Nachylenie 2. Równanie prostej ze spadkiem. Zobacz, co oznacza „kąt prosty” w innych słownikach

Niech na płaszczyźnie, w której znajduje się prostokątny kartezjański układ współrzędnych, linia prosta l przechodzi przez punkt M 0 równolegle do wektora kierunku A (ryc. 96).

Jeśli prosto l przecina oś O X(w punkcie N), następnie pod kątem prostej l z osią O X zrozumiemy kąt α, o który należy obrócić oś O X wokół punktu N w kierunku przeciwnym do obrotu zgodnie z ruchem wskazówek zegara, tak aby oś O X pokrywała się z linią prostą l. (Odnosi się to do kąta mniejszego niż 180°.)

Kąt ten nazywa się kąt nachylenia bezpośredni. Jeśli prosto l równolegle do osi O X, wówczas przyjmuje się, że kąt nachylenia wynosi zero (ryc. 97).

Nazywa się tangensem kąta nachylenia prostej nachylenie linii prostej i jest zwykle oznaczony literą k:

tan α = k. (1)

Jeżeli α = 0, to k= 0; oznacza to, że linia jest równoległa do osi O X a jego nachylenie wynosi zero.

Jeżeli α = 90°, to k= tan α nie ma sensu: oznacza to linię prostą prostopadłą do osi O X(tj. równolegle do osi O Na), nie ma nachylenia.

Nachylenie linii można obliczyć, jeśli znane są współrzędne dowolnych dwóch punktów na tej linii. Niech zostaną dane dwa punkty na prostej: M 1 ( X 1 ; Na 1) i M 2 ( X 2 ; Na 2) i niech na przykład 0< α < 90°, а X 2 > X 1 , Na 2 > Na 1 (ryc. 98).

Następnie od prawy trójkąt M 13:00 2 znajdujemy

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2)$$

Podobnie udowodniono, że wzór (2) jest prawdziwy także w przypadku 90°< α < 180°.

Formuła (2) staje się bez znaczenia, jeśli X 2 - X 1 = 0, tj. jeśli jest prosty l równolegle do osi O Na. Dla takich linii prostych nie ma współczynnika nachylenia.

Zadanie 1. Wyznacz współczynnik kątowy prim przechodzący przez punkty

M 1 (3; -5) i M 2 (5; -7).

Podstawiając współrzędne punktów M 1 i M 2 do wzoru (2) otrzymujemy

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3)\) lub k = -1

Zadanie 2. Określ nachylenie linii prostej przechodzącej przez punkty M 1 (3; 5) i M 2 (3; -2).

Ponieważ X 2 - X 1 = 0, wówczas równość (2) traci sens. Ta linia prosta nie ma nachylenia. Linia prosta M 1 M 2 jest równoległa do osi O Na.

Zadanie 3. Określ nachylenie linii przechodzącej przez początek i punkt M 1 (3; -5)

W tym przypadku punkt M 2 pokrywa się z początkiem. Stosując wzór (2) otrzymujemy

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

Utwórzmy równanie prostej ze współczynnikiem kąta k, przechodząc przez punkt

M 1 ( X 1 ; Na 1). Zgodnie ze wzorem (2) współczynnik kątowy prostej wyznacza się ze współrzędnych jej dwóch punktów. W naszym przypadku dany jest punkt M 1, a jako drugi punkt możemy przyjąć dowolny punkt M( X; Na) żądaną linię prostą.

Jeżeli punkt M leży na prostej przechodzącej przez punkt M 1 i ma współczynnik kątowy k, to na mocy wzoru (2) mamy

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$

Jeżeli punkt M nie leży na prostej, to równość (3) nie zachodzi. W konsekwencji równość (3) jest równaniem linii przechodzącej przez punkt M 1 ( X 1 ; Na 1) ze spadkiem k; to równanie jest zwykle zapisywane jako

y- y 1 = k(X - X 1). (4)

Jeśli linia prosta przecina oś O Na w pewnym momencie (0; B), wówczas równanie (4) przyjmuje postać

Na - B = k (X- 0),

y = kx + b. (5)

To równanie nazywa się równanie prostej o nachyleniu k i rzędnej początkowej b.

Zadanie 4. Znajdź kąt nachylenia prostej √3 x + 3Na - 7 = 0.

Sprowadźmy to równanie do postaci

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

Stąd, k= tan α = - 1 / √ 3, skąd α = 150°

Zadanie 5. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(3; -4) ze współczynnikiem kątowym k = 2 / 5

Zastępowanie k = 2 / 5 , X 1 = 3, y 1 = - 4 do równania (4), otrzymujemy

Na - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) lub 2 X - 5Na - 26 = 0.

