Operações sobre matrizes e suas propriedades brevemente. Ações em matrizes. Definição de uma matriz. tipos de matrizes

Uma matriz é uma tabela retangular preenchida com alguns objetos matemáticos. Na maior parte, consideraremos matrizes com elementos de algum corpo, embora muitas propostas permaneçam válidas se os elementos das matrizes forem considerados elementos de um anel associativo (não necessariamente comutativo).

Na maioria das vezes, os elementos da matriz são denotados por uma letra e dois índices que indicam o “endereço” do elemento - o primeiro índice fornece o número da linha que contém o elemento, o segundo - o número da coluna. Assim, a matriz (de dimensões) é escrita na forma

Matrizes inseridas a partir de números surgem naturalmente quando se consideram sistemas equações lineares

Os dados de entrada para este problema são um conjunto de coeficientes, formando naturalmente uma matriz

e um conjunto de membros livres formando uma matriz com apenas uma coluna. O que procuramos é um conjunto de valores desconhecidos, que, como se constata, também pode ser convenientemente representado como uma matriz composta por uma coluna.

As chamadas matrizes diagonais desempenham um papel importante. Este nome refere-se a matrizes quadradas com todos os elementos iguais a zero, exceto os elementos da diagonal principal, ou seja, elementos em posições

Uma matriz diagonal D com elementos diagonais é denotada

Uma matriz composta por elementos localizados nas interseções de várias linhas selecionadas da matriz A e várias colunas selecionadas é chamada de submatriz da matriz A. Se são os números das linhas selecionadas e são os números das colunas selecionadas, então a submatriz correspondente é

Em particular, as linhas e colunas de uma matriz podem ser consideradas como suas submatrizes.

As matrizes estão relacionadas de forma natural à substituição linear (transformação linear) de variáveis. Este nome refere-se à transição do sistema de variáveis ​​original para outro, novo, relacionado pelas fórmulas

A substituição linear de variáveis ​​​​é especificada usando uma matriz de coeficientes

Entre sistemas de equações lineares valor mais alto têm sistemas em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. Entre as substituições lineares de variáveis, o papel principal é desempenhado pelas substituições em que o número de variáveis ​​originais e novas é o mesmo. Nessas situações, a matriz de coeficientes acaba sendo quadrada, ou seja, possuindo o mesmo número de linhas e colunas; esse número é chamado de ordem da matriz quadrada.

Em vez de dizer “matriz de uma linha” e “matriz de uma coluna”, eles dizem mais brevemente: linha, coluna.

Aula 1. “Matrizes e operações básicas sobre elas. Determinantes

Definição. Matriz tamanho eu n, Onde eu- número de linhas, n- o número de colunas, chamada tabela de números organizada em uma determinada ordem. Esses números são chamados de elementos da matriz. A localização de cada elemento é determinada exclusivamente pelo número da linha e da coluna na intersecção das quais ele está localizado. Os elementos da matriz são designadosum eu, Onde eu- número da linha e j- número da coluna.

UMA =

Operações básicas em matrizes.

Uma matriz pode consistir em uma linha ou em uma coluna. De modo geral, uma matriz pode até consistir em um elemento.

Definição. Se o número de colunas da matriz for igual ao número de linhas (m=n), então a matriz é chamada quadrado.

Definição. Visualização de matriz:

= E ,

chamado matriz identidade.

Definição. Se um homem = um nm , então a matriz é chamada simétrico.

Exemplo.
- matriz simétrica

Definição. Matriz quadrada do formulário
chamado diagonal matriz.

Adição e subtração matrizes é reduzida às operações correspondentes em seus elementos. A propriedade mais importante dessas operações é que elas definido apenas para matrizes do mesmo tamanho. Assim, é possível definir operações de adição e subtração de matrizes:

Definição. Soma (diferença) matrizes é uma matriz cujos elementos são, respectivamente, a soma (diferença) dos elementos das matrizes originais.

cij = aij  b ij

C = A + B = B + A.

Operação multiplicação (divisão) matriz de qualquer tamanho por um número arbitrário se resume a multiplicar (dividir) cada elemento da matriz por esse número.

 (A+B) =  A   B A( ) =  A   A

Exemplo. Dadas matrizes A =
; B =
, encontre 2A + B.

