Integrais duplas e suas propriedades. Propriedades de integrais duplos. Definindo os limites da integração
Tangente e normal à superfície
Definição. Normalà superfície no ponto N 0 é uma linha reta que passa pelo ponto N 0 perpendicular ao plano tangente a esta superfície.
Em qualquer ponto a superfície tem apenas um plano tangente ou não o tem.
Se a superfície é dada pela equação z = f(x, y), onde f(x, y) é uma função diferenciável no ponto M 0 (x 0, y 0), o plano tangente no ponto N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) existe e tem a equação:
A equação da normal à superfície neste ponto é:
Sentido geométrico diferencial completo função de duas variáveis f(x, y) no ponto (x 0, y 0) é o incremento da aplicação (coordenadas z) do plano tangente à superfície ao se mover do ponto (x 0, y 0) para o ponto (x 0 + Dx, y 0 +Dу).
Como pode ser visto, o significado geométrico do diferencial total de uma função de duas variáveis é um análogo espacial significado geométrico diferencial de uma função de uma variável.
Exemplo. Encontre as equações do plano tangente e normal à superfície
no ponto M(1, 1, 1).
Equação do plano tangente:
Equação normal:
Cálculo integral dupla em coordenadas polares.
Deixe a área D ser limitada por uma linha r = r() e raios = E = , onde e R– coordenadas polares de um ponto no plano associado às suas coordenadas cartesianas x E sim
Relacionamentos (Fig. 5). Nesse caso
Comentário. Se a área D em Coordenadas cartesianasé dado por uma equação contendo um binômio, por exemplo, etc., então é mais conveniente calcular a integral dupla sobre tal região em coordenadas polares.
Integral dupla. Definições e propriedades básicas.
Integrais duplas.
Vamos considerar alguma curva fechada no plano cuja equação é
O conjunto de todos os pontos situados dentro da curva e na própria curva será chamado de região fechada D. Se você selecionar pontos na região sem levar em conta os pontos situados na curva, a região será chamada de região aberta D.
Do ponto de vista geométrico, D é a área da figura delimitada pelo contorno.
Vamos dividir a região D em n regiões parciais por uma grade de linhas espaçadas umas das outras ao longo do eixo x por uma distância Dx i, e ao longo do eixo y por uma distância Dу i. De modo geral, esta ordem de particionamento é obrigatória, sendo possível particionar a área em áreas parciais de formato e tamanho arbitrários;
Descobrimos que a área S é dividida em retângulos elementares, cujas áreas são iguais a S i = Dx i × Dy i.
Em cada região parcial, pegue um ponto arbitrário P(x i, y i) e componha a soma integral
onde f é uma função contínua e inequívoca para todos os pontos da região D.
Se aumentarmos infinitamente o número de regiões parciais D i , então, obviamente, a área de cada região parcial S i tende a zero.
Definição: Se, à medida que a etapa de partição do domínio D se aproxima de zero, as somas integrais têm um limite finito, então esse limite é chamado integral dupla da função f(x, y) no domínio D.
Levando em consideração o fato de que S i = Dx i × Dy i obtemos:
Na notação acima existem dois sinais S, porque a soma é realizada sobre duas variáveis x e y.
Porque A divisão da região de integração é arbitrária, e a escolha dos pontos Р i também é arbitrária, então, considerando todas as áreas Si iguais, obtemos a fórmula:
Condições para a existência de uma integral dupla.
Vamos formular condições suficientes existência de uma integral dupla.
Teorema. Se a função f(x, y) for contínua em um domínio fechado D, então a integral dupla existe
Teorema. Se a função f(x, y) for limitada em um domínio fechado D e for contínua nele em todos os lugares, exceto por um número finito de linhas suaves por partes, então a integral dupla existe.
Propriedades da integral dupla.
3) Se D = D 1 + D 2, então
4) Teorema do valor médio. A integral dupla da função f(x, y) é igual ao produto do valor desta função em algum ponto do domínio de integração e a área do domínio de integração.
5) Se f(x, y) ³ 0 no domínio D, então .
6) Se f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), então .
