Funções de propriedade infinitamente grandes. Funções infinitesimais e infinitamente grandes. Funções infinitesimais

Cálculo do infinitesimal e grande

Cálculo infinitesimal- cálculos realizados com valores infinitesimais, nos quais o resultado derivado é considerado uma soma infinita de valores infinitesimais. O cálculo de quantidades infinitesimais é um conceito geral para cálculo diferencial e integral, que forma a base da matemática superior moderna. O conceito de quantidade infinitesimal está intimamente relacionado ao conceito de limite.

Infinitamente pequeno

Subsequência uma n chamado infinitesimal, E se . Por exemplo, uma sequência de números é infinitesimal.

A função é chamada infinitesimal na vizinhança do ponto x 0 se .

A função é chamada infinitesimal no infinito, E se ou .

Também infinitesimal é uma função que é a diferença entre uma função e seu limite, ou seja, se , então f(x) − uma = α( x) , .

Valor infinitamente grande

Em todas as fórmulas abaixo, o infinito à direita da igualdade implica um certo sinal ("mais" ou "menos"). Essa é, por exemplo, a função x pecado x, ilimitado em ambos os lados, não é infinitamente grande em.

Subsequência uma n chamado infinitamente grande, E se .

A função é chamada infinitamente grande na vizinhança do ponto x 0 se .

A função é chamada infinitamente grande no infinito, E se ou .

Propriedades de infinitesimal e infinitamente grande

Comparação de quantidades infinitesimais

Como você compara valores infinitesimais?
A proporção de quantidades infinitesimais forma a chamada incerteza.

Definições

Suponha que temos infinitesimal para o mesmo valor α ( x) e β ( x) (ou, o que não é importante para a definição, sequências infinitesimais).

É conveniente usar a regra de L'Hôpital para calcular esses limites.

Exemplos de comparação

Usando O-símbolos, os resultados obtidos podem ser escritos da seguinte forma x 5 = o(x 3). Neste caso, as seguintes entradas são válidas 2x 2 + 6x = O(x) e x = O(2x 2 + 6x).

Quantidades equivalentes

Definição

Se, então, as quantidades infinitesimais α e β são chamadas equivalente ().
Obviamente, quantidades equivalentes são um caso especial de quantidades infinitesimais da mesma ordem de pequenez.

Pois, as seguintes relações de equivalência são válidas (como consequência dos chamados limites notáveis):

Teorema

O limite do quociente (razão) de duas quantidades infinitesimais não muda se uma delas (ou ambas) for substituída por uma quantidade equivalente.

Este teorema é de importância prática para encontrar os limites (veja o exemplo).

Exemplo de uso

Substituindo seun 2x valor equivalente 2 x, Nós temos

Esboço histórico

O conceito de "infinitamente pequeno" foi discutido nos tempos antigos em conexão com o conceito de átomos indivisíveis, mas não entrou na matemática clássica. Foi revivido novamente com o aparecimento no século 16 do "método dos indivisíveis" - dividindo a figura em estudo em seções infinitamente pequenas.

No século 17, ocorreu a algebraização do cálculo infinitesimal. Eles começaram a ser definidos como valores numéricos que são menores que qualquer valor finito (diferente de zero) e ainda não são iguais a zero. A arte da análise consistia em traçar uma relação contendo infinitesimais (diferenciais) e, em seguida, integrá-la.

Os matemáticos da velha escola expuseram o conceito infinitesimal crítica severa. Michel Roll escreveu que o novo cálculo é “ um conjunto de erros engenhosos"; Voltaire sarcasticamente observou que esse cálculo é a arte de calcular e medir com precisão coisas cuja existência não pode ser provada. Até Huygens admitiu que não entendia o significado dos diferenciais de ordem superior.

Como ironia do destino, pode-se considerar o surgimento, em meados do século, da análise atípica, que provou que o ponto de vista original - o infinitesimal real - também é consistente e poderia ser usado como base para a análise.