Zadanie 6. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt Q (-3; 4) i składową o dodatnim kierunku osi O X kąt 30°.

Jeżeli α = 30°, to k= tan 30° = √ 3 / 3 . Podstawiając do równania (4) wartości X 1 , y 1 i k, otrzymujemy

Na -4 = √ 3 / 3 (X+ 3) lub √3 X-3y + 12 + 3√3 = 0.

W Współrzędne kartezjańskie każda prosta jest wyznaczana przez równanie pierwszego stopnia i odwrotnie, każde równanie pierwszego stopnia wyznacza prostą.

Równanie postaci

nazywa się ogólnym równaniem prostej.

Kąt wyznaczony jak na rysunku nazywa się kątem nachylenia prostej do osi Wółu. Tangens kąta nachylenia prostej do osi Wółu nazywany jest współczynnikiem kątowym linii prostej; jest zwykle oznaczany literą k:

Równanie nazywa się równaniem linii o nachyleniu; k jest współczynnikiem kątowym, b jest wartością odcinka odciętego przez linię prostą na osi Oy, licząc od początku.

Jeśli linia prosta jest dana przez równanie ogólne

,

wówczas jego współczynnik kątowy określa się ze wzoru

Równanie jest równaniem prostej przechodzącej przez punkt (, ) i mającej współczynnik kątowy k.

Jeżeli linia prosta przechodzi przez punkty (, ), (, ), to jej nachylenie określa wzór

Równanie

jest równaniem linii przechodzącej przez dwa punkty (, ) i (, ).

Jeżeli znane są współczynniki kątowe dwóch prostych, to jeden z kątów między tymi prostymi określa się ze wzoru

.

Znakiem równoległości dwóch prostych jest równość ich współczynników kątowych:

Znakiem prostopadłości dwóch linii prostych jest stosunek lub.

Innymi słowy, współczynniki kątowe linii prostopadłych są odwrotne w wartości bezwzględnej i przeciwne pod względem znaku.

4. Równanie ogólne prostej

Równanie

Ah+Bu+C=0

(Gdzie A, B, C może mieć dowolne wartości, pod warunkiem, że współczynniki A, B nie były obydwoma zerami na raz) reprezentuje linia prosta. Dowolną linię prostą można przedstawić za pomocą równania tego typu. Dlatego go nazywają ogólne równanie prostej.

Jeśli AX, to reprezentuje linię prostą, równolegle do osi OX.

Jeśli W=0, czyli równanie nie zawiera Na, to reprezentuje linię prostą, równolegle do osi OY.

Kogla W nie jest równa zeru, wówczas ogólne równanie prostej może być rozstrzygać względem rzędnychNa , następnie jest konwertowany do postaci

(Gdzie a=-A/B; b=-C/B).

Podobnie kiedy A niezerowy równanie ogólne linię prostą można rozwiązać względem X.

Jeśli Z=0, czyli ogólne równanie prostej nie zawiera wyrazu wolnego, wówczas reprezentuje prostą przechodzącą przez początek

5. Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt o zadanym nachyleniu

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt A(X 1 , y 1) w danym kierunku określonym przez nachylenie k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Równanie to definiuje ołówek linii przechodzących przez punkt A(X 1 , y 1), który nazywany jest środkiem belki.

6. równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: A(X 1 , y 1) i B(X 2 , y 2), napisane w ten sposób:

Współczynnik kątowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty określa wzór

7. Równanie prostej w odcinkach

Jeżeli w ogólnym równaniu prostej , to dzieląc (1) przez , otrzymamy równanie prostej w odcinkach

Gdzie , . Linia prosta przecina oś w punkcie, oś w punkcie.

8. Wzór: Kąt pomiędzy prostymi na płaszczyźnie

U Bramka α pomiędzy dwiema prostymi określonymi równaniami: y=k 1 x+b 1 (pierwsza linia) i y=k 2 x+b 2 (druga prosta) można obliczyć ze wzoru (kąt mierzony jest od 1. prostej do 2. prostej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ):

9. Względne położenie dwóch prostych na płaszczyźnie.

Niech teraz oboje równania linie proste zapisuje się w formie ogólnej.

Twierdzenie. Pozwalać

- ogólny równania dwie proste linie dalej koordynować Samolot Oxy. Następnie

1) jeśli , to prosty i pokrywają się;

2) jeśli , to prosto i

równoległy;

3) jeśli , to prosty przecinać.

Dowód. Warunek jest równoważny kolinearności normalnej wektory dane bezpośrednie:

Dlatego jeśli , to prosty przecinać.

