Przestrzeń funkcji ciągłych z metryką kwadratową. Odległość (metryczna). Przestrzeń metryczna. Teoria mnogości w przestrzeniach metrycznych

1. Przestrzeń izolowanych punktów.

Zbiór dowolny i

2. Zbiór liczb rzeczywistych wraz z odległością tworzy przestrzeń metryczną.

3. Zbiór uporządkowanych grup liczb rzeczywistych c nazywany jest arytmetyką wymiarową przestrzenią euklidesową.

Dowód.

Aby udowodnić, że przestrzeń jest metryczna, należy sprawdzić spełnialność aksjomatów.

Pozwalać , , .

, , …, , tj. .

A3. Sprawdźmy, czy aksjomat trójkąta jest spełniony. Zapiszmy aksjomat w postaci:

Zakładając , , otrzymujemy i .

Aby udowodnić tę nierówność, stosuje się nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego.

Naprawdę,

W konsekwencji aksjomat trójkąta jest spełniony, a rozpatrywany zbiór o danej metryce jest przestrzenią metryczną.

co było do okazania

4. Zbiór uporządkowanych grup liczb rzeczywistych z . Ta przestrzeń metryczna jest oznaczona przez .

5. Zbiór uporządkowanych grup liczb rzeczywistych z . Ta przestrzeń metryczna jest oznaczona przez .

Przykłady 3, 4 i 5 pokazują, że ten sam zapas punktów można mierzyć na różne sposoby.

6. Zbiór wszystkich ciągłych funkcji rzeczywistych zdefiniowanych na odcinku o odległości . Ta przestrzeń metryczna jest oznaczana jako zbiór punktów w samej przestrzeni: . W szczególności piszą zamiast .

7. Through oznacza przestrzeń metryczną, której punktami są wszystkie możliwe ciągi liczb rzeczywistych spełniające warunek, a metrykę definiuje wzór.

Dowód.

Ponieważ ma to sens dla każdego. Te. Szereg jest zbieżny jeśli i .

Pokażmy, co spełnia aksjomaty.

Aksjomaty 1, 2 są oczywiste. Aksjomat trójkąta będzie miał postać:

Wszystkie szeregi są zbieżne.

Nierówność dotyczy każdego (patrz przykład 3). Gdy otrzymamy nierówność dla .

co było do okazania

8. Rozważmy zbiór wszystkich funkcji ciągłych na przedziale i . Taką przestrzeń metryczną oznaczamy i nazywamy przestrzenią funkcje ciągłe z metryką kwadratową.

9. Rozważ zbiór wszystkich ograniczonych ciągów liczb rzeczywistych. Zdefiniujmy. Ta przestrzeń metryczna jest oznaczona przez .

10. Zbiór uporządkowanych grup liczb rzeczywistych o odległości , gdzie jest dowolna liczba stała, jest przestrzenią metryczną, oznaczoną przez .

Metryka rozważana w tym przykładzie zmienia się w metrykę euklidesową dla (patrz przykład 3) i metrykę z przykładu 4 dla . Można wykazać, że metryka (patrz przykład 5) jest przypadkiem ograniczającym.

11. Rozważ wszystkie możliwe ciągi liczb rzeczywistych, które spełniają warunek , gdzie jest pewna liczba stała, a odległość określa wzór . Mamy przestrzeń metryczną.

12. Niech będzie zbiorem wszystkich ciągów nieskończonych – liczby zespolone. Zdefiniujmy. Mamy przestrzeń metryczną.

Definicja: Niech będzie przestrzenią metryczną i będzie dowolnym podzbiorem . Następnie z tą samą funkcją, która jest teraz zdefiniowana, nazywa się przestrzeń metryczną podprzestrzeń przestrzeń.

Podstawowe pojęcia

Oznaczmy przestrzeń metryczną przez .

Definicja: Nazywa się ciąg należący do przestrzeni metrycznej podstawowy, jeśli każdy odpowiada liczbie takiej, że nierówność .

Definicja: Nazywa się ciąg należący do przestrzeni metrycznej zbieżny, jeśli istnieje taki, że każdy odpowiada liczbie takiej, że nierówność obowiązuje dla wszystkich. Wtedy to się nazywa limit sekwencje.

Twierdzenie: Jeśli ciąg ma granicę, to jest unikalny.

Dowód.

Rzeczywiście, jeśli i , to . Od i , wtedy , tj. .

Twierdzenie zostało udowodnione.

Definicja: Pełna przestrzeń metryczna jest przestrzenią metryczną, w której zbiega się każdy ciąg podstawowy.

Twierdzenie: Metryka jako funkcja dwóch argumentów jest funkcją ciągłą, tj. jeśli i , to .

Dowód:

Pozwalać , , , .

Z nierówności trójkąta:

Z (1) otrzymujemy:

Z (2) otrzymujemy:

Ponieważ ,

Oznaczmy .

W przestrzeń metryczna można rozważać różne zbiory, sąsiedztwa punktów, punkty graniczne i inne koncepcje analizy klasycznej.

Definicja: Pod okolica punkty oznaczają zbiór zawierający otwartą kulę o promieniu ze środkiem w punkcie, tj.

Definicja: Punkt nazywa się punkt graniczny dla zbioru, jeśli w dowolnym sąsiedztwie punktu znajduje się co najmniej jeden punkt z , różny od .

Definicja: Punkt nazywa się punkt wewnętrzny ustawiony, jeśli jest uwzględniony wraz z częścią swojego sąsiedztwa.

Definicja: Zestaw tzw Otwarte, jeśli składa się tylko z punktów wewnętrznych. Zestaw tzw Zamknięte sama w sobie, jeśli zawiera wszystkie swoje punkty graniczne.

Przestrzeń metryczna jest zamknięta.

Podprzestrzenie nie mogą być podzbiorami domkniętymi.

Jeśli dodamy wszystkie jego punkty graniczne do, otrzymamy zamknięcie.

Definicja: Zbiór leżący w przestrzeni metrycznej nazywa się Zamknięte, jeśli zbiega się z jego zamknięciem: .

Zbiór domknięty to najmniejszy zbiór domknięty zawierający .

Definicja: Pozwalać . Zestaw tzw obcisły w, jeśli. Zestaw tzw wszędzie gęsto, Jeśli . Zestaw tzw nigdzie gęsto, jeśli jakakolwiek jest ta piłka, istnieje inna piłka wolna od punktów zestawu.

Definicja: Przestrzeń nazywa się rozłączną, jeśli zawiera zbiór przeliczalny wszędzie gęsty.

W analiza matematyczna Ważną rolę odgrywa własność zupełności osi liczbowej, to znaczy fakt, że każdy podstawowy ciąg liczb rzeczywistych zbiega się do pewnej granicy (kryterium zbieżności Cauchy'ego).

Oś liczbowa służy jako przykład pełnej przestrzeni metrycznej.

Przestrzenie izolowanych punktów, , , , , , są pełne przestrzenie metryczne.

Przestrzeń niekompletny.

W analizie szeroko wykorzystuje się tzw lemat o zagnieżdżonych segmentach :

Niech będzie systemem zagnieżdżonych segmentów. Następnie dla segmentu mamy .

Oznacza to, że wszystkie segmenty z zestawu posiadają wspólny punkt.

W teorii przestrzeni metrycznych podobną rolę odgrywa twierdzenie o osadzonych kulach.

Twierdzenie: Aby przestrzeń metryczna była pełna, konieczne i wystarczające jest, aby w niej każdy ciąg wtopionych w siebie kul, których promienie miały niepuste przecięcie.

Dowód:

Konieczność:

Niech będzie pełną przestrzenią metryczną i niech będzie ciągiem zamkniętych kul osadzonych w sobie.

Niech będzie promieniem, a a środkiem kuli.

Kolejność ośrodków jest fundamentalna, ponieważ w , i w . Ponieważ - w takim razie ukończone . Ujmijmy to w takim razie. Rzeczywiście, piłka zawiera wszystkie punkty ciągu, z możliwym wyjątkiem punktów. Zatem punkt jest punktem dotyku (punktem granicznym) każdej piłki. Ale ponieważ jest zbiorem zamkniętym, to .

Adekwatność:

Niech będzie ciągiem podstawowym. Udowodnimy, że ma on granicę. Ze względu na fundamentalność możemy wybrać taki punkt ciągu, że dla wszystkich . Przyjmijmy, że jest to środek zamkniętej kuli o promieniu. , osadzone w sobie, i kula - pewna zamknięta kula o promieniu zawiera pewien punkt po zakończeniu

Angielski: Wikipedia zwiększa bezpieczeństwo witryny. Używasz starej przeglądarki internetowej, która w przyszłości nie będzie mogła połączyć się z Wikipedią. Zaktualizuj swoje urządzenie lub skontaktuj się z administratorem IT.

