Equação canônica parabolóide elíptica. Elipsóide. Hiperbolóides. Parabolóides. Parabolóides no mundo

Em torno de seu eixo, você pode obter um aparelho elíptico comum. É um corpo isométrico oco cujas seções são elipses e parábolas. Um parabolóide elíptico é dado por:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Todas as seções principais de um parabolóide são parábolas. Ao cortar os planos XOZ e YOZ, apenas são obtidas parábolas. Se você desenhar uma seção perpendicular em relação ao plano Xoy, poderá obter uma elipse. Além disso, as seções, que são parábolas, são especificadas por equações da forma:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
As seções da elipse são dadas por outras equações:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Um parabolóide elíptico em a=b se transforma em um parabolóide de revolução. A construção de um parabolóide possui uma série de características que precisam ser levadas em consideração. Inicie a operação preparando a base - um desenho do gráfico da função.

Para começar a construir um parabolóide, primeiro você deve construir uma parábola. Desenhe uma parábola no plano Oxz conforme mostrado na figura. Dê ao futuro parabolóide uma certa altura. Para fazer isso, desenhe uma linha reta que toque os pontos superiores da parábola e fique paralela ao eixo do Boi. Em seguida, desenhe uma parábola no plano Yoz e desenhe uma linha reta. Você obterá dois planos parabolóides perpendiculares entre si. Depois disso, no plano Xoy, construa um paralelogramo que ajudará a desenhar uma elipse. Inscreva uma elipse neste paralelogramo de modo que toque todos os seus lados. Após essas transformações, apague o paralelogramo e o que resta é uma imagem tridimensional de um parabolóide.

Existe também um parabolóide hiperbólico, que tem formato mais côncavo que o elíptico. Suas seções também possuem parábolas e, em alguns casos, hipérboles. As seções principais ao longo de Oxz e Oyz, como as de um parabolóide elíptico, são parábolas. Eles são dados por equações da forma:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Se você desenhar uma seção relativa ao eixo Oxy, poderá obter uma hipérbole. Ao construir um parabolóide hiperbólico, use a seguinte equação:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - equação de um parabolóide hiperbólico

Construa inicialmente uma parábola fixa no plano Oxz. Desenhe uma parábola móvel no plano Oyz. Depois disso, defina a altura do parabolóide h. Para isso, marque dois pontos na parábola fixa, que serão os vértices de mais duas parábolas móveis. Em seguida, desenhe outro sistema de coordenadas O"x"y" para traçar as hipérboles. O centro deste sistema de coordenadas deve coincidir com a altura do parabolóide. Após todas as construções, desenhe essas duas parábolas móveis mencionadas acima para que elas se toquem pontos extremos hipérbole. O resultado é um parabolóide hiperbólico.

A propriedade comprovada da tangente a uma parábola é muito importante, pois dela decorre que os raios que emanam do foco de um espelho parabólico côncavo, ou seja, um espelho cuja superfície é obtida a partir da rotação da parábola em torno de seu eixo, são refletido por um feixe paralelo, ou seja, eixos de espelho paralelos (Fig.).

Esta propriedade dos espelhos parabólicos é utilizada na construção de holofotes, nos faróis de qualquer carro, bem como em telescópios refletores. Além disso, neste último caso, inversamente, os raios provenientes do corpo celeste; quase paralelos, eles estão concentrados perto do foco do espelho do telescópio, e como os raios vindos de diferentes pontos da luminária são muito não paralelos, eles estão concentrados perto do foco em pontos diferentes, de modo que perto do foco uma imagem do luminária é obtida, quanto maior, mais distância focal parábolas. Esta imagem já é visualizada através de um microscópio (ocular do telescópio). A rigor, apenas os raios estritamente paralelos ao eixo do espelho são coletados em um ponto (o foco), enquanto os raios paralelos que formam um ângulo com o eixo do espelho são coletados apenas quase em um ponto, e quanto mais longe este ponto é do foco, quanto mais imagem mais desfocada. Esta circunstância limita o “campo de visão do telescópio”.

Deixe sua superfície interna ser uma superfície espelhada; este espelho parabólico é iluminado por um feixe de raios de luz paralelo ao eixo do amplificador operacional. Todos os raios paralelos ao eixo do amplificador operacional, após reflexão, se cruzarão em um ponto no eixo do amplificador operacional (foco F). O projeto dos telescópios parabólicos é baseado nesta propriedade. Os raios de estrelas distantes chegam até nós na forma de um feixe paralelo. Ao fazer um telescópio parabólico e colocar uma placa fotográfica no seu foco, temos a oportunidade de amplificar o sinal de luz vindo da estrela.