2A =
, 2A + B =
.

Operação de multiplicação de matrizes.

Definição: O trabalho matrizes é uma matriz cujos elementos podem ser calculados usando as seguintes fórmulas:

UM B = C;
.

Da definição acima fica claro que a operação de multiplicação de matrizes é definida apenas para matrizes o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda.

Propriedades da operação de multiplicação de matrizes.

1) Multiplicação de matrizesnão comutativo , ou seja AB  VA mesmo que ambos os produtos estejam definidos. No entanto, se para quaisquer matrizes a relação AB = BA for satisfeita, então tais matrizes são chamadaspermutável.

O mais exemplo típico pode servir uma matriz que comuta com qualquer outra matriz do mesmo tamanho.

Apenas matrizes quadradas da mesma ordem podem ser permutáveis.

A E = E A = A

Obviamente, para qualquer matriz a seguinte propriedade é válida:

UM Ó = Ó; Ó UM = Ó,

onde O – zero matriz.

2) Operação de multiplicação de matrizes associativo, aqueles. se os produtos AB e (AB)C são definidos, então BC e A(BC) são definidos, e a igualdade é válida:

(AB)C=A(BC).

3) Operação de multiplicação de matrizes distributivo em relação à adição, ou seja, se as expressões A(B+C) e (A+B)C fazem sentido, então:

UMA(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC.

4) Se o produto AB for definido, então para qualquer número a seguinte proporção está correta:

(AB) = ( UM) B = UM( B).

5) Se o produto AB for definido, então o produto B T A T é definido e a igualdade é válida:

(AB) T = B T A T, onde

índice T denota transposto matriz.

6) Observe também que para quaisquer matrizes quadradas det (AB) = detA detB.

O que aconteceu det será discutido abaixo.

Definição . Matriz B é chamada transposto matriz A e a transição de A para B transposição, se os elementos de cada linha da matriz A forem escritos na mesma ordem nas colunas da matriz B.

UMA =
; B = A T =
;

em outras palavras, b ji = a ij .

Como consequência da propriedade anterior (5), podemos escrever que:

(ABC ) T = C T B T A T ,

desde que o produto das matrizes ABC seja definido.

Exemplo. Dadas matrizes A =
, B = , C =
e número = 2. Encontre A T B+  C.

UM T =
; UM T B =
 =
=
;

C =
; A T B+  C =
+
=
.

Exemplo. Encontre o produto das matrizes A = e B =
.

AB = 
=
.

VA =
 = 2  1 + 4  4 + 1  3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Exemplo. Encontre o produto das matrizes A=
, B =

AB =

=
=
.

Determinantes(determinantes).

Definição. Determinante matriz quadrada A =
é um número que pode ser calculado a partir dos elementos de uma matriz usando a fórmula:

det A =
, onde (1)

M 1k– determinante da matriz obtida a partir da original eliminando a primeira linha e a k-ésima coluna. Deve-se notar que os determinantes possuem apenas matrizes quadradas, ou seja, matrizes em que o número de linhas é igual ao número de colunas.

F A fórmula (1) permite calcular o determinante de uma matriz a partir da primeira linha; a fórmula para calcular o determinante da primeira coluna também é válida:

det A =
(2)

De modo geral, o determinante pode ser calculado a partir de qualquer linha ou coluna de uma matriz, ou seja, a fórmula está correta:

detA =
, eu = 1,2,…,n. (3)

Obviamente, matrizes diferentes podem ter os mesmos determinantes.

O determinante da matriz identidade é 1.

Para a matriz A especificada, o número M 1k é chamado menor adicional elemento da matriz a 1 k . Assim, podemos concluir que cada elemento da matriz possui seu menor adicional. Menores adicionais existem apenas em matrizes quadradas.

Definição. Menor adicional de um elemento arbitrário de uma matriz quadrada a ij é igual ao determinante da matriz obtida da matriz original excluindo a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Propriedade1. Uma propriedade importante dos determinantes é a seguinte relação:

det A = det A T ;

Propriedade 2. det (A B) = det A det B.

Propriedade 3. det (AB) = deta detB

Propriedade 4. Se você trocar quaisquer duas linhas (ou colunas) em uma matriz quadrada, o determinante da matriz mudará de sinal sem alterar o valor absoluto.