#43 Definição Suponhamos que a curva C dado função vetorial onde está a variável é− comprimento do arco da curva. Então a derivada da função vetorial
É um vetor unitário direcionado ao longo da tangente a esta curva (Figura 1).
Na fórmula acima α, β
E γ
− ângulos entre as direções tangente e positiva dos eixos O x, Ó sim e Ó z, respectivamente.
Vamos introduzir uma função vetorial definida na curva C, de modo que para uma função escalar
Havia uma integral curvilínea. Tal integral é chamada de integral curvilínea do segundo tipo de função vetorial ao longo de uma curva. C e é denotado como
Assim, por definição,
onde está o vetor unitário da tangente à curva C.
A última fórmula também pode ser reescrita na forma vetorial:
Onde.
Se a curva C está no plano O xy, então assumindo R = 0, obtemos
Propriedades de uma integral curvilínea de segundo tipo
Uma integral curvilínea de segundo tipo tem as seguintes propriedades: Seja C denota uma curva começando em um ponto UM e ponto final B. Vamos denotar por −C curva na direção oposta - de B Para UM. Então
Se C− combinação de curvas C 1 e C 2 (Figura 2 acima), então se a curva Cé dado parametricamente na forma, então se a curva C está no plano O xy e a equação Tm é dada (presume-se que R = 0 e t = x), então a última fórmula é escrita na forma
Nº 49A superfície F é dada explicitamente z = z(x,y), (x,y)О D (compacto),
onde z(x,y) tem derivadas parciais contínuas de primeira ordem em D, a função f(x,y,z) é definida e contínua em F. Então existe uma integral igual a
Prova. Para as áreas que obtemos
Então as somas integrais serão iguais
A primeira das somas é integral para, a segunda pode ser arbitrariamente pequena escolhendo uma partição suficientemente pequena. Este último decorre da continuidade uniforme da função f(x,y,z(x,y)) em D.
Nº 40 (continuação) Condição suficiente para existência integral curvilínea O primeiro tipo será formulado posteriormente, quando mostrarmos como calculá-lo.
A definição de uma integral curvilínea de primeiro tipo tem a mesma estrutura que a definição de uma integral definida. Portanto, uma integral curvilínea de primeiro tipo tem as mesmas propriedades que uma integral definida. Apresentamos essas propriedades sem provas.
PROPRIEDADES DO INTEGRAL CURVILINEAR DE 1º TIPO
1. , onde é o comprimento da curva.
2. O fator constante pode ser retirado do sinal da integral curvilínea de primeiro tipo, ou seja,
3. A integral curvilínea de primeiro tipo da soma algébrica de duas funções (número finito) é igual à soma algébrica das integrais curvilíneas de primeiro tipo dessas funções, ou seja,
4. Se a curva estiver dividida em duas partes e não tiver pontos internos comuns, então
(propriedade de aditividade de uma integral curvilínea de primeiro tipo).
5. Se a função () estiver em toda parte da curva, então
6. Se estiver em qualquer lugar da curva (),
7. (uma consequência das propriedades 6 e 1) Se e são os menores e respectivamente valor mais alto funções na curva, então
onde está o comprimento da curva.
8. (teorema do valor médio para uma integral curvilínea de primeiro tipo) Se a função é contínua na curva, então existe um ponto tal que a igualdade
onde está o comprimento da curva.
Nº 42 Comprimento da curva.
Se a função integrando f(x, y, z) ≡ 1, então a partir da definição de uma integral curvilínea de 1º tipo descobrimos que neste caso é igual ao comprimento da curva ao longo da qual a integração é realizada:
Massa curva.
Supondo que a função integrando γ (x, y, z) determine a densidade de cada ponto da curva, encontramos a massa da curva usando a fórmula
3. Encontraremos os momentos da curva l, raciocinando da mesma forma que no caso de uma região plana: -
momentos estáticos curva plana l em relação aos eixos Ox e Oy;
momento de inércia da curva espacial em relação à origem;
· momentos de inércia da curva em relação aos eixos coordenados.
4. As coordenadas do centro de massa da curva são calculadas usando as fórmulas
Nº 38(2) Mudança de variáveis em integrais triplas
Ao calcular uma integral tripla, como uma integral dupla, muitas vezes é conveniente fazer uma mudança de variáveis. Isso permite simplificar a forma do domínio de integração ou integrando.
