que haja um teorema direto em mente, que pode ser provado usando o método matemático usual, mas é difícil. Vamos formulá-lo em visão geral V forma curta Então: de UM deve E . Símbolo UM assuntos esta condição um teorema aceito sem prova. Símbolo E o que importa é a conclusão do teorema que precisa ser provado.

Provaremos o teorema direto por contradição, lógico método. O método lógico é usado para provar um teorema que tem não matemático condição, e lógico doença. Pode ser obtido se a condição matemática do teorema de UM deve E , complemente com a condição exatamente oposta de UM não deveria E .

O resultado foi uma condição lógica contraditória do novo teorema, contendo duas partes: de UM deve E E de UM não deveria E . A condição resultante do novo teorema corresponde a lei lógica meio excluído e corresponde à prova do teorema por contradição.

De acordo com a lei, uma parte de uma condição contraditória é falsa, outra parte é verdadeira e a terceira é excluída. A prova por contradição tem a tarefa e o propósito de estabelecer exatamente qual parte das duas partes da condição do teorema é falsa. Uma vez determinada a parte falsa da condição, a outra parte é determinada como sendo a parte verdadeira e a terceira é excluída.

De acordo com dicionário explicativo termos matemáticos, “prova é o raciocínio durante o qual a verdade ou falsidade de qualquer afirmação (julgamento, afirmação, teorema) é estabelecida”. Prova por contradição há um raciocínio durante o qual se estabelece falsidade(absurdo) da conclusão decorrente de falso condições do teorema a ser provado.

Dado: de UM deve E e de UM não deveria E .

Provar: de UM deve E .

Prova: A condição lógica do teorema contém uma contradição que requer sua resolução. A contradição da condição deve encontrar a sua resolução na prova e no seu resultado. O resultado acaba sendo falso com um raciocínio perfeito e livre de erros. A razão para uma conclusão falsa no raciocínio logicamente correto só pode ser uma condição contraditória: de UM deve E E de UM não deveria E .

Não há sombra de dúvida de que uma parte da condição é falsa e a outra, neste caso, é verdadeira. Ambas as partes da condição têm a mesma origem, são aceitas como dados, assumidas, igualmente possíveis, igualmente aceitáveis, etc. raciocínio lógico não foi encontrada uma única característica lógica que distinguisse uma parte da condição da outra. Portanto, na mesma medida pode ser de UM deve E e talvez de UM não deveria E . Declaração de UM deve E Talvez falso, então a afirmação de UM não deveria E será verdade. Declaração de UM não deveria E pode ser falsa, então a afirmação de UM deve E será verdade.

Conseqüentemente, é impossível provar um teorema direto por contradição.

Agora provaremos este mesmo teorema direto utilizando o método matemático usual.

Dado: UM .

Provar: de UM deve E .

Prova.

1. De UM deve B

2. De B deve EM (de acordo com o teorema previamente provado)).

3. De EM deve G (de acordo com o teorema previamente provado).

4. De G deve D (de acordo com o teorema previamente provado).

5. De D deve E (de acordo com o teorema previamente provado).

Com base na lei da transitividade, de UM deve E . O teorema direto é provado pelo método usual.

Deixe o teorema direto comprovado ter um teorema inverso correto: de E deve UM .

Vamos provar isso com o de costume matemático método. A prova do teorema inverso pode ser expressa de forma simbólica como um algoritmo de operações matemáticas.

Dado: E

Provar: de E deve UM .

Prova.

1. De E deve D

2. De D deve G (de acordo com o teorema inverso previamente comprovado).

3. De G deve EM (de acordo com o teorema inverso previamente comprovado).

4. De EM não deveria B (o teorema inverso não é verdadeiro). Portanto de B não deveria UM .

Nesta situação, não faz sentido continuar a prova matemática do teorema inverso. A razão da situação é lógica. Um teorema inverso incorreto não pode ser substituído por nada. Portanto, é impossível provar este teorema inverso usando o método matemático usual. Toda a esperança é provar este teorema inverso por contradição.