Propriedade 5. Quando você multiplica uma coluna (ou linha) de uma matriz por um número, seu determinante é multiplicado por esse número.

Propriedade 6. Se na matriz A as linhas ou colunas são linearmente dependentes, então seu determinante é igual a zero.

Definição: As colunas (linhas) de uma matriz são chamadas linearmente dependente, se existirem combinação linear, igual a zero, tendo soluções não triviais (diferentes de zero).

Propriedade 7. Se uma matriz contém uma coluna ou linha zero, então seu determinante é zero. (Esta afirmação é óbvia, uma vez que o determinante pode ser calculado precisamente pela linha ou coluna zero.)

Propriedade 8. O determinante de uma matriz não mudará se elementos de outra linha (coluna) forem adicionados (subtraídos) aos elementos de uma de suas linhas (colunas), multiplicados por algum número que não seja igual a zero.

Propriedade 9. Se a seguinte relação for verdadeira para os elementos de qualquer linha ou coluna da matriz:d = d 1  d 2 , e = e 1  e 2 , f = det (AB).

1º método: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

2º método: AB =
, det (AB) = 7  18 - 8  19 = 126 –

– 152 = -26.

Matrizes, conceitos básicos.

Uma matriz é uma tabela retangular A, formada pelos elementos de um determinado conjunto e composta por m linhas en colunas.

Matriz quadrada - onde m=n.

Linha (vetor linha) - a matriz consiste em uma linha.

Coluna (vetor coluna) - a matriz consiste em uma coluna.

Matriz transposta - Uma matriz obtida da matriz A substituindo linhas por colunas.

Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são iguais a zero.

Ações em matrizes.

1) Multiplicação e divisão de uma matriz por um número.

O produto da matriz A pelo número α é denominado Matriz Axα, cujos elementos são obtidos a partir dos elementos da matriz A multiplicando pelo número α.

Exemplo: 7xA, , .

2) Multiplicação de matrizes.

A operação de multiplicação de duas matrizes é introduzida apenas para o caso em que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.

Exemplo: ,, АхВ= .

Propriedades da multiplicação de matrizes:

A*(B*C)=(A*B)*C;

A * (B + C) = AB + AC

(A+B)*C=AC+BC;

uma(AB) = (aA)B,

(A+B) T =A T +B T

(AB) T = B T A T

3) Adição, subtração.

A soma (diferença) de matrizes é uma matriz cujos elementos são, respectivamente, a soma (diferença) dos elementos das matrizes originais.

c ij = a ij  b ij

C = A + B = B + A.

Pergunta 2.

Continuidade de funções num ponto, num intervalo, num segmento. Pontos de interrupção de função e sua classificação.

Uma função f(x), definida na vizinhança de um certo ponto x 0, é chamada contínua no ponto x 0 se o limite da função e seu valor neste ponto forem iguais, ou seja,

A função f(x) é chamada contínua no ponto x 0 se para qualquer número positivo e>0 existe um número D>0 tal que para qualquer x que satisfaça a condição

desigualdade verdadeira .

A função f(x) é chamada contínua no ponto x = x 0 se o incremento da função no ponto x 0 for um valor infinitesimal.

f(x) =f(x 0) +uma(x)

onde a(x) é infinitesimal em x®x 0.

Propriedades de funções contínuas.

1) A soma, diferença e produto de funções contínuas no ponto x 0 é uma função contínua no ponto x 0.

2) O quociente de duas funções contínuas é função contínua desde que g(x) não seja igual a zero no ponto x 0.

3) A superposição de funções contínuas é uma função contínua.

Esta propriedade pode ser escrita da seguinte forma:

Se u=f(x),v=g(x) são funções contínuas no ponto x = x 0, então a função v=g(f(x)) também é uma função contínua neste ponto.

Função f(x) é chamado contínuo no intervalo(um,b), se for contínuo em todos os pontos deste intervalo.

Propriedades de funções contínuas num intervalo.

Uma função contínua em um intervalo é limitada nesse intervalo, ou seja, a condição –M  f(x)  M é satisfeita no segmento.

A prova desta propriedade é baseada no fato de que uma função que é contínua no ponto x 0 é limitada em uma determinada vizinhança dela, e se você dividir o segmento em um número infinito de segmentos que são “contraídos” até o ponto x 0, então uma certa vizinhança do ponto x 0 é formada.

