Niech teraz będzie znana funkcja. Na ryc. 5.10
I
 wektory prędkości punktu poruszającego się w momentach T i  T. Aby uzyskać przyrost wektora prędkości
przesuń wektor równolegle
rzeczowy M:

Średnie przyspieszenie punktu w czasie  T nazywa się współczynnikiem przyrostu wektora prędkości
na pewien okres T:

Stąd, przyspieszenie punktu w w tej chwili czas jest równy pierwszej pochodnej po czasie wektora prędkości punktu lub drugiej pochodnej wektora promienia po czasie

. (5.11)

Przyspieszenie punktowe jest to wielkość wektorowa charakteryzująca szybkość zmiany wektora prędkości w czasie.

Skonstruujmy hodograf prędkości (ryc. 5.11). Z definicji hodograf prędkości to krzywa rysowana na końcu wektora prędkości, gdy punkt się porusza, jeśli wektor prędkości jest wykreślany z tego samego punktu.

Wyznaczanie prędkości punktu metodą współrzędnych określającą jego ruch

Niech ruch punktu będzie określony metodą współrzędnych w System kartezjański współrzędne

X = X(T), y = y(T), z = z(T)

Wektor promienia punktu jest równy

.

Ponieważ wektory jednostkowe
są stałe, to z definicji

. (5.12)

Oznaczmy rzuty wektora prędkości na oś Oh, Oh I Oz Poprzez V X , V y , V z

(5.13)

Porównując równości (5.12) i (5.13) otrzymujemy

(5.14)

W dalszej części pochodna po czasie będzie oznaczona kropką powyżej, tj.

.

Moduł prędkości punktu określa się ze wzoru

. (5.15)

Kierunek wektora prędkości wyznaczają cosinusy kierunkowe:

Wyznaczanie przyspieszenia punktu metodą współrzędnych określenia jego ruchu

Wektor prędkości w kartezjańskim układzie współrzędnych jest równy

.

Z definicji

Oznaczmy rzuty wektora przyspieszenia na oś Oh, Oh I Oz Poprzez A X , A y , A z Odpowiednio rozwijamy wektor prędkości wzdłuż osi:

. (5.17)

Porównując równości (5.16) i (5.17) otrzymujemy

Moduł wektora przyspieszenia punktowego oblicza się analogicznie do modułu wektora prędkości punktowej:

, (5.19)

a kierunek wektora przyspieszenia jest zgodny z cosinusami kierunku:

Wyznaczanie prędkości i przyspieszenia punktu metodą naturalną wyznaczania jego ruchu

Orty I wylegiwać się płaszczyzna oscylacyjna, wektory jednostkowe I V normalny samolot, wektory jednostkowe I - W płaszczyzna prostowania.

Powstały trójścian nazywa się naturalnym.

Niech zostanie dane prawo ruchu punktu S = S(T).

Wektor promienia zwrotnica M względem dowolnego stałego punktu będzie złożoną funkcją czasu
.

Z geometrii różniczkowej znane są wzory Serre’a-Freneta ustalające powiązania pomiędzy wektorami jednostkowymi osi naturalnych a funkcją wektorową krzywej

gdzie  jest promieniem krzywizny trajektorii.

Korzystając z definicji prędkości i wzoru Serre’a-Freneta otrzymujemy:

. (5.20)

Oznaczanie rzutu prędkości na styczną i biorąc pod uwagę, że wektor prędkości jest skierowany stycznie, mamy

. (5.21)

Porównując równości (5.20) i (5.21) otrzymujemy wzory na określenie wektora prędkości pod względem wielkości i kierunku

Ogrom pozytywne, jeśli o to chodzi M porusza się w kierunku dodatnim odniesienia łuku S i negatywne w przeciwnym przypadku.

Korzystając z definicji przyspieszenia i wzoru Serre’a-Freneta otrzymujemy:

Oznaczmy rzut przyspieszenia punktu na stycznej , główny normalny i binormalny
odpowiednio.

Wtedy jest przyspieszenie

Ze wzorów (5.23) i (5.24) wynika, że ​​wektor przyspieszenia zawsze leży w płaszczyźnie styku i jest rozwijany w kierunkach I :

(5.25)

Rzut przyspieszenia na styczną
zwany tangens Lub przyspieszenie styczne. Charakteryzuje zmianę prędkości.

