1. Współrzędne cylindryczne reprezentują połączenie współrzędnych biegunowych w płaszczyźnie xy ze zwykłym kartezjańskim zastosowaniem z (ryc. 3).

Niech M(x, y, z) będzie dowolnym punktem w przestrzeni xyz, P będzie rzutem punktu M na płaszczyznę xy. Punkt M jest jednoznacznie określony przez potrójną liczbę - współrzędne biegunowe punktu P, z - aplikat punktu M. Formuły łączące je z kartezjańskimi mają postać

Pokaż Jakobian (8)

Przykład 2.

Oblicz całkę

gdzie T jest obszarem ograniczonym przez powierzchnie

Rozwiązanie. Przeprowadźmy całkę do współrzędnych sferycznych według wzorów (9). Następnie obszar integracji można określić za pomocą nierówności

I to oznacza, że

Przykład 3 Znajdź objętość ciała ograniczonego przez:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Mamy: x 2 +y 2 +z 2 =8 - sfera o promieniu R= v8 ze środkiem w punkcie O(000),

Górna część stożka z 2 \u003d x 2 + y 2 z osią symetrii Oz i wierzchołkiem w punkcie O (ryc. 2.20).

Znajdźmy linię przecięcia kuli i stożka:

A skoro przez warunek z? 0, więc

Okrąg R=2 leżący na płaszczyźnie z=2.

Dlatego zgodnie z (2.28)

gdzie domena U jest ograniczona z góry

(część kuli),

(część stożka);

obszar U jest rzutowany na płaszczyznę Oxy na obszar D - okrąg o promieniu 2.

Dlatego celowe jest przekazanie potrójnej całki do współrzędnych cylindrycznych za pomocą wzorów (2.36):

Granice zmian q, r znajdują się w obszarze D v pełne koło R=2 o środku w punkcie O, więc: 0⋅c⋅2p, 0⋅r⋅2. Zatem region U we współrzędnych cylindrycznych jest określony przez następujące nierówności:

Zauważ, że

Całki potrójne. Obliczanie objętości ciała.
Całka potrójna we współrzędnych cylindrycznych

Zmarły przez trzy dni leżał w dziekanacie, ubrany w pitagorejskie spodnie,
W rękach Fikhtengoltza trzymał tom, który uratował go przed białym światem,
Do nóg przywiązano potrójną całkę, a zwłoki owinięto w matrycę,
I zamiast się modlić, jakiś bezczelny człowiek przeczytał twierdzenie Bernoulliego.

Całki potrójne to coś, czego nie możesz się już bać =) Bo jeśli czytasz ten tekst, to najprawdopodobniej dobrze rozumiesz teoria i praktyka całek „zwykłych”., I całki podwójne. A tam, gdzie jest podwójna, w pobliżu jest potrójna:

A tak naprawdę, czego tu się bać? Całka mniej, całka więcej ....

Zrozumienie zapisu:

– ikona potrójnej całki;
– całka funkcja trzech zmiennych;
jest iloczynem różnic.
jest regionem integracji.

Skupmy się w szczególności na obszary integracji. jeśli w całka podwójna ona reprezentuje płaska postać, wtedy tutaj - ciało przestrzenne, o którym wiadomo, że jest ograniczony przez zbiór powierzchnie. Dlatego oprócz powyższego musisz nawigować główne powierzchnie przestrzeni i umieć wykonywać proste trójwymiarowe rysunki.

Niektórych to denerwuje, rozumiem... Niestety, artykuł nie może być zatytułowany „potrójne całki dla manekinów”, a ty musisz coś wiedzieć / umieć coś zrobić. Ale to nic – cały materiał przedstawiony jest w niezwykle przystępnej formie i opanowany w możliwie najkrótszym czasie!

Co to znaczy obliczyć całkę potrójną i na czym to polega?

Obliczanie średnich całkowych potrójnych znajdź NUMER:

W najprostszym przypadku kiedy całka potrójna jest liczbowo równa objętości ciała. I rzeczywiście wg ogólne znaczenie integracji, produkt jest nieskończenie mały objętość elementarnej „cegły” ciała. A potrójna całka jest sprawiedliwa łączy wszystkie te nieskończenie małe cząstki nad powierzchnią, co daje całkowitą (całkowitą) wartość objętości ciała: .

Ponadto potrójna całka ma znaczenie aplikacje fizyczne. Ale o tym później - w drugiej części lekcji poświęconej obliczanie dowolnych całek potrójnych, którego funkcja zasadniczo różni się od stałej i ciągłej w dziedzinie . W tym artykule szczegółowo rozważymy problem znalezienia woluminu, który moim zdaniem subiektywna ocena występuje 6-7 razy częściej.

Jak rozwiązać potrójną całkę?

Odpowiedź wynika logicznie z poprzedniego akapitu. Trzeba zdefiniować kolejność chodzenia po ciele i idź do całki iterowane. Następnie kolejno zajmij się trzema pojedynczymi całkami.

Jak widać cała kuchnia bardzo, bardzo przypomina całki podwójne, z tą różnicą, że teraz dodaliśmy dodatkowy wymiar (w przybliżeniu wysokość). I prawdopodobnie wielu z was już odgadło, jak rozwiązuje się całki potrójne.

Rozwiejmy pozostałe wątpliwości:

Przykład 1

Proszę napisać w kolumnie na papierze:

I odpowiedz na poniższe pytania. Czy wiesz, jakie powierzchnie definiują te równania? Czy rozumiesz nieformalne znaczenie tych równań? Czy możesz sobie wyobrazić, jak te powierzchnie są rozmieszczone w kosmosie?

Jeśli skłaniasz się ku ogólnej odpowiedzi „raczej nie niż tak”, to koniecznie przepracuj lekcję, inaczej nie posuniesz się dalej!

Rozwiązanie: skorzystaj ze wzoru .

