Porównanie ich z funkcjami masowymi. Media, rodzaje, funkcje, rola i wpływ. Rodzaje mediów

Funkcjonować. Jeżeli każdej wartości zmiennej x ze zbioru X towarzyszy zgodnie ze znanym prawem pewna liczba y, to mówią, że na zbiorze X dana jest funkcja y=y(x);

Granica funkcji.

1. Niech X i Y będą przestrzeniami metrycznymi, niech w otoczeniu punktu x 0 zdefiniujemy funkcję y=y(x), mówimy, że g jest granicą funkcji dla x à x 0, jeśli dla każdego ciągu ( x n) z ε otoczenia x 0 , zbiegającego się do x 0 z wyrazami różnymi od x 0 , odpowiedni ciąg f(x) (ciąg wartości funkcji) zbiega się do liczby g.

A. Jeśli dla dowolnego ε>0 istnieje δ>0 takie, że ρ (f(x),g)<ε, для любых х из Х, для которых ρ(x,х 0)<δ

B. g=f(x 0) ó|f(x)-f(x 0)|<ε для любых х из Х: |x-x 0 |<δ

Wymagany i wen. warunek istnienia granicy: Aby g było granicą f(x) dla xàx 0, konieczne i wystarczające jest, aby dla dowolnego ε>0 istniało N(x 0) takie, że znajomość f(x) dla wszystkich liczb N( x 0) (z wyjątkiem być może x 0) przybliżył liczbę g z błędem< ε (Док-во от противного)

Twierdzenie. Jeżeli f(x) ma skończoną granicę przy x à x 0, to jest ograniczona w sąsiedztwie x 0 (w oparciu o kryterium konieczne i wystarczające)

Twierdzenie o zachowaniu znaku: Jeśli przy xàx 0 lim f(x)=g; g>0, to istnieje α>0 takie, że w sąsiedztwie x 0: f(x)>α>0; x!=x 0 (dowód według warunków koniecznych i wystarczających)

Twierdzenie o przejściu do granicy w nerwie: Jeśli lim f 1,2 (x)=g 1,2, dla dowolnego x z N(x 0) zachodzi nierówność f 1 (x)≤f 2 (x), to g 1 ≤g 2

Twierdzenie o granicy zmiennej pośredniej: Jeżeli lim f 1 (x)=lim f 2 (x)=g (xàx 0) i w pewnym N(x 0) zachodzi nierówność f 1 (x) ≤ φ(x) ≤ f 2 (x) to funkcja φ(x) ma granicę g (Udokumentuj poprzez definicję granicy)

FunkcjonowaćF(X) nazywa się ciągłym w punkcie x=x 0, jeśli granica

lim f(x)=f(x 0) lim f(x 0 +h)=f(x 0)

Własności funkcji ciągłych: Jeżeli f,g są ciągłe w punkcie x 0, to c*f(x) (c-const); f(x)+g(x); f(x)*g(x); f(x)/g(x) (g(x)!=0) są także funkcjami ciągłymi.

Funkcja α nazywa się nieskończenie mały dla x→x 0 jeśli lim α(x)=0 ;

Nazywa się funkcję f bez końca duży dla xàx 0 jeśli lim f(x)=∞ ;

Lemat. Skończona granica f(x)=a ó f(x)=a+α(x) (α(x)-nieskończenie)

Twierdzenie. Suma i iloczyn skończonej liczby nieskończonych funkcji, a także iloczyn nieskończenie małej przez ograniczoną daje nieskończenie małą.

Twierdzenie. Jeśli f(x) jest nieskończenie duże, to 1/f(x) jest nieskończenie małe.

Porównanie funkcji.

