Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych. Metoda Picarda. Przykłady rozwiązania problemu w metodzie Maple Picarda do rozwiązywania równań różniczkowych
Jest to przybliżona metoda rozwiązania, będąca uogólnieniem metody kolejnych przybliżeń (patrz rozdział V, § 2). Rozważ problem Cauchy'ego dla równania pierwszego rzędu
Całkując równanie różniczkowe, zastępujemy ten problem równoważnym równaniem całkowym typu Volterry
Rozwiązując to równanie całkowe metodą kolejnych przybliżeń, otrzymujemy iteracyjny proces Picarda
(przybliżone rozwiązanie, w przeciwieństwie do dokładnego, będzie oznaczane przez y). W każdej iteracji tego procesu całkowanie jest wykonywane dokładnie lub metodami numerycznymi opisanymi w rozdziale IV.
Udowodnijmy zbieżność metody, zakładając, że w pewnej dziedzinie ograniczonej prawa strona jest ciągła i spełnia warunek zmiennej i Lipschitza
Ponieważ obszar jest ograniczony, zachodzą następujące zależności: Oznacz błąd przybliżonego rozwiązania, odejmując (8) od (9) i stosując warunek Lipschitza, otrzymujemy
Rozwiązanie tej relacji powtarzalności i uwzględnienie, że znajdujemy sukcesywnie
Oznacza to oszacowanie błędu
Można zauważyć, że dla , tj. rozwiązanie przybliżone zbiega się jednostajnie do rozwiązania dokładnego w całym obszarze .
Przykład. Metodę Picarda stosujemy do problemu Cauchy'ego dla równania (3), którego rozwiązanie nie jest wyrażone funkcjami elementarnymi
W tym przypadku kwadratury (9) są obliczane dokładnie i łatwo je otrzymujemy
itd. Można zauważyć, że dla , przybliżenia te szybko zbiegają się i umożliwiają obliczenie rozwiązania z dużą dokładnością,
Ten przykład pokazuje, że korzystne jest użycie metody Picarda, jeśli całki (9) można obliczyć za pomocą funkcji elementarnych. Jeśli prawa strona równania (7) jest bardziej skomplikowana, tak że całki te trzeba znaleźć metodami numerycznymi, to metoda Picarda staje się mało wygodna.
Metodę Picarda można łatwo uogólnić na układy równań w sposób opisany w rozdziale 2. Jednak w praktyce im wyższy rząd układu, tym rzadziej możliwe jest dokładne obliczenie całek w (9), co ogranicza zastosowanie metody w tym przypadku.
Istnieje wiele innych przybliżonych metod. Na przykład SA Chaplygin zaproponował metodę, która jest uogólnieniem metody algebraicznej Newtona dla przypadku równania różniczkowe. Inny sposób uogólnienia metody Newtona zaproponował L. V. Kantorovich w 1948 r. W obu tych metodach, podobnie jak w metodzie Picarda, iteracje wykonuje się za pomocą kwadratur. Jednak kwadratury w nich mają znacznie więcej widok złożony niż (9) i rzadko są przyjmowane w funkcjach elementarnych. Dlatego te metody prawie nigdy nie są używane.
Cel pracy: kształtowanie u uczniów zrozumienia zastosowania zdalnego sterowania w różnych dziedzinach; zaszczepić umiejętność rozwiązywania problemu Cauchy'ego dla zdalnego sterowania Na" = F(X,y) w przedziale [ A, B] dla danego warunku początkowego Na 0 = F(X 0) metody Picarda, Eulera, Runge-Kutty, Adamsa; rozwinąć umiejętności sprawdzania uzyskanych wyników za pomocą programów aplikacyjnych.
Metoda Picarda
Przykład 5.1.
: Na H= 0,1 metodą Picarda z krokiem H.
W protokole podać: postęp prac, program - funkcja, błąd, graficzną ilustrację rozwiązania.
Rozwiązanie.
