Oblicz całkę liniową punktu połączenia. Obliczanie całek krzywoliniowych: teoria i przykłady. Masę łuku obliczamy ze wzoru

Dom

Arkusz falisty

Wykład 5 Całki krzywoliniowe I i II rodzaju, ich własności.

Problem z masą krzywej. Całka krzywoliniowa pierwszego rodzaju.

Problem z masą krzywej. Niech w każdym punkcie odcinkowo gładkiej krzywej materiału L: (AB) będzie określona jego gęstość. Wyznacz masę krzywej.

Postępujmy analogicznie jak przy wyznaczaniu masy obszaru płaskiego (całka podwójna) i ciała przestrzennego (całka potrójna).

1. Podział obszaru łuku L organizujemy na elementy - łuki elementarne, tak aby elementy te nie miały wspólnych punktów wewnętrznych i( warunek A )

3. Konstruuj sumę całkowitą , gdzie jest długością łuku (zwykle ten sam zapis wprowadza się dla łuku i jego długości). Jest to przybliżona wartość masy krzywej. Uproszczenie polega na tym, że założyliśmy, że gęstość łuku jest stała w każdym elemencie i przyjęliśmy skończoną liczbę elementów.

Przejście do podanego limitu (warunek B ), otrzymujemy całka liniowa pierwszego rodzaju jako granica sum całkowitych:

Twierdzenie o istnieniu.

Niech funkcja będzie ciągła na odcinkowo gładkim łuku L. Wtedy istnieje całka liniowa pierwszego rodzaju jako granica sum całkowitych.

Komentarz. Limit ten nie zależy od

Własności całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju.

1. Liniowość
a) właściwość superpozycji

b) właściwość jednorodności .

Dowód. Zapiszmy sumy całkowe całek po lewej stronie równości. Ponieważ suma całkowa ma skończoną liczbę wyrazów, przechodzimy do sum całkowitych dla prawych stron równości. Następnie przechodzimy do granicy, korzystając z twierdzenia o przejściu do granicy w równości, uzyskujemy pożądany wynik.

2. Addytywność.
Jeśli , To = +

3. Oto długość łuku.

4. Jeżeli na łuku nierówność jest spełniona, to

Dowód. Zapiszmy nierówność dla sum całkowitych i przejdźmy do granicy.

Należy pamiętać, że w szczególności jest to możliwe

5. Twierdzenie o estymacji.

Jeśli istnieją stałe, to

Dowód. Całkowanie nierówności (właściwość 4), otrzymujemy . Dzięki właściwości 1 stałe można wyjąć spod całek. Korzystając z właściwości 3, uzyskujemy pożądany wynik.

6. Twierdzenie o wartości średniej(wartość całki).

Jest pewien punkt , Co

Dowód. Ponieważ funkcja jest ciągła na zbiorze ograniczonym domkniętym, to istnieje jej minimum i górna krawędź . Nierówność jest spełniona. Dzieląc obie strony przez L, otrzymujemy . Ale numer zawarte pomiędzy dolną i górną granicą funkcji. Ponieważ funkcja jest ciągła na zbiorze ograniczonym L, to w pewnym momencie musi przyjąć tę wartość. Stąd, .

Obliczanie całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju.

Sparametryzujmy łuk L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Niech t 0 odpowiada punktowi A, a t 1 odpowiada punktowi B. Następnie całka liniowa pierwszego rodzaju sprowadza się do całki oznaczonej ( - wzór znany z I semestru na obliczenie różnicy długości łuku):

Przykład. Oblicz masę jednego zwoju jednorodnej (gęstość k) helisy: .

Całka krzywoliniowa II rodzaju.

Problem działania siły.

Ile pracy wykonuje siła?F(M) podczas przesuwania punktuMwzdłuż łukuAB?

Jeżeli łuk AB był odcinkiem linii prostej, a siła była stała pod względem wielkości i kierunku podczas przesuwania punktu M wzdłuż łuku AB, wówczas pracę można by obliczyć korzystając ze wzoru , gdzie jest kątem pomiędzy wektorami. W ogólnym przypadku wzór ten można wykorzystać do skonstruowania sumy całkowitej, zakładając stałą siłę działającą na element łuku o odpowiednio małej długości. Zamiast długości małego elementu łuku można przyjąć długość cięciwy go zaciskającej, gdyż wielkości te są równoważnymi wielkościami nieskończenie małymi pod warunkiem (pierwszy semestr).

1. Organizujemy podział obszaru-łuku AB na elementy - łuki elementarne, tak aby elementy te nie miały wspólnych punktów wewnętrznych i( warunek A )

2. Zaznaczmy „zaznaczone punkty” M i na elementach przegrody i obliczmy w nich wartości funkcji

3. Skonstruujmy sumę całkową , gdzie jest wektorem skierowanym wzdłuż cięciwy odpowiadającej łukowi.

4. Przejście do podanego limitu (warunek B ), otrzymujemy całkę krzywoliniową drugiego rodzaju jako granicę sum całkowych (i pracy siły):

. Często oznaczane

Twierdzenie o istnieniu.

Niech funkcja wektorowa będzie ciągła na odcinkowo gładkim łuku L. Wtedy istnieje całka krzywoliniowa drugiego rodzaju jako granica sum całkowitych.

Komentarz. Limit ten nie zależy od

Sposób wyboru przegrody, o ile spełniony jest warunek A

Wybór „oznaczonych punktów” na elementach przegrody,

Metoda udoskonalania podziału, o ile spełniony jest warunek B

Własności całki krzywoliniowej II rodzaju.

1. Liniowość
a) właściwość superpozycji

b) właściwość jednorodności .

Dowód. Zapiszmy sumy całkowe całek po lewej stronie równości. Ponieważ liczba wyrazów w sumie całkowitej jest skończona, korzystając z własności iloczynu skalarnego, przechodzimy do sum całkowitych dla prawych stron równości. Następnie przechodzimy do granicy, korzystając z twierdzenia o przejściu do granicy w równości, uzyskujemy pożądany wynik.

