Twierdzenie o ciągłości funkcji mającej pochodną. Różniczkowalność funkcji. Różniczka funkcji Ciągłość funkcji różniczkowalnej Pojęcie różniczki funkcji Znaczenie geometryczne różniczki. Pochodna iloczynu funkcji

Problem z prędkością poruszającego się punktu

Niech będzie prawem ruchu prostoliniowego punkt materialny. Oznaczmy przez drogę przebytą przez punkt w czasie i przez drogę przebytą w czasie. Następnie z biegiem czasu punkt przebędzie drogę równą: . Stosunek nazywa się średnią prędkością punktu w czasie od do. Im mniej, tj. Im krótszy jest przedział czasu od do , tym lepiej średnia prędkość charakteryzuje ruch punktu w danym momencie. Dlatego naturalnym jest wprowadzenie do świata pojęcia prędkości w tej chwili, definiując ją jako granicę średniej prędkości w okresie od do, gdy:

Wielkość nazywa się chwilową prędkością punktu w danym momencie.

Problem stycznej do danej krzywej

Niech ciągła krzywa będzie dana na płaszczyźnie za pomocą równania . Wymagane jest narysowanie w punkcie niepionowej stycznej do zadanej krzywej . Ponieważ punkt styczności jest dany, aby rozwiązać problem, należy znaleźć nachylenie stycznej. Z geometrii wiadomo, że , gdzie jest kątem nachylenia stycznej do dodatniego kierunku osi (patrz rysunek). Przez kropki I Narysujmy sieczną, gdzie jest kąt utworzony przez sieczną z dodatnim kierunkiem osi. Z rysunku jasno wynika, że ​​, gdzie . Nachylenie stycznej do danej krzywej w punkcie można wyznaczyć w oparciu o poniższą definicję.

Styczna do krzywej w punkcie jest pozycją graniczną siecznej, gdy punkt zbliża się do punktu . Wynika z tego .

Definicja pochodnej

Operacja matematyczna wymagana do rozwiązania problemów omówionych powyżej jest taka sama. Wyjaśnijmy analityczną istotę tej operacji, abstrahując od konkretnych pytań, które ją zrodziły.

Niech funkcja będzie zdefiniowana na pewnym przedziale. Weźmy wartość z tego przedziału. Dodajmy trochę przyrostu (dodatniego lub ujemnego). Ta nowa wartość argumentu odpowiada nowej wartości funkcji , Gdzie .

Stwórzmy relację , jest to funkcja .

Pochodną funkcji po zmiennej w punkcie jest granica stosunku przyrostu funkcji w tym punkcie do przyrostu argumentu, który ją spowodował, gdy w dowolny sposób:

Komentarz. Uważa się, że pochodna funkcji w punkcie istnieje, jeżeli istnieje granica po prawej stronie wzoru i jest skończona oraz nie zależy od tego, jak przyrost zmiennej dąży do 0 (od lewej lub od prawej) .

Proces znajdowania pochodnej funkcji nazywa się jej różniczkowaniem.

Znajdowanie pochodnych pewnych funkcji z definicji

a) Pochodna stałej.

Niech , gdzie jest stałą, ponieważ wartości tej funkcji są takie same dla wszystkich, wówczas jej przyrost wynosi zero, a zatem

.

Zatem pochodna stałej jest równa zeru, tj. .

b) Pochodna funkcji.

Utwórzmy przyrost funkcji:

.

Szukając pochodnej korzystaliśmy z własności granicy iloczynu funkcji, pierwszej granicy niezwykłej oraz ciągłości funkcji.

Zatem, .

Zależność różniczkowalności funkcji od jej ciągłości

Funkcję, która ma w punkcie pochodną, ​​nazywamy różniczkowalną w tym punkcie. Funkcję, która ma pochodną we wszystkich punktach pewnego przedziału, nazywamy różniczkowalną na tym przedziale.

Twierdzenie. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest w tym punkcie ciągła.

