Licz nie liczby całkowite. Najmniejsza wspólna wielokrotność i największy wspólny dzielnik. Kryteria podzielności i metody grupowania (2020). Dodatnie liczby całkowite i ujemne liczby całkowite

W tym artykule zdefiniujemy zbiór liczb całkowitych, rozważymy, które liczby całkowite nazywamy dodatnimi, a które ujemnymi. Pokażemy także, w jaki sposób liczby całkowite służą do opisu zmian określonych wielkości. Zacznijmy od definicji i przykładów liczb całkowitych.

Liczby całkowite. Definicja, przykłady

Na początek pamiętajmy o liczbach naturalnych ℕ. Już sama nazwa sugeruje, że są to liczby, które w naturalny sposób służyły do ​​liczenia od niepamiętnych czasów. Aby objąć pojęcie liczb całkowitych, musimy rozszerzyć definicję liczb naturalnych.

Definicja 1. Liczby całkowite

Liczby całkowite to liczby naturalne, ich przeciwieństwa i liczba zero.

Zbiór liczb całkowitych jest oznaczony literą ℤ.

Zbiór liczb naturalnych ℕ jest podzbiorem liczb całkowitych ℤ. Każdy liczba naturalna jest liczbą całkowitą, ale nie każda liczba całkowita jest liczbą naturalną.

Z definicji wynika, że ​​każda z liczb 1, 2, 3 jest liczbą całkowitą. . , cyfrę 0, a także cyfry - 1, - 2, - 3, . .

Zgodnie z tym podamy przykłady. Liczby 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 są liczbami całkowitymi.

Niech linia współrzędnych zostanie narysowana poziomo i skierowana w prawo. Przyjrzyjmy się temu, aby zwizualizować położenie liczb całkowitych na linii.

Początek osi współrzędnych odpowiada liczbie 0, a punkty leżące po obu stronach zera odpowiadają dodatnim i ujemnym liczbom całkowitym. Każdy punkt odpowiada pojedynczej liczbie całkowitej.

Do dowolnego punktu linii, której współrzędna jest liczbą całkowitą, można dotrzeć poprzez odsunięcie od początku pewnej liczby segmentów jednostkowych.

Dodatnie i ujemne liczby całkowite

Spośród wszystkich liczb całkowitych logiczne jest rozróżnienie dodatnich i ujemnych liczb całkowitych. Podajmy ich definicje.

Definicja 2: Dodatnie liczby całkowite

Dodatnie liczby całkowite to liczby całkowite ze znakiem plus.

Na przykład liczba 7 jest liczbą całkowitą ze znakiem plus, czyli dodatnią liczbą całkowitą. Na linii współrzędnych liczba ta leży na prawo od punktu odniesienia, który przyjmuje się jako liczbę 0. Inne przykłady dodatnich liczb całkowitych: 12, 502, 42, 33, 100500.

Definicja 3: Ujemne liczby całkowite

Ujemne liczby całkowite to liczby całkowite ze znakiem minus.

Przykłady ujemnych liczb całkowitych: - 528, - 2568, - 1.

Liczba 0 oddziela dodatnie i ujemne liczby całkowite i sama nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

Każda liczba będąca przeciwieństwem dodatniej liczby całkowitej jest z definicji ujemną liczbą całkowitą. Jest też odwrotnie. Odwrotnością dowolnej ujemnej liczby całkowitej jest dodatnia liczba całkowita.

Można podać inne sformułowania definicji ujemnych i dodatnich liczb całkowitych poprzez ich porównanie z zerem.

Definicja 4. Dodatnie liczby całkowite

Dodatnie liczby całkowite to liczby całkowite większe od zera.

Definicja 5: Ujemne liczby całkowite

Ujemne liczby całkowite to liczby całkowite mniejsze od zera.

W związku z tym liczby dodatnie leżą na prawo od początku układu współrzędnych, a ujemne liczby całkowite leżą na lewo od zera.

Powiedzieliśmy wcześniej, że liczby naturalne są podzbiorem liczb całkowitych. Wyjaśnijmy tę kwestię. Zbiór liczb naturalnych składa się z dodatnich liczb całkowitych. Z kolei zbiór liczb całkowitych ujemnych to zbiór liczb przeciwnych do naturalnych.

Ważny!

Każdą liczbę naturalną można nazwać liczbą całkowitą, ale żadnej liczby całkowitej nie można nazwać liczbą naturalną. Odpowiadając na pytanie, czy liczby ujemne są liczbami naturalnymi, trzeba śmiało powiedzieć – nie, nie są.

Niedodatnie i nieujemne liczby całkowite

Podajmy kilka definicji.

Definicja 6. Nieujemne liczby całkowite

Nieujemne liczby całkowite to dodatnie liczby całkowite i liczba zero.

Definicja 7. Niedodatnie liczby całkowite

Niedodatnie liczby całkowite to ujemne liczby całkowite i liczba zero.

Jak widać, liczba zero nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

Przykłady nieujemnych liczb całkowitych: 52, 128, 0.

Przykłady niedodatnich liczb całkowitych: - 52, - 128, 0.

Liczba nieujemna to liczba większa lub równa zero. Odpowiednio, niedodatnia liczba całkowita jest liczbą mniejszą lub równą zero.

Terminy „liczba nieujemna” i „liczba nieujemna” są używane dla zwięzłości. Na przykład zamiast mówić, że liczba a jest liczbą całkowitą większą lub równą zero, można powiedzieć: a jest nieujemną liczbą całkowitą.

Używanie liczb całkowitych do opisu zmian ilości

Do czego służą liczby całkowite? Przede wszystkim za ich pomocą wygodnie jest opisywać i określać zmiany ilości dowolnych obiektów. Podajmy przykład.

Niech pewna liczba wałów korbowych będzie przechowywana w magazynie. Jeśli do magazynu trafi jeszcze 500 wałów korbowych, ich liczba wzrośnie. Liczba 500 dokładnie wyraża zmianę (wzrost) liczby części. Jeśli następnie z magazynu zostanie pobranych 200 części, liczba ta będzie również charakteryzować zmianę liczby wałów korbowych. Tym razem w dół.

Jeśli nic nie zostanie zabrane z magazynu i nic nie zostanie dostarczone, liczba 0 będzie oznaczać, że liczba części pozostaje niezmieniona.

Oczywistą wygodą stosowania liczb całkowitych w odróżnieniu od liczb naturalnych jest to, że ich znak wyraźnie wskazuje kierunek zmiany wartości (wzrost lub spadek).

Spadek temperatury o 30 stopni można scharakteryzować ujemną liczbą całkowitą - 30, a wzrost o 2 stopnie - dodatnią liczbą całkowitą 2.

Podajmy inny przykład z wykorzystaniem liczb całkowitych. Tym razem wyobraźmy sobie, że musimy dać komuś 5 monet. Wtedy możemy powiedzieć, że mamy - 5 monet. Liczba 5 opisuje wielkość długu, a znak minus oznacza, że ​​musimy oddać monety.

Jeśli jednej osobie jesteśmy winni 2 monety, a drugiej 3, to całkowity dług (5 monet) można obliczyć korzystając z zasady dodawania liczb ujemnych:

2 + (- 3) = - 5

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Liczby naturalne to liczby, od których wszystko się zaczęło. A dziś są to pierwsze liczby, z którymi spotyka się człowiek w swoim życiu, gdy w dzieciństwie uczy się liczyć na palcach lub patykach.

Definicja: Liczby naturalne to liczby używane do liczenia obiektów (1, 2, 3, 4, 5, ...). [Liczba 0 nie jest naturalna. Ma ona swoją odrębną historię w historii matematyki i pojawiła się znacznie później niż liczby naturalne.]

Zbiór wszystkich liczb naturalnych (1, 2, 3, 4, 5, ...) jest oznaczony literą N.

Liczby całkowite

Nauczywszy się liczyć, następną rzeczą, którą robimy, jest nauczenie się wykonywania operacji arytmetycznych na liczbach. Zwykle najpierw uczy się dodawania i odejmowania (za pomocą pałeczek do liczenia).