2. Addytywność.
Jeśli , To = + .

Dowód. Wybierzmy przekrój obszaru L tak, aby żaden z elementów przegrody (początkowo i przy doprecyzowywaniu przegrody) nie zawierał jednocześnie obu elementów L 1 i elementów L 2 . Można to zrobić za pomocą twierdzenia o istnieniu (uwaga do twierdzenia). Następnie dowód przeprowadza się za pomocą sum całkowitych, jak w akapicie 1.

3. Orientowalność.

= -

Dowód. Całka po łuku –L, tj. w ujemnym kierunku przechodzenia przez łuk istnieje granica sum całkowitych, w których zamiast tego występuje (). Wyjmując „minus” z iloczynu skalarnego i z sumy skończonej liczby wyrazów i przechodząc do granicy, otrzymujemy wymagany wynik.

Całkę krzywoliniową drugiego rodzaju oblicza się w taki sam sposób, jak całkę krzywoliniową pierwszego rodzaju, poprzez redukcję do oznaczonej. W tym celu wszystkie zmienne pod znakiem całki wyraża się za pomocą jednej zmiennej, korzystając z równania prostej, wzdłuż której przeprowadzana jest całka.

a) Jeśli linia AB jest wówczas dany układem równań

(10.3)

Dla przypadku płaskiego, gdy krzywa jest dana równaniem całkę krzywoliniową oblicza się ze wzoru: . (10.4)

Jeśli linia AB jest wówczas dana równaniami parametrycznymi

(10.5)

W przypadku płaskiej obudowy, jeśli linia AB dane równaniami parametrycznymi , całkę krzywoliniową oblicza się ze wzoru:

, (10.6)

gdzie są wartości parametrów T, odpowiadające punktom początkowym i końcowym ścieżki integracji.

Jeśli linia AB odcinkowo gładka, wówczas powinniśmy skorzystać z właściwości addytywności całki krzywoliniowej poprzez dzielenie AB na gładkich łukach.

Przykład 10.1 Obliczmy całkę krzywoliniową wzdłuż konturu składającego się z części krzywej z punktu Do i łuki elipsy z punktu Do .

Ponieważ kontur składa się z dwóch części, korzystamy z właściwości addytywności całki krzywoliniowej:

. Sprowadźmy obie całki do całek oznaczonych. Część konturu jest określona równaniem względem zmiennej

. Skorzystajmy ze wzoru (10.4 ), w którym zamieniamy role zmiennych. Te.

. Po obliczeniu otrzymujemy .

Aby obliczyć całkę konturową Słoneczny Przejdźmy do parametrycznej formy zapisu równania elipsy i skorzystajmy ze wzoru (10.6).

Zwróć uwagę na granice całkowania. Punkt odpowiada wartości i punktowi odpowiada Odpowiedź:
.

Przykład 10.2. Obliczmy wzdłuż odcinka linii prostej AB, Gdzie A(1,2,3), B(2,5,8).

Rozwiązanie. Dana jest całka krzywoliniowa drugiego rodzaju. Aby go obliczyć, należy go przekonwertować na konkretny. Ułóżmy równania linii. Jego wektor kierunkowy ma współrzędne .

Równania kanoniczne prostej AB: .

Równania parametryczne tej prostej: ,

Na
.

Skorzystajmy ze wzoru (10.5) :

Po obliczeniu całki otrzymujemy odpowiedź: .

5. Praca siły podczas ruchu punkt materialny masa jednostkowa z punktu do punktu wzdłuż krzywej .

Niech w każdym punkcie odcinkowo gładka krzywa dany wektor ma ciągłe funkcje współrzędnych: . Podzielmy tę krzywą na małe części za pomocą punktów tak, że w punktach każdej części znaczenie funkcji
można uznać za stałą, oraz samą część można pomylić z odcinkiem prostym (patrz rys. 10.1). Następnie . Iloczyn skalarny stałej siły, którego rolę pełni wektor , na prostoliniowy wektor przemieszczenia jest liczbowo równy pracy wykonanej przez siłę podczas przesuwania punktu materialnego wzdłuż . Zróbmy sumę całkowitą . W granicy, przy nieograniczonym wzroście liczby przegród, otrzymujemy całkę krzywoliniową II rodzaju

. (10.7) Zatem fizyczne znaczenie całki krzywoliniowej drugiego rodzaju - jest to praca wykonana siłą podczas przesuwania punktu materialnego A Do W wzdłuż konturu L.

Przykład 10.3. Obliczmy pracę wykonaną przez wektor podczas przesuwania punktu wzdłuż części krzywej Vivianiego zdefiniowanej jako przecięcie półkuli i cylinder , biegnącą w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, patrząc od dodatniej części osi WÓŁ.

Rozwiązanie. Skonstruujmy daną krzywą jako linię przecięcia dwóch powierzchni (patrz rys. 10.3).

Aby zredukować całkę do jednej zmiennej, przechodzimy do układ cylindryczny współrzędne: .

Ponieważ punkt porusza się po krzywej , wówczas wygodnie jest wybrać jako parametr zmienną, która zmienia się wzdłuż konturu w taki sposób, że . Następnie otrzymujemy następujące równania parametryczne tej krzywej:

.Naraz
.

Podstawmy powstałe wyrażenia do wzoru na obliczenie cyrkulacji:

( - znak + oznacza, że punkt przesuwa się po konturze w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara)

Obliczmy całkę i uzyskajmy odpowiedź: .

Lekcja 11.

Wzór Greena na obszar prosto spójny. Niezależność całki krzywoliniowej od ścieżki całkowania. Wzór Newtona-Leibniza. Znajdowanie funkcji z jej różniczki całkowitej za pomocą całki krzywoliniowej (przypadki płaskie i przestrzenne).

OL-1 rozdział 5, OL-2 rozdział 3, OL-4 rozdział 3 § 10, ust. 10.3, 10.4.

Praktyka : OL-6 nr 2318 (a, b, d), 2319 (a, c), 2322 (a, d), 2327, 2329 lub OL-5 nr 10.79, 82, 133, 135, 139.