1. Wprowadź dane (Rys. 5.1)
A= 1,7 b= 2,7
H = 0,1
y 0 = 5,3 I = 0..N
Ryc.5.1. Ustawianie danych początkowych
2. Ustawiamy funkcję, która zwraca wartości pierwszej pochodnej względem zmiennej Na(rys.5.2).
F czerpać( y) = 
Ryc.5.2. Funkcja zwracająca wartość pierwszej pochodnej funkcji
3. Utwórz funkcję, która zwraca rozwiązanie DE metodą
Picard. Tutaj: F- oryginalna funkcja; f pochodna –
Pochodna funkcji względem Na; A,B- końce segmentu; H- krok; Na 0 –
początkowa wartość zmiennej Na.
4. Znajdź rozwiązanie DE metodą Picarda (ryc. 5.3).
fnPikan(fn, fn wylicz, a, b, h, y0)=
Ryż. 5.3. Określenie funkcji, która zwraca rozwiązanie do DE
Metoda Picarda (plik fnPikar.mcd)
fnPikar(f, f wylicz, a, b, 0,1, y0) =
| 7.78457519486 10 -11 | |
| 5,3 | |
| 5,46340155616 | |
| 5,62650688007 | |
| 5,78947945853 | |
| 5,95251650231 | |
| 6,11584391144 | |
| 6,27971330675 | |
| 6,44440084325 | |
| 6,61020759752 | |
| 6,77746140952 | |
| 6,94652015221 |
Ryż. 5.4. Znajdowanie numerycznego rozwiązania DE metodą Picarda
Metoda Eulera i jej modyfikacje
Przykład 5.2.
Na(1,7) = 5,3 i krok całkowania H= 0,1 metodą Eulera i ulepszoną metodą Eulera z krokami H I H/2.
Rozwiązanie.
Przebieg rozwiązania problemu metodą Eulera pokazano na rys. . 5,5 - 5,7.
a = 1,7 b = 2,7 y0 = 5,3
y 0 = y0 x ja = a + ih h2 = 0,05
Ryc.5.5. Fragment arkusza Mathcad z rozwiązaniem
równania metodą Eulera z krokiem H I H/2 i grafika
wizualizacja metody Eulera.
1. Stwórzmy program implementujący metodę Eulera (ryc.
Ryc.5.6. Lista programów implementujących metodę Eulera
2. Rozwiązanie DE uzyskujemy metodą Eulera (ryc. 5.7.).
ES h = eyler(f, a, b, h, y0)
ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)
Ryż. 5.7. Znajdowanie numerycznego rozwiązania DE metodą Eulera
Notatka
Skomponuj samodzielnie funkcję zwracającą rozwiązanie DE ulepszoną metodą Eulera.
Ryż. 5.8. Decyzja o zdalnym sterowaniu ulepszoną metodą
Eulera ze stopniami H I H/2
5.3. Metoda Runge-Kutty
W praktyce najczęściej stosowana jest metoda Runge-Kutty czwartego rzędu.
Przykład 5.3.
Rozwiąż problem Cauchy'ego dla DE na segmencie dla danego NU Na(1,7) = 5,3 i krok całkowania H= 0,1 metodą Runge-Kutty czwartego rzędu z krokiem H i 2 H.
W protokole należy podać: postęp prac, program, funkcję, błąd, graficzną ilustrację rozwiązania oraz oszacowanie błędu aproksymacji.
Rozwiązanie.
1. Wprowadź dane zadania (rys. 5.9).
A = 1,7 B = 2,7
H = 0,1
y 0 = 5,3
I= 0..n
Ryc.5.9. Ustawianie danych początkowych
2. Utwórzmy funkcję zwracającą rozwiązanie DE pierwszego rzędu metodą Runge-Kutty. Tutaj: przyp – dana funkcja; A, B- końce segmentu; H- krok; y 0 to wartość początkowa funkcji.