Veja também

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é "valor infinitamente pequeno" em outros dicionários:

VALOR INFINITO PEQUENO- um valor variável em um determinado processo, se neste processo se aproxima infinitamente (tende) a zero ... Big Polytechnic Encyclopedia

Quantidade infinitamente pequena- ■ Algo desconhecido, mas relacionado à homeopatia ... Léxico de verdades comuns

Função y = f (x) chamado infinitesimal no x → a ou em x→ ∞ se ou, ou seja, uma função infinitesimal é uma função cujo limite em um determinado ponto é zero.

Exemplos.

1. Função f (x)=(x-1) 2 é infinitesimal para x→ 1, desde (ver fig.).

2. Função f (x)= tg x- infinitamente pequeno em x→0.

3. f (x)= ln (1+ x) É infinitamente pequeno para x→0.

4. f (x) = 1/x- infinitamente pequeno em x→∞.

Vamos estabelecer a seguinte relação importante:

Teorema. Se a função y = f (x) representável em x → a como a soma de um número constante b e valor infinitesimal α (x): f (x) = b + α (x) então .

Por outro lado, se, então f (x) = b + α (x), Onde a (x)- infinitamente pequeno em x → a.

Prova.

1. Vamos provar a primeira parte da afirmação. De igualdade f (x) = b + α (x) deve | f (x) - b | = | α |... Mas desde a (x)É infinitamente pequeno, então para ε arbitrário há δ - uma vizinhança do ponto uma, com tudo x a partir da qual, os valores a (x) satisfazer a relação | α (x) |< ε. Então | f (x) - b |< ε. E isso significa isso.

2. Se, então para qualquer ε >0 para todos NS de algum δ é uma vizinhança do ponto uma vai | f (x) - b |< ε. Mas se denotarmos f (x) - b = α, então | α (x) |< ε, o que significa que uma- infinitamente pequeno.

Considere as propriedades básicas das funções infinitesimais.

Teorema 1. A soma algébrica de dois, três e, em geral, qualquer número finito de infinitesimal é uma função infinitesimal.

Prova... Deixe-nos dar uma prova para dois termos. Deixe ser f (x) = α (x) + β (x) onde e. Precisamos provar que para um ε arbitrariamente pequeno > 0 é encontrado δ> 0 tal que para x satisfazendo a desigualdade | x - a |<δ , realizado | f (x) |< ε.

Então, fixamos um número arbitrário ε > 0. Visto que pela hipótese do teorema α (x)É uma função infinitesimal, então existe δ 1 > 0, que para | x - a |< δ 1 nós temos | α (x) |< ε / 2. Da mesma forma, desde β (x)É infinitamente pequeno, então há δ 2 > 0, que para | x - a |< δ 2 nós temos | β (x) |< ε / 2.

Vamos levar δ = min (δ 1 , δ 2 } . Então, nas proximidades do ponto uma raio δ cada uma das desigualdades | α (x) |< ε / 2 e | β (x) |< ε / 2. Portanto, neste bairro haverá

| f (x) | = | α (x) + β (x)| ≤ | α (x) | + | β (x) |< ε /2 + ε /2= ε,

Essa. | f (x) |< ε, conforme necessário.

Teorema 2. Produto de uma função infinitesimal a (x) para função limitada f (x) no x → a(ou em x → ∞) é uma função infinitesimal.

Prova... Uma vez que a função f (x)é limitado, então há um número M de modo que para todos os valores x de algum bairro do ponto a | f (x) | ≤M. Além disso, desde a (x)É uma função infinitesimal para x → a, então para ε arbitrário > 0 há uma vizinhança do ponto uma, em que a desigualdade | α (x) |< ε / M... Então, no menor desses bairros, temos | αf |< ε / M= ε. E isso significa que af- infinitamente pequeno. Para a ocasião x → ∞ a prova é semelhante.

O teorema provado implica:

Corolário 1. Se e, então.

Corolário 2. Se c = const, então.

Teorema 3. Taxa de função infinitesimal α (x) por função f (x), cujo limite é diferente de zero, é uma função infinitesimal.

Prova... Deixe ser . Então 1 / f (x) existe uma função limitada. Portanto, a fração é o produto de uma função infinitesimal e uma função limitada, ou seja, função é infinitesimal.

Def.: A função é chamada infinitesimal em, se .