Aby się dowiedzieć kolejność chodzenia po ciele i idź do całki iterowane potrzebujesz (wszystko, co genialne, jest proste), aby zrozumieć, jakie to ciało. A takie zrozumienie w wielu przypadkach znacznie ułatwiają rysunki.

Zgodnie z warunkami ciało jest ograniczone kilkoma powierzchniami. Od czego zacząć budowę? Proponuję następujący tok postępowania:

Narysujmy najpierw równoległy ortogonalny rzut ciała na płaszczyznę współrzędnych. Pierwszy raz powiedziałem, jak nazywa się ta projekcja, lol =)

Ponieważ projekcja odbywa się wzdłuż osi, przede wszystkim wskazane jest, aby sobie z tym poradzić powierzchnie które są równoległe do danej osi. Przypominam, że równania takich powierzchni nie zawierają litery „z”. W tym problemie są trzy z nich:

– równanie definiuje płaszczyznę współrzędnych , która przechodzi przez oś ;
– równanie definiuje płaszczyznę współrzędnych , która przechodzi przez oś ;
- zestawy równań samolot „płaska” linia równolegle do osi.

Najprawdopodobniej pożądanym odwzorowaniem jest następujący trójkąt:

Być może nie wszyscy do końca zrozumieli, o co chodziło. Wyobraź sobie, że z ekranu monitora wystaje oś, która wbija się bezpośrednio w nasadę nosa ( te. okazuje się, że patrzysz na trójwymiarowy rysunek z góry). Badany obiekt przestrzenny znajduje się w nieskończonym trójściennym „korytarzu”, a jego rzut na płaszczyznę jest najprawdopodobniej zacienionym trójkątem.

Zwracam szczególną uwagę na fakt, że do tej pory wyrażaliśmy tylko projekcja a zdania „najprawdopodobniej”, „najprawdopodobniej” nie były przypadkowe. Faktem jest, że nie wszystkie powierzchnie zostały jeszcze przeanalizowane i może się zdarzyć, że jedna z nich „odrąbie” część trójkąta. Jako ilustracyjny przykład, kula wyśrodkowany w początku układu współrzędnych o promieniu mniejszym niż jeden, na przykład kula jest jego rzutem na płaszczyznę (okrąg ) nie „pokryje” całkowicie zacieniowanego obszaru, a końcowy rzut bryły wcale nie będzie trójkątem (okrąg „obetnie” swoje ostre rogi).

W drugim etapie dowiadujemy się, w jaki sposób ciało jest ograniczone od góry, a nie od dołu i wykonujemy rysunek przestrzenny. Wracamy do stanu problemu i widzimy jakie powierzchnie pozostały. Równanie definiuje samą płaszczyznę współrzędnych, a równanie - cylinder paraboliczny, usytuowany powyżej płaszczyźnie i przechodzącej przez oś. Zatem rzut ciała jest rzeczywiście trójkątem.

Nawiasem mówiąc, znalazłem tutaj nadmierność warunkach – nie trzeba było uwzględniać równania płaszczyzny, gdyż powierzchnia stykająca się z osią odciętych i tak zamyka bryłę. Warto zauważyć, że w tym przypadku nie bylibyśmy w stanie narysować rzutu od razu - trójkąt „narysowałby się” dopiero po przeanalizowaniu równania.

Ostrożnie narysujmy fragment walca parabolicznego:

Po uzupełnieniu rysunków z porządek ciała Nie ma problemu!

Najpierw ustalamy kolejność przechodzenia rzutu (jednocześnie DUŻO WYGODNIEJ jest poruszać się po dwuwymiarowym rysunku). Zrobione ABSOLUTNIE TO SAMO, Jak w całki podwójne! Przypomnij sobie wskaźnik laserowy i skanowanie płaskiego obszaru. Wybierzmy „tradycyjne” pierwsze obejście:

Następnie podnosimy magiczną latarkę, patrzymy na trójwymiarowy rysunek i dokładnie od dołu do góry oświetlić pacjenta. Promienie wchodzą do ciała przez płaszczyznę i opuszczają je przez powierzchnię. Zatem kolejność przechodzenia przez ciało jest następująca:

Przejdźmy do całek iterowanych:

1) Powinieneś zacząć od całki „Z”. Używamy Formuła Newtona-Leibniza:

Zastąp wynik całką „gra”:

Co się stało? Zasadniczo rozwiązanie zostało sprowadzone do całki podwójnej, a mianowicie do wzoru objętość cylindrycznego pręta! Co następuje, jest dobrze znane:

2)

Zwróć uwagę na racjonalną technikę rozwiązywania trzeciej całki.

Odpowiedź:

Obliczenia zawsze można zapisać w „jednej linijce”:


Ale bądź ostrożny z tą metodą - wzrost prędkości jest obarczony utratą jakości, a im trudniejszy przykład, tym większe prawdopodobieństwo popełnienia błędu.

Odpowiedzmy sobie na ważne pytanie:

Czy konieczne jest wykonanie rysunków, jeśli stan zadania nie wymaga ich wykonania?

Możesz iść na cztery sposoby:

1) Przedstaw projekcję i samo ciało. Jest to najkorzystniejsza opcja - jeśli uda się wykonać dwa porządne rysunki, nie leniuchuj, wykonaj oba rysunki. Polecam jako pierwszy.

2) Narysuj tylko ciało. Odpowiedni, gdy ciało ma prostą i oczywistą projekcję. Czyli np. w analizowanym przykładzie wystarczyłby trójwymiarowy rysunek. Jednak i tu jest minus – ustalanie kolejności omijania projekcji z obrazu 3D jest niewygodne, a tę metodę poleciłbym tylko osobom o dobrym poziomie wyszkolenia.