3. Znajdźmy rozwiązanie DE pierwszego rzędu, korzystając z wbudowanych funkcji Mathcada (rys. 5.10).
RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)
RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)
Ryż. 5.10. Lista funkcji, która zwraca liczbę
Rozwiązanie DE metodą Runge-Kutty
metoda Adamsa
Przykład 5.4.
Rozwiąż problem Cauchy'ego dla DE na segmencie dla danego NU Na(1,7) = 5,3 i krok całkowania H= 0,1 Metoda Adamsa z krokiem H.
W sprawozdaniu załączyć: rachunek ręczny, program - funkcję, błąd, graficzną ilustrację rozwiązania oraz oszacowanie błędu aproksymacji.
Rozwiązanie.
1. Znajdź pierwsze cztery liczby za pomocą wzoru Runge-Kutty (ryc. 5.11).
y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i
Ryż. 5.11. Obliczenie pierwszych czterech wartości rozwiązania numerycznego za pomocą wzoru Runge-Kutty
2. Skomponujmy funkcję realizującą metodę Adamsa (Rys. 2.10.3). Tutaj A, B- końce segmentu; y 1 – wartość początkowa funkcji; H- krok.
Ryż. 5.12. Funkcja zwracająca rozwiązanie numeryczne
Metoda DE Adamsa
3. Graficzną ilustrację rozwiązania DE różnymi metodami pokazano na ryc. 5.13.
Ryż. 5.13. Wizualizacja rozwiązania DE różnymi metodami
Powiązane pytania
1. Co to znaczy rozwiązać problem Cauchy'ego dla DE pierwszego rzędu?
2. Graficzna interpretacja numerycznego rozwiązania DE.
3. Jakie są metody rozwiązywania DE w zależności od
formularz rozwiązania?
4. Jaka jest istota zasady kompresji
mapowania?
5. Formuła rekurencyjna metody Picarda.
6. Na czym polega istota metody linii łamanej Eulera?
7. Zastosowanie, jakie formuły pozwalają uzyskać wartości
żądaną funkcję za pomocą metody Eulera?
8. Graficzna interpretacja metody Eulera i
ulepszona metoda Eulera. Jaka jest ich różnica?
9. Na czym polega istota metody Runge-Kutty?
10. Jak określić liczbę poprawnych cyfr w liczbie,
co jest rozwiązaniem DE metodą Eulera,
udoskonalona metoda Eulera, Picarda, Runge-
Zadanie na pracę laboratoryjną nr 5
Zadanie 5.1.
Rozwiąż problem Cauchy'ego dla DE y’ = F(X, y) w segmencie [ A, B] w danym NU Na(A) = Z i etap integracji H(parametry początkowe podano w tabeli 2.10.1):
1) metoda Eulera i ulepszona metoda Eulera z krokiem H I H/2;
2) metodą Runge-Kutty ze schodkiem H i 2 H;
3) metoda Adamsa;
4) metodą Picarda.
Decyzja powinna zawierać: przebieg prac, program metody, rozwiązanie graficzne równania i szacowanie błędu aproksymacji. W liczbach zostaw 5 cyfr po przecinku.