Z dodawaniem wszystko jest jasne: dodając dwie dowolne liczby naturalne, wynikiem będzie zawsze ta sama liczba naturalna. Ale podczas odejmowania odkrywamy, że nie możemy odjąć większego od mniejszego, tak aby wynik był liczbą naturalną. (3 - 5 = co?) Tutaj pojawia się koncepcja liczb ujemnych. (Liczby ujemne nie są już liczbami naturalnymi)

Na etapie występowania liczb ujemnych (i pojawiły się później niż ułamkowe) byli też ich przeciwnicy, którzy uważali je za bzdury. (Na palcach można pokazać trzy przedmioty, można pokazać dziesięć, przez analogię można przedstawić tysiąc obiektów. A co to jest „minus trzy torby”? - W tamtym czasie używano już liczb samodzielnie, w oderwaniu od konkretnych przedmioty, których liczbę oznaczają, wciąż tkwiły w świadomości ludzi znacznie bliższych tym konkretnym tematom niż dzisiaj.) Jednak, podobnie jak zastrzeżenia, główny argument na rzecz liczb ujemnych wziął się z praktyki: liczby ujemne umożliwiły wygodne liczyć długi. 3 − 5 = −2 - Miałem 3 monety, wydałem 5. Oznacza to, że nie tylko skończyły mi się monety, ale też byłem komuś winien 2 monety. Jeśli zwrócę jeden, dług zmieni się -2+1=-1, ale może być również reprezentowany przez liczbę ujemną.

W rezultacie w matematyce pojawiły się liczby ujemne i teraz mamy nieskończoną liczbę liczb naturalnych (1, 2, 3, 4, ...) i tyle samo jest ich przeciwieństw (-1, -2, - 3, -4, ...). Dodajmy do nich kolejne 0 i nazwiemy zbiór wszystkich tych liczb liczbami całkowitymi.

Definicja: Liczby naturalne, ich przeciwieństwa i zero tworzą zbiór liczb całkowitych. Jest on oznaczony literą Z.

Dowolne dwie liczby całkowite można od siebie odjąć lub dodać, tworząc liczbę całkowitą.

Pomysł dodawania liczb całkowitych zakłada już możliwość mnożenia, jako po prostu więcej szybki sposób wykonanie dodawania. Jeśli mamy 7 worków po 6 kilogramów, możemy dodać 6+6+6+6+6+6+6 (do obecnej sumy siedem razy dodać 6) lub możemy po prostu pamiętać, że taka operacja zawsze zakończy się 42. Podobnie jak dodanie sześciu siódemek, 7+7+7+7+7+7 również zawsze da 42.

Wyniki operacji dodawania niektórzy numery ze sobą niektórzy ile razy wszystkie pary liczb od 2 do 9 są zapisywane i tworzona jest tabliczka mnożenia. Aby pomnożyć liczby całkowite większe niż 9, wymyślono regułę mnożenia kolumn. (Co dotyczy również ułamków dziesiętnych i zostanie omówione w jednym z kolejnych artykułów.) Podczas mnożenia dowolnych dwóch liczb całkowitych przez siebie, wynikiem zawsze będzie liczba całkowita.

Liczby wymierne

Teraz podział. Tak jak odejmowanie jest odwrotną operacją dodawania, tak dochodzimy do idei dzielenia jako odwrotnej operacji mnożenia.

Mając 7 worków po 6 kilogramów, mnożąc łatwo obliczyliśmy, że łączna waga zawartości worków wyniosła 42 kilogramy. Wyobraźmy sobie, że całą zawartość wszystkich worków wsypaliśmy na jeden wspólny stos ważący 42 kilogramy. A potem zmienili zdanie i chcieli rozdzielić zawartość z powrotem do 7 worków. Ile kilogramów wyląduje w jednym worku, jeśli rozłożymy je równomiernie? – Jasne, 6.

A co jeśli chcemy rozłożyć 42 kilogramy na 6 worków? Pomyślimy tutaj, że tę samą sumę 42 kilogramów można uzyskać, układając na stosie 6 worków po 7 kilogramów. A to oznacza, że ​​dzieląc po równo 42 kilogramy na 6 worków, w jednym worku otrzymamy 7 kilogramów.