O mesmo princípio está subjacente à criação de uma antena parabólica, que permite a amplificação de sinais de rádio. Se você colocar uma fonte de luz no foco de um espelho parabólico, depois de refletir na superfície do espelho, os raios vindos dessa fonte não serão espalhados, mas serão coletados em um feixe estreito paralelo ao eixo do espelho . Este fato é utilizado na fabricação de holofotes e lanternas, projetores diversos, cujos espelhos são feitos em forma de parabolóides.

A propriedade óptica de um espelho parabólico mencionada acima é usada para criar telescópios espelhados, várias instalações de aquecimento solar e também holofotes. Ao colocar uma poderosa fonte pontual de luz no foco de um espelho parabólico, obtemos um fluxo denso de raios refletidos paralelos ao eixo do espelho.

Quando uma parábola gira em torno de seu eixo, obtém-se uma figura chamada parabolóide. Se a superfície interna do parabolóide for espelhada e um feixe de raios for direcionado a ela, paralelo ao eixo simetria de uma parábola, então os raios refletidos convergirão em um ponto, que é chamado de foco. Ao mesmo tempo, se a fonte de luz for colocada no foco, os raios refletidos na superfície espelhada do parabolóide serão paralelos e não dispersos.

A primeira propriedade permite obter uma temperatura elevada no foco do parabolóide. Segundo a lenda, esta propriedade foi usada pelo antigo cientista grego Arquimedes (287-212 aC). Ao defender Siracusa na guerra contra os romanos, ele construiu um sistema de espelhos parabólicos que permitia que os raios refletidos do sol se concentrassem nos navios romanos. Como resultado, a temperatura nos focos dos espelhos parabólicos revelou-se tão alta que ocorreu um incêndio nos navios e eles queimaram.

A segunda propriedade é utilizada, por exemplo, na fabricação de refletores e faróis de automóveis.

Hipérbole

4. A definição de uma hipérbole nos dá uma maneira simples de construí-la com um movimento contínuo: pegue dois fios, cuja diferença de comprimento é 2a, e prenda uma extremidade desses fios aos pontos F" e F. Se você segurar a outra duas pontas juntas com a mão e mova ao longo dos fios com a ponta de um lápis, tomando cuidado para que os fios fiquem pressionados contra o papel, esticados e se tocando, partindo da ponta do desenho até o ponto onde as pontas se encontram, a ponta vai desenhar parte de um dos ramos da hipérbole (quanto maior, mais longos são os fios) (Fig.).

Invertendo os papéis dos pontos F" e F, obtemos parte de outro ramo.

Por exemplo, No tópico “curvas de 2ª ordem” você pode considerar o seguinte problema:

Tarefa. Duas estações ferroviárias A e B estão localizadas a uma distância de s km uma da outra. Para qualquer ponto M, a carga pode ser entregue da estação A por transporte rodoviário direto (primeira rota) ou por ferrovia até a estação B, e daí de carro (segunda rota). A tarifa ferroviária (preço de transporte de 1 tonelada por 1 km) é de m rublos, a tarifa de transporte rodoviário é de n rublos, n > m, a tarifa de carga e descarga é de k rublos. Determine a área de influência da estação ferroviária B, ou seja, a área onde é mais barato entregar a carga da estação A por meios mistos - ferroviário e depois rodoviário, ou seja, determine a localização geométrica dos pontos para os quais o segundo caminho é mais lucrativo que o primeiro.

Solução. Denotemos AM = r, BM = g, então o custo de entrega (transporte e carga/descarga) ao longo da rota AM é igual a nr + k, e o custo de entrega ao longo da rota ABM é igual a ms + 2k + não. Então os pontos M para os quais ambos os valores são iguais satisfazem a equação nr + k = ms+2k+nг, ou

ms + k = nr - ng

r - r = = const > O,

portanto, a linha que delimita a região é um dos ramos da hipérbole | r-r | = const. Para todos os pontos do plano situados do mesmo lado do ponto A desta hipérbole, o primeiro caminho é mais vantajoso, e para os pontos situados do outro lado - o segundo, portanto o ramo da hipérbole delineia a área de influência da estação B.

Variante deste problema.