Dowód. Nadajmy argumentowi dowolny przyrost. Wtedy funkcja otrzyma przyrost. Zapiszmy równość i przejdźmy do granicy po lewej i prawej stronie w:

Ponieważ w przypadku funkcji ciągłej nieskończenie mały przyrost argumentu odpowiada nieskończenie małemu przyrostowi funkcji, twierdzenie można uznać za udowodnione.

Komentarz. Nie zachodzi stwierdzenie odwrotne, tj. z ciągłości funkcji w punkcie, ogólnie rzecz biorąc, nie wynika różniczkowalność w tym punkcie. Na przykład funkcja jest ciągła dla wszystkich , ale nie jest różniczkowalna w punkcie . Naprawdę:

Granica jest nieskończona, co oznacza, że ​​funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie.

Tabela instrumentów pochodnych funkcje elementarne

Komentarz. Przypomnijmy sobie własności potęg i pierwiastków stosowanych przy różniczkowaniu funkcji:

Podajmy przykłady znajdowania pochodnych.

1) .

2)

Pochodna funkcji zespolonej

Pozwalać . Wtedy funkcja będzie funkcją złożoną X.

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie X, a funkcja jest różniczkowalna w punkcie ty, to jest także różniczkowalna w punkcie X, I

.

1.

Zgadujemy wtedy. Stąd

Przy wystarczających umiejętnościach zmienna pośrednia ty nie pisz, wpisz to tylko mentalnie.

2.

Różnicowy

Narysujmy styczną do wykresu funkcji ciągłej w punkcie MT, oznaczając przez J jego kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi Oh. Ponieważ , następnie z trójkąta MEF z tego wynika

Wprowadźmy notację

.

To wyrażenie nazywa się różnicowy funkcje Więc

Zauważenie tego, tj. że różniczka zmiennej niezależnej jest równa jej przyrostowi, otrzymujemy

Zatem różniczka funkcji jest równa iloczynowi jej pochodnej i różniczki (lub przyrostu) zmiennej niezależnej.

Z ostatniego wzoru wynika, że ​​tj. pochodna funkcji jest równa stosunkowi różniczki tej funkcji do różniczki argumentu.

Funkcja różnicowa dy geometrycznie reprezentuje przyrost rzędnej stycznej odpowiadającej przyrostowi argumentu D X.

Z rysunku wynika, że ​​dla dostatecznie małego D X w wartości bezwzględnej możemy przyjąć przyrost funkcji w przybliżeniu równy jej różniczce, tj.

.

Rozważmy funkcję złożoną , gdzie , i jest różniczkowalna w odniesieniu do ty, i – przez X. Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonych

Pomnóżmy tę równość przez dx:

Ponieważ (z definicji różniczki), to

Zatem różniczka funkcji zespolonej ma tę samą postać, jeśli zmienna ty nie był argumentem pośrednim, ale zmienną niezależną.

Ta właściwość różniczki nazywa się niezmienność(niezmienność) zróżnicowane kształty.

Przykład. .

Wszystkie reguły różniczkowania można zapisać dla różniczków.

Pozwalać – różniczkowalne w punkcie X. Następnie

Udowodnimy drugą regułę.

Pochodna funkcja ukryta

Niech będzie dane równanie postaci , łączące zmienne i . Jeśli nie można tego wyrazić jawnie poprzez , (rozwiązane względem ), wówczas wywoływana jest taka funkcja podane pośrednio. Aby znaleźć pochodną takiej funkcji, należy rozróżnić obie strony równania względem , uznając to za funkcję . Z otrzymanego nowego równania znajdź .

Przykład. .

Różniczkujemy obie strony równania względem , pamiętając, że istnieje funkcja

Wykład 4. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej

Jeśli funkcja y = F(X) jest różniczkowalna w pewnym momencie X = X 0, to w tym momencie jest ciągły.