Seja a integral tripla original dada nas coordenadas cartesianas x, y, z no domínio U:
É necessário calcular esta integral em novas coordenadas u, v, w. A relação entre as coordenadas antigas e as novas é descrita pelas relações:
Supõe-se que as seguintes condições sejam atendidas:
1. As funções φ, ψ, χ são contínuas juntamente com suas derivadas parciais;
2. Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da região de integração U no espaço xyz e os pontos da região U" no espaço uvw;
3. Jacobiano da transformação I (u,v,w), igual a
é diferente de zero e mantém um sinal constante em todo o domínio de integração U.
Então a fórmula para alterar variáveis em uma integral tripla é escrita como:
Na expressão acima significa valor absoluto Jacobiano
Nº 38 Integrais triplas em coordenadas esféricas
As coordenadas esféricas do ponto M(x,y,z) são três números − ρ, φ, θ, onde
ρ é o comprimento do vetor raio do ponto M;
φ é o ângulo formado pela projeção do vetor raio no plano Oxy e no eixo Ox;
θ é o ângulo de desvio do vetor raio da direção positiva do eixo Oz (Figura 1).
Observe que as definições de ρ, φ em coordenadas esféricas e cilíndricas são diferentes umas das outras.
As coordenadas esféricas de um ponto estão relacionadas às suas coordenadas cartesianas pelas relações
O Jacobiano da transição das coordenadas cartesianas para as esféricas tem a forma:
Expandindo o determinante na segunda coluna, obtemos
Assim, o valor absoluto do Jacobiano é igual a
Portanto, a fórmula para alterar variáveis ao converter coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas tem a forma:
É mais conveniente calcular a integral tripla em coordenadas esféricas quando o domínio de integração U é uma bola (ou alguma parte dela) e/ou quando o integrando tem a forma f (x2 + y2 + z2).
Superfície
Vamos selecionar um ponto M0 em uma superfície lisa (fechada ou delimitada por um contorno suave) e desenhar nele uma normal à superfície, escolhendo uma determinada direção para ela (uma das duas possíveis). Vamos traçar um contorno fechado ao longo da superfície, começando e terminando no ponto M0. Vamos considerar um ponto M que contorna esse contorno, e em cada uma de suas posições traçamos a normal da direção pela qual passa continuamente a normal do ponto anterior. Se, após percorrer o contorno, a normal retornar no ponto M0 à sua posição original para qualquer escolha do ponto M0 na superfície, a superfície é chamada de dupla face. Se a direção da normal, depois de percorrer pelo menos um ponto, muda para o oposto, a superfície é chamada unilateral (um exemplo de superfície unilateral é uma faixa de Mobius. Do exposto segue-se que a escolha de). a direção da normal em um ponto determina inequivocamente a direção da normal em todos os pontos da superfície.
Definição
O conjunto de todos os pontos da superfície com a mesma direção normal é chamado de lado da superfície.
Orientação de superfície.
Considere uma superfície S aberta e lisa de dois lados, limitada por um contorno L, e escolha um lado dessa superfície.
Definição
Chamaremos de positiva a direção de travessia do contorno L, em que o movimento ao longo do contorno ocorre no sentido anti-horário em relação ao observador localizado no ponto final da normal a algum ponto da superfície S correspondente ao lado selecionado da superfície. Direção reversa chamamos o circuito de bypass negativo.
Fluxo de campo vetorial.
Considere um campo vetorial A(M) definido em um domínio espacial G, uma superfície lisa orientada S G e um campo de normais unitárias n(M) em um lado selecionado da superfície S.
Definição 13.3. Integral de superfície de 1º tipo, (13.1)
onde An é o produto escalar dos vetores correspondentes e An é a projeção do vetor A na direção normal, chamada de fluxo do campo vetorial A(M) através do lado selecionado da superfície S.
Nota 1.
Se você escolher o outro lado da superfície, então o normal e, conseqüentemente, o fluxo mudarão de sinal.
Nota 2.