Uma função contínua no segmento assume o maior e o menor valor dele.

Aqueles. existem valores x 1 e x 2 tais que f(x 1) = m, f(x 2) = M, e

m  f(x)  M

Observemos esses valores maiores e menores que a função pode assumir em um segmento várias vezes (por exemplo, f(x) = sinx).

A diferença entre o maior e o menor valor de uma função em um intervalo é chamada de oscilação da função em um intervalo.

Uma função contínua no intervalo assume todos os valores entre dois valores arbitrários neste intervalo.

Se a função f(x) é contínua no ponto x = x 0, então existe alguma vizinhança do ponto x 0 na qual a função retém seu sinal.

Se uma função f(x) é contínua em um segmento e tem valores de sinais opostos nas extremidades do segmento, então existe um ponto dentro deste segmento onde f(x) = 0.

Dado manual metodológico irá ajudá-lo a aprender como executar operações com matrizes: adição de matrizes (subtração), transposição de matrizes, multiplicação de matrizes, localização matriz inversa. Todo o material é apresentado de forma simples e acessível, são dados exemplos relevantes, para que mesmo uma pessoa despreparada possa aprender a realizar ações com matrizes.

Para automonitoramento e autoteste, você pode baixar gratuitamente uma calculadora matricial >>>. Tentarei minimizar os cálculos teóricos; em alguns lugares são possíveis explicações “nos dedos” e o uso de termos não científicos. Amantes da teoria sólida, por favor não se envolvam em críticas, nossa tarefa é.

aprenda a realizar operações com matrizes Para uma preparação SUPER RÁPIDA sobre o tema (quem está “pegando fogo”) existe um curso intensivo em pdf

Matriz, determinante e teste! Uma matriz é uma tabela retangular de alguns elementos Uma matriz é uma tabela retangular de alguns. Como consideraremos números, ou seja, matrizes numéricas. ELEMENTO

é um termo. É aconselhável lembrar o termo, ele aparecerá com frequência, não é por acaso que usei negrito para destacá-lo. Designação:

matrizes são geralmente denotadas em letras latinas maiúsculas Exemplo:

Considere uma matriz dois por três: Uma matriz é uma tabela retangular de alguns:

Esta matriz consiste em seis

Todos os números (elementos) dentro da matriz existem por si próprios, ou seja, não se trata de qualquer subtração:

É apenas uma tabela (conjunto) de números! Nós também concordaremos não reorganize

números, salvo indicação em contrário nas explicações. Cada número tem sua própria localização e não pode ser embaralhado!

A matriz em questão possui duas linhas:

e três colunas: PADRÃO : ao falar sobre tamanhos de matrizes, então inicialmente

indique o número de linhas e só então o número de colunas. Acabamos de decompor a matriz dois por três. quadrado Se o número de linhas e colunas de uma matriz for o mesmo, então a matriz é chamada , Por exemplo:

– uma matriz três por três. Se uma matriz tiver uma coluna ou uma linha, essas matrizes também serão chamadas.

Na verdade, conhecemos o conceito de matriz desde a escola, consideremos, por exemplo, um ponto com coordenadas “x” e “y”: . Essencialmente, as coordenadas de um ponto são escritas em uma matriz um por dois. A propósito, aqui está um exemplo de por que a ordem dos números é importante: e são dois pontos completamente diferentes no plano.

Agora vamos estudar operações com matrizes:

1) Ato um. Removendo um sinal de menos da matriz (introduzindo um sinal de menos na matriz).

Vamos voltar à nossa matriz . Como você provavelmente notou, há muitos números negativos nesta matriz. Isso é muito inconveniente do ponto de vista do desempenho. várias ações com uma matriz, é inconveniente escrever tantos pontos negativos e o design parece feio.

Vamos mover o menos para fora da matriz alterando o sinal de CADA elemento da matriz:

No zero, como você entende, o sinal não muda; zero também é zero na África.

Exemplo inverso: . Parece feio.

Vamos introduzir um sinal de menos na matriz alterando o sinal de CADA elemento da matriz:

Bem, ficou muito melhor. E, o mais importante, será MAIS FÁCIL realizar qualquer ação com a matriz. Porque existe tal matemática sinal popular: quanto mais desvantagens, mais confusão e erros.