Zatem funkcja nie może mieć pochodnej w punktach nieciągłości. Wniosek przeciwny jest błędny, tj. z tego, że w pewnym momencie X = X 0 funkcji y = F(X) jest ciągły, nie oznacza, że ​​jest różniczkowalny w tym punkcie. Na przykład funkcja y = |X| ciągły dla wszystkich X (–< X < ), но в точке X= 0 nie ma pochodnej. W tym momencie nie ma stycznej do wykresu. Istnieje styczna prawa i styczna lewa, ale nie pokrywają się one.

21 Znalezienie zasad produkcja kwoty

Zasada 1. Jeżeli funkcje y = f(x) i y = g(x) mają pochodną w punkcie x, to ich suma ma także pochodną w punkcie x, a pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:
(f(x) + 8(x))" =f (x)+ (x).
W praktyce zasada ta jest sformułowana krócej: pochodna sumy jest równa sumie jej pochodnych.
Na przykład,
Zasada 2. Jeżeli funkcja y = f(x) ma pochodną w punkcie x, to funkcja y = kf(x) również ma pochodną w punkcie x oraz:

W praktyce regułę tę formułuje się krócej: stały czynnik można wyjąć ze znaku pochodnej. Na przykład,

Zasada 3. Jeżeli funkcje y=f(x) i y =g(x) mają pochodną w punkcie x, to ich iloczyn również ma pochodną w punkcie x oraz:

W praktyce regułę tę formułuje się następująco: pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie tych dwóch wyrazów. Pierwszy wyraz jest iloczynem pochodnej pierwszej funkcji i drugiej funkcji, a drugi wyraz jest iloczynem pierwszej funkcji i pochodnej drugiej funkcji.
Na przykład:
Zasada 4. Jeżeli funkcje y = f(x) i y=g(x) mają pochodną w punkcie, to iloraz ma pochodną w punkcie x oraz:

Tabela złożonych pochodnych

22 Róż. funkcjonalny w tym punkcie

Funkcjonować y=F(X) mówi się, że jest różniczkowalna w punkcie X 0, jeśli jego przyrost wynosi Δ y(X 0,Δ X) można przedstawić jako

Δ y(X 0,Δ X)=AΔ X+o(Δ X).

Główna część liniowa AΔ X przyrosty Δ y nazywa się różniczką tej funkcji w punkcie X 0, co odpowiada przyrostowi Δ X i jest oznaczone symbolem dy(X 0,Δ X).

Aby spełnić funkcję y=F(X) był w tym momencie różniczkowalny X 0, jest konieczne i wystarczające, aby pochodna istniała F′( X 0), a równość jest prawdziwa A=F′( X 0).

Wyrażenie na różnicę ma postać

dy(X 0,dx)=F′( X 0)dx,

Gdzie dx=Δ X.

23 Prod. Złożony Funkcjonować

Pochodna funkcji zespolonej. Pochodna funkcji określonej parametrycznie

Pozwalać y – funkcja złożona X, tj. y = F(ty), ty = G(X), Lub

Jeśli G(X) I F(ty) – różniczkowalne funkcje ich argumentów odpowiednio w punktach X I ty = G(X), wówczas funkcja zespolona jest również różniczkowalna w punkcie X i można go znaleźć ze wzoru

Pochodna funkcji danej parametrycznie.

24 Prod. i różnice Najwyższy porządek

Niech teraz pochodna rzędu th będzie określona w jakimś sąsiedztwie punktu i będzie różniczkowalna. Następnie

Jeśli funkcja ma pochodną cząstkową względem jednej ze zmiennych w jakiejś dziedzinie D, to pochodna ta, sama będąc funkcją, może w pewnym momencie mieć pochodne cząstkowe względem tej samej lub dowolnej innej zmiennej. Dla funkcji pierwotnej pochodne te będą pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu (lub pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu).

