Dom
Fasady szklane
Sprowadzenie przestrzennego układu sił do najprostszej postaci. Szczególne przypadki sprowadzenia do centrum dowolnego przestrzennego układu sił. Doprowadzanie do pary

Sprowadzenie przestrzennego układu sił do najprostszej postaci. Szczególne przypadki sprowadzenia do centrum dowolnego przestrzennego układu sił. Doprowadzanie do pary

Sprowadzenie systemu sił do centrum

pytania

Wykład 6

3. Warunki równowagi arbitralny system siły

1. Rozważ dowolny układ sił. Wybierzmy dowolny punkt O dla centrum redukcji i, korzystając z twierdzenia transfer równoległy sił, przenosimy wszystkie siły układu do tego punktu, nie zapominając o dodaniu dołączonej pary sił podczas przenoszenia każdej siły.

Uzyskany w ten sposób układ sił zbieżnych zostaje zastąpiony przez jedną siłę równą głównemu wektorowi pierwotnego układu sił. Układ par sił powstałych podczas przenoszenia zostaje zastąpiony jedną parą z momentem równym geometrycznej sumie momentów wszystkich par sił (tj. geometrycznej sumie momentów pierwotnego układu sił względem środka O).

Taki moment nazywa się główny moment układu sił względem środka O (rys. 1.30).

Ryż. 1.30. Sprowadzenie systemu sił do centrum

Tak więc każdy układ sił można zawsze zastąpić tylko dwoma czynnikami siły - wektor główny i moment główny względem dowolnie wybranego środka odniesienia ... Oczywiście wektor główny układu sił nie zależy od wyboru środka odniesienia (mówią, że wektor główny jest niezmienny względem wyboru środka odniesienia). Oczywiste jest również, że moment główny nie ma takiej właściwości, dlatego zawsze konieczne jest wskazanie, względem którego centrum określany jest moment główny.

2... Sprowadzenie układu sił do najprostszej postaci

Możliwość dalszego uproszczenia dowolnych układów sił zależy od wartości ich wektora głównego i momentu głównego oraz od trafnego wyboru środka odniesienia. W takim przypadku jest to możliwe następujące przypadki:

a),. W tym przypadku układ sprowadza się do pary sił z momentem, której wartość nie zależy od wyboru środka odniesienia.

b),. System sprowadza się do wypadkowej równej, której linia działania przechodzi przez środek O.

c) i są wzajemnie prostopadłe. System zostaje zredukowany do wypadkowej równej, ale nie przechodzącej przez środek O(rys. 1.31).

Ryż. 1.31. Doprowadzenie układu sił do wypadkowej

Zamieńmy moment główny na parę sił, jak pokazano na ryc. 1.31. Definiujemy r z warunku, że M 0 = R h... Następnie na podstawie drugiego aksjomatu statyki odrzucamy zrównoważony układ dwóch sił przyłożonych w punkcie O.

d) i są równoległe. System napędzany jest dynamicznym śmigłem, z osią przechodzącą przez środek O(rys. 1.32).

Ryż. 1.32. Śruba dynamiczna

e) i nie są równe zeru, a wektor główny i moment główny nie są równoległe i nie są do siebie prostopadłe. System napędzany jest dynamicznym śmigłem, ale oś nie przechodzi przez środek O(rys. 1.33).


Ryż. 1.33. Najbardziej ogólny przypadek sprowadzenia układu sił

Przypadek I.

Jeżeli wektor główny układu sił wynosi zero, a jego główny moment względem środka odniesienia wynosi zero, to siły są wzajemnie zrównoważone.

Przypadek II.

Jeżeli wektor główny układu sił jest równy zero, a jego moment główny względem środka odniesienia nie jest równy zero, to siły są sprowadzane do pary sił. Moment tej pary sił jest równy głównemu momentowi układu sił względem środka odniesienia.

W tym przypadku główne momenty układu sił względem wszystkich punktów w przestrzeni są geometrycznie równe.

Przypadek III.

Jeżeli główny wektor układu sił nie jest zerowy, a jego główny moment względem środka odniesienia wynosi zero, to siły sprowadza się do wypadkowej, której linia działania przechodzi przez środek ducha.

Przypadek IV. oraz .

Jeżeli główny moment układu sił względem środka redukcji jest prostopadły do ​​wektora głównego, to siły są redukowane do wypadkowej, której linia działania nie przechodzi przez środek redukcji (ryc. 145) .

Przypadek V. i .

Jeżeli moment główny układu sił względem środka odniesienia nie jest prostopadły do ​​wektora głównego, to siły są redukowane do dwóch sił krzyżujących się lub do śruby siłowej (dynamo), tj. do kombinacji siły i pary sił, których płaszczyzna jest prostopadła do siły.

