1 equações de equilíbrio para um sistema espacial arbitrário de forças. Sistema de forças convergente espacial. Condições de equilíbrio para um sistema plano de forças

Teorema. Para o equilíbrio de um sistema espacial de forças é necessário e suficiente que o vetor principal e o momento principal deste sistema sejam iguais a zero. Adequação: em F o =0 o sistema de forças convergentes aplicadas no centro de redução O é equivalente a zero, e em M o =0 o sistema de pares de forças é equivalente a zero. Consequentemente, o sistema original de forças é equivalente a zero. Necessidade:

Deixe este sistema de forças ser equivalente a zero. Tendo reduzido o sistema a duas forças, notamos que o sistema de forças Q e P (Fig. 4.4) deve ser equivalente a zero, portanto, essas duas forças devem ter uma linha de ação comum e a igualdade Q = –P deve ser satisfeito. Mas isso pode acontecer se a linha de ação da força P passar pelo ponto O, ou seja, se h = 0. Isso significa que o momento principal é zero (M o =0).

Porque Q+P=0, a Q=F o +P", então F o +P"+P=0 e, portanto, F o = 0. As condições necessárias e suficientes são iguais ao sistema espacial de forças no forma: F o =0 , M o =0 (4.15), ou, em projeções em eixos coordenados, Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Boi =åM Boi (F k)=M Boi (F 1)+M boi (F 2)+...+M Boi (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz =åM O z (F k)=M O z (F 1)+M oz (F 2)+.. . +Moz (F n)=0.(4.17)

Que. Ao resolver problemas com 6 níveis, você pode encontrar 6 incógnitas. Nota: um par de forças não pode ser reduzido a uma resultante.– um movimento em que um ponto (corpo) participa simultaneamente em vários movimentos (por exemplo, um passageiro movendo-se ao longo de uma carruagem em movimento). Neste caso, é introduzido um sistema de coordenadas móvel (Oxyz), que realiza um determinado movimento em relação ao sistema de coordenadas fixo (principal) (O 1 x 1 y 1 z 1). Movimento absoluto nome dos pontos movimento relativo a um sistema de coordenadas fixo. Movimento relativo– movimento em relação ao sistema de coordenadas em movimento. (movimento ao redor da carruagem). Movimento portátil– movimento do sistema móvel. coordenadas relativas a um estacionário (movimento do carro). Teorema da adição de velocidade: , ; -orts (vetores unitários) do sistema de coordenadas em movimento, o ort gira em torno do eixo instantâneo, portanto a velocidade de seu final, etc., Þ: , ; – velocidade relativa. ; velocidade de transporte: :
, portanto, a velocidade absoluta de um ponto = a soma geométrica de suas velocidades portátil (v e) e relativa (v r), módulo: . etc. Os termos da expressão que determina a aceleração: 1) – aceleração do pólo O; 2) 3) – aceleração relativa do ponto; . 4), obtemos: .: Os três primeiros termos representam a aceleração de um ponto em movimento portátil: – aceleração do pólo O; – aceleração rotacional, – acelerando a aceleração, ou seja, Teorema de adição de aceleração (teorema de Coriolis) , Onde Ao adicionar dois movimentos translacionais, o movimento resultante também é translacional e a velocidade do movimento resultante é igual à soma das velocidades dos movimentos componentes. Adição de rotações de TV. corpos em torno de eixos que se cruzam. É chamado um eixo de rotação cuja posição no espaço muda com o tempo. eixo instantâneo de rotação do corpo. O vetor velocidade angular é um vetor deslizante direcionado ao longo do eixo instantâneo de rotação. A velocidade angular absoluta de um corpo = a soma geométrica das velocidades das rotações componentes - a regra do paralelogramo das velocidades angulares. . Se um corpo participa simultaneamente de rotações instantâneas em torno de vários eixos que se cruzam em um ponto, então. No caso do movimento esférico de um corpo rígido, cujo ponto permanece imóvel durante todo o movimento, temos as equações do movimento esférico: Y=f 1 (t); q=f 2 (t); j=f 3 (t). Y – ângulo de precessão, q – ângulo de nutação, j – ângulo de rotação própria - ângulos de Euler. Velocidade angular de precessão, ang. velocidade de nutação, arco. Sk. rotação própria. , – módulo da velocidade angular do corpo em torno do eixo instantâneo. Através de projeções sobre eixos coordenados fixos: – Equações cinemáticas de Euler. Adição de rotações em torno de 2 eixos paralelos. 1) As rotações são direcionadas em uma direção. w=w 2 +w 1 , C é o centro instantâneo das velocidades e o eixo instantâneo de rotação passa por ele, , . 2) As rotações são direcionadas em diferentes direções. , C=C 2 -C 1 S – instantâneo. centro sk. e instantâneo eixo de rotação . Ao girar em torno dos ||ésimos eixos, os vetores de velocidade angular somam-se da mesma forma que os vetores de força paralelos. 3) Algumas voltas– as rotações em torno dos ||-ésimos eixos são direcionadas em direções diferentes e as velocidades angulares são iguais em magnitude ( – um par de velocidades angulares). Neste caso, v A =v B, o movimento resultante do corpo é um movimento de translação (ou translação instantânea) com velocidade v=w 1 ×AB - o momento de um par de velocidades angulares (o movimento de translação do pedal da bicicleta em relação ao quadro). Instantâneo o centro das velocidades está no infinito. Adição de movimentos translacionais e rotacionais. 1) Velocidade do movimento de translação ^ ao eixo de rotação - movimento plano-paralelo - rotação instantânea em torno do eixo Рр com velocidade angular w=w". 2) Movimento do parafuso– o movimento do corpo é composto por um movimento rotacional em torno do eixo Aa com ângulo sk. w e translacional com velocidade v||Aa. O eixo Aa é o eixo do parafuso. Se v e w estiverem na mesma direção, então o parafuso é destro; se estiver em direções diferentes, então é canhoto. É chamada a distância percorrida durante uma revolução por qualquer ponto do corpo situado no eixo do parafuso. passo da hélice – h. Se v e w forem constantes, então h= =const com passo constante, qualquer (×)M que não esteja no eixo do parafuso descreve uma linha helicoidal. direcionado tangencialmente à hélice.