中文: The以下提供更长,更具技术性的更新（仅英语）。

Hiszpański: Wikipedia jest miejscem zamieszkania más seguro. Służy do korzystania z nawigacji internetowej viejo que no será capaz de conectarse z Wikipedią w przyszłości. Actualice su dispositivo lub skontaktuj się z administratorem informático. Más abajo hay una updateización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

francuski: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Skorzystaj z aktualnej nawigacji internetowej, która jest dostępna za pomocą połączenia z Wikipedią lub z sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Dodatkowe informacje i techniki oraz dostępne w języku angielskim narzędzia ci-dessous.

日本語: ?す るか情報は以下に英語で提供しています。

Niemiecki: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detalliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

włoski: Wikipedia udostępnia najbardziej aktualne witryny. Pozostań przy użyciu przeglądarki internetowej, aby nie łączyć się z Wikipedią w przyszłości. Na korzyść, aggiorna il tuo dispositivo lub contatta il tuo amministratore informatico. Bezpłatne Più in basso jest dostępne w języku angielskim.

Madziar: Biztonságosabb lesz w Wikipedii. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angulul).

Szwedzka: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia w framtiden. Uppdatetera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Usuwamy obsługę niezabezpieczonych wersji protokołu TLS, w szczególności TLSv1.0 i TLSv1.1, których oprogramowanie Twojej przeglądarki używa do łączenia się z naszymi witrynami. Jest to zwykle spowodowane nieaktualnymi przeglądarkami lub starszymi smartfonami z Androidem. Może to być również ingerencja firmowego lub osobistego oprogramowania „Web Security”, które w rzeczywistości obniża bezpieczeństwo połączenia.

Aby uzyskać dostęp do naszych witryn, musisz zaktualizować swoją przeglądarkę internetową lub w inny sposób rozwiązać ten problem. Komunikat ten będzie widoczny do 1 stycznia 2020 r. Po tym terminie Twoja przeglądarka nie będzie mogła nawiązać połączenia z naszymi serwerami.

Moduł 2.

Wykład 17. Funkcja kilku zmiennych

Sekcja 17.1. przestrzeń n-wymiarowa

1. Przestrzenie wielowymiarowe

2. Pojęcie odległości (metryki). Przestrzeń metryczna

3. Zasady analizy skupień

Sekcja 17.2 Funkcja wielu zmiennych

1. Funkcja kilku zmiennych

2. Pochodne cząstkowe

3. Całka podwójna

4. Współrzędne biegunowe i całka Eulera-Poissona

Postanowienia programowe

Na wykładzie omówione zostaną zagadnienia związane z przestrzeniami o wymiarach większych niż dwa: wprowadzenie pojęcia odległości, wykorzystanie odległości w analizie skupień, funkcja kilku (w naszym przypadku dwóch) zmiennych, jej charakterystyka za pomocą pochodnych cząstkowych, a także jako obliczenia powierzchni i objętości. Pojęcia funkcji dwóch zmiennych i całka podwójna Będziemy ich potrzebować podczas badania wektorów losowych w teorii prawdopodobieństwa. Materiał wykładu kończy się obliczeniem całki Eulera-Poissona – jednej z głównych w teorii prawdopodobieństwa ( Całka nieoznaczona z funkcji Gaussa klasyfikuje się jako niecałkowalne i w przypadku występowania granic całkowania obliczenie takich całek wymaga zastosowania nieoczywistych metod, z których jedną podano tutaj).

Przed przestudiowaniem materiału wykładowego powtórz definicję funkcji, pochodnej i całki.

Literatura

B.P. Demidovich, V.A. Kudryavtsev „Krótki kurs wyższa matematyka» Rozdział XX (§1, 2.3,10), Rozdział XXIV (§1, 2,3,4,7)

Pytania do samokontroli

1. Jaką przestrzeń nazywamy n-wymiarową?

2. Jakie warunki musi spełniać odległość?

3. Która przestrzeń nazywa się metryką?

4. Do czego służy analiza skupień?

5. Jaki jest wykres funkcji 2 zmiennych? Co to są linie poziomu?

6. Co to jest pochodna cząstkowa?

7. Podaj definicję całki podwójnej. Jak można go użyć do obliczenia powierzchni i objętości?

8. Znajdź odległość pomiędzy punktami A(1,2,3) i B(5,1,0) (używając różnych odległości)

9. Znajdź linie poziomu funkcji

z = x + y.

10. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji

11. Znajdź obszar figury ograniczony liniami

12. Oblicz

Sekcja 17.1. Pojęcie przestrzeni wielowymiarowej

Definicja 17.1.1. przestrzeń n-wymiarowa.

Jeśli R2 jest ustalony na płaszczyźnie układ prostokątny współrzędne, wówczas między punktami płaszczyzny a wszystkimi możliwymi parami liczb (x, y) (x i y są współrzędnymi punktów) istnieje zgodność jeden do jednego. Jeśli w przestrzeni dany jest podobny układ współrzędnych, to istnieje również zgodność jeden do jednego pomiędzy punktami przestrzeni i ich współrzędnymi - wszystkimi możliwymi trójkami (x, y, z).

Odległość (metryczna). Przestrzeń metryczna

Definicja 17.1.2

Przestrzeń metryczna ( M ,D) istnieje zbiór punktów M, na którego kwadracie (czyli dla dowolnej pary punktów z M) podana jest funkcja odległości (metryka). Definiuje się to następująco:

Za dowolne punkty X, y, z z M funkcja ta musi spełniać następujące warunki:

Aksjomaty te odzwierciedlają intuicyjną koncepcję odległości. Na przykład odległość musi być nieujemna, a odległość od X Do y taki sam jak od y Do X. Nierówność trójkąta oznacza, że ​​należy od tego wyjść X Do z może być krótszy, a przynajmniej nie dłuższy niż pierwszy spacer X Do y, a następnie od y Do z.

Najbardziej znana nam jest odległość euklidesowa. Jednak nie jest to jedyny sposób na ustawienie tego. Przykładowo następująca odległość spełni powyższe aksjomaty: d(x,y) = 1, Jeśli x ≠ y I d(x,y) = 0, Jeśli x = y.

W zależności od konkretnych potrzeb lub właściwości przestrzeni można rozważyć różne metryki.

Spójrzmy na kilka przykładów odległości:

Definicje 17.1.3.

Odległość euklidesowa. Wydaje się, że jest to najczęstszy rodzaj odległości. Jest to po prostu odległość geometryczna w przestrzeni wielowymiarowej, obliczana w następujący sposób:

d(x,y) = ( ja (x ja - y i) 2 ) 1/2

Należy zauważyć, że odległość euklidesowa (i jej kwadrat) jest obliczana na podstawie danych oryginalnych, a nie danych standardowych. Jest to powszechny sposób obliczania tego, który ma pewne zalety (na przykład odległość między dwoma obiektami nie zmienia się, gdy do analizy wprowadzany jest nowy obiekt, co może być wartością odstającą). Jednakże na odległości duży wpływ mogą mieć różnice pomiędzy osiami, z których obliczane są odległości. Na przykład, jeśli jedną z osi mierzymy w centymetrach, a następnie przeliczamy ją na milimetry (mnożąc wartości przez 10), to ostateczna odległość euklidesowa (lub kwadrat odległości euklidesowej) obliczona na podstawie współrzędnych znacznie się zmieni , w efekcie wyniki analizy skupień mogą znacznie różnić się od poprzednich.

Kwadrat odległości euklidesowej. Standardową odległość euklidesową podnosi się do kwadratu, aby nadać większą wagę obiektom oddalonym od siebie. Odległość tę oblicza się w następujący sposób (dotyczy to również uwagi o wpływie jednostek miary z poprzedniego akapitu):

d(x,y) = ja (x i - y i) 2

Odległość od bloku miejskiego (odległość Manhattanu). Odległość ta jest po prostu średnią różnic we współrzędnych. W większości przypadków ta miara odległości daje takie same wyniki jak zwykła odległość euklidesowa. Zauważamy jednak, że w przypadku tej miary wpływ indywidualnych dużych różnic (wartości odstających) jest zmniejszony (ponieważ nie są one kwadratowe). Odległość Manhattanu oblicza się ze wzoru:

d(x,y) = ja |x i - y ja |

Odległość Czebyszewa. Odległość ta może być przydatna, gdy chcemy zdefiniować dwa obiekty jako „różne”, jeśli różnią się one jakąkolwiek współrzędną (w dowolnym jednym wymiarze). Odległość Czebyszewa oblicza się ze wzoru:

d(x,y) = max |x i - y i |

(max oznacza maksimum - największa ze wszystkich wartości modułów różnicowych)

Dystans mocy. Czasami chce się stopniowo zwiększać lub zmniejszać wagi związane z wymiarem, dla którego odpowiednie obiekty są bardzo różne. Można to osiągnąć za pomocą dystans mocy. Odległość mocy oblicza się ze wzoru:

d(x,y) = ( ja |x i - y ja | p) 1/r

Gdzie R I P- parametry zdefiniowane przez użytkownika. Kilka przykładowych obliczeń może pokazać, jak „działa” ten środek. Parametr P odpowiada za stopniowe ważenie różnic wzdłuż poszczególnych współrzędnych, parametr R odpowiedzialny za stopniowe ważenie dużych odległości między obiektami. Jeśli oba parametry są R I P, są równe dwa, to odległość ta pokrywa się z odległością euklidesową.