Budowa domu na lekcji 11: OL-6 nr 2318 (c, d), 2319 (c, d), 2322 (b, c), 2328, 2330 lub OL-5 nr 10.80, 134, 136, 140

Wzór Greena.

Niech w samolocie biorąc pod uwagę prosto połączoną domenę ograniczoną odcinkowo gładkim zamkniętym konturem. (Obszar nazywa się po prostu spójnym, jeśli dowolny zamknięty kontur można w nim zawęzić do punktu w tym obszarze).

Twierdzenie. Jeśli funkcje i ich pochodne cząstkowe G, To

Rysunek 11.1

- Wzór Greena . (11.1)

Wskazuje dodatni kierunek obejścia (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).

Przykład 11.1. Korzystając ze wzoru Greena, obliczamy całkę wzdłuż konturu składającego się z segmentów O.A., O.B. i większy łuk koła , łącząc punkty A I B, Jeśli , , .

Rozwiązanie. Zbudujmy kontur (patrz ryc. 11.2). Obliczmy niezbędne pochodne.

Rysunek 11.2

;

. Funkcje i ich pochodne są ciągłe w obszarze zamkniętym ograniczonym danym konturem. Zgodnie ze wzorem Greena całka ta wynosi .

Po podstawieniu obliczonych pochodnych otrzymujemy

. Całkę podwójną obliczamy przechodząc do współrzędnych biegunowych:
.

Sprawdźmy odpowiedź obliczając całkę bezpośrednio wzdłuż konturu jako całkę krzywoliniową II rodzaju.
.

Odpowiedź:
.

2. Niezależność całki krzywoliniowej od ścieżki całkowania.

Pozwalać I - dowolne punkty obszaru prosto połączonego, pl. . Całki krzywoliniowe obliczone z różnych krzywych łączących te punkty na ogół mają różne znaczenia. Ale jeśli zostaną spełnione pewne warunki, wszystkie te wartości mogą okazać się takie same. Wtedy całka nie zależy od kształtu ścieżki, ale zależy tylko od punktu początkowego i końcowego.

Obowiązują następujące twierdzenia.

Twierdzenie 1. W celu całki
nie zależy od kształtu ścieżki łączącej punkty oraz , konieczne i wystarczające jest, aby ta całka po dowolnym zamkniętym konturze była równa zeru.

Twierdzenie 2.. W celu całki
wzdłuż dowolnego zamkniętego konturu jest równa zeru, konieczne i wystarczające jest, aby funkcja i ich pochodne cząstkowe były ciągłe w obszarze zamkniętym G i tak, aby warunek ( 11.2)

Zatem, jeśli spełnione są warunki, aby całka była niezależna od kształtu ścieżki (11.2) , wystarczy określić tylko punkt początkowy i końcowy: (11.3)

Twierdzenie 3. Jeśli warunek jest spełniony w domenie po prostu połączonej, to istnieje funkcja takie, że. (11.4)

Ta formuła nazywa się formułą Newtona-Leibniza dla całki po linii.

Komentarz. Przypomnijmy, że równość jest warunkiem koniecznym i wystarczającym tego, że wyrażenie
.

Następnie z powyższych twierdzeń wynika, że jeśli funkcje i ich pochodne cząstkowe ciągły w obszarze zamkniętym G, w którym przyznawane są punkty I , i , następnie

a) istnieje funkcja , taki, że

nie zależy od kształtu ścieżki, ,

c) wzór jest spełniony Newtona-Leibniza .

Przykład 11.2. Upewnijmy się, że całka
nie zależy od kształtu ścieżki i obliczmy to.

Rozwiązanie. .

Rysunek 11.3

Sprawdźmy, czy warunek (11.2) jest spełniony.

. Jak widzimy, warunek jest spełniony. Wartość całki nie zależy od ścieżki całkowania. Wybierzmy ścieżkę integracji. Bardzo

prostym sposobem obliczenia jest linia przerywana ŚREDNICA, łączący punkt początkowy i końcowy ścieżki. (Patrz rys. 11.3)

Następnie .

3. Znajdowanie funkcji na podstawie jej różnicy całkowitej.

Korzystając z całki krzywoliniowej, która nie zależy od kształtu ścieżki, możemy znaleźć funkcję , znając jego pełną różnicę. Problem ten rozwiązano w następujący sposób.

Jeśli funkcje i ich pochodne cząstkowe ciągły w obszarze zamkniętym G i , to wyrażenie to pełny mechanizm różnicowy jakąś funkcję . Poza tym całka
, po pierwsze, nie zależy od kształtu ścieżki, a po drugie, można je obliczyć za pomocą wzoru Newtona – Leibniza.

Obliczmy
na dwa sposoby.

Rysunek 11.4

a) Wybierz punkt w regionie

o określonych współrzędnych i punkt o dowolnych współrzędnych. Całkę krzywoliniową obliczmy wzdłuż linii łamanej składającej się z dwóch odcinków łączących te punkty, przy czym jeden z odcinków jest równoległy do osi, a drugi do osi. Następnie . (Patrz rys. 11.4)

Równanie.

Otrzymujemy: Po obliczeniu obu całek otrzymujemy pewną funkcję w odpowiedzi.

b) Teraz obliczamy tę samą całkę, korzystając ze wzoru Newtona – Leibniza.

Porównajmy teraz dwa wyniki obliczenia tej samej całki. Funkcjonalną częścią odpowiedzi z punktu a) jest wymagana funkcja , a część liczbowa to jego wartość w tym punkcie .

Przykład 11.3. Upewnijmy się, że wyrażenie
jest całkowitą różniczką jakiejś funkcji i znajdziemy ją. Sprawdźmy wyniki obliczeń z przykładu 11.2, korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza.

Rozwiązanie. Warunek istnienia funkcji (11.2) zostało sprawdzone w poprzednim przykładzie. Znajdźmy tę funkcję, dla której skorzystamy z rysunku 11.4 i weźmy punkt . Utwórzmy i obliczmy całkę wzdłuż linii łamanej DIA, Gdzie :

Jak wspomniano powyżej, częścią funkcjonalną powstałego wyrażenia jest pożądana funkcja
.