Se o vetor A especifica a velocidade do fluxo de fluido em um determinado ponto, então a integral (13.1) determina a quantidade de fluido que flui por unidade de tempo através da superfície S na direção positiva (daí o termo geral “fluxo”).
Nº 53 Integral de superfície de segundo tipo. Definição e santos.
Definição
Consideremos uma superfície bilateral, lisa ou lisa por partes, e fixemos qualquer um dos seus dois lados, o que equivale a escolher uma determinada orientação na superfície.
Para fins de definição, vamos primeiro supor que a superfície é dada por uma equação explícita e o ponto varia em uma região do plano delimitada por um contorno suave por partes.
Deixe agora alguma função ser definida nos pontos desta superfície. Tendo dividido a superfície com uma rede de curvas suaves por partes em partes e escolhendo um ponto em cada parte, calculamos o valor da função em um determinado ponto e multiplicamos pela área da projeção no plano de o elemento, equipado com um determinado sinal. Vamos fazer uma soma integral:
O limite final desta soma integral, à medida que os diâmetros de todas as partes tendem a zero, é chamado de integral de superfície do segundo tipo de
espalhado para o lado selecionado da superfície e é designado pelo símbolo
(aqui) nos lembra a área de projeção de um elemento de superfície em um plano
Se em vez de um plano projetarmos elementos de superfície em um plano ou , obteremos duas outras integrais de superfície do segundo tipo:
Nas aplicações, as conexões de integrais de todos esses tipos são encontradas com mais frequência:
onde estão funções de, definidas em pontos da superfície.
Relação entre integrais de superfície de segundo e primeiro tipo
Onde está o vetor normal unitário da superfície - ort.
Propriedades
1. Linearidade: ;
2. Aditividade: ;
3. Quando a orientação da superfície muda, a integral da superfície muda de sinal.
Nº 60 Operatornabla (operadora de Hamilton)- operador diferencial vetorial, denotado pelo símbolo (nabla). Para o espaço euclidiano tridimensional em coordenadas cartesianas retangulares, o operador nabla é definido da seguinte forma: onde estão os vetores unitários ao longo dos eixos x, y, z.
Propriedades do operador observável. Este vetor faz sentido quando combinado com a função escalar ou vetorial à qual é aplicado. Se você multiplicar o vetor pelo escalar φ, obterá um vetor que representa o gradiente da função. Se um vetor for multiplicado escalarmente por um vetor, o resultado será um escalar
isto é, a divergência do vetor. Se você multiplicar por vetor, obterá o rotor de um vetor:
Nota: assim como para denotar o produto escalar e vetorial em geral, quando são usados com o operador nabla, junto com os usados acima, notações alternativas equivalentes são frequentemente usadas, por exemplo, em vez de frequentemente eles escrevem , e em vez de eles escrever ; isso também se aplica às fórmulas fornecidas abaixo.
Conseqüentemente, o produto escalar é um operador escalar denominado operador de Laplace. Este último também é designado. Nas coordenadas cartesianas, o operador Laplace é definido da seguinte forma: Como o operador nabla é um operador diferencial, ao transformar expressões é necessário levar em consideração tanto as regras da álgebra vetorial quanto as regras de diferenciação. Por exemplo:
Ou seja, a derivada de uma expressão dependente de dois campos é a soma das expressões em cada uma das quais apenas um campo é diferenciado. Para a comodidade de indicar em quais campos nabla atua, é geralmente aceito que no produto de campos e operadores, cada operador atua na expressão à direita dele, e não atua em tudo à esquerda. Se for necessário que o operador atue em um campo à esquerda, este campo é marcado de alguma forma, por exemplo, colocando uma seta acima da letra: Esta forma de notação é geralmente usada em transformações intermediárias. Por causa do inconveniente, eles estão tentando se livrar das flechas na resposta final.
№61 Operações diferenciais vetoriais de segunda ordem As cinco operações a seguir são chamadas:
1. onde está o operador Laplace.
- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -
2
- - - - - - - - - - - - -
3 .
- - - - - - - - - - - - - - - - -
4. Aqui está a grandeza vetorial obtida aplicando o operador Laplace a cada projeção do vetor.
- - - - - - - - - - - - - - -
Propriedades básicas da integral dupla
As propriedades de uma integral dupla (e sua derivação) são semelhantes às propriedades correspondentes de uma integral única definida.
1°. Aditividade. Se a função f(x, sim) é integrável no domínio D e se a área D usando uma curva G a área zero é dividida em duas regiões conectadas que não possuem pontos interiores comuns D 1 e D 2, então a função f(x, sim) é integrável em cada um dos domínios D 1 e D 2, e
2°. Propriedade linear . Se as funções f(x, sim) E g(x, sim) são integráveis em domínios D, Um α E β - qualquer números reais, então a função [ α · f(x, sim) + β · g(x, sim)] também é integrável no domínio D, e
3°. Se as funções f(x, sim) E g(x, sim) são integráveis em domínios D, então o produto dessas funções é integrável em D.
4°. Se as funções f(x, sim) E g(x, sim) ambos são integráveis no domínio D e em todos os lugares nesta área f(x, sim) ≤ g(x, sim), Que
5°. Se a função f(x, sim) é integrável no domínio D, então a função | f(x, sim)| integrável em áreas D, e
(Claro, da integrabilidade | f(x, sim)| V D integrabilidade não segue f(x, sim)V D.)
6°. Teorema do valor médio. Se ambas as funções f(x, sim) E g(x, sim) são integráveis em domínios D, função g(x, sim) é não negativo (não positivo) em todos os lugares desta região, M E eu- limites superiores e inferiores exatos da função f(x, sim) na área D, então há um número μ , satisfazendo a desigualdade eu ≤ μ ≤ M e tal que a fórmula é válida
INTEGRAIS DUPLOS
AULA 1
Integrais duplas.Definição de integral dupla e suas propriedades. Integrais iteradas. Reduzindo integrais duplas a integrais iteradas. Definindo os limites da integração. Cálculo de integrais duplas no sistema de coordenadas cartesianas.
A integral dupla é uma generalização do conceito de integral definida para o caso de uma função de duas variáveis. Nesse caso, ao invés do segmento de integração, haverá uma espécie de figura plana.
Deixar Dé alguma área fechada e limitada, e f(x,y) é uma função arbitrária definida e limitada nesta área. Assumiremos que os limites da região D consistem em um número finito de curvas definidas por equações da forma sim=f(x) ou x=g( sim), Onde f(x) E g(sim) são funções contínuas.
Vamos dividir a área D aleatoriamente em n peças. Quadrado eu a -ésima seção será denotada pelo símbolo D e eu. Em cada seção, selecionamos aleatoriamente um ponto Pi, e deixe-o ter coordenadas em algum sistema cartesiano fixo ( x eu, y eu). Vamos compor soma integral para função f(x,y) por região D, para fazer isso, encontre os valores da função em todos os pontos P eu, multiplique-os pela área das seções correspondentes Ds eu e resumir todos os resultados obtidos:
Vamos ligar diâmetro diâmetro(G) áreas G a maior distância entre os pontos limites desta área.
Integral dupla funções f(x,y) sobre o domínio D é o limite para o qual tende a sequência de somas integrais (1.1) com um aumento ilimitado no número de partições n (ao mesmo tempo). Isto está escrito da seguinte forma
Observe que, de modo geral, a soma integral para dada função e um determinado domínio de integração depende do método de particionamento do domínio D e selecionando pontos P eu. Porém, se existir uma integral dupla, isso significa que o limite das somas integrais correspondentes não depende mais dos fatores indicados. Para que a integral dupla exista(ou, como dizem, então essa função f(x,y) ser integrável no domínio D), é suficiente que a função integrando seja contínuo em um determinado domínio de integração.
Deixe a função f(x,y) é integrável no domínio D. Como o limite das somas integrais correspondentes para tais funções não depende do método de particionamento do domínio de integração, a partição pode ser feita por meio de linhas verticais e horizontais. Então a maioria das áreas da região D terá formato retangular, cuja área é igual a D e eu=D x eu D sim, eu. Portanto, o diferencial de área pode ser escrito como ds=dxdy. Por isso, no sistema de coordenadas cartesianas integrais duplas pode ser escrito na forma
Comentário. Se o integrando f(x,y)º1, então a integral dupla será igual à área da região de integração:
Observe que as integrais duplas têm as mesmas propriedades que as integrais definidas. Vamos observar alguns deles.