Pochodna cząstkowa drugiego lub wyższego rzędu wzięta ze względu na różne zmienne nazywana jest mieszaną pochodną cząstkową. Na przykład,

Różnica w zamówieniu N, Gdzie n > 1, funkcji w pewnym punkcie nazywa się różniczką w tym punkcie różniczki rzędu (n - 1), to jest

W przypadku funkcji zależnej od jednej zmiennej druga i trzecia różnica wyglądają następująco:

Stąd możemy wywnioskować widok ogólny różnicowy N rząd z funkcji:

25 Twierdzenia Fermata, Rolle’a, Langrange’a

w Twierdzenie Fermata: Niech funkcja zostanie zdefiniowana na i osiągnie maksimum i najniższa wartość (M I M) w niektórych. Jeżeli w , istnieje pochodna, to koniecznie jest ona równa 0.

Dowód: istnieje. Istnieją dwa możliwe przypadki:

1) , => , => .

2) , => , => .

Z 1) i 2) wynika, że

w Twierdzenie Rolle'a (o pierwiastkach pochodnej): Niech funkcja będzie ciągła i różniczkowalna i przyjmie te same wartości na końcach odcinka: . Następnie istnieje co najmniej jeden punkt od , w którym pochodna .

v Dowód: Ciągłe sięga dalej M I M. Możliwe są wówczas dwa przypadki:

2) najwyższa wartość osiąga się w przedziale według twierdzenia Fermata.

w Twierdzenie Langrage'a (o przyrostach końcowych): Niech funkcja będzie ciągła i różniczkowalna na . Wtedy istnieje co najmniej jedno z , dla którego zachodzi równość: .

Dowód: Przedstawmy funkcję . (ciągły i różniczkowalny).

Istnieje funkcja spełniająca twierdzenie Rolle’a , dla której: , , , .

· funkcja jest wywoływana ściśle rosnący na jeśli

· funkcja jest wywoływana malejące na jeśli

· funkcja jest wywoływana ściśle malejące na jeśli

Definicja: Pochodna funkcji w punkcie to granica, do której dąży stosunek jej przyrostu w tym punkcie do odpowiedniego przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera:

Oznacza to, że jeśli zdefiniowano w, to

Twierdzenie 1:

Wykres funkcji ma niepionową tangens wtedy i tylko wtedy, gdy w danym punkcie istnieje skończona wartość pochodnej tej funkcji.

Dowód:

Niech zatem będzie wartość f’()-skończona

Niech istnieje styczna niepionowa => jest styczna skończona.

Sieczna ma tendencję do stycznej.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Bilet 2 Ciągłość funkcji mającej pochodną.

Funkcję f(x), zdefiniowaną w pewnym sąsiedztwie punktu a, nazywamy ciągłą w tym punkcie, jeśli

Twierdzenie: (warunek konieczny istnienia instrumentu pochodnego)

Jeśli funkcja jest skończona w punkcie, to nie jest ciągła w tym punkcie.

Dowód:

Dlatego jest ciągły w pewnym punkcie.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Komentarz : stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe; jeśli funkcja jest ciągła w punkcie, to nie oznacza, że ​​ma w tym punkcie pochodną.

Oświadczenie : Jeśli funkcja ma w punkcie pochodną prawą i lewą, to jest ciągła zarówno po prawej, jak i po lewej stronie.

Bilet 3

Pochodna sumy, iloczynu, ilorazu.

Pochodna funkcji odwrotnej.

Definicja funkcji różniczkowalnej. Konieczne i warunek wystarczający różniczkowalność.

Niech funkcja ma pochodną w punkcie (skończonym): .

Następnie dla dostatecznie małych możemy zapisać to jako sumę i jakąś funkcję, którą oznaczamy przez, która dąży do zera wraz z:,

a przyrost w punkcie można zapisać jako:

Lub (1) ,

w końcu wyrażenie rozumie się jako funkcję, której stosunek dąży do zera razem z.

Wyjaśnienie:

Definicja .

Mówi się, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie, jeśli jej przyrost można przedstawić jako: (2),

gdzie A nie zależy od, ale ogólnie zależy od.

Twierdzenie 1:

Aby funkcja była różniczkowalna w punkcie, konieczne i wystarczające jest, aby miała w tym punkcie skończoną pochodną.