Sprawdźmy wynik obliczeń z Przykładu 11.2, korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza:

Wyniki były takie same.

Komentarz. Wszystkie rozważane stwierdzenia są również prawdziwe przypadek przestrzenny, ale pod wieloma warunkami.

Niech odcinkowo gładka krzywa należy do obszaru w przestrzeni . Wtedy, jeśli funkcje i ich pochodne cząstkowe są ciągłe w obszarze domkniętym, w którym podane są punkty i , i
(11.5 ), To

a) wyrażenie jest całkowitą różnicą jakiejś funkcji ,

b) całka krzywoliniowa całkowitej różniczki jakiejś funkcji nie zależy od kształtu ścieżki i ,

c) wzór jest spełniony Newtona-Leibniza .(11.6 )

Przykład 11.4. Upewnijmy się, że wyrażenie jest całkowitą różniczką jakiejś funkcji i znajdziemy ją.

Rozwiązanie. Aby odpowiedzieć na pytanie, czy dane wyrażenie jest zupełną różniczką jakiejś funkcji , obliczmy pochodne cząstkowe funkcji, , . (Cz. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Funkcje te są ciągłe wraz z ich pochodnymi cząstkowymi w dowolnym punkcie przestrzeni.

Widzimy, że spełnione są warunki konieczne i wystarczające istnienia : , , itp.

Aby obliczyć funkcję Skorzystajmy z faktu, że całka liniowa nie zależy od drogi całkowania i można ją obliczyć ze wzoru Newtona-Leibniza. Niech chodzi - początek ścieżki i jakiś punkt - koniec drogi . Obliczmy całkę

wzdłuż konturu składającego się z prostych odcinków równoległych do osi współrzędnych. (patrz ryc. 11.5).

Rysunek 11.5

Równania części konturu: ,

Następnie

, X naprawiono tutaj, więc ,

Nagrano tutaj y, Dlatego .

W rezultacie otrzymujemy: .

Obliczmy teraz tę samą całkę, korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza.

Porównajmy wyniki: .

Z otrzymanej równości wynika, że , i

Lekcja 12.

Całka powierzchniowa pierwszego rodzaju: definicja, podstawowe własności. Zasady obliczania całki powierzchniowej pierwszego rodzaju za pomocą całki podwójnej. Zastosowania całki powierzchniowej pierwszego rodzaju: pole powierzchni, masa powierzchni materiału, momenty statyczne względem płaszczyzn współrzędnych, momenty bezwładności, współrzędne środka ciężkości. OL-1 rozdz.6, OL 2 rozdz.3, OL-4§ 11.

Praktyka: OL-6 nr 2347, 2352, 2353 lub OL-5 nr 10.62, 65, 67.

Zadanie domowe na lekcję 12:

OL-6 nr 2348, 2354 lub OL-5 nr 10.63, 64, 68.

1. rodzaj.

1.1.1. Definicja całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju

Niech w samolocie Oksy dana krzywa (L). Niech dla dowolnego punktu na krzywej (L) określony funkcja ciągła f(x;y). Przerwijmy łuk AB kwestia (L) kropki A=P 0, P 1, P n = B NA N dowolne łuki P i -1 P ja z długościami ( ja = 1, 2, n) (ryc. 27)

Wybierzmy na każdym łuku P i -1 P ja dowolny punkt M ja (x ja ; y i), obliczmy wartość funkcji f(x;y) w tym punkcie M ja. Zróbmy sumę całkowitą

Niech gdzie.

λ→0 (n → ∞), niezależny od sposobu podziału krzywej ( L)do części elementarnych, ani od wyboru punktów M ja całka krzywoliniowa pierwszego rodzaju z funkcji f(x;y)(całka krzywoliniowa po długości łuku) i oznaczają:

Komentarz. W podobny sposób wprowadza się definicję całki krzywoliniowej funkcji f(x;y;z) wzdłuż krzywej przestrzennej (L).

Znaczenie fizyczne całka krzywoliniowa pierwszego rodzaju:

Jeśli (L)- krzywa płaska z płaszczyzną liniową, wówczas masę krzywej oblicza się ze wzoru:

1.1.2. Podstawowe własności całki krzywoliniowej I rodzaju:

3. Jeśli ścieżka integracji podzielone na części takie, że i mają jeden wspólny punkt, To .

4. Całka krzywoliniowa I rodzaju nie zależy od kierunku całkowania:

5. , gdzie jest długością krzywej.

1.1.3. Obliczanie całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju.

Obliczenie całki krzywoliniowej sprowadza się do obliczenia całki oznaczonej.

1. Niech krzywa (L) jest dane równaniem. Następnie

Oznacza to, że różnicę łuku oblicza się za pomocą wzoru.

Przykład

Oblicz masę odcinka prostej z punktu O(1;1) rzeczowy B(2;4), Jeśli .

Rozwiązanie

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: .

Następnie równanie prostej ( AB): , .

Znajdźmy pochodną.

Następnie . = .

2. Niech krzywa (L) określone parametrycznie: .

Następnie oblicza się różnicę łuku za pomocą wzoru.

W przestrzennym przypadku określenia krzywej: Następnie

Oznacza to, że różnicę łuku oblicza się za pomocą wzoru.

Przykład

Znajdź długość łuku krzywej, .

Rozwiązanie

Długość łuku obliczamy za pomocą wzoru: .

Aby to zrobić, znajdujemy różnicę łuku.

Znajdźmy pochodne , , . Następnie długość łuku: .

3. Niech krzywa (L) określony w biegunowym układzie współrzędnych: . Następnie

Oznacza to, że różnica łuku zostanie obliczona za pomocą wzoru.

Przykład

Oblicz masę łuku liniowego, 0≤ ≤ jeśli .

Rozwiązanie

Masę łuku obliczamy ze wzoru:

Aby to zrobić, znajdujemy różnicę łuku.

Znajdźmy pochodną.