3) Pokaż tylko projekcję. Również nie jest źle, ale wtedy wymagane są dodatkowe pisemne uwagi, które ograniczają obszar z różnych stron. Niestety często wymuszana jest ta trzecia opcja – gdy nadwozie jest zbyt duże lub jego konstrukcja obarczona jest innymi utrudnieniami. Rozważymy również takie przykłady.

4) W ogóle nie rób rysunków. W takim przypadku musisz wyobrazić sobie ciało mentalnie i skomentować jego kształt / położenie na piśmie. Nadaje się do bardzo prostych brył lub zadań gdzie wykonanie obu rysunków jest utrudnione. Ale nadal lepiej jest wykonać przynajmniej schematyczny rysunek, ponieważ „nagie” rozwiązanie można odrzucić.

Następujący organ do niezależnej sprawy:

Przykład 2

Korzystając z potrójnej całki oblicz objętość ciała ograniczonego powierzchniami

W ta sprawa obszar integracji jest określony głównie przez nierówności, a jeszcze lepiej - przez zbiór nierówności definiuje 1. oktant, w tym płaszczyzny współrzędnych i nierówność - połowa przestrzeni, zawierający pochodzenie (sprawdzać)+ sam samolot. Płaszczyzna „pionowa” przecina paraboloidę wzdłuż paraboli i pożądane jest zbudowanie tej sekcji na rysunku. Aby to zrobić, musisz znaleźć dodatkowy punkt odniesienia, najłatwiej jest na szczycie paraboli (rozważamy wartości i obliczyć odpowiednie Z).

Kontynuujemy rozciąganie:

Przykład 3

Za pomocą całki potrójnej oblicz objętość ciała ograniczonego wskazanymi powierzchniami. Wykonaj rysunek.

Rozwiązanie: sformułowanie „wykonać rysunek” daje nam pewną swobodę, ale najprawdopodobniej oznacza wykonanie rysunku przestrzennego. Jednak projekcja też nie boli, tym bardziej, że tutaj nie należy do najłatwiejszych.

Trzymamy się wypracowanej wcześniej taktyki - najpierw zajmiemy się powierzchnie które są równoległe do osi aplikacji. Równania takich powierzchni nie zawierają wprost zmiennej „z”:

– równanie definiuje płaszczyznę współrzędnych przechodzącą przez oś ( co na płaszczyźnie jest określone równaniem „homonimicznym” );
- zestawy równań samolot przechodząc przez „homonim” „płaska” linia równolegle do osi.

Pożądane ciało jest ograniczone płaszczyzną od dołu i cylinder paraboliczny powyżej:

Ustalmy kolejność omijania ciała, natomiast granice całkowania „x” i „y” przypominam, wygodniej jest dowiedzieć się z rysunku dwuwymiarowego:

Zatem:

1)

Podczas całkowania po „y” - „x” jest uważane za stałą, dlatego wskazane jest natychmiastowe wyjęcie stałej ze znaku całki.

3)

Odpowiedź:

Tak, prawie zapomniałem, w większości przypadków porównanie otrzymanego wyniku z trójwymiarowym rysunkiem jest mało przydatne (a nawet szkodliwe), ponieważ jest wysoce prawdopodobne, że iluzja objętości o których mówiłem na zajęciach Objętość korpusu rewolucji. Oceniając więc korpus rozważanego zadania, osobiście wydawało mi się, że ma on dużo więcej niż 4 „kostki”.

Poniższy przykład dotyczy rozwiązania autonomicznego:

Przykład 4

Za pomocą całki potrójnej oblicz objętość ciała ograniczonego wskazanymi powierzchniami. Wykonaj rysunki podanego ciała i jego rzut na płaszczyznę.

Przykład zadania na końcu lekcji.

Nierzadko zdarza się, że wykonanie trójwymiarowego rysunku jest trudne:

Przykład 5

Korzystając z potrójnej całki, znajdź objętość ciała określoną przez ograniczające je powierzchnie

Rozwiązanie: projekcja tutaj jest prosta, ale trzeba pomyśleć o kolejności jej obejścia. Jeśli wybierzesz pierwszą metodę, figura będzie musiała zostać podzielona na 2 części, co nie iluzoryczne grozi obliczeniem sumy dwa całki potrójne. Pod tym względem drugi sposób wygląda znacznie bardziej obiecująco. Wyraźmy i przedstawmy rzut tego ciała na rysunku:

Przepraszam za jakość niektórych zdjęć, wyciąłem je prosto z własnych rękopisów.

Wybieramy korzystniejszą kolejność omijania figury:

Teraz wszystko zależy od ciała. Od dołu jest ograniczona płaszczyzną, od góry - płaszczyzną przechodzącą przez oś y. I wszystko byłoby dobrze, ale ostatnia płaszczyzna jest zbyt stroma i nie tak łatwo zbudować teren. Wybór tutaj jest nie do pozazdroszczenia: albo biżuteria działa na małą skalę (bo ciało jest dość cienkie), albo rysunek o wysokości około 20 centymetrów (a nawet wtedy, jeśli pasuje).

Ale istnieje trzecia, pierwotnie rosyjska metoda rozwiązania problemu - punktacja =) I zamiast trójwymiarowego rysunku radzimy sobie z słownym opisem: „To ciało jest ograniczone cylindrami i płaszczyzna z boku, płaszczyzna na dole i płaszczyzna na górze.

„Pionowe” granice integracji są oczywiście następujące:

Obliczmy objętość ciała, nie zapominając, że ominęliśmy projekcję w mniej powszechny sposób:

1)

Odpowiedź:

Jak zauważyłeś, ciała oferowane w zadaniach za nie więcej niż sto dolców często ograniczają się do samolotu od dołu. Ale to nie jest jakaś zasada, więc zawsze musisz uważać - zadanie może natknąć się na miejsce, w którym znajduje się ciało i pod samolot . I tak np. jeśli w analizowanym problemie zamiast uwzględniać płaszczyznę , to badane ciało będzie pokazane symetrycznie w dolnej półprzestrzeni i będzie ograniczone płaszczyzną od dołu, a płaszczyzną już od góry!