Para prová-lo por contradição, é necessário substituir sua condição matemática por uma condição lógica contraditória, que em seu significado contém duas partes - falsa e verdadeira.

Teorema de conversação afirma: de E não deveria UM . A condição dela E , do qual segue a conclusão UM , é o resultado da prova do teorema direto usando o método matemático usual. Esta condição deve ser preservada e complementada com a declaração de E deve UM . Como resultado da adição, obtemos a condição contraditória do novo teorema inverso: de E deve UM E de E não deveria UM . Com base nisso logicamente condição contraditória, o teorema inverso pode ser provado por meio do correto lógico raciocínio apenas, e somente, lógico método por contradição. Numa prova por contradição, quaisquer ações e operações matemáticas estão subordinadas às lógicas e, portanto, não contam.

Na primeira parte da declaração contraditória de E deve UM doença E foi provado pela prova do teorema direto. Na segunda parte de E não deveria UM doença E foi assumido e aceito sem provas. Um deles é falso e o outro é verdadeiro. Você precisa provar qual deles é falso.

Nós provamos isso através do correto lógico raciocínio e descobrir que seu resultado é uma conclusão falsa e absurda. A razão para uma conclusão lógica falsa é a condição lógica contraditória do teorema, que contém duas partes - falsa e verdadeira. A parte falsa só pode ser uma afirmação de E não deveria UM , em que E foi aceito sem provas. Isto é o que o torna diferente de E declarações de E deve UM , o que é provado pela prova do teorema direto.

Portanto, a afirmação é verdadeira: de E deve UM , que era o que precisava ser comprovado.

Conclusão: pelo método lógico, apenas o teorema inverso é provado por contradição, que tem um teorema direto comprovado pelo método matemático e que não pode ser provado pelo método matemático.

A conclusão obtida adquire excepcional importância em relação ao método de prova por contradição do grande teorema de Fermat. A esmagadora maioria das tentativas de provar isso não se baseia no método matemático usual, mas no método lógico de prova por contradição. A prova de Wiles do Último Teorema de Fermat não é exceção.

Dmitry Abrarov, no artigo “Teorema de Fermat: o Fenômeno das Provas de Wiles”, publicou um comentário sobre a prova de Wiles do Último Teorema de Fermat. Segundo Abrarov, Wiles prova o último teorema de Fermat com a ajuda de uma notável descoberta do matemático alemão Gerhard Frey (n. 1944), que relacionou a solução potencial da equação de Fermat x n + y n = z n , Onde n > 2 , com outra equação completamente diferente. Esta nova equação é dada por uma curva especial (chamada curva elíptica de Frey). A curva de Frey é dada por uma equação muito simples:
.

“Foi Frey quem comparou cada decisão (a, b, c) A equação de Fermat, isto é, números que satisfazem a relação a n + b n = c n, a curva acima. Neste caso, seguir-se-ia o último teorema de Fermat.”(Citação de: Abrarov D. “Teorema de Fermat: o fenômeno das provas de Wiles”)

Em outras palavras, Gerhard Frey sugeriu que a equação do Último Teorema de Fermat x n + y n = z n , Onde n > 2 , tem soluções em inteiros positivos. Estas mesmas soluções são, de acordo com a suposição de Frey, soluções para a sua equação
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , que é dado por sua curva elíptica.

Andrew Wiles aceitou esta notável descoberta de Frey e, com sua ajuda, matemático O método provou que esta descoberta, ou seja, a curva elíptica de Frey, não existe. Portanto, não existe equação e suas soluções dadas por uma curva elíptica inexistente. Portanto, Wiles deveria ter aceitado a conclusão de que não existe equação do último teorema de Fermat e do próprio teorema de Fermat. Contudo, ele aceita uma conclusão mais modesta de que a equação do Último Teorema de Fermat não tem soluções em inteiros positivos.