1.2. Całka krzywoliniowa II rodzaju

1.2.1. Definicja całki krzywoliniowej II rodzaju

Niech w samolocie Oksy dana krzywa (L). Udać (L) podana jest funkcja ciągła f(x;y). Przerwijmy łuk AB kwestia (L) kropki ZA = P. 0, P. 1, P. n = B w kierunku od punktu A rzeczowy W NA N dowolne łuki P i -1 P ja z długościami ( ja = 1, 2, n) (ryc. 28).

Wybierzmy na każdym łuku P i -1 P ja dowolny punkt M ja (x i; y i), obliczmy wartość funkcji f(x;y) w tym punkcie M ja. Zróbmy sumę całkowitą, gdzie - długość rzutu łuku P i -1 P i na oś Oh. Jeżeli kierunek ruchu wzdłuż rzutu pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi Oh, następnie uwzględniany jest rzut łuków pozytywny, W przeciwnym razie - negatywny.

Niech gdzie.

Jeżeli istnieje ograniczenie sumy całkowitej przy λ→0 (n → ∞), niezależnie od sposobu podziału krzywej (L) na części elementarne, ani z wyboru punktów M ja w każdej części elementarnej, wówczas nazywa się tę granicę całka krzywoliniowa II rodzaju z funkcji f(x;y)(całka krzywoliniowa po współrzędnej X) i oznacz:

Komentarz. Całkę krzywoliniową po współrzędnej y wprowadza się podobnie:

Komentarz. Jeśli (L) jest krzywą zamkniętą, wówczas całkę nad nią oznacza się

Komentarz. Jeśli włączone ( L) podane są trzy funkcje na raz i z tych funkcji powstają całki , , ,

wówczas wywoływane jest wyrażenie: + + Całka ogólna krzywoliniowa II rodzaju i zapisz:

1.2.2. Podstawowe własności całki krzywoliniowej II rodzaju:

3. Gdy zmienia się kierunek całkowania, całka krzywoliniowa II rodzaju zmienia swój znak.

4. Jeśli ścieżka integracji jest podzielona na części takie, że , i mają jeden wspólny punkt, to

5. Jeśli krzywa ( L) leży w płaszczyźnie:

Oś prostopadła Oh, wtedy =0;

Oś prostopadła Oj, To ;

Oś prostopadła Oz, wtedy =0.

6. Całka krzywoliniowa II rodzaju po krzywej zamkniętej nie zależy od wyboru punktu początkowego (zależy jedynie od kierunku przechodzenia po krzywej).

1.2.3. Znaczenie fizyczne całki krzywoliniowej II rodzaju.

Praca A siły podczas przesuwania punktu materialnego o jednostkowej masie z punktu M rzeczowy N przed siebie ( MN) jest równe:

1.2.4. Obliczanie całki krzywoliniowej II rodzaju.

Obliczenie całki krzywoliniowej II rodzaju sprowadza się do obliczenia całki oznaczonej.

1. Niech krzywa ( L) jest dane równaniem .

Przykład

Oblicz gdzie ( L) - linia przerywana OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Rozwiązanie

Ponieważ (ryc. 29), to

1)Równanie (OA): , ,

2) Równanie prostej (AB): .

2. Niech krzywa (L) określone parametrycznie: .

Komentarz. W przypadku przestrzennym:

Przykład

Obliczać

Gdzie ( AB)- odcinek z A(0;0;1) Do B(2;-2;3).

Rozwiązanie

Znajdźmy równanie prostej ( AB):

Przejdźmy do parametrycznego zapisu równania prostej (AB). Następnie .

Punkt A(0;0;1) odpowiada parametrowi T równe: zatem t=0.

Punkt B(2;-2;3) odpowiada parametrowi T, równe: zatem, t=1.

Podczas przeprowadzki z A Do W,parametr T zmienia się z 0 na 1.

1.3. Wzór Greena. L) m.in. M(x;y;z) z osiami Wół, Oj, Oz

Dział " Wyższa matematyka»

Całki krzywoliniowe

Wytyczne

Wołgograd

UDC 517.373(075)

Recenzent:

Starszy wykładowca Katedry Matematyki Stosowanej N.I. Kolcowa

Wydane decyzją rady redakcyjno-wydawniczej

Państwowy Uniwersytet Techniczny w Wołgogradzie

Całki krzywoliniowe: metoda. instrukcja / komp. M.I. Andreeva,

OE Grigoriewa; Państwowy Uniwersytet Techniczny w Wołdze. – Wołgograd, 2011. – 26 s.

Wytyczne stanowią przewodnik po realizacji poszczególnych zadań na temat „Całki krzywoliniowe i ich zastosowania w teorii pola”.

Pierwsza część poradnika zawiera niezbędny materiał teoretyczny do realizacji poszczególnych zadań.

W drugiej części przeanalizowano przykłady wykonania wszystkich rodzajów zadań zawartych w poszczególnych zadaniach z danego tematu, co przyczynia się do lepszej organizacji niezależna praca uczniów i pomyślne opanowanie tematu.

Wytyczne przeznaczone są dla studentów pierwszego i drugiego roku studiów.

uczelnia techniczna, 2011

CAŁKA krzywoliniowa pierwszego rodzaju

Definicja całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju

Niech È AB– łuk płaskiej lub przestrzennej, fragmentarycznie gładkiej krzywej L, F(P) jest funkcją ciągłą zdefiniowaną na tym łuku, A 0 = A, A 1 , A 2 , …, Jakiś – 1 , Jakiś = B AB I P ja– dowolne punkty na łukach cząstkowych È A ja – 1 A ja, których długości wynoszą D ja (I = 1, 2, …, N

Na N® ¥ i max D ja® 0, co nie zależy od sposobu podziału łuku È AB kropki A ja ani z wyboru punktów P ja na częściowych łukach È A ja – 1 A ja (I = 1, 2, …, N). Granicę tę nazywa się całką krzywoliniową pierwszego rodzaju funkcji F(P) wzdłuż krzywej L i jest wyznaczony

Obliczanie całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju

Obliczenie całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju można sprowadzić do obliczenia całki oznaczonej w na różne sposoby ustawienie krzywej całkowania.