3) A velocidade do movimento translacional forma um ângulo arbitrário com o eixo de rotação, neste caso o movimento pode ser considerado como consistindo em uma série de movimentos instantâneos do parafuso em torno dos eixos do parafuso em constante mudança - movimento instantâneo do parafuso.

Um registro analítico das condições de equilíbrio para um sistema espacial arbitrário de forças é representado por um sistema de seis equações (5.3).

Do ponto de vista mecânico, as três primeiras equações estabelecem a ausência de translação e as três últimas - movimento angular do corpo. No caso do SSS, as condições de equilíbrio serão representadas por um sistema das três primeiras equações. No caso de um sistema de forças paralelas, o sistema também consistirá em três equações: uma equação da soma das projeções das forças sobre o eixo paralelo ao qual as forças do sistema estão orientadas, e duas equações de momentos em torno do eixos que não são paralelos às linhas de ação das forças do sistema.

CENTRO DE GRAVIDADE DO CORPO

O centro de gravidade de um corpo sólido é o ponto por onde passa a linha de ação das forças de gravidade resultantes das partículas de um determinado corpo, independentemente de sua localização no espaço.

As coordenadas do centro de gravidade, ponto C (Fig. 6.3) podem ser determinadas usando as seguintes fórmulas:

É claro que quanto mais fina for a partição, mais preciso será o cálculo usando as fórmulas (6.7), (6.8). No entanto, a complexidade dos cálculos pode ser bastante grande. Na prática da engenharia, fórmulas são usadas para determinar o centro de gravidade de corpos de formato regular.

CINEMÁTICA

AULA 6.

A cinemática é o ramo da mecânica que trata do movimento dos corpos e

Pontos sem levar em conta as forças aplicadas a eles.

6.1. Métodos para especificar o movimento do ponto O movimento de corpos ou pontos só pode ser considerado em relação a alguns sistemas de referência -

Consideremos os três sistemas de referência mais utilizados na resolução de problemas e, correspondentes a eles, três formas de especificar o movimento de um ponto. Suas características se resumem a: a) descrição do próprio sistema de referência; b) determinar a posição de um ponto no espaço; c) indicar as equações de movimento de um ponto; d) estabelecer fórmulas pelas quais se possam encontrar as características cinemáticas do movimento de um ponto.

Método vetorial

Este método é utilizado, via de regra, para derivar teoremas e outras proposições teóricas. Sua vantagem sobre outros métodos é a compactação da gravação. O centro é usado como sistema de referência neste método. SOBRE com um triplo de vetores unitários – eu, j, k (Fig. 8.1). Posição no espaço de um ponto arbitrário M determinado por vetor de raio, r. Assim, a equação do movimento de um ponto M haverá uma função de valor único do vetor raio versus tempo, t :

Comparando as duas últimas definições, podemos concluir que a trajetória de um ponto também é um hodógrafo do seu vetor raio.

Vamos apresentar o conceito velocidade média, V média (Fig. 8.1):

E velocidade verdadeira (instantânea), V:

Direção V coincide com a tangente à trajetória do ponto (Fig. 8.1).

A aceleração de um ponto é uma grandeza vetorial que caracteriza a mudança na velocidade de um ponto:

A maneira natural

relacionamento entre S e tempo, t , é a equação do movimento de um ponto em maneira natural tarefas de movimento:

Velocidade pontual direcionada ao longo do eixo t , é definido como:

Aceleração de ponto, UM, está no avião não e pode ser decomposto em componentes:

Significado físico esta expansão é a seguinte: a linha de ação da componente tangente, no , coincide com a linha de ação do vetor velocidade, V , e reflete a mudança apenas no módulo de velocidade; componente normal da aceleração, um , caracteriza a mudança de direção da linha de ação do vetor velocidade. Seus valores numéricos podem ser encontrados usando as seguintes fórmulas:

Onde

– raio de curvatura da trajetória em um determinado ponto.

Método de coordenadas

Este método é mais frequentemente usado na resolução de problemas. O sistema de referência é um trio de eixos mutuamente perpendiculares x , sim , z (Fig. 8.3). Posição do ponto M determinado por suas coordenadas x M , e M , z M .

As equações de movimento de um ponto são funções de valor único dessas coordenadas de

e seu módulo:

A direção do vetor velocidade no espaço pode ser determinada analiticamente usando cossenos de direção:

Aceleração de ponto M pode ser estabelecido por suas projeções nos eixos coordenados:

A direção do vetor aceleração no espaço é determinada pelos cossenos de direção.

As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de qualquer sistema de forças são expressas por igualdades (ver § 13). Mas os vetores R e são iguais somente quando, ou seja, quando as forças atuantes, conforme as fórmulas (49) e (50), satisfazem as condições:

Assim, para o equilíbrio de um sistema espacial arbitrário de forças, é necessário e suficiente que as somas das projeções de todas as forças sobre cada um dos três eixos coordenados e as somas dos seus momentos em relação a esses eixos sejam iguais a zero.