Propriedades de integrais duplos.
1 0 .Propriedade linear. A integral da soma das funções é igual à soma das integrais:
e o fator constante pode ser retirado do sinal integral:
2 0 .Propriedade aditiva. Se o domínio de integração D for dividido em duas partes, então a integral dupla será igual à soma das integrais de cada uma dessas partes.:
3 0 .Teorema do valor médio. Se a função f( x,y)é contínuo na região D, então nesta região existe tal ponto(x,h) , O que:
A próxima questão é: como são calculadas as integrais duplas? Pode ser calculado aproximadamente, para isso foi desenvolvido métodos eficazes compilar as somas integrais correspondentes, que são então calculadas numericamente usando um computador. Ao calcular analiticamente integrais duplas, elas são reduzidas a duas integrais definidas.
1.1 Definição de integral dupla
1.2 Propriedades da integral dupla
As propriedades de uma integral dupla (e sua derivação) são semelhantes às propriedades correspondentes de uma integral única definida.
1°. Aditividade. Se a função f(x, y) for integrável em uma região D e se a região D for dividida por uma curva Г de área zero em duas regiões conectadas D1 e D2 que não possuem pontos internos comuns, então a função f(x , y) é integrável em cada uma das áreas D 1 e D 2, e
2°. Propriedade linear. Se as funções f(x, y) e g(x, y) são integráveis no domínio D, hein? E? - quaisquer números reais, então a função [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] também é integrável no domínio D, e
3°. Se as funções f(x, y) e g(x, y) são integráveis no domínio D, então o produto dessas funções também é integrável em D.
4°. Se as funções f(x, y) e g(x, y) são ambas integráveis no domínio D e em todos os lugares deste domínio f(x, y) ? g(x, y), então
5°. Se a função f(x, y) for integrável no domínio D, então a função |f(x, y)| é integrável no domínio D, e
(É claro que a integrabilidade de |f(x, y)| em D não implica a integrabilidade de f(x, y) em D.)
6°. Teorema do valor médio. Se ambas as funções f(x, y) e g(x, y) são integráveis em um domínio D, a função g(x, y) é não negativa (não positiva) em todos os lugares neste domínio, M e m são os supremo e ínfimo da função f( x, y) no domínio D, então existe um número que satisfaz a desigualdade m ? ? ? M e tal que a fórmula é válida
Em particular, se a função f(x, y) é contínua em D e o domínio D está conectado, então neste domínio existe um ponto (?, ?) tal que? = f(?, ?), e a fórmula assume a forma
7°. Importante propriedade geométrica. igual à área da região D
Seja um corpo T dado no espaço (Fig. 2.1), limitado de baixo pela região D, de cima - pelo gráfico de uma função contínua e não negativa) z=f (x, y), que é definido em a região D, dos lados - superfície cilíndrica, cuja direção é o limite da região D, e as geratrizes são paralelas ao eixo Oz. Um corpo deste tipo é denominado corpo cilíndrico.
1.3 Interpretação geométrica da integral dupla
1.4 O conceito de integral dupla para um retângulo
Deixe uma função arbitrária f(x, y) ser definida em qualquer lugar do retângulo R = ?
(ver Fig. 1).< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.
Vamos dividir o segmento a? x? b em n segmentos parciais usando pontos a = x 0
Esta partição utilizando retas paralelas aos eixos Ox e Oy corresponde à partição do retângulo R em n · p retângulos parciais R kl = ?
(k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Denotamos a partição indicada do retângulo R pelo símbolo T. Mais adiante nesta seção, o termo “retângulo” será entendido como um retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados.
Em cada retângulo parcial R kl escolhemos um ponto arbitrário (? k, ? l). Colocando?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, denotamos por?R kl a área do retângulo R kl. Obviamente, ?R kl = ?x k ?y l .