Um fato irrefutável pode ser que Wiles adotou uma suposição que tem significado exatamente oposto ao que é afirmado pelo grande teorema de Fermat. Obriga Wiles a provar o último teorema de Fermat por contradição. Sigamos o seu exemplo e vejamos o que resulta deste exemplo.

O Último Teorema de Fermat afirma que a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , não tem soluções em inteiros positivos.

De acordo com o método lógico de prova por contradição, esta afirmação é mantida, aceita como dada sem prova e então complementada com uma afirmação oposta: equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , tem soluções em inteiros positivos.

A declaração presuntiva também é aceita como dada, sem prova. Ambas as afirmações, consideradas do ponto de vista das leis básicas da lógica, são igualmente válidas, igualmente válidas e igualmente possíveis. Através do raciocínio correto, é necessário determinar qual delas é falsa para então determinar se a outra afirmação é verdadeira.

O raciocínio correto termina em uma conclusão falsa e absurda, cuja razão lógica só pode ser a condição contraditória do teorema sendo provado, que contém duas partes de significado diretamente oposto. Eram a razão lógica da conclusão absurda, resultado da prova por contradição.

No entanto, no decorrer do raciocínio logicamente correto, não foi descoberto um único sinal pelo qual pudesse ser estabelecido qual afirmação específica é falsa. Poderia ser uma afirmação: equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , tem soluções em inteiros positivos. Na mesma base, poderia ser a seguinte afirmação: equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , não tem soluções em inteiros positivos.

Como resultado do raciocínio, só pode haver uma conclusão: O Último Teorema de Fermat não pode ser provado por contradição.

Seria uma questão muito diferente se o último teorema de Fermat fosse um teorema inverso, que tem um teorema direto comprovado pelo método matemático usual. Neste caso, poderia ser provado por contradição. E como se trata de um teorema direto, sua prova deveria basear-se não no método lógico da prova por contradição, mas no método matemático comum.

De acordo com D. Abrarov, o mais famoso dos matemáticos russos modernos, o Acadêmico V. I. Arnold, reagiu “ativamente com ceticismo” à prova de Wiles. O acadêmico afirmou: “isso não é matemática real - a matemática real é geométrica e tem fortes conexões com a física.” (Citação de: Abrarov D. “Teorema de Fermat: o fenômeno das provas de Wiles.” A declaração do acadêmico expressa a própria essência da Prova não matemática de Wiles do último teorema de Fermat.

Por contradição é impossível provar que a equação do Último Teorema de Fermat não tem soluções ou que tem soluções. O erro de Wiles não é matemático, mas lógico – o uso da prova por contradição onde o seu uso não faz sentido e o grande teorema de Fermat não é provado.

O Último Teorema de Fermat não pode ser provado mesmo usando o método matemático usual se fornecer: a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , não tem soluções em inteiros positivos, e se quiser provar: a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , não tem soluções em inteiros positivos. Nesta forma não existe um teorema, mas uma tautologia desprovida de significado.

Observação. Minha prova BTF foi discutida em um dos fóruns. Um dos membros da Trotil, especialista em teoria dos números, fez a seguinte declaração oficial intitulada: “ Breve recontagem o que Mirgorodsky fez.” Cito literalmente:

« UM. Ele provou que se z 2 = x 2 + y , Que z n > x n + y n . Este é um fato bem conhecido e bastante óbvio.

EM. Ele pegou dois triplos - pitagóricos e não pitagóricos e mostrou por meio de pesquisa simples que para uma família específica de triplos (78 e 210 peças) o BTF é satisfeito (e somente para ele).

COM. E então o autor omitiu o fato de que de < mais tarde poderá revelar-se = , e não apenas > . Um contra-exemplo simples – transição n=1 V n=2 no triplo pitagórico.