Dowód:

Wystarczalność warunku zostało udowodnione powyżej: z istnienia pochodnej skończonej wynikała możliwość przedstawienia w postaci (1), gdzie możemy umieścić.

Warunek konieczności . Niech funkcja będzie różniczkowalna w punkcie. Następnie z (2), zakładając, otrzymujemy.

Granica prawej strony w istnieje i jest równa A:.

Oznacza to, że istnieje pochodna. Twierdzenie zostało udowodnione.

Bilet 6 Różniczka funkcji, jej znaczenie geometryczne.

Jeśli funkcja F ma pochodną f΄(x o ) w tym punkcie X o, to istnieje granica, gdzie Δ f=f(x o + Δ x)-f(x o ) ,,lub gdzie A=f΄(x o ) .

Definicja:

Funkcjonować F różniczkowalna w punkcie X o, jeśli jego przyrost można przedstawić jako:

Gdzie AΔ x=df. (*)

Różniczka jest główną liniową częścią przyrostu funkcji.

Jeśli istnieje skończona pochodna f΄(x o ) w tym punkcie X o, a następnie funkcja k(x) jest w tym momencie różniczkowalna.

Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: jeśli funkcja F różniczkowalna w punkcie X o, tj. jego przyrost można przedstawić w postaci (*), wówczas ma on w punkcie pochodną X o, równy A:

Geometryczne znaczenie różniczki:

A I B– punkty wykresu k(x), odpowiadające wartościom X o I (X o + Δ X) zmienna niezależna. Rzędne punktów A I B odpowiednio równe f(x o ) I f(x o + Δ X). Przyrost funkcji Δ f=f(x o + Δ x)-f(x o ) w tym punkcie X o równa długości odcinka BD i można go przedstawić jako sumę Δ f=BD=DC+CB, Gdzie DC=tgαΔ x=f΄(x o ) Δ X I α jest kątem pomiędzy styczną w punkcie A do wykresu i dodatnim kierunkiem osi X. Z tego wynika, że DC istnieje funkcja różniczkowa F w tym punkcie X o :

DC=df=f΄(x o ) Δ X.

Jednocześnie udział drugiego członka C.B. przyrosty Δ F uwzględnić wartość. Ta wartość, ogólnie rzecz biorąc, Δ X, może nawet większy niż składnik główny, ale jest to nieskończenie mała wartość wyższego rzędu niż Δ X, gdy Δ x → 0.

Twierdzenie: Jeśli funkcja y = F(X) jest różniczkowalna w pewnym momencie X = X 0, to w tym momencie jest ciągły.

Zatem funkcja nie może mieć pochodnej w punktach nieciągłości. Wniosek przeciwny jest błędny, tj. z tego, że w pewnym momencie X = X 0 funkcji y = F(X) jest ciągły, nie oznacza, że ​​jest różniczkowalny w tym punkcie. Na przykład funkcja y = |X| ciągły dla wszystkich X (–Ґ< X < Ґ), но в точке X= 0 nie ma pochodnej. W tym momencie nie ma stycznej do wykresu. Istnieje styczna prawa i styczna lewa, ale nie pokrywają się one.

Pochodna funkcji zespolonej

Twierdzenie: Niech funkcja określona i ciągła w sąsiedztwie ma pochodną w punkcie. Funkcja jest zdefiniowana i ciągła w sąsiedztwie gdzie , i ma pochodną w punkcie . Wtedy funkcja zespolona ma pochodną w punkcie i

.

gdzie i - b.m.f. Następnie

I , Gdzie b.m.f. w punkcie.

28. Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu dwóch funkcji.

Pochodna sumy (różnicy) funkcji

Pochodną sumy algebraicznej funkcji wyraża następujące twierdzenie.

Pochodna sumy (różnica) dwie funkcje różniczkowalne są równe sumie (różnicy) pochodnych tych funkcji:

Pochodna skończonej sumy algebraicznej funkcji różniczkowalnych jest równa tej samej sumie algebraicznej pochodnych wyrazów. Na przykład,

Pochodna iloczynu funkcji.