As igualdades (51) expressam simultaneamente as condições de equilíbrio de um corpo rígido sob a influência de qualquer sistema espacial de forças.

Se, além das forças, um binário também atua sobre o corpo, especificado pelo seu momento, então a forma das três primeiras condições (51) não mudará (a soma das projeções das forças do binário em qualquer eixo é igual a zero), e as três últimas condições terão a forma:

O caso das forças paralelas. No caso em que todas as forças que atuam sobre o corpo são paralelas entre si, pode-se escolher os eixos coordenados de forma que o eixo fique paralelo às forças (Fig. 96). Então as projeções de cada uma das forças no eixo e seus momentos em relação ao eixo z serão iguais a zero e o sistema (51) dará três condições de equilíbrio:

As igualdades restantes se transformarão então em identidades da forma

Consequentemente, para o equilíbrio de um sistema espacial de forças paralelas, é necessário e suficiente que a soma das projeções de todas as forças no eixo paralelo às forças e a soma de seus momentos em relação aos outros dois eixos coordenados sejam iguais a zero.

Resolução de problemas. O procedimento para resolver problemas aqui permanece o mesmo que no caso de um sistema plano. Tendo estabelecido o equilíbrio de qual corpo (objeto) está sendo considerado, é necessário representar todas as forças externas que atuam sobre ele (tanto as conexões dadas quanto as de reação) e traçar as condições para o equilíbrio dessas forças. A partir das equações resultantes, as quantidades necessárias são determinadas.

Para obter sistemas de equações mais simples, recomenda-se desenhar os eixos de forma que cruzem mais forças desconhecidas ou sejam perpendiculares a elas (a menos que isso complique desnecessariamente os cálculos de projeções e momentos de outras forças).

Um novo elemento na composição de equações é o cálculo dos momentos das forças em torno dos eixos coordenados.

Nos casos de desenho geralÉ difícil ver qual é o momento de uma determinada força em relação a qualquer eixo, recomenda-se representar em um desenho auxiliar a projeção do corpo em questão (junto com a força) em um plano perpendicular a este eixo;

Nos casos em que, no cálculo do momento, surjam dificuldades na determinação da projeção da força no plano correspondente ou no braço desta projeção, recomenda-se decompor a força em duas componentes perpendiculares entre si (uma das quais é paralela a alguma coordenada eixo) e então use o teorema de Varignon (ver. tarefa 36). Além disso, você pode calcular os momentos analiticamente usando as fórmulas (47), como, por exemplo, no problema 37.

Problema 39. Existe uma carga sobre uma placa retangular com lados a e b. O centro de gravidade da laje juntamente com a carga está localizado no ponto D com coordenadas (Fig. 97). Um dos trabalhadores segura a laje no canto A. Em que pontos B e E dois outros trabalhadores devem apoiar a laje de modo que as forças aplicadas por cada um dos que seguram a laje sejam iguais.

Solução. Consideramos o equilíbrio de uma placa, que é um corpo livre em equilíbrio sob a ação de quatro forças paralelas onde P é a força da gravidade. Elaboramos condições de equilíbrio (53) para essas forças, considerando a placa horizontal e traçando os eixos conforme mostrado na Fig. 97. Obtemos:

De acordo com as condições do problema, deveria haver Então da última equação Substituindo este valor de P nas duas primeiras equações, finalmente encontraremos

A solução é possível quando Quando e quando será Quando o ponto D estiver no centro da placa,

Problema 40. Em um eixo horizontal apoiado nos rolamentos A e B (Fig. 98), uma polia de raio cm e um tambor de raio são montados perpendicularmente ao eixo do eixo. O eixo é acionado por uma correia enrolada em uma polia; ao mesmo tempo, uma carga pesada, amarrada a uma corda enrolada em um tambor, é levantada uniformemente. Desprezando o peso do eixo, tambor e polia, determine as reações dos mancais A e B e a tensão do ramo motriz da correia, se for conhecido que é o dobro da tensão do ramo acionado. Dado: cm, cm,

Solução. No problema em consideração, com rotação uniforme do eixo, as forças que atuam sobre ele satisfazem as condições de equilíbrio (51) (isso será comprovado no § 136). Vamos desenhar os eixos coordenados (Fig. 98) e representar as forças que atuam no eixo: tensão F da corda, módulo igual a P, tensão da correia e componentes das reações do rolamento.

Para compilar as condições de equilíbrio (51), primeiro calculamos e inserimos na tabela os valores das projeções de todas as forças nos eixos coordenados e seus momentos em relação a esses eixos.

Agora criamos condições de equilíbrio (51); já que obtemos:

A partir das equações (III) e (IV) encontramos imediatamente, levando em consideração que

Substituindo os valores encontrados nas equações restantes, encontramos;

E finalmente

Problema 41. Uma tampa retangular com peso , formando um ângulo com a vertical, é fixada no eixo horizontal AB no ponto B por um mancal cilíndrico, e no ponto A por um mancal com batente (Fig. 99). A tampa é mantida em equilíbrio pela corda DE e puxada para trás por uma corda lançada sobre o bloco O com um peso na extremidade (linha KO paralela a AB). Dado: Determine a tensão da corda DE e as reações dos rolamentos A e B.

Solução. Considere o equilíbrio da tampa. Vamos desenhar os eixos coordenados, começando no ponto B (neste caso, a força T cruzará os eixos, o que simplificará a forma das equações de momento).