Duas estações ferroviárias A e B estão localizadas a uma distância de l km uma da outra. Para o ponto M, a carga pode ser entregue da estação A por transporte rodoviário direto ou por trem até a estação B, e de lá de carro (Fig. 49). Neste caso, a tarifa ferroviária (preço de transporte de 1 tonelada por 1 km) é de m rublos, os custos de carga e descarga são de k rublos (por 1 tonelada) e a tarifa de transporte rodoviário é de n rublos (n > m). Vamos determinar a chamada zona de influência da estação ferroviária B, ou seja, a zona onde é mais barato entregar a carga de A por uma rota mista: ferroviária e depois rodoviária.

Solução. O custo de entrega de 1 tonelada de carga na rota AM é r n, onde r = AM, e na rota ABM será igual a 1m + k + r n. Precisamos resolver a dupla desigualdade r n 1m+ k+ r n e determinar como estão distribuídos os pontos do plano (x, y), para os quais é mais barato entregar a carga pela primeira ou pela segunda rota.

Vamos encontrar a equação da reta que forma a fronteira entre essas duas zonas, ou seja, o lugar geométrico dos pontos para os quais ambos os caminhos são “igualmente benéficos”:

r n = 1m+ k+ r n

A partir desta condição obtemos r - r = = const.

Portanto, a linha divisória é uma hipérbole. Para todos os pontos externos desta hipérbole, o primeiro caminho é mais vantajoso, e para os pontos internos - o segundo. Portanto, a hipérbole delineará a zona de influência da estação B. O segundo ramo da hipérbole delineará a zona de influência da estação A (a carga é entregue da estação B). Vamos encontrar os parâmetros da nossa hipérbole. Seu eixo maior é 2a = , e a distância entre os focos (que são as estações A e B), neste caso, é 2c = l.

Assim, a condição de possibilidade deste problema, determinada pela relação a< с, будет

Esta tarefa conecta o resumo conceito geométrico hipérboles com o problema económico e de transportes.

O lugar geométrico dos pontos requerido é o conjunto de pontos situados dentro do ramo direito da hipérbole contendo o ponto B.

6. Por dentro " Máquinas agrícolas" importante características de desempenho de um trator trabalhando em declive, mostrando sua estabilidade são o ângulo de inclinação longitudinal e o ângulo de rolamento lateral.

Para simplificar, consideraremos um trator de rodas. A superfície sobre a qual o trator opera (pelo menos uma pequena parte dela) pode ser considerada um plano (plano de movimento). O eixo longitudinal do trator é a projeção de uma linha reta que liga os pontos médios dos eixos dianteiro e traseiro ao plano de movimento. O ângulo de rotação lateral é o ângulo formado com o plano horizontal de uma linha reta perpendicular ao eixo longitudinal e situada no plano de movimento.

Ao estudar o tema “Retas e planos no espaço” em um curso de matemática, consideramos os seguintes problemas:

a) Encontre o ângulo de inclinação longitudinal de um trator movendo-se ao longo de um declive se o ângulo de inclinação do declive e o ângulo de desvio da trajetória do trator em relação à direção longitudinal forem conhecidos.

b) O ângulo máximo de rotação lateral do trator é o ângulo de inclinação máximo permitido do declive através do qual o trator pode permanecer sem tombar. Quais parâmetros do trator são suficientes para saber para determinar o ângulo máximo de rolamento lateral; como encontrar este
canto?

7. A presença de geratrizes retilíneas é utilizada em equipamentos de construção. O fundador da aplicação prática deste fato é o famoso engenheiro russo Vladimir Grigorievich Shukhov (1853-1939). V. G. Shukhov realizou o projeto de mastros, torres e suportes constituídos por vigas metálicas localizadas ao longo de geratrizes retilíneas hiperbolóide de revolução de folha única. Alta resistência Tais estruturas, aliadas à leveza, baixo custo de fabricação e elegância, garantem sua ampla utilização na construção moderna.

8. LEIS DO MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO LIVRE

Para um corpo livre, todos os tipos de movimento são igualmente possíveis, mas isso não significa que o movimento de um corpo livre seja desordenado e não obedeça a nenhuma lei; pelo contrário, o movimento de translação de um corpo rígido, independentemente da sua forma externa, é restringido pela lei do centro de massa e é reduzido ao movimento de um ponto, e o movimento de rotação é pelos chamados eixos principais de inércia ou elipsóide de inércia. Assim, um pedaço de pau jogado no espaço livre, ou um grão voando de um classificador, etc., avança como um ponto (centro de massa) e ao mesmo tempo gira em torno do centro de massa. Em geral, durante o movimento translacional, qualquer corpo rígido, independente de sua forma, ou uma máquina complexa pode ser substituído por um ponto (centro de massa), e durante o movimento rotacional, por um elipsóide de inércia. , cujos vetores de raio são iguais a --, onde / é o momento de inércia deste corpo em relação aos eixos que passam pelo centro do elipsóide.