Na notação "" vamos assumir que x 0 pode assumir como valor final: x 0= Сonst e infinito: x 0= ∞.

Propriedades das funções infinitesimais:

1) A soma algébrica de um número finito de infinitesimal para funções é infinitesimal para uma função.

2) O produto de um número finito de infinitesimal para funções é infinitesimal para uma função.

3) O produto de uma função limitada por uma função infinitesimal é uma função infinitesimal.

4) O quociente de divisão de um infinitesimal para uma função por uma função cujo limite é diferente de zero é infinitesimal para uma função.

Exemplo: Função y = 2 + xé infinitesimal em, uma vez que ...

Def.: A função é chamada infinitamente grande em, se .

Propriedades de funções infinitamente grandes:

1) A soma de infinitamente grande para funções é infinitamente grande para função.

2) O produto de infinitamente grande para uma função e uma função cujo limite é diferente de zero é infinitamente grande para uma função.

3) A soma é infinitamente grande para uma função e uma função limitada é uma função infinitamente grande.

4) O quociente de divisão infinitamente grande para uma função por uma função com limite finito é infinitamente grande para uma função.

Exemplo: Função y= é infinitamente grande para, uma vez que .

Teorema.A relação entre quantidades infinitesimais e infinitamente grandes... Se a função for infinitamente pequena em, então a função será infinitamente grande em. E vice-versa, se a função é infinitamente grande em, então a função é infinitesimal em.

A proporção de dois infinitesimais geralmente é denotada por um símbolo, dois infinitamente grandes - por um símbolo. Ambas as relações são indefinidas no sentido de que seu limite pode ou não existir, ser igual a um certo número ou ser infinito, dependendo do tipo de funções específicas incluídas nas expressões indefinidas.

Além das incertezas da forma e indefinidas, estão as seguintes expressões:

A diferença é infinitamente grande para um signo;

O produto do infinitamente pequeno pelo infinitamente grande;

A função exponencial, cuja base tende a 1, e o expoente - a;

A função exponencial, cuja base é infinitamente pequena e o expoente é infinitamente grande;

A função exponencial, cuja base e expoente são infinitesimais;

A função exponencial, cuja base é infinitamente grande e o expoente é infinitamente pequeno.

Diz-se que existe uma incerteza do tipo apropriado. O cálculo do limite é chamado nestes casos divulgação da incerteza... Para revelar a incerteza, a expressão sob o sinal de limite é convertida em uma forma que não contém incerteza.

Ao calcular os limites, as propriedades dos limites são usadas, bem como as propriedades de funções infinitesimais e infinitamente grandes.

Vejamos exemplos de cálculo de vários limites.

1) . 2) .

4) Desde a produto de uma função infinitesimal e de uma função limitada é infinitesimal.

5) . 6) .

7) = =

... Nesse caso, havia uma ambigüidade do tipo, que foi resolvida fatorando os polinômios e cancelando-os por um fator comum.

= .

Nesse caso, havia uma ambigüidade do tipo, que foi revelada multiplicando o numerador e o denominador por uma expressão, usando uma fórmula, e reduzindo a fração por (+1).

9)
... Neste exemplo, a ambigüidade de tipo foi divulgada pela divisão termo a termo do numerador e denominador da fração pela maior potência.

Limites maravilhosos

O primeiro limite maravilhoso : .

Prova. Considere o círculo unitário (Fig. 3).

Fig. 3. Círculo de unidade

Deixe ser NS- medida em radianos do ângulo central MOA(), então OA = R= 1, MK= pecado x, NO= tg x... Comparando as áreas dos triângulos OMA, OTA e setores OMA, Nós temos:

,

.

Divida a última desigualdade pelo pecado x, Nós temos:

.

Desde em, então pela propriedade 5) dos limites

Donde é o recíproco de em, que foi exigido provar.

Comente: Se a função for infinitesimal em, ou seja, , então o primeiro limite notável é:

.

Vejamos alguns exemplos de cálculos de limite usando o primeiro limite notável.

Ao calcular este limite, a fórmula trigonométrica foi usada: .

.

