Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania jednolitego egzaminu państwowego z matematyki z wynikiem 60–65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z egzaminu państwowego Profile Unified z matematyki. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie sposoby rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiały referencyjne, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Jasne wyjaśnienia skomplikowanych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa do rozwiązywania złożonych problemów części 2 jednolitego egzaminu państwowego.

Powierzchnia piramidy. W tym artykule przyjrzymy się problemom związanym ze zwykłymi piramidami. Przypomnę, że regularna piramida to piramida, której podstawą jest foremny wielokąt, wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek tego wielokąta.

Boczna ściana takiej piramidy jest trójkątem równoramiennym.Wysokość tego trójkąta narysowanego z wierzchołka zwykła piramida, zwany apothem, SF – apothem:

W zadaniu przedstawionym poniżej należy znaleźć pole powierzchni całej piramidy lub pole jej powierzchni bocznej. Na blogu omawialiśmy już kilka problemów związanych ze zwykłymi ostrosłupami, gdzie została poruszona kwestia znalezienia elementów (wysokość, krawędź podstawy, krawędź boczna).

W Zadania z egzaminu jednolitego stanu Z reguły brane są pod uwagę regularne piramidy trójkątne, czworokątne i sześciokątne. Nie widziałem żadnych problemów z regularnymi piramidami pięciokątnymi i siedmiokątnymi.

Wzór na pole całej powierzchni jest prosty - musisz znaleźć sumę pola podstawy piramidy i pola jej powierzchni bocznej:

Rozważmy zadania:

Boki podstawy regularnej czworokątnej piramidy wynoszą 72, krawędzie boczne wynoszą 164. Znajdź pole powierzchni tej piramidy.

Pole powierzchni piramidy jest równe sumie pól powierzchni bocznej i podstawy:

*Powierzchnia boczna składa się z czterech trójkątów o równych polach. Podstawą piramidy jest kwadrat.

Pole boku piramidy możemy obliczyć za pomocą:

Zatem powierzchnia piramidy wynosi:

Odpowiedź: 28224

Boki podstawy regularnej sześciokątnej piramidy są równe 22, krawędzie boczne są równe 61. Znajdź pole powierzchni bocznej tej piramidy.

Podstawą regularnej piramidy sześciokątnej jest sześciokąt foremny.

Pole powierzchni bocznej tej piramidy składa się z sześciu obszarów równych trójkątów o bokach 61,61 i 22:

Znajdźmy obszar trójkąta, korzystając ze wzoru Herona:

Zatem pole powierzchni bocznej wynosi:

Odpowiedź: 3240

*W zadaniach przedstawionych powyżej pole powierzchni bocznej można obliczyć za pomocą innego wzoru na trójkąt, ale w tym celu należy obliczyć apotem.

27155. Znajdź pole powierzchni regularnej czworokątnej piramidy, której boki podstawy wynoszą 6 i których wysokość wynosi 4.

Aby znaleźć pole powierzchni piramidy, musimy znać pole podstawy i pole powierzchni bocznej:

Pole podstawy wynosi 36, ponieważ jest to kwadrat o boku 6.

Powierzchnia boczna składa się z czterech ścian, które są równymi trójkątami. Aby znaleźć pole takiego trójkąta, musisz znać jego podstawę i wysokość (apotem):

*Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu podstawy i wysokości narysowanej do tej podstawy.

Podstawa jest znana, jest równa sześć. Znajdźmy wysokość. Rozważmy prawy trójkąt(jest podświetlone na żółto):

Jedna noga jest równa 4, ponieważ jest to wysokość piramidy, druga jest równa 3, ponieważ jest równa połowie krawędzi podstawy. Przeciwprostokątną możemy znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa:

Oznacza to, że pole powierzchni bocznej piramidy wynosi:

Zatem powierzchnia całej piramidy wynosi:

Odpowiedź: 96

27069. Boki podstawy regularnej czworokątnej piramidy są równe 10, krawędzie boczne są równe 13. Znajdź pole powierzchni tej piramidy.

27070. Boki podstawy regularnej sześciokątnej piramidy są równe 10, krawędzie boczne są równe 13. Znajdź pole powierzchni bocznej tej piramidy.