Łatwo sprawdzić, że otrzymamy ten sam wynik:

(pamiętaj, że ciało trzeba ominąć ściśle od dołu do góry!)

Ponadto „ulubiony” samolot może okazać się całkowicie nieaktualny, najprostszy przykład: piłka znajdująca się nad płaszczyzną - przy obliczaniu jej objętości równanie w ogóle nie jest potrzebne.

Rozważymy wszystkie te przypadki, ale na razie podobne zadanie dla niezależnego rozwiązania:

Przykład 6

Korzystając z potrójnej całki, znajdź objętość ciała ograniczonego powierzchniami

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Przejdźmy do drugiego akapitu z nie mniej popularnymi materiałami:

Całka potrójna we współrzędnych cylindrycznych

Współrzędne cylindryczne są w rzeczywistości współrzędne biegunowe w kosmosie.
W układ cylindryczny współrzędnych, położenie punktu w przestrzeni jest określone przez współrzędne biegunowe, a punkt jest rzutem punktu na płaszczyznę i zastosowaniem samego punktu.

Przejście z trójwymiarowości system kartezjański do cylindrycznego układu współrzędnych przeprowadza się według następujących wzorów:

Dla naszego motywu transformacja wygląda następująco:

I odpowiednio, w uproszczonym przypadku, który rozważamy w tym artykule:

Najważniejsze, aby nie zapomnieć o dodatkowym mnożniku „er” i poprawnie umieścić biegunowe granice integracji przy omijaniu projekcji:

Przykład 7

Rozwiązanie: postępujemy w ten sam sposób: najpierw rozważamy równania, w których nie ma zmiennej „z”. Jest tu sam. Występ cylindryczna powierzchnia w samolocie jest „homonim” koło .

samoloty ogranicz pożądane ciało od dołu i góry („wyrzeźbij” je z cylindra) i rzutuj na okrąg:

Następnym krokiem jest rysunek 3D. Główna trudność polega na skonstruowaniu płaszczyzny, która przecina cylinder pod kątem „ukośnym”, w wyniku czego elipsa. Doprecyzujmy tę sekcję analitycznie: w tym celu przepisujemy równanie płaszczyzny w postaci funkcjonalnej i obliczyć wartości funkcji („wysokość”) w oczywistych punktach leżących na granicy projekcji:

Znalezione punkty zaznaczamy na rysunku i dokładnie (nie tak jak ja =)) połącz je linią:

Rzutem ciała na płaszczyznę jest okrąg, a to jest ważki argument przemawiający za przejściem na cylindryczny układ współrzędnych:

Znajdźmy równania powierzchni we współrzędnych walcowych:

Teraz trzeba ustalić kolejność omijania ciała.

Zajmijmy się najpierw projekcją. Jak określić jego kolejność przechodzenia? DOKŁADNIE TAKIE SAME JAK Z obliczanie całek podwójnych we współrzędnych biegunowych. Tutaj jest to elementarne:

Oczywiste są też „pionowe” granice całkowania – wchodzimy do ciała przez płaszczyznę i wychodzimy z niego przez płaszczyznę:

Przejdźmy do całek iterowanych:

Jednocześnie natychmiast umieszczamy mnożnik „er” w „naszej” całce.

Miotłę, jak zwykle, łatwiej złamać wzdłuż gałązek:

1)

Wynik przenosimy do następującej całki:

I tutaj nie zapominamy, że „phi” jest uważane za stałą. Ale to na razie:

Odpowiedź:

Podobne zadanie dla niezależnego rozwiązania:

Przykład 8

Użyj potrójnej całki do obliczenia objętości ciała ograniczonego powierzchniami. Wykonaj rysunki podanego ciała i jego rzut na płaszczyznę.

Przybliżona próbka wykończenia na koniec lekcji.

Proszę zwrócić uwagę, że w warunkach problemów ani słowa nie mówi się o przejściu do cylindrycznego układu współrzędnych, a ignorant zderzy się z trudnymi całkami we współrzędnych kartezjańskich. ... A może nie - w końcu istnieje trzeci, pierwotnie rosyjski sposób rozwiązywania problemów =)

To dopiero początek! …w dobrym znaczeniu :)

Przykład 9

Korzystając z potrójnej całki, znajdź objętość ciała ograniczonego powierzchniami

Skromny i gustowny.

Rozwiązanie: to ciało jest ograniczone powierzchnia stożkowa I paraboloida eliptyczna. Czytelników, którzy dokładnie zapoznali się z materiałami artykułu Główne powierzchnie przestrzeni, przedstawiłem już jak wygląda ciało, ale w praktyce często zdarzają się bardziej złożone przypadki, dlatego przeprowadzę szczegółowe rozumowanie analityczne.

Najpierw znajdź linie, wzdłuż których przecinają się powierzchnie. Stwórzmy i rozwiążmy następujący system:

Od pierwszego równania odejmujemy drugi wyraz po wyrazie:

Rezultatem są dwa pierwiastki:

Podstawiamy znalezioną wartość do dowolnego równania układu:
, skąd to wynika
Zatem korzeń odpowiada pojedynczemu punktowi - pochodzeniu. Oczywiście wierzchołki rozważanych powierzchni pokrywają się.

Podstawmy teraz drugi pierwiastek - również w dowolnym równaniu układu:

Jakie jest znaczenie geometryczne uzyskanego wyniku? „Na wysokości” (w płaszczyźnie) paraboloida i stożek przecinają się wzdłuż kręgi– jednostka promienia wyśrodkowana w punkcie .