Pozwalać ty(x) I ty(x) - funkcje różniczkowalne. Następnie iloczyn funkcji u(x)v(x) również różniczkowalne i

Pochodna iloczynu dwóch funkcji nie jest równa iloczynowi pochodnych tych funkcji.

Pochodna funkcji ilorazowych.

Pozwalać ty(x) I ty(x) - funkcje różniczkowalne. Wtedy, jeśli v(x) ≠ 0 , wówczas pochodną ilorazu tych funkcji oblicza się ze wzoru

29. Pochodna funkcji odwrotnej. Pochodna funkcji zdefiniowanej parametrycznie.

TWIERDZENIE (pochodna funkcji odwrotnej)

Niech będzie to funkcja ciągła, ściśle monotoniczna (rosnąca lub malejąca) na odcinku i mająca w punkcie pochodną. Wtedy funkcja odwrotna ma pochodną w punkcie i

.

DOK.

= .

Twierdzenie. (pochodna funkcji określonej parametrycznie) Niech funkcja x = φ(t) ma funkcję odwrotną t = Ф(x). Jeśli funkcje x=φ(t) ,y = ψ(t) różniczkowalne i φ"(t) ≠ 0 , Następnie

Dowód

Ponieważ funkcja x = φ(t) ma funkcję odwrotną, to formalnie y można wyrazić poprzez X : y = ψ(Ф (x)) . Ponieważ funkcja x = φ(t) jest różniczkowalna, to według Twierdzenie 5, funkcja t = Ф(x) jest również różniczkowalna.

Korzystając z reguł różniczkowania, otrzymujemy ćw

Podobny wzór można otrzymać dla drugiej pochodnej y"" x :

Wreszcie dostajemy

30. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Leibniza.

Jeżeli f jest określone na przedziale (a,b)®R, dif-ma w punkcie xО(a,b) to na (a,b) pojawia się nowa funkcja f ’ :(a,b)®R, którego wartość w punkcie x=f ’ (X). Funkcja f ’ sam w sobie może mieć pochodną (f ’ )’ : na (a,b)®R nazywa się to drugą pochodną f względem funkcji pierwotnej i oznacza się przez f ” (x), d 2 f(x)/dx 2 lub f ” xx(x), f ” x2(x); ODA. Jeżeli zdefiniowano pochodną f (n -1) (x) rzędu n-1 z f, to pochodną rzędu n wyznacza się wzorem f (n) (x)=(f n -1))'(x ). Przyjęta dla niego notacja to f (n) (x)=d n f(x)/dx n – Wydział Leibniza, fa (0) (x):=f(x).

31. Pojęcie różniczkowalności funkcji i pierwsza różniczka. Warunek konieczny i wystarczający różniczkowalności.

1. Funkcja różnicowa y = f(x) jest główną linią względem D x częścią przyrostu D y, równą iloczynowi pochodnej i przyrostu zmiennej niezależnej

dy = f"(X)D X.

Należy zauważyć, że różniczka zmiennej niezależnej jest równa przyrostowi tej zmiennej dx = D x. Dlatego wzór na różnicę jest zwykle zapisywany w następującej formie:

dy = f"(X)dx.

2. Różniczkowalność. Funkcję nazywamy różniczkowalną w punkcie x, jeśli jej przyrost ∆y w tym punkcie można przedstawić jako: ∆y=A∆x + α(∆x) ∆x, gdzie A nie zależy od ∆x, α i α( ∆x ) - bez końca mała funkcja względem ∆x przy ∆x → 0.

32. Geometryczne znaczenie pochodnej i różniczki. Styczna i normalna do wykresu.

Niech f będzie określone na (a,b) i ciągłe w punkcie x 0 О(a,b), niech y 0 =f(x 0), M 0 (x 0 ,y 0); x 0 +DxО(a,b), Dy=f(x 0 +Dx)-f(x 0), M(x 0 +Dx, y 0 +Dy). M 0 M: y=k(x-x 0)+y 0 (1),

1 )Jeśli $ con. limit lim D x ® 0 k(Dx)=k 0 to wywoływana jest prosta y=k 0 (x-x 0)+y 0 (2).