Podstawowe przestrzenie funkcjonalne

Wykład 5

Jedną z najważniejszych operacji w analizie jest przejście do granicy. Operacja ta polega na tym, że odległość od jednego punktu do drugiego jest określona na osi liczbowej. Wiele podstawowych faktów analizy nie jest związanych z algebraiczną naturą liczb rzeczywistych (to znaczy z faktem, że tworzą one pole), ale opierają się jedynie na pojęciu odległości. Uogólniając ideę liczb rzeczywistych jako zbioru, w którym wprowadza się odległość między elementami, dochodzimy do koncepcji przestrzeni metrycznej - jednego z najważniejszych pojęć współczesnej matematyki.

Definicja.

Przestrzeń metryczna jest parą (X, ρ), składający się z jakiegoś zbioru (przestrzeni) X elementy (punkty) i odległość, czyli jednowartościowa, nieujemna funkcja rzeczywista ρ(x, y), zdefiniowany dla dowolnego X I y z X i podlega następującym aksjomatom;

1. ρ(x,y) ≥ 0 dla wszystkich x, y,

2. ρ(x, y) = 0 wtedy i tylko kiedy x=y,

3. ρ(x,y) = ρ(y,x)(aksjomat symetrii),

4. ρ(x,z) £ ρ(x,y) + ρ(y,z)(aksjomat trójkąta).

Sama przestrzeń metryczna, czyli para (X, ρ), będziemy zwykle oznaczać jedną literą R = (X, ρ).

W przypadkach, gdy wykluczone są nieporozumienia, często będziemy oznaczać przestrzeń metryczną tym samym symbolem, co sam „zasób punktów”. X.

Podajmy przykłady przestrzeni metrycznych. Niektóre z tych przestrzeni odgrywają bardzo ważną rolę w analizie.

1. Ustawienie elementów dowolnego zbioru

otrzymujemy oczywiście przestrzeń metryczną. Można ją nazwać przestrzenią punktów izolowanych.

2. Zbiór liczb rzeczywistych z odległością

tworzy przestrzeń metryczną R 1.

3. Zbiór uporządkowanych grup N liczby rzeczywiste x = (x 1, …, x n) z dystansem

zwany N-wymiarowa arytmetyczna przestrzeń euklidesowa Rn. Ważność aksjomatów 1) - 3) dla Rn oczywiste. Pokażmy to w Rn aksjomat trójkąta jest również spełniony.

Pozwalać x = (x 1 ,…, x n), y = (y 1 ,…, y n),

z = (z 1,…, z n);

wówczas aksjomat trójkąta zapisuje się jako

Zakładając , otrzymujemy , a nierówność (2) przyjmuje postać

Ale ta nierówność wynika bezpośrednio ze znanej nierówności Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego

Rzeczywiście, z powodu tej nierówności mamy

W ten sposób udowodniono nierówność (3), a zatem (2).

4. Rozważmy ten sam zbiór uporządkowanych grup z N liczby rzeczywiste x = (x 1 ,…, x n) ale definiujemy w nim odległość za pomocą wzoru

Ważność aksjomatów jest tutaj oczywista.

Zadanie. Udowodnij aksjomat 4.

Oznaczmy tę przestrzeń metryczną symbolem .

5. Weźmy jeszcze raz ten sam zbiór jak w przykładach 3 i 4 i wyznaczmy odległość pomiędzy jego elementami ze wzoru

Ważność aksjomatów 1) - 3) jest oczywista.

Zadanie. Udowodnij aksjomat 4.

Przestrzeń ta, którą oznaczamy przez , jest nie mniej wygodna w wielu kwestiach analitycznych niż przestrzeń euklidesowa Rn.

Ostatnie trzy przykłady pokazują, że czasami rzeczywiście ważne jest, aby mieć różne oznaczenia samej przestrzeni metrycznej i zbioru jej punktów, ponieważ ten sam zbiór punktów można metryzować na różne sposoby.

6. Dużo C wszystkie ciągłe funkcje rzeczywiste zdefiniowane na segmencie , z dystansem

tworzy również przestrzeń metryczną. Aksjomaty 1) - 3) są weryfikowane bezpośrednio.

Zadanie. Udowodnij aksjomat 4.

Przestrzeń ta odgrywa bardzo ważną rolę w analizie. Będziemy to oznaczać tym samym symbolem C, który jest zbiorem punktów samej przestrzeni. Zamiast C napiszemy prosto Z.

7. Oznaczmy przez l 2 przestrzeń metryczna, której punktami są wszystkie możliwe ciągi x=(x 1,...,x n,...) liczby rzeczywiste spełniające warunek,

a odległość określa się ze wzoru

Z elementarnej nierówności wynika, że ​​funkcja ρ(x, y) ma sens dla wszystkich, jest zbieżny, jeśli

Pokażmy teraz, że funkcja (8) spełnia aksjomaty przestrzeni metrycznej. Aksjomaty 1) - 3) są oczywiste, a aksjomat trójkąta ma tutaj postać

Dzięki temu każda z trzech zapisanych tutaj serii jest zbieżna. Z drugiej strony za każdym razem N nierówność jest prawdziwa

(patrz przykład 4). Przechodząc tutaj do granicy o godz n®∞ otrzymujemy (8), tj. nierówność trójkąta w l 2.

8. Rozważmy, jak w przykładzie 6, zbiór wszystkich funkcji ciągłych na przedziale , ale zdefiniujmy odległość inaczej, czyli postawmy

Będziemy oznaczać taką przestrzeń metryczną C 2 i nazwijmy ją przestrzenią funkcji ciągłych z metryką kwadratową. Tutaj wszystkie aksjomaty przestrzeni metrycznej są oczywiste, a aksjomat trójkąta bezpośrednio wynika z całkowej postaci nierówności Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego

9. Rozważmy zbiór wszystkich ograniczonych ciągów x = (x 1 , ..., x n , ...) liczb rzeczywistych.

otrzymujemy przestrzeń metryczną, którą oznaczamy M. Ważność aksjomatów jest oczywista.

10. Zbiór uporządkowanych grup N liczby rzeczywiste z odległością

Gdzie R- dowolny stały numer ≥ 1 , jest przestrzenią metryczną, którą oznaczamy przez .

Sprawdźmy aksjomat 4.

Pozwalać x=(x 1 ,…,x n), y=(y 1 ,…,y n), z=(z 1 ,…,z n).

Załóżmy zatem nierówność

sprawiedliwość, którą musimy ustanowić, przybierze formę

Jest to tak zwana nierówność Minkowskiego. Na p= 1 Nierówność Minkowskiego jest oczywista (moduł sumy nie przekracza sumy modułów), więc założymy, że p > 1.

Dowód nierówności (13) z p>1 na podstawie tzw. nierówności Höldera

gdzie są liczby p > 1 I q > 1 związany warunkiem

Należy zauważyć, że nierówność (14) jest jednorodna. Oznacza to, że jeśli jest spełniony dla dowolnych dwóch wektorów za = (za 1,…, za n), I b = (b 1 ,…, b n), wówczas dotyczy to również wektorów λa I μb, Gdzie λ I μ - dowolne liczby. Wystarczy zatem udowodnić nierówność (14) dla przypadku, gdy

Niech więc warunek (16) będzie spełniony; udowodnijmy to

Rozważ to w samolocie (ξ,η) krzywa określona równaniem η = ξ p -1 (ξ>0) lub, co jest tym samym, przez równanie ξ p -1 (η >0)(ryc. 1). Z rysunku jasno wynika, że ​​dla dowolnego wyboru wartości dodatnich A I B będzie S 1 + S 2 > ok. Obliczmy pole S 1 I S2:

Zatem nierówność liczbowa jest prawdziwa

Zamieniam tutaj A NA |a k | I B NA |b k | i podsumowując k od 1 do N, otrzymujemy, biorąc pod uwagę (15) i (16),

Udowodniono nierówność (17), a co za tym idzie, nierówność ogólną (14).

