Idź do domu Liczba transcendentalna

- liczba zespolona, ​​która nie jest algebraiczna, to znaczy nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu o wymiernych współczynnikach.

Istnienie liczb przestępnych po raz pierwszy stwierdził J. Liouville w 1844 r.; Skonstruował także pierwsze przykłady takich liczb. Liouville zauważył, że liczb alebraicznych nie można „zbyt dobrze” przybliżyć liczbami wymiernymi. Mianowicie twierdzenie Liouville’a stwierdza, że ​​jeśli liczba algebraiczna jest pierwiastkiem wielomianu stopnia o współczynnikach wymiernych, to dla dowolnej liczby wymiernej zachodzi nierówność: gdzie stała zależy tylko od. Z tego stwierdzenia wynika wystarczające dowody

transcendencja: jeśli liczba jest taka, że ​​dla dowolnej stałej istnieje nieskończony zbiór liczb wymiernych spełniających nierówności

to jest transcendentalne. Następnie takie liczby nazwano liczbami Liouville'a. Przykładem takiej liczby jest

Kolejny dowód na istnienie liczb przestępnych uzyskał G. Cantor w 1874 r. na podstawie stworzonej przez siebie teorii mnogości. Cantor udowodnił, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny, a zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny, co oznacza, że ​​zbiór liczb przestępnych jest nieprzeliczalny. Jednakże w odróżnieniu od dowodu Liouville’a argumenty te nie pozwalają na podanie przykładu przynajmniej jednej takiej liczby.

Praca Liouville'a dała początek całemu działowi teorii liczb przestępnych - teorii aproksymacji liczb algebraicznych przez liczby wymierne lub, szerzej, algebraiczne. Twierdzenie Liouville'a zostało wzmocnione i uogólnione w pracach wielu matematyków. Umożliwiło to skonstruowanie nowych przykładów liczb przestępnych. Zatem K. Mahler pokazał, że jeśli jest to niestały wielomian, który przyjmuje nieujemne wartości całkowite dla wszystkich liczb naturalnych, to dla dowolnej liczby naturalnej, gdzie jest liczbą zapisaną w systemie liczb podstawowych, jest przestępna, ale jest nie jest to numer Liouville’a. Na przykład za pomocą i otrzymujemy następujący elegancki wynik: liczba

W 1873 r. C. Hermite, posługując się innymi pomysłami, udowodnił transcendencję liczby Nepera (podstawy logarytmu naturalnego):

Rozwijając idee Hermite’a, F. Lindemann w 1882 roku udowodnił transcendencję liczby, kładąc tym samym kres starożytnemu problemowi kwadratury koła: za pomocą kompasu i linijki nie da się zbudować kwadratu o jednakowej wielkości (tzn. mając ten sam obszar) do danego okręgu. Mówiąc bardziej ogólnie, Lindemann wykazał, że dla dowolnej liczby algebraicznej liczba jest przestępna. Równoważne sformułowanie: dla dowolnej liczby algebraicznej innej niż i jej logarytm naturalny jest liczbą przestępną.

W roku 1900 na Kongresie Matematyków w Paryżu D. Hilbert wśród 23 nierozwiązanych problemów matematycznych wskazał następujące, sformułowane w szczególnej formie przez L. Eulera:

Pozwalać I są liczbami algebraicznymi, oraz nadzmysłowy? W szczególności, czy liczby są transcendentalne? I?

Problem ten można przedstawić w następującej formie, zbliżonej do pierwotnego sformułowania Eulera:

Pozwalać I - liczby algebraiczne inne niż a ponadto stosunek ich logarytmów naturalnych irracjonalny. Czy będzie numer nadzmysłowy?

Pierwsze częściowe rozwiązanie problemu uzyskał w 1929 roku A. O. Gelfond, który w szczególności udowodnił transcendencję liczby. W 1930 roku R. O. Kuzmin udoskonalił metodę Gelfonda, w szczególności udało mu się udowodnić transcendencję liczby. Całkowite rozwiązanie problemu Eulera-Hilberta (w sensie twierdzącym) uzyskali w 1934 roku niezależnie A. O. Gelfond i T. Schneider.

A. Baker w 1966 r. uogólnił twierdzenia Lindemanna i Gelfonda-Schneidera, udowadniając w szczególności transcendencję iloczynu dowolnej skończonej liczby liczb w postaci i algebraicznych w warunkach naturalnych ograniczeń.

W 1996 r Yu.V. Nesterenko udowodnił algebraiczną niezależność wartości szeregu Eisensteina, a w szczególności liczb i. Oznacza to przekroczenie dowolnej liczby postaci, w której niezerowa funkcja wymierna ma współczynniki algebraiczne. Na przykład suma szeregu będzie przestępna

W latach 1929-1930 K. Mahler w szeregu prac zaproponował nową metodę dowodzenia transcendencji znaczeń funkcje analityczne, spełniające równania funkcyjne pewnego typu (później takie funkcje nazwano funkcjami Mahlera).

Metody teorii liczb przestępnych znalazły zastosowanie w innych gałęziach matematyki, w szczególności w teorii równań diofantyny.

co, gdy a = 1, posłużyło nam do wyznaczenia sumy postępu geometrycznego. Zakładając, że twierdzenie Gaussa zostało udowodnione, załóżmy, że a = a 1 jest pierwiastkiem równania (17), zatem

Odejmując to wyrażenie od f(x) i przestawiając wyrazy, otrzymujemy tożsamość

f(x) = f(x) - f(a1 ) = (xn - za n 1 ) + an-1 (xn-1 - za n 1 -1 ) + . . . + a1 (x - a1 ).

(21) Teraz korzystając ze wzoru (20) możemy wyizolować współczynnik x - a 1 z każdego wyrazu, a następnie wyjąć go z nawiasów, a stopień wielomianu pozostałego w nawiasach będzie o jeden mniejszy. Przegrupowując terminy ponownie, otrzymujemy tożsamość

f(x) = (x - a1 )g(x),

gdzie g(x) jest wielomianem stopnia n - 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(Nie jesteśmy tutaj zainteresowani obliczaniem współczynników oznaczonych przez b.) Zastosujmy to samo rozumowanie do wielomianu g(x). Z twierdzenia Gaussa wynika, że ​​istnieje pierwiastek a2 równania g(x) = 0, więc

g(x) = (x - a2 )h(x),

gdzie h(x) jest nowym wielomianem stopnia już n − 2. Powtarzając te argumenty n − 1 razy (co oznacza oczywiście zastosowanie zasady indukcji matematycznej), ostatecznie dochodzimy do rozwinięcia

Z tożsamości (22) wynika nie tylko, że liczby zespolone a1, a2,

An są pierwiastkami równania (17), ale także to równanie (17) nie ma innych pierwiastków. Rzeczywiście, gdyby liczba y była pierwiastkiem równania (17), to z (22) wynikałoby

f(y) = (y – a1 )(y – a2 ) . . . (y - an ) = 0.

Ale widzieliśmy (s. 115), że iloczyn liczb zespolonych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest równy zero. Zatem jeden z czynników y − ar jest równy 0, tj. y = ar i to należało ustalić.

§ 6.

1. Definicja i pytania o istnienie. Liczba algebraiczna to dowolna liczba x, rzeczywista lub urojona, spełniająca niektóre wymagania równanie algebraiczne Uprzejmy

130 MATEMATYCZNY UKŁAD NUMERYCZNY rozdz. II

gdzie liczby ai są liczbami całkowitymi. Na przykład liczba 2 jest algebraiczna, ponieważ spełnia równanie

x2 - 2 = 0.

W ten sam sposób liczbą algebraiczną jest dowolny pierwiastek dowolnego równania o współczynnikach całkowitych trzeciego, czwartego, piątego, dowolnego stopnia i niezależnie od tego, czy jest on wyrażony w pierwiastkach, czy nie. Pojęcie liczby algebraicznej jest naturalnym uogólnieniem pojęcia liczby wymiernej, co odpowiada szczególnemu przypadkowi n = 1.

Nie każda liczba rzeczywista jest algebraiczna. Wynika to z następującego twierdzenia Cantora: zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalny. Ponieważ zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny, muszą koniecznie istnieć liczby rzeczywiste, które nie są algebraiczne.

Wskażmy jedną z metod przeliczania zbioru liczb algebraicznych. Każde równanie postaci (1) jest powiązane z dodatnią liczbą całkowitą

h = |an | + |an-1 | + . . . + |a1 | + |a0 | + n,

które dla zwięzłości nazwiemy „wysokością” równania. Dla każdej ustalonej wartości n istnieje tylko skończona liczba równań postaci (1) o wysokości h. Każde z tych równań ma co najwyżej n pierwiastków. Dlatego może istnieć tylko skończona liczba liczb algebraicznych generowanych przez równania wysokości h; W konsekwencji wszystkie liczby algebraiczne można ułożyć w postaci ciągu, wymieniając najpierw liczby wygenerowane przez równania wysokości 1, potem te o wysokości 2 itd.

Dowód, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny, potwierdza istnienie liczb rzeczywistych, które nie są algebraiczne. Takie liczby nazywane są transcendentalnymi (od łacińskiego transcendere - przewyższać, przewyższać); Euler nadał im tę nazwę, ponieważ „przekraczają możliwości metod algebraicznych”.

Dowód Cantora na istnienie liczb przestępnych nie jest konstruktywny. Teoretycznie możliwe byłoby skonstruowanie liczby przestępnej za pomocą procedury diagonalnej wykonanej na urojonej liście rozwinięć dziesiętnych wszystkich liczb algebraicznych; ale taka procedura jest pozbawiona jakiegokolwiek znaczenie praktyczne i nie prowadziłoby do liczby, której rozwinięcie do ułamka dziesiętnego (lub innego) faktycznie dałoby się zapisać. Najciekawsze problemy związane z liczbami przestępnymi polegają na udowodnieniu, że pewne, konkretne liczby (w tym liczby p i e, o których patrz s. 319–322) są przestępne.

**2. Twierdzenie Liouville'a i konstrukcja liczb przestępnych. Dowód na istnienie liczb przestępnych jeszcze przed Cantorem podał J. Liouville (1809–1862). Umożliwia to faktyczne konstruowanie przykładów takich liczb. Dowód Liouville'a jest trudniejszy niż dowód Cantora i nie jest to zaskakujące, gdyż skonstruowanie przykładu jest, ogólnie rzecz biorąc, trudniejsze niż udowodnienie istnienia. Prezentując poniżej dowód Liouville'a, mamy na myśli jedynie przygotowanego czytelnika, choć do zrozumienia dowodu wystarczy w zupełności znajomość elementarnej matematyki.

Jak odkrył Liouville, niewymierne liczby algebraiczne mają tę właściwość, że nie można ich aproksymować liczbami wymiernymi z bardzo dużą dokładnością, chyba że mianowniki ułamków aproksymujących zostaną uznane za wyjątkowo duże.

Załóżmy, że liczba z spełnia równanie algebraiczne o współczynnikach całkowitych

ale nie spełnia tego samego równania niższego stopnia. Następnie

mówią, że sam x jest liczbą algebraiczną stopnia n. Więc na przykład

liczba z = 2 jest liczbą algebraiczną stopnia 2, gdyż spełnia równanie x2 − 2 = 0√ stopnia 2, ale nie spełnia równania pierwszego stopnia; liczba z = 3 2 jest stopnia 3, gdyż spełnia równanie x3 − 2 = 0, ale nie spełnia (jak pokażemy w rozdziale III) równania niższego stopnia. Liczba algebraiczna stopnia n > 1

nie może być wymierna, gdyż liczba wymierna z = p q spełnia

spełnia równanie qx − p = 0 stopnia 1. Każde liczba niewymierna z można aproksymować z dowolną dokładnością za pomocą liczby wymiernej; oznacza to, że zawsze można określić ciąg liczb wymiernych

str. 1, str. 2, . . .

q 1 q 2

z nieograniczenie rosnącymi mianownikami, który ma swój własny

To

p r → z. qr

Twierdzenie Liouville'a stwierdza: jakakolwiek liczba algebraiczna z stopnia n > 1, nie może być przybliżona poprzez racjonalizację.

W przypadku wystarczająco dużych mianowników nierówność koniecznie zachodzi

Zamierzamy przedstawić dowód tego twierdzenia, ale najpierw pokażemy, jak można go wykorzystać do skonstruowania liczb przestępnych. Rozważ liczbę

z = a1 10−1! + a2 · 10−2! + a3 · 10−3! + . . . + rano · 10−m! + . . . = = 0.a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000 . . . ,

gdzie ai oznaczają dowolne liczby od 1 do 9 (najłatwiej byłoby ustawić wszystkie ai równe 1), a symbol n!, jak zwykle (patrz strona 36), oznacza 1 · 2 · . . . · N. Charakterystyczną właściwością rozwinięcia dziesiętnego takiej liczby jest to, że grupy zer szybko rosnących na długości występują w niej naprzemiennie z pojedynczymi cyframi innymi niż zero. Oznaczmy przez zm końcowy ułamek dziesiętny uzyskany, gdy w rozwinięciu weźmiemy wszystkie wyrazy aż do am · 10−m! włącznie. Wtedy otrzymujemy nierówność

Załóżmy, że z jest liczbą algebraiczną stopnia n. Następnie zakładając w nierówności Liouville'a (3) p q = zm = 10 p m! , musimy to mieć

|z − zm | > 10 (n+1)m!

dla wystarczająco dużych wartości m. Porównanie ostatniej nierówności z nierównością (4) daje

co implikuje (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 dla odpowiednio dużego m. Nie dotyczy to jednak wartości m większych niż n (niech czytelnik zada sobie trud przedstawienia szczegółowego dowodu tego twierdzenia). Doszliśmy do sprzeczności. Zatem liczba z jest przestępna.

Pozostaje udowodnić twierdzenie Liouville'a. Załóżmy, że z jest liczbą algebraiczną stopnia n > 1 spełniającą równanie (1), zatem:

f(zm) = f(zm) – f(z) = a1 (zm – z) + a2 (zm 2 – z2) + . . . + an (zm n - zn).

Dzieląc obie strony przez zm − z i korzystając ze wzoru algebraicznego

u n - v n = un-1 + un-2 v + un-3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

otrzymujemy:

Ponieważ zm ​​dąży do z, to dla dostatecznie dużego m liczba wymierna zm będzie się różnić od z o mniej niż jeden. Dlatego dla wystarczająco dużego m można dokonać następującego przybliżonego oszacowania:

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

Co więcej, liczba M po prawej stronie jest stała, ponieważ z nie zmienia się podczas dowodu. Wybierzmy teraz m tak duże, że

ułamek z m = p m ma mianownik q m był większy niż M; Następnie mkw

od tego momentu możliwe byłoby wyizolowanie współczynnika (x − zm) z wielomianu f(x), a zatem z spełniałoby równanie stopnia mniejszego niż n. Zatem f(zm) 6= 0. Ale licznik po prawej stronie równości (9) jest liczbą całkowitą i dlatego w wartości bezwzględnej jest co najmniej równy jedności. Zatem z porównania zależności (8) i (9) wynika, że

dokładnie treść wskazanego twierdzenia.

W ciągu ostatnich kilku dekad badania nad możliwością aproksymacji liczb algebraicznych przez liczby wymierne posunęły się znacznie dalej. Na przykład norweski matematyk A. Thue (1863–1922) stwierdził, że w nierówności Liouville'a (3) wykładnik n + 1 można zastąpić mniejszym wykładnikiem n 2 + 1.

K. L. Siegel pokazał, że można wziąć jeszcze mniejszy (jeszcze mniejszy).

dla większego n) wskaźnik wynosi 2 n.

Liczby transcendentalne zawsze były tematem, który przyciągał uwagę matematyków. Jednak do niedawna spośród liczb, które same w sobie były interesujące, bardzo niewiele było znanych, których transcendentalny charakter został ustalony. (Z transcendencji liczby p, o której mowa w rozdziale III, wynika, że ​​nie da się kwadraturować koła za pomocą linijki i kompasu.) W swoim przemówieniu na Międzynarodowym Kongresie Matematyki w Paryżu w 1900 roku David Hilbert zaproponował trzydzieści matematycznych

problemów, które pozwoliły na proste sformułowanie, niektóre wręcz elementarne i popularne, z których ani jeden nie tylko nie został rozwiązany, ale nawet nie wydawał się możliwy do rozwiązania za pomocą matematyki tamtej epoki. Te „problemy Hilberta” wywarły silny wpływ stymulujący na cały dalszy okres rozwoju matematyki. Prawie wszystkie z nich były stopniowo rozwiązywane, a w wielu przypadkach ich rozwiązanie wiązało się z wyraźnie wyrażonymi sukcesami w sensie opracowania metod bardziej ogólnych i głębszych. Jednym z problemów, który wydawał się raczej beznadziejny, był

dowód, że liczba

jest transcendentalny (lub przynajmniej irracjonalny). Przez trzy dekady z niczyjej strony nie było nawet cienia cienia takiego podejścia do sprawy, które dawałoby nadzieję na sukces. Wreszcie Siegel i niezależnie od niego młody rosyjski matematyk A. Gelfond odkryli nowe metody udowadniania transcendencji wielu

liczby ważne w matematyce. W szczególności ustalono

transcendencja nie tylko liczby Hilberta 2 2, ale całej dość obszernej klasy liczb postaci ab, gdzie a jest liczbą algebraiczną różną od 0 i 1, a b jest liczbą algebraiczną niewymierną.

DODATEK DO ROZDZIAŁU II

Algebra zbiorów

1. Ogólna teoria. Pojęcie klasy, zbioru lub zbioru obiektów jest jednym z najbardziej podstawowych w matematyce. Zbiór jest zdefiniowany przez jakąś właściwość („atrybut”) A, którą każdy przedmiot musi albo posiadać, albo nie; te obiekty, które mają właściwość A, tworzą zbiór A. Zatem, jeśli weźmiemy pod uwagę liczby całkowite i właściwość A to „jest pierwsza”, to odpowiedni zbiór A składa się ze wszystkich liczb pierwszych 2, 3, 5, 7, . . .

Matematyczna teoria zbiorów wywodzi się z faktu, że ze zbiorów można tworzyć nowe zbiory za pomocą pewnych operacji (tak jak nowe liczby otrzymuje się z liczb poprzez operacje dodawania i mnożenia). Badanie działań na zbiorach stanowi przedmiot „algebry zbiorów”, która ma wiele wspólnego ze zwykłą algebrą numeryczną, chociaż pod pewnymi względami się od niej różni. Fakt, że metody algebraiczne można zastosować do badania obiektów nienumerycznych, takich jak zbiory, ilustruje następujący przykład:

tworzy większą wspólność idei we współczesnej matematyce. Ostatnio stało się jasne, że algebra zbiorów rzuca nowe światło na wiele dziedzin matematyki, na przykład teorię miary i teorię prawdopodobieństwa; jest również przydatny w systematyzowaniu pojęć matematycznych i wyjaśnianiu ich logicznych powiązań.

W dalszej części oznaczę pewien stały zbiór przedmiotów, którego natura jest obojętna, a który możemy nazwać zbiorem powszechnym (lub wszechświatem rozumowania), a

A, B, C, . . . będą pewne podzbiory I. Jeśli I jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, to A, powiedzmy, może oznaczać zbiór wszystkich liczb parzystych, B zbiór wszystkich liczb nieparzystych, C zbiór wszystkich liczb pierwszych itd. Jeśli I oznacza zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, to A może być zbiorem punktów wewnątrz jakiegoś okręgu, B może być zbiorem punktów wewnątrz innego okręgu itd. Wygodnie jest uwzględnić samo I oraz „ pusty” zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Celem takiego sztucznego rozszerzenia jest zachowanie stanowiska, że ​​każdej właściwości A odpowiada pewien zbiór elementów z I, które mają tę własność. Jeśli A jest własnością powszechnie obowiązującą, której przykładem (w przypadku liczb) jest własność spełniająca trywialną równość x = x, to odpowiednim podzbiorem I będzie samo I, gdyż każdy element ma taką własność; z drugiej strony, jeśli A jest jakąś własnością wewnętrznie sprzeczną (np. x 6 = x), to odpowiadający jej podzbiór nie zawiera żadnych elementów, jest „pusty” i jest oznaczony symbolem.

Mówią, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B, w skrócie „A jest w B” lub „B zawiera A”, jeśli w zbiorze A nie ma elementu, który nie jest także w zbiorze B. To relacja odpowiada zapisowi

A B lub B A.

Na przykład zbiór A wszystkich liczb całkowitych podzielnych przez 10 jest podzbiorem zbioru B wszystkich liczb całkowitych podzielnych przez 5, ponieważ każda liczba podzielna przez 10 jest również podzielna przez 5. Relacja A B nie wyklucza relacji B A. Jeśli to i tamto w takim razie

Oznacza to, że każdy element A jest także elementem B i odwrotnie, zatem zbiory A i B zawierają dokładnie te same elementy.

Relacja A B między zbiorami pod wieloma względami przypomina relację a 6 b między liczbami. W szczególności zwracamy uwagę na następujące kwestie

następujące właściwości tej relacji:

1) A.

2) Jeśli A B i B A, to A = B.

3) Jeśli A B i B C, to A C.

Z tego powodu relację A B nazywa się czasami „relacją porządku”. Zasadnicza różnica pomiędzy rozważaną relacją a relacją a 6 b pomiędzy liczbami polega na tym, że pomiędzy dowolnymi dwiema danymi (rzeczywistymi) liczbami a i b koniecznie jest spełniona przynajmniej jedna z relacji a 6 b lub b 6 a, natomiast dla relacji A B pomiędzy zbiorami podobne stwierdzenie jest fałszywe. Na przykład, jeśli A jest zbiorem składającym się z liczb 1, 2, 3,

a B to zbiór składający się z liczb 2, 3, 4,

wówczas nie zachodzi ani relacja A B, ani relacja B A. Z tego powodu mówią, że podzbiory A, B, C, . . . zbiory I są „częściowo uporządkowane”, natomiast liczby rzeczywiste a, b, c, . . .

tworzą „całkowicie uporządkowany” zbiór.

Notabene zauważmy, że z definicji relacji A B wynika, że ​​niezależnie od podzbioru A zbioru I,

Właściwość 4) może wydawać się nieco paradoksalna, ale jeśli się nad tym zastanowić, logicznie ściśle odpowiada dokładnemu znaczeniu definicji znaku. W rzeczywistości relacja A zostałaby jedynie naruszona

V gdyby zbiór pusty zawierał element, który nie byłby zawarty w A; ale ponieważ zbiór pusty nie zawiera w ogóle żadnych elementów, nie może tak być, niezależnie od tego, czym jest A.

Zdefiniujemy teraz dwie operacje na zbiorach, które formalnie mają wiele algebraicznych właściwości dodawania i mnożenia liczb, chociaż w swojej wewnętrznej treści różnią się one zupełnie od tych operacji arytmetycznych. Niech A i B będą dwoma zbiorami. Przez sumę lub „sumę logiczną” A i B rozumie się zbiór składający się z elementów zawartych w A lub

V B (w tym elementy zawarte zarówno w A, jak i B). Zbiór ten jest oznaczony jako A + B. 1 Przez „przecięcie” lub „iloczyn logiczny” A i B rozumie się zbiór składający się z tych elementów, które są zawarte zarówno w A, jak i B. Zbiór ten jest oznaczony AB.2

Wśród ważnych właściwości algebraicznych operacji A + B i AB wymieniamy następujące. Czytelnik będzie mógł sprawdzić ich zasadność na podstawie definicji samych operacji:

Weryfikacja wszystkich tych praw jest kwestią najbardziej elementarnej logiki. Na przykład reguła 10) stwierdza, że ​​zbiór elementów zawartych w A lub A jest dokładnie zbiorem A; reguła 12) stwierdza, że ​​zbiór elementów zawartych w A i jednocześnie zawartych albo w B, albo w C pokrywa się ze zbiorem elementów, które albo znajdują się jednocześnie w A i B, albo są jednocześnie zawarte w A i C . Logiczne rozumowanie, użyte w dowodzie tego rodzaju reguł, można wygodnie zilustrować, jeśli zgodzimy się przedstawić zbiory A, B, C, . . . w postaci niektórych figur na płaszczyźnie i będziemy bardzo uważać, aby nie przeoczyć żadnej z logicznych możliwości, które pojawiają się, jeśli chodzi o obecność wspólnych elementów dwóch zbiorów lub, odwrotnie, obecność w jednym zbiorze elementów, które są nie zawarte w drugim.