Redukcja do dwóch sił krzyżujących się (rys. 147):


Równania równowagi dla różnych układów sił

Dla sił arbitralnie rozmieszczonych w przestrzeni istnieją dwa warunki równowagi:

Moduły momentu głównego i wektora głównego dla rozważanego układu sił są określone wzorami:

Warunki są spełnione tylko z odpowiadającymi im sześcioma podstawowymi równaniami równowagi sił, rozmieszczonymi arbitralnie w przestrzeni:

Pierwsze trzy równania nazywane są równaniami momentów sił wokół osi współrzędnych, a trzy ostatnie nazywane są równaniami rzutów sił na oś.


Formy równań równowagi płaskiego układu sił

Dla sił arbitralnie rozmieszczonych na płaszczyźnie istnieją dwa warunki równowagi:

Dwa warunki równowagi sił, arbitralnie rozmieszczonych na płaszczyźnie, można wyrazić w postaci układu trzech równań:

Równania te nazywane są podstawowymi równaniami równowagi dla płaskiego układu sił. Środek momentów i kierunek osi współrzędnych dla tego układu równań można wybrać dowolnie.

Istnieją również dwa inne układy trzech równań układu sił.

Ponadto w systemie oś ty nie może być prostopadła do linii prostej przechodzącej przez punkty A i B.

Ponieważ główne momenty układu sił względem dwóch środków są równe zeru, rozważany układ sił nie jest sprowadzany do pary sił. Rzut wypadkowej na dowolną oś jest równy sumie rzutów sił składowych, tj. stąd zakładana wypadkowa Zatem układ sił nie jest zredukowany ani do pary sił, ani do wypadkowej, a zatem jest zrównoważony.

gdzie punkty A, B, C nie leżą na jednej prostej. W tym przypadku siły nie są redukowane do pary sił, ponieważ główne momenty sił względem trzech centrów są równe zeru. Siły nie sprowadzają się do wypadkowej, ponieważ jeśli istnieje, to linia jej działania nie może przechodzić przez trzy punkty, które nie leżą na jednej linii prostej. W ten sposób układ sił nie jest zredukowany ani do pary sił, ani do wypadkowej, a zatem jest zrównoważony.


Centrum Sił Równoległych

Gdy doda się dwie równoległe siły, dwie równoległe siły zostają zredukowane do jednej siły - wypadkowej, której linia działania jest skierowana równolegle do linii działania sił. Wypadkowa przykładana jest w punkcie dzielącym linię prostą, w odległościach odwrotnie proporcjonalnych do wielkości sił.

Ponieważ siła może być przenoszona wzdłuż linii jej działania, punkt przyłożenia wypadkowej nie jest określony. Jeżeli siły obrócimy o ten sam kąt i siły dodamy ponownie, to otrzymamy inny kierunek linii działania wypadkowej. Punkt przecięcia się tych dwóch prostych wypadkowej można uznać za punkt przyłożenia wypadkowej, który nie zmienia swojego położenia, gdy wszystkie siły są jednocześnie obrócone o ten sam kąt. Ten punkt nazywa się środkiem sił równoległych.


Twierdzenie (o równoległym przeniesieniu siły na dowolny punkt).Siła przyłożona do ATT, bez zmiany działania, jakie wywiera na ciało, może być przenoszona równolegle do siebie w dowolnym punkcie ATT, przy jednoczesnym dodaniu pary sił o momencie równym momentowi przenoszonej siły względem punkt, w którym jest przekazywana.

Dowód. Zdradzać tajemnicę ATT siła działająca F, zastosowany w punkcie A. Zgodnie z aksjomatem 2 statyki w dowolnym punkcie ciała możemy zastosować zrównoważony układ sił F, F ”, na przykład w punkcie V(rys. 4.1).

Ryż. 4.1

Pozwalać F "= F. Wtedy otrzymany układ trzech sił można uznać za układ składający się z siły F " i dodatkowa para sił F ”, F z chwilą T = m B (F). ?

Oto jeszcze dwa twierdzenia, które mogą być przydatne w rozwiązywaniu problemów. Pierwszy to twierdzenie Eulera-Somowa.

Twierdzenie.Dowolny przestrzenny układ sił działających na ATT można zredukować do dwóch sił (krzyż sił), z których jedna jest przyłożona w dowolnie wybranym punkcie A TT.

Drugi to twierdzenie Varignona dla dowolnego płaskiego układu sił, co jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Eulera-Somowa.

Twierdzenie.Dowolny płaski układ sił jest równoważny układowi dwóch sił leżących na tej płaszczyźnie.

? Redukcja układu sił do jednego środka Twierdzenie (główne twierdzenie statyki).Działanie dowolnego dowolnego układu sił na A TT jest równoważne działaniu w dowolnym punkcie A tego ATT wektora głównego 1 F tego układu sił i pary sił z momentem M A, który jest równy głównemu momentowi układu sił względem środka odniesienia A 2.

Dowód. Zdradzać tajemnicę ATT działa arbitralny układ sