dom
panele aluminiowe
Równania wzoru Cardano 3 stopnia. Wzór Cardano na rozwiązanie równania sześciennego. Znalezienie racjonalnych korzeni

Równania wzoru Cardano 3 stopnia. Wzór Cardano na rozwiązanie równania sześciennego. Znalezienie racjonalnych korzeni

Szymon Albina

Artykuł omawia techniki i metody rozwiązywania równań sześciennych. Zastosowanie formuły Cardano do rozwiązywania zadań przygotowujących do egzaminu z matematyki.

Pobierać:

Zapowiedź:

MOU DOD Pałac Twórczości dla Dzieci i Młodzieży

Don Academy of Sciences dla młodych naukowców

Sekcja: matematyka - algebra i teoria liczb

Badania

„Zajrzyjmy w świat formuł”

w tym temacie „Rozwiązywanie równań III stopnia”

Opiekun: nauczyciel matematyki Babina Natalya Alekseevna

G. Salsk 2010

  1. Wstęp ……………………………………………………….3
  2. Część główna…………………………………………………………………….4
  3. Część praktyczna……………………………… 10-13
  4. Podsumowanie……………………………………………………………………………….14
  5. Literatura…………………………………………………………………………..15
  6. Aplikacje

1. Wstęp

Istotnym elementem jest edukacja matematyczna prowadzona w szkołach ogólnokształcących ogólne wykształcenie i kultury ogólnej nowoczesny mężczyzna. Prawie wszystko, co otacza człowieka, jest w ten czy inny sposób związane z matematyką. A najnowsze osiągnięcia fizyki, techniki, informatyki nie pozostawiają wątpliwości, że w przyszłości stan rzeczy pozostaje taki sam. Dlatego decyzja wielu zadania praktyczne sprowadza się do rozwiązywania różnego rodzaju równań, które musisz nauczyć się rozwiązywać. Równania liniowe pierwszego stopnia, uczono nas rozwiązywać w pierwszej klasie i nie okazywaliśmy nimi większego zainteresowania. Bardziej interesujące są równania nieliniowe - równania dużych stopni. Matematyka ujawnia porządek, symetrię i pewność, a to są najwyższe formy piękna.

Celem mojego projektu „Zajrzyjmy w świat formuł” na temat „Rozwiązywanie równań sześciennych trzeciego stopnia” jest usystematyzowanie wiedzy o rozwiązywaniu równań sześciennych, ustalenie faktu istnienia wzoru na znalezienie pierwiastki równania trzeciego stopnia oraz związek między pierwiastkami a współczynnikami w równaniu sześciennym. W klasie rozwiązywaliśmy równania, zarówno sześcienne, jak i stopnie wyższe niż 3. Rozwiązując równania różnymi metodami, dodawaliśmy, odejmowaliśmy, mnożyliśmy, dzieliliśmy współczynniki, podnosiliśmy je do potęgi i wyciągaliśmy z nich pierwiastki, jednym słowem wykonywaliśmy działania algebraiczne. Istnieje wzór na rozwiązywanie równań kwadratowych. Czy istnieje wzór na rozwiązanie równania trzeciego stopnia, tj. wskazania, w jakiej kolejności i jakie operacje algebraiczne należy wykonać ze współczynnikami, aby otrzymać pierwiastki. Zainteresowało mnie, czy znani matematycy próbowali znaleźć ogólny wzór odpowiedni do rozwiązywania równań sześciennych? A jeśli próbowali, czy byli w stanie uzyskać wyrażenie pierwiastków w kategoriach współczynników równania?

2. Główny korpus:

W tamtych odległych czasach, kiedy mędrcy po raz pierwszy zaczęli myśleć o równościach zawierających nieznane wielkości, prawdopodobnie nie było jeszcze monet ani portfeli. W starożytności problemy matematyczne Mezopotamia, Indie, Chiny, Grecja, nieznane ilości wyrażały liczbę pawi w ogrodzie, liczbę byków w stadzie, całość rzeczy branych pod uwagę przy podziale majątku. Źródła, które do nas dotarły, wskazują, że starożytni naukowcy posiadali pewne ogólne metody rozwiązywania problemów o nieznanych ilościach. Jednak ani jeden papirus, ani jedna gliniana tabliczka nie zawiera opisu tych technik. Wyjątkiem jest „Arytmetyka” greckiego matematyka Diofantusa z Aleksandrii (III wiek) - zbiór zadań do zestawiania równań z systematyczną prezentacją ich rozwiązań. Jednak praca uczonego z Bagdadu z IX wieku stała się pierwszym podręcznikiem rozwiązywania problemów, który stał się powszechnie znany. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

Tak powstał pomysł stworzenia projektu „Zajrzyjmy w świat formuł…”, fundamentalnymi pytaniami tego projektu były:

  1. ustalenie, czy istnieje wzór na rozwiązanie równań sześciennych;
  2. w przypadku odpowiedzi pozytywnej poszukiwanie wzoru wyrażającego pierwiastki równania sześciennego w postaci skończonej liczby operacji algebraicznych na jego współczynnikach.

Ponieważ w podręcznikach i innych książkach o matematyce większość rozumowań i dowodów nie jest przeprowadzana konkretne przykłady, ale ogólnie postanowiłem poszukać konkretnych przykładów, które potwierdzają lub obalają mój pomysł. W poszukiwaniu wzoru na rozwiązanie równań sześciennych zdecydowałem się zastosować znane algorytmy rozwiązywania równań kwadratowych. Na przykład rozwiązanie równania x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 wybrał pełną kostkę, stosując formułę (x + a) 3 \u003d x 3 + 3 x 2 za + 3a 2 x + za 3 . Aby wybrać pełny sześcian z lewej strony równania, które wziąłem, obróciłem w niego 2x 2 w 3x2 i tych. Szukałem takiego, aby równość była prawdziwa 2x 2 \u003d 3x 2 za . Łatwo było obliczyć, że a = . Przekształciłem lewą stronę tego równaniaw następujący sposób: x 3 + 2x 2 -5x-6=0

(x 3 + 3x 2 a + 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 Dokonałem podstawienia y \u003d x +, tj. x = y - y 3 - 6(y -) - 6=0; o 3 - 6y + 4- 6=0; Pierwotne równanie miało postać: 3 - 6y - 2=0; Okazało się, że nie jest to zbyt piękne równanie, bo zamiast współczynników całkowitych mam teraz ułamkowe, chociaż zniknął wyraz równania zawierającego kwadrat niewiadomego! Czy jestem bliżej celu? W końcu termin zawierający pierwszą potęgę niewiadomego pozostał. Może trzeba było wybrać pełną kostkę, żeby zniknął termin - 5x? (x+a) 3 \u003d x 3 + 3 x 2 za + 3a 2 x + za 3 . Znalazłem coś takiego 3a 2x \u003d -5x; te. do 2 = - Ale potem wyszło całkiem źle - w tej równości po lewej jest Liczba dodatnia a po prawej jest ujemny. Nie może być takiej równości. Do tej pory nie udało mi się rozwiązać równania, mogłem je tylko sprowadzić do postaci 3 - 6y - 2=0.