2) Ato dois. Multiplicando uma matriz por um número.

matrizes são geralmente denotadas em letras latinas maiúsculas

É simples, para multiplicar uma matriz por um número, você precisa todo elemento da matriz multiplicado por um determinado número. EM nesse caso- por três.

Outro exemplo útil:

– multiplicando uma matriz por uma fração

Primeiro vamos ver o que fazer NÃO HÁ NECESSIDADE:

NÃO HÁ NECESSIDADE de inserir uma fração na matriz, em primeiro lugar, isso apenas complica outras ações com a matriz e, em segundo lugar, dificulta a verificação da solução pelo professor (especialmente se for necessário). – resposta final da tarefa).

E, além disso, NÃO HÁ NECESSIDADE divida cada elemento da matriz por menos sete:

Do artigo Matemática para manequins ou por onde começar, lembramos que na matemática superior eles tentam evitar frações decimais com vírgulas de todas as maneiras possíveis.

A única coisa é de preferência O que fazer neste exemplo é adicionar um sinal de menos à matriz:

Mas se apenas TODOS elementos da matriz foram divididos por 7 sem deixar vestígios, então seria possível (e necessário!) dividir.

matrizes são geralmente denotadas em letras latinas maiúsculas

Neste caso, você pode PRECISA multiplique todos os elementos da matriz por , pois todos os números da matriz são divisíveis por 2 sem deixar vestígios.

Nota: em teoria matemática superior Não existe um conceito escolar de “divisão”. Em vez de dizer “isto dividido por aquilo”, você sempre pode dizer “isto multiplicado por uma fração”. Ou seja, a divisão é caso especial multiplicação.

3) Ato três. Transposição de matriz.

Para transpor uma matriz, você precisa escrever suas linhas nas colunas da matriz transposta.

matrizes são geralmente denotadas em letras latinas maiúsculas

Transpor matriz

Há apenas uma linha aqui e, de acordo com a regra, ela precisa ser escrita em uma coluna:

– matriz transposta.

Uma matriz transposta é geralmente indicada por um sobrescrito ou primo no canto superior direito.

Exemplo passo a passo:

Transpor matriz

Primeiro reescrevemos a primeira linha na primeira coluna:

Então reescrevemos a segunda linha na segunda coluna:

E finalmente, reescrevemos a terceira linha na terceira coluna:

Preparar. Grosso modo, transpor significa virar a matriz de lado.

4) Ato quatro. Soma (diferença) de matrizes.

A soma das matrizes é uma operação simples.
NEM TODAS AS MATRIZES PODEM SER DOBRADAS. Para realizar adição (subtração) de matrizes é necessário que elas sejam do MESMO TAMANHO.

Por exemplo, se uma matriz dois por dois for dada, ela só poderá ser adicionada com uma matriz dois por dois e nenhuma outra!

matrizes são geralmente denotadas em letras latinas maiúsculas

Adicionar matrizes E

Para adicionar matrizes, você precisa adicionar seus elementos correspondentes:

Para a diferença de matrizes a regra é semelhante, é necessário encontrar a diferença dos elementos correspondentes.

matrizes são geralmente denotadas em letras latinas maiúsculas

Encontre a diferença da matriz ,

Como você pode resolver esse exemplo com mais facilidade, para não se confundir? É aconselhável se livrar de pontos negativos desnecessários; para isso, adicione um sinal de menos à matriz:

Nota: na teoria da matemática do ensino superior não existe o conceito de “subtração”. Em vez de dizer “subtraia isto disto”, você sempre pode dizer “adicione isto a isto”. número negativo" Ou seja, a subtração é um caso especial de adição.

5) Ato cinco. Multiplicação de matrizes.

Quais matrizes podem ser multiplicadas?

Para que uma matriz seja multiplicada por uma matriz, é necessário de modo que o número de colunas da matriz seja igual ao número de linhas da matriz.

matrizes são geralmente denotadas em letras latinas maiúsculas
É possível multiplicar uma matriz por uma matriz?

Isso significa que os dados da matriz podem ser multiplicados.

Mas se as matrizes forem reorganizadas, então, neste caso, a multiplicação não será mais possível!