(skośna) styczna do wykresu f w punkcie (x 0 , y 0);

2 ) Jeśli $ jest nieskończoną granicą

lim D x ® 0 k(Dx)=¥, wówczas prosta x=x 0 jest pionową styczną do wykresu w punkcie (x 0,y 0);

Przy x=x 0 (2) – położenie krańcowe (1) tj. położenie graniczne siecznej M 0 M

Dx®0 to styczna y=f(x) w punkcie x 0, ponieważ lim D x ® 0 k(Dx)=lim D x ® 0 Dy/Dx=f ’ (x 0) to równanie

tangens ma postać y=f ’ (x 0)(x-x 0)+ y 0, gdzie y 0 =f(x 0) (3). Z 3 otrzymujemy, że pochodna w punkcie x 0 = tga, a jest kątem pomiędzy styczną a osią Ox, pierwszym wyrazem jest f ’ (x 0) (x-x 0) = f ’ (x 0)Dx, Dx=x-x 0 jest różniczką dy w punkcie x 0 Þ y-y 0 =dy tj. różniczka funkcji jest równa przyrostowi rzędnej stycznej w odpowiednim punkcie wykresu.

3 )Jeśli lim D x ® 0 Dy/Dx=¥, to styczna jest prostą x=x 0 i w punkcie x 0 jest nieskończona. pochodna może istnieć lub nie.

33. Niezmienniczość postaci pierwszej różniczki. Różniczki wyższych rzędów, niezmienność ich postaci w przypadku ogólnym.

Różnice wyższego rzędu . Różniczka z różniczki pierwszego rzędu dy=f’(x)dx funkcji y=f(x) (traktowana tylko jako zmienna f-i x tj. przyjmuje się, że przyrost argumentu x (dx) jest stały, pod warunkiem, że powtarzający się przyrost zmiennej x pokrywa się z początkowym) nazywany jest drugą różniczką d 2 f(x):d(df(x))= d(f'(x)dx )=d(f'(x))dx=f”(x)dxdx=f”(x)dx 2 stąd f”(x)=d 2 f(x)/dx 2 ; ODA. Różniczkę n-tego rzędu n=1,2... nazywamy różniczką od różniczki rzędu n-1, pod warunkiem, że w różniczce zostaną uwzględnione te same przyrosty dx, niezależne od x. d n f(x)=d(d n -1 f(x)) nietrudno zauważyć, że d n f(x)=f (n) (x)dx n (dx n =(dx) n) Þ f (n) (x )=d n f(x)/dx n .

Niezmienność postaci różniczki rzędu wyższego od pierwszego

Rozważmy przypadek, gdy x nie jest zmienną niezależną, ale funkcją innej zmiennej

Teraz po prawej stronie wzoru (3) od zmiennej ty zależy nie tylko od funkcji F(X), ale także mechanizm różnicowy dx. Stąd

Porównując wzory (2) i (4) jesteśmy przekonani, że różniczki drugiego (i wyższych rzędów) nie mają postaci niezmienności.

34. Ekstrema funkcji. Warunki wstępne ekstremum (twierdzenie Fermata).

Punkty ekstremalne

Ekstremum- maksymalny Lub minimum wartość funkcji w danym zbiorze. Punkt, w którym osiągane jest ekstremum, nazywa się punkt ekstremalny. Odpowiednio, jeśli zostanie osiągnięte minimum, nazywa się punkt ekstremalny minimalny punkt, a jeśli maksymalna wynosi maksymalny punkt. W analiza matematyczna również podkreślić koncepcję ekstremum lokalne (odpowiednio minimum lub maksimum).