Em seguida, representamos todas as forças dadas e reações de reação que atuam na cobertura: a força de gravidade P aplicada no centro de gravidade C da cobertura, a força Q igual em magnitude a Q, a reação T da corda e a reação de rolamentos A e B (Fig. 99; o vetor M k mostrado em linhas pontilhadas não é relevante para esta tarefa). Para traçar as condições de equilíbrio, introduzimos um ângulo e denotamos o cálculo dos momentos de algumas forças, explicado na figura auxiliar. 100, a, b.

Na Fig. 100, e a vista é mostrada em projeção no plano a partir da extremidade positiva do eixo

Este desenho ajuda a calcular os momentos das forças P e T em relação ao eixo. Pode-se observar que as projeções dessas forças no plano (plano perpendicular) são iguais às próprias forças, e ao braço da força P em relação a. o ponto B é igual a; o ombro da força T em relação a este ponto é igual a

Na Fig. 100, b mostra uma vista projetada em um plano a partir da extremidade positiva do eixo y.

Este desenho (juntamente com a Fig. 100, a) ajuda a calcular os momentos das forças P e em relação ao eixo y. Mostra que as projeções dessas forças no plano são iguais às próprias forças, e o braço da força P em relação ao ponto B é igual ao braço da força Q em relação a este ponto é igual a ou, como pode ser visto da Fig. 100, a.

Compilando as condições de equilíbrio (51) tendo em conta as explicações feitas e assumindo ao mesmo tempo obtemos:

(EU)

Considerando o que encontramos nas equações (I), (IV), (V), (VI):

Substituindo esses valores nas equações (II) e (III), obtemos:

Finalmente,

Problema 42. Resolva o Problema 41 para o caso em que a tampa é adicionalmente acionada por um par localizado em seu plano com um momento de rotação do par direcionado (ao olhar para a tampa de cima) no sentido anti-horário.

Solução. Além das forças que atuam na tampa (ver Fig. 99), representamos o momento M do par como um vetor perpendicular à tampa e aplicado em qualquer ponto, por exemplo, no ponto A. Suas projeções no eixos coordenados: . Então, compondo as condições de equilíbrio (52), descobrimos que as equações (I) - (IV) permanecerão as mesmas do problema anterior, e as duas últimas equações terão a forma:

Observe que o mesmo resultado pode ser obtido sem compor uma equação na forma (52), mas representando o par com duas forças direcionadas, por exemplo, ao longo das linhas AB e KO (neste caso, os módulos das forças serão igual) e então usando condições normais equilíbrio.

Resolvendo as equações (I) - (IV), (V), (VI), encontraremos resultados semelhantes aos obtidos no problema 41, com a única diferença que todas as fórmulas incluirão . Finalmente obtemos:

Problema 43. A haste horizontal AB é fixada à parede por uma dobradiça esférica A e mantida em uma posição perpendicular à parede pelos suportes KE e CD, mostrados na Fig. 101, a. Uma carga com um peso está suspensa na extremidade B da barra. Determine a reação da dobradiça A e a tensão dos cabos de sustentação se o peso da haste for desprezado.

Solução. Consideremos o equilíbrio da barra. É influenciado pela força P e pelas reações. Vamos desenhar eixos coordenados e traçar condições de equilíbrio (51). Para encontrar projeções e momentos de força, vamos decompô-los em componentes. Então, pelo teorema de Varignon, uma vez que desde

O cálculo dos momentos de forças em relação ao eixo é explicado por um desenho auxiliar (Fig. 101, b), que mostra uma vista em projeção em um plano

Consideremos um sistema espacial arbitrário de forças agindo sobre um corpo rígido. Vamos trazer este sistema de forças para um determinado centro e focar no caso em que o vetor principal e o momento principal deste sistema de forças são iguais a zero, ou seja,

(1) Tal sistema de forças é equivalente a zero, ou seja, equilibrado. Portanto, igualdades (1) são condições suficientes equilíbrio. Mas estas condições também são necessárias, ou seja, se o sistema de forças estiver em equilíbrio, então as igualdades (1) também serão satisfeitas, se o sistema estiver em equilíbrio, mas, por exemplo. então este sistema seria enxertado na resultante no centro da redução e não haveria equilíbrio. Se apenas Mo =**O, este sistema seria enxertado no par e também não haveria equilíbrio. O par não pode equilibrar-se. Assim, provamos que para o equilíbrio de um sistema espacial arbitrário de forças é necessário e suficiente que o vetor principal e o momento principal deste sistema em relação a um centro de redução escolhido arbitrariamente sejam iguais a zero. As condições (1) são chamadas de condições de equilíbrio na forma vetorial. Para obter uma forma analítica das condições de equilíbrio que seja mais conveniente para fins práticos, projetamos igualdades (1) nos eixos Sistema cartesiano coordenadas Como resultado obtemos:

(2)condições de equilíbrio para um sistema de forças paralelas no espaço Para o equilíbrio de um sistema espacial arbitrário de forças, é necessário e suficiente que a soma das projeções de todas as forças nos eixos coordenados x, y e z, bem como a soma dos momentos de todas as forças em relação ao mesmo eixos, iguais a zero Deixe um sistema espacial de forças paralelas atuar sobre um corpo rígido. Como a escolha dos eixos é arbitrária, é possível escolher um sistema de coordenadas tal que um dos eixos seja paralelo às forças e dois

outros são perpendiculares a eles (Fig. 1.38). Com esta escolha dos eixos coordenados, as projeções de cada uma das forças nos eixos x e y e seus momentos em relação ao eixo z serão sempre iguais a zero. Isso significa que

Essas igualdades são satisfeitas de forma idêntica, independentemente de um determinado sistema de forças estar em equilíbrio ou não, ou seja, deixam de ser condições de equilíbrio. Portanto, as seguintes condições de equilíbrio permanecerão:

Assim, para o equilíbrio de um sistema de forças paralelas no espaço, é necessário e suficiente que a soma das projeções de todas as forças sobre o eixo paralelo a essas forças seja igual a zero e que as promessas de seus momentos em relação a cada uma das os dois eixos coordenados perpendiculares às forças também são iguais a zero.