Czytelnik niewątpliwie zwrócił uwagę na fakt, że prawa 6), 7), 8), 9) i 12) są zewnętrznie identyczne ze znanymi prawami przemienności, łączenia i rozdzielności zwykłej algebry. Wynika z tego, że wszystkie zasady algebry zwyczajnej wynikające z tych praw obowiązują także w algebrze zbiorów. Natomiast prawa 10), 11) i 13) nie mają odpowiedników w zwykłej algebrze i nadają algebrze zbiorów prostszą strukturę. Na przykład wzór dwumianowy w algebrze zbiorów sprowadza się do najprostszej równości

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B,

co wynika z przepisu 11). Prawa 14), 15) i 17) mówią, że właściwości zbiorów i I w odniesieniu do operacji sumowania i przecinania zbiorów są bardzo podobne do właściwości liczb 0 i 1 w odniesieniu do operacji numerycznych działań dodawania i mnożenie. Ale prawo 16) nie ma odpowiednika w algebrze numerycznej.

Pozostaje zdefiniować jeszcze jedną operację w algebrze zbiorów. Niech A będzie jakimś podzbiorem zbioru uniwersalnego I. Wtedy przez uzupełnienie A w I rozumie się zbiór wszystkich elementów I, które nie są zawarte w A. Dla tego zbioru wprowadzamy oznaczenie A0. Jeśli więc I jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, a A zbiorem wszystkich liczb pierwszych, to A0 jest zbiorem składającym się ze wszystkich liczby złożone i liczbę 1. Operacja przejścia od A do A0, dla której nie ma analogii w zwykłej algebrze, ma następujące właściwości:

23) A 00 = A.

24) Stosunek A B jest równy stosunkowi B 0 A0 .

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0.

Weryfikację tych właściwości ponownie pozostawiamy czytelnikowi.

Prawa 1)–26) stanowią podstawę algebry zbiorów. Mają niezwykłą właściwość „dualności” w następującym znaczeniu:

Jeśli w jednym z praw 1)–26) zastępujemy odpowiednie

(w każdym z ich wystąpień), wówczas wynikiem jest ponownie jedno z tych samych praw. Na przykład prawo 6) przechodzi do prawa 7), 12) do 13), 17) do 16) itd. Wynika z tego, że każde twierdzenie, które można wyprowadzić z praw 1)–26) odpowiada innemu, jego „dualizmowi” twierdzenie otrzymane z pierwszego za pomocą wskazanych permutacji symboli. W rzeczywistości, od dowodu

Ch. II ALGEBRA ZBIORÓW 139

pierwsze twierdzenie składa się z spójne zastosowanie(na różnych etapach toczącego się rozumowania) niektórych praw 1–26), wówczas zastosowanie „dualnych” praw na odpowiednich etapach będzie dowodem twierdzenia „dualnego”. (Informacje o podobnej „dwoistości” w geometrii można znaleźć w rozdziale IV.)

2. Zastosowanie do logiki matematycznej. Weryfikację praw algebry zbiorów przeprowadzono na podstawie analizy sensu logicznego relacji A B oraz działań A + B, AB i A0. Możemy teraz odwrócić ten proces i uznać prawa 1)–26) za podstawę „algebry logiki”. Powiedzmy precyzyjniej: tę część logiki, która dotyczy zbiorów lub, co jest zasadniczo takie same, właściwości rozważanych obiektów, można sprowadzić do formalnego systemu algebraicznego opartego na prawach 1)–26). Logiczny „konwencjonalny wszechświat” definiuje zbiór I; każda właściwość A definiuje zbiór A składający się z tych obiektów w I, które mają tę właściwość. Zasady tłumaczenia zwykłej terminologii logicznej na język zbiorów są jasne

Jeśli chodzi o algebrę zbiorów, sylogizm „Barbary” oznaczający, że „jeśli każde A jest B i każde B jest C, to każde A jest C” przyjmuje prostą formę:

3) Jeśli A B i B C, to A C.

Podobnie „prawo sprzeczności”, które stwierdza, że ​​„przedmiot nie może jednocześnie posiadać i nie mieć jakiejś właściwości”, zapisuje się jako:

20)AA 0 = ,

A „Prawo wyłączonego środka”, które mówi, że „przedmiot musi albo mieć jakąś własność, albo nie”, jest napisane:

19) A + ZA 0 = I.

Zatem tę część logiki, którą można wyrazić za pomocą symboli +, · i 0, można traktować jako formalny system algebraiczny, podlegający prawom 1)–26). Opierając się na fuzji logicznej analizy matematyki i analiza matematyczna logiki, powstała nowa dyscyplina – logika matematyczna, która obecnie znajduje się w fazie szybkiego rozwoju.

Z aksjomatycznego punktu widzenia na uwagę zasługuje niezwykły fakt, że twierdzenia 1)–26) wraz ze wszystkimi innymi twierdzeniami algebry zbiorów można logicznie wydedukować z następujących trzech równości:

27) ZA + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A.

Wynika z tego, że algebra zbiorów może być skonstruowana jako teoria czysto dedukcyjna, podobnie jak geometria euklidesowa, w oparciu o te trzy postanowienia, przyjęte jako aksjomaty. Jeżeli przyjąć te aksjomaty, to działanie AB i relację A B definiuje się w kategoriach A + B i A0:

Zupełnie inny przykład układu matematycznego, w którym spełnione są wszystkie formalne prawa algebry zbiorów, daje układ ośmiu liczb 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: tutaj a + b oznacza , według

definicja, najmniejsza wspólna wielokrotność aib, ab to największy wspólny dzielnik aib, a b to stwierdzenie „b jest dzielone przez a”, a a0 to liczba 30 a. Su-

Istnienie takich przykładów doprowadziło do badania ogólnych systemów algebraicznych spełniających prawa 27). Takie systemy nazywane są „algebrami Boole’a” na cześć George'a Boole'a (1815–1864), angielskiego matematyka i logika, którego książka An Investigation of the Laws of Thought ukazała się w 1854 roku.

