Liczba transcendentalna w prostych słowach. Czym jest transcendencja, czyli dlaczego nie możemy poznać siebie. Zobacz, co „liczba transcendentalna” znajduje się w innych słownikach

Fragment z Liczby transcendentalnej

Oprócz dzielenia liczb rzeczywistych na wymierne i irracjonalne, istnieje jeszcze inny ich podział - na algebraiczne i transcendentalne.

Jeśli liczba rzeczywista spełnia pewne równanie postaci

ze współczynnikami całkowitymi, wtedy mówimy, że ta liczba jest algebraiczna. Liczba rzeczywista, która nie spełnia żadnego równania tego rodzaju, nazywana jest transcendentalną. ( Liczby zespolone dzielą się na algebraiczne i transcendentalne dokładnie w ten sam sposób, ale w dalszej części interesują nas tylko liczby rzeczywiste.)

Łatwo zauważyć, że każda liczba wymierna jest algebraiczna. Na przykład 5/7 spełnia równanie wymaganego typu. Ogólnie rzecz biorąc, każda liczba wymierna spełnia równanie i dlatego jest algebraiczna.

Ponieważ każda liczba wymierna jest algebraiczna, to każda liczba niealgebraiczna jest niewymierna (patrz metoda 12 z tabeli „Sposoby wyrażenia: jeśli A, to B” wskazanej na stronie 40) lub, w wygodniejszej dla nas formie: każda liczba transcendentalna jest irracjonalna... Podział ten schematycznie przedstawiono na ryc. 15.

Na tym rysunku liczby pojawiają się jako przykłady liczb algebraicznych. Rzeczywiście są one algebraiczne, ponieważ spełniają odpowiednio następujące równania algebraiczne:

Z drugiej strony liczby są wymienione jako przykłady liczb transcendentalnych. (Liczba 3,14159… jest stosunkiem obwodu koła do długości jego średnicy.) Nie możemy tu podać dowodów transcendencji tych liczb, ponieważ opierają się one na zastosowaniu metod znacznie głębszych niż te, które Używamy. Transcendencja liczb została ustalona w 1882 roku, a transcendencja liczb jest wynikiem znacznie późniejszym - udowodniono to dopiero w 1934 roku. Liczbę jako przykład posłużył się wielkim matematykiem Davidem Hilbertem, gdy w 1900 roku ogłosił słynną listę dwadzieścia trzy problemy, uważane przez niego za najważniejsze nierozwiązane problemy matematyczne. W szczególności siódmy problem Hilberta był następujący: dowiedz się, czy liczba jest algebraiczna, czy transcendentalna, jeśli wiadomo, że liczby są algebraiczne. (Wykluczono również przypadki wymierności, ponieważ w tych przypadkach dość łatwo jest udowodnić, że liczba jest algebraiczna). W 1934 r. AO Gel'fond i niezależnie od niego T. Schneider ustalili, że liczba jest przestępna. . Transcendencja liczby jest oczywiście szczególnym przypadkiem tego ogólnego wyniku.

Z tego wyniku wynika również transcendencja liczby. Rzeczywiście oznaczmy przez i 10 przez a. Na mocy definicji logarytmu dziesiętnego

Gdyby liczba była algebraiczna i niewymierna, to według twierdzenia Gelfonda-Schneidera liczba musiałaby być przestępna. Ponieważ tak nie jest, jest to albo racjonalne, albo transcendentalne. Ale powyżej pokazaliśmy, że liczba jest irracjonalna. Dlatego jest transcendentalny.

Ogólnie rzecz biorąc, z twierdzenia Gelfonda-Schneidera wynika, że ​​wszystkie liczby, gdzie są wymierne, są albo transcendentalne, albo wymierne. Zgodnie z tym, co zostało powiedziane w § 3 (patrz także Ćwiczenie 4 na s. 97), oznacza to, że liczba jest transcendentalna dla wszystkich dodatnich liczb wymiernych, z wyjątkiem następujących:

Należy pamiętać, że wszystkie logarytmy omawiane w tej książce są dziesiętne, to znaczy są przyjmowane w systemie o podstawie 10.