A więc efekt mojej pracy nad etap początkowy: był w stanie usunąć wyraz zawierający drugi stopień z równania sześciennego, tj. jeśli podano równanie kanoniczne Oh 3 + w 2 + cx + d, to można to sprowadzić do niepełnego równania sześciennego x 3 +px+q=0. Ponadto, pracując z inną literaturą referencyjną, mogłem dowiedzieć się, że równanie formy x 3 + piks \u003d q udało się rozwiązać włoski matematyk Dal Ferro (1465-1526). Dlaczego dla tego rodzaju, a nie dla tego rodzaju x 3 + piks + q \u003d 0? Ten ponieważ w tamtym czasie nie wprowadzono jeszcze liczb ujemnych, a równania rozpatrywano tylko z dodatnimi współczynnikami. Liczby ujemne zostały rozpoznane nieco później.Odniesienie historyczne:Dal Ferro wybrał wiele opcji przez analogię ze wzorem pierwiastków podanego równania kwadratowego. Rozumował w ten sposób: pierwiastek równania kwadratowego to - ± tj. ma postać: x=t ± . Oznacza to, że pierwiastek równania sześciennego powinien być również sumą lub różnicą pewnych liczb, a wśród nich prawdopodobnie powinny znajdować się pierwiastki trzeciego stopnia. Które dokładnie? Spośród wielu opcji jedna okazała się skuteczna: znalazł odpowiedź w postaci różnicy - Jeszcze trudniej było odgadnąć, że t i u należy tak dobrać, aby =. Podstawiając zamiast x różnicę -, a zamiast p iloczyn otrzymał: (-) 3 +3 (-)=q. Nawiasy otwarte: t - 3 +3- u+3- 3=q. Po doprowadzeniu podobnych wyrazów otrzymaliśmy: t-u=q.

Otrzymany układ równań to:

t u = () 3 t-u=q. Podnieśmy prawą i lewą stronępodnieś części pierwszego równania do kwadratu, pomnóż drugie równanie przez 4 i dodaj pierwsze i drugie równanie. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Z nowy system t+u=2; t -u=q mamy: t= + ; u= - . Zastępując wyrażenie x, otrzymaliśmyPodczas pracy nad projektem poznałam najciekawsze materiały. Okazuje się, że Dal Ferro nie opublikował znalezionej metody, ale część jego uczniów wiedziała o tym odkryciu i wkrótce jeden z nich, Antonio Fior, postanowił ją wykorzystać.W tamtych latach powszechne były debaty publiczne na tematy naukowe. Zwycięzcy takich sporów zwykle otrzymywali dobrą nagrodę, często byli zapraszani na wysokie stanowiska.

W tym samym czasie we włoskiej Weronie mieszkał biedny nauczyciel matematyki Nicolo (1499-1557), nazywany Tartaglia (czyli jąkała). Był bardzo utalentowany i udało mu się na nowo odkryć technikę Dal Ferro (Załącznik 1).Odbył się pojedynek pomiędzy Fiorem a Tartaglią. Zgodnie z warunkiem rywale wymienili trzydzieści problemów, na rozwiązanie których dano 50 dni. Lecz odkąd Fior znał w zasadzie tylko jeden problem i był pewien, że jakiś nauczyciel nie potrafi go rozwiązać, a potem okazało się, że wszystkie 30 problemów jest tego samego typu. Tartaglia uporał się z nimi w 2 godziny. Fiore natomiast nie potrafił rozwiązać ani jednego zadania zaproponowanego przez wroga. Zwycięstwo uwielbiło Tartaglię w całych Włoszech, ale problem nie został w pełni rozwiązany. .

Wszystko to zostało zrobione przez Gerolamo Cardano. Ta sama formuła, która została odkryta przez Dal Ferro i ponownie odkryta przez Tartaglię, nazywa się formułą Cardano (Dodatek 2).

Cardano Girolamo (24 września 1501-21 września 1576) był włoskim matematykiem, mechanikiem i lekarzem. Urodzony w Pawii. Studiował na uniwersytetach w Pawii i Padwie. W młodości praktykował medycynę. w 1534 r został profesorem matematyki w Mediolanie i Bolonii. W matematyce nazwisko Cardano jest zazwyczaj kojarzone ze wzorem na rozwiązanie równania sześciennego, który zapożyczył od N. Tartaglii. Formuła ta została opublikowana w Cardano's Great Art, or On the Rules of Algebra (1545). Od tego czasu Tartaglia i Cardano stali się śmiertelnymi wrogami. Ta książka systematycznie przedstawia nowoczesne metody Cardano do rozwiązywania równań, głównie sześciennych. Cardano dokonał przekształcenia liniowego, które umożliwiło sprowadzenie równania sześciennego do postaci wolnej od wyrazu drugiego stopnia i wskazał zależność między pierwiastkami i współczynnikami równania, podzielność wielomianu przez różnicę x – a, jeśli a jest jego pierwiastkiem. Cardano jako jeden z pierwszych w Europie przyznał istnienie ujemnych pierwiastków równań. W jego twórczości po raz pierwszy pojawiają się wielkości urojone. W mechanice Cardano studiował teorię dźwigni i ciężarków. Jeden z ruchów segmentu wzdłuż boków kąta prostego nazywany jest w mechanice nowym ruchem Carda. Tak więc, zgodnie ze wzorem Cardano, można rozwiązywać równania postaci x 3 + piks + q \u003d 0 (dodatek 3)

Wygląda na to, że problem został rozwiązany. Istnieje wzór na rozwiązywanie równań sześciennych.

Tutaj jest!

Wyrażenie pod korzeniem - dyskryminujący. re = () 2 + () 3 Postanowiłem wrócić do mojego równania i spróbować rozwiązać je za pomocą wzoru Cardano: Moje równanie to: 3 - 6y - 2=0, gdzie p= - 6=-; q = - 2 = - . Łatwo to obliczyć () 3 ==- i () 2 ==, () 2 + () 3 = = - = - . Więc co dalej? Z licznika tej frakcji łatwo wyodrębniłem pierwiastek, okazało się, że 15. A co zrobić z mianownikiem? Nie tylko korzeń nie jest całkowicie wyodrębniony, ale także, aby go wyodrębnić - wtedy musi być z liczby ujemnej! O co chodzi? Można przyjąć, że to równanie nie ma pierwiastków, ponieważ dla D Tak więc w trakcie pracy nad projektem napotkałem kolejny problem.O co chodzi? Zacząłem pisać równania, które mają pierwiastki, ale nie zawierają wyrazu kwadratu niewiadomego:

  1. stworzył równanie, które ma pierwiastek x \u003d - 4.

x 3 + 15x + 124 = 0 I rzeczywiście, sprawdzając, byłem przekonany, że -4 jest pierwiastkiem równania. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Sprawdziłem, czy ten pierwiastek można uzyskać za pomocą wzoru Cardano x=+=+= =1- 5 =- 4

Otrzymano, x = -4.

  1. stworzył drugie równanie, które ma rzeczywisty pierwiastek x \u003d 1: x 3 + 3x - 4 = 0 i sprawdziłem formułę.