Jeśli łuk È AB krzywa płaska jest dana parametrycznie za pomocą równań gdzie X(T) I y(T T, I X(T 1) = xA, X(T 2) = xB, To

Gdzie - różnica długości łuku krzywej.

Podobna formuła ma miejsce w przypadku parametrycznego określenia krzywej przestrzennej L. Jeśli łuk È AB krzywy L jest dana równaniami , i X(T), y(T), z(T) – różniczkowalne w sposób ciągły funkcje parametru T, To

gdzie jest różnicą długości łuku krzywej.

V Współrzędne kartezjańskie

Jeśli łuk È AB płaska krzywa L dane równaniem Gdzie y(X

a wzór na obliczenie całki krzywoliniowej to:

Podczas określania łuku È AB płaska krzywa L w formie X= X(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
Gdzie X(y) jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągły,

a całkę krzywoliniową oblicza się ze wzoru

(1.4)

Definiowanie krzywej całkowania za pomocą równania biegunowego

Jeśli krzywa jest płaska L dane przez równanie w biegunowym układzie współrzędnych R = R(j), j О , gdzie R(j) jest zatem funkcją różniczkowalną w sposób ciągły

(1.5)

Zastosowania całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju

Za pomocą całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju oblicza się: długość łuku krzywej, powierzchnię części powierzchnia cylindryczna, masa, momenty statyczne, momenty bezwładności i współrzędne środka ciężkości krzywej materiału o danej gęstości liniowej.

1. Długość l krzywa płaska lub przestrzenna L znajduje się ze wzoru

2. Powierzchnia części powierzchni cylindrycznej równoległej do osi OZ tworząca i zlokalizowana w płaszczyźnie XOY przewodnik L, zamknięty pomiędzy płaszczyzną XOY i powierzchnia określona równaniem z = F(X; y) (F(P) ³ 0 o godz P Î L), jest równe

(1.7)

3. Waga M krzywa materialna L o gęstości liniowej m( P) określa się ze wzoru

(1.8)

4. Momenty statyczne względem osi Wół I Oj oraz współrzędne środka ciężkości płaskiej krzywej materiału L o gęstości liniowej m( X; y) są odpowiednio równe:

(1.9)

5. Momenty statyczne dotyczące płaszczyzn Oksy, Oxz, Oj oraz współrzędne środka ciężkości krzywej materiału przestrzennego o gęstości liniowej m( X; y; z) wyznaczane są według wzorów:

(1.11)

6. Dla płaskiej krzywej materiału L o gęstości liniowej m( X; y) momenty bezwładności względem osi Wół, Oj i początek współrzędnych są odpowiednio równe:

(1.13)

7. Momenty bezwładności przestrzennej krzywej materiału L o gęstości liniowej m( X; y; z) względem płaszczyzn współrzędnych oblicza się korzystając ze wzorów

(1.14)

a momenty bezwładności względem osi współrzędnych są równe:

(1.15)

2. CAŁKA krzywoliniowa II rodzaju

Definicja całki krzywoliniowej II rodzaju

Niech È AB– łuk odcinkowo gładkiej krzywizny zorientowanej L, = (x(P); y(P); z(P)) – zdefiniowany na tym łuku jest ciągły funkcja wektorowa, A 0 = A, A 1 , A 2 , …, Jakiś – 1 , Jakiś = B– dowolny podział łuku AB I P ja– dowolne punkty na łukach cząstkowych A ja – 1 A ja. Niech będzie wektorem o współrzędnych D x ja, D tak, ja, D z ja(I = 1, 2, …, N) i jest iloczynem skalarnym wektorów i ( I = 1, 2, …, N). Wtedy istnieje granica ciągu sum całkowitych

Na N® ¥ i max ÷ ç ® 0, które nie zależy od sposobu podziału łuku AB kropki A ja ani z wyboru punktów P ja na częściowych łukach È A ja – 1 A ja
(I = 1, 2, …, N). Granicę tę nazywa się całką krzywoliniową drugiego rodzaju funkcji ( P) wzdłuż krzywej L i jest wyznaczony

W przypadku, gdy funkcja wektorowa jest określona na krzywej płaskiej L, podobnie mamy:

Gdy zmienia się kierunek całkowania, całka krzywoliniowa II rodzaju zmienia znak.

Całki krzywoliniowe pierwszego i drugiego rodzaju powiązane są zależnością

(2.2)

gdzie jest wektorem jednostkowym stycznej do zorientowanej krzywej.

Korzystając z całki krzywoliniowej II rodzaju, można obliczyć pracę siły podczas przesuwania punktu materialnego po łuku krzywej L:

Dodatni kierunek pokonywania krzywej zamkniętej Z, ograniczający prosto połączony region G, uwzględnia się przemieszczenie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Całka krzywoliniowa II rodzaju po krzywej zamkniętej Z nazywa się obiegiem i jest oznaczany

(2.4)

Obliczanie całki krzywoliniowej II rodzaju

Obliczenie całki krzywoliniowej II rodzaju sprowadza się do obliczenia całki oznaczonej.

Parametryczna definicja krzywej całkowej

Jeśli È AB zorientowana krzywa płaska jest określona parametrycznie za pomocą równań gdzie X(T) I y(T) – różniczkowalne w sposób ciągły funkcje parametru T, a potem

Podobna formuła ma miejsce w przypadku parametrycznego określenia krzywej zorientowanej przestrzennie L. Jeśli łuk È AB krzywy L jest dana równaniami , i – różniczkowalne w sposób ciągły funkcje parametru T, To

Jawnie określając płaską krzywą całkowania

Jeśli łuk È AB L jest podana we współrzędnych kartezjańskich za pomocą równania gdzie y(X) jest zatem funkcją różniczkowalną w sposób ciągły

(2.7)

Podczas określania łuku È AB krzywa zorientowana na płaszczyznę L w formie
X= X(y), y Î [ y 1 ; y 2], gdzie X(y) jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągły, wzór jest ważny