Jeśli , następnie , , i równanie bezpośredni przyjmuje postać:

Lub , tj. prosty mecz. Należy pamiętać, że współczynnik proporcjonalności, w przeciwnym razie wszystkie współczynniki ogólne równania byłoby równe zeru, co jest niemożliwe.

Jeśli prosty nie pokrywają się i nie przecinają, to sprawa pozostaje, tj. prosty równoległy.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Rysunek pokazuje kąt nachylenia prostej i wskazuje wartość nachylenia przy różne opcje położenie linii prostej względem układ prostokątny współrzędne

Znalezienie nachylenia prostej o znanym kącie nachylenia do osi Wołu nie nastręcza żadnych trudności. Aby to zrobić, wystarczy przypomnieć sobie definicję współczynnika kątowego i obliczyć tangens kąta nachylenia.

Przykład.

Znajdź nachylenie prostej, jeśli jej kąt nachylenia do osi odciętej jest równy .

Rozwiązanie.

Zgodnie z warunkiem. Następnie, z definicji nachylenia linii prostej, obliczamy .

Odpowiedź:

Zadanie znalezienia kąta nachylenia prostej do osi x przy znanym nachyleniu jest nieco bardziej skomplikowane. Tutaj należy wziąć pod uwagę znak nachylenia. Kiedy kąt nachylenia linii prostej jest ostry i można go znaleźć jako . Gdy kąt nachylenia linii prostej jest rozwarty i można go określić za pomocą wzoru .

Przykład.

Wyznacz kąt nachylenia prostej do osi odciętej, jeżeli jej nachylenie jest równe 3.

Rozwiązanie.

Ponieważ pod warunkiem współczynnik kątowy jest dodatni, kąt nachylenia linii prostej do osi Wołu jest ostry. Obliczamy to za pomocą wzoru.

Odpowiedź:

Przykład.

Nachylenie prostej wynosi . Określ kąt nachylenia prostej do osi Wołu.

Rozwiązanie.

Oznaczmy k jest współczynnikiem kątowym linii prostej, - kątem nachylenia tej prostej do dodatniego kierunku osi Ox. Ponieważ , następnie korzystamy ze wzoru na obliczenie kąta nachylenia prostej w następującej postaci . Podstawiamy do niego dane z warunku: .

Odpowiedź:

Równanie prostej ze współczynnikiem kątowym.

Równanie prostej ze spadkiem ma postać , gdzie k jest nachyleniem prostej, b jest liczbą rzeczywistą. Równania linii prostej ze współczynnikiem kątowym można użyć do zdefiniowania dowolnej linii prostej, a nie równolegle do osi Oy (dla prostej równoległej do osi rzędnych nachylenie nie jest określone).

Spójrzmy na znaczenie wyrażenia: „prostą na płaszczyźnie w ustalonym układzie współrzędnych podaje równanie ze współczynnikiem kątowym postaci „.” Oznacza to, że równanie jest spełnione przez współrzędne dowolnego punktu na prostej i nie jest spełnione przez współrzędne żadnego innego punktu na płaszczyźnie. Zatem, jeżeli podstawiając współrzędne punktu uzyskamy poprawną równość, to przez ten punkt przechodzi prosta. W przeciwnym razie punkt nie leży na prostej.

Przykład.

Linię prostą wyznacza się za pomocą równania o nachyleniu. Czy punkty również należą do tej prostej?

Rozwiązanie.

Podstawmy współrzędne punktu do pierwotnego równania prostej z nachyleniem: . Otrzymaliśmy poprawną równość, dlatego punkt M 1 leży na prostej.

Podstawiając współrzędne punktu, otrzymujemy niepoprawną równość: . Zatem punkt M 2 nie leży na prostej.

Odpowiedź:

Kropka M 1 należy do prostej, M 2 nie.

Należy zauważyć, że przez punkt przechodzi prosta określona równaniem prostej ze współczynnikiem kątowym, gdyż podstawiając jej współrzędne do równania otrzymujemy poprawną równość: .

Zatem równanie linii prostej ze współczynnikiem kątowym definiuje na płaszczyźnie linię prostą przechodzącą przez punkt i tworzącą kąt z dodatnim kierunkiem osi x, oraz .

Jako przykład zobrazujmy linię prostą określoną przez równanie prostej ze współczynnikiem kątowym postaci . Linia ta przechodzi przez punkt i ma nachylenie radianów (60 stopni) w kierunku dodatnim osi Wół. Jego nachylenie jest równe .

Równanie prostej z nachyleniem przechodzącej przez dany punkt.