Vejamos alguns exemplos de cálculos de limite usando o segundo limite notável.

2) .

3) ... Existe ambiguidade de tipo. Vamos fazer uma substituição, então; no .

A definição de uma sequência infinitamente grande é fornecida. São considerados os conceitos de vizinhança de pontos infinitamente distantes. É fornecida uma definição universal do limite de sequência, que se aplica a limites finitos e infinitos. São considerados exemplos de aplicação da definição de uma sequência infinitamente grande.

Contente

Veja também: Determinando o Limite de uma Sequência

Definição

Subsequência (β n) chamada de sequência infinitamente grande se para algum, número M arbitrariamente grande, existe tal número natural N M dependendo de M tal que para todos os números naturais n> N M a desigualdade
| β n | > M.
Neste caso, escreva
.
Ou em.
Eles dizem que tende ao infinito, ou converge para o infinito.

Se, a partir de algum número N 0 , então
( converge para mais infinito).
Se então
( converge para menos infinito).

Vamos escrever essas definições usando símbolos lógicos de existência e universalidade:
(1) .
(2) .
(3) .

As sequências com limites (2) e (3) são casos especiais de uma sequência infinitamente grande (1). Conclui-se dessas definições que se o limite de uma sequência é mais ou menos infinito, então também é igual ao infinito:
.
O inverso naturalmente não é verdade. Os membros da sequência podem ter caracteres alternados. Nesse caso, o limite pode ser igual ao infinito, mas sem um sinal definido.

Observe também que se alguma propriedade vale para uma sequência arbitrária com um limite igual ao infinito, então a mesma propriedade vale para uma sequência cujo limite é mais ou menos infinito.

Em muitos livros de análise matemática, a definição de uma sequência infinitamente grande indica que o número M é positivo: M > 0 ... No entanto, esse requisito é supérfluo. Se você cancelar, nenhuma contradição surgirá. Valores pequenos ou negativos não nos interessam. Estamos interessados ​​no comportamento da sequência para valores positivos arbitrariamente grandes de M. Portanto, se houver necessidade, então M pode ser limitado a partir de baixo por qualquer número predeterminado a, ou seja, podemos supor que M> a.

Quando determinamos ε - uma vizinhança do ponto final, então o requisito ε > 0 é importante. Com valores negativos, a desigualdade não pode ser satisfeita de forma alguma.

Bairros de pontos infinitamente distantes

Quando consideramos os limites finitos, introduzimos o conceito de vizinhança de um ponto. Lembre-se de que a vizinhança do ponto final é um intervalo aberto que contém esse ponto. Também podemos introduzir o conceito de vizinhança de pontos infinitamente distantes.

Seja M um número arbitrário.
Perto do ponto "infinito",, é chamado de conjunto.
Em torno do ponto "mais infinito",, é chamado de conjunto.
A vizinhança do ponto "menos infinito",, é chamado de conjunto.

A rigor, a vizinhança do ponto "infinito" é o conjunto
(4) ,
onde M 1 e M 2 - números positivos arbitrários. Usaremos a primeira definição porque é mais simples. No entanto, tudo o que é dito abaixo também é verdadeiro quando se usa a definição (4).

Podemos agora dar uma definição unificada de um limite de sequência que se aplica a limites finitos e infinitos.

Definição universal do limite de sequência.
Um ponto a (ponto final ou no infinito) é o limite de uma sequência se para qualquer vizinhança deste ponto existe um número natural N tal que todos os elementos da sequência com números pertencem a esta vizinhança.

Assim, se o limite existe, então apenas um número finito de membros da sequência, ou um conjunto vazio, pode estar fora da vizinhança do ponto a. Essa condição é necessária e suficiente. A prova dessa propriedade é exatamente a mesma que para limites finitos.

Propriedade de vizinhança de uma sequência convergente
Para que o ponto a (finito ou infinitamente distante) seja o limite de uma sequência, é necessário e suficiente que fora de qualquer vizinhança desse ponto haja um número finito de membros da sequência ou um conjunto vazio.
Prova .