Tak więc wszystkie liczby, gdzie jest dowolną liczbą całkowitą od 1 do 1000, z wyjątkiem transcendentalnych. Z drugiej strony wartości funkcji trygonometrycznych, takich jak liczba, które na początku tego rozdziału okazały się irracjonalne, są algebraiczne. Ogólny wynik z tym związany jest sformułowany w następujący sposób dla dowolnej liczby wymiernej liczby

W tym rozdziale ponownie opuścimy piękną i przytulną krainę liczb całkowitych, przez którą szliśmy (prawie powiedziane – wędrowaliśmy) studiując teorię porównań. Jeśli prześledzimy historię powstania i rozwoju ludzkiej wiedzy o liczbach, to wyjdzie na jaw dość paradoksalny fakt - przez prawie całą swoją wielowiekową historię ludzkość wykorzystywała w praktyce i uważnie badała niezwykle mały ułamek cały zestaw liczb żyjących w przyrodzie. Przez długi czas ludzie byli zupełnie nieświadomi istnienia, jak się później okazało, przytłaczającej większości liczb rzeczywistych obdarzonych niezwykłymi i tajemniczymi właściwościami, a obecnie nazywanych transcendentalnymi. Oceń sam (podaję przybliżone etapy rozwoju pojęcia liczby rzeczywistej):

1) Pochodząca z głębin tysiącleci genialna abstrakcja matematyczna liczby naturalnej

Geniusz tej abstrakcji jest uderzający, a jej znaczenie dla rozwoju ludzkości przewyższa być może nawet wynalazek koła. Przyzwyczailiśmy się do tego tak bardzo, że przestaliśmy podziwiać to najwybitniejsze osiągnięcie ludzkiego umysłu. Spróbuj jednak, w trosce o rzetelność, przedstawić się nie jako student matematyki, ale prymitywny człowiek albo, powiedzmy, student filologii, żeby dokładnie sformułować to, co jest wspólne między trzema chatami, trzema bykami, trzema bananami i trzema tomografami ultradźwiękowymi (czego tutaj nie uważamy za wspólne między trzema towarzyszami picia). Wyjaśnienie nie matematyczne, czym jest liczba naturalna „trzy”, jest niemal beznadziejnym przedsięwzięciem, ale już pięciolatek wewnętrznie wyczuwa tę abstrakcję i potrafi rozsądnie z nią operować, błagając matkę o trzy cukierki zamiast o dwa.

2) Frakcje, tj. dodatnie liczby wymierne

Ułamki naturalnie powstały przy rozwiązywaniu problemów dotyczących podziału nieruchomości, mierzenia działek, obliczania czasu itp. V starożytna Grecja liczby wymierne w ogóle były symbolem harmonii otaczającego świata i przejawem boskiej zasady, a wszystkie segmenty do pewnego czasu uważano za współmierne, tj. stosunek ich długości musiał być wyrażony liczbą wymierną, w przeciwnym razie - fajka (a bogowie nie mogą na to pozwolić).

3) Liczby ujemne i zero (według niektórych źródeł naukowych)

Liczby ujemne początkowo interpretowano jako zadłużenie w rozliczeniach finansowych i barterowych, ale później okazało się, że bez liczby ujemne a w innych dziedzinach ludzkiej działalności nie można nigdzie iść (kto nie wierzy, niech zimą spojrzy na termometr za oknem). Liczba zero, moim zdaniem, początkowo służyła raczej nie jako symbol pustej przestrzeni i braku jakiejkolwiek ilości, ale jako symbol równości i kompletności procesu rozliczeniowego (ile zawdzięczałem sąsiadowi, tak wiele oddałem go, a teraz jest zero, czyli przepraszam).

4) niewymierne liczby algebraiczne

Liczby niewymierne odkryto w szkole pitagorejskiej, gdy próbowali zmierzyć przekątną kwadratu z jego bokiem, ale utrzymywali to odkrycie w strasznej tajemnicy - bez względu na to, jak powstało zamieszanie! Tylko najbardziej stabilni psychicznie i sprawdzeni studenci zostali wtajemniczeni w to odkrycie i zostało to zinterpretowane jako obrzydliwe zjawisko naruszające harmonię świata. Ale potrzeba i wojna zmusiły ludzkość do nauki rozwiązywania równania algebraiczne nie tylko pierwszego stopnia ze współczynnikami całkowitymi. Po Galileo muszle zaczęły latać parabolami, po Keplerze planety leciały po elipsach, mechanika i balistyka stały się naukami ścisłymi i wszędzie trzeba było rozwiązywać i rozwiązywać równania, których korzeniami były liczby niewymierne. Dlatego trzeba było pogodzić istnienie irracjonalnych pierwiastków równań algebraicznych, bez względu na to, jak obrzydliwe się wydawały. Ponadto metody rozwiązywania równań sześciennych i równań czwartego stopnia, odkryte w XVI wieku przez włoskich matematyków Scipio del Ferro, Niccolo Tartaglia (Tartaglia to pseudonim oznaczający w tłumaczeniu jąkający się, nie znam jego prawdziwego imienia), Ludovic Ferrari i Rafael Bombelli doprowadzili do wynalezienia bardzo „nadprzyrodzonych” liczb zespolonych, które miały zyskać pełne uznanie dopiero w XIX wieku. Irracjonalność algebraiczna stała się częścią ludzkiej praktyki od XVI wieku.

W tej historii rozwoju pojęcia liczby nie było miejsca na liczby transcendentalne, czyli liczby, które nie są pierwiastkami żadnego równania algebraicznego z wymiernymi lub, co jest równoważne (po zredukowaniu do wspólnego mianownika), współczynnikami całkowitymi. Co prawda nawet starożytni Grecy znali niezwykłą liczbę p, która, jak się później okazało, jest transcendentalna, ale znali ją tylko jako stosunek obwodu koła do jego średnicy. Pytanie o prawdziwą naturę tej liczby na ogół interesowało niewielu ludzi, dopóki ludzie nie mieli dość i bezskutecznie rozwiązali starożytny grecki problem kwadratury koła, a sama liczba p w jakiś tajemniczy sposób wkradła się w różne gałęzie matematyki i nauk przyrodniczych.

Dopiero w 1844 roku Liouville skonstruował pierwszy historycznie przykład liczby transcendentalnej, a świat matematyczny był zaskoczony samym faktem istnienia takich liczb. Dopiero w XIX wieku genialny Georg Cantor zdał sobie sprawę, posługując się pojęciem kardynalności, że przytłaczająca większość liczb transcendentalnych znajduje się na osi liczbowej. Dopiero w piątym akapicie tej małej książeczki w końcu zwracamy się do liczby transcendentalne Twoja uwaga.

Paragraf 24. Pomiar i kategoria w linii prostej.

W niniejszym podrozdziale podam kilka wstępnych informacji z analizy matematycznej niezbędnych do zrozumienia dalszej prezentacji. W matematyce wynaleziono całkiem sporo różnych formalizacji pojęcia „małości” zbioru. Będziemy potrzebować dwóch z nich — zbiorów miary zero i zbiorów pierwszej kategorii Baire'a. Obie te koncepcje opierają się na koncepcji policzalności zbioru. Wiadomo, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny (| Q| = A 0) i że każdy nieskończony zbiór zawiera policzalny podzbiór, tj. zbiory policzalne są „najmniejszymi” z nieskończoności. Między dowolnym zbiorem przeliczalnym a zbiorem liczb naturalnych n istnieje mapowanie bijektywne, tj. elementy dowolnego zbioru policzalnego mogą być przenumerowane, czyli innymi słowy, każdy zbiór policzalny może być uporządkowany w sekwencji. Żaden interwał na linii prostej nie jest zbiorem przeliczalnym. Wynika to oczywiście z następującego twierdzenia.

Twierdzenie 1 (Cantor). Dla dowolnej sekwencji ( jakiś) liczby rzeczywiste i dla dowolnego przedziału i jest sens! r O i takie, że P № jakiś dla kazdego n O n .