(2.8)

Niech funkcje są ciągłe wraz z ich pochodnymi

w płaskim, zamkniętym obszarze G, ograniczony odcinkowo gładką, zamkniętą, samorozłączną krzywą zorientowaną dodatnio Z+ . Wtedy zachodzi wzór Greena:

Pozwalać G– obszar połączony powierzchniowo, oraz

= (x(P); y(P); z(P))

– pole wektorowe określone w tym obszarze. Pole ( P) nazywany jest potencjałem, jeśli taka funkcja istnieje U(P), Co

(P) = stopień U(P),

Konieczne i warunek wystarczający potencjał pola wektorowego ( P) ma postać:

gnić( P) = , gdzie (2.10)

(2.11)

Jeżeli pole wektorowe jest potencjalne, to całka krzywoliniowa drugiego rodzaju nie zależy od krzywej całkowania, ale zależy tylko od współrzędnych początku i końca łuku M 0 M. Potencjał U(M) pola wektorowego wyznacza się do stałego członu i oblicza się go ze wzoru

(2.12)

Gdzie M 0 M– dowolna krzywa łącząca stały punkt M 0 i punkt zmienny M. Aby uprościć obliczenia, jako ścieżkę całkowania można wybrać linię przerywaną M 0 M 1 M 2 M z łączami równoległymi do osi współrzędnych, na przykład:

3. przykłady realizacji zadań

Zadanie 1

Oblicz całkę krzywoliniową pierwszego rodzaju

gdzie L jest łukiem krzywej, 0 ≤ X ≤ 1.

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (1.3) sprowadzić całkę krzywoliniową pierwszego rodzaju do całki oznaczonej w przypadku wyraźnie określonej krzywej na gładkiej płaszczyźnie:

Gdzie y = y(X), X 0 ≤ X ≤ X 1 – równanie łuku L krzywa integracji. W rozważanym przykładzie Znajdź pochodną tej funkcji

oraz różnicę długości łuku krzywej L

następnie podstawiając to wyrażenie zamiast y, otrzymujemy

Przekształćmy całkę krzywoliniową na całkę oznaczoną:

Obliczamy tę całkę za pomocą podstawienia. Następnie
T 2 = 1 + X, X = T 2 – 1, dx = 2t dt; Na x = 0 T= 1; A X= 1 odpowiada . Po przekształceniach otrzymujemy

Zadanie 2

Oblicz całkę krzywoliniową pierwszego rodzaju wzdłuż łuku L krzywy L:X= cos 3 T, y= grzech 3 T, .

Rozwiązanie. Ponieważ L jest łukiem gładkiej krzywej płaskiej, danym w postaci parametrycznej, wówczas stosujemy wzór (1.1) do redukcji całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju do całki oznaczonej:

W rozważanym przykładzie

Znajdźmy różnicę długości łuku

Podstawiamy znalezione wyrażenia do wzoru (1.1) i obliczamy:

Zadanie 3

Znajdź masę łuku linii L z płaszczyzną liniową m.

Rozwiązanie. Waga Młuki L o gęstości m( P) oblicza się ze wzoru (1.8)

Jest to całka krzywoliniowa I rodzaju po parametrycznie określonym gładkim łuku krzywej w przestrzeni, dlatego oblicza się ją ze wzoru (1.2) na redukcję całki krzywoliniowej I rodzaju do całki oznaczonej:

Znajdźmy pochodne

i różnicę długości łuku

Podstawiamy te wyrażenia do wzoru na masę:

Zadanie 4

Przykład 1. Oblicz całkę krzywoliniową II rodzaju

wzdłuż łuku L krzywa 4 X + y 2 = 4 z punktu A(1; 0) do punktu B(0; 2).

Rozwiązanie. Płaski łuk L jest określone pośrednio. Aby obliczyć całkę, wygodniej jest wyrazić X Poprzez y:

i znaleźć całkę korzystając ze wzoru (2.8) umożliwiającego przekształcenie całki krzywoliniowej II rodzaju w całkę oznaczoną po zmiennej y:

Gdzie x(X; y) = xy – 1, y(X; y) = xy 2 .

Uwzględnienie przypisania krzywej

Korzystając ze wzoru (2.8) otrzymujemy

Przykład 2. Oblicz całkę krzywoliniową II rodzaju

Gdzie L– linia przerywana ABC, A(1; 2), B(3; 2), C(2; 1).

Rozwiązanie. Z własności addytywności całki krzywoliniowej

Każdy ze składników całkowych oblicza się ze wzoru (2.7)

Gdzie x(X; y) = X 2 + y, y(X; y) = –3xy.

Równanie odcinka AB: y = 2, y¢ = 0, X 1 = 1, X 2 = 3. Podstawiając te wyrażenia do wzoru (2.7) otrzymujemy:

Aby obliczyć całkę

zróbmy równanie prostej przed Chrystusem według formuły

Gdzie xB, i B, x C, yC– współrzędne punktu B I Z. Dostajemy

y – 2 = X – 3, y = X – 1, y¢ = 1.

Otrzymane wyrażenia podstawiamy do wzoru (2.7):

Zadanie 5

Oblicz całkę krzywoliniową drugiego rodzaju wzdłuż łuku L

0 ≤ T ≤ 1.

Rozwiązanie. Ponieważ krzywa integracji jest dana parametrycznie przez równania x = x(T), y = y(T), T Î [ T 1 ; T 2], gdzie X(T) I y(T) – funkcje różniczkowalne w sposób ciągły T Na T Î [ T 1 ; T 2 ], wówczas do obliczenia całki krzywoliniowej drugiego rodzaju korzystamy ze wzoru (2.5) redukując całkę krzywoliniową do określonej dla płaszczyzny zadanej parametrycznie krzywej

W rozważanym przykładzie x(X; y) = y; y(X; y) = –2X.

Biorąc pod uwagę ustawienie krzywej L otrzymujemy:

Podstawiamy znalezione wyrażenia do wzoru (2.5) i obliczamy całkę oznaczoną:

Zadanie 6

Przykład 1. C + Gdzie Z : y 2 = 2X, y = X – 4.