Se o momento de inércia de um corpo mudar por algum motivo durante a rotação, a velocidade de rotação mudará de acordo. Por exemplo, durante um salto acima da cabeça, os acrobatas se comprimem em uma bola, fazendo com que o momento de inércia do corpo diminua e a velocidade de rotação aumente, que é o necessário para o sucesso do salto. Da mesma forma, após escorregar, as pessoas esticam os braços para os lados, o que faz com que o momento de inércia aumente e a velocidade de rotação diminua. Da mesma forma, o momento de inércia do ancinho de colheita em torno do eixo vertical é variável durante a sua rotação em torno do eixo horizontal.

A altura de um parabolóide pode ser determinada pela fórmula

O volume do parabolóide tocando o fundo é igual à metade do volume de um cilindro com raio da base R e altura H, o mesmo volume ocupa o espaço W’ sob o parabolóide (Fig. 4.5a)

Figura 4.5. A proporção de volumes em um parabolóide tocando a parte inferior.

Wп – volume do parabolóide, W’ – volume sob o parabolóide, Hп – altura do parabolóide

Figura 4.6. A proporção dos volumes em um parabolóide tocando as bordas do cilindro Hp é a altura do parabolóide., R é o raio do vaso, Wl é o volume abaixo da altura do líquido no vaso antes do início da rotação, z 0 é a posição do vértice do parabolóide, H é a altura do líquido no recipiente antes do início da rotação.

4.6a, o nível de líquido no cilindro antes do início da rotação é H. O volume de líquido Wl antes e depois da rotação é mantido e é igual à soma do volume Wt do cilindro com altura z 0 mais o volume de líquido sob o parabolóide, que é igual ao volume do parabolóide Wp com altura Hn

Se o parabolóide toca a borda superior do cilindro, a altura do líquido no cilindro antes do início da rotação H divide a altura do parabolóide Hn em duas partes iguais, o ponto mais baixo (vértice) do parabolóide está localizado em relação para a base (Fig. 4.6c)

Além disso, a altura H divide o parabolóide em duas partes (Fig. 4.6c), cujos volumes são iguais a W 2 = W 1. Da igualdade dos volumes do anel parabólico W 2 e do copo parabólico W 1, Fig.

Quando a superfície do parabolóide cruza o fundo do vaso (Fig. 4.7) W 1 =W 2 =0,5W anel

Fig. 4.7 Volumes e alturas quando a superfície de um parabolóide cruza a parte inferior do cilindro

Alturas na Fig. 4.6

volumes na Fig. 4.6.

Localização superfície livre em uma embarcação

Figura 4.8. Três casos de repouso relativo durante a rotação

1. Se o vaso estiver aberto, Po = Ratm (Fig. 4.8a). Durante a rotação, o topo do parabolóide cai abaixo do nível inicial-H, e as arestas sobem acima do nível inicial, a posição do topo

2. Se o recipiente estiver completamente cheio, coberto com tampa, não tiver superfície livre, estiver sob excesso de pressão Po>Patm, antes da rotação a superfície (PP) na qual Po=Patm estará acima do nível da tampa em altura h 0i =M/ ρg, H 1 =H+ M/ρg.

3. Se o recipiente estiver completamente cheio, ele estará sob vácuo Po<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Rotação em alta velocidade angular (Fig. 4.9)

Quando um recipiente contendo líquido gira a uma alta velocidade angular, a força da gravidade pode ser desprezada em comparação com as forças centrífugas. A lei da mudança de pressão em um líquido pode ser obtida a partir da fórmula

(4.22),

As superfícies do nível formam cilindros com um eixo comum em torno do qual a embarcação gira. Se o recipiente não estiver completamente cheio antes do início da rotação, a pressão P 0 atuará ao longo do raio r = r 0 , em vez da expressão (4.22) teremos

em que tomamos g(z 0 - z) = 0,

Arroz. 4.9 Localização das superfícies de revolução na ausência de gravidade.