Jeżeli dla funkcji f(x) i g(x) istnieje c>0 takie, że dla dowolnego h w sąsiedztwie x 0 nierówność |f(x)| ≤ c|g(x)|, wówczas f nazywa się ograniczonym w porównaniu do g. W tym przypadku f(x)=O(g(x), xàx 0)

Lemat. Jeśli f(x) można przedstawić jako f(x)=φ(x)*g(x), x należy do otoczenia x 0 i istnieje skończona granica lim φ(x)≤ x< ∞, тогда f(x)=O(g(x), xàx 0)

Lemat. Jeśli istnieje skończona granica f(x)/g(x), która nie jest równa zeru, to f i g są funkcjami tego samego rzędu.

nazywane są f(x) i g(x). równowartość, jeśli istnieje φ(x) takie, że w pewnym N(x 0) zachodzi równość f(x) = φ(x)*g(x), a lim φ(x)=1. Ponieważ istnienie granicy funkcji w punkcie jest własnością lokalną, zachowanie φ(x) poza N(x 0) nie odgrywa żadnej roli. Relacja równoważności jest symetryczna, w przeciwieństwie do relacji porządku.

α(x) nazywany nieskończenie małym dla xàx 0 w porównaniu z f(x), jeśli istnieje ε(x) takie, że w pewnym N(x 0) równość zachodzi dla wszystkich x: α(x)=ε(x)*f(x); xàx 0 . W tym przypadku ε(x) spełnia warunek: lim ε(x)=0. Funkcje takie są oznaczone w następujący sposób: α (X)= o(F(X), Xà X 0 ).

Jeśli zastąpimy część f(x) g(x), wówczas f(x)-g(x) będzie błąd absolutny, A

(f(x)-g(x))/f(x) będzie błąd względny.

Twierdzenie. Aby f(x) i g(x) były równoważne dla xàx 0, konieczne i wystarczające jest, że f(x)=g(x)+o(g(x)); (z definicji równoważności)

Obliczanie limitów za pomocą rozdz. części funkcji.

Niech będzie dane α(x) i β(x). Jeśli dla dowolnego x z N(x 0) funkcja β(x)=α(x)+o(α(x)), to funkcję α(x) nazywamy częścią główną β(x). Główna część funkcji jest określana jednoznacznie tylko wtedy, gdy określisz typ głównej części.

Lemat. Niech x 0 =limX; X jest zagnieżdżony w R; Jeżeli funkcja β(x):XàR, At xàx 0, ma część główną postaci A*(x-x 0) k, A!=0, to spośród wszystkich części głównych tego typu jest ona jednoznacznie zdefiniowana.

Punkty załamania.

1. Niech zostanie zdefiniowane f(x). W N(x 0). Nazywa się punkt x 0 punkt przerwania funkcji, jeśli f nie jest określone w punkcie x 0 lub jest określone, ale nie jest w nim ciągłe.

Nesterova I.A. Środki masowego przekazu, rodzaje, funkcje, rola i wpływ // Encyklopedia Niestierowa

Najważniejszym narzędziem są media rozwój społeczny V współczesny świat. Jednak w nieuczciwych rękach media zamieniają się w wyrafinowane narzędzie propagandy. Tym samym europejskie media od wielu lat przekonują mieszkańców UE, że uchodźcy są dobrzy. Konsekwencją był wzrost przestępczości i utrata zasad moralnych.

Podano definicje funkcji małych, dużych, równoważnych (asymptotycznie równych), funkcji tego samego rzędu i ich własności. Podano dowód własności i twierdzeń. Te właściwości i twierdzenia służą do porównywania funkcji i obliczania granic, gdy argument zbliża się do skończonego lub nieskończonego punktu.

Definicje

Definicja mały
Symbol och, mało oznaczają dowolną nieskończoność mała funkcja o (f(x)) w porównaniu do dana funkcja F (X) z argumentem zmierzającym do jakiejś skończonej lub nieskończonej liczby x 0 .

Funkcja α nazywa się nieskończenie mała w porównaniu z funkcją f Na :
Na
(czytaj: „jest mniej więcej od kiedy”),
jeśli coś takiego istnieje przebita dzielnica punkt, w którym
Na ,
gdzie jest nieskończenie małą funkcją w:
.

Własności małych stosowanych w szeregach potęgowych
Tutaj są m i n liczby naturalne, .
;
;
, Jeśli ;
;
;
;
, Gdzie ;
, gdzie ok ≠ 0 - stała;
.

Aby udowodnić te właściwości, musisz wyrazić małe za pomocą funkcji nieskończenie małej:
, Gdzie .