I w tym przypadku formuła zadziałała bez zarzutu.

  1. podniósł równanie x 3 +6x+2=0, które ma jeden niewymierny pierwiastek.

Po rozwiązaniu tego równania otrzymałem pierwiastek x = - A potem założyłem, że formuła zadziała, jeśli równanie ma tylko jeden pierwiastek. A moje równanie, którego rozwiązanie doprowadziło mnie do ślepego zaułka, miało trzy pierwiastki! Tam trzeba szukać przyczyny!Teraz wziąłem równanie, które ma trzy pierwiastki: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. Sprawdziłem wyróżnik: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Tak jak podejrzewałem, pierwiastek kwadratowy ponownie okazał się liczbą ujemną. Doszłam do wniosku:ścieżka do trzech pierwiastków równania x 3 +px+q=0 prowadzi przez niemożliwą operację wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.

  1. Teraz pozostaje mi dowiedzieć się, co mnie spotka w przypadku, gdy równanie ma dwa pierwiastki. Wybrałem równanie, które ma dwa pierwiastki: x 3 - 12 x + 16 \u003d 0. p \u003d -12, q \u003d 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 \u003d 64-64 \u003d 0 D \u003d 64 - 64 \u003d 0. Teraz można wywnioskować, że liczba pierwiastków równania sześciennego postaci x 3 + piks + q \u003d 0 zależy od znaku wyróżnika D=() 2 +() 3 w następujący sposób:

Jeśli D>0, to równanie ma 1 rozwiązanie.

jeśli D

Jeśli D=0, to równanie ma 2 rozwiązania.

Potwierdzenie mojego wniosku znalazłem w podręczniku matematyki, autor N.I. Bronshtein. Więc moja konkluzja: Formułę Cardano można zastosować, gdy mamy pewność, że pierwiastek jest unikalny. Dla mnie udało się ustalić, że istnieje wzór na znalezienie pierwiastków równania sześciennego, ale dla formy x 3 + piks + q \u003d 0.

3. Część praktyczna.

Praca nad projektem „… bardzo mi pomogła w rozwiązaniu niektórych problemów z parametrami. Na przykład:1. Przy jakim minimum wartość naturalna i równanie x 3 -3x+4=a ma 1 rozwiązanie? Równanie zostało przepisane w postaci x 3 -3x+4-a=0; p= -3; q=4-a. Warunkowo musi mieć 1 rozwiązanie, tj. D>0 Znajdź D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

ZA (-∞;2) (6;∞)

Najmniejsza naturalna wartość a w tym przedziale wynosi 1.

Odpowiedź. 1

2. O czym największa naturalna wartość parametru a równanie x 3 + x 2 -8x+2-a=0 ma trzy pierwiastki?

Równanie x 3 + 3 x 2 -24x + 6-3a = 0 doprowadzamy do postaci y 3 + ru + q=0, gdzie a=1; w=3; c=-24; d=6-3а gdzie q= - + i 3 p = q=32-3a; p=-27. Dla tego typu równania D=() 2 + () 3 = () 2 + (-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 i 1 ==28, a 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

(-7; 28)

Największa naturalna wartość a z tego przedziału: 28.

Odpowiedź.28

3. W zależności od wartości parametru a znajdź liczbę pierwiastków równania x 3 - 3x - za \u003d 0

Rozwiązanie. W równaniu p = -3; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

Dla a (-∞;-2) (2;∞) równanie ma 1 rozwiązanie;

Gdy a (-2; 2) równanie ma 3 pierwiastki;

Kiedy a \u003d -2; Równanie 2 ma 2 rozwiązania.

Testy:

1. Ile pierwiastków mają równania:

1) x 3 -12x+8=0?

a) 1; b) 2; o 3; d)4

2) x 3 -9x+14=0

a) 1; b) 2; o 3; d)4

2. Przy jakich wartościach równania p x 3 +px+8=0 ma dwa pierwiastki?

a) 3; b) 5; o 3; d)5

Odpowiedź: 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Francuski matematyk Francois Viet (1540-1603) 400 lat przed nami (Dodatek 4) był w stanie ustalić związek między pierwiastkami równania drugiego stopnia a ich współczynnikami.

X 1 + x 2 \u003d -p;

X 1 ∙x 2 \u003d q.

Stało się dla mnie interesujące, aby dowiedzieć się: czy można ustalić związek między pierwiastkami równania trzeciego stopnia a ich współczynnikami? Jeśli tak, to jakie jest to połączenie? Tak powstał mój mini projekt. Postanowiłem wykorzystać moje istniejące umiejętności kwadratowe, aby rozwiązać mój problem. działał przez analogię. Wziąłem równanie x 3 +px 2 +qх+r =0. Jeśli oznaczymy pierwiastki równania x1, x2, x3 , to równanie można zapisać w postaci (x-x 1) (x-x 2) (x-x 3 )=0 Rozwijając nawiasy, otrzymujemy: x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x - x 1 x 2 x 3 \u003d 0. Mam następujący system:

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

W ten sposób możemy powiązać pierwiastki równań dowolny stopień z ich współczynnikami.Co w interesującym mnie pytaniu można wydobyć z twierdzenia Viety?

1. Iloczyn wszystkich pierwiastków równania jest równy modułowi wyrazu swobodnego. Jeśli pierwiastki równania są liczbami całkowitymi, to muszą być dzielnikami wyrazu wolnego.

Wróćmy do równania x. 3 + 2x 2 -5x-6=0. Liczby całkowite muszą należeć do zbioru: ±1; ±2; ±3; ±6. Kolejno podstawiając liczby do równania, otrzymujemy pierwiastki: -3; -1; 2.

2. Jeśli rozwiążesz to równanie przez faktoring, twierdzenie Vieta daje „wskazówkę”:konieczne jest, aby podczas kompilowania grup do rozszerzenia pojawiały się liczby - dzielniki terminu wolnego. Oczywiste jest, że możesz nie uczyć się od razu, ponieważ nie wszystkie dzielniki są pierwiastkami równania. I, niestety, może się to w ogóle nie udać - w końcu pierwiastki równania mogą nie być liczbami całkowitymi.

Rozwiąż równanie x 3 +2x2 -5x-6=0 faktoryzacja. X 3 + 2x 2 -5x-6 \u003d x 3 + (3x 2 - x 2) -3x-2x-6 \u003d x 2 (x + 3) - x (x + 3) - 2 (x + 3) \u003d (x + 3) (x 2 -x-2) \u003d \u003d (x + 3) (x 2 + x -2x -2) \u003d (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) \u003d (x + 2) (x + 1) (x-2) Pierwotne równanie to odpowiednik tego: ( x+2)(x+1)(x-2)=0. A to równanie ma trzy pierwiastki: -3; -1; 2. Korzystając z „podpowiedzi” twierdzenia Viety, rozwiązałem następujące równanie: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. Dzielniki wyrazu wolnego: ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. X 3 -12x + 16 \u003d x 3 -4x-8x + 16 \u003d (x 3 -4x) - (8x-16) \u003d x (x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

\u003d (x-2) (x (x + 2) -8) \u003d (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) \u003d 0 x- 2 \u003d 0 lub x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 \u003d 2. Odpowiedź. -4; 2.