Rzut przyspieszenia na normalną główną
zwany normalne przyspieszenie.

Charakteryzuje zmianę wektora prędkości w kierunku.
.

Wielkość wektora przyspieszenia jest równa I Jeśli

Wielkość wektora przyspieszenia jest równa I tego samego znaku, wówczas ruch punktu zostanie przyspieszony.

różne znaki, wówczas ruch punktu będzie powolny.

Trajektoria ruchu punktu materialnego przez wektor promienia Zapominając o tej części matematyki, w pamięci mam równania ruchu punkt materialny zawsze były przedstawiane za pomocą znanej nam wszystkim zależności y(x) i patrząc na tekst problemu, byłem trochę zaskoczony, gdy zobaczyłem wektory. Okazało się, że istnieje reprezentacja trajektorii punktu materialnego za pomocą wektor promienia

— wektor określający położenie punktu w przestrzeni względem jakiegoś wcześniej ustalonego punktu, zwanego początkiem. W ten sam sposób opisano wzór na trajektorię ruchu punktu materialnego, oprócz wektora promienia orty — wektory jednostkowe ja, j, k

Co jest interesującego w tym przykładzie? Trajektorię ruchu punktu wyznaczają sinusy i cosinusy. Jak według ciebie będzie wyglądał wykres w znanym obrazie y(x)? „Prawdopodobnie coś przerażającego” – pomyślałeś, ale wszystko nie jest tak skomplikowane, jak się wydaje! Spróbujmy skonstruować trajektorię punktu materialnego y(x), jeśli porusza się on zgodnie z przedstawionym powyżej prawem:

Tutaj zauważyłem kwadrat cosinusa, jeśli w jakimkolwiek przykładzie widzisz kwadrat sinusa lub cosinusa, oznacza to, że musisz zastosować podstawową tożsamość trygonometryczną, co właśnie zrobiłem (drugi wzór) i przekształciłem wzór na współrzędne y, tak aby zamiast sinusa podstawić do niego formułę zmiany X:

W rezultacie straszliwe prawo ruchu punktu okazało się zwyczajne parabola, których gałęzie są skierowane w dół. Mam nadzieję, że rozumiesz przybliżony algorytm konstruowania zależności y(x) z reprezentacji ruchu przez wektor promienia. Przejdźmy teraz do naszego głównego pytania: jak znaleźć wektor prędkości i przyspieszenia punktu materialnego oraz ich moduły.

Wektor prędkości punktu materialnego

Wszyscy wiedzą, że prędkość punktu materialnego to odległość przebyta przez ten punkt w jednostce czasu, czyli pochodna wzoru na prawo ruchu. Aby znaleźć wektor prędkości, należy obliczyć pochodną po czasie. Spójrzmy konkretny przykład znalezienie wektora prędkości.

Przykład wyznaczania wektora prędkości

Mamy prawo ruchu punktu materialnego:

Teraz musisz wziąć pochodną tego wielomianu, jeśli zapomniałeś, jak to zrobić, oto ona. W rezultacie wektor prędkości będzie miał następującą postać:

Wszystko okazało się prostsze niż myślałeś, teraz znajdźmy wektor przyspieszenia punktu materialnego, korzystając z tego samego prawa przedstawionego powyżej.

Jak znaleźć wektor przyspieszenia punktu materialnego

Wektor przyspieszenia punktowego jest to wielkość wektorowa charakteryzująca zmianę w czasie wielkości i kierunku prędkości punktu. Aby znaleźć wektor przyspieszenia punktu materialnego w naszym przykładzie, należy wziąć pochodną, ​​ale ze wzoru na wektor prędkości przedstawionego tuż powyżej:

Moduł wektora prędkości punktowej

Znajdźmy teraz wielkość wektora prędkości punktu materialnego. Jak wiecie z 9. klasy, modułem wektora jest jego długość, wyrażona w prostokątnych współrzędnych kartezjańskich, równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów jego współrzędnych. A skąd możemy uzyskać jego współrzędne z wektora prędkości, który otrzymaliśmy powyżej, pytasz? To bardzo proste:

Teraz wystarczy zastąpić czas określony w zadaniu i uzyskać konkretną wartość liczbową.