Własności funkcji równoważnych


3) Jeśli , to o .

Twierdzenie o związku funkcji równoważnych i małych
.

Właściwość tę często zapisuje się w następujący sposób:
.
Jednocześnie mówią, że tak trzon Na . Jednocześnie część główna nie jest jednoznacznie zdefiniowana. Każda równoważna funkcja jest główną częścią oryginalnej.
Ze względu na własność symetrii:
.

Twierdzenie o zastąpieniu funkcji równoważnymi w granicy ilorazu
Jeśli, dla , i istnieje granica
, wtedy istnieje granica
.

Ze względu na symetrię funkcji równoważnych, jeśli jedna z tych granic nie istnieje, to druga też nie istnieje.

Ponieważ dowolna funkcja zdefiniowana na jakimś przebitym sąsiedztwie punktu jest sobie równoważna, to istnieją granice
.

Zastępowanie funkcji g i g 1 NA 1/g I 1/ g 1, otrzymujemy podobne twierdzenie dla iloczynu.
Jeśli, dla , i , to
.
Oznacza to, że jeśli istnieje jedna granica, to istnieje również druga. Jeśli jedna z tych granic nie istnieje, to druga nie istnieje.

Lemat. Znak funkcji tego samego rzędu
(L1.1) ,
wówczas funkcje f i g są tego samego rzędu dla:
Na .

Dowód własności i twierdzeń

Twierdzenie. Właściwości o małych

1) Jeśli , to o .

Dowód

Pozwalać . Oznacza to, że istnieje przebite sąsiedztwo punktu, na którym zdefiniowana jest relacja, a zatem .
,
Potem w tej okolicy
.
Gdzie . Według warunku
Następnie .

Właściwość 1) została udowodniona.
2) Jeżeli na jakimś przebitym sąsiedztwie punktów,
.

Dowód

i wtedy
.
Ponieważ , to na rozważanym przebitym sąsiedztwie punktu,
.
Od tego czasu

Właściwość 2) została udowodniona. 0 3.1) , gdzie c ≠
3.2) ;
3.3) .

Dowód

3.1).
,
- stała.
.
Ponieważ , to na rozważanym przebitym sąsiedztwie punktu,
.
Gdzie . Przedstawmy funkcję.

Następnie
Właściwość 3.1) została udowodniona.
,
3.2).
Udowodnijmy to.
Pozwalać . Zgodnie z definicją małego,
Gdzie .
.
Następnie ,

Gdzie . Od
Właściwość 3.1) została udowodniona.
,
, To
.
Właściwość 3.2) została udowodniona.
.
Gdzie . Według warunku
3.3).

Udowodnijmy to.

Gdzie ,

Zgodnie z arytmetycznymi właściwościami granicy funkcji,

Dowód

Właściwość 3.3) została udowodniona.
,
3.2).
Funkcje równoważne Własności funkcji równoważnych 1) Właściwość symetrii. Jeśli, o , to .
.
Ponieważ dla , to zgodnie z definicją funkcji równoważnej istnieje przebite sąsiedztwo punktu, na którym Ponieważ funkcja ma granicę niezerową, to ,
.
twierdzenie o ograniczeniu od dołu funkcji mającej niezerową granicę,

istnieje przebite sąsiedztwo punktu, w którym .

Dowód

3) Jeśli , to o .

Dowód

Dlatego w tej okolicy.
Dlatego jest na nim zdefiniowana funkcja.
twierdzenie o ograniczeniu od dołu funkcji mającej niezerową granicę,

Następnie

Według
.

Dowód

1. Konieczność. Niech funkcje i będą równoważne dla .
.
Ponieważ , to na rozważanym przebitym sąsiedztwie punktu,
.
Gdzie . Według warunku
Następnie

Udowodniono, że istnieje taka potrzeba.
.
2. Wystarczalność. Niech o,
.
Ponieważ , to na rozważanym przebitym sąsiedztwie punktu,
.
Więc gdzie.

Stąd

twierdzenie o ograniczeniu od dołu funkcji mającej niezerową granicę

, istnieje przebite sąsiedztwo punktu , na którym i dlatego .