3. Znając wynikowy układ równości, możesz znaleźć nieznane współczynniki równania z pierwiastków równania.

Testy:

1. Równanie x 3 + px 2 + 19x - 12=0 ma pierwiastki 1, 3, 4. Znajdź współczynnik p; Odpowiedź. a) 12; b) 19; o 12; d) -8 2. Równanie x 3 - 10 x 2 + 41x + r=0 ma pierwiastki 2, 3, 5. Znajdź współczynnik r; Odpowiedź. a) 19; b) -10; c) 30; d) -30.

Zadania do zastosowania wyników tego projektu w wystarczająco można znaleźć w podręczniku dla kandydatów na uniwersytety, pod redakcją M.I.Skanavi. Znajomość twierdzenia Viety może być nieocenioną pomocą w rozwiązywaniu takich problemów.

№6.354

4. Wniosek

1. Istnieje wzór wyrażający pierwiastki równania algebraicznego za pomocą współczynników równania: gdzie D==() 2 + () 3 D>0, 1 rozwiązanie. Formuła Cardano.

2. Własność pierwiastków równania sześciennego

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 . x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

W rezultacie doszedłem do wniosku, że istnieje wzór, który wyraża pierwiastki równań sześciennych pod względem jego współczynników, a także istnieje związek między pierwiastkami i współczynnikami równania.

5. Literatura:

1. Słownik encyklopedyczny młodego matematyka. AP Savin. –M.: Pedagogika, 1989.

2. Jednolity egzamin państwowy z matematyki - 2004 r. Zadania i rozwiązania. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova i inni.Czeboksary. Wydawnictwo Czuwaski. un-ta, 2004.

3. Równania i nierówności z parametrami. V.V. Mochalov, Silvestrov V.V. Równania i nierówności z parametrami: Proc. dodatek. -Czeboksary: ​​Wydawnictwo Czuwaski. Uniwersytet, 2004.

4. Zagadnienia matematyczne. Algebra. Instrukcja obsługi. Vavilov VV, Olehnik SN-M: Nauka, 1987.

5.Reshebnik wszystkich problemów konkurencyjnych w matematyce zbioru pod redakcją M.I.Skanavi. Wydawnictwo „Encyklopedia ukraińska” imienia posła Bażowa, 1993.

6. Za kartkami podręcznika do algebry. LF Pichurin.-M .: Oświecenie, 1990.

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, utwórz dla siebie konto ( konto) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com


Podpisy slajdów:

Zajrzyjmy do świata formuł

Wykształcenie matematyczne otrzymywane w szkołach ogólnokształcących jest najważniejszym składnikiem wykształcenia ogólnego i ogólnej kultury współczesnego człowieka. Prawie wszystko, co otacza człowieka, jest w ten czy inny sposób związane z matematyką. A najnowsze osiągnięcia fizyki, techniki, informatyki nie pozostawiają wątpliwości, że w przyszłości stan rzeczy pozostaje taki sam. Dlatego rozwiązanie wielu praktycznych problemów sprowadza się do rozwiązywania różnego rodzaju równań, których rozwiązywania trzeba się nauczyć. Równania liniowe pierwszego stopnia uczono nas rozwiązywać w pierwszej klasie i nie wykazywaliśmy zbytniego zainteresowania nimi. Bardziej interesujące są równania nieliniowe - równania dużych stopni. Matematyka ujawnia porządek, symetrię i pewność, a to są najwyższe formy piękna. Wstęp:

równanie ma postać (1) przekształcamy równanie tak, aby wybrać dokładnie sześcian: mnożymy (1) równania przez 3 (2) przekształcamy (2) równania otrzymujemy następujące równanie podwyższamy prawa i lewa strona (3) równania do trzeciej potęgi znajdujemy pierwiastki równania Przykłady rozwiązań równań sześciennych

Równania kwadratowe równania postaci gdzie dyskryminator Wśród liczb rzeczywistych nie ma pierwiastków

Równanie trzeciego stopnia

Notatka historyczna: W tych odległych czasach, kiedy mędrcy po raz pierwszy zaczęli myśleć o równościach zawierających nieznane wielkości, prawdopodobnie nie było jeszcze monet ani portfeli. W starożytnych problemach matematycznych Mezopotamii, Indii, Chin, Grecji nieznane wielkości wyrażały liczbę pawi w ogrodzie, liczbę byków w stadzie, całość rzeczy branych pod uwagę przy podziale majątku. Źródła, które do nas dotarły, wskazują, że starożytni naukowcy posiadali pewne ogólne metody rozwiązywania problemów o nieznanych ilościach. Jednak ani jeden papirus, ani jedna gliniana tabliczka nie zawiera opisu tych technik. Wyjątkiem jest „Arytmetyka” greckiego matematyka Diofantusa z Aleksandrii (III wiek) - zbiór zadań do zestawiania równań z systematyczną prezentacją ich rozwiązań. Jednak praca uczonego z Bagdadu z IX wieku stała się pierwszym podręcznikiem rozwiązywania problemów, który stał się powszechnie znany. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

równanie ma postać (1) stosujemy wzór 1) wybierając aby znaleźć i aby następująca równość była spełniona przekształcamy lewą stronę równania (1) w następujący sposób: wybieramy pełny sześcian jako y suma jaką otrzymujemy równanie na y (2) uprość (2) równanie ( 3) W (3) zniknął wyraz zawierający kwadrat niewiadomej, ale pozostał wyraz zawierający pierwszą potęgę niewiadomej 2) poprzez selekcję, znajdź więc że spełniona jest następująca równość. Ta równość jest niemożliwa, ponieważ po lewej stronie jest liczba dodatnia, a po lewej liczba ujemna. Jeśli pójdziemy tą drogą, to utkniemy…. Na wybranej ścieżce poniesiemy porażkę. Nie udało nam się jeszcze rozwiązać równania.