Tabela 5.1. Opcje zadań do wykonania niezależna praca
| № | F( X, y) | [A, B] | y 0 | H |
| 3X 2 + 0,1hu | Na(0) = 0,2 | 0,1 | ||
| 0,185(X 2 + cos(0,7 X)) + 1,843y | Na(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| Na(1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
 | Na(0,2) = 1,1 | 0,1 | ||
| Na(1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
 | Na(1,7) = 5,3 | 0,1 | ||
 | Na(2,6) = 3,5 | 0,2 | ||
 | Na(2) = 2,3 | 0,1 | ||
| 1,6 + 0,5y2 | Na(0) = 0,3 | 0,1 | ||
 | Na(1,8) = 2,6 | 0,1 | ||
 | Na(2,1) = 2,5 | 0,1 | ||
| mi 2X + 0,25y 2 | Na(0) = 2,6 | 0,05 | ||
| [- 2; -1] | Na(-2) = 3 | 0,1 | ||
| 0,133 ( x2+ grzech(2 X)) + 0,872y | Na(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| grzech( X + y) +1,5 | Na(1,5) = 4,5 | 0,1 | ||
 | Na(0,4) = 0,8 | 0,1 | ||
| 2,5X+ cos( y + 0,6) | Na(1) = 1,5 | 0,2 | ||
| cos(1,5 y +X) 2 + 1,4 | Na(1) = 1,5 | 0,1 | ||
 | Na(1,5) = 2,1 | 0,05 | ||
| sałata y + 3X | Na(0) = 1,3 | 0,1 | ||
| cos(1,5 X – y 2) – 1,3 | [-1; 1] | Na(-1) = 0,2 | 0,2 | |
| Na(1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
| mi -(y – 1) + 2X | Na(0) = 0,3 | 0,05 | ||
| 1 + 2y grzech X – y 2 | Na(1) = 0 | 0,1 | ||
 | Na(0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,166(X 2 + grzech(1,1 X)) + 0,883y | Na(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| Na(1,7) = 5,6 | 0,1 | |||
| Na(1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
| Na(0,6) = 0,8 | 0,1 | |||
| Na(1) = 5,9 | 0,1 | |||
| 1 + 0,8y grzech X - 2y 2 | Na(0) = 0 | 0,1 | ||
 | Na(0,5) = 1,8 | 0,1 | ||
| Na(1,2) = 1,8 | 0,1 | |||
| 1 + 2,2 grzech X + 1,5y 2 | Na(0) = 0 | 0,1 | ||
| Na(0) = 0 | 0,1 | |||
 | Na(0) = 0 | 0,1 | ||
 | Na(0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,2X 2 + y 2 | Na(0) = 0,8 | 0,1 | ||
| X 2+y | Na(0) = 0,4 | 0,1 | ||
| xy + 0,1y 2 | Na(0) = 0,5 | 0,1 |
Literatura
Literatura główna:
Alekseev GV, Voronenko BA, Lukin N.I. Metody matematyczne w
Inżynieria Żywności: Podręcznik. - Petersburg: "Lan", 2012. - 212 s.
Aleksiejew G.V. Metody matematyczne w inżynierii: metoda badania . dodatek. - Petersburg: NRU ITMO; IHiBT. 2012. - 39 s.
Alekseev G.V., Cholyavin I.I. Numeryczne modelowanie ekonomiczne i matematyczne oraz optymalizacja: instruktaż dla szkół wyższych, GIEFPT, 2011, 211 s.
Makarow EG Mathcad: samouczek. - Petersburg: Peter, 2009. - 384 s.
Porshnev S.V., Belenkova I.V. Metody numeryczne oparte na Mathcadzie. -
Petersburg: BHV-Petersburg, 2005. - 464 s.
Agapiev B.D., Belov V.N., Kesamanly FP, Kozlovsky V.V., Markov S.I. Przetwarzanie danych eksperymentalnych: Proc. zasiłek / SPbGTU. SPb., 2001.
Gorełowa G.V. Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w przykładach i zadaniach z wykorzystaniem programu Excel. – M.: Phoenix, 2005. – 476 s.
Adler Yu.P., Markova E.V., Granovsky Yu.V. Planowanie eksperymentu w poszukiwaniu optymalnych warunków.-M.: Nauka, 1976
Asaturyan VI Teoria planowania eksperymentów.-M.: Radio i komunikacja, 1983
Brodski V.Z. Wprowadzenie do czynnikowego planowania eksperymentu - M.: Nauka, 1976
Demidenko EZ Regresja liniowa i nieliniowa.-M.: Finanse i statystyka, 1981
Krasowski G.I., Filaretow G.F. Planowanie eksperymentu. - Mińsk: BSU, 1982
Markova E.V., Lisenkov A.N. Plany kombinatoryczne w zadaniach eksperymentu wieloczynnikowego - M.: Nauka, 1979
Frolkis V.A. Optymalizacja liniowa i nieliniowa - Petersburg. 2001. 306 s.