W tym przypadku „kielich” paraboloidy zawiera zatem „lejek” stożka generatory powierzchnię stożkową należy narysować linią przerywaną (z wyjątkiem najbardziej oddalonego od nas segmentu generatora, który jest widoczny pod tym kątem):

Rzut ciała na płaszczyznę wynosi koło wyśrodkowany na początku promienia 1, którego nawet nie zadałem sobie trudu narysowania ze względu na oczywistość tego faktu (jednak robimy pisemny komentarz!). Nawiasem mówiąc, w dwóch poprzednich zadaniach rysunek projekcji również mógłby być oceniony, gdyby nie warunek.

Przechodząc do współrzędnych cylindrycznych zgodnie ze standardowymi wzorami, nierówność zostanie zapisana w najprostszej postaci i nie ma problemów z kolejnością omijania rzutu:

Znajdźmy równania powierzchni w cylindrycznym układzie współrzędnych:

Ponieważ problem dotyczy górnej części stożka, wyrażamy z równania:

„Skanowanie ciała” od dołu do góry. Promienie światła przenikają paraboloida eliptyczna i wyjść przez powierzchnię stożkową. Zatem „pionowa” kolejność przechodzenia ciała jest następująca:

Reszta techniki:

Odpowiedź:

Nierzadko zdarza się, że ciało jest definiowane nie przez jego powierzchnie ograniczające, ale przez zestaw nierówności:

Przykład 10

zmysł geometryczny nierówności przestrzenne wyjaśniłem wystarczająco szczegółowo w tym samym artykule referencyjnym - Główne powierzchnie przestrzeni i ich budowa.

Chociaż to zadanie zawiera parametr, umożliwia wykonanie dokładnego rysunku, który odzwierciedla podstawowy widok ciała. Zastanów się, jak budować. Krótkie rozwiązanie i odpowiedź znajduje się na końcu lekcji.

... cóż, jeszcze kilka zadań? Myślałem o dokończeniu lekcji, ale po prostu czuję, że chcesz więcej =)

Przykład 11

Korzystając z potrójnej całki oblicz objętość danego ciała:
, gdzie jest dowolną liczbą dodatnią.

Rozwiązanie: nierówność definiuje kulę wyśrodkowaną w początku współrzędnych promienia i nierówności - "wewnątrz" walca kołowego o osi symetrii o promieniu . W ten sposób pożądany korpus jest ograniczony okrągłym cylindrem z boku i sferycznymi segmentami symetrycznymi względem płaszczyzny od góry i od dołu.

Biorąc za podstawową jednostkę miary, wykonamy rysunek:

Dokładniej, należy to nazwać rysunkiem, ponieważ nie zachowałem zbyt dobrze proporcji wzdłuż osi. Jednak, uczciwie, zgodnie z warunkiem, nie trzeba było niczego rysować, a taka ilustracja okazała się wystarczająca.

Pamiętaj, że tutaj nie trzeba ustalać wysokości, na której cylinder wycina „czapki” z kuli - jeśli podniesiesz kompas i zaznaczysz okrąg ze środkiem na początku współrzędnych o promieniu 2 cm , wtedy punkty przecięcia z cylindrem same się okażą.

Pobierz z Depositfiles

Potrójna całka.

Pytania kontrolne.

Całka potrójna, jej własności.

Zmiana zmiennych w całce potrójnej. Obliczanie całki potrójnej we współrzędnych walcowych.

Obliczanie całki potrójnej we współrzędnych sferycznych.

Niech funkcja u= F(x, y,z) jest zdefiniowany w ograniczonej domenie zamkniętej V przestrzeń R 3 . Podzielmy obszar V losowo włączony N elementarne obszary zamknięte V 1 , … ,V N mający objętości  V 1 , …,  V N odpowiednio. Oznaczać D jest największą średnicą regionu V 1 , … ,V N. W każdym obszarze V k wybierz dowolny punkt P k (X k y k ,z k) i komponować suma integralna Funkcje F(X, y,z)

S =

Definicja.całka potrójna z funkcji F(X, y,z) według obszaru V nazywana jest granicą sumy całkowitej
jeśli istnieje.

Zatem,

(1)

Komentarz. Suma integralna S zależy od tego, jak region jest podzielony V i wybór punktu P k (k=1, …, N). Jeśli jednak istnieje limit, nie zależy on od sposobu podziału regionu V i wybór punktu P k. Jeśli porównamy definicje całek podwójnych i potrójnych, to łatwo dostrzec w nich pełną analogię.

Warunek wystarczający istnienia całki potrójnej. Całka potrójna (13) istnieje, jeśli funkcja F(X, y,z) jest ograniczona V i ciągły w V, z wyjątkiem skończonej liczby fragmentarycznie gładkich powierzchni znajdujących się w V.

Niektóre własności całki potrójnej.

1) Jeśli Z jest więc stałą liczbową

3) Addytywność na obszarze. Jeśli obszar V podzielone na obszary V 1 I V 2, w takim razie

4) Objętość ciała V równa się

(2 )

Obliczanie całki potrójnej we współrzędnych kartezjańskich.

Pozwalać D projekcja ciała V do samolotu xOj, powierzchnie z=φ 1 (X,y),z=φ 2 (X, y) ograniczają ciało V odpowiednio poniżej i powyżej. To znaczy, że

V = {(X, y, z): (X, y)D , φ 1 (X,y)≤ z ≤ φ 2 (X,y)}.

Wezwiemy takie ciało z- cylindryczny. Całka potrójna (1) nad z- cylindryczny korpus V oblicza się przechodząc do całki iterowanej składającej się z całek podwójnych i oznaczonych:

(3 )

W tej iterowanej całce najpierw obliczana jest wewnętrzna całka oznaczona po zmiennej z, w której X, y są uważane za trwałe. Następnie obliczana jest całka podwójna otrzymanej funkcji po powierzchni D.