Rozwiązanie. Oznaczenie C+ wskazuje, że obwód jest przemieszczany w kierunku dodatnim, to znaczy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Sprawdźmy, czy do rozwiązania problemu możemy skorzystać ze wzoru Greena (2.9)

Ponieważ funkcje x (X; y) = 2y – X 2 ; y (X; y) = 3X + y i ich pochodne cząstkowe ciągły w płaskim obszarze zamkniętym G, ograniczone konturem C, wówczas obowiązuje wzór Greena.

Aby obliczyć całkę podwójną, przedstawiamy region G, po wcześniejszym ustaleniu punktów przecięcia łuków krzywych y 2 = 2X I
y = X– 4, tworząc kontur C.

Punkty przecięcia znajdziemy rozwiązując układ równań:

Drugie równanie układu jest równoważne równaniu X 2 – 10X+ 16 = 0, skąd X 1 = 2, X 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Zatem punkty przecięcia krzywych: A(2; –2), B(8; 4).

Od okolicy G– poprawny w kierunku osi Wół, a następnie, aby zredukować całkę podwójną do powtórzonej, rzutujemy region G na oś OJ i skorzystaj ze wzoru

Ponieważ A = –2, B = 4, X 2 (y) = 4+y, To

Przykład 2. Oblicz całkę krzywoliniową II rodzaju wzdłuż zamkniętego konturu Gdzie Z– zarys trójkąta z wierzchołkami A(0; 0), B(1; 2), C(3; 1).

Rozwiązanie. Oznaczenie oznacza, że kontur trójkąta przebiega zgodnie z ruchem wskazówek zegara. W przypadku przyjęcia całki krzywoliniowej po zamkniętym konturze wzór Greena przyjmuje postać

Przedstawmy obszar G, ograniczone danym konturem.

Funkcje i pochodne cząstkowe oraz ciągły w okolicy G, więc można zastosować wzór Greena. Następnie

Region G jest nieprawidłowy w kierunku którejkolwiek z osi. Narysujmy odcinek linii prostej X= 1 i wyobraź sobie G w formie G = G 1 È G 2 gdzie G 1 i G 2 obszary prawidłowe w kierunku osi Oj.

Następnie

Dla wiadomości każdego całki podwójne Przez G 1 i G 2, aby powtórzyć, użyjemy wzoru

Gdzie [ A; B] – rzut obszarowy D na oś Wół,

y = y 1 (X) – równanie dolnej krzywej granicznej,

y = y 2 (X) – równanie górnej krzywej granicznej.

Zapiszmy równania granic dziedzin G 1 i znajdź

AB: y = 2X, 0 ≤ X ≤ 1; OGŁOSZENIE: , 0 ≤ X ≤ 1.

Utwórzmy równanie granicy przed Chrystusem region G 2 korzystając ze wzoru

przed Chrystusem: gdzie 1 ≤ X ≤ 3.

DC: 1 ≤ X ≤ 3.

Zadanie 7

Przykład 1. Znajdź działanie siły L: y = X 3 z pkt M(0; 0) do punktu N(1; 1).

Rozwiązanie. Praca wykonywana przez zmienną siłę podczas przesuwania punktu materialnego wzdłuż łuku krzywej L określona wzorem (2.3) (jako całka krzywoliniowa drugiego rodzaju funkcji wzdłuż krzywej L) .

Ponieważ funkcję wektorową podaje równanie, a łuk krzywej zorientowanej na płaszczyznę jest wyraźnie zdefiniowany przez równanie y = y(X), X Î [ X 1 ; X 2], gdzie y(X) jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągły, to według wzoru (2.7)

W rozważanym przykładzie y = X 3 , , X 1 = x M = 0, X 2 = x N= 1. Dlatego

Przykład 2. Znajdź działanie siły podczas przesuwania punktu materialnego wzdłuż linii L: X 2 + y 2 = 4 z punktu M(0; 2) do punktu N(–2; 0).

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (2.3) otrzymujemy

W rozważanym przykładzie łuk krzywej L(È MN) to jedna czwarta określonego koła równanie kanoniczne X 2 + y 2 = 4.

Aby obliczyć całkę krzywoliniową drugiego rodzaju, wygodniej jest przejść do parametrycznej definicji okręgu: X = R sałata T, y = R grzech T i użyj wzoru (2.5)

Ponieważ X= 2cos T, y= 2 grzech T, , , otrzymujemy

Zadanie 8

Przykład 1. Oblicz moduł cyrkulacji pola wektorowego wzdłuż konturu G:

Rozwiązanie. Aby obliczyć cyrkulację pola wektorowego wzdłuż zamkniętego konturu G skorzystajmy ze wzoru (2.4)

Ponieważ dane jest przestrzenne pole wektorowe i przestrzenna pętla zamknięta G, następnie przechodząc od postaci wektorowej zapisując całkę krzywoliniową do postaci współrzędnych, otrzymujemy

Krzywa G zdefiniowany jako przecięcie dwóch powierzchni: paraboloida hiperboliczna z = x 2 – y 2+2 i cylindry X 2 + y 2 = 1. Aby obliczyć całkę krzywoliniową, wygodnie jest przejść do równań parametrycznych krzywej G.

Równanie powierzchni cylindrycznej można zapisać jako:
X=co T, y= grzech T, z = z. Wyrażenie dla z w równaniach parametrycznych krzywej otrzymuje się przez podstawienie X=co T, y= grzech T w równaniu paraboloidy hiperbolicznej z = 2 + sałata 2 T– grzech 2 T= 2 + sałata 2 T. Więc, G: X=co T,
y= grzech T, z= 2 + sałata 2 T, 0 ≤ T≤ 2p.

Ponieważ te zawarte w równaniach parametrycznych krzywej G funkcje
X(T) = sałata T, y(T) = grzech T, z(T) = 2 + cos 2 T są ciągle różniczkowalnymi funkcjami parametru T Na TО , następnie znajdujemy całkę krzywoliniową korzystając ze wzoru (2.6)

Sekcje