Moduł wektora przyspieszenia

Jak zrozumiałeś z tego, co napisano powyżej (i z 9. klasy), znalezienie modułu wektora przyspieszenia odbywa się w taki sam sposób, jak modułu wektora prędkości: bierzemy pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów współrzędnych wektora , to proste! Oto oczywiście przykład dla Ciebie:

Jak widać, przyspieszenie punktu materialnego zgodnie z podanym powyżej prawem nie zależy od czasu i ma stałą wielkość i kierunek.

Więcej przykładów rozwiązań problemu wyznaczania wektora prędkości i przyspieszenia

A tutaj znajdziesz przykłady rozwiązań innych problemów z fizyki. A dla tych, którzy nie do końca rozumieją, jak znaleźć wektor prędkości i przyspieszenia, oto kilka kolejnych przykładów z sieci bez zbędnych wyjaśnień, mam nadzieję, że pomogą.

Jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w komentarzach.

Ruchem mechanicznym nazywamy zmianę w czasie położenia w przestrzeni punktów i ciał względem dowolnego ciała głównego, do którego przymocowany jest układ odniesienia. Kinematyka bada mechaniczny ruch punktów i ciał, niezależnie od sił powodujących te ruchy. Każdy ruch, podobnie jak odpoczynek, jest względny i zależy od wyboru układu odniesienia.

Trajektoria punktu jest linią ciągłą opisaną przez poruszający się punkt. Jeśli trajektoria jest linią prostą, wówczas ruch punktu nazywa się prostoliniowym, a jeśli jest to krzywa, to nazywa się go krzywoliniowym. Jeśli trajektoria jest płaska, wówczas ruch punktu nazywa się płaskim.

Ruch punktu lub ciała uważa się za dany lub znany, jeśli dla każdego momentu czasu (t) można wskazać położenie punktu lub ciała względem wybranego układu współrzędnych.

Położenie punktu w przestrzeni wyznacza zadanie:

a) trajektorie punktowe;

b) początek O 1 odczytu odległości wzdłuż trajektorii (rysunek 11): s = O 1 M - współrzędna krzywoliniowa punktu M;

c) kierunek dodatniego zliczania odległości s;

d) równanie lub zasada ruchu punktu po trajektorii: S = s(t)

Prędkość punktowa. Jeśli punkt pokonuje równe odległości w równych odstępach czasu, wówczas jego ruch nazywa się ruchem jednostajnym. Prędkość ruchu jednostajnego mierzy się stosunkiem drogi z przebytej przez punkt w pewnym okresie czasu do wartości tego okresu: v = s/1. Jeśli punkt pokonuje nierówne ścieżki w równych odstępach czasu, wówczas jego ruch nazywa się nierównym. Prędkość w tym przypadku również jest zmienna i jest funkcją czasu: v = v(t). Rozważmy punkt A, który porusza się po zadanej trajektorii według pewnego prawa s = s(t) (rysunek 12):

Przez pewien czas t t. A przesunął się do pozycji A 1 wzdłuż łuku AA. Jeżeli okres czasu Δt jest mały, to łuk AA 1 można zastąpić cięciwą i w pierwszym przybliżeniu znaleźć średnią prędkość punktu v cp = Ds/Dt. Średnia prędkość jest kierowana wzdłuż cięciwy od punktu A do punktu A 1.

Rzeczywista prędkość punktu jest skierowana stycznie do trajektorii, a jej wartość algebraiczną wyznacza pierwsza pochodna toru po czasie:

v = limΔs/Δt = ds/dt

Wymiar prędkości punktowej: (v) = długość/czas, na przykład m/s. Jeśli punkt przesuwa się w kierunku rosnącym współrzędne krzywoliniowe s, wtedy ds > 0, a zatem v > 0, w przeciwnym razie ds< 0 и v < 0.

Przyspieszenie punktowe. Zmiana prędkości w jednostce czasu zależy od przyspieszenia. Rozważmy ruch punktu A po krzywoliniowej trajektorii w czasie Δt od położenia A do położenia A 1 . W pozycji A punkt miał prędkość v, a w pozycji A 1 prędkość v 1 (rysunek 13). te. prędkość punktu zmieniła się pod względem wielkości i kierunku. Geometryczną różnicę prędkości Δv znajdujemy konstruując wektor v 1 z punktu A.