Na p = 2 Nierówność Höldera (14) zamienia się w nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego (4).

Przejdźmy teraz do dowodu nierówności Minkowskiego. Aby to zrobić, rozważ tożsamość

Zastąpienie w pisemnej tożsamości A NA k I B NA b k i podsumowując k z 1 Do N dostajemy

Zastosuj teraz nierówność Höldera do każdej z dwóch sum po prawej stronie i uwzględnij to (p - 1)q = p, otrzymujemy x(t), otrzymujemy

Tym samym udowodniono, że wzór (18), określający odległość w l s naprawdę ma sens dla każdego. Jednocześnie nierówność (19) pokazuje, że w l s aksjomat trójkąta jest spełniony. Pozostałe aksjomaty są oczywiste.

Poniższa technika zapewnia nieograniczoną liczbę dalszych przykładów. Pozwalać R = (X, ρ)- przestrzeń metryczna i M- dowolny podzbiór w X. Następnie M z tą samą funkcją ρ(x, y), które obecnie uważamy za zdefiniowane X I Na z M, jest także przestrzenią metryczną; nazywa się to podprzestrzenią przestrzeni R.

Co to jest metryka? Do czego się go używa? Czy jest to pole fizyczne?

Metryka w naszych czasach jest ściśle związana z teorią grawitacji, dzięki pracom Hilberta i Einsteina wraz z Grossmanem. Jednak w matematyce wprowadzono go na długo przed tym. Jeśli się nie mylę, jednymi z pierwszych, którzy użyli tego słowa wyraźnie w taki czy inny sposób, byli Riemann i Gauss. Najpierw spróbujemy zrozumieć jej rolę w geometrii, a dopiero potem zobaczymy, jak metryka stała się główną strukturą GTR, Ogólnej Teorii Względności.

Obecnie istnieje dość szczegółowa i jasna definicja przestrzeni metrycznych widok ogólny:

Przestrzeń metryczna („wyposażona w metrykę”) w matematyce to przestrzeń, w której dla dowolnych dwóch jej uporządkowanych punktów (to znaczy jednego z nich nazywa się pierwszym, a drugiego drugim) jest liczbą rzeczywistą zdefiniowany tak, że jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy punkty pokrywają się i spełniona jest nierówność „trójkąta” - dla dowolnych trzech punktów (x,y,z) liczba ta dla dowolnej pary (x,y) wynosi równa lub mniejsza od sumy tych liczb dla pozostałych dwóch par (x,z) i (y,z). Z definicji wynika także, że liczba ta nie jest ujemna i nie zmienia się (metryka jest symetryczna), gdy zmienia się kolejność punktów w parze.

Jak zwykle, gdy tylko coś zostanie zdefiniowane, definicja ta zostaje rozszerzona, a nazwa rozszerzona na inne, podobne przestrzenie. Więc to jest tutaj. Na przykład, ściśle formalnie nie będzie metryczna zgodnie z definicją podaną powyżej, ponieważ w nich liczba „metryczna”, czyli przedział, może wynosić zero dla dwóch różnych punktów, a jej kwadrat może być również ujemną liczbą rzeczywistą. Jednak niemal od samego początku zaliczane są one do rodziny przestrzeni metrycznych, po prostu usunięcie odpowiedniego wymagania w definicji, rozszerzenie definicji.

Ponadto metrykę można również wyznaczyć nie dla wszystkich punktów w przestrzeni, ale tylko dla nieskończenie bliskich (lokalnie). Przestrzenie takie nazywane są riemannowskimi, a w życiu codziennym nazywane są także metrycznymi. Ponadto, To właśnie przestrzenie riemannowskie uczyniły metrykę tak sławną i przyciągającą uwagę zarówno matematyków, jak i fizyków, a znaną nawet wielu osobom mającym niewielki związek z tymi naukami.

Ostatecznie omówimy tutaj metrykę w odniesieniu konkretnie do przestrzeni Riemanna, tj. w sensie lokalnym. A nawet lokalnie sygnałowo nieokreślony.

Formalna definicja matematyczna i jej rozszerzenia są wynikiem zrozumienia i wyjaśnienia pojęcia metryki. Zobaczmy, skąd wyrosła ta koncepcja i jakie ma właściwości prawdziwy świat oryginalnie był podłączony.

Cała geometria powstała z koncepcji, które zostały pierwotnie sformalizowane przez Euklidesa. Podobnie jest z metryką. W geometrii euklidesowej (dla uproszczenia i przejrzystości będziemy mówić o geometrii dwuwymiarowej, a co za tym idzie o geometrii płaszczyzny) istnieje pojęcie odległości między dwoma punktami. Bardzo często, nawet teraz, metryka nazywa się odległością. Ponieważ dla płaszczyzny euklidesowej odległość jest metryką, a metryka jest odległością. I dokładnie tak to zostało pomyślane na samym początku. Choć, jak postaram się wykazać, do nowoczesna koncepcja Dotyczy to metryk jedynie w bardzo ograniczonym sensie, z wieloma zastrzeżeniami i warunkami.

Odległość na płaszczyźnie euklidesowej (na kartce papieru) wydaje się rzeczą niezwykle prostą i oczywistą. Rzeczywiście, za pomocą linijki możesz narysować linię prostą pomiędzy dowolnymi dwoma punktami i zmierzyć jej długość. Wynikowa liczba będzie odległością. Biorąc trzeci punkt, możesz narysować trójkąt i upewnić się, że odległość ta (dla dowolnych dwóch punktów na płaszczyźnie) dokładnie spełnia powyższą definicję. Właściwie definicję skopiowano jeden do jednego z właściwości odległości euklidesowej na płaszczyźnie. A słowo „metryka” początkowo kojarzy się z pomiarem (za pomocą miernika), „metryzacją” płaszczyzny.

Dlaczego trzeba było mierzyć odległości, dokonywać właśnie tej metryzacji płaszczyzny? No dobrze, ale po co mierzą odległości? prawdziwe życie Pewnie każdy ma swój pomysł. A w geometrii naprawdę zaczęli o tym myśleć, kiedy wprowadzili współrzędne, aby opisać każdy punkt płaszczyzny oddzielnie i jednoznacznie od innych. Układ współrzędnych na płaszczyźnie będzie z pewnością bardziej skomplikowany niż tylko odległość między dwoma punktami. Oto początek i osie współrzędnych oraz odległości (jak możemy się bez nich obejść?) od początku do rzutów punktu na oś. Wydaje się jasne, dlaczego potrzebny jest układ współrzędnych - jest to ciągła siatka linii prostopadłych do siebie (jeśli współrzędne są kartezjańskie), całkowicie wypełniająca płaszczyznę, a tym samym rozwiązywanie problemów adresy dowolnego punktu na nim.

Okazuje się, że metryką jest odległość, a współrzędne odległości. Czy jest różnica? Wprowadzono współrzędne. Dlaczego więc metryka? Jest różnica i to bardzo znacząca. Wybór układów współrzędnych implikuje pewną swobodę. W Systemy kartezjańskie używamy linii prostych jako osi. Ale możemy też używać krzywych? Móc. I wszelkiego rodzaju krętych. Czy możemy mierzyć odległość wzdłuż takich linii? Z pewnością. Pomiar odległości i długości wzdłuż linii nie jest powiązany z rodzajem linii. Zakrzywiona ścieżka ma również swoją długość i można na niej umieścić słupki milowe. Ale metryka w przestrzeni euklidesowej nie jest dowolną odległością. Jest to długość linii prostej łączącej dwa punkty. Bezpośredni. Co to jest? Która linia jest prosta, a która zakrzywiona? Na lekcjach szkolnych linie proste są aksjomatem. Widzimy je i mamy pomysł. Ale w ogólnej geometrii linie proste (sama w sobie jest to nazwa, etykieta, nic więcej!) można zdefiniować jako jakieś specjalne linie spośród wszystkich możliwych, łączące dwa punkty. Mianowicie jako najkrótszy, mający najkrótszą długość. (I odwrotnie, w niektórych przypadkach dla niektórych przestrzeni matematycznych najdłuższa, mająca największą długość.) Wydaje się, że zrozumieliśmy różnicę między metryką a dowolną odległością między dwoma punktami. Bynajmniej. Wybraliśmy złą drogę. Tak, zgadza się, linie proste są najkrótsze w przestrzeni euklidesowej. Ale metryką nie jest tylko długość najkrótszej ścieżki. NIE. To jest jego własność wtórna. W przestrzeni euklidesowej metryką jest nie tylko odległość między dwoma punktami. Metryka jest przede wszystkim obrazem twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie, które pozwala obliczyć odległość między dwoma punktami, jeśli znasz ich współrzędne i dwie inne odległości. Co więcej, oblicza się go bardzo szczegółowo, jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów odległości współrzędnych. Metryka euklidesowa nie jest liniową formą odległości współrzędnych, ale kwadratową! Dopiero specyficzne właściwości płaszczyzny euklidesowej sprawiają, że powiązanie metryki z najkrótszymi drogami łączącymi punkty jest tak proste. Odległości są zawsze liniowymi funkcjami przemieszczenia wzdłuż ścieżki. Metryka jest funkcją kwadratową tych przemieszczeń. I tu leży zasadnicza różnica pomiędzy metryką a intuicyjnie rozumianą odległością, jako liniową funkcją przemieszczenia od punktu. Co więcej, dla nas ogólnie odległość jest bezpośrednio związana z samym przemieszczeniem.