3. Jedno z zastosowań teorii prawdopodobieństwa. Zestaw algebry ma najbliższy związek do teorii prawdopodobieństwa i pozwala spojrzeć na nią w nowym świetle. Rozważmy najprostszy przykład: wyobraźmy sobie eksperyment ze skończoną liczbą możliwych wyników, z których wszystkie uważa się za „równie możliwe”. Eksperyment może na przykład polegać na losowym losowaniu karty z dobrze potasowanej, pełnej talii. Jeśli zbiór wszystkich wyników eksperymentu oznaczymy przez I, a A oznacza jakiś podzbiór I, to prawdopodobieństwo, że wynik eksperymentu będzie należał do podzbioru A, definiuje się jako stosunek

p(A) = liczba elementów A . liczba elementów I

Jeśli zgodzimy się oznaczać liczbę elementów jakiegoś zbioru A przez n(A), to ostatnią równość można zapisać w postaci

Idee algebry zbiorów ujawniają się przy obliczaniu prawdopodobieństw, gdy konieczne jest, znając prawdopodobieństwa niektórych zbiorów, obliczenie prawdopodobieństw innych. Przykładowo znając prawdopodobieństwa p(A), p(B) i p(AB) można obliczyć prawdopodobieństwo p(A + B):

Udowodnienie tego nie będzie trudne. Mamy

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

ponieważ elementy zawarte jednocześnie w A i B, czyli elementy AB, przy obliczaniu sumy n(A) + n(B) są liczone dwukrotnie, dlatego w celu obliczenia należy od tej sumy odjąć n(AB). n(A + B) zostało utworzone poprawnie. Następnie dzieląc obie strony równości przez n(I) otrzymujemy zależność (2).

Ciekawszy wzór otrzymujemy, jeśli mówimy o trzech zbiorach A, B, C z I. Korzystając z zależności (2) mamy

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) - p[(A + B)C].

Prawo (12) z poprzedniego akapitu daje nam (A + B)C = AC + BC. Wynika z tego:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) - p(ABC).

Podstawiając wartość p[(A + B)C] i wartość p(A + B) wziętą z (2) do otrzymanej wcześniej zależności, dochodzimy do potrzebnego nam wzoru:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) - p(AB) - p(AC) - p(BC) + p(ABC). (3)

Jako przykład rozważmy następujący eksperyment. Trzy liczby 1, 2, 3 są zapisywane w dowolnej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna z cyfr znajdzie się na właściwym (pod względem numeracyjnym) miejscu? Niech A będzie zbiorem permutacji, w którym liczba 1 jest na pierwszym miejscu, B zbiorem permutacji, w którym liczba 2 jest na drugim miejscu, C zbiorem permutacji, w którym liczba 3 jest na trzecim miejscu. Musimy obliczyć p(A + B + C). To jasne

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3 ;

rzeczywiście, jeśli jakakolwiek cyfra jest na właściwym miejscu, istnieją dwie możliwości zmiany kolejności pozostałych dwóch cyfr całkowita liczba 3 · 2 · 1 = 6 możliwych permutacji trzech cyfr. Następny,

Ćwiczenia. Wyprowadź odpowiedni wzór na p(A + B + C + D) i zastosuj go do doświadczenia z 4 cyframi. Odpowiednie prawdopodobieństwo wynosi 5 · 8 = 0,6250.

Ogólny wzór na łączenie n zbiorów to:

kombinacje zawierające jeden, dwa, trzy, . . . , (n - 1) litery z A1 , A2 , . . .

Jakiś. Wzór ten można wyprowadzić metodą indukcji matematycznej – w ten sam sposób, w jaki wzór (3) został wyprowadzony ze wzoru (2).

Ze wzoru (4) możemy wywnioskować, że jeśli n cyfr to 1, 2, 3, . . . , n są zapisywane w dowolnej kolejności, to prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedna z cyfr znajdzie się na właściwym miejscu jest równe

a ostatni wyraz jest poprzedzony znakiem + lub -, w zależności od tego, czy n jest parzyste czy nieparzyste. W szczególności dla n = 5 prawdopodobieństwo to jest równe

p5 = 1 - 2! + 3! - 4! + 5! = 30 = 0,6333. . .

W rozdziale VIII przekonamy się, że gdy n zbliża się do nieskończoności, wyrażenie

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! + 4! − . . . ±n!

dąży do granicy 1 e, której wartość, z dokładnością do pięciu miejsc po przecinku,

równa się 0,36788. Ponieważ ze wzoru (5) wynika, że ​​pn = 1 − Sn, wynika z tego, że gdy n → ∞

pn → 1 - mi ≈ 0,63212.

Liczba transcendentalna

liczba (rzeczywista lub urojona), która nie spełnia żadnego równania algebraicznego (patrz. Równanie algebraiczne) ze współczynnikami całkowitymi. Zatem liczby liczbowe są przeciwstawiane liczbom algebraicznym (patrz. Liczba algebraiczna). Istnienie T. h. zostało po raz pierwszy stwierdzone przez J. Liouville(1844). Punktem wyjścia Liouville’a było jego twierdzenie, zgodnie z którym rząd aproksymacji ułamka wymiernego o danym mianowniku do danej niewymiernej liczby algebraicznej nie może być dowolnie wysoki. Mianowicie, jeśli liczba algebraiczna A spełnia nieredukowalne algebraiczne równanie stopnia N ze współczynnikami całkowitymi, to dla dowolnej liczby wymiernej c zależy tylko od α ). Jeżeli więc dla danej liczby niewymiernej α można podać nieskończony zbiór wymiernych przybliżeń, które nie spełniają danej nierówności dla żadnego Z I N(tak samo dla wszystkich przybliżeń), następnie α to T. h. Przykład takiej liczby daje:

Kolejny dowód na istnienie T. ch. podał G. Kantor(1874), zauważając, że zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalny (to znaczy, że wszystkie liczby algebraiczne można przenumerować; zob. Teoria zbiorów), natomiast zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

Wynikało z tego, że zbiór liczb jest niepoliczalny, a ponadto liczby stanowią większość zbioru wszystkich liczb. Najważniejszym zadaniem teorii liczb bezwzględnych jest ustalenie, czy wartości funkcji analitycznych, które mają określone właściwości arytmetyczne i analityczne dla wartości algebraicznych argumentu, są liczbami prawdziwymi. Zagadnienia tego rodzaju należą do najtrudniejszych problemów współczesnej matematyki. W 1873 Sz. Pustelnik udowodnił to

Numer Neperowa W 1882 r. niemiecki matematyk F. Lindemann uzyskał bardziej ogólny wynik: jeśli α jest liczbą algebraiczną, toα - Wynik T. h. Lipdemanna został znacząco uogólniony przez niemieckiego matematyka K. Siegela (1930), który udowodnił na przykład transcendencję wartości szerokiej klasy funkcji cylindrycznych dla wartości algebraicznych argumentu. W 1900 roku na kongresie matematycznym w Paryżu D. Hilbert wśród 23 nierozwiązanych problemów matematycznych wskazał, co następuje: jest liczbą przestępną α β , Gdzie α I β - liczby algebraiczne i β - liczba niewymierna, a w szczególności jest liczbą e π przestępną (zagadnienie transcendencji liczb postaci α β został po raz pierwszy wystawiony w formie prywatnej przez L. Eulera om, 1744). Całkowite rozwiązanie tego problemu (w sensie twierdzącym) uzyskał dopiero w 1934 r. A.O. Gelfond ty W szczególności z odkrycia Gelfonda wynika, że ​​wszystkie logarytmy dziesiętne liczb naturalnych (tj. „logarytmy tabelaryczne”) są liczbami całkowitymi. Metody teorii liczb mają zastosowanie do szeregu problemów rozwiązywania równań na liczbach całkowitych.