Istnieją również wzory na pole powierzchni bocznej regularnej piramidy. W regularnej piramidzie podstawa jest rzutem prostopadłym powierzchni bocznej, zatem:

P- obwód podstawy, l- apotem piramidy

*Wzór ten opiera się na wzorze na pole trójkąta.

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o tym, jak wyprowadzane są te formuły, nie przegap tego i śledź publikację artykułów.To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.

jest figurą, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są reprezentowane przez trójkąty. Ich wierzchołki leżą w tym samym punkcie i odpowiadają wierzchołkowi piramidy.

Piramida może być zróżnicowana - trójkątna, czworokątna, sześciokątna itp. Jego nazwę można określić w zależności od liczby narożników przylegających do podstawy.
Właściwa piramida nazywana piramidą, w której boki podstawy, kąty i krawędzie są równe. Również w takiej piramidzie powierzchnia ścian bocznych będzie równa.
Wzór na pole powierzchni bocznej piramidy jest sumą pól wszystkich jej ścian:
Oznacza to, że aby obliczyć pole powierzchni bocznej dowolnej piramidy, musisz znaleźć obszar każdego pojedynczego trójkąta i dodać je do siebie. Jeśli piramida jest obcięta, jej ściany są reprezentowane przez trapezy. Istnieje inny wzór na regularną piramidę. W nim pole powierzchni bocznej oblicza się poprzez półobwód podstawy i długość apotemu:

Rozważmy przykład obliczenia pola powierzchni bocznej piramidy.
Niech zostanie podana regularna czworokątna piramida. Strona podstawy B= 6 cm, apotem A= 8 cm Znajdź pole powierzchni bocznej.

U podstawy regularnej czworokątnej piramidy znajduje się kwadrat. Najpierw znajdźmy jego obwód:

Teraz możemy obliczyć pole powierzchni bocznej naszej piramidy:

Aby znaleźć całkowitą powierzchnię wielościanu, musisz znaleźć pole jego podstawy. Wzór na pole podstawy piramidy może się różnić w zależności od tego, który wielokąt leży u podstawy. Aby to zrobić, skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta, obszar równoległoboku itp.

Rozważmy przykład obliczenia pola podstawy piramidy podanego przez nasze warunki. Ponieważ piramida jest regularna, u jej podstawy znajduje się kwadrat.
Powierzchnia kwadratowa obliczane według wzoru: ,
gdzie a jest bokiem kwadratu. Dla nas jest to 6 cm, co oznacza, że ​​pole podstawy piramidy wynosi:

Teraz pozostaje tylko znaleźć całkowitą powierzchnię wielościanu. Wzór na pole piramidy składa się z sumy pola jej podstawy i powierzchni bocznej.

• Zadanie 1. Znajdź całkowitą powierzchnię piramidy
• Zadanie 2. Znajdź pole powierzchni bocznej regularnej trójkątnej piramidy

Problem 1. Znajdź całkowitą powierzchnię regularnej piramidy

Rozwiązanie.

U podstawy regularnej trójkątnej piramidy leży trójkąt równoboczny.
Dlatego, aby rozwiązać problem, skorzystamy z właściwości regularnego trójkąta:

Znamy wysokość trójkąta, skąd możemy obliczyć jego pole.
h = √3/2a
za = h / (√3/2)
za = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Skąd powierzchnia podstawy będzie równa:
S = √3/4 za 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Aby znaleźć pole powierzchni bocznej, obliczamy wysokość KM. Zgodnie z zadaniem kąt OKM wynosi 45 stopni.
Zatem:
OK / MK = cos 45
Skorzystajmy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych i podstawmy znane wartości.

OK / MK = √2/2

Weźmy pod uwagę, że OK jest równe promieniowi okręgu wpisanego. Następnie
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Następnie
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Pole powierzchni bocznej jest wówczas równe połowie iloczynu wysokości i podstawy trójkąta.
Bok = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Zatem całkowita powierzchnia piramidy będzie równa
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Odpowiedź: 3√3 + 18/√6

Problem 2. Znajdź pole powierzchni bocznej regularnej piramidy

Rozwiązanie.