D. Este ponto não contribui com nada significativo para a prova do BTF. Conclusão: BTF não foi comprovado.”

Considerarei sua conclusão ponto por ponto.

UM. Prova o BTF para todo o conjunto infinito de triplos de números pitagóricos. Comprovado por um método geométrico, que, creio, não foi descoberto por mim, mas redescoberto. E foi descoberto, creio, pelo próprio P. Fermat. Fermat pode ter pensado nisso quando escreveu:

“Descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa disso, mas estes campos são demasiado estreitos para isso.” Esta minha suposição baseia-se no fato de que no problema Diofantino, contra o qual Fermat escreveu nas margens do livro, estamos falando de soluções para a equação Diofantina, que são trigêmeos de números pitagóricos.

Um conjunto infinito de trigêmeos de números pitagóricos são soluções para a equação diophateana, e no teorema de Fermat, pelo contrário, nenhuma das soluções pode ser uma solução para a equação do teorema de Fermat. E a prova verdadeiramente maravilhosa de Fermat está diretamente relacionada com este facto. Fermat poderia mais tarde estender seu teorema ao conjunto de todos os números naturais. No conjunto de todos os números naturais, o BTF não pertence ao “conjunto dos teoremas excepcionalmente belos”. Esta é a minha suposição, que não pode ser provada nem refutada. Pode ser aceito ou rejeitado.

EM. Neste ponto, provo que tanto a família de um triplo pitagórico de números arbitrariamente tomado quanto a família de um triplo não pitagórico de números BTF tomados arbitrariamente estão satisfeitas. Este é um elo necessário, mas insuficiente e intermediário em minha prova de BTF. . Os exemplos que tomei da família do triplo dos números pitagóricos e da família do triplo dos números não pitagóricos são significativos exemplos específicos, sugerindo e não excluindo a existência de outros exemplos semelhantes.

A afirmação de Trotil de que “mostrei por simples pesquisa que para uma família específica de trigêmeos (78 e 210 peças) o BTF é satisfeito (e somente para ele) é infundada. Ele não pode refutar o fato de que posso facilmente tomar outros exemplos de triplos pitagóricos e não pitagóricos para obter uma família definida específica de um e outro triplo.

Qualquer que seja o par de trigêmeos que eu tome, a verificação de sua adequação para resolver o problema só pode ser realizada, na minha opinião, pelo método de “enumeração simples”. Não conheço nenhum outro método e não preciso dele. Se Trotil não gostou, deveria ter sugerido outro método, o que ele não faz. Sem oferecer nada em troca, condena o “simples exagero”, que nesse caso insubstituível, incorreto.

COM. Eu omiti = entre< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), em que o grau n > 2 — todo número positivo. Da igualdade entre as desigualdades segue-se obrigatório consideração da equação (1) para um valor de grau não inteiro n > 2 . Trotil, contando obrigatório consideração da igualdade entre desigualdades realmente considera necessário na prova BTF, consideração da equação (1) com não inteiro valor do grau n > 2 . Eu fiz isso sozinho e descobri a equação (1) com não inteiro valor do grau n > 2 tem uma solução de três números: z, (z-1), (z-1) para um expoente não inteiro.

Para números inteiros n maiores que 2, a equação x n + y n = z n não tem soluções diferentes de zero em números naturais.

Você provavelmente se lembra dos seus tempos de escola Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos. Você também pode se lembrar do clássico triângulo retângulo com lados cujos comprimentos estão na proporção 3: 4: 5. Para ele, o teorema de Pitágoras é assim:

Este é um exemplo de resolução da equação pitagórica generalizada em inteiros diferentes de zero para n= 2. Último Teorema de Fermat (também chamado de " Grande Teorema Fermat" e "Último Teorema de Fermat") é a afirmação de que para os valores n> 2 equações da forma x n + sim = z n não têm soluções diferentes de zero em números naturais.