Dowód. Proces. Bierzemy segment (czyli segment wraz z końcami) i 1M i takie, że a 1 godz i 1 . Z segmentu i 1 weź segment i 2 mln i 1 taki, który a 2 godz i 2 itd. Kontynuując proces, z segmentu W 1 weź segment i n M i n-1 takie, że a n n i n. W wyniku tego procesu otrzymujemy sekwencję zagnieżdżonych segmentów i 1st i 2 ... th i n th ... skrzyżowanie
który, jak wiadomo od pierwszego roku, nie jest pusty, tj. zawiera jakiś punkt
... To oczywiste, że patelnia ze wszystkimi nie n .

Nie sądzę, że czytelnicy wcześniej nie spotkali się z tym eleganckim dowodem (choć w mojej praktyce byli też bardzo mroczni studenci), po prostu idea tego dowodu zostanie wykorzystana dalej w dowodzie twierdzenia Baire'a i dlatego jest warto przypomnieć to z wyprzedzeniem.

Definicja. Wiele A ciasno w przedziale i jeśli ma niepuste przecięcie z każdym podprzedziałem od i... Wiele A ciasno, jeśli jest ciasno w r... Wiele A nigdzie nie jest gęsty, jeśli nie jest gęsty w dowolnym przedziale na linii rzeczywistej, tj. każdy przedział na prostej zawiera podprzedział całkowicie oprócz A .

Łatwo zrozumieć, że zestaw A nigdzie nie jest gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie ў zawiera gęsty otwarty zestaw. Łatwo zrozumieć, że zestaw A nigdzie nie jest gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy jego zamknięcie
nie ma punktu wewnętrznego.

Nigdzie gęste zbiory na linii intuicyjnie wydają się małe w tym sensie, że są podziurawione, a punkty takiego zbioru znajdują się na linii dość rzadko. Niektóre własności zbiorów nigdzie gęstych formułujemy w postaci twierdzenia.

Twierdzenie 2. 1) Każdy podzbiór zbioru nigdzie gęstego nie jest nigdzie gęsty.

2) Połączenie dwóch (lub dowolnej liczby skończonej) zbiorów nigdzie gęstych nie jest nigdzie gęste.

3) Zamknięcie zbioru nigdzie gęstego nie jest nigdzie gęste.

Dowód. 1) Oczywiście.

2) Jeśli A 1 i A 2 nigdzie nie są gęste, to dla każdego interwału i są przerwy i 1 mln ( i \ A 1) i i 2 mln ( i 1 \ A 2). Znaczy, i 2 mln i \(A 1 i A 2), co oznacza, że A 1 i A 2 nie jest nigdzie ciasne.

3) Oczywiście, każdy otwarty przedział zawarty w ў jest również zawarty w
.

Zatem klasa zbiorów nigdzie gęstych jest domknięta w odniesieniu do operacji brania podzbiorów, operacji domknięcia i sumy skończonej. Policzalny związek zbiorów nigdzie gęstych, ogólnie mówiąc, nie musi być nigdzie gęsty. Przykładem tego jest zbiór liczb wymiernych, który jest wszędzie gęsty, ale jest przeliczalną sumą pojedynczych punktów, z których każdy tworzy jednoelementowy zbiór nigdzie nigdzie gęsty w r .

Definicja. Zbiór, który można przedstawić jako skończoną lub przeliczalną sumę zbiorów nigdzie gęstych, nazywamy zbiorem pierwszej kategorii (według Baire'a). Zbiór, którego nie można przedstawić w tej formie, nazywamy zbiorem drugiej kategorii.

Twierdzenie 3. 1) Dopełnienie dowolnego zestawu pierwszej kategorii w linii jest gęste.

2) Brak odstępów w r nie jest zbiorem pierwszej kategorii.

3) Przecięcie dowolnego ciągu gęstych zbiorów otwartych jest zbiorem gęstym.

Dowód. Trzy własności podane w twierdzeniu są zasadniczo równoważne. Udowodnijmy pierwszy. Zostawiać

- reprezentacja zbioru A pierwsza kategoria w postaci policzalnego związku nigdzie gęstych zbiorów, i- dowolny przedział. Dalej - proces jak w dowodzie twierdzenia Cantora. Wybierzmy segment (czyli segment wraz z końcami) i 1 mln ( i \ A 1). Można to zrobić, ponieważ oprócz nigdzie gęstego zestawu A 1 interwał wewnętrzny i zawsze istnieje cały podprzedział, który z kolei zawiera w sobie cały segment. Wybierzmy segment i 2 mln ( ja 1 \ A 2). Wybierzmy segment i 3M ( i 2 \ A 3) itd. Przecięcie zagnieżdżonych odcinków linii
nie jest pusty, stąd dodatek i \ A nie jest pusty, co oznacza, że ​​dodatek ў obcisły.

Drugie stwierdzenie twierdzenia wynika bezpośrednio z pierwszego, trzecie również wynika z pierwszego, jeśli tylko podejmiemy wysiłek i przejdziemy do dopełnień ciągu gęstych zbiorów otwartych.

Definicja. Klasa zbiorów zawierająca wszystkie możliwe skończone lub przeliczalne sumy jej członków i wszelkie podzbiory jej członków nazywana jest s - ideałem.

Oczywiście klasa wszystkich co najwyżej zbiorów policzalnych jest s -ideałem. Po krótkim namyśle łatwo zrozumieć, że klasa wszystkich zbiorów pierwszej kategorii na linii jest również s-ideałem. Innym interesującym przykładem ideału s jest klasa tak zwanych zbiorów zerowych (lub zbiorów miary zero).

Definicja. Wiele A m r nazywa się zbiorem miary zero (zestaw zerowy) jeśli A może być objęty nie więcej niż policzalnym zbiorem przedziałów, których całkowita długość jest mniejsza niż dowolna z góry określona liczba e> 0, tj. dla dowolnego e> 0 istnieje ciąg przedziałów W, Co
i e Ѕ I n Ѕ< e .

Pojęcie zbioru zerowego jest kolejną formalizacją intuicyjnego pojęcia „małości” zbioru: zbiory zerowe to zbiory o małej długości. Oczywiście pojedynczy punkt jest zbiorem zerowym i każdy podzbiór zbioru zerowego sam jest zbiorem zerowym. Dlatego fakt, że zbiory zerowe tworzą s -ideał, wynika z następującego twierdzenia.

Twierdzenie 4 (Lebesgue). Każda policzalna suma zestawów o wartości null jest zbiorem o wartości null.

Dowód. Zostawiać A i- zestawy zerowe, i= 1, 2, .... Wtedy dla wszystkich i istnieje sekwencja interwałów i ij ( J= 1, 2, ...) taki, że
oraz
... Zestaw wszystkich interwałów i okładki ij A a suma ich długości jest mniejsza niż e, ponieważ
... Znaczy, A- ustawienie zerowe.

Żaden przedział ani segment nie jest ustawiony na zero, ponieważ sprawiedliwy

Twierdzenie 5 (Heine - Borel). Jeśli skończony lub nieskończony ciąg przedziałów W obejmuje interwał i, następnie

S W Ѕ і Ѕ i Ѕ .

Nie podam tutaj dowodu tego intuicyjnie oczywistego twierdzenia, ponieważ można je znaleźć w każdym mniej lub bardziej poważnym toku analizy matematycznej.

Z twierdzenia Heine-Borela wynika, że ​​s -ideał zbiorów zerowych, podobnie jak s -ideały co najwyżej zbiorów przeliczalnych i zbiorów pierwszej kategorii, nie zawiera przedziałów i odcinków. Wspólną cechą tych trzech s -ideałów jest to, że obejmują one wszystkie zbiory skończone i przeliczalne. Ponadto istnieją niepoliczalne zbiory pierwszej kategorii miary zero. Najbardziej znanym przykładem takiego zbioru jest zbiór doskonały (*) Cantor C M, składający się z liczb, w notacji trójskładnikowej, której nie ma nikogo. Pamiętaj o procesie konstruowania doskonałego zbioru Cantora: segment dzieli się na trzy równe części, a średni otwarty interwał jest odrzucany. Każda z pozostałych dwóch trzecich odcinka jest ponownie podzielona na trzy równe części i wyrzucane są z nich środkowe otwarte interwały itd. Oczywiście zbiór pozostały po tym procesie nie jest nigdzie gęsty, tj. pierwsza kategoria. Łatwo obliczyć, że całkowita długość wyrzucanych części środkowych jest równa jeden, czyli z ma miarę zero. Wiadomo, że z niepoliczalne, ponieważ niepoliczalny zbiór nieskończonych ciągów zer i dwójek (każdy element) z jest reprezentowany przez ułamek trójkowy, w którym po przecinku znajduje się dokładnie ciąg zer i dwójek).

Czytelnikom sugeruję, aby sami sprawdzili, czy istnieją zbiory pierwszej kategorii, które nie są zbiorami zerowymi, i są zbiory zerowe, które nie są zbiorami pierwszej kategorii (jednakże jeśli trudno jest wymyślić odpowiednie przykłady, nie rozpaczaj, ale po prostu przeczytaj ten podrozdział do Twierdzenia 6) ...

Tak więc obraz relacji między trzema rozważanymi ideałami s jest następujący:

Wprowadziliśmy więc dwie koncepcje małości zbiorów. Nie ma nic paradoksalnego w tym, że zbiór mały w pewnym sensie może okazać się duży w innym sensie. Kolejne twierdzenie dobrze ilustruje tę ideę i pokazuje, że w niektórych przypadkach wprowadzone przez nas pojęcia małości mogą okazać się diametralnie przeciwne.

Twierdzenie 6. Linię liczbową można podzielić na dwa uzupełniające się zestawy A oraz V więc A istnieje zestaw pierwszej kategorii i V ma miarę zero.

Dowód. Zostawiać a 1 , a 2 ,…, a n, ... jest ponumerowanym zbiorem liczb wymiernych (lub dowolnym innym policzalnym wszędzie gęstym podzbiorem r). Zostawiać ja ja- otwarty odstęp o długości 1/2 i + j wyśrodkowany w punkcie ja... Rozważ zestawy:

, J =1,2,...;

; A = r \ b = b ў .

Oczywiście dla dowolnego e>0 można wybrać J tak, że 1/2 j< e . Тогда

,

W związku z tym, V- ustawienie zerowe.

Dalej,
- gęsty podzbiór otwarty r odkąd jest sumą ciągu otwartych przedziałów i zawiera wszystkie punkty wymierne. Oznacza to, że jego uzupełnienie Gjў nie jest nigdzie gęsty, dlatego
- zestaw pierwszej kategorii.

Niesamowity wynik, prawda! Z udowodnionego twierdzenia wynika, że ​​każdy podzbiór prostej, jak się okazuje, może być reprezentowany jako suma zbioru zerowego i zbioru pierwszej kategorii. W następnym akapicie przyjrzymy się konkretnej partycji r na dwa podzbiory, z których jeden to liczby transcendentalne Liouville - mierzy zero, ale drugiej kategorii Baire'a. Pospiesz się do następnej pozycji!

Numer nazywa się algebraiczny jeśli jest pierwiastkiem jakiegoś wielomianu o współczynnikach całkowitych

a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0(tj. pierwiastek równania a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0 = 0, gdzie jakiś, n-1, ..., 1, 0--- wszystkie liczby, n 1, n 0).

Zbiór liczb algebraicznych jest oznaczony literą .

Łatwo zauważyć, że każda liczba wymierna jest algebraiczna. Rzeczywiście, jest korzeniem równania qx-p = 0 ze współczynnikami całkowitymi a 1 = q oraz a 0 = -p... Więc, .

Jednak nie wszystkie liczby algebraiczne są wymierne: na przykład liczba jest pierwiastkiem równania x 2 -2 = 0 jest zatem liczbą algebraiczną.

Przez długi czas ważne dla matematyki pytanie pozostawało nierozwiązane: czy niealgebraiczne liczby rzeczywiste? ? Dopiero w 1844 roku Liouville po raz pierwszy podał przykład liczby transcendentalnej (tj. niealgebraicznej).

Konstrukcja tej liczby i dowód jej transcendencji jest bardzo trudna. O wiele łatwiej jest udowodnić twierdzenie o istnieniu liczb przestępnych, wykorzystując rozważania dotyczące równoważności i nierównoważności zbiorów liczbowych.

Mianowicie udowodnijmy, że zbiór liczb algebraicznych jest policzalny. Następnie, ponieważ zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest niepoliczalny, ustalimy istnienie liczb niealgebraicznych.

Zbudujmy korespondencję jeden do jednego między i jakiś podzbiór ... To będzie oznaczać, że - oczywiście albo policzalne. Lecz odkąd , następnie jest nieskończony, a zatem policzalny.

Niech będzie jakaś liczba algebraiczna. Rozważ wszystkie wielomiany o współczynnikach całkowitych, których pierwiastkiem jest i wybierz spośród nich wielomian P stopnia minimalnego (czyli nie będzie pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych o mniejszym stopniu).

Na przykład dla liczby wymiernej taki wielomian ma stopień 1, a dla liczby stopień 2.

Dzielimy wszystkie współczynniki wielomianu P przez ich największego wspólnego dzielnika. Otrzymujemy wielomian, którego współczynniki są względnie pierwsze w agregacie (ich największy wspólny dzielnik to 1). Wreszcie, jeśli wiodący współczynnik jakiś jest ujemna, pomnóż wszystkie współczynniki wielomianu przez -1 .

Otrzymany wielomian (czyli wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba o najmniejszym możliwym stopniu, współczynniki względnie pierwsze i dodatni współczynnik wiodący) nazywany jest wielomianem minimalnym liczby.

Można udowodnić, że taki wielomian jest jednoznacznie określony: każda liczba algebraiczna ma dokładnie jeden wielomian minimalny.

Liczba pierwiastków rzeczywistych wielomianu nie przekracza jego stopnia. Można więc wyliczyć (na przykład w porządku rosnącym) wszystkie pierwiastki takiego wielomianu.

Teraz dowolna liczba algebraiczna jest całkowicie określona przez jej minimalny wielomian (tj. zbiór jej współczynników) oraz liczbę, która odróżnia ten wielomian od innych pierwiastków: (o 0, za 1, ..., za n-1, za n, k).

Tak więc do każdej liczby algebraicznej przypisujemy skończony zbiór liczb całkowitych iz tego zbioru jest on jednoznacznie rekonstruowany (to znaczy różne zbiory odpowiadają różnym liczbom).

Policzmy wszystkie liczby pierwsze w porządku rosnącym (łatwo pokazać, że jest ich nieskończenie wiele). Otrzymujemy nieskończoną sekwencję (pk): p 1 = 2,p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, ... Teraz zbiór liczb całkowitych (a 0, a 1, ..., a n-1, a n, k) możesz dopasować pracę

(liczba ta jest dodatnia i racjonalna, ale nie zawsze naturalna, bo wśród liczb 0, 1, ..., n-1, może być ujemna). Zauważ, że ta liczba jest ułamkiem nieredukowalnym, ponieważ czynniki pierwsze zawarte w rozwinięciu licznika i mianownika są różne. Zauważ również, że dwa nieredukowalne ułamki z dodatnimi licznikami i mianownikami są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich liczniki są równe i ich mianowniki są równe.

Rozważmy teraz wyświetlacz tranzytowy:

(a 0, a 1, ..., a n-1, a n, k) =

Ponieważ przypisaliśmy różne zbiory liczb całkowitych różnym liczbom algebraicznym, a różne liczby wymierne różnym zbiorom, ustaliliśmy w ten sposób zależność jeden do jednego między zbiorem i jakiś podzbiór ... Dlatego zbiór liczb algebraicznych jest policzalny.

Ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest niepoliczalny, udowodniliśmy istnienie liczb niealgebraicznych.

Twierdzenie o istnieniu nie wskazuje jednak, jak ustalić, czy dana liczba jest algebraiczna. A to pytanie jest czasami bardzo ważne dla matematyki.