Kuritsky B.Ya. Szukaj optymalne rozwiązania używając programu Excel 7.0.-St.Petersburg: BHV, 1997,384c
oprogramowanie oraz zasoby internetowe:
http://www.open-mechanics.com/journals - Procesy i aparatura do produkcji żywności
http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Mechanika płynów i gazów, hydraulika i maszyny hydrauliczne
http://elibrary.ru/defaultx.asp - naukowa biblioteka elektroniczna „Elibrary”
Wstęp
1. Praca laboratoryjna nr 1: Teoria obliczeń przybliżonych
1.1. Błędy bezwzględne i względne
1.2. Błąd zaokrąglenia
1.3. Błędy arytmetyczne
1.4. Błędy funkcje elementarne
1.5. Sposób na granice
1.6. Odwrotny problem teorii błędów
1.7. Powiązane pytania
1.8. Zadania do pracy laboratoryjnej nr 1
2.Praca laboratoryjna nr 2: Numeryczne metody rozwiązywania
równania skalarne
1.1. metoda akordowa
1.2. Metoda styczna
1.3. Prosta metoda iteracyjna
1.4. Powiązane pytania
1.5. Zadania do pracy laboratoryjnej nr 2
3. Praca laboratoryjna nr 3: Numeryczne metody rozwiązywania układów
równania nieliniowe
3.1. Metoda Newtona
3.2. Powiązane pytania
3.3. Zadanie na pracę laboratoryjną nr 3
4. Laboratorium nr 4: Całkowanie numeryczne
4.1. Metoda prostokątna
4.2. Metoda Simpsona
4.3. Metoda trapezowa
4 .4. Metoda Monte Carlo
4.5. Powiązane pytania
4.6. Zadanie na pracę laboratoryjną nr 4
5. Laboratorium nr 5: Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych
5.1. Metoda Picarda
5.2. Metoda Eulera i jej modyfikacje
5.3. Metoda Runge-Kutty
Metoda ta jest przedstawicielem klasy metod przybliżonych
Idea metody jest niezwykle prosta i sprowadza się do procedury
przybliżenia do rozwiązania równania całkowego, do którego
podane jest oryginalne równanie różniczkowe.
Niech zostanie ustawiony problem Cauchy'ego
,
Całkujemy zapisane równanie
.
(5.2)
Procedura kolejnych przybliżeń metody Picarda realizowana jest według następującego schematu
,
(5.3)
Przykład . Rozwiąż równanie Picarda
,
Rozwiązanie tego równania nie jest wyrażone za pomocą funkcji elementarnych.
,
Widać, że dla , szereg jest szybko zbieżny. Metoda jest wygodna, jeśli całki można przyjąć analitycznie.
Udowodnijmy zbieżność metody Picarda. Wpuść trochę ograniczone
obszar, prawa strona jest ciągła i dodatkowo spełnia warunek Lipschitza względem zmiennej, tj.
gdzie jest jakaś stała.
Ze względu na ograniczoność regionu nierówności
Odejmujemy wzór (5.2) od (5.3), otrzymujemy dla modułów prawego i lewego
,
.
Ostatecznie, korzystając z warunku ciągłości Lipschitza, otrzymujemy
,
(5.4)
gdzie jest błąd przybliżonego rozwiązania.
Kolejne zastosowanie wzoru (5.4) at daje następujący łańcuch zależności, biorąc to pod uwagę
,
,
.
Ponieważ , Następnie mamy
.
Zastępując formułą Stirlinga, ostatecznie otrzymujemy oszacowanie błędu przybliżonego rozwiązania
.