A história do Último Teorema de Fermat é muito interessante e instrutiva, e não apenas para matemáticos. Pierre de Fermat contribuiu para o desenvolvimento de vários campos da matemática, mas a maior parte do seu legado científico foi publicada apenas postumamente. O fato é que a matemática para Fermat era uma espécie de hobby, e não uma ocupação profissional. Ele se correspondia com os principais matemáticos de sua época, mas não se esforçou para publicar seu trabalho. Trabalhos científicos A fazenda é encontrada principalmente na forma de correspondência privada e notas fragmentárias, muitas vezes escritas nas margens de vários livros. Está nas margens (do segundo volume da antiga “Aritmética” grega de Diofante. - Observação tradutor) logo após a morte do matemático, os descendentes descobriram a formulação do famoso teorema e do pós-escrito:

« Encontrei uma prova verdadeiramente maravilhosa disso, mas esses campos são muito estreitos para isso».

Infelizmente, aparentemente, Fermat nunca se preocupou em escrever a “prova milagrosa” que encontrou, e seus descendentes a procuraram sem sucesso por mais de três séculos. De toda a herança científica dispersa de Fermat, que contém muitas afirmações surpreendentes, foi o Grande Teorema que teimosamente se recusou a ser resolvido.

Quem tentou provar o Último Teorema de Fermat foi em vão! Outro grande matemático francês, René Descartes (1596-1650), chamou Fermat de “fanfarrão”, e o matemático inglês John Wallis (1616-1703) o chamou de “maldito francês”. O próprio Fermat, entretanto, ainda deixou uma prova de seu teorema para o caso n= 4. Com prova para n= 3 foi resolvido pelo grande matemático suíço-russo do século XVIII, Leonhard Euler (1707-83), após o que, incapaz de encontrar evidências para n> 4, sugeriu brincando que a casa de Fermat fosse revistada para encontrar a chave das evidências perdidas. No século XIX, novos métodos na teoria dos números tornaram possível provar a afirmação para muitos números inteiros dentro de 200, mas, novamente, não para todos.

Em 1908, foi estabelecido um prêmio de 100.000 marcos alemães para a solução deste problema. O fundo do prêmio foi legado pelo industrial alemão Paul Wolfskehl, que, segundo a lenda, iria cometer suicídio, mas ficou tão entusiasmado com o Último Teorema de Fermat que mudou de ideia sobre a morte. Com o advento da adição de máquinas e depois de computadores, a barra de valor n começou a subir cada vez mais - para 617 no início da Segunda Guerra Mundial, para 4.001 em 1954, para 125.000 em 1976. No final do século 20 os computadores mais poderosos laboratórios militares em Los Alamos (Novo México, EUA) foram programados para resolver o problema Fermat em segundo plano (semelhante ao modo de proteção de tela de um computador pessoal). Assim, foi possível mostrar que o teorema é verdadeiro para valores incrivelmente grandes x, y, z E n, mas isso não poderia servir como uma prova estrita, uma vez que qualquer um dos seguintes valores n ou trigêmeos de números naturais poderiam refutar o teorema como um todo.

Finalmente, em 1994, o matemático inglês Andrew John Wiles (n. 1953), trabalhando em Princeton, publicou uma prova do Último Teorema de Fermat, que, após algumas modificações, foi considerada abrangente. A prova ocupou mais de cem páginas de diário e foi baseada no uso de aparatos modernos matemática superior, que não foi desenvolvido na era de Fermat. Então, o que Fermat quis dizer ao deixar uma mensagem nas margens do livro de que havia encontrado a prova? A maioria dos matemáticos com quem conversei sobre este assunto apontaram que ao longo dos séculos houve provas incorretas mais do que suficientes do Último Teorema de Fermat, e que, muito provavelmente, o próprio Fermat encontrou uma prova semelhante, mas não conseguiu reconhecer o erro. nele. No entanto, é possível que ainda exista alguma prova curta e elegante do Último Teorema de Fermat que ninguém ainda encontrou. Só uma coisa pode ser dita com certeza: hoje sabemos com certeza que o teorema é verdadeiro. A maioria dos matemáticos, penso eu, concordaria sem reservas com Andrew Wiles, que comentou sobre a sua prova: “Agora, finalmente, a minha mente está em paz”.