Teraz rozwiążemy bardzo ważny problem: otrzymamy równanie prostej o zadanym nachyleniu k i przechodzącej przez punkt .

Ponieważ prosta przechodzi przez punkt, równość jest prawdziwa . Nie znamy liczby b. Aby się tego pozbyć, od lewej i prawej strony równania prostej ze współczynnikiem nachylenia odejmujemy lewą i prawą stronę ostatniej równości. W tym przypadku otrzymujemy . Ta równość jest równanie prostej o zadanym nachyleniu k, która przechodzi przez dany punkt.

Spójrzmy na przykład.

Przykład.

Zapisz równanie prostej przechodzącej przez punkt, której nachylenie wynosi -2.

Rozwiązanie.

Od stanu jaki mamy . Wtedy równanie prostej ze współczynnikiem kątowym przyjmie postać .

Odpowiedź:

Przykład.

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że przechodzi ona przez punkt, a kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi Ox jest równy .

Rozwiązanie.

Najpierw obliczmy nachylenie prostej, której równania szukamy (rozwiązaliśmy ten problem w poprzednim akapicie tego artykułu). Z definicji . Mamy teraz wszystkie dane do napisania równania prostej ze współczynnikiem kąta:

Odpowiedź:

Przykład.

Zapisz równanie prostej ze współczynnikiem kątowym przechodzącym przez punkt równoległy do ​​tej prostej.

Rozwiązanie.

Oczywiście kąty nachylenia linii równoległych do osi Wółu pokrywają się (w razie potrzeby zobacz artykuł Równoległość linii), dlatego współczynniki kątowe linii równoległych są równe. Następnie nachylenie prostej, której równanie musimy uzyskać, jest równe 2, ponieważ nachylenie prostej jest równe 2. Teraz możemy utworzyć wymagane równanie prostej o nachyleniu:

Odpowiedź:

Przejście od równania prostej ze współczynnikiem kąta do innych typów równań prostej i odwrotnie.

Pomimo całej znajomości równanie linii prostej ze współczynnikiem kątowym nie zawsze jest wygodne w użyciu przy rozwiązywaniu problemów. W niektórych przypadkach problemy łatwiej jest rozwiązać, gdy równanie prostej przedstawi się w innej formie. Na przykład równanie linii prostej ze współczynnikiem kątowym nie pozwala od razu zapisać współrzędnych wektora kierującego linii prostej lub współrzędnych wektora normalnego linii prostej. Dlatego należy nauczyć się przechodzić od równania prostej ze współczynnikiem kąta do innych typów równań tej prostej.

Z równania prostej ze współczynnikiem kątowym łatwo otrzymać równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie postaci . Aby to zrobić, przesuwamy wyraz b z prawej strony równania na lewą stronę z przeciwnym znakiem, a następnie dzielimy obie strony powstałej równości przez nachylenie k: . Działania te prowadzą nas od równania linii prostej ze współczynnikiem kątowym do równanie kanoniczne bezpośredni.

Przykład.

Podaj równanie prostej ze współczynnikiem kąta do postaci kanonicznej.

Rozwiązanie.

Dokonajmy niezbędnych przekształceń: .

Odpowiedź:

Przykład.

Linię prostą wyznacza się poprzez równanie linii prostej ze współczynnikiem kątowym. Czy wektor jest wektorem normalnym tej prostej?

Rozwiązanie.

Aby rozwiązać ten problem, przejdźmy od równania prostej ze współczynnikiem kąta do ogólnego równania tej prostej: . Wiemy, że współczynniki zmiennych x i y w ogólnym równaniu prostej są odpowiadającymi współrzędnymi wektora normalnego tej prostej, czyli wektora normalnego prostej . Oczywiste jest, że wektor jest współliniowy z wektorem, ponieważ relacja jest ważna (jeśli to konieczne, zobacz artykuł). Zatem pierwotny wektor jest również normalnym wektorem liniowym , a zatem jest wektorem normalnym i pierwotną linią.

Odpowiedź:

Tak, to prawda.

A teraz rozwiążemy problem odwrotny - problem redukcji równania prostej na płaszczyźnie do równania prostej ze współczynnikiem kąta.

Z ogólnego równania prostej postaci , w którym bardzo łatwo dojść do równania ze współczynnikiem nachylenia. Aby to zrobić, musisz rozwiązać ogólne równanie prostej względem y. W tym przypadku otrzymujemy . Otrzymana równość jest równaniem linii prostej o współczynniku kątowym równym .

W poprzednim rozdziale pokazano, że wybierając określony układ współrzędnych na płaszczyźnie możemy to zrobić właściwości geometryczne, charakteryzujący punkty rozważanej linii, wyraża się analitycznie równaniem pomiędzy bieżącymi współrzędnymi. W ten sposób otrzymujemy równanie prostej. W tym rozdziale przyjrzymy się równaniom linii prostych.