(5.5)
Z (5.4) wynika, że dla modułu błędu, tj.
rozwiązanie przybliżone zbiega się jednostajnie z rozwiązaniem dokładnym.
5.2.2. Metoda Runge-Kutty
Metody te są numeryczne.
W praktyce stosuje się metody Runge-Kutty, dające post-
rojące się schematy różnicowe (metody) o różnych rzędach dokładności. Bardzo
wspólne schematy (metody) drugiego i czwartego rzędu. My i oni
rozważ poniżej.
Wprowadźmy najpierw kilka pojęć i definicji. siatka na
segment jest ustalonym zbiorem punktów tego odcinka.
Funkcja zdefiniowana w tych punktach nazywana jest funkcją siatki.
Współrzędne punktów spełniają warunki
Punkty są węzłami siatki. Jednolita siatka to zbiór punktów
,
,
gdzie jest odstęp siatki.
Podczas rozwiązywania równań różniczkowych metodą przybliżoną kwestia zbieżności jest najważniejsza. W zastosowaniu do metod różnicowych koncepcja zbieżności jest tradycyjnie bardziej powszechna. Oznaczmy wartości funkcji siatki jako wartości dokładnego rozwiązania równania różniczkowego (5.1) w węźle - (są to wartości przybliżone). Konwergencja oznacza, co następuje. Ustalamy punkt i budujemy zestaw siatek w taki sposób, że 
(w której). Wtedy uważa się, że metoda numeryczna jest zbieżna w punkcie if 
Na ,. Metoda jest zbieżna na odcinku, jeśli jest zbieżna w każdym punkcie. Mówi się, że metoda ma th rząd dokładności, jeśli można znaleźć liczbę taką, że 
Na.
Następnie wprowadzamy pojęcie błędu resztkowego lub błędu aproksymacji równania różnicowego, które zastępuje dane równanie różniczkowe rozwiązaniem pierwotnego równania, tj. rozbieżność jest wynikiem podstawienia dokładnego rozwiązania równania (5.1) do równania różnicowego. Na przykład (5.1) można zastąpić następującym prostym równaniem różnicowym
,
.
Następnie rozbieżność jest określana przez następujące wyrażenie
.
Przybliżone rozwiązanie na ogół nie pokrywa się z , więc rozbieżność w punkcie-tym nie jest równa zeru. Wprowadza się następującą definicję: metoda numeryczna przybliża oryginalne równanie różniczkowe, jeśli , i ma th rząd dokładności, jeśli 
.
Udowodniono, że rząd dokładności numerycznej metody rozwiązywania równań różniczkowych pokrywa się z rzędem aproksymacji przy dość ogólnych założeniach.
Przejdźmy teraz do analizy schematów Runge-Kutty. Najpierw zwróćmy się do
schematy drugiego rzędu dokładności.
Korzystając ze wzoru Taylora, rozwiązując równanie różniczkowe
(5.1) można przedstawić jako
, (5.6)
gdzie wskazano, 
,
.
Zauważ, że zgodnie z (5.1) 
,.
pochodna w następujący sposób
,
gdzie są wielkościami nieznanymi. Pozwalać
Oznaczmy przybliżoną wartość rozwiązania w węźle przez liczbę do (to właśnie to rozwiązanie otrzymamy po ograniczeniu szeregu do wyrazów o rzędzie nie wyższym od drugiego).
Należy określić parametry wprowadzone w tym miejscu.
Rozwijając prawą stronę w szeregu Taylora i wprowadzając podobne wyrazy, otrzymujemy
kolejno
Warunek doboru parametrów i ustalamy bliskość wyrażenia
związek (5.7) z szeregiem (5.6), to
,
,
.
Jeden parametr pozostaje wolny. Niech tak będzie
,
,
i wreszcie z (5.7), biorąc pod uwagę znalezione zależności dla i
Zależność (5.8) opisuje jednoparametrową rodzinę dwuczłonowych formuł Runge-Kutty.