A co jeśli podzielisz po równo 42 kilogramy na 3 torby? I tutaj także zaczynamy wybierać liczbę, która pomnożona przez 3 dałaby 42. Dla wartości „tabelarycznych”, jak w przypadku 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7, dokonujemy podziału wystarczy po prostu przywołać tabliczkę mnożenia. W bardziej skomplikowanych przypadkach stosuje się podział kolumnowy, o czym będzie mowa w jednym z kolejnych artykułów. W przypadku 3 i 42 możesz „wybrać”, aby zapamiętać, że 3 · 14 = 42. Oznacza to 42:3 = 14. Każda torba będzie zawierać 14 kilogramów.

Spróbujmy teraz podzielić 42 kilogramy po równo na 5 worków. 42:5=?
Zauważamy, że 5 · 8 = 40 (kilka) i 5 · 9 = 45 (dużo). Oznacza to, że z 5 worków nie uzyskamy 42 kilogramów, ani 8 kilogramów w worku, ani 9 kilogramów. Jednocześnie jasne jest, że w rzeczywistości nic nie stoi na przeszkodzie, aby każdą ilość (np. Zboża) podzielić na 5 równych części.

Operacja dzielenia liczb całkowitych przez siebie niekoniecznie daje liczbę całkowitą. W ten sposób doszliśmy do pojęcia ułamków zwykłych. 42:5 = 42/5 = 8 całe 2/5 (jeśli liczone w ułamkach zwykłych) lub 42:5 = 8,4 (jeśli liczone w ułamkach dziesiętnych).

Ułamki zwykłe i dziesiętne

Można powiedzieć, że dowolny ułamek zwykły m/n (m jest dowolną liczbą całkowitą, n jest dowolną liczbą naturalną) jest po prostu specjalną formą zapisu wyniku podzielenia liczby m przez liczbę n. (m nazywa się licznikiem ułamka, n jest mianownikiem) Wynik podzielenia na przykład liczby 25 przez liczbę 5 można również zapisać jako ułamek zwykły 25/5. Nie jest to jednak konieczne, ponieważ wynik podzielenia 25 przez 5 można po prostu zapisać jako liczbę całkowitą 5. (A 25/5 = 5). Ale wyniku dzielenia liczby 25 przez liczbę 3 nie można już przedstawić jako liczby całkowitej, więc tutaj pojawia się potrzeba użycia ułamka 25:3 = 25/3. (Możesz rozróżnić całą część 25/3 = 8 całe 1/3. Ułamki zwykłe i działania na ułamkach zwykłych zostaną omówione bardziej szczegółowo w kolejnych artykułach.)

Dobrą rzeczą w ułamkach zwykłych jest to, że aby przedstawić wynik dzielenia dowolnych dwóch liczb całkowitych jako taki ułamek, wystarczy zapisać dywidendę w liczniku ułamka, a dzielnik w mianowniku. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) Następnie, jeśli to możliwe, zmniejsz ułamek i/lub zaznacz całą część (te działania z ułamkami zwykłymi zostaną szczegółowo omówione w kolejnych artykułach). Problem w tym, że wykonywanie operacji arytmetycznych (dodawanie, odejmowanie) na zwykłych ułamkach nie jest już tak wygodne, jak na liczbach całkowitych.

Dla wygody pisania (w jednym wierszu) i dla wygody obliczeń (z możliwością obliczeń w kolumnie, jak dla zwykłych liczb całkowitych), oprócz ułamków zwykłych wymyślono także ułamki dziesiętne. Ułamek dziesiętny to specjalnie napisany ułamek zwykły o mianowniku 10, 100, 1000 itd. Na przykład ułamek zwykły 7/10 jest taki sam jak ułamek dziesiętny 0,7. (8/100 = 0,08; 2 całe 3/10 = 2,3; 7 całe 1/1000 = 7, 001). Oddzielny artykuł zostanie poświęcony zamianie ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie. Działania na ułamkach dziesiętnych - inne artykuły.