Równania sześcienne równania postaci gdzie (1) 1. Upraszczamy równania dzieląc przez a, wtedy współczynnik przy „x” będzie równy 1, dlatego rozwiązanie dowolnego równania sześciennego opiera się na wzorze sumy sześcianu : (2) jeśli weźmiemy to równanie (1) różni się od równania (2) tylko współczynnikiem przy x i wyrazem wolnym. Dodajemy równania (1) i (2) i podajemy podobne: jeśli dokonamy tutaj zmiany, otrzymamy równanie sześcienne względem y bez wyrazu:

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (24 września 1501-21 września 1576) był włoskim matematykiem, mechanikiem i lekarzem. Urodzony w Pawii. Studiował na uniwersytetach w Pawii i Padwie. W młodości praktykował medycynę. w 1534 r został profesorem matematyki w Mediolanie i Bolonii. W matematyce nazwisko Cardano jest zazwyczaj kojarzone ze wzorem na rozwiązanie równania sześciennego, który zapożyczył od N. Tartaglii. Formuła ta została opublikowana w Cardano's Great Art, or On the Rules of Algebra (1545). Od tego czasu Tartaglia i Cardano stali się śmiertelnymi wrogami. Ta książka systematycznie przedstawia nowoczesne metody Cardano do rozwiązywania równań, głównie sześciennych. Cardano dokonał przekształcenia liniowego, które umożliwiło sprowadzenie równania sześciennego do postaci wolnej od wyrazu II stopnia, wskazał zależność między pierwiastkami i współczynnikami równania, podzielność wielomianu przez różnicę x – a, jeśli a jest jego pierwiastkiem. Cardano jako jeden z pierwszych w Europie przyznał istnienie ujemnych pierwiastków równań. W jego twórczości po raz pierwszy pojawiają się wielkości urojone. W mechanice Cardano studiował teorię dźwigni i ciężarków. Jeden z ruchów segmentu wzdłuż boków kąta prostego nazywa się ruchem kardana w mechanice. Biografia Cardano Girolamo

W tym samym czasie we włoskiej Weronie mieszkał biedny nauczyciel matematyki Nicolo (1499-1557), nazywany Tartaglia (czyli jąkała). Był bardzo utalentowany i udało mu się na nowo odkryć technikę Dal Ferro. Odbył się pojedynek pomiędzy Fiorem a Tartaglią. Zgodnie z warunkiem rywale wymienili 30 problemów, na rozwiązanie których dano 50 dni. Ale ponieważ Fior znał w zasadzie tylko jeden problem i był pewien, że jakiś nauczyciel nie może go rozwiązać, wszystkie 30 problemów okazało się tego samego typu. Tartaglia uporał się z nimi w dwie godziny. Fiore natomiast nie potrafił rozwiązać żadnego z zadań zaproponowanych przez wroga. Zwycięstwo rozsławiło Tartaglię w całych Włoszech, ale problem nie został do końca rozwiązany.Ten prosty trik, dzięki któremu udało nam się uporać z elementem równania zawierającym kwadrat o nieznanej wartości (wybranie pełnego sześcianu) nie został jeszcze odkryty i rozwiązanie równań różne rodzaje nie został wprowadzony do systemu. Pojedynek Fiory z Tartaglią

równanie postaci z tego równania a obliczamy wyróżnik równania Nie tylko pierwiastek tego równania nie jest całkowicie wyodrębniony, ale nadal musi zostać wyodrębniony z liczby ujemnej. O co chodzi? Można przyjąć, że to równanie nie ma pierwiastków, ponieważ D

Pierwiastki równania sześciennego zależą od wyróżnika równanie ma 1 rozwiązanie równanie ma 3 rozwiązania równanie ma 2 rozwiązania Wniosek

równanie ma postać znajdź pierwiastki równania za pomocą wzoru Cardano Przykłady rozwiązywania równań sześciennych za pomocą wzoru Cardano

równanie postaci (1) z tego równania i ponieważ zgodnie z warunkiem równanie to powinno mieć 1 rozwiązanie, to obliczamy wyróżnik (1) równania + - + 2 6 Odpowiedź: najmniejsza wartość naturalna a z ten przedział wynosi 1 Przy jakiej najmniejszej wartości naturalnej równanie ma 1 rozwiązanie?

Rozwiązywanie równań sześciennych metodą Vieta Równania mają postać

Rozwiąż równanie, jeśli wiadomo, że iloczyn jego dwóch pierwiastków jest równy 1 zgodnie z twierdzeniem Vieta i mamy warunek, albo podstawiamy wartość do pierwszego równania lub podstawiamy wartość z trzeciego równania do pierwszego , znajdziemy pierwiastki równania lub Odpowiedź:

Wykorzystana literatura: „Matematyka. Podręcznik edukacyjny i metodyczny » Yu.A. Gusman, AO Smirnov. Encyklopedia „Znam świat. Matematyka” - Moskwa, AST, 1996. „Matematyka. Pomoc dydaktyczna » V.T. Lisiczkin. Przewodnik dla kandydatów na uniwersytety, pod redakcją M.I.Skanavi. Jednolity Egzamin Państwowy z Matematyki - 2004

Dziękuję za uwagę


Każde równanie sześcienne ze współczynnikami rzeczywistymi ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, pozostałe dwa są albo rzeczywiste, albo są złożonymi sprzężeniami.

Rozpocznijmy przegląd od najprostszych przypadków - dwumianowy I zwrotne równania. Następnie przechodzimy do szukania racjonalne korzenie(Jeśli w ogóle). Kończymy przykładem znajdowania pierwiastków równania sześciennego za pomocą Formuła Cardano dla przypadku ogólnego.

Nawigacja po stronie.

Rozwiązanie dwuczłonowego równania sześciennego.

Dwuczłonowe równanie sześcienne ma postać .

Równanie to sprowadza się do postaci przez podzielenie przez współczynnik A, który jest różny od zera. Następnie stosuje się wzór na skrócone pomnożenie sumy kostek:

Z pierwszego nawiasu znajdujemy , i kwadratowy trójmian ma tylko złożone korzenie.

Przykład.

Znajdź prawdziwe pierwiastki równania sześciennego.

Rozwiązanie.

Stosujemy wzór na skrócone mnożenie różnicy sześcianów:

Z pierwszego nawiasu, który znajdujemy, trójmian kwadratowy w drugim nawiasie nie ma rzeczywistych pierwiastków, ponieważ jego wyróżnik jest ujemny.

Odpowiedź:

Rozwiązanie odwrotności równania sześciennego.

Odwrotność równania sześciennego ma postać , gdzie A i B są współczynnikami.

pogrupujmy:

Oczywiście x \u003d -1 jest pierwiastkiem takiego równania, a pierwiastkami wynikowego trójmianu kwadratowego można łatwo znaleźć za pomocą dyskryminatora.

Przykład.

Rozwiąż równanie sześcienne .

Rozwiązanie.

To równanie jest odwrotne. pogrupujmy:

Oczywiście x = -1 jest pierwiastkiem równania.

Znajdujemy pierwiastki kwadratowego trójmianu:

Odpowiedź:

Rozwiązywanie równań sześciennych z pierwiastkami wymiernymi.

Zacznijmy od najprostszego przypadku, gdy x=0 jest pierwiastkiem równania sześciennego.

W tym przypadku termin wolny D jest równy zeru, to znaczy równanie ma postać .

Jeśli usuniemy x z nawiasów, to trójmian kwadratowy pozostanie w nawiasach, których pierwiastki można łatwo znaleźć za pomocą dyskryminatora lub twierdzenia Vieta .

Przykład.

Znajdź rzeczywiste pierwiastki równania .

Rozwiązanie.

x=0 jest pierwiastkiem równania. Znajdźmy pierwiastki kwadratowego trójmianu.

Ponieważ jego dyskryminator jest mniejszy od zera, trójmian nie ma rzeczywistych pierwiastków.

Odpowiedź:

x=0.

Jeśli współczynniki równania sześciennego są liczbami całkowitymi, to równanie może mieć pierwiastki wymierne.