Wtedy mamy do czynienia z przebitym sąsiedztwem punktu, w którym zdefiniowana jest funkcja oraz niezerowym i dlatego definiuje się iloraz:
Stosujemy własności arytmetyczne granicy funkcji:
(L1.1) ,
Twierdzenie zostało udowodnione.
Na .

Znak funkcji tego samego rzędu
;
;
Lemat .
Jeśli istnieje skończona, różna od zera granica
,
następnie funkcje f i g są tego samego rzędu w , na którym
Przekształćmy nierówność i podstawmy:
,
następnie funkcje f i g są tego samego rzędu w , na którym

(L1.2)

Z drugiej nierówności:
Lub .
Z pierwszej nierówności (L1.2):
Lemat został udowodniony.

Wykorzystana literatura.

O.I. Besow. Wykłady z analizy matematycznej. Część 1. Moskwa, 2004. L.D. Kudryavtsev. Kurs analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 2003. CM. Nikolski. Kurs analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 1983.

Rysunek przedstawia krzywe (i linie proste), które opisują jedną z najważniejszych cech w astronomii - funkcję masy początkowej gwiazdy.

Funkcję masy początkowej (IMF) można określić na różne sposoby. Te. istota będzie taka sama - ile gwiazd i jakich mas - ale wzór można zapisać w kilku wersjach. Jest to ważne, aby zrozumieć, co jest pokazane na obrazku. I na nim autorzy przedstawiają kilka najpopularniejszych funkcji masowych. Jednak tutaj nie będziemy pisać formuł (i dlatego nie będziemy szczegółowo wyjaśniać, co jest wykreślone wzdłuż osi pionowej). Masę gwiazd wykreślono wzdłuż osi poziomej. Pionowo - udział masy w logarytmicznym przedziale (przedziale) masy. Gdybyśmy wykreślili liczbę gwiazd w jednostkowym przedziale mas, wówczas krzywe wznosiłyby się bardziej stromo w kierunku niższych mas.

Najpopularniejszą funkcją masy wśród astrofizyków jest funkcja Salpetera. Już w 1955 roku Salpeter ustalił, że rozkład masy dobrze opisuje linia prosta w skali logarytmicznej. Te. funkcja mocy. Naturalnie, im mniejsza masa, tym liczniejsze są takie gwiazdy. Funkcja masy Salpetera dotyczy obiektów o masach od 0,1 do 120 mas Słońca (linia przerywana na rysunku).

W porównaniu do funkcji Salpetera, inne funkcje masowe mają blokady przy małych masach lub przy dużych masach (lub obu). Najbardziej znani autorzy to Skala i Krupa (patrz zdjęcie). Można wyznaczyć funkcję masy na różne sposoby: od bezpośredniego liczenia gwiazdek do wykorzystania cech globalnych (plus jakiś model). Można na przykład zmierzyć jasność galaktyki w różnych zakresach i zobaczyć, jaki rozkład mas gwiazd można opisać (poprzez ustawienie modelu promieniowania dla każdej masy na każdym etapie ewolucji). Możliwe jest określenie funkcji masy (szczególnie na końcu o małej masie) na podstawie danych mikrosoczewkowych. Na koniec można spróbować skonstruować teoretyczną krzywą, symulując proces narodzin gwiazdy na komputerze.

Jaka jest prawda, nie wiemy. Jeśli nie mówimy o obiektach o bardzo małej masie lub odwrotnie, o najmasywniejszych gwiazdach, to funkcja Salpetera wszystko dobrze opisuje. Notabene Baldry i Glazebrook piszą w swojej pracy, że w zakresie mas od 0,5 do 120 mas Słońca wszystko jest w rozsądnej zgodzie z funkcją Salpetera (przynajmniej wszystko da się opisać jedną prostą o nachyleniu zbliżonym do wskazanego w Praca Salpetera z 1955 r.). Najwyraźniej jeszcze długo będą pojawiać się prace, w których znajdą coraz więcej nowych dowodów na korzyść funkcji masy Salpetera lub na korzyść Millera-Scalo, bądź też zaproponują nowe możliwości. Dobry (ale raczej doraźny) przegląd można znaleźć w pracy Chabriera