Ponieważ podstawą regularnej piramidy trójkątnej jest trójkąt równoboczny, AO jest promieniem okręgu opisanego wokół podstawy.
(To wynika z)

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym znajdujemy na podstawie jego właściwości

Skąd długość krawędzi regularnej trójkątnej piramidy będzie równa:
AM 2 = MO 2 + AO 2
wysokość piramidy jest znana z warunku (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Każdy bok piramidy jest trójkątem równoramiennym. Kwadrat trójkąt równoramienny znajdziemy z pierwszego wzoru przedstawionego poniżej

S = 1/2 * 16 kwadrat((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 m2((556/3) - 64)
S = 8 m2 (364/3)
S = 16 m2 (91/3)

Ponieważ wszystkie trzy ściany regularnej piramidy są równe, pole powierzchni bocznej będzie równe
3S = 48 √(91/3)

Odpowiedź: 48 √(91/3)

Zadanie 3. Znajdź całkowitą powierzchnię regularnej piramidy

Bok ostrosłupa trójkątnego ma długość 3 cm, a kąt między ścianą boczną a podstawą ostrosłupa wynosi 45 stopni. Znajdź całkowitą powierzchnię piramidy.

Rozwiązanie.
Ponieważ piramida jest regularna, u jej podstawy znajduje się trójkąt równoboczny. Dlatego obszar podstawy wynosi


Zatem = 9 * √3/4

Aby znaleźć pole powierzchni bocznej, obliczamy wysokość KM. Zgodnie z zadaniem kąt OKM wynosi 45 stopni.
Zatem:
OK / MK = cos 45
Skorzystajmy

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe iloczynowi jej apotemu i połowy obwodu podstawy.

Jeśli chodzi o powierzchnię całkowitą, po prostu dodajemy powierzchnię bazową do powierzchni bocznej.

Powierzchnia boczna regularnej piramidy jest równa iloczynowi półobwodu podstawy i apothemu.

Dowód:

Jeżeli bok podstawy to a, liczba boków wynosi n, to powierzchnia boczna piramidy jest równa:

za l n/2 = za n l/2 = pl/2

gdzie l jest apotemem, a p jest obwodem podstawy piramidy. Twierdzenie zostało udowodnione.

Ta formuła brzmi następująco:

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apotema piramidy.

Całkowitą powierzchnię piramidy oblicza się ze wzoru:

S pełny = S strona +S podstawowy

Jeśli piramida jest nieregularna, wówczas jej powierzchnia boczna będzie równa sumie pól jej ścian bocznych.

Objętość piramidy

Tom piramida jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości.

Dowód. Zaczniemy od trójkątnego pryzmatu. Narysujmy płaszczyznę przechodzącą przez wierzchołek A" górnej podstawy pryzmatu i przeciwległą krawędź BC dolnej podstawy. Płaszczyzna ta odetnie od pryzmatu trójkątną ostrosłup A" ABC. Pozostałą część pryzmatu rozłożymy na ciała stałe, rysując płaszczyznę przez przekątne A"C i B"C ścian bocznych. Powstałe dwa ciała są również piramidami. Uznając trójkąt A"B"C" za podstawę jednego z nich i C za jego wierzchołek, widzimy, że jego podstawa i wysokość są takie same jak w przypadku pierwszej odciętej przez nas piramidy, zatem piramidy A"ABC i CA"B"C" są równej wielkości. Ponadto obie nowe piramidy CA"B"C" i A"B"BC są również tej samej wielkości - stanie się to jasne, jeśli weźmiemy trójkąty BBC" i B"CC „ jako ich podstawy. „Słońca mają wspólny wierzchołek A”, a ich podstawy znajdują się w tej samej płaszczyźnie i są równe, dlatego piramidy są równej wielkości. Zatem pryzmat rozkłada się na trzy piramidy o jednakowej wielkości; objętość każdego z nich jest równa jednej trzeciej objętości pryzmatu, wówczas ogólnie objętość n-gonalnej piramidy jest równa jednej trzeciej objętości pryzmatu o tej samej wysokości i tej samej (. lub równa) podstawie Przywołując wzór wyrażający objętość pryzmatu, V=Sh, otrzymujemy wynik końcowy: V=1/3Sh.