Oświetlony.: Gelfond A. O., Liczby transcendentalne i algebraiczne, M., 1952.

Duży Encyklopedia radziecka. - M .: Encyklopedia radziecka. 1969-1978 .

Zobacz, co oznacza „liczba transcendentalna” w innych słownikach:

Liczba, która nie spełnia żadnego równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych. Liczby transcendentalne to: liczba??3,14159...; logarytm dziesiętny dowolnej liczby całkowitej niereprezentowanej przez jedynki i zera; liczba e=2,71828... i inne... Duży Słownik encyklopedyczny

- (z łac. transcendere – przekazać, przekroczyć) to liczba rzeczywista lub zespolona, ​​która nie jest algebraiczna, innymi słowy liczba, która nie może być pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych. Spis treści 1 Właściwości 2 ... ... Wikipedia

Liczba, która nie spełnia żadnego równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych. Liczby transcendentalne to: liczba π = 3,14159...; logarytm dziesiętny dowolnej liczby całkowitej niereprezentowanej przez jedynki i zera; liczba e = 2,71828... itd... Słownik encyklopedyczny

Liczba, która nie spełnia żadnej algebry. równanie ze współczynnikami całkowitymi. W tym: liczba PI = 3,14159...; logarytm dziesiętny dowolnej liczby całkowitej niereprezentowanej przez jedynki i zera; liczba e = 2,71828... itd... Nauki przyrodnicze. Słownik encyklopedyczny

Liczba, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Dziedziną definicji takich liczb są zera liczb rzeczywistych, zespolonych i radykalnych. Istnienie i jednoznaczne konstrukcje części rzeczywistych potwierdził J. Liouville... ... Encyklopedia matematyczna

Równanie, które nie jest algebraiczne. Zazwyczaj są to równania zawierające funkcje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, odwrotne funkcje trygonometryczne, na przykład: Bardziej ścisła definicja to: Równanie przestępne to równanie… Wikipedia

Liczba w przybliżeniu równa 2,718, często spotykana w matematyce i nauki przyrodnicze. Na przykład, gdy substancja radioaktywna rozpada się po czasie t, z początkowej ilości substancji pozostaje ułamek równy ek kt, gdzie k jest liczbą,... ... Encyklopedia Colliera

E jest stałą matematyczną, podstawą logarytmu naturalnego, liczbą niewymierną i przestępną. Czasami liczba e nazywana jest liczbą Eulera (nie mylić z tzw. liczbami Eulera pierwszego rodzaju) lub liczbą Napiera. Oznaczone małą literą łacińską „e”.... ... Wikipedia

E jest stałą matematyczną, podstawą logarytmu naturalnego, liczbą niewymierną i przestępną. Czasami liczba e nazywana jest liczbą Eulera (nie mylić z tzw. liczbami Eulera pierwszego rodzaju) lub liczbą Napiera. Oznaczone małą literą łacińską „e”.... ... Wikipedia

4.2. Liczby algebraiczne i przestępne

Liczby rzeczywiste dzieli się czasem także na algebraiczne i przestępne.

Liczby algebraiczne to liczby będące pierwiastkami wielomianów algebraicznych o współczynnikach całkowitych, na przykład 4, . Wszystkie inne liczby (niealgebraiczne) są uważane za przestępne. Ponieważ każda liczba wymierna p/q jest pierwiastkiem odpowiedniego wielomianu pierwszego stopnia o współczynnikach całkowitych qx -p, to wszystkie liczby przestępne są niewymierne.

Podkreślmy cechy charakterystyczne liczby rozważane (naturalne, wymierne, rzeczywiste): modelują tylko jedną właściwość – ilość; są one jednowymiarowe i wszystkie są reprezentowane przez punkty na jednej linii prostej, zwanej osią współrzędnych.

5. Liczby zespolone

5.1. Liczby urojone

Jeszcze dziwniejsze od irracjonalnych były liczby nowej natury, odkryte przez włoskiego naukowca Cardano w 1545 roku. Pokazał, że układ równań, który nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, ma rozwiązania postaci . Wystarczy zgodzić się na działanie na takich wyrażeniach zgodnie z zasadami zwykłej algebry i założyć, że · = -.

Cardano nazywał takie wielkości „czysto negatywnymi”, a nawet „sofistycznie negatywnymi”, uważał je za bezużyteczne i starał się ich nie używać.

Przez długi czas liczby te uważano za niemożliwe, nieistniejące, wyimaginowane. Kartezjusz nazwał je wyimaginowanymi, Leibniz – „wybrykiem ze świata idei, bytem umiejscowionym pomiędzy bytem a niebytem”.

W rzeczywistości za pomocą takich liczb nie można wyrazić ani wyniku pomiaru jakiejkolwiek wielkości, ani zmiany jakiejkolwiek wielkości.

Na osi współrzędnych nie było miejsca na liczby urojone. Naukowcy zauważyli jednak, że jeśli weźmiemy liczbę rzeczywistą b z dodatniej części osi współrzędnych i pomnożymy ją przez, otrzymamy liczbę urojoną b, której położenie nie jest znane. Ale jeśli pomnożymy tę liczbę ponownie, otrzymamy -b, czyli liczbę pierwotną, ale na ujemnej części osi współrzędnych. Zatem przez dwa mnożenia przez przerzuciliśmy liczbę b z dodatniej na ujemną i dokładnie w środku tego rzutu liczba była urojona. W ten sposób znaleźliśmy miejsce dla liczb urojonych w punktach na urojonej osi współrzędnych, prostopadłych do środka rzeczywistej osi współrzędnych. Punkty płaszczyzny pomiędzy osią urojoną i rzeczywistą reprezentują liczby znalezione przez Cardano, który w widok ogólny a + b·i zawierają liczby rzeczywiste a i liczby urojone b·i w jednym zespole (złożeniu), dlatego nazywane są liczbami zespolonymi.