Przyspieszenie punktu to wektor „, który jest równy pierwszej pochodnej wektora prędkości punktu po czasie:

Znaleziony wektor przyspieszenia a można rozłożyć na dwie składowe wzajemnie prostopadłe, ale styczne i normalne do trajektorii ruchu. Przyspieszenie styczne a 1 pokrywa się z kierunkiem prędkości podczas ruchu przyspieszonego lub jest do niej przeciwny podczas ruchu zastępczego. Charakteryzuje zmianę prędkości i jest równa pochodnej prędkości po czasie

Wektor przyspieszenia normalnego a jest skierowany wzdłuż normalnej (prostopadłej) do krzywej w stronę wklęsłości toru, a jego moduł jest równy stosunkowi kwadratu prędkości punktu do promienia krzywizny toru w punkcie dany punkt.

Przyspieszenie normalne charakteryzuje zmianę prędkości wzdłuż
kierunek.

Całkowita wartość przyspieszenia: , m/s 2

Rodzaje ruchu punktowego w zależności od przyspieszenia.

Jednolity ruch liniowy(ruch bezwładności) charakteryzuje się tym, że prędkość ruchu jest stała, a promień krzywizny trajektorii jest równy nieskończoności.

Oznacza to, że r = ¥, v = const, następnie ; i dlatego . Zatem, gdy punkt porusza się dzięki bezwładności, jego przyspieszenie wynosi zero.

Prostoliniowy nierówny ruch. Promień krzywizny trajektorii wynosi r = ¥ i n = 0, zatem a = a t i a = a t = dv/dt.

Przyśpieszenie jest wielkością charakteryzującą szybkość zmiany prędkości.

Na przykład, gdy samochód zaczyna się poruszać, zwiększa swoją prędkość, czyli porusza się szybciej. Na początku jego prędkość wynosi zero. Poruszając się, samochód stopniowo przyspiesza do określonej prędkości. Jeśli po drodze zapali się czerwone światło, samochód się zatrzyma. Ale nie zatrzyma się to natychmiast, ale z czasem. Oznacza to, że jego prędkość spadnie do zera - samochód będzie jechał powoli, aż do całkowitego zatrzymania. Jednak w fizyce nie ma terminu „spowolnienie”. Jeśli ciało porusza się, zmniejszając swoją prędkość, to będzie to również przyspieszenie ciała, tylko ze znakiem minus (jak pamiętacie, prędkość jest wielkością wektorową).

> jest stosunkiem zmiany prędkości do okresu czasu, w którym ta zmiana nastąpiła. Średnie przyspieszenie można wyznaczyć ze wzoru:

Ryż. 1.8. Średnie przyspieszenie. W SI jednostka przyspieszenia– wynosi 1 metr na sekundę na sekundę (lub metr na sekundę do kwadratu).

Metr na sekundę do kwadratu równa się przyspieszeniu punktu poruszającego się prostoliniowo, przy którym prędkość tego punktu wzrasta o 1 m/s w ciągu jednej sekundy. Innymi słowy, przyspieszenie określa, o ile zmienia się prędkość ciała w ciągu jednej sekundy. Na przykład, jeśli przyspieszenie wynosi 5 m/s 2, oznacza to, że prędkość ciała wzrasta o 5 m/s co sekundę.

Chwilowe przyspieszenie ciała (punkt materialny) w danym momencie czasu jest wielkością fizyczną równą granicy, do której dąży średnie przyspieszenie w miarę zbliżania się przedziału czasu do zera. Innymi słowy, jest to przyspieszenie, jakie ciało rozwija w bardzo krótkim czasie:

Przy przyspieszonym ruchu liniowym prędkość ciała wzrasta w wartości bezwzględnej, to znaczy

V2 > v1

a kierunek wektora przyspieszenia pokrywa się z wektorem prędkości

Jeśli prędkość ciała maleje w wartości bezwzględnej, tj

V 2< v 1

wówczas kierunek wektora przyspieszenia jest przeciwny do kierunku wektora prędkości, innymi słowy, w w tym przypadku się dzieje zwalnianie, w tym przypadku przyspieszenie będzie ujemne (i< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Ryż. 1.9. Natychmiastowe przyspieszenie.