Jeśli V X- cylindryczny lub y- cylindryczny korpus, to odpowiednio wzory są poprawne

W pierwszej formule D  projekcja ciała V do płaszczyzny współrzędnych yOz, aw drugim - w samolocie xOz

Przykłady. 1) Oblicz objętość ciała V ograniczone powierzchniami z = 0, X 2 + y 2 = 4, z = X 2 + y 2 .

Rozwiązanie. Oblicz objętość za pomocą całki potrójnej zgodnie ze wzorem (2)

Przejdźmy do całki iterowanej według wzoru (3).

Pozwalać D koło X 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (X , y ) = 0, φ 2 (X , y )= X 2 +y 2. Następnie według wzoru (3) otrzymujemy

Aby obliczyć tę całkę, przechodzimy do współrzędnych biegunowych. Jednocześnie kółko D zamienione na komplet

D R = { (R , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ R ≤ 2} .

2) Ciało V ograniczone do powierzchni z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Oblicz

samoloty z=y , z = -y ograniczają ciało odpowiednio od dołu i od góry płaszczyznami x= 0 , x= 2 ograniczają ciało odpowiednio z tyłu iz przodu oraz płaszczyznę y= 1 granica po prawej stronie. V-z- cylindryczny korpus, jego rzut D do samolotu hej jest prostokątem OAB. Włóżmy φ 1 (X , y ) = -y

Załóżmy, że mamy dwa prostokątne układy współrzędnych w przestrzeni i
i układ funkcji

(1)

które ustanawiają korespondencję jeden do jednego między punktami niektórych obszarów
I
w tych układach współrzędnych. Załóżmy, że funkcje układu (1) mają in
ciągłe pochodne cząstkowe. Wyznacznik złożony z tych pochodnych cząstkowych

,

nazywa się jakobianem (lub wyznacznikiem Jacobiego) układu funkcji (1). Założymy, że
V
.

Przy powyższych założeniach zachodzi następujący ogólny wzór na zmianę zmiennych w całce potrójnej:

Jak w przypadku całka podwójna, jednoznaczność układu (1) i warunek
mogą zostać naruszone w poszczególnych punktach, na poszczególnych liniach i na poszczególnych powierzchniach.

Układ funkcji (1) dla każdego punktu
pasuje do jednego punktu
. Te trzy liczby
nazywane są współrzędnymi krzywoliniowymi punktu . Punkty przestrzeni
, dla których jedna z tych współrzędnych pozostaje stała, tworzą tzw. powierzchnia współrzędnych.

II Całka potrójna we współrzędnych cylindrycznych

Cylindryczny układ współrzędnych (CCS) jest zdefiniowany przez płaszczyznę
, w którym biegunowy układ współrzędnych i oś
prostopadle do tej płaszczyzny. Współrzędne punktu cylindrycznego
, Gdzie
– współrzędne biegunowe punktu – projekcje t okulary do samolotu
, A są współrzędnymi rzutu punktu na oś
Lub
.

W samolocie
współrzędne kartezjańskie wprowadzamy w zwykły sposób, kierując oś aplikacyjną wzdłuż osi
CSK. Teraz nie jest trudno uzyskać wzory odnoszące współrzędne cylindryczne do współrzędnych kartezjańskich:

(3)

Formuły te odwzorowują obszar na całą przestrzeń
.

Powierzchniami współrzędnych w tym przypadku będą:

1)
- powierzchnie cylindryczne z generatorami równoległymi do osi
, którego prowadnicami są okręgi na płaszczyźnie
, wyśrodkowany w punkcie ;

2)

;

3)
- płaszczyzny równoległe do płaszczyzn
.

System Jakobianu (3):

.

Ogólna formuła w przypadku CSC przyjmuje postać:

Uwaga 1 . Przejście do współrzędnych cylindrycznych jest zalecane, gdy obszarem całkowania jest kołowy walec lub stożek albo paraboloida obrotowa (lub ich części), a oś tego ciała pokrywa się z osią aplikatora
.

Uwaga 2. Współrzędne cylindryczne można uogólnić w taki sam sposób, jak współrzędne biegunowe na płaszczyźnie.

Przykład 1 Oblicz potrójną całkę funkcji

Przez region
, czyli wnętrze cylindra
, ograniczony stożkiem
i paraboloidy
.

Rozwiązanie. Rozważaliśmy już ten obszar w §2, przykład 6 i uzyskaliśmy standardową notację w DPSC. Jednak obliczenie całki w tym obszarze jest trudne. Przejdźmy do CSK:

.

Występ
ciało
do samolotu
jest okręgiem
. Dlatego współrzędna zmienia się od 0 do
, A – od 0 do R. Przez dowolny punkt
narysuj linię równoległą do osi
. Bezpośrednie wejście do
na stożku, ale wyjdzie na paraboloidzie. Ale stożek
ma równanie w CSK
i paraboloidy
- równanie
. Więc mamy

III Całka potrójna we współrzędnych sferycznych

Sferyczny układ współrzędnych (SCS) jest zdefiniowany przez płaszczyznę
, w którym określony jest LUW, oraz oś
, prostopadle do płaszczyzny
.

Współrzędne punktu sferycznego przestrzeń nazywa się potrójną liczbą
, Gdzie jest biegunowym kątem rzutu punktu na płaszczyznę
,- kąt między osiami
i wektor
I
.

W samolocie
wprowadzić osie współrzędnych kartezjańskich
I
w zwykły sposób, a oś aplikacyjna jest zgodna z osią
. Wzory odnoszące współrzędne sferyczne do kartezjańskiego to:

(4)

Formuły te odwzorowują obszar na całą przestrzeń
.

Jakobian układu funkcji (4):

.

Powierzchnie współrzędnych tworzą trzy rodziny:

1)
– koncentryczne sfery wyśrodkowane w początku;

2)
- półpłaszczyzny przechodzące przez oś
;

3)
są okrągłymi stożkami z wierzchołkiem w początku, którego oś jest osią
.