W literaturze specjalistycznej udowodniono, że jeśli jest ciągła i ograniczona wraz z drugimi pochodnymi, to przybliżone rozwiązanie schematu (5.8) zbiega się jednostajnie do rozwiązania dokładnego z błędem 
, tj. schemat (5.8) ma drugi rząd dokładności.
W praktyce obliczeń stosuje się wzory (5.8) dla wartości parametru ,.
Z (5.8) wnioskujemy
Zastosowanie wzoru (5.9) sprowadza się do następującej sekwencji kroków:
1. Wartość funkcji jest obliczana w przybliżeniu (według schematu linii przerywanych)
2. Określa się nachylenie krzywej całkowej w punkcie ().
3. Znajduje się średnią wartość pochodnej funkcji w kroku
4. Wartość funkcji jest obliczana w ()-tym węźle
Ten schemat ma specjalną nazwę „korektor predykcyjny”.
Zgodnie z (5.8) otrzymujemy
Problem rozwiązuje się, wykonując następujące kroki:
1. Obliczana jest wartość funkcji w połowie węzła
.
2. Wyznaczamy wartość pochodnej w węźle
.
3. Wartość funkcji znajduje się w ()-tym węźle
Oprócz rozważanych powyżej schematów dwuczłonowych, w praktyce obliczeniowej szeroko stosowane są schematy Rungego-Kutty czwartego rzędu dokładności. Odpowiednie wzory podano poniżej bez wyprowadzenia.
(5.10)
Schematy z dużą liczbą członków praktycznie nie są używane. Pięć-
formuły składowe zapewniają czwarty rząd dokładności, formuły sześcioczłonowe mają szósty rząd, ale ich forma jest bardzo skomplikowana.
Błędy powyższych schematów Runge-Kutty są określone przez maksimum
wartości odpowiednich pochodnych.
Łatwo jest uzyskać oszacowanie błędów dla szczególnego przypadku prawej strony
części równania różniczkowego
.
W takim przypadku rozwiązanie równania można sprowadzić do kwadratury i
wszystkie schematy rozwiązań różnicowych są przekształcane we wzory do całkowania numerycznego
tułaczy. Na przykład schemat (5.9) przybiera formę
,
to znaczy ma postać wzoru trapezu, a schemat (5.10) przechodzi do schematu
czyli wzór Simpsona z krokiem .
Główne oszacowania błędów dla wzorów trapezu i Simpsona są znane (patrz sekcja 3.2). Z (3.4) i (3.5) widać, że dokładność schematów Runge-Kutty jest dość wysoka.
Wybór jednego lub drugiego z powyższych schematów rozwiązania konkretnego problemu
dacza jest określona przez następujące względy. Jeśli funkcja w
prawa strona równania jest ciągła i ograniczona, a także ciągła i
jego czwarte pochodne są ograniczone, wtedy uzyskuje się najlepszy wynik
przy korzystaniu ze schematu (5.10). W przypadku, gdy funkcja
nie ma powyższych pochodnych, ograniczającego (czwartego) rzędu
schematu (5.10) nie można osiągnąć, a okazuje się to celowe
używając prostszych schematów.
Oprócz schematów Runge-Kutty praktyczne znaczenie mają metody wieloetapowe, które można opisać następującym układem równań
Gdzie 
, a - współczynniki liczbowe, 
,.
Zgodnie z tym równaniem obliczenia rozpoczynają się od . W tym przypadku otrzymujemy relację postaci
te. aby zacząć liczyć, musisz mieć wartości początkowe. Wartości te należy obliczyć inną metodą, na przykład metodą Runge-Kutty.
Spośród metod wieloetapowych najpowszechniejsza jest metoda Adamsa, której schemat realizacji wynika z (5.11) z 
i dla 
:
.
Dla , metoda Adamsa okazuje się jawna, podczas gdy dla , jest niejawna.