Dlaczego, do cholery, funkcja przemieszczenia kwadratowego jest tak ważna? I czy rzeczywiście ma prawo nazywać się dystansem pod każdym względem to słowo? A może jest to raczej specyficzna właściwość tylko przestrzeni euklidesowej (no cóż, lub jakiejś rodziny przestrzeni bliskich euklidesowej)?

Odejdźmy na bok i porozmawiajmy bardziej szczegółowo o właściwościach jednostek miary. Zadajmy sobie pytanie: jakie powinny być linijki, aby móc nanieść siatkę współrzędnych na kartkę papieru? Solidny, twardy i niezmienny, mówisz. A dlaczego „władcy”? Jeden wystarczy! To prawda, jeśli można go dowolnie obracać w płaszczyźnie papieru i przesuwać wzdłuż niego. Czy zauważyłeś to „jeśli”? Tak, mamy możliwość zastosowania takiej linijki w odniesieniu do płaszczyzny. Władca jest sam, płaszczyzna jest sama, ale płaszczyzna pozwala nam „przyczepić” do siebie naszego władcę. A co z powierzchnią kulistą? Nieważne jak go nałożysz, wszystko wystaje poza powierzchnię. Chcę go po prostu zgiąć, zrezygnować z twardości i sztywności. Zostawmy na razie ten tok myślenia. Czego chcieć więcej od tej linii? Twardość i sztywność tak naprawdę implikują coś innego, znacznie ważniejszego dla nas podczas dokonywania pomiarów - gwarancję niezmienności wybranej linijki. Chcemy mierzyć tą samą skalą. Dlaczego jest to konieczne? Jak dlaczego?! Aby móc porównać wyniki pomiarów w każdym miejscu na płaszczyźnie. Nieważne jak obrócimy linijkę, nieważne jak ją przesuniemy, niektóre jej właściwości, np. długość, muszą pozostać niezmienione. Długość to odległość pomiędzy dwoma punktami (w linii prostej) na linijce. Bardzo podobny do metrycznego. Ale metryka jest wprowadzana (lub istnieje) na płaszczyźnie, dla punktów na płaszczyźnie i co ma z tym wspólnego linijka? I pomimo tego metryka to dokładnie obraz stałej długości abstrakcyjnej linijki doprowadzonej do logicznego zakończenia, oderwanej od najbardziej zewnętrznej linijki i przypisanej do każdego punktu płaszczyzny.

Chociaż nasze linijki są zawsze obiektami zewnętrznymi ze względu na odległości, które mierzą na płaszczyźnie, myślimy o nich również jako o wewnętrznych skalach należących do płaszczyzny. W konsekwencji mówimy o ogólnej właściwości władców zewnętrznych i wewnętrznych. I ta właściwość jest jedną z dwóch głównych - wielkość, co czyni skalę jednostką miary (druga właściwość skali to kierunek). Dla przestrzeni euklidesowej właściwość ta wydaje się niezależna od kierunku linijki i jej położenia (od punktu w przestrzeni). Niezależność tę można wyrazić na dwa sposoby. Pierwsza metoda, pasywne spojrzenie na rzeczy, mówi o niezmienności wielkości, jej niezmienności przy arbitralnym wyborze dopuszczalnych współrzędnych. Druga metoda, spojrzenie aktywne, mówi o niezmienności podczas translacji i rotacji, w wyniku wyraźnego przejścia z punktu do punktu. Metody te nie są sobie równoważne. Pierwsza to po prostu sformalizowanie stwierdzenia, że ​​ilość istniejąca w danym miejscu (punkcie) jest taka sama niezależnie od punktu widzenia. Drugi stwierdza również, że wartości wielkości w różnych punktach są takie same. Oczywiście jest to znacznie mocniejsze stwierdzenie.

Zatrzymajmy się na razie nad niezmiennością wartości skali dla dowolnego wyboru współrzędnych. Ups! Jak to jest? Aby przypisać współrzędne do punktów trzeba już mieć skalę. Te. właśnie ta linia. Jakie są inne współrzędne? Inne linie? Faktycznie, dokładnie tak jest! Ale! Fakt, że na płaszczyźnie euklidesowej możemy obracać linijkę w dowolnym miejscu, stwarza wrażenie, że współrzędne można zmieniać bez zmiany linijki. To iluzja, ale taka przyjemna iluzja! Jakże jesteśmy do tego przyzwyczajeni! Zawsze mówimy – obrócony układ współrzędnych. Iluzja ta opiera się na pewnej postulowanej właściwości skali na płaszczyźnie euklidesowej - niezmienności jej „długości” przy dowolnym obrocie w punkcie, tj. z dowolną zmianą drugiej właściwości skali, kierunku. I ta właściwość ma miejsce w dowolnym punkcie płaszczyzny euklidesowej. Skala wszędzie ma „długość”, która nie zależy od lokalnego wyboru kierunków osi współrzędnych. Jest to postulat przestrzeni euklidesowej. A jak określić tę długość? W układzie współrzędnych, w którym wybrana skala jest jednostką miary wzdłuż jednej z osi, definiujemy ją bardzo prosto – jest to ta sama jednostka. A w układzie współrzędnych (prostokątnym), w którym wybrana skala nie pokrywa się z żadną z osi? Korzystanie z twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenia są twierdzeniami, ale jest tu małe oszustwo. W istocie twierdzenie to powinno zastąpić część aksjomatów sformułowanych przez Euklidesa. Jest im równa. A przy dalszym uogólnianiu geometrii (na przykład dla dowolnych powierzchni) polegają właśnie na metodzie obliczania długości skali. W istocie metodę tę spycha się do kategorii aksjomatów.

Powtórzmy teraz coś, co leży u podstaw geometrii, co pozwala nam przypisać współrzędne punktom na płaszczyźnie.

Mówimy o jednostce miary, skali. Skala istnieje w każdym punkcie. Ma wielkość – „długość” i kierunek. Długość jest niezmienna (nie zmienia się), gdy zmienia się kierunek w punkcie. We współrzędnych prostokątnych w przestrzeni euklidesowej kwadrat długości skali skierowanej dowolnie od punktu jest równy sumie kwadratów jej rzutów na osie. Ta wielkość geometryczna nazywana jest także wektorem. Zatem skala jest wektorem. A „długość” wektora nazywana jest również normą. Cienki. Ale gdzie tu jest metryka? A metryka z takim podejściem tak jest sposób na przypisanie normy do dowolnego wektora w każdym punkcie, sposób obliczania tej normy dla dowolnego położenia tego wektora względem wektorów tworzących bazę, punkt odniesienia(te, które wyznaczają kierunki osi współrzędnych od danego punktu i mają z definicji normę jednostkową, czyli jednostki miary). Bardzo ważne jest, aby metoda ta była zdefiniowana dla każdego punktu w przestrzeni (płaszczyzny w w tym przypadku). Jest więc własnością tej przestrzeni i jej wektorów wewnętrznych, a nie obiektów zewnętrznych względem przestrzeni.

Przepraszam, ale już na samym początku podaliśmy definicję przestrzeni metrycznych. Dlaczego nowa definicja? I czy zgadza się ze starym? Ale dlaczego. Tutaj wskazaliśmy, jak dokładnie ustala się i wyznacza tę liczbę rzeczywistą. Mianowicie odległość między punktami jest równa „długości”, normie wektora łączącego te punkty (w przestrzeni euklidesowej). To, że wektor ma pewną normę, niezależną od punktu widzenia na niego (wyboru punktu odniesienia), jest definicją wektora. Najważniejszym warunkiem tworzącym metrykę przestrzeni jest wymóg, aby wektory o danej normie istniały w każdym punkcie przestrzeni we wszystkich kierunkach. I ta definicja jest całkiem zgodna z tą podaną na samym początku. Czy można inaczej zdefiniować metrykę na określonej przestrzeni? W zasadzie jest to możliwe. A nawet na wiele sposobów. Tylko będą to zupełnie inne klasy przestrzeni, które nawet w szczególnym przypadku nie uwzględniają przestrzeni euklidesowej.