Além disso, às vezes o conceito de ε - vizinhanças de pontos infinitamente distantes é introduzido.
Lembre-se de que ε - uma vizinhança do ponto final a é chamada de conjunto.
Introduzir próxima designação... Seja ε uma vizinhança do ponto a. Então, para o ponto final,
.
Para pontos no infinito:
;
;
.
Usando o conceito de ε - vizinhanças, pode-se dar mais uma definição universal do limite de uma sequência:

O ponto a (ponto final ou no infinito) é o limite da sequência se for algum número positivo ε > 0 existe um número natural N ε dependendo de ε tal que para todos os números n> N ε os termos x n pertencem à vizinhança ε do ponto a:
.

Usando os símbolos lógicos de existência e universalidade, esta definição será escrita da seguinte forma:
.

Exemplos de sequências infinitamente grandes

Exemplo 1

.

.
Vamos escrever a definição de uma sequência infinitamente grande:
(1) .
No nosso caso
.

Introduzimos os números e, conectando-os com as desigualdades:
.
Pelas propriedades das desigualdades, se e, então
.
Observe que, pois, essa desigualdade vale para qualquer n. Portanto, você pode escolher desta forma:
no ;
no .

Portanto, para qualquer um, pode-se encontrar um número natural que satisfaça a desigualdade. Então, para todos,
.
Significa que . Ou seja, a sequência é infinitamente grande.

Exemplo 2

Usando a definição de uma sequência infinitamente grande, mostre que
.

(2) .
O termo geral da sequência dada tem a forma:
.

Insira números e:
.
.

Então, para qualquer um pode encontrar um número natural que satisfaça a desigualdade, de modo que, para todos,
.
Significa que .

.

Exemplo 3

Usando a definição de uma sequência infinitamente grande, mostre que
.

Vamos escrever a definição do limite de uma sequência igual a menos infinito:
(3) .
O termo geral da sequência dada tem a forma:
.

Insira números e:
.
Isso mostra que se você, então
.

Uma vez que para qualquer um pode encontrar um número natural que satisfaça a desigualdade, então
.

Para um dado, como N, pode-se tomar qualquer número natural que satisfaça a seguinte desigualdade:
.

Exemplo 4

Usando a definição de uma sequência infinitamente grande, mostre que
.

Vamos escrever o termo geral da sequência:
.
Vamos escrever a definição do limite de sequência igual a mais infinito:
(2) .

Como n é um número natural, n = 1, 2, 3, ... , então
;
;
.

Introduzimos números e M, conectando-os por desigualdades:
.
Isso mostra que se você, então
.

Portanto, para qualquer número M, pode-se encontrar um número natural que satisfaça a desigualdade. Então, para todos,
.
Significa que .

Referências:
L. D. Kudryavtsev. O curso da análise matemática. Volume 1. Moscou, 2003.
CM. Nikolsky. O curso da análise matemática. Volume 1. Moscou, 1983.

Veja também:

Funções infinitesimais

A função %% f (x) %% é chamada infinitesimal(b.m.) para %% x \ para a \ in \ overline (\ mathbb (R)) %%, se o limite da função for igual a zero para esta aspiração do argumento.

O conceito de b.m. uma função está inextricavelmente ligada a uma indicação de uma mudança em seu argumento. Você pode falar sobre bm. funções para %% a \ para a + 0 %% e para %% a \ para a - 0 %%. Normalmente b.m. funções são denotadas pelas primeiras letras do alfabeto grego %% \ alpha, \ beta, \ gamma, \ ldots %%

Exemplos de

1. A função %% f (x) = x %% é b.m. em %% x \ a 0 %%, já que seu limite no ponto %% a = 0 %% é zero. De acordo com o teorema da conexão de um limite bilateral com o unilateral, essa função é infinitesimal. para %% x \ to + 0 %% e para %% x \ to -0 %%.
2. Função %% f (x) = 1 / (x ^ 2) %% - b.m. para %% x \ to \ infty %% (bem como para %% x \ to + \ infty %% e para %% x \ to - \ infty %%).

Um número constante diferente de zero, não importa o quão pequeno seja valor absoluto, não é b.m. função. Para números constantes, a única exceção é zero, uma vez que a função %% f (x) \ equiv 0 %% tem um limite zero.