17, Teorema da equivalência de dois pares de forças no espaço.

Trazendo uma força para um determinado centro (método de Poinsot) - uma força pode ser transferida paralelamente a si mesma para qualquer ponto do plano se você adicionar o par apropriado de forças, cujo momento é igual ao momento desta força em relação ao ponto em questão. Adicionemos ao sistema no ponto A duas forças, iguais em magnitude entre si e com a magnitude da força dada, dirigidas ao longo de uma linha reta em direções opostas e paralelas à força dada: O estado cinemático não mudou (o axioma do apego). A força original e uma das forças adicionadas na direção oposta formam um par de forças. O momento deste par é numericamente igual ao momento da força inicial em relação ao centro de redução. Em muitos casos, é conveniente representar um par de forças com um arco de flecha. Trazendo um sistema arbitrário plano de forças para um determinado centro - selecionamos um ponto arbitrário no plano e transferimos cada uma das forças usando o método Poinsot para este ponto. Em vez do sistema arbitrário original, obtemos um sistema convergente de forças e um sistema de pares. O sistema convergente de forças é reduzido a uma única força aplicada no centro de redução, que antes era chamada de resultante, mas agora essa força não substitui o sistema de forças original, pois após a redução surgiu um sistema de pares. Um sistema de pares é reduzido a um par (teorema da adição de pares), cujo momento é igual à soma algébrica dos momentos das forças originais em relação ao centro de redução. Em geral, plano sistema arbitrário as forças são reduzidas a uma força, chamada de vetor principal, e a um par com momento igual ao momento principal de todas as forças do sistema em relação ao centro de redução: - vetor principal, - momento principal. A. A. A condição para o equilíbrio de um sistema arbitrário plano de forças é a reversão simultânea do vetor principal e do momento principal do sistema para zero: As equações de equilíbrio (forma I) são obtidas na forma de um sistema de três equações das condições de equilíbrio usando expressões para projeções do vetor principal: Existem mais duas formas de equações de equilíbrio (formas II e III)

17.

27-28. Dependência entre os principais momentos de forças em relação a dois centros de redução escolhidos arbitrariamente. Invariantes do sistema de forças

Deixe este sistema espacial ser trazido para o centro O, ou seja,

Onde O momento principal forma um certo ângulo a com a direção do vetor principal (Fig. 1.32)

Tomemos agora um novo centro de redução O1 e tragamos todas as forças para este centro. Como resultado, obtemos novamente um vetor principal igual ao vetor principal R, e um novo momento principal determinado pela fórmula onde pк é o vetor raio do ponto de aplicação da força Fk, traçado a partir do novo centro de redução O1 ( veja a Fig. 1.32). Momento principal Mo1 em relação ao novo centro a redução mudou e agora forma um certo ângulo a1 com a direção do vetor principal R. Vamos estabelecer uma conexão entre os momentos Mo e Mo1. Da Figura 1.32 fica claro que (3) Substituindo (3) na igualdade (2), obtemos (4) Além disso, abrindo os parênteses do lado direito da igualdade (4). ) e colocando o fator comum O1O fora do sinal de soma, temos

( - projeções do momento principal em relação ao ponto O nos eixos coordenados).

Trazendo força para um determinado centro.

Para trazer uma força aplicada em qualquer ponto de um corpo sólido para um determinado centro é necessário:

1) Transfira a força paralela a si mesma para um determinado centro sem alterar o módulo da força.

2) Aplique um par de forças em um determinado centro, cujo momento vetorial é igual ao momento vetorial da força transferida em relação ao novo centro. Este par de forças é denominado par adjunto.

A ação de uma força sobre um corpo rígido não muda quando ela é transferida paralelamente a si mesma para outro ponto do corpo rígido se algumas forças forem adicionadas.

34. Para um sistema plano de forças paralelas, duas equações de equilíbrio podem ser elaboradas. Se as forças forem paralelas ao eixo Y, então as equações de equilíbrio terão a forma.

A segunda equação pode ser construída para qualquer ponto.

35 para o equilíbrio de um corpo completamente livre sobre o qual atua um sistema espacial arbitrário de forças, é necessário e suficiente que as seis equações de equilíbrio sejam satisfeitas. Se um corpo estiver fixo em um ponto, ele terá três graus de liberdade. Tal corpo não pode se mover translacionalmente, mas só pode girar em torno de qualquer eixo, ou seja, em torno dos eixos coordenados. Para que tal corpo esteja em equilíbrio é necessário que ele não gire, e para isso basta exigir que as três equações de momento sejam iguais a zero

Assim, para que um corpo absolutamente rígido com um ponto fixo, sobre o qual atua um sistema espacial arbitrário de forças, esteja em equilíbrio, é necessário e suficiente que a soma dos momentos de todas as forças em relação a três eixos perpendiculares entre si seja igual zero.