Último Teorema de Fermat Singh Simon

"O último teorema de Fermat foi provado?"

Foi apenas o primeiro passo para provar a conjectura de Taniyama-Shimura, mas a estratégia de Wiles foi um avanço matemático brilhante, um resultado que merecia ser publicado. Mas devido ao voto de silêncio auto-imposto por Wiles, ele não podia contar ao resto do mundo sobre o seu resultado e não tinha ideia de quem mais poderia fazer um avanço igualmente significativo.

Wiles recorda a sua atitude filosófica em relação a qualquer potencial desafiante: “Ninguém quer passar anos a provar algo e descobrir que outra pessoa conseguiu encontrar a prova algumas semanas antes. Mas, curiosamente, como estava tentando resolver um problema que era essencialmente considerado insolúvel, não tinha muito medo dos rivais. Só não esperava que eu ou qualquer outra pessoa tivesse uma ideia que levasse a provas.”

Em 8 de março de 1988, Wiles ficou chocado ao ver manchetes em letras grandes nas primeiras páginas dos jornais que diziam: “Último teorema de Fermat provado”. O Washington Post e o New York Times relataram que Yoichi Miyaoka, de 38 anos, da Universidade Metropolitana de Tóquio, havia resolvido o problema de matemática mais difícil do mundo. Embora Miyaoka ainda não tenha publicado sua prova, esboço geral delineou seu curso em um seminário no Instituto Max Planck de Matemática em Bonn. Don Tsagir, que esteve presente na palestra de Miyaoka, expressou o otimismo da comunidade matemática com as seguintes palavras: “A prova apresentada por Miyaoka é extremamente interessante e alguns matemáticos acreditam que tem uma grande probabilidade de estar correta. Confiança total ainda não, mas até agora as evidências parecem muito encorajadoras.”

Falando em um seminário em Bonn, Miyaoka falou sobre sua abordagem para resolver o problema, que ele considerou de um ponto de vista algébrico-geométrico completamente diferente. Nas últimas décadas, os geômetras alcançaram uma compreensão profunda e sutil objetos matemáticos, em particular, as propriedades das superfícies. Na década de 70, o matemático russo S. Arakelov tentou estabelecer paralelos entre os problemas da geometria algébrica e os problemas da teoria dos números. Esta era uma das vertentes do programa de Langlands, e os matemáticos esperavam que problemas não resolvidos na teoria dos números pudessem ser resolvidos através do estudo de problemas correspondentes em geometria, que também permaneciam sem solução. Este programa ficou conhecido como filosofia do paralelismo. Esses geômetras algébricos que tentaram resolver problemas na teoria dos números foram chamados de "geômetras algébricos aritméticos". Em 1983, eles anunciaram sua primeira vitória significativa quando Gerd Faltings, do Instituto de Estudos Avançados de Princeton, fez contribuições significativas para a compreensão do teorema de Fermat. Lembre-se que, de acordo com Fermat, a equação

no n maior que 2 não tem soluções em números inteiros. Faltings decidiu que havia feito progressos na prova do Último Teorema de Fermat, estudando superfícies geométricas associadas a diferentes valores. n. Superfícies associadas às equações de Fermat em significados diferentes n, diferem entre si, mas têm uma propriedade comum - todos eles têm furos passantes ou, simplesmente, furos. Essas superfícies são quadridimensionais, assim como os gráficos das formas modulares. Seções bidimensionais de duas superfícies são mostradas na Fig. 23. As superfícies associadas à equação de Fermat são semelhantes. Quanto maior o valor n na equação, mais buracos existem na superfície correspondente.