Teorema

A função %% f (x) %% tem um limite finito igual ao número %% b %% no ponto %% a \ in \ overline (\ mathbb (R)) %% da linha numérica estendida, se e apenas se esta função for igual à soma deste número %% b %% e b.m. funções %% \ alpha (x) %% para %% x \ para a %%, ou $$ \ existe ~ \ lim \ limits_ (x \ para a) (f (x)) = b \ in \ mathbb (R ) \ Leftrightarrow \ left (f (x) = b + \ alpha (x) \ right) \ land \ left (\ lim \ limits_ (x \ a a) (\ alpha (x) = 0) \ direita). $$

Propriedades de funções infinitesimais

De acordo com as regras de passagem para o limite em %% c_k = 1 ~ \ forall k = \ overline (1, m), m \ in \ mathbb (N) %%, as seguintes declarações seguem:

1. A soma de um número finito de b.m. funções para %% x \ a %% são b.m. com %% x \ a %%.
2. Produto de qualquer número b.m. funções para %% x \ a %% são b.m. com %% x \ a %%.

Produto b.m. funções para %% x \ para a %% e uma função limitada em alguma vizinhança perfurada %% \ stackrel (\ circ) (\ text (U)) (a) %% do ponto a, é b.m. para %% x \ para uma função %%.

É claro que o produto de uma função constante e um infinitesimal com %% x \ a %% existe b.m. função para %% x \ a %%.

Funções infinitesimais equivalentes

Funções infinitesimais %% \ alpha (x), \ beta (x) %% para %% x \ a %% são chamadas equivalente e escrito %% \ alpha (x) \ sim \ beta (x) %% se

$$ \ lim \ limits_ (x \ to a) (\ frac (\ alpha (x)) (\ beta (x))) = \ lim \ limits_ (x \ to a) (\ frac (\ beta (x) ) (\ alpha (x))) = 1. $$

O teorema da mudança para um infinitesimal funções equivalentes

Seja %% \ alpha (x), \ alpha_1 (x), \ beta (x), \ beta_1 (x) %% - b.m. funções para %% x \ a %% e %% \ alpha (x) \ sim \ alpha_1 (x); \ beta (x) \ sim \ beta_1 (x) %%, então $$ \ lim \ limits_ (x \ para a) (\ frac (\ alpha (x)) (\ beta (x))) = \ lim \ limites_ (x \ a a) (\ frac (\ alpha_1 (x)) (\ beta_1 (x))). $$

B.m. equivalente funções.

Seja %% \ alpha (x) %% b.m. função para %% x \ a %%, então

1. %% \ sin (\ alpha (x)) \ sim \ alpha (x) %%
2. %% \ displaystyle 1 - \ cos (\ alpha (x)) \ sim \ frac (\ alpha ^ 2 (x)) (2) %%
3. %% \ tan \ alpha (x) \ sim \ alpha (x) %%
4. %% \ arcsin \ alpha (x) \ sim \ alpha (x) %%
5. %% \ arctan \ alpha (x) \ sim \ alpha (x) %%
6. %% \ ln (1 + \ alpha (x)) \ sim \ alpha (x) %%
7. %% \ displaystyle \ sqrt [n] (1 + \ alpha (x)) - 1 \ sim \ frac (\ alpha (x)) (n) %%
8. %% \ displaystyle a ^ (\ alpha (x)) - 1 \ sim \ alpha (x) \ ln (a) %%

Exemplo

$$ \ begin (array) (ll) \ lim \ limits_ (x \ a 0) (\ frac (\ ln \ cos x) (\ sqrt (1 + x ^ 2) - 1)) & = \ lim \ limits_ (x \ a 0) (\ frac (\ ln (1 + (\ cos x - 1))) (\ frac (x ^ 2) (4))) = \\ & = \ lim \ limits_ (x \ a 0) (\ frac (4 (\ cos x - 1)) (x ^ 2)) = \\ & = \ lim \ limits_ (x \ to 0) (- \ frac (4 x ^ 2) (2 x ^ 2)) = -2 \ end (matriz) $$

Funções infinitamente grandes

A função %% f (x) %% é chamada infinitamente grande(b.b.) para %% x \ para a \ in \ overline (\ mathbb (R)) %%, se a função tiver um limite infinito para esta aspiração do argumento.