Três outras equações são usadas para determinar os componentes da reação de dobradiça no ponto de fixação Nx, Ny, Nz

37. Um corpo que possui dois pontos fixos possui um grau de liberdade. Ele só pode girar em torno de um eixo que passa por esses dois pontos fixos. O equilíbrio existirá se o corpo não girar em torno desse eixo. Portanto, para o equilíbrio basta exigir que a soma dos momentos de todas as forças que atuam no corpo em relação ao eixo que passa por dois pontos fixos seja igual a zero: ∑Mxx(Fi)=0

38/Um sistema de corpos são vários corpos conectados entre si de alguma forma. As forças que atuam nos corpos do sistema são divididas em externas e internas. As forças internas são chamadas de forças de interação entre corpos de um mesmo sistema, e as externas são chamadas de forças com as quais corpos não incluídos nele atuam sobre os corpos de um determinado sistema.

Se um sistema de corpos está em equilíbrio, então consideramos o equilíbrio de cada corpo separadamente, levando em consideração forças internas interações entre corpos. Se um sistema arbitrário plano for dado N corpos, então para este sistema é possível compor 3N equações de equilíbrio. Ao resolver problemas de equilíbrio de um sistema de corpos, também se pode considerar o equilíbrio tanto do sistema de corpos como um todo quanto de qualquer combinação de corpos. Ao considerar o equilíbrio do sistema como um todo, as forças internas de interação entre os corpos não são levadas em consideração com base no axioma da igualdade das forças de ação e reação. Assim, existem 2 tipos de encontrar o equilíbrio de sistemas de corpos...1sp Em primeiro lugar, consideramos toda a estrutura, depois desconectamos qualquer corpo deste sistema e consideramos. Há equilíbrio nisso. 2sp. Dividimos o sistema em corpos separados e a composição da equação de equilíbrio para cada corpo.

Estaticamente definível sistemas são sistemas em em que o número de quantidades desconhecidas não excede o número de equações de equilíbrio independentes para um determinado sistema de forças.

Estaticamente indefinido Sistemas são sistemas nos quais o número de quantidades desconhecidas excede o número de equações de equilíbrio independentes para um determinado sistema de forças Kct=RY onde R é o número de reações. Número Y de equações independentes

41. Depois que o corpo sai da posição de equilíbrio, a força de atrito estático diminui e durante o movimento é chamada de força de atrito de deslizamento, ou seja, o coeficiente de atrito de deslizamento é ligeiramente menor que o coeficiente de atrito estático. Nos cálculos técnicos, estes coeficientes são considerados iguais. COM Ao aumentar a velocidade do movimento, o coeficiente de atrito de deslizamento para a maioria dos materiais diminui. O coeficiente de atrito deslizante é determinado experimentalmente.

A força de atrito deslizante é direcionada de forma oposta ao movimento possível do corpo.

A força de atrito não depende da área das superfícies de contato.

A força de atrito máxima é proporcional à pressão normal. A pressão normal é entendida como a pressão total sobre toda a área de contato das superfícies de atrito: Fmax=fN

43. Na presença de atrito, a reação total de uma superfície rugosa é desviada da normal à superfície em um certo ângulo<р, который в случае выхода тела из равновесия достигает максимума и называется углом трения tgφ=Fmax/N Fmax=fN тогда tgφ=f

A tangente do ângulo de atrito é igual ao coeficiente de atrito.

Um cone de atrito é um cone descrito pela reação total R em torno da direção da reação normal. Se o coeficiente de atrito f for o mesmo em todas as direções, então o cone de atrito será circular

Para que um corpo se equilibre sobre uma superfície rugosa, é necessário e suficiente que a resultante das forças ativas esteja dentro do cone de atrito ou passe ao longo da geratriz do cone.

30. Módulo do vetor principal Ro=√Rx^2+Ry^2 onde Rx= ƩFkx Ry= ƩFky (projeções Rx,Ry do vetor principal nos eixos coordenados correspondentes)

Ângulos formados pelo vetor principal com o eixo coordenado correspondente Сos(x^Ro)=Rx/Ro Сos(y^Ro)=Ry/Ro

Módulo do momento principal em relação ao centro de redução selecionado O Mo√Mox^2+Moy^2 onde Mox=∑Mx(Fk) Moy=∑My(Fk) Mox Moy-projeções do momento principal em relação ao ponto O nos eixos coordenados)

Ângulos formados pelo momento principal com os eixos coordenados correspondentes Сos(x^Mo)=Mox/Mo Сos(y^Mo)=Moy/Mo

Se Ro não=0 Mo=0 o sistema de forças pode ser substituído por uma força

Ro=0 Mo not=0 o sistema de forças é substituído por um par de forças

Rone=0 Mo não=0 mas Ro perpendicular a Mo é substituído por uma força que não passa pelo centro de redução

31. Sistema plano de forças. Todas as forças deste sistema estão no mesmo plano. Seja, por exemplo, o plano XAY, onde A é um centro de redução arbitrário. As forças deste sistema não são projetadas no eixo AZ e não criam momentos relativos aos eixos AX e AY, pois estão no plano XAY (seção 13). Neste caso a igualdade

Levando isso em consideração, obtemos condições de equilíbrio para um sistema plano de forças:

Assim, para o equilíbrio de um corpo rígido sob a ação de um sistema plano de forças, é necessário e suficiente que duas somas das projeções das forças nos eixos coordenados e a soma dos momentos algébricos de todas as forças em relação a qualquer ponto no plano seja igual a zero.