Każdą liczbę całkowitą można przedstawić jako ułamek zwykły o mianowniku 1. (5=5/1; -765=-765/1).

Definicja: Wszystkie liczby, które można przedstawić w postaci ułamka, nazywane są liczbami wymiernymi. Zbiór liczb wymiernych jest oznaczony literą Q.

Podczas dzielenia dowolnych dwóch liczb całkowitych przez siebie (z wyjątkiem dzielenia przez 0) wynikiem zawsze będzie liczba wymierna. W przypadku ułamków zwykłych obowiązują zasady dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, które pozwalają wykonać odpowiednią operację na dowolnych dwóch ułamkach, a także uzyskać w rezultacie liczbę wymierną (ułamek lub liczbę całkowitą).

Zbiór liczb wymiernych jest pierwszym z rozważanych przez nas zbiorów, w którym można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić (z wyjątkiem dzielenia przez 0), nigdy nie wychodząc poza granice tego zbioru (to znaczy zawsze uzyskując liczbę wymierną w rezultacie numer).

Wydawałoby się, że nie ma innych liczb; wszystkie liczby są wymierne. Ale to też nie jest prawdą.

Prawdziwe liczby

Istnieją liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka m/n (gdzie m jest liczbą całkowitą, n jest liczbą naturalną).

Co to za liczby? Nie rozważaliśmy jeszcze operacji potęgowania. Na przykład 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Tak jak mnożenie jest wygodniejszą formą zapisywania i obliczania dodawania, tak potęgowanie jest formą zapisywania samego mnożenia tej samej liczby określoną liczbę razy.

Ale teraz spójrzmy na odwrotną operację podnoszenia do potęgi - wyodrębnianie pierwiastka. Pierwiastek kwadratowy z 16 to liczba, która po podniesieniu do kwadratu daje 16, czyli liczbę 4. Pierwiastek kwadratowy z 9 to 3. Ale pierwiastka kwadratowego z 5 lub 2 nie można przedstawić na przykład liczba wymierna. (Dowód tego twierdzenia, inne przykłady liczb niewymiernych i ich historię można znaleźć np. w Wikipedii)

W GIA w klasie 9 zadaniem jest określenie, czy liczba zawierająca pierwiastek w swoim zapisie jest wymierna czy niewymierna. Zadanie polega na tym, aby spróbować przekonwertować tę liczbę do postaci niezawierającej pierwiastka (wykorzystując właściwości pierwiastków). Jeśli nie możesz pozbyć się pierwiastka, liczba jest irracjonalna.

Innym przykładem liczby niewymiernej jest liczba π, znana każdemu z geometrii i trygonometrii.

Definicja: Liczby wymierne i niewymierne nazywane są razem liczbami rzeczywistymi (lub rzeczywistymi). Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oznaczamy literą R.

W liczbach rzeczywistych, w przeciwieństwie do liczb wymiernych, możemy wyrazić odległość między dowolnymi dwoma punktami na linii lub płaszczyźnie.
Jeśli narysujesz linię prostą i wybierzesz na niej dwa dowolne punkty lub wybierzesz dwa dowolne punkty na płaszczyźnie, może się okazać, że dokładnej odległości między tymi punktami nie da się wyrazić liczbą wymierną. (Przykład: przeciwprostokątna prawy trójkąt z nogami 1 i 1, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, będzie równy pierwiastkowi z dwóch - czyli liczbie niewymiernej. Obejmuje to również dokładną długość przekątnej komórki notebooka (długość przekątnej dowolnego idealnego kwadratu z pełnymi bokami).)
A w zbiorze liczb rzeczywistych dowolne odległości na linii, w płaszczyźnie lub w przestrzeni można wyrazić odpowiednią liczbą rzeczywistą.

Liczby całkowite - Ten liczby naturalne, a także ich przeciwne liczby i zero.

Liczby całkowite— rozwinięcie zbioru liczb naturalnych N, który otrzymuje się przez dodanie do N 0 i liczby ujemne, takie jak − N. Zbiór liczb całkowitych oznacza Z.