Dla , mnożymy obie strony równania przez i zmieniamy zmienne y = Ax :

Doszliśmy do powyższego równania sześciennego. Może mieć pierwiastki całkowite, które są dzielnikami wolnego terminu. Wypisujemy więc wszystkie dzielniki i zaczynamy podstawiać je w wynikowym równaniu, aż do uzyskania identycznej równości. Dzielnik, przy którym uzyskuje się tożsamość, jest pierwiastkiem równania. Dlatego pierwiastek pierwotnego równania to .

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania sześciennego.

Rozwiązanie.

Przekształćmy równanie do zadanego: pomnóżmy przez obie części i zamieńmy zmienną y = 2x .

Bezpłatny członek ma 36 lat. Zapiszmy wszystkie jego dzielniki: .

Zastąp je jeden po drugim równością przed uzyskaniem tożsamości:

Zatem y = -1 jest pierwiastkiem. Pasuje do niego.

Podzielmy się przy użyciu:

dostajemy

Pozostaje znaleźć pierwiastki kwadratowego trójmianu.

To oczywiste , to znaczy, że jego wielokrotny pierwiastek to x=3 .

Odpowiedź:

.

Komentarz.

Algorytm ten można wykorzystać do rozwiązywania równań odwrotnych. Ponieważ -1 jest pierwiastkiem dowolnego powtarzającego się równania sześciennego, możemy podzielić lewą stronę pierwotnego równania przez x + 1 i znaleźć pierwiastki wynikowego trójmianu kwadratowego.

W przypadku, gdy równanie sześcienne nie ma racjonalnych pierwiastków, stosuje się inne metody rozwiązania, na przykład metody specyficzne.

Rozwiązywanie równań sześciennych za pomocą wzoru Cardano.

W ogólnym przypadku pierwiastki równania sześciennego znajdują się za pomocą wzoru Cardano.

W przypadku równania sześciennego znaleziono wartości . Dalej znajdujemy I .

Otrzymane p i q podstawiamy do wzoru Cardano:

KOMUNALNY VII STUDENCKA KONFERENCJA NAUKOWO-Praktyczna „MŁODZIEŻ: TWÓRCZOŚĆ, POSZUKIWANIE, SUKCES”

Okręg miejski Anninsky

Obwód Woroneż

Sekcja:MATEMATYKA

Temat:„Formuła Cardano: historia i zastosowania”

Liceum MKOU Anninskaya nr 3, 9 klasa „B”.

Niccolò Fontana Tartaglia (1499-1557) był włoskim matematykiem.

Ogólnie rzecz biorąc, historia mówi, że formuła została pierwotnie odkryta przez Tartaglię i przekazana Cardano już w gotowej formie, ale sam Cardano zaprzeczył temu faktowi, chociaż nie zaprzeczył zaangażowaniu Tartaglii w tworzenie formuły.

Za formułą mocno zakorzeniona jest nazwa „formuła Cardano”, na cześć naukowca, który faktycznie ją wyjaśnił i przedstawił opinii publicznej.

    1. Spory matematyczne w średniowieczu.

Spory w średniowieczu zawsze były ciekawym widowiskiem, przyciągającym bezczynnych mieszczan, młodych i starych. Tematyka debat była zróżnicowana, ale koniecznie naukowa. Jednocześnie nauka oznaczała, że ​​tym, co znalazło się na liście tzw. siedmiu sztuk wolnych, była oczywiście teologia. Najczęstsze były spory teologiczne. Kłócili się o wszystko. Na przykład o to, czy przyczepić mysz do Ducha Świętego, jeśli zje sakrament, czy Cuma Sybilla mogłaby przepowiedzieć narodziny Jezusa Chrystusa, dlaczego bracia i siostry Zbawiciela nie zostali kanonizowani itp.

O sporze, jaki miał się toczyć między słynnym matematykiem a nie mniej znanym lekarzem, wyrażano tylko najbardziej ogólne domysły, bo tak naprawdę nikt nic nie wiedział. Mówiono, że jeden z nich oszukał drugiego (nie wiadomo kto i kto dokładnie). Prawie wszyscy zebrani na placu mieli mgliste pojęcie o matematyce, ale wszyscy nie mogli się doczekać rozpoczęcia sporu. Zawsze było ciekawie, można było śmiać się z przegranego, niezależnie od tego, czy miał rację, czy nie.

Kiedy zegar na ratuszu wybił piątą, bramy otworzyły się szeroko i tłum wpadł do katedry. Po obu stronach środkowej linii łączącej wejście do ołtarza, przy dwóch bocznych kolumnach wzniesiono dwie wysokie ambony, przeznaczone dla debatujących. Obecni głośno hałasowali, nie zwracając uwagi na to, że są w kościele. W końcu przed żelazną kratą, oddzielającą ikonostas od reszty nawy głównej, pojawił się krzykacz miejski w czarno-fioletowym płaszczu i zawołał: „Czcigodni obywatele miasta Mediolanu! Teraz przed Wami przemówi słynny matematyk Niccolò Tartaglia z Breni. Jego przeciwnikiem miał być matematyk i lekarz Geronimo Cardano. Niccolo Tartaglia zarzuca Cardano, że opublikował w swojej książce „Arsmagna” metodę rozwiązywania równania 3 stopnia, która należy do niego, Tartaglii. Jednak sam Cardano nie mógł dojść do sporu i dlatego wysłał swojego ucznia Luige Ferrari. Debata zostaje więc uznana za otwartą, jej uczestników zaprasza się na krzesła. Niezgrabny mężczyzna z garbatym nosem i kędzierzawą brodą wstąpił na ambonę na lewo od wejścia, a młody mężczyzna po dwudziestce, z przystojną, pewną siebie twarzą, wstąpił na przeciwległą ambonę. W całym swoim zachowaniu, pełne zaufanie aby każdy jego gest i każde słowo zostało przyjęte z zachwytem.

Tartaglia ruszyła.

Szanowni Państwo! Wiecie, że 13 lat temu udało mi się znaleźć sposób na rozwiązanie równania 3 stopnia, a potem tą metodą wygrałem spór z Fiori. Moja metoda przyciągnęła uwagę twojego współobywatela Cardano, który użył całej swojej przebiegłości, aby wydobyć ze mnie sekret. Nie poprzestał na oszustwie ani jawnym fałszerstwie. Wiecie też, że 3 lata temu w Norymberdze ukazała się książka Cardano o zasadach algebry, gdzie moja metoda, tak bezwstydnie skradziona, została udostępniona wszystkim. Wyzwałem Cardano i jego ucznia na pojedynek. Zaproponowałem rozwiązanie 31 problemów, taką samą liczbę zaproponowali mi moi przeciwnicy. Termin rozwiązania problemów wynosił 15 dni. Udało mi się w 7 dni rozwiązać większość problemów, które zostały skompilowane przez Cardano i Ferrari. Wydrukowałem je i wysłałem kurierem do Mediolanu. Musiałem jednak czekać całe pięć miesięcy, aż otrzymałem odpowiedzi na moje problemy. Nie były prawidłowe. Dało mi to powód do wyzwania obu do publicznej debaty.