Portanto, a multiplicação não é possível:

Não é tão raro encontrar tarefas com truques, quando o aluno é solicitado a multiplicar matrizes, cuja multiplicação é obviamente impossível.

Deve-se notar que em alguns casos é possível multiplicar matrizes nos dois sentidos.
Por exemplo, para matrizes, e tanto a multiplicação quanto a multiplicação são possíveis

DEFINIÇÃO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRIZES

Matriz de tamanho m× n chamado de conjunto m·n números dispostos em uma tabela retangular de eu linhas e n colunas. Esta tabela geralmente é colocada entre parênteses. Por exemplo, a matriz pode ser semelhante a:

Para resumir, uma matriz pode ser denotada por uma única letra maiúscula, por exemplo, UM ou EM.

EM visão geral tamanho da matriz eu× n escreva assim

.

Os números que compõem a matriz são chamados elementos da matriz. É conveniente fornecer elementos de matriz com dois índices um ij: O primeiro indica o número da linha e o segundo indica o número da coluna. Por exemplo, um 23– o elemento está na 2ª linha, 3ª coluna.

Se uma matriz tiver o mesmo número de linhas que o número de colunas, então a matriz é chamada quadrado, e o número de suas linhas ou colunas é chamado em ordem matrizes. Nos exemplos acima, a segunda matriz é quadrada - sua ordem é 3, e a quarta matriz é de ordem 1.

Uma matriz em que o número de linhas não é igual ao número de colunas é chamada retangular. Nos exemplos esta é a primeira matriz e a terceira.

Existem também matrizes que possuem apenas uma linha ou uma coluna.

Uma matriz com apenas uma linha é chamada matriz - linha(ou string) e uma matriz com apenas uma coluna matriz - coluna.

Uma matriz cujos elementos são todos zero é chamada nulo e é denotado por (0) ou simplesmente 0. Por exemplo,

.

Diagonal principal de uma matriz quadrada chamamos de diagonal que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito.

Uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero é chamada triangular matriz.

.

Uma matriz quadrada na qual todos os elementos, exceto talvez aqueles na diagonal principal, são iguais a zero, é chamada diagonal matriz. Por exemplo, ou.

Uma matriz diagonal em que todos os elementos diagonais são iguais a um é chamada solteiro matriz e é denotada pela letra E. Por exemplo, a matriz identidade de 3ª ordem tem a forma .

AÇÕES SOBRE MATRIZES

Igualdade matricial. Duas matrizes UM E B são considerados iguais se tiverem o mesmo número de linhas e colunas e seus elementos correspondentes forem iguais um ij = b ij. Então se E , Que A=B, Se a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 E uma 22 = b 22.

Transpor. Considere uma matriz arbitrária UM de eu linhas e n colunas. Pode ser associado à seguinte matriz B de n linhas e eu colunas, em que cada linha é uma coluna da matriz UM com o mesmo número (portanto, cada coluna é uma linha da matriz UM com o mesmo número). Então se , Que .

Esta matriz B chamado transposto matriz UM, e a transição de UM Para Transposição B.

Assim, a transposição é uma inversão dos papéis das linhas e colunas de uma matriz. Matriz transposta para matriz UM, geralmente denotado NO.

Comunicação entre matriz UM e sua transposta pode ser escrita na forma.

Por exemplo. Encontre a matriz transposta da dada.

Adição de matriz. Deixe as matrizes UM E B consistem no mesmo número de linhas e no mesmo número de colunas, ou seja, ter mesmos tamanhos. Então, para adicionar matrizes UM E B necessário para elementos da matriz UM adicionar elementos da matriz B permanecendo nos mesmos lugares. Assim, a soma de duas matrizes UM E B chamada de matriz C, que é determinado pela regra, por exemplo,

Exemplos. Encontre a soma das matrizes:

É fácil verificar que a adição de matrizes obedece às seguintes leis: comutativa A+B=B+A e associativo ( A+B)+C=UM+(B+C).

Multiplicando uma matriz por um número. Para multiplicar uma matriz UM por número k cada elemento da matriz é necessário UM multiplique por este número. Assim, o produto da matriz UM por número k existe uma nova matriz, que é determinada pela regra ou .