Dlaczego przestrzeń euklidesowa jest dla nas wyjątkowa? Jak to jest? Na pierwszy rzut oka sama przestrzeń, w której żyjemy, ma właśnie te właściwości. Tak, po bliższym przyjrzeniu się, niezupełnie tak. Ale jest różnica między „niezupełnie tak” a „zupełnie tak”?! Chociaż zestaw słów wydaje się być taki sam. Zatem nasza czasoprzestrzeń, jeśli nie euklidesowa, to w pewnych warunkach może być do niej bardzo zbliżona. W konsekwencji musimy wybierać z rodziny przestrzeni, w których istnieje przestrzeń euklidesowa. To właśnie robimy. Ale co jest takiego specjalnego w przestrzeni euklidesowej, co wyraża się w pewnych właściwościach jej metryki? Właściwości jest całkiem sporo, większość z nich została już wspomniana powyżej. Spróbuję sformułować tę cechę dość zwięźle. Przestrzeń euklidesowa jest taka, że ​​istnieje możliwość doboru skal (czyli wprowadzenia współrzędnych) tak, aby była całkowicie wypełniona prostokątną siatką współrzędnych. Być może dzieje się tak, gdy metryka w każdym punkcie przestrzeni jest taka sama. Zasadniczo oznacza to, że wymagane do tego skale istnieją w każdym punkcie przestrzeni i wszystkie są identyczne. Na całą przestrzeń wystarczy jedna linijka, którą można przesunąć w dowolne miejsce (w sensie aktywnym) bez zmiany zarówno jej wielkości, jak i kierunku.

Powyżej zadałem pytanie, dlaczego metryka jest funkcją kwadratową przemieszczenia. Na razie pozostaje bez odpowiedzi. Na pewno jeszcze do tego wrócimy. Teraz zanotuj sobie na przyszłość - metryka w rodzinie przestrzeni, której potrzebujemy, jest wielkością niezmienną przy przekształceniach współrzędnych. Mówiliśmy już o współrzędnych kartezjańskich, ale od razu tutaj podkreślę, że dotyczy to wszelkich przekształceń współrzędnych, które są dopuszczalne w danym punkcie danej przestrzeni. Wielkość, która jest niezmienna (nie zmienia się) podczas transformacji współrzędnych, ma w geometrii inną specjalną nazwę – skalar. Spójrz, ile jest nazw na tę samą rzecz - stała, niezmienna, skalarna... Może jest coś jeszcze, nie przychodzi mi to od razu na myśl. To świadczy o wadze samej koncepcji. Zatem metryka jest w pewnym sensie skalarem. Oczywiście w geometrii istnieją inne skalary.

Dlaczego w „w pewnym sensie”? Ponieważ pojęcie metryki obejmuje dwa punkty, a nie jeden! Wektor jest połączony (zdefiniowany) tylko z jednym punktem. Okazuje się, że wprowadziłem Cię w błąd? Nie, po prostu nie powiedziałem wszystkiego, co trzeba. Trzeba jednak powiedzieć, że metryka nie jest normą dowolnego wektora, ale jedynie wektora nieskończenie małego przemieszczenia z danego punktu w dowolnym kierunku. Gdy norma ta nie zależy od kierunku przemieszczenia od punktu, wówczas jej wartość skalarną można uznać za właściwość tylko tego jednego punktu. Jednocześnie nadal pozostaje zasadą obliczania normy dla dowolnego innego wektora. Tak.

Coś się nie zgadza... Normy są różne dla różnych wektorów! A metryka jest skalarna, wartość jest taka sama. Sprzeczność!

Nie ma sprzeczności. Powiedziałem jasno – zasada kalkulacji. Dla wszystkich wektorów. A sama konkretna wartość, zwana także metryką, jest obliczana zgodnie z tą zasadą tylko dla jednego wektora, czyli przemieszczenia. Nasz język jest przyzwyczajony do swobód, przeoczeń, skrótów... Przyzwyczailiśmy się więc nazywać metryką zarówno skalar, jak i zasadę jego obliczania. Właściwie to prawie to samo. Prawie, ale nie do końca. Nadal ważne jest, aby zobaczyć różnicę między regułą a wynikiem uzyskanym za jej pomocą. Co jest ważniejsze – reguła czy wynik? Co dziwne, w tym przypadku reguła... Dlatego znacznie częściej w geometrii i fizyce, gdy mówią o metryce, mają na myśli regułę. Tylko bardzo uparci matematycy wolą mówić ściśle o wyniku. I są ku temu powody, ale o nich gdzie indziej.

Chciałbym również zauważyć, że w bardziej typowy sposób prezentacji, gdy za podstawę przyjmuje się koncepcje przestrzenie wektorowe metryka jest wprowadzana jako iloczyn skalarny parami wszystkich wektorów bazowych i odniesienia. W takim przypadku iloczyn skalarny wektorów należy wcześniej zdefiniować. I na ścieżce, którą tu podążałem, obecność tensora metrycznego w przestrzeni pozwala nam wprowadzić i zdefiniować iloczyn skalarny wektorów. Tutaj metryka jest pierwotna, jej obecność pozwala nam wprowadzić iloczyn skalarny jako rodzaj niezmiennika łączącego dwa różne wektory. Jeśli skalar jest obliczany przy użyciu metryki tego samego wektora, jest to po prostu jego norma. Jeśli ten skalar zostanie obliczony dla dwóch różnych wektorów, to jest to ich iloczyn skalarny. Jeśli jest to również norma nieskończenie małego wektora, wówczas całkiem dopuszczalne jest nazwanie tego po prostu metryką w danym punkcie.

A co z reguły możemy powiedzieć o metryce? Tutaj będziemy musieli użyć formuł. Niech współrzędne wzdłuż numeru osi i będą oznaczone jako x i. Oraz przemieszczenie z danego punktu do sąsiedniego dx i. Należy pamiętać, że współrzędne nie są wektorem! A przemieszczenie jest tylko wektorem! W takim zapisie metryczna „odległość” danego punktu od punktu sąsiedniego, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, będzie obliczana ze wzoru

ds 2 = g ik dx ja dx k

Po lewej stronie znajduje się kwadrat metrycznej „odległości” między punktami, odległość „współrzędnych” (to znaczy wzdłuż każdej pojedynczej linii współrzędnych), pomiędzy którymi jest określona przez wektor przemieszczenia dx i . Po prawej stronie znajduje się suma pokrywających się wskaźników wszystkich iloczynów par składników wektora przemieszczenia z odpowiednimi współczynnikami. Oraz ich tabela, macierz współczynników g ik, która ustala regułę obliczeń norma metryczna, nazywany jest tensorem metrycznym. I to właśnie ten tensor w większości przypadków nazywany jest metryką. Określenie „” jest tutaj niezwykle istotne. A to oznacza, że ​​w innym układzie współrzędnych zapisany powyżej wzór będzie taki sam, tylko w tabeli będą znajdować się inne (w ogólnym przypadku) współczynniki, które są obliczane w ściśle określony sposób poprzez te i współczynniki konwersji współrzędnych. Przestrzeń euklidesowa charakteryzuje się tym, że we współrzędnych kartezjańskich postać tego tensora jest niezwykle prosta i taka sama w dowolnych współrzędnych kartezjańskich. Macierz g ik zawiera na przekątnej tylko jedynki (dla i=k), a pozostałe liczby są zerami. Jeśli w przestrzeni euklidesowej zastosuje się współrzędne niekartezjańskie, wówczas macierz nie będzie w nich wyglądać tak prosto.

Zapisaliśmy więc regułę określającą metryczną „odległość” między dwoma punktami w przestrzeni euklidesowej. Reguła ta jest zapisana dla dwóch dowolnie bliskich sobie punktów. W przestrzeni euklidesowej, tj. w takim, w którym tensor metryczny może być ukośny z jednostkami na przekątnej w pewnym układzie współrzędnych w każdym punkcie, nie ma zasadniczej różnicy między wektorami przemieszczenia skończonego i nieskończenie małego. Nas jednak bardziej interesuje przypadek przestrzeni Riemanna (takich jak na przykład powierzchnia kuli), gdzie różnica ta jest znacząca. Zakładamy zatem, że tensor metryczny na ogół nie jest diagonalny i zmienia się podczas przemieszczania się z punktu do punktu w przestrzeni. Jednak wynik jego zastosowania, ds 2, pozostaje w każdym punkcie niezależny od wyboru kierunku przemieszczenia i samego punktu. Jest to warunek bardzo rygorystyczny (mniej rygorystyczny niż warunek euklidesowy) i dopiero po jego spełnieniu przestrzeń nazywa się riemannowską.