Tartaglia milczał. Młodzieniec, patrząc na nieszczęsnego Tartaglię, powiedział:

Szanowni Państwo! Mój zacny przeciwnik pozwolił sobie już w pierwszych słowach swojej przemowy wyrazić tyle oszczerstw przeciwko mnie i mojemu nauczycielowi, jego argument był tak bezpodstawny, że nie sprawiłoby mi trudu obalenie pierwszego i wykazanie niekonsekwencji drugiego. Po pierwsze, o jakim oszustwie możemy mówić, jeśli Niccolo Tartaglia całkowicie dobrowolnie podzielił się z nami swoją metodą? A oto jak Geronimo Cardano pisze o roli mojego adwersarza w odkryciu reguły algebraicznej. Mówi, że to nie jemu, Cardano, „ale mojemu przyjacielowi Tartaglii, należy się zaszczyt odkrycia tak pięknej i niesamowitej rzeczy, przewyższającej ludzki dowcip i wszystkie talenty ludzkiego ducha. To odkrycie jest naprawdę niebiańskim darem, tak doskonałym dowodem siły umysłu, który je pojął, że nic nie może być dla niego uważane za nieosiągalne.

Mój przeciwnik oskarżył mnie i mojego nauczyciela o rzekome podanie niewłaściwego rozwiązania jego problemów. Ale jak pierwiastek równania może być błędny, jeśli podstawiając go do równania i wykonując wszystkie czynności opisane w tym równaniu, dochodzimy do tożsamości? I już jeśli Senor Tartaglia chce być konsekwentny, to musiał odpowiedzieć na uwagę, dlaczego my, którzy jego wynalazek ukradliśmy i wykorzystaliśmy do rozwiązania proponowanych problemów, otrzymaliśmy złe rozwiązanie. My - mój nauczyciel i ja - nie uważamy jednak wynalazku signora Tartaglii za nieważny. Ten wynalazek jest cudowny. Co więcej, mocno na nim polegając, znalazłem sposób na rozwiązanie równania 4 stopnia, o czym w „Arsmagna” mówi mój nauczyciel. Czego chce od nas señor Tartaglia? Co chce osiągnąć dyskutując?

Panowie, panowie - zawołał Tartaglia - proszę, posłuchajcie mnie! Nie przeczę, że mój młody przeciwnik jest bardzo silny w logice i elokwencji. Ale to nie może zastąpić prawdziwego dowodu matematycznego. Zadania, które dałem Cardano i Ferrari są rozwiązane niepoprawnie, ale udowodnię to. Rzeczywiście, weźmy na przykład równanie wśród tych, którzy je rozwiązali. Wiadomo, że...

W kościele rozległ się niewyobrażalny hałas, całkowicie pochłaniający końcówkę frazy rozpoczętej przez pechowego matematyka. Nie pozwolono mu kontynuować. Tłum zażądał, aby się zamknął i oddał kolej Ferrari. Tartaglia, widząc, że dalsza dysputa jest zupełnie bezcelowa, pospiesznie zszedł z ambony i wyszedł przez północną kruchtę na plac. Tłum oklaskiwał „zwycięzcę” debaty, Luigiego Ferrari.

W ten sposób zakończył się ten spór, który do dziś powoduje coraz więcej sporów. Kto tak naprawdę jest właścicielem sposobu na rozwiązanie równania trzeciego stopnia? Rozmawiamy teraz - Niccolo Tartaglia. Odkrył, a Cardano wyciągnął z niego to odkrycie. A jeśli teraz nazywamy wzór przedstawiający pierwiastki równania trzeciego stopnia poprzez jego współczynniki wzorem Cardano, to jest to historyczna niesprawiedliwość. Czy jednak jest to niesprawiedliwe? Jak obliczyć miarę udziału w odkryciu każdego z matematyków? Być może z czasem ktoś będzie w stanie na pewno odpowiedzieć na to pytanie, a może pozostanie to tajemnicą…

    1. Formuła Cardano

Jeśli użyjemy nowoczesnego języka matematycznego i nowoczesnej symboliki, wyprowadzenie formuły Cardano można znaleźć, korzystając z następujących wysoce elementarnych rozważań:

Otrzymamy ogólne równanie trzeciego stopnia:

X 3 + topór 2 + bx + C = 0,

(1)

Gdziea, b, c – dowolne liczby rzeczywiste.

Zastąpmy w równaniu (1) zmiennąX do nowej zmiennej ywedług wzoru:

X 3 + topór 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + do = y 3 3 lata 2 + 3 lata+ a(y 2 2 lata+przez =y 3 y 3 + (ur

wówczas równanie (1) przyjmuje postaćy 3 + ( B

Jeśli wprowadzimy notacjęP = B, Q = ,

wtedy równanie przyjmie postaćy 3 + py + Q = 0.

To jest słynna formuła Cardano.

Pierwiastki równania sześciennegoy 3 + py + Q = 0 zależy od wyróżnika

D=

JeśliD> 0, więcwielomian sześcienny ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

JeśliD< 0, то wielomian sześcienny ma jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa złożone korzenie(które są złożonymi sprzężeniami).

JeśliD = 0, ma wielokrotny pierwiastek (albo jeden pierwiastek z krotności 2 i jeden pierwiastek z krotności 1, oba rzeczywiste lub jeden pierwiastek rzeczywisty z krotności 3).

2.4. Przykłady uniwersalnych sposobów rozwiązywania równań sześciennych

Spróbujmy zastosować wzór Cardana do rozwiązania określonych równań.

Przykład 1: X 3 +15 X+124 = 0

TutajP = 15; Q = 124.

Odpowiedź:X

Dowiedz się, jak rozwiązywać równania sześcienne. Rozważany jest przypadek, gdy znany jest jeden pierwiastek. Metody znajdowania pierwiastków całkowitych i wymiernych. Zastosowanie wzorów Cardano i Vieta do rozwiązania dowolnego równania sześciennego.

Treść

Tutaj rozważamy rozwiązanie równań sześciennych postaci
(1) .
Ponadto zakładamy, że są to liczby rzeczywiste.


(2) ,
następnie dzieląc przez , otrzymujemy równanie postaci (1) ze współczynnikami
.

Równanie (1) ma trzy pierwiastki: , i . Jeden z korzeni jest zawsze prawdziwy. Prawdziwy pierwiastek oznaczamy jako . Korzenie i mogą być koniugatem rzeczywistym lub złożonym. Prawdziwe korzenie mogą być wielokrotne. Na przykład, jeśli , to i są pierwiastkami podwójnymi (lub pierwiastkami o krotności 2) i są pierwiastkami prostymi.

Jeśli znany jest tylko jeden korzeń

Podaj nam jeden pierwiastek równania sześciennego (1). Oznaczmy znany pierwiastek jako . Następnie dzieląc równanie (1) przez , otrzymujemy równanie kwadratowe. Rozwiązując równanie kwadratowe, znajdujemy jeszcze dwa pierwiastki i .

Jako dowód wykorzystujemy fakt, że wielomian sześcienny można przedstawić jako:
.
Następnie dzieląc (1) przez , otrzymujemy równanie kwadratowe.