Raio da superfície interna para H e h conhecidos

Existem dois tipos de parabolóides: elípticos e hiperbólicos.

Parabolóide elípticoé uma superfície que, em algum sistema de coordenadas retangulares cartesianas, é definida pela equação

Um parabolóide elíptico tem a forma de uma tigela convexa infinita. Possui dois planos de simetria mutuamente perpendiculares. O ponto com o qual a origem das coordenadas é combinada é chamado de vértice do parabolóide elíptico; os números p e q são chamados de seus parâmetros.

Um parabolóide hiperbólico é uma superfície definida pela equação

Parabolóide hiperbólico tem o formato de uma sela. Possui dois planos de simetria mutuamente perpendiculares. O ponto com o qual a origem das coordenadas é combinada é chamado de vértice de um parabolóide hiperbólico; números R E q são chamados de seus parâmetros.

Exercício 8.4. Consideremos a construção de um parabolóide hiperbólico da forma

Seja necessário construir uma parte de um parabolóide situado nos intervalos: x O[–3; 3], no O[–2; 2] com passo D=0,5 para ambas as variáveis.

Execução. Primeiro você precisa resolver a equação da variável z. No exemplo

Vamos inserir os valores das variáveis X para coluna UM. Para fazer isso, na célula A1 insira um símbolo X. Para a célula A2 o primeiro valor do argumento é inserido - o limite esquerdo do intervalo (–3). Para a célula A3- o segundo valor do argumento é o limite esquerdo do intervalo mais a etapa de construção (–2,5). Em seguida, selecionando o bloco de células A2:AZ, usando o preenchimento automático obtemos todos os valores do argumento (arrastamos o canto inferior direito do bloco para a célula A14).

Valores variáveis no entre na linha 1 . Para fazer isso, na célula B1 O primeiro valor da variável é inserido - o limite esquerdo do intervalo (–2). Para a célula C1- o segundo valor da variável - o limite esquerdo do intervalo mais a etapa de construção (– 1,5). Em seguida, selecionando o bloco de células B1:C1,preenchendo automaticamente obtemos todos os valores do argumento (arrastamos o canto inferior direito do bloco para a célula J1).

Em seguida, insira os valores das variáveis z. Para fazer isso, o cursor da tabela deve ser colocado na célula B2 e insira a fórmula - = $A2^2/18 -B$1^2/8, então pressione a tecla Digitar. Em uma cela B2 aparece 0. Agora você precisa copiar a função da célula B2. Para fazer isso, use o preenchimento automático (desenho à direita) para copiar esta fórmula primeiro no intervalo B2: J2, então (puxando para baixo) - no intervalo B2:J14.

Como resultado, na faixa B2:J14 Uma tabela de pontos parabolóides hiperbólicos aparecerá.

Para plotar um gráfico na barra de ferramentas Padrão você precisa apertar um botão Assistente de gráfico. Na caixa de diálogo que aparece Assistente de Gráfico (Etapa 1 de 4): Tipo de Gráfico indique o tipo de diagrama - Superfície e visualizar - Superfície de fio (transparente)(diagrama superior direito na janela direita). Em seguida, pressione o botão Próximo na caixa de diálogo.

Na caixa de diálogo que aparece Assistente de Gráfico (Etapa 2 de 4): Fonte de Dados gráficos você precisa selecionar a guia Faixa dados e no campo Faixa use o mouse para indicar o intervalo de dados B2:J14.

Em seguida, você precisa indicar as linhas ou colunas onde as linhas de dados estão localizadas. Isso determinará a orientação dos eixos X E você. No exemplo, o interruptor Linhas em Usando o ponteiro do mouse, coloque-o na posição das colunas.

Selecione a aba Linha e no campo Rótulos do eixo X indicar o intervalo de assinaturas. Para fazer isso, ative este campo clicando nele com o ponteiro do mouse e insira o intervalo de rótulos dos eixos X -A2:A14.

Insira os valores dos rótulos dos eixos você. Para fazer isso, no campo de trabalho Linha selecione a primeira entrada Linha 1 e ativando o campo de trabalho Nome com o ponteiro do mouse, insira o primeiro valor da variável e: –2. Então para o campo Linha selecione a segunda entrada Linha 2 e no campo de trabalho Nome insira o segundo valor da variável y: –1,5. Repita desta forma até a última entrada - Linha 9.

Depois que as entradas necessárias aparecerem, clique no botão Próximo.