39. as forças que atuam em todos os pontos são chamadas de distribuídas determinado volume ou uma determinada parte de uma superfície ou linha. Ras limitado forças são caracterizadas pela intensidade q, ou seja, à força, devido por unidade de volume, superfície ou comprimento de linha. As forças distribuídas são geralmente substituídas por forças concentradas.

Se as forças distribuídas atuam em um plano em linha reta, elas são substituídas por uma força concentrada da seguinte maneira.

Uma carga uniformemente distribuída de intensidade q é substituída por uma força concentrada Q =qL que é aplicada no meio da seção. Uma carga uniformemente distribuída refere-se a forças que possuem as mesmas magnitudes e direções em uma determinada área do corpo.

Se as forças distribuídas variam linearmente

(ao longo do triângulo), então a força concentrada Q = qmaxL/2- é aplicada no centro de gravidade do triângulo, localizado a uma distância - de sua base……………….

44. O atrito de rolamento é a resistência ao movimento que ocorre quando os corpos rolam uns sobre os outros. Aparece, por exemplo, entre os elementos dos rolamentos, entre o pneu de uma roda de carro e a superfície da estrada. Via de regra, o valor do atrito de rolamento é muito menor que o valor do atrito de deslizamento e, portanto, o rolamento é um tipo comum de movimento na tecnologia.

O atrito de rolamento ocorre na interface de dois corpos e, portanto, é classificado como um tipo de atrito externo.

45. fricção giratória. Suponha que uma bola pesada esteja em um plano horizontal, denotamos o centro da bola por O e o ponto de contato da bola com o plano por C. A rotação da bola em torno da linha reta CO é chamada de giro. A experiência mostra que se o momento do par que deveria fazer a bola girar for muito pequeno, a bola não girará. Segue-se que a ação do par motriz é paralisada por algum outro par, de cuja presença depende o atrito giratório.

Um método para calcular o torque de atrito de um rolamento é dividir o torque de atrito no chamado torque independente de carga M0 e no torque dependente de carga M1, que são então somados para fornecer o torque total:

46duas forças paralelas direcionadas na mesma direção são reduzidas a uma força - uma força resultante aplicada em um ponto que divide uma linha reta em distâncias inversamente proporcionais às magnitudes das forças. Adicionando consistentemente forças paralelas em pares, também chegamos a uma força - a resultante R: Como a força pode ser transferida ao longo da linha de sua ação, o ponto de aplicação da força (resultante) é essencialmente indefinido. Se todas as forças forem giradas no mesmo ângulo e as forças forem somadas novamente, obtemos uma direção diferente da linha de ação da resultante. O ponto de intersecção dessas duas linhas de ação das resultantes pode ser considerado como o ponto de aplicação da resultante, que não muda de posição quando todas as forças giram simultaneamente no mesmo ângulo. Este ponto é chamado de centro de forças paralelas. O centro das forças paralelas é o ponto de aplicação da resultante, que não muda sua posição quando todas as forças giram simultaneamente no mesmo ângulo

47O vetor raio de um ponto é um vetor cujo início coincide com a origem do sistema de coordenadas e o final com o ponto dado.

Assim, uma característica do vetor raio que o distingue de todos os outros vetores é que sua origem está sempre localizada no ponto de origem (Fig. 17).

O centro de forças paralelas, o ponto através do qual passa a linha de ação do sistema resultante de forças paralelas Fk para qualquer rotação de todas essas forças perto de seus pontos de aplicação na mesma direção e no mesmo ângulo. As coordenadas do centro de forças paralelas são determinadas pelas fórmulas:

onde xk, yk, zk são as coordenadas dos pontos de aplicação das forças.

48Centro de gravidade de um corpo rígido - um ponto invariavelmente associado a este corpo, através do qual passa a linha de ação das forças resultantes da gravidade das partículas do corpo em qualquer posição do corpo no espaço. Neste caso, o campo gravitacional é considerado homogêneo, ou seja, As forças gravitacionais das partículas do corpo são paralelas entre si e permanecem constantes durante qualquer rotação do corpo. Coordenadas do centro de gravidade:

; ; , onde Р=åр k, x k,y k,z k – coordenadas dos pontos de aplicação das forças gravitacionais р k. O centro de gravidade é um ponto geométrico e pode estar fora do corpo (por exemplo, um anel). Centro de gravidade de uma figura plana:

DF k – área elementar, F – área da figura. Se a área não puder ser dividida em várias partes finitas, então. Se um corpo homogêneo tem um eixo de simetria, então o centro de gravidade do corpo está neste eixo.

49 Resolvendo problemas para determinar a posição (coordenadas) do centro de gravidade de uma placa homogênea, um sistema de corpos localizados em um plano ou espaço se resume a traçar equações e inserir nela dados numéricos conhecidos e calcular o resultado:

Aqueles. é necessário dividir o sistema em componentes e encontrar as posições do centro de gravidade desses elementos componentes. Calcular a massa dos componentes, expressando-a através da densidade específica – linear, volumétrica ou superficial, dependendo do tipo de sistema apresentado. Ao final da solução a densidade específica será reduzida, então não tenha vergonha de inseri-la (via de regra não é dada, mas o texto do problema indica que a placa, as hastes e a laje são homogêneas) . Das características desta tarefa, duas coisas devem ser observadas: 1) determinar o centro de gravidade de um componente de formato retangular, quadrado ou haste, círculo não é difícil - o centro de gravidade de tais figuras está no centro.

50. setor circular: ; Triângulo. Dividindo o triângulo em linhas finas,

paralelo a cada um de seus lados determine que desde o centro

a gravidade de cada linha está em seu centro geométrico (no centro

simetria), então o centro de gravidade do triângulo está na intersecção de seu

mediana O ponto de intersecção das medianas as divide na proporção (2:1).