Na stronie przedstawiono przykłady dzielenia wielomianów
„Dzielenie i mnożenie wielomianu przez wielomian przez róg i kolumnę”.
Rozwiązanie równań kwadratowych jest rozważane na stronie
„Pierwiastki równania kwadratowego”.

Jeśli jeden z korzeni jest

Jeśli oryginalne równanie to:
(2) ,
a jego współczynniki , , , są liczbami całkowitymi, to możemy spróbować znaleźć cały korzeń. Jeśli to równanie ma pierwiastek całkowity, to jest dzielnikiem współczynnika. Metoda wyszukiwania pierwiastków całkowitych polega na znalezieniu wszystkich dzielników liczby i sprawdzeniu, czy zachodzi dla nich równanie (2). Jeśli równanie (2) jest spełnione, to znaleźliśmy jego pierwiastek. Oznaczmy to jako . Następnie dzielimy równanie (2) przez . Otrzymujemy równanie kwadratowe. Rozwiązując go, znajdujemy jeszcze dwa pierwiastki.

Przykłady definiowania pierwiastków całkowitych podano na stronie
Przykłady rozkładu wielomianów na czynniki > > > .

Znalezienie racjonalnych korzeni

Jeśli w równaniu (2) , , , są liczbami całkowitymi, oraz , i nie ma pierwiastków całkowitych, to można spróbować znaleźć pierwiastki wymierne, czyli pierwiastki postaci , gdzie i są liczbami całkowitymi.

W tym celu mnożymy równanie (2) przez i dokonujemy podstawienia:
;
(3) .
Następnie szukamy całkowitych pierwiastków równania (3) wśród dzielników wyrazu wolnego.

Jeżeli znaleźliśmy całkowity pierwiastek równania (3), to wracając do zmiennej , otrzymujemy pierwiastek wymierny równania (2):
.

Wzory Cardano i Vieta do rozwiązywania równań sześciennych

Jeśli nie znamy ani jednego pierwiastka i nie ma pierwiastków całkowitych, możemy znaleźć pierwiastki równania sześciennego za pomocą wzorów Cardano.

Rozważ równanie sześcienne:
(1) .
Zróbmy zamianę:
.
Następnie równanie zostaje zredukowane do niepełnej lub zredukowanej postaci:
(4) ,
Gdzie
(5) ; .

Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów szkół wyższych, Lan, 2009.
G. Korn, Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów, 2012.

Przyjrzyjmy się ponownie formule sześcianu sumy, ale zapiszmy ją inaczej:

Porównaj ten wpis z równaniem (13) i spróbuj ustalić związek między nimi. Nawet z podpowiedzią nie jest to łatwe. Musimy oddać hołd matematykom renesansu, którzy rozwiązali równanie sześcienne bez znajomości symboliki alfabetycznej. Zastąp w naszym wzorze:

Teraz już jest jasne: aby znaleźć pierwiastek równania (13), wystarczy rozwiązać układ równań

Lub

i weź jako sumę i . Zastępując , system ten sprowadza się do bardzo prostej postaci:

Wtedy możesz działać na różne sposoby, ale wszystkie „drogi” będą prowadzić do tego samego równania kwadratowego. Na przykład, zgodnie z twierdzeniem Viety, suma pierwiastków danego równania kwadratowego jest równa współczynnikowi at ze znakiem minus, a iloczyn jest równy wyrazowi swobodnemu. Wynika z tego, że i są pierwiastkami równania

Zapiszmy te pierwiastki:

Zmienne i są równe pierwiastkom sześciennym z i , a pożądanym rozwiązaniem równania sześciennego (13) jest suma tych pierwiastków:

.

Ta formuła jest znana jako Formuła Cardano.

Rozwiązanie trygonometryczne

podstawienie zostaje zredukowane do formy „niepełnej”.

, , . (14)

Pierwiastki , , „niepełnego” równania sześciennego (14) to

, ,

, ,

.

Niech „niepełne” równanie sześcienne (14) będzie rzeczywiste.

a) Jeśli (przypadek „nieredukowalny”), to

,

,

.

(b) Jeżeli , , to

, .

(c) Jeśli , , to

, ,

, .

We wszystkich przypadkach brana jest rzeczywista wartość pierwiastka sześciennego.

Równanie dwukwadratowe

Równanie algebraiczne czwartego stopnia.

gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi, nazywa się równanie dwukwadratowe. Zastępując równanie, równanie zostaje zredukowane do równania kwadratowego następnie rozwiązanie dwóch równań dwuczłonowych i (i są pierwiastkami odpowiedniego równania kwadratowego).

Jeśli i , to równanie dwukwadratowe ma cztery pierwiastki rzeczywiste:

Jeśli , ), to równanie dwukwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste i pierwiastki sprzężone urojone:

.

Jeśli i , to równanie dwukwadratowe ma cztery czysto urojone pierwiastki sprzężone parami:

, .

Równania czwartego stopnia

Metodę rozwiązywania równań czwartego stopnia znaleziono w XVI wieku. Ludovico Ferrari, uczeń Gerolamo Cardano. To się nazywa metoda Ferrari.

Podobnie jak w rozwiązywaniu równań sześciennych i kwadratowych, w równaniu czwartego stopnia

możesz pozbyć się tego terminu przez podstawienie . Dlatego przyjmiemy, że współczynnik przy sześcianie niewiadomej jest równy zeru:

Pomysł Ferrari polegał na przedstawieniu równania jako , gdzie lewa strona to kwadrat , a prawa strona to kwadrat równania liniowego , którego współczynniki zależą od . Następnie pozostaje rozwiązać dwa równania kwadratowe: i. Oczywiście taka reprezentacja jest możliwa tylko przy specjalnym wyborze parametru . Wygodnie jest wziąć to w formie , następnie równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

Prawa strona tego równania to kwadratowy trójmian . Pełny kwadrat będzie wtedy, gdy jego dyskryminator będzie równy zeru, tj.

, Lub

To równanie nazywa się rozpuszczalnik (tj. „pobłażliwy”). Jest stosunkowo sześcienny, a formuła Cardano pozwala znaleźć część jego pierwiastka. W , prawa strona równania (15) przyjmuje postać

,

a samo równanie sprowadza się do dwóch równań kwadratowych:

.

Ich pierwiastki dają wszystkie rozwiązania pierwotnego równania.

Rozwiążmy na przykład równanie

Tutaj wygodniej będzie użyć nie gotowych formuł, ale samej idei rozwiązania. Zapisujemy równanie w postaci

i dodaj wyrażenie do obu części, tak aby po lewej stronie powstał pełny kwadrat:

Teraz przyrównujemy do zera wyróżnik prawej strony równania:

lub po uproszczeniu

Jeden z pierwiastków otrzymanego równania można odgadnąć, sortując dzielniki wyrażenia wolnego: . Po podstawieniu tej wartości otrzymujemy równanie

Gdzie . Pierwiastki otrzymanych równań kwadratowych - I . Oczywiście w ogólnym przypadku można również uzyskać złożone korzenie.

Sekcje