Como b.m. funciona o conceito de b.b. uma função está inextricavelmente ligada a uma indicação de uma mudança em seu argumento. Você pode falar sobre bb. funções para %% x \ para a + 0 %% e %% x \ para a - 0 %%. O termo “infinitamente grande” não fala sobre o valor absoluto da função, mas sobre a natureza de sua mudança nas proximidades do ponto em consideração. Nenhum número constante, não importa quão grande em valor absoluto, é infinitamente grande.

Exemplos de

1. Função %% f (x) = 1 / x %% - b.b. em %% x \ a 0 %%.
2. Função %% f (x) = x %% - b.b. com %% x \ to \ infty %%.

Se as condições das definições forem atendidas $$ \ begin (array) (l) \ lim \ limits_ (x \ para a) (f (x)) = + \ infty, \\ \ lim \ limits_ (x \ para a ) (f (x)) = - \ infty, \ end (matriz) $$

então eles falam sobre positivo ou negativo bb com funções %% a %%.

Exemplo

Função %% 1 / (x ^ 2) %% - positivo b.b. em %% x \ a 0 %%.

Comunicação entre b.b. e b.m. funções

Se %% f (x) %% - b.b. para %% x \ para uma função %%, então %% 1 / f (x) %% - b.m.

com %% x \ a %%. Se %% \ alpha (x) %% - b.m. se %% x \ para a %% for uma função diferente de zero em alguma vizinhança perfurada do ponto %% a %%, então %% 1 / \ alpha (x) %% - b.b. com %% x \ a %%.

Propriedades de funções infinitamente grandes

Aqui estão algumas propriedades de b.b. funções. Essas propriedades decorrem diretamente da definição de b.b. funções e propriedades de funções com limites finitos, bem como do teorema da conexão entre b.b. e b.m. funções.

1. O produto de um número finito b.b. funções para %% x \ a %% são b.b. função para %% x \ a %%. De fato, se %% f_k (x), k = \ overline (1, n) %% - b.b. função para %% x \ para a %%, então em alguma vizinhança perfurada do ponto %% a %% %% f_k (x) \ ne 0 %%, e pelo teorema de conexão b.b. e b.m. funções %% 1 / f_k (x) %% - b.m. função para %% x \ a %%. Acontece que %% \ displaystyle \ prod ^ (n) _ (k = 1) 1 / f_k (x) %% é uma função bm para %% x \ para um %%, e %% \ displaystyle \ prod ^ ( n) _ (k = 1) f_k (x) %% - b.b. função para %% x \ a %%.
2. O trabalho de b.b. uma função para %% x \ para a %% e uma função que em alguma vizinhança perfurada do ponto %% a %% é maior que uma constante positiva em valor absoluto, é bb. função para %% x \ a %%. Em particular, o produto b.b. uma função com %% x \ a a %% e uma função que tem um limite finito diferente de zero no ponto %% a %% será b.b. função para %% x \ a %%.

A soma de uma função limitada em alguma vizinhança perfurada do ponto %% a %% e b.b. funções para %% x \ a %% são b.b. função para %% x \ a %%.

Por exemplo, as funções %% x - \ sin x %% e %% x + \ cos x %% - b.b. com %% x \ to \ infty %%.

3. A soma de dois b.b. funções para %% x \ a %% há incerteza. Dependendo do sinal dos termos, a natureza da alteração dessa soma pode ser muito diferente.

   Exemplo

   Deixe as funções %% f (x) = x, g (x) = 2x, h (x) = -x, v (x) = x + \ sin x %% - b.b. funções para %% x \ to \ infty %%. Então:

   • %% f (x) + g (x) = 3x %% - b.b. função para %% x \ to \ infty %%;
   • %% f (x) + h (x) = 0 %% - b.m. função para %% x \ to \ infty %%;
   • %% h (x) + v (x) = \ sin x %% não tem limite quando %% x \ to \ infty %%.