Suma , różnica I praca liczb całkowitych podaj ponownie liczby całkowite, tj. liczby całkowite tworzą pierścień w odniesieniu do operacji dodawania i mnożenia.

Liczby całkowite na osi liczbowej:

Ile liczb całkowitych? Ile liczb całkowitych? Nie ma największej i najmniejszej liczby całkowitej. Ta seria nie ma końca. Największa i najmniejsza liczba całkowita nie istnieje.

Liczby naturalne są również nazywane pozytywny liczby całkowite, tj. wyrażenia „liczba naturalna” i „liczba całkowita dodatnia” są tym samym.

Żaden Ułamki zwykłe lub dziesiętne nie są liczbami całkowitymi. Ale są ułamki z liczbami całkowitymi.

Przykłady liczb całkowitych: -8, 111, 0, 1285642, -20051 i tak dalej.

Mówienie w prostym języku, liczby całkowite są (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - ciąg liczb całkowitych. Oznacza to, że te, których część ułamkowa (()) jest równa zero. Nie mają akcji.

Liczby naturalne są dodatnimi liczbami całkowitymi. liczby całkowite, przykłady: (1,2,3,4...+ ∞).

Operacje na liczbach całkowitych.

1. Suma liczb całkowitych.

Aby dodać dwie liczby całkowite o tych samych znakach, musisz je dodać moduły te liczby i umieść ostatni znak przed kwotą.

Przykład:

(+2) + (+5) = +7.

2. Odejmowanie liczb całkowitych.

Aby dodać dwie liczby całkowite za pomocą różne znaki, należy od modułu liczby większej odjąć moduł liczby mniejszej i przed odpowiedzią postawić znak większej liczby modulo.

Przykład:

(-2) + (+5) = +3.

3. Mnożenie liczb całkowitych.

Aby pomnożyć dwie liczby całkowite, należy pomnożyć moduły tych liczb i postawić znak plus (+) przed iloczynem, jeśli oryginalne liczby miały ten sam znak, i znak minus (-), jeśli były różne.

Przykład:

(+2) ∙ (-3) = -6.

Kiedy mnoży się wiele liczb, znak iloczynu będzie dodatni, jeśli liczba czynników dodatnich jest parzysta, i ujemny, jeśli liczba czynników dodatnich jest nieparzysta.

Przykład:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 czynniki niekorzystne).

4. Dzielenie liczb całkowitych.

Aby podzielić liczby całkowite, należy podzielić moduł jednej przez moduł drugiej i przed wynikiem postawić znak „+”, jeśli znaki liczb są takie same, i znak minus, jeśli są różne.

Przykład:

(-12) : (+6) = -2.

Właściwości liczb całkowitych.

Z nie jest domknięte na dzielenie 2 liczb całkowitych ( na przykład 1/2). Poniższa tabela przedstawia podstawowe właściwości dodawania i mnożenia dowolnej liczby całkowitej a, b I C.

Nieruchomość	dodatek	mnożenie
izolacja	A + B- cały	A × B- cały
skojarzenie	A + (B + C) = (A + B) + C	A × ( B × C) = (A × B) × C
przemienność	A + B = B + A	A × B = B × A
istnienie element neutralny	A + 0 = A	A × 1 = A
istnienie element przeciwny	A + (−A) = 0	A ≠ ± 1 ⇒ 1/a nie jest liczbą całkowitą
dystrybutywność względny mnożenia dodatek	A × ( B + C) = (A × B) + (A × C)

Z tabeli możemy to wywnioskować Z jest pierścieniem przemiennym z jednością przy dodawaniu i mnożeniu.

Na zbiorze liczb całkowitych nie istnieje dzielenie standardowe, istnieje jednak tzw dzielenie z resztą: dla wszystkich liczb całkowitych A I B, b≠0, istnieje jeden zbiór liczb całkowitych Q I R, Co a = bq + r I 0≤r<|b| , Gdzie |b|— wartość bezwzględna (moduł) liczby B. Tutaj A- podzielne, B- rozdzielacz, Q- prywatny, R- reszta.