Podczas poruszania się po zakrzywionej ścieżce zmienia się nie tylko moduł prędkości, ale także jego kierunek. W tym przypadku wektor przyspieszenia jest reprezentowany jako dwie składowe (patrz następna sekcja).

Przyspieszenie styczne (styczne).– jest to składowa wektora przyspieszenia skierowana wzdłuż stycznej do trajektorii w danym punkcie trajektorii ruchu. Przyspieszenie styczne charakteryzuje zmianę prędkości modulo podczas ruchu krzywoliniowego.

Ryż. 1.10. Przyspieszenie styczne.

Kierunek stycznego wektora przyspieszenia (patrz rys. 1.10) pokrywa się z kierunkiem prędkości liniowej lub jest do niego przeciwny. Oznacza to, że styczny wektor przyspieszenia leży na tej samej osi co styczny okręg, który jest trajektorią ciała.

Normalne przyspieszenie

Normalne przyspieszenie jest składową wektora przyspieszenia skierowaną wzdłuż normalnej do trajektorii ruchu w danym punkcie trajektorii ciała. Oznacza to, że normalny wektor przyspieszenia jest prostopadły do ​​liniowej prędkości ruchu (patrz ryc. 1.10). Przyspieszenie normalne charakteryzuje zmianę prędkości w kierunku i jest oznaczone literą. Wektor przyspieszenia normalnego jest skierowany wzdłuż promienia krzywizny trajektorii.

Pełne przyspieszenie

Pełne przyspieszenie podczas ruchu krzywoliniowego składa się z przyspieszeń stycznych i normalnych wzdłuż i jest określony wzorem:

(zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla prostokąta).

Wprowadźmy wektor jednostkowy τ związany z ruchomym punktem A i skierowany stycznie do trajektorii w kierunku rosnącej współrzędnej łuku (rys. 1.6). Jest oczywiste, że τ jest wektorem zmiennym: zależy od l. Wektor prędkości v punktu A jest skierowany stycznie do trajektorii, więc można go przedstawić w następujący sposób

gdzie v τ =dl/dt jest rzutem wektora v na kierunek wektora τ, a v τ jest wielkością algebraiczną. Ponadto |v τ |=|v|=v.

Przyspieszenie punktowe

Zróżniczkujmy (1.22) ze względu na czas

(1.23)

Przekształćmy ostatni wyraz tego wyrażenia

(1.24)

Wyznaczmy przyrost wektora τ o dl (rys. 1.7).

Jak widać z rys. 1,7, kąt , skąd i o .

Wprowadzając wektor jednostkowy n normalnej do trajektorii w punkcie 1, skierowany do środka krzywizny, zapisujemy ostatnią równość w postaci wektorowej

Podstawiamy (1.23) do (1.24) i otrzymane wyrażenie do (1.22). W rezultacie znajdziemy

(1.26)

Tutaj nazywa się pierwszy termin styczny a τ , drugie - normalna jakiś.

Zatem, pełne przyspieszenie punkt można przedstawić jako sumę geometryczną przyspieszeń stycznych i normalnych.

Moduł przyspieszenia pełnopunktowego

(1.27)

Jest on skierowany w stronę wklęsłości trajektorii pod kątem α do wektora prędkości, oraz .

Jeżeli kąt α jest ostry, to tgα > 0, zatem dv/dt > 0, gdyż v 2 /R > 0 jest zawsze.

W takim przypadku wielkość prędkości wzrasta z czasem - nazywa się to ruchem przyśpieszony(ryc. 1.8).

W przypadku, gdy prędkość maleje z upływem czasu, nazywa się ruch powolny(ryc. 1.9).

Jeżeli kąt α=90°, tanα=∞, czyli dv/dt=0. W takim przypadku prędkość nie zmienia się w czasie, a całkowite przyspieszenie będzie równe dośrodkowemu

(1.28)

W szczególności całkowite przyspieszenie jednostajnego ruchu obrotowego (R=const, v=const) jest przyspieszeniem dośrodkowym o wartości a n =v 2 /R i skierowanym cały czas w stronę środka.

Natomiast w ruchu liniowym całkowite przyspieszenie ciała jest równe przyspieszeniu stycznemu. W tym przypadku a n = 0, ponieważ trajektorię prostoliniową można uznać za okrąg o nieskończenie dużym promieniu, a R → ∞; v2 /R=0; n = 0; a=a τ.