é chamada de soma integral da função f(x, y) correspondente a uma dada partição T do retângulo R e uma dada escolha de pontos intermediários (? k, ? l) nos retângulos parciais da partição T. Chamaremos de diagonal o diâmetro do retângulo R kl. Um símbolo? vamos denotar o maior dos diâmetros de todos os retângulos parciais por R kl . O número I é chamado de limite das somas integrais (1) em? > 0 se for para qualquer número positivo? você pode especificar isso< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство
número positivo< ?.
?, e quanto?
| ? - eu |
Uma função f(x, y) é chamada Riemann integrável em um retângulo R se existe um limite finito I das somas integrais desta função em? > 0.
O limite especificado I é chamado de integral dupla da função f(x, y) sobre o retângulo R e é denotado por um dos seguintes símbolos:
Comentário. Da mesma forma que para uma única integral definida, estabelece-se que qualquer função f(x, y) integrável em um retângulo R é limitada neste retângulo. Isto dá motivos para considerar no que se segue apenas funções limitadas f(x, y).
1. INTEGRAIS DUPLOS
1.1. Definição de integral dupla
A integral dupla é uma generalização do conceito de integral definida para o caso de uma função de duas variáveis. Nesse caso, ao invés do segmento de integração, haverá uma espécie de figura plana.
Deixar Dé alguma área fechada e limitada, e f(x, sim) é uma função arbitrária definida e limitada nesta área. Assumiremos que os limites da região D consistem em um número finito de curvas dadas por equações da forma sim=f(x) ou x=g( sim), Onde f(x) E g(sim) são funções contínuas.
R
Arroz. 1.1
área azobiem D aleatoriamente em n peças. Quadrado eu a décima seção será denotada pelo símbolo é eu. Em cada seção, selecionamos aleatoriamente um ponto P eu , e deixe-o ter coordenadas em algum sistema cartesiano fixo ( x eu , sim eu). Vamos compor soma integral para função f(x, sim) por região D, para fazer isso, encontre os valores da função em todos os pontos P eu, multiplique-os pela área das seções correspondentes s eu e resumir todos os resultados obtidos:
.
(1.1)
Vamos ligar diâmetro diâmetro(G) áreas G a maior distância entre os pontos limites desta área.
Integral dupla
funções
f(x,
sim)
por região
D
é o limite para o qual tende a sequência de integrais
valores
(1.1) com um aumento ilimitado no número de partições
n
(ao mesmo tempo
). Isto está escrito da seguinte forma
.
(1.2)
Observe que, de modo geral, a soma integral para uma determinada função e um determinado domínio de integração depende do método de particionamento do domínio D e selecionando pontos P eu. Porém, se existir uma integral dupla, isso significa que o limite das somas integrais correspondentes não depende mais dos fatores indicados. Para que a integral dupla exista(ou, como dizem, para função f(x, sim) era integrado ao campoD), é suficiente que a função integrando sejacontínuo em um determinado domínio de integração.
P
Arroz. 1.2
.
(1.3)
Comentário . Se o integrando f(x, sim)1, então a integral dupla será igual à área da região de integração:
.
(1.4)
Observe que as integrais duplas têm as mesmas propriedades que as integrais definidas. Vamos observar alguns deles.
Propriedades das integrais duplas.
1 0 . Propriedade linear. A integral da soma das funções é igual à soma das integrais:
e o fator constante pode ser retirado do sinal integral:
.
2 0 . Propriedade aditiva. Se o domínio de integraçãoDdividido em duas partes, então a integral dupla será igual à soma das integrais sobre cada uma dessas partes:
.
3 0 . Teorema do valor médio. Se a função f( x, sim)contínua na regiãoD, então nesta região existe tal ponto() , O que:
.
A próxima questão é: como são calculadas as integrais duplas? Pode ser calculado aproximadamente; para este fim, foram desenvolvidos métodos eficazes para compilar as somas integrais correspondentes, que são então calculadas numericamente por meio de um computador. Ao calcular analiticamente integrais duplas, elas são reduzidas a duas integrais definidas.
1.2. Integrais iteradas
Integrais iteradas são integrais da forma
.