Wzór na przejście do SSC w potrójnej całce:

Uwaga 3. Przejście do SSC jest zalecane, gdy obszarem integracji jest piłka lub jej część. W tym przypadku równanie kuli
wchodzi w. Podobnie jak omówiony wcześniej CSC, CSC jest „przywiązany” do osi
. Jeśli środek kuli zostanie przesunięty o promień wzdłuż osi współrzędnych, wówczas najprostsze równanie sferyczne zostanie uzyskane z przesunięciem wzdłuż osi
:

Uwaga 4. Możliwe jest uogólnienie SSC:

z Jakobianem
. Ten układ funkcji przełoży elipsoidę

w równoległościan

Przykład 2 Znajdź średnią odległość punktów kuli o promieniu od jego centrum.

Rozwiązanie. Przypomnijmy, że średnia wartość funkcji
w pobliżu
jest potrójną całką funkcji po polu podzieloną przez objętość pola. W naszym przypadku

Więc mamy

Niech dane będzie ciało materialne, które jest obszarem przestrzennym P wypełnionym masą. Wymagane jest znalezienie masy m tego ciała pod warunkiem, że w każdym punkcie P € P znana jest gęstość rozkładu masy. Podzielmy region P na nienakładające się sześciany (to znaczy mające objętość) części odpowiednio z objętościami. W każdym z obszarów cząstkowych ft* wybieramy dowolny punkt P*. Załóżmy w przybliżeniu, że w granicach obszaru cząstkowego ft* gęstość jest stała i równa /*(P*). Wtedy masa Atk tej części ciała będzie wyrażona przez przybliżoną równość Atpk a masa całego ciała będzie w przybliżeniu równa Całka potrójna Własności całek potrójnych Obliczenie całki potrójnej we współrzędnych kartezjańskich Obliczenie całki potrójnej we współrzędnych kartezjańskich współrzędne cylindryczne i sferyczne Niech d będzie największą ze średnic obszarów cząstkowych Jeśli dla d - * 0 suma (1) ma skończoną granicę, która nie zależy od metody podziału dziedziny ft na poddomeny cząstkowe ani od wybór punktów Р* € ft*, to granica ta jest traktowana jako masa danego ciała m. Niech funkcja ograniczona zostanie zdefiniowana w domkniętej dziedzinie sześciennej ft. ft na n nieprzecinających się części sześciennych i oznaczymy ich objętości przez , odpowiednio. W każdej poddziedzinie cząstkowej P* dowolnie wybieramy punkt Pk(xk, yk, zk) i tworzymy sumę całkową Niech d będzie największą ze średnic dziedzin cząstkowych Definicja. Jeżeli dla d 0 sumy całkowe a mają granicę niezależną ani od sposobu podziału dziedziny A na poddziedziny cząstkowe П*, ani od wyboru punktów Pk ∈ П*, to granicę tę nazywamy trójcą całek funkcji f(x) y, z) względem dziedziny Q i jest oznaczane symbolem Twierdzenie 6. Jeżeli funkcja f(x, y, z) jest ciągła w domkniętej dziedzinie sześciennej Π, to jest całkowalne w tej domenie. Własności całek potrójnych Własności całek potrójnych są podobne do całek podwójnych.Wymieńmy najważniejsze z nich. Niech funkcje będą całkowalne w domenie sześciennej L. 1. Liniowość. W tym przypadku funkcję nazywamy całkowalną w dziedzinie Q. Zatem z definicji mamy Wracając do problemu obliczania masy ciała, zauważmy, że granicą (2) jest potrójna całka funkcji p( P) nad dziedziną P. Stąd, Tutaj dx dy dz - element objętości dv in Prostokątne współrzędne. gdzie a i (3 są dowolnymi stałymi rzeczywistymi. wszędzie w dziedzinie P, to 3. Jeśli f(P) = 1 w dziedzinie P, to n, gdzie V jest objętością dziedziny Q. Jeśli funkcja f(P) jest ciągła w zamkniętej domenie sześciennej f i M oraz t - jej największa i najmniejsza wartość w stopach, gdzie V jest objętością powierzchni w stopach. 5. Addytywność. Jeśli dziedzina ft jest podzielona na sześcienne dziedziny bez wspólnych punktów wewnętrznych i f(P) jest całkowalna w dziedzinie ft, to f(P) jest całkowalna na każdej z dziedzin ft| i ft2 oraz 6. Twierdzenie o wartości średniej. Twierdzenie 7 (o wartości średniej). Jeśli funkcja f(P) jest ciągła w domenie sześciennej ft, to istnieje cienkie Pc ∈ ft takie, że wzór jest prawdziwy, gdzie V jest objętością dziedziny ft (przypomnijmy, że dziedzina ta jest zbiorem spójnym). § 7. Obliczanie całki potrójnej we współrzędnych kartezjańskich Podobnie jak w przypadku obliczania całek podwójnych, sprawa sprowadza się do obliczania całek iterowanych. Załóżmy, że funkcja jest ciągła w jakiejś dziedzinie ft. 1 przypadek. Pole ft jest prostokątnym równoległościanem rzutowanym na płaszczyznę yOz na prostokąt i2; Następnie otrzymujemy Zastępując całkę podwójną przez powtarzaną, w końcu otrzymujemy Tak więc w przypadku, gdy obszar П jest równoległościanem prostokątnym, zredukowaliśmy obliczanie całki potrójnej do sekwencyjnego obliczania trzech całek zwykłych. Formułę (2) można zapisać w postaci, w której prostokąt jest rzutem prostopadłym równoległościanu P na płaszczyznę xOy. 2. przypadek. Rozważmy teraz obszar Q taki, że jego powierzchnia ograniczająca 5 przecina dowolną prostą równoległą do osi Oz co najwyżej w dwóch punktach lub wzdłuż całego odcinka (ryc. 22). Niech z = tpi(x, y) będzie równaniem powierzchni 5 ograniczającej dziedzinę Π od dołu i niech powierzchnia S2 ograniczająca dziedzinę Π od góry