Aby utworzyć równanie prostej we współrzędnych kartezjańskich, należy w jakiś sposób ustawić warunki określające jej położenie względem osi współrzędnych.

Na początek wprowadzimy pojęcie współczynnika kątowego prostej, będącego jedną z wielkości charakteryzujących położenie prostej na płaszczyźnie.

Kąt nachylenia prostej do osi Wół nazwijmy kątem, o który należy obrócić oś Wół, aby pokrywała się z daną linią (lub okazała się do niej równoległa). Jak zwykle, kąt rozważymy biorąc pod uwagę znak (znak zależy od kierunku obrotu: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Ponieważ dodatkowy obrót osi Ox o kąt 180° ponownie zrówna ją z prostą, nie da się jednoznacznie wybrać kąta nachylenia prostej do osi (aż do wyrazu będącego wielokrotnością ) .

Tangens tego kąta jest wyznaczany jednoznacznie (ponieważ zmiana kąta nie zmienia jego tangensu).

Styczna kąta nachylenia prostej do osi Wół nazywana jest współczynnikiem kątowym linii prostej.

Współczynnik kątowy charakteryzuje kierunek prostej (nie rozróżniamy tutaj dwóch wzajemnie przeciwnych kierunków prostej). Jeżeli nachylenie linii wynosi zero, to linia jest równoległa do osi x. Przy dodatnim współczynniku kątowym kąt nachylenia prostej do osi Wół będzie ostry (rozważamy tutaj najmniejszą dodatnią wartość kąta nachylenia) (ryc. 39); Co więcej, im większy współczynnik kątowy, tym większy kąt jego nachylenia do osi Wołu. Jeżeli współczynnik kątowy będzie ujemny, wówczas kąt nachylenia prostej do osi Wół będzie rozwarty (ryc. 40). Należy zauważyć, że prosta prostopadła do osi Wółu nie ma współczynnika kątowego (styczna kąta nie istnieje).

Zadania ze znalezieniem pochodnej tangensa wchodzą w skład Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki i pojawiają się tam co roku. Jednocześnie statystyki ostatnie lata pokazuje, że tego typu zadania sprawiają absolwentom pewne trudności. Jeśli zatem student spodziewa się uzyskać przyzwoite wyniki po zdaniu egzaminu Unified State Exam, to zdecydowanie powinien nauczyć się radzić sobie z zadaniami z części „Współczynnik kąta stycznej jako wartość pochodnej w punkcie styczności” przygotowane przez specjalistów portalu edukacyjnego Shkolkovo. Po zrozumieniu algorytmu ich rozwiązywania student będzie w stanie pomyślnie przejść test certyfikacyjny.

Przegląd najważniejszych wydarzeń

Pierwsze kroki z rozwiązaniem Problemy z egzaminem jednolitym w tym temacie należy przypomnieć podstawową definicję: pochodna funkcji w punkcie jest równa nachyleniu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. To jest to znaczenie geometryczne pochodna.

Istnieje jeszcze jedna ważna definicja, którą należy odświeżyć. Brzmi to tak: współczynnik kątowy jest równy tangensowi kąta nachylenia stycznej do osi odciętej.

Jakie inne ważne punkty Warto o tym wspomnieć w tym wątku? Rozwiązując problemy ze znalezieniem pochodnej w Unified State Examination, należy pamiętać, że kąt utworzony przez styczną może być mniejszy, większy niż 90 stopni lub równy zero.

Jak przygotować się do egzaminu?

Aby mieć pewność, że zadania w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego na temat „Współczynnik kątowy stycznej jako wartość pochodnej w punkcie styczności” są dość łatwe, skorzystaj z informacji zawartych w tej sekcji na portalu edukacyjnym Shkolkovo, kiedy przygotowując się do egzaminu końcowego. Tutaj znajdziesz niezbędny materiał teoretyczny, zebrany i przejrzyście przedstawiony przez naszych specjalistów, a także będziesz mógł przećwiczyć wykonywanie ćwiczeń.

Dla każdego zadania, na przykład problemów na temat „Współczynnik kątowy stycznej jako tangens kąta nachylenia”, zapisaliśmy poprawną odpowiedź i algorytm rozwiązania. Jednocześnie uczniowie mogą wykonywać ćwiczenia o różnym stopniu trudności online. W razie potrzeby zadanie można zapisać w sekcji „Ulubione”, aby później móc omówić jego rozwiązanie z nauczycielem.