Arroz. 23. Estas duas superfícies são obtidas usando programa de computador"Matemática". Cada um deles representa o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a equação x n + sim = z n(para a superfície à esquerda n=3, para a superfície à direita n=5). Variáveis x E sim são considerados complexos aqui

Faltings conseguiu provar que, como tais superfícies sempre têm vários furos, a equação de Fermat associada só poderia ter um conjunto finito de soluções inteiras. O número de soluções poderia ser qualquer coisa - de zero, como presumiu Fermat, a um milhão ou um bilhão. Assim, Faltings não provou o Último Teorema de Fermat, mas pelo menos conseguiu rejeitar a possibilidade de a equação de Fermat ter infinitas soluções.

Cinco anos depois, Miyaoka relatou que havia dado um passo adiante. Ele tinha então vinte e poucos anos. Miyaoka formulou uma hipótese a respeito de alguma desigualdade. Ficou claro que provar a sua conjectura geométrica significaria provar que o número de soluções da equação de Fermat não é apenas finito, mas igual a zero. A abordagem de Miyaoka foi semelhante à de Wiles no sentido de que ambos tentaram provar o Último Teorema de Fermat relacionando-o com uma hipótese fundamental em outro ramo da matemática. Para Miyaoka era a geometria algébrica; para Wiles, o caminho para a prova passava por curvas elípticas e formas modulares. Para grande desgosto de Wiles, ele ainda estava lutando para provar a conjectura de Taniyama-Shimura quando Miyaoka afirmou ter uma prova completa de sua própria conjectura e, portanto, do Último Teorema de Fermat.

Duas semanas depois de seu discurso em Bonn, Miyaoka publicou cinco páginas de cálculos que formaram a essência de sua prova, e um exame minucioso começou. Teóricos dos números e especialistas em geometria algébrica de todo o mundo estudaram, linha por linha, cálculos publicados. Poucos dias depois, os matemáticos descobriram uma contradição na prova que não poderia deixar de causar preocupação. Uma parte do trabalho de Miyaoka levou a uma afirmação da teoria dos números, que, quando traduzida para a linguagem da geometria algébrica, produziu uma afirmação que contradizia o resultado obtido vários anos antes. Embora isto não invalidasse necessariamente toda a prova de Miyaoka, a contradição descoberta não se enquadrava na filosofia do paralelismo entre a teoria dos números e a geometria.

Duas semanas depois, Gerd Faltings, que abriu o caminho para Miyaoke, anunciou que havia descoberto a causa exata da aparente violação do paralelismo – uma lacuna no raciocínio. O matemático japonês era geômetra e não foi totalmente rigoroso ao traduzir suas ideias para o território menos familiar da teoria dos números. Um exército de teóricos dos números fez esforços frenéticos para tapar a lacuna na prova de Miyaoka, mas em vão. Dois meses depois de Miyaoka afirmar ter uma prova completa do Último Teorema de Fermat, a comunidade matemática chegou a uma conclusão unânime: a prova de Miyaoka estava fadada ao fracasso.

Tal como acontece com as provas anteriores que falharam, Miyaoka conseguiu obter muitos resultados interessantes. Alguns fragmentos de sua prova foram notáveis ​​como aplicações muito engenhosas da geometria à teoria dos números, e nos anos subsequentes outros matemáticos os usaram para provar alguns teoremas, mas ninguém conseguiu provar o Último Teorema de Fermat desta forma.

O furor em torno do Último Teorema de Fermat logo diminuiu, e os jornais publicaram breves notícias dizendo que o quebra-cabeça de trezentos anos ainda permanecia sem solução. A seguinte inscrição apareceu na parede da estação de metrô Eighth Street de Nova York, sem dúvida inspirada pela cobertura da imprensa sobre o Último Teorema de Fermat: "Eq. xn + sim = zn não tem soluções. Encontrei uma prova verdadeiramente surpreendente deste fato, mas não posso anotá-la aqui porque meu trem chegou.”

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