ma równanie z = y). Niech obie powierzchnie S1 i S2 rzutują na ten sam obszar płaszczyzny x0y. Oznaczmy to przez D, a krzywą ograniczającą przez L. Reszta granicy 5 ciała Q leży na cylindryczna powierzchnia z generatorami, równolegle do osi Oz i z krzywą L jako wskazówką. Następnie, analogicznie do wzoru (3), otrzymujemy Jeżeli obszar D płaszczyzny xOy jest trapezem krzywoliniowym ograniczonym dwiema krzywymi, to całkę podwójną we wzorze (4) można sprowadzić do iterowanej i ostatecznie otrzymujemy Ten wzór jest uogólnieniem wzoru (2). Rys. 23 Przykład. Oblicz objętość czworościanu ograniczonego płaszczyznami Rzutem czworościanu na płaszczyznę xOy jest trójkąt utworzony z prostych tak, że x zmienia się od 0 do 6, a przy stałym x (0 ^ x ^ 6) y zmienia się od 0 do 3 - | (Rys. 23). Jeśli zarówno x, jak i y są ustalone, punkt może poruszać się pionowo z płaszczyzny na płaszczyznę i waha się od 0 do 6 - x - 2y. Zgodnie ze wzorem otrzymujemy §8. Obliczanie całki potrójnej we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych Kwestię zamiany zmiennych w całce potrójnej rozwiązuje się analogicznie jak w przypadku całki podwójnej. Niech funkcja /(x, y, z) będzie ciągła w domkniętej dziedzinie sześciennej ft i niech funkcje będą ciągłe wraz z ich pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu w domkniętej dziedzinie sześciennej ft*. Załóżmy, że funkcje (1) ustalają relację jeden do jednego między wszystkimi punktami rj, () obszaru ft*, z jednej strony, a wszystkimi punktami (x, y, z) obszaru ft, na inny. Wtedy obowiązuje wzór na zmianę zmiennych w całce potrójnej - gdzie jest jakobianem układu funkcji (1). W praktyce przy obliczaniu całek potrójnych często stosuje się zamianę współrzędnych prostokątnych na współrzędne cylindryczne i sferyczne. 8.1. Całka potrójna we współrzędnych cylindrycznych W cylindrycznym układzie współrzędnych położenie punktu P w przestrzeni jest określone trzema liczbami p, gdzie p i (p są współrzędnymi biegunowymi rzutu P1 punktu P na płaszczyznę xOy, a z jest aplikatem punktu P (ryc. 24) Liczby nazywane są współrzędnymi cylindrycznymi punkty P. Oczywiste jest, że W układzie współrzędnych cylindrycznych powierzchnie współrzędnych Całka potrójna Właściwości całek potrójnych Obliczanie całki potrójnej we współrzędnych kartezjańskich Obliczenie całki potrójnej odpowiednio we współrzędnych walcowych i sferycznych opisuje: walec kołowy, którego oś pokrywa się z osią Oz, półpłaszczyznę przylegającą do osi Oz oraz płaszczyznę równoległą do płaszczyzny xOy. następujące wzory kartezjańskie (patrz ryc. 24) współrzędne cylindryczne mają postać (4) Wyrażenie nazywa się elementem objętości we współrzędnych cylindrycznych. To wyrażenie dla elementu objętości można również uzyskać z rozważań geometrycznych. Podzielmy domenę П na elementarne poddziedziny za pomocą powierzchni współrzędnych i obliczmy objętości otrzymanych graniastosłupów krzywoliniowych (ryc. 25). Można zauważyć, że Odrzucając nieskończenie małą wartość wyższego rzędu, otrzymujemy To pozwala nam przyjąć następującą wartość jako element objętości we współrzędnych cylindrycznych: Przykład 1. Znajdź objętość ciała ograniczonego powierzchniami 4 We współrzędnych cylindrycznych dane powierzchnie będą miały równania (patrz wzory (3)). Powierzchnie te przecinają się wzdłuż prostej r, którą opisuje układ równań (walec), (płaszczyzna) rys. 26 i jej rzut tym układem na płaszczyznę xOy. Zatem pożądaną objętość oblicza się ze wzoru (4) , w którym. Całka potrójna we współrzędnych sferycznych W sferycznym układzie współrzędnych położenie punktu P(x, y, z) w przestrzeni jest określone trzema liczbami, gdzie r jest odległością od początku układu współrzędnych do punktu będącego kątem między osią Ox i rzutem wektora promienia OP punktu P na płaszczyznę xOy, a c jest kątem między osią Oz a wektorem promienia OP punktu P, liczonym od osi Oz (rys. 27). Jest oczywiste, że. Powierzchnie współrzędnych w tym układzie współrzędnych: r = const - sfery wyśrodkowane w początku układu współrzędnych; ip = const półpłaszczyzny wychodzące z osi Oz; c = const - kołowe stożki o osi Oz. Ryż. 27 Z rysunku widać, że współrzędne sferyczna i kartezjańska są powiązane następującymi relacjami. Obliczmy jakobian funkcji (5). Mamy zatem, a wzór (2) przyjmuje postać Element objętości we współrzędnych sferycznych - Wyrażenie na element objętości można również uzyskać z rozważań geometrycznych. Rozważmy elementarny obszar w przestrzeni ograniczony sferami o promieniach r i r + dr, stożkami β i β + d$ oraz półpłaszczyznami.W przybliżeniu obszar ten można uznać za równoległościan prostokątny o wymiarach. Następnie właściwości całki potrójnej całki potrójnej Obliczanie całki potrójnej we współrzędnych kartezjańskich Obliczanie całki potrójnej we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych Z trzeciego równania znajdujemy granice zmienionego kąta 9: skąd