Pewnie zauważyłeś, że bardzo często słowa „długość” i odległość biorę w cudzysłów. Dlatego to robię. W przypadku płaszczyzny i trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej metryczne „odległość” i „długość” okazują się dokładnie takie same, jak zwykłe odległości mierzone za pomocą linijek. Ponadto pojęcia te wprowadzono w celu sformalizowania pracy z wynikami pomiarów. Dlaczego więc „wydają się pokrywać”? To zabawne, ale dokładnie tak było, gdy matematycy wraz z brudną (nie potrzebną) wodą wyrzucili dziecko z wanny. Nie, coś zostawili, ale to, co zostało, przestało być dzieckiem (dystans). Łatwo to zobaczyć nawet na przykładzie płaszczyzny euklidesowej.

Przypomnę, że metryczna „odległość” nie zależy od wyboru współrzędnych kartezjańskich (i nie tylko) powiedzmy na kartce papieru. Niech w niektórych współrzędnych odległość między dwoma punktami na osi współrzędnych będzie równa 10. Czy można wskazać inne współrzędne, w których odległość między tymi samymi punktami będzie równa 1? Bez problemu. Po prostu narysuj jako jednostkę wzdłuż tych samych osi nową jednostkę równą 10 poprzednim. Czy z tego powodu przestrzeń euklidesowa uległa zmianie? O co chodzi? Ale faktem jest, że kiedy coś mierzymy, nie wystarczy, że znamy liczbę. Musimy także wiedzieć, w jakich jednostkach uzyskano tę liczbę. Matematyka w znanej dziś wszystkim formie nie jest tym zainteresowana. Zajmuje się wyłącznie liczbami. Wybór jednostek miary został dokonany przed zastosowaniem matematyki i nie powinien się już zmieniać! Ale nasze odległości i długości bez wskazania skali nic nam nie mówią! Matematyki to nie obchodzi. Jeśli chodzi o metryczną „odległość”, jej formalne zastosowanie jest obojętne na wybór skali. Nawet metry, a nawet sążnie. Liczą się tylko liczby. Dlatego umieściłem cudzysłów. Czy wiesz który? efekt uboczny ma takie podejście w matematyce przestrzeni Riemanna? Oto, co to jest. Nie ma sensu rozważać zmiany skali z punktu na punkt. Tylko zmiana jego kierunku. I to pomimo tego, że zmiana skali za pomocą przekształceń współrzędnych w takiej geometrii jest rzeczą całkiem zwyczajną. Czy można włączyć do geometrii spójne uwzględnienie całości właściwości skal? Móc. Tylko Aby to zrobić, będziesz musiał pozbyć się wielu konwencji i nauczyć się nazywać rzeczy po imieniu. Jednym z pierwszych kroków będzie uświadomienie sobie faktu, że żadna metryka nie jest w istocie odległością i nie może nią być. Na pewno jakieś ma znaczenie fizyczne i przy tym bardzo ważny. Ale inny.

W fizyce uwagę na rolę metryki zwróciło pojawienie się teorii względności – najpierw specjalnej, potem ogólnej, w której metryka stała się centralną strukturą teorii. Szczególna Teoria Względności powstała na podstawie faktu, że trójwymiarowa odległość nie jest skalarem z punktu widzenia zbioru inercjalnych fizycznych układów odniesienia poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Inną wielkością okazał się skalar, niezmiennik, który nazwano przedziałem. Odstęp między zdarzeniami. Aby obliczyć jego wartość, należy wziąć pod uwagę odstęp czasu między tymi zdarzeniami. Co więcej, okazało się, że zasada obliczania metryki (a przedział od razu zaczęto uważać za metrykę w zunifikowanej czasoprzestrzeni, przestrzeni zdarzeń) różni się od zwykłej zasady euklidesowej w przestrzeń trójwymiarowa. Podobne, ale trochę inne. Wprowadzono odpowiednią przestrzeń metryczną czterech wymiarów Hermana Minkowskiego, zaczęto nazywać. To właśnie praca Minkowskiego zwróciła uwagę fizyków, w tym Einsteina, na znaczenie pojęcia metryki jako wielkości fizycznej, a nie tylko matematycznej.

Ogólna teoria względności uwzględniała także fizyczne układy odniesienia przyspieszane względem siebie. I w ten sposób udało jej się dać opis zjawisk grawitacyjnych na nowym poziomie w stosunku do teorii Newtona. Udało jej się to osiągnąć, nadając znaczenie polu fizycznemu, konkretnie metryce – zarówno wartości, jak i regule, tensorowi metryki. Jednocześnie wykorzystuje matematyczną konstrukcję przestrzeni Riemanna jako obrazu czasoprzestrzeni. Nie będziemy zagłębiać się w szczegóły tej teorii. Teoria ta głosi między innymi, że świat (czasoprzestrzeń), w którym znajdują się ciała masywne, czyli ciała przyciągające się, ma inną metrykę niż tak przyjemna dla nas metryka euklidesowa. Wszystkie poniższe stwierdzenia są równoważne:

Oświadczenie fizyczne. Ciała punktowe posiadające masę przyciągają się wzajemnie.

W czasoprzestrzeni, w której znajdują się masywne ciała, nie da się wszędzie wprowadzić sztywnej prostokątnej siatki. Nie ma przyrządów pomiarowych, które by to umożliwiały. Zawsze, niezależnie od wielkości, „komórki” powstałej siatki będą zakrzywionymi czworokątami.

Można wybrać skalę o tej samej wartości (norma) dla całej czasoprzestrzeni. Każdą taką skalę można przenieść z jej punktu do dowolnego innego punktu i porównać z tym, co już tam istnieje. ALE! Nawet jeśli przemieszczenie jest nieskończenie małe, kierunki porównywanych skal na ogół nie będą się pokrywać. Im silniejsza, tym skala jest bliżej ciała z masą i im większa jest ta sama masa. Dopiero tam, gdzie nie ma mas (chociaż tu jest pytanie – a co z samymi łuskami?) kierunki się zbiegną.

W obszarze czasoprzestrzeni zawierającym ciała masywne nie ma takiego układu współrzędnych, w którym tensor metryczny w każdym punkcie jest reprezentowany przez macierz, która wszędzie wynosi zero, z wyjątkiem przekątnej, na której te jedynki się znajdują.

Różnica między metryką a euklidesową jest przejawem obecności pola grawitacyjnego (pola grawitacyjnego). Ponadto polem tensora metrycznego jest pole grawitacyjne.

Podobnych stwierdzeń można by przytaczać jeszcze wiele, ale teraz chciałbym zwrócić Państwa uwagę na to ostatnie. Krzywizna. To coś, o czym jeszcze nie rozmawialiśmy. Co to ma wspólnego z metrykami? W zasadzie - żadne! jest pojęciem bardziej ogólnym niż metryka. W jakim sensie?

Rodzina przestrzeni riemannowskich, która obejmuje także przestrzenie euklidesowe, sama jest częścią bardziej ogólnej rodziny. Przestrzenie te, ogólnie rzecz biorąc, nie implikują istnienia takiej wielkości jako metryki dla każdej z jej par punktów. Ale ich niezbędną właściwością jest istnienie dwóch innych powiązanych ze sobą struktur - połączenia afinicznego i krzywizny. I tylko pod pewnymi warunkami dotyczącymi krzywizny (lub łączności) metryka istnieje w takich przestrzeniach. Wtedy przestrzenie te nazywane są riemannowskimi. Każda przestrzeń riemannowska ma łączność i krzywiznę. Ale nie odwrotnie.

Nie można jednak powiedzieć, że metryka jest drugorzędna w stosunku do łączności lub krzywizny. NIE. Istnienie metryki jest stwierdzeniem pewnych właściwości łączności, a zatem krzywizny. W standardowej interpretacji ogólnej teorii względności metryka jest uważana za ważniejszą strukturę, która tworzy formę teorii. A połączenie afiniczne i krzywizna okazują się drugorzędne, wywodzące się z metryki. Interpretację tę sformułował Einstein w czasie, gdy matematyka nie wypracowała jeszcze dostatecznie zaawansowanego i spójnego zrozumienia hierarchii ważności struktur wyznaczających właściwości rodziny przestrzeni prowadzących do przestrzeni euklidesowych. Po stworzeniu aparatu GTR, głównie dzięki pracom Weyla i Schoutena (oczywiście nie tylko ich), rozwinęła się matematyka przestrzeni połączeń afinicznych. W rzeczywistości prace te były stymulowane pojawieniem się Ogólnej Teorii Względności. Jak widać, kanoniczna interpretacja znaczenia struktur w ogólnej teorii względności nie pokrywa się z obecnym poglądem matematyki na ich związek. Ta kanoniczna interpretacja to nic innego jak utożsamienie pewnych struktur matematycznych z polami fizycznymi. Nadanie im fizycznego znaczenia.