Setor circular (Figura 54). O centro de gravidade está no eixo

simetria. Ao dividir um setor circular em triângulos elementares

determine o arco formado pelos centros de gravidade dos triângulos. Raio

arco é igual a 2/3 do raio do setor. Assim, a coordenada do centro

a gravidade do setor circular é determinada

expressão xC = sen α.

51Hemisfério. O centro de gravidade está no eixo de simetria a uma distância

3/8 da base.

Pirâmide (cone) (Figura 55).

O centro de gravidade está na linha

conectando o vértice ao centro

gravidade da base a uma distância de ¾ de

Arco de círculo O centro de gravidade está no eixo de simetria e tem

coordenadas xC = sen α ; уС = 0 .

Cinemática

1Cinemática, ramo da mecânica teórica, estuda o movimento dos corpos materiais sem se interessar pelos motivos que causam ou alteram esse movimento. Para isso, apenas a validade física e o rigor matemático no âmbito dos modelos aceitos são importantes. Problemas de cinemática Definir o movimento de um ponto material (sistema) significa fornecer uma forma de determinar a posição de um ponto (todos os pontos formando um sistema) em qualquer momento no tempo.
As tarefas da cinemática são desenvolver métodos para especificar o movimento de um ponto (sistema) e métodos para determinar a velocidade, aceleração de um ponto e outras grandezas cinemáticas dos pontos que compõem um sistema mecânico. trajetória do ponto

Especificar o movimento de um ponto significa especificar sua posição em cada momento. Esta posição deve ser determinada, como já foi observado, em algum sistema de coordenadas. Porém, para isso nem sempre é necessário especificar as próprias coordenadas; você pode usar quantidades que estejam de alguma forma relacionadas a eles. Abaixo estão três maneiras principais de especificar o movimento de um ponto.

1. O caminho natural. Este método é usado se a trajetória do ponto for conhecida. Uma trajetória é um conjunto de pontos no espaço através dos quais passa uma partícula material em movimento. Esta é uma linha que ela desenha no espaço. Com o método natural, você precisa definir (Fig. 1):

a) trajetória de movimento (em relação a qualquer sistema de coordenadas);

b) um ponto arbitrário nele, zero, a partir do qual é medida a distância S até a partícula em movimento ao longo da trajetória;

c) sentido positivo da referência S (quando o ponto M é deslocado no sentido oposto, S é negativo);

d) início do tempo t;

e) função S(t), que é chamada de lei do movimento**) do ponto.

2. Método de coordenadas. Esta é a forma mais universal e abrangente de descrever o movimento. Assume a tarefa:

a) sistemas de coordenadas (não necessariamente cartesianos) q1, q2, q3;

b) início do tempo t;

c) a lei do movimento de um ponto, ou seja, funções q1(t), q2(t), q3(t).

Ao falar sobre as coordenadas de um ponto, sempre nos referimos (salvo indicação em contrário) às suas coordenadas cartesianas.

3. Método vetorial. A posição de um ponto no espaço também pode ser determinada por um vetor raio traçado de uma determinada origem até um determinado ponto (Fig. 2). Neste caso, para descrever o movimento você precisa definir:

a) a origem do vetor raio r;

b) início do tempo t;

c) a lei do movimento do ponto r(t).

Como especificar uma quantidade vetorial r é equivalente a especificar suas três projeções x, y, z nos eixos coordenados, é fácil passar do método vetorial para o método coordenado. Se introduzirmos os vetores unitários i, j, k (i = j = k = 1), direcionados respectivamente ao longo dos eixos x, y e z (Fig. 2), então, obviamente, a lei do movimento pode ser representada na forma *)

r(t) = x(t)i +y(t)j+z(t)k. (1)

A vantagem da forma vetorial de registro sobre a forma coordenada é a compactação (em vez de três quantidades, opera-se com uma) e, muitas vezes, maior clareza.

Exemplo. Um pequeno anel M é colocado em um semicírculo de fio fixo, por onde passa outra haste reta AB (Fig. 3), girando uniformemente em torno do ponto A (= t, onde = const). Encontre as leis do movimento do anel M ao longo da barra AB e em relação ao semicírculo.

Para resolver a primeira parte do problema, usaremos o método de coordenadas, direcionando o eixo x do sistema cartesiano ao longo da haste e escolhendo sua origem no ponto A. Como o AMS inscrito é uma linha reta (com base no diâmetro ),

x(t) = AM = 2Rcos = 2Rcoswt,

onde R é o raio do semicírculo. A lei do movimento resultante é chamada de oscilação harmônica (esta oscilação obviamente continuará apenas até o momento em que o anel atingir o ponto A).

Resolveremos a segunda parte do problema usando o método natural. Escolhamos o sentido positivo de contagem da distância ao longo da trajetória (semicírculo AC) no sentido anti-horário (Fig. 3), e o zero coincidindo com o ponto C. Então o comprimento do arco SM em função do tempo dará a lei do movimento de ponto M

S(t) = R2 = 2Rt,

aqueles. o anel se moverá uniformemente em torno de um círculo de raio R com uma velocidade angular de 2. Como fica claro no exame,

o zero da contagem do tempo em ambos os casos correspondeu ao momento em que o anel estava no ponto C.

2.Método vetorial para especificar o movimento de um ponto

A velocidade do ponto é direcionada tangencialmente à trajetória (Fig. 2.1) e é calculado, conforme (1.2), pela fórmula