Kropka X 0 nazywa się punktem ścisłego lokalnego maksimum (minimum) funkcji F (X), jeśli dla wszystkich wartości argumentu z jakiegoś wystarczająco małego δ - sąsiedztwa punktu X Zachodzi nierówność 0

F (X) < F (X 0) (F (X) > F (X 0))

Na X ≠ X 0 .
Lokalne maksimum i lokalne minimum łączy wspólna nazwa ekstremum. Z definicji wynika, że ​​pojęcie ekstremum ma charakter lokalny w tym sensie, że jest to nierówność F (X) < F (X 0) (F (X) > F (X 0)) może nie dotyczyć wszystkich wartości X w dziedzinie definicji funkcji, ale muszą być spełnione tylko w pewnym sąsiedztwie punktu X 0 .

Funkcję y=f(x) nazywamy różniczkowalną w pewnym punkcie x 0, jeżeli ma w tym punkcie pewną pochodną, ​​tj. jeśli granica relacji istnieje i jest skończona.

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie pewnego odcinka [a; b] lub przedziale (a; b), to mówimy, że jest on różniczkowalny na przedziale [a; b] lub odpowiednio w przedziale (a; b).

Obowiązuje następujące twierdzenie, ustanawiające związek między funkcjami różniczkowalnymi i ciągłymi.

Twierdzenie. Jeśli funkcja y=f(x) jest różniczkowalna w pewnym punkcie x 0, to w tym punkcie jest ciągła.

Zatem z różniczkowalności funkcji wynika jej ciągłość.

Dowód. Jeśli więc

gdzie b jest wielkością nieskończenie małą, tj. wielkość dążąca do zera, gdy Dx>0. Ale za to

Dy=f "(x 0) Dx+bDx=> Dy>0 przy Dx>0, czyli f(x) - f(x 0)>0 przy x>x 0,

a to oznacza, że ​​funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x 0 . co było do okazania

Zatem funkcja nie może mieć pochodnej w punktach nieciągłości. Odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe: istnieją funkcje ciągłe, które w niektórych punktach nie są różniczkowalne (to znaczy nie mają w tych punktach pochodnej).

Przyjrzyjmy się punktom a, b, c na rysunku.

W punkcie a dla Dx>0 stosunek nie ma granicy (ponieważ jednostronne granice są różne dla Dx>0-0 i Dx>0+0). W punkcie A wykresu nie ma określonej stycznej, ale istnieją dwie różne jednostronne styczne współczynniki kątowe do 1 i do 2. Ten typ punktu nazywany jest punktem narożnym.

W punkcie b dla Dx>0 stosunek ma stały znak i jest nieskończenie duży. Funkcja ma nieskończoną pochodną. W tym momencie wykres ma styczną pionową. Typ punktu - „punkt przegięcia” ze styczną pionową.

W punkcie c jednostronnymi pochodnymi są nieskończenie duże ilości różnych znaków. W tym momencie wykres ma dwie połączone styczne pionowe. Typ - „punkt powrotu” ze styczną pionową - specjalny przypadek punkt narożny.

1. Rozważmy funkcję y=|x|. Funkcja ta jest ciągła w punkcie

Pokażemy, że w tym momencie nie ma ona pochodnej.

f(0+Dx) = f(Dx) = |Dx|. Zatem Дy = f(Дx) - f(0) = |Дx|

Ale potem w Dx< 0 (т.е. при Дx стремящемся к 0 слева)

A gdy Dx > 0

Zatem stosunek dla Dx> 0 po prawej i lewej stronie ma różne granice, co oznacza, że ​​stosunek nie ma granicy, tj. pochodna funkcji y=|x| nie istnieje w punkcie x= 0. Geometrycznie oznacza to, że w punkcie x = 0 ta „krzywa” nie ma określonej stycznej (w tym punkcie są dwie).

2. Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na całej osi liczbowej. Sprawdźmy, czy ta funkcja ma pochodną przy x= 0.

W związku z tym rozpatrywana funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie x= 0. Styczna do krzywej w tym punkcie tworzy z osią odciętych kąt p/2, tj. pokrywa się z osią Oy.