Był to czwarty poziom uogólnienia liczb.

Stopniowo rozwijała się technika operacji na liczbach urojonych. Na przełomie XVII i XVII wieku skonstruowano ogólną teorię pierwiastków n-tych potęg, najpierw z liczb ujemnych, a następnie z dowolnych liczb zespolonych, w oparciu o następujący wzór angielskiego matematyka A. Moivre'a:

Korzystając z tego wzoru, można było również wyprowadzić wzory na cosinusy i sinusy wielu łuków.

Leonhard Euler wyprowadził w 1748 roku niezwykłą formułę:

który połączył funkcję wykładniczą z funkcją trygonometryczną. Korzystając ze wzoru Eulera, można było podnieść liczbę e do dowolnej wartości stopień kompleksowy. Ciekawe, że np. Możesz znaleźć grzech i cos liczb zespolonych, obliczyć logarytmy takich liczb itp.

Przez długi czas nawet matematycy uważali liczby zespolone za tajemnicze i używali ich wyłącznie do manipulacji matematycznych. Dlatego szwajcarski matematyk Bernoulli użył liczb zespolonych do rozwiązywania całek. Nieco później za pomocą liczb urojonych nauczyli się wyrażać rozwiązania liniowe równania różniczkowe ze stałymi współczynnikami. Takie równania można znaleźć na przykład w teorii oscylacji punkt materialny w opornym środowisku.

Grupy algebraiczne matryce

Algebraiczne systemy domknięć

Zacznijmy od koncepcji operacji algebraicznej. Niech A będzie algebrą uniwersalną ze zbiorem operacji algebraicznych U. Każda operacja U z U ma pewną wartość n, nN(0). Dla dowolnej liczby naturalnej n operacja n-arna u jest odwzorowaniem z An na A...

Potęga liczb pierwszych

Liczby pierwsze to liczby naturalne lub całkowite, które nie mają tej samej liczby jednostek większej niż 1 lub w inny sposób wydają się mieć największą liczbę jednostek większą niż 1. Zatem 2 i 3 - w bardzo prosty sposób oraz 2 i 4 nie są (dzielone przez 2)...

Wykresy i ich funkcje

Rozważmy podstawowe operacje algebraiczne na funkcjach i ich wykresach, takie jak dodawanie i odejmowanie (y = f(x) ±g(x)), mnożenie (y = f(x) g(x)), dzielenie (y = f( x) / g(x)). Konstruując tego typu wykres, należy wziąć pod uwagę...

Liczby zespolone: ​​ich przeszłość i teraźniejszość

Matematyka w średniowieczu

Warunek konieczny Zastosowanie metody Fang Chenga do układów równań polegało na wprowadzeniu liczb ujemnych. Na przykład rozwiązując system, otrzymujemy tabelę. Następny krok: odejmowanie elementów trzeciej kolumny od prawej od elementów pierwszej...

Symbolika liczb

Pitagoras uważał liczby nie tylko za abstrakcyjne substytuty rzeczywistych rzeczy, ale za żywe istoty odzwierciedlające właściwości przestrzeni, energii lub wibracji dźwiękowych. Główna nauka o liczbach, arytmetyka...

Symbolika liczb

Legenda głosi, że liczby harmoniczne, których stosunek powoduje muzykę sfer, odkrył Pitagoras. Flammarion tak opowiada tę legendę: „Mówią, że przechodząc obok kuźni, usłyszał dźwięk młotów...

Praktyczne zastosowanie wzory kwadraturowe z wagą Czebyszewa-Hermite’a

Niech na całej osi zostanie określona parzysta funkcja ciężaru.

(1.1) Różniczkując kolejno tę funkcję, znajdujemy (1.2) Łatwo jest dowieść przez indukcję, że pochodna funkcji rzędu n (1.1) jest iloczynem tej funkcji przez jakiś wielomian stopnia n...

Wprowadźmy nową nieprawidłową liczbę, której kwadrat wynosi -1. Oznaczamy tę liczbę symbolem I i nazywamy ją jednostką urojoną. Zatem (2.1) Zatem. (2.2) 1. Postać algebraiczna liczby zespolonej Jeżeli, to liczbę (2.3) nazywamy liczbą zespoloną...

Rekurencyjnie zdefiniowane ciągi liczbowe

Rozwiązując wiele problemów często trzeba mieć do czynienia z ciągami podawanymi rekurencyjnie, jednakże w odróżnieniu od ciągu Fibonacciego nie zawsze udaje się uzyskać jego zadanie analityczne...

Równania transcendentalne wraz z parametrami i metodami ich rozwiązań

Równanie przestępne to równanie zawierające funkcje przestępne (wymierne, logarytmiczne, wykładnicze, trygonometryczne i odwrotne trygonometryczne) niewiadomej (zmiennej), na przykład równanie...

Dawno temu, pomagając sobie w liczeniu kamykami, ludzie zwracali uwagę na prawidłowe figury, które można ułożyć z kamyków. Możesz po prostu ułożyć kamyki w rzędzie: jeden, dwa, trzy. Jeśli umieścisz je w dwóch rzędach, aby utworzyć prostokąty...

Równanie przestępne to równanie zawierające funkcje przestępne (wymierne, logarytmiczne, wykładnicze, trygonometryczne i odwrotne trygonometryczne) niewiadomej (zmiennej), na przykład równanie...

Czasami liczby doskonałe są uważane za szczególny przypadek liczb przyjaznych: każda liczba doskonała jest przyjazna sobie. Nikomachus z Geras, słynny filozof i matematyk, napisał: „Liczby doskonałe są piękne, ale wiadomo...

Fraktalne właściwości procesów społecznych

Fraktale geometryczne są figurami statycznymi. Takie podejście jest całkiem akceptowalne, o ile nie ma potrzeby go rozważać zjawiska naturalne jak spadające strumienie wody, wzburzone kłęby dymu...