A terceira janela exige que você insira o título do gráfico e os nomes dos eixos. Para fazer isso, selecione a guia Títulos clicando nele com o ponteiro do mouse. Depois para o campo de trabalho Título do gráfico digite o nome no teclado: Parabolóide hiperbólico. Em seguida, entre da mesma forma nos campos de trabalho Eixo X (categorias),Eixo Y (série de dados) E Eixo Z (valores) nomes correspondentes: x, você E z.

Um elipsóide é uma superfície cuja equação em algum retângulo Sistema cartesiano coordenadas Oxyz tem a forma onde a ^ b ^ c > 0. Para descobrir a aparência do elipsóide, procedemos da seguinte forma. Vamos pegar uma elipse no plano Oxz e girá-la em torno do eixo Oz (Fig. 46). Fig.46 A superfície resultante é um elipsóide. Hiperbolóides. Parabolóides. Cilindros e cone de segunda ordem. - elipsóide de rotação - já dá uma ideia de como o elipsóide está estruturado visão geral . Para obter sua equação, basta comprimir o elipsóide de revolução igualmente ao longo do eixo Oy com o coeficiente J ^!, t.c. substitua y em sua equação por Jt/5). 10.2. Hiperbolóides Girando a hipérbole fl i! = a2 c2 1 em torno do eixo Oz (Fig. 47), obtemos uma superfície chamada hiperbolóide de revolução de uma folha. Sua equação é *2 + y; é obtido da mesma forma que no caso de um elipsóide de revolução. 5) Um elipsóide de rotação pode ser obtido por compressão uniforme da esfera +yJ + *J = l" ao longo do eixo Oz com um coeficiente ~ ^ 1. Por compressão uniforme desta superfície ao longo do eixo Oy com um coeficiente 2 ^ 1 , obtemos um hiperbolóide de folha única de forma geral. Sua equação é Hiperbolóides Os cilindros parabolóides e um cone de segunda ordem são obtidos da mesma maneira que no caso do elipsóide discutido acima. Eixo O, obtemos um hiperbolóide de revolução de duas folhas (Fig. 48). Ao comprimir uniformemente esta superfície ao longo do eixo Oy com um coeficiente de 2 ^ 1, chegamos a um hiperbolóide de duas folhas de forma geral. com -y obtemos sua equação. Girando a parábola em torno do eixo Oz (Fig. 49), obtemos um parabolóide de revolução da forma x2 + y2 = 2 pz de rotação ao longo do eixo Oy com o coeficiente yj* ^ 1, obtemos um parabolóide elíptico Sua equação é obtida a partir da equação do parabolóide de rotação substituindo If, então obtemos um parabolóide da forma mostrada na Fig. 50. 10.4. Parabolóide hiperbólico Um parabolóide hiperbólico é uma superfície cuja equação em um certo sistema de coordenadas cartesianas retangulares Oxyz tem a forma onde p > 0, q > 0. Determinamos o tipo desta superfície usando o chamado método de seção, que consiste no seguinte : paralelos aos planos coordenados, traçam-se planos que cruzam a superfície em estudo e, alterando a configuração das curvas planas resultantes, chega-se a uma conclusão sobre a estrutura da própria superfície. Vamos começar com seções por planos z = h = const, paralelos ao plano coordenado Oxy. Para h > 0, obtemos hipérboles para h - hipérboles conjugadas, e para - um par de linhas retas que se cruzam. Observe que essas linhas retas são assíntotas para todas as hipérboles (ou seja, para qualquer h Ф 0). Vamos projetar as curvas resultantes no plano Oxy. Obtemos a seguinte imagem (Fig. 51). Esta consideração por si só permite-nos tirar uma conclusão sobre a estrutura em forma de sela da superfície em consideração (Fig. 52). Fig.51 Fig.52 Consideremos agora seções por planos Substituindo as superfícies y por A na equação, obtemos as equações das parábolas (Fig. 53). Um quadro semelhante surge ao cortar uma determinada superfície com planos. Neste caso, também são obtidas parábolas cujos ramos são direcionados para baixo (e não para cima, como no corte com planos y = h) (Fig. 54). declive o eixo X real é 3; c) parábola У2 = , vértice (3, 2), vetor do eixo direcionado para a concavidade da parábola é igual a (-2, -1); d) hipérbole com centro, assíntotas paralelas aos eixos coordenados; e) um par de linhas que se cruzam f) um par de linhas paralelas