W ogólnej teorii względności istnieją dwa plany opisu czasoprzestrzeni. Pierwszą z nich jest sama czasoprzestrzeń jako przestrzeń zdarzeń. Zdarzenia, które w sposób ciągły wypełniają dowolny obszar czasoprzestrzeni, charakteryzują się czterema współrzędnymi. Dlatego zakłada się, że wprowadzone zostały układy współrzędnych. Już sama nazwa teorii skupia uwagę właśnie na tym - prawa natury zachodzące w takiej czasoprzestrzeni muszą być formułowane identycznie w odniesieniu do każdego dopuszczalnego układu współrzędnych. Wymóg ten nazywany jest zasadą ogólnej teorii względności. Należy zauważyć, że ten plan teorii nie mówi jeszcze nic o obecności lub braku metryki w czasoprzestrzeni, ale już daje podstawę do istnienia w niej połączenia afinicznego (wraz z krzywizną i innymi pochodnymi strukturami matematycznymi). Naturalnie już na tym poziomie istnieje potrzeba nadania fizycznego znaczenia matematycznym przedmiotom teorii. Oto on. Punkt w czasoprzestrzeni przedstawia zdarzenie, charakteryzujące się z jednej strony położeniem i momentem czasu, z drugiej zaś czterema współrzędnymi. Coś dziwnego? Czy to nie to samo? Ale nie. W ogólnej teorii względności to nie to samo. Współrzędnych w najbardziej ogólnej postaci, dopuszczalnej w teorii, nie można interpretować jako pozycji i momentów czasu. Możliwość taką postuluje się jedynie dla bardzo ograniczonej grupy współrzędnych – lokalnie inercyjnych, które występują jedynie w sąsiedztwie każdego punktu, a nie w całym obszarze objętym ogólnym układem współrzędnych. To kolejny postulat teorii. To taka hybryda. Zauważę, że w tym miejscu pojawia się wiele problemów ogólnej teorii względności, ale nie będę się nimi teraz zajmować.

Za drugi plan teorii można uznać tę część jej postulatów, która uwzględnia zjawisko fizyczne w czasoprzestrzeni – grawitację, wzajemne przyciąganie się masywnych ciał. Twierdzi się, że to zjawisko fizyczne można w pewnych warunkach zniszczyć poprzez prosty wybór odpowiedniego układu odniesienia, czyli układu lokalnie inercyjnego. Dla wszystkich ciał, które mają to samo przyspieszenie (spadek swobodny) na skutek obecności w małym obszarze pola grawitacyjnego odległego masywnego ciała, pole to nie jest obserwowalne w pewnym układzie odniesienia. Formalnie na tym postulaty się kończą, ale w rzeczywistości główne równanie teorii wprowadzające metrykę do rozważań również odnosi się do postulatów, zarówno w ujęciu matematycznym, jak i fizycznym. Chociaż nie mam zamiaru wdawać się w szczegóły równania (właściwie układu równań), warto mieć je przed sobą:

R ik = -с (T ik – 1/2 T g ik)

Tutaj, po lewej stronie, znajduje się tak zwany tensor Ricciego, pewien splot (kombinacja składowych) tensora całkowitej krzywizny. Można to słusznie nazwać krzywizną. Po prawej stronie znajduje się konstrukcja tensora energii i pędu (wielkość czysto fizyczna w ogólnej teorii względności, osobliwa dla ciał masywnych i zewnętrzna w stosunku do czasoprzestrzeni, która w tej teorii jest po prostu nośnikiem pędu energii) oraz metryki, która zakłada się, że istnieje. Co więcej, metryka ta, jako wielkość skalarna wytwarzana przez tensor metryki, jest taka sama dla wszystkich punktów w regionie. Istnieje również stała wymiarowa c, proporcjonalna do stałej grawitacji. Z tego równania jasno wynika, że ​​w zasadzie krzywiznę porównuje się z energią pędu i metryką. Znaczenie fizyczne przypisuje się metryce w ogólnej teorii względności po uzyskaniu rozwiązania tych równań. Ponieważ w tym rozwiązaniu współczynniki metryczne są liniowo powiązane z potencjałem pola grawitacyjnego (obliczonym przez niego), znaczenie potencjałów tego pola przypisuje się tensorowi metrycznemu. Przy takim podejściu krzywizna powinna mieć podobne znaczenie. A połączenie afiniczne jest interpretowane jako siła pola. Ta interpretacja jest błędna; jej błąd wiąże się z opisanym powyżej paradoksem w interpretacji współrzędnych. Nie pozostaje to oczywiście niezauważone dla teorii i objawia się szeregiem dobrze znanych problemów (nielokalizacja energii pola grawitacyjnego, interpretacja osobliwości), które po prostu nie powstają przy nadawaniu wielkościom geometrycznym prawidłowych właściwości fizycznych oznaczający. Wszystko to zostało omówione bardziej szczegółowo w książce „”.

Jednak nawet w ogólnej teorii względności metryka nieuchronnie, oprócz sztucznie narzuconego jej znaczenia, ma jeszcze inne znaczenie fizyczne. Przypomnijmy, czym charakteryzuje się metryka w przypadku przestrzeni euklidesowej? Bardzo ważną rzeczą dla pomiarów w czasoprzestrzeni jest możliwość wprowadzenia w tej przestrzeni sztywnej prostokątnej siatki współrzędnych, która równomiernie wypełnia cały obszar. Siatka ta nazywana jest w fizyce inercjalnym układem odniesienia. Taki układ odniesienia (układ współrzędnych) odpowiada jednej i tylko jednej standardowej postaci tensora metrycznego. W układach odniesienia poruszających się dowolnie względem układu inercyjnego postać tensora metrycznego różni się od standardowej. Z fizycznego punktu widzenia rola „siatki odniesienia” jest dość przejrzysta. Jeżeli mamy sztywny układ odniesienia, którego każdy punkt wyposażony jest w ten sam zegar istniejący w czasie, to po prostu implementuje on taką siatkę. Dla pustej przestrzeni po prostu wymyślamy taki zbiór odniesienia, nadając jej (przestrzeni) dokładnie tę samą metrykę. W tym rozumieniu tensor metryczny, odmienny od standardowego tensora euklidesowego, mówi, że układ odniesienia (współrzędne) zbudowany jest z niesztywnego korpusu i być może zegar też biega inaczej w swoich punktach. Co przez to rozumiem? I co tensor metryczny jest matematycznym obrazem niektórych z najważniejszych dla nas właściwości układu odniesienia. Te właściwości, które bezwzględnie charakteryzują strukturę samego układu odniesienia, pozwalają określić, jak bardzo jest on „dobry”, jak bardzo różni się od ideału – układu inercjalnego. Zatem GTR używa tensora metrycznego właśnie jako takiego obrazu. Jak obraz przyrządów pomiarowych rozmieszczonych w obszarze odniesienia, ewentualnie zmieniających swoją orientację z punktu do punktu, ale mających wszędzie tę samą normę, wspólną dla wszystkich wektorów odniesienia. Metryka, uważana za skalar, jest tą normą, wielkością skali. Metryka jako tensor pozwala nam uwzględnić dowolny ruch względny względem siebie wszystkich skal tworzących zbiór odniesienia. Ogólna teoria względności opisuje sytuację, w której w czasoprzestrzeni możliwe jest posiadanie takiego punktu odniesienia, rzeczywistego lub wyimaginowanego.

Ten pogląd na metryki jest z pewnością słuszny. Co więcej, jest również produktywny, ponieważ od razu skupia uwagę na pozostałych umowach w GTR. Rzeczywiście, dopuściliśmy układy odniesienia, w których skale w różnych punktach mogą być zorientowane w różny sposób (w czterowymiarowym świecie orientacja obejmuje również ruch). I nadal żądamy, aby jakaś bezwzględna cecha skali, jej norma (przedział) pozostała taka sama. W związku z tym stwierdzenie Ogólnej Teorii Względności, jakoby uwzględniała ona wszystkie możliwe układy odniesienia, jest przesadzone. To nie jest taka ogólna teoria względności w tej teorii.

© Gavryusev V.G.
Materiały opublikowane w serwisie mogą być wykorzystywane z zastrzeżeniem zasad cytowania.