(1.5)
Nesta expressão, a integral interna é calculada primeiro, ou seja, Primeiro, a integração sobre a variável é realizada sim(neste caso a variável xé considerado um valor constante). Como resultado da integração ao longo sim você obtém alguma função de acordo com x:
.
Então a função resultante é integrada sobre x:
.
Exemplo 1.1. Calcular integrais:
UM) 
, b) 
.
Solução . a) Vamos integrar sim, assumindo que a variável x= const. Depois disso, calculamos a integral sobre x:
.
b) Como na integral interna a integração é realizada sobre a variável x, Que sim 3 pode ser considerado na integral externa como um fator constante. Porque sim 2 na integral interna é considerado um valor constante, então esta integral será tabular. Executando integração sequencial em sim E x, obtemos
Existe uma relação entre integrais duplas e iteradas, mas vamos examinar primeiro as áreas simples e complexas. A área é chamada simples em qualquer direção se qualquer linha reta traçada nesta direção cruzar o limite da região em não mais do que dois pontos. No sistema de coordenadas cartesianas, as direções ao longo dos eixos O são geralmente consideradas x e Ó sim. Se a área for simples em ambas as direções, então dizem brevemente - uma área simples, sem destacar a direção. Se uma região não é simples, diz-se que é complexo.
eu
um b
Arroz. 1.4
Qualquer região complexa pode ser representada como uma soma de regiões simples. Conseqüentemente, qualquer integral dupla pode ser representada como uma soma de integrais duplas sobre regiões simples. Portanto, a seguir consideraremos principalmente integrais sobre domínios simples.
Teorema . Se o domínio de integraçãoD– simples na direção do eixoOi(ver Fig. 1.4a), então a integral dupla pode ser escrita na forma repetida como segue:
;
(1.6)
se o domínio de integraçãoD– simples na direção do eixoBoi(ver Fig. 1.4b), então a integral dupla pode ser escrita na forma repetida como segue:
.
(1.7)
E
Arroz. 1.3
1.3. DEFININDO LIMITES DE INTEGRAÇÃO
1.3.1. Região de integração retangular
P
Arroz. 1,5
Exemplo 1.2. Calcular integral dupla
.
Solução . Vamos escrever a integral dupla como uma iterativa:
.
1.3.2. Domínio arbitrário de integração
Para passar de uma integral dupla para uma integral repetida, você deve:
construir o domínio de integração;
definir limites em integrais, lembrando que os limites da integral externa devem ser valores constantes (ou seja, números), independentemente de qual variável a integral externa é calculada a partir da qual a integral externa é calculada.
Exemplo 1.3. Organize os limites de integração nas integrais iteradas correspondentes para a integral dupla
, se a) 
b) 
R
Arroz. 1.6
.
Deixe agora a integração na integral externa ser realizada de acordo com sim, e no interno – de acordo com x. sim Neste caso os valores x mudará de 0 para 2. Porém, então o limite superior de alterações nos valores da variável x= sim consistirá em duas seções x/2 e sim=1. Isto significa que a região de integração precisa ser dividida em duas partes da linha reta x=1. Então, na primeira região, y muda de 0 para 1, e x= sim da linha reta x= sim/2 para linha reta x. Na segunda região, y muda de 1 para 2, e x= sim da linha reta x– de uma linha reta
.
=1. Como resultado obtemos
b
=0 a sim de cima será limitado por duas linhas: um círculo e uma linha reta. No segmento [–1;0] sim; variável no segmento sim=1–x=0 a
.
. Por isso, sim, e no interno – de acordo com x Deixemos agora na integral externa a integração ser realizada de acordo com sim. Nesse caso x mudará de 0 para 1, e a variável 
– do arco de um círculo x=1–sim para uma linha reta
.
Esses exemplos mostram como é importante escolher a ordem correta de integração.
Exemplo 1.4. Alterar ordem de integração
UM) 
; 
.
R
b)
.
O resultado é a seguinte região de integração (ver Fig. 1.8). Com base na figura construída, definimos os limites de integração Arroz. 1,8 sim Vamos construir o domínio de integração. No segmento para x variável x=sim b) 
para uma parábola x=sim; em um segmento - de uma linha reta x=
para uma linha reta
.