Para qualquer número um E b e matrizes UM E B as seguintes igualdades são válidas:

Exemplos.

Multiplicação de matrizes. Esta operação é realizada de acordo com uma lei peculiar. Em primeiro lugar, notamos que os tamanhos das matrizes fatoriais devem ser consistentes. É possível multiplicar apenas aquelas matrizes nas quais o número de colunas da primeira matriz coincide com o número de linhas da segunda matriz (ou seja, o comprimento da primeira linha é igual à altura da segunda coluna). O trabalho matrizes UM não é uma matriz B chamada de nova matriz C=AB, cujos elementos são compostos da seguinte forma:

Assim, por exemplo, para obter o produto (ou seja, na matriz C) elemento localizado na 1ª linha e 3ª coluna a partir de 13, você precisa pegar a 1ª linha na 1ª matriz, a 3ª coluna na 2ª e, em seguida, multiplicar os elementos da linha pelos elementos da coluna correspondentes e adicionar os produtos resultantes. E outros elementos da matriz do produto são obtidos usando um produto semelhante das linhas da primeira matriz e das colunas da segunda matriz.

Em geral, se multiplicarmos uma matriz A = (aij) tamanho eu× n para a matriz B = (bij) tamanho n× p, então obtemos a matriz C tamanho eu× p, cujos elementos são calculados da seguinte forma: elemento c ijé obtido como resultado do produto dos elementos euª linha da matriz UM aos elementos correspondentes j a coluna da matriz B e seus acréscimos.

Segue-se desta regra que sempre é possível multiplicar duas matrizes quadradas da mesma ordem e, como resultado, obtemos uma matriz quadrada da mesma ordem. Em particular, uma matriz quadrada sempre pode ser multiplicada por si mesma, ou seja, esquadre-o.

Outro caso importante é a multiplicação de uma matriz linha por uma matriz coluna, e a largura da primeira deve ser igual à altura da segunda, resultando em uma matriz de primeira ordem (ou seja, um elemento). Realmente,

.

Exemplos.

Assim, estes exemplos simples mostram que as matrizes, em geral, não comutam entre si, ou seja, A∙B ≠ B∙A . Portanto, ao multiplicar matrizes, é necessário monitorar cuidadosamente a ordem dos fatores.

Pode-se verificar que a multiplicação de matrizes obedece a leis associativas e distributivas, ou seja, (AB)C=A(BC) E (A+B)C=AC+BC.

Também é fácil verificar que ao multiplicar uma matriz quadrada UM para a matriz identidade E da mesma ordem, obtemos novamente uma matriz UM, e AE=EA=A.

O seguinte fato interessante pode ser observado. Como você sabe, o produto de 2 números diferentes de zero não é igual a 0. Para matrizes este pode não ser o caso, ou seja, o produto de 2 matrizes diferentes de zero pode ser igual à matriz zero.

Por exemplo, Se , Que

.

O CONCEITO DE DETERMINANTES

Seja dada uma matriz de segunda ordem - uma matriz quadrada que consiste em duas linhas e duas colunas .

Determinante de segunda ordem, correspondente a esta matriz, é o número obtido da seguinte forma: 11 a 22 – 12 a 21.

O determinante é indicado pelo símbolo .

Portanto, para encontrar o determinante de segunda ordem, é necessário subtrair o produto dos elementos da segunda diagonal do produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplos. Calcule determinantes de segunda ordem.

Da mesma forma, podemos considerar uma matriz de terceira ordem e seu determinante correspondente.

Determinante de terceira ordem, correspondente a uma dada matriz quadrada de terceira ordem, é o número denotado e obtido da seguinte forma:

.

Assim, esta fórmula dá a expansão do determinante de terceira ordem em termos dos elementos da primeira linha um 11, um 12, um 13 e reduz o cálculo do determinante de terceira ordem ao cálculo dos determinantes de segunda ordem.

Exemplos. Calcule o determinante de terceira ordem.

Da mesma forma, pode-se introduzir os conceitos de determinantes do quarto, quinto, etc. ordens, diminuindo sua ordem expandindo-se para os elementos da 1ª linha, com alternância dos sinais “+” e “-” dos termos.

Portanto, diferentemente de uma matriz, que é uma tabela de números, um determinante é um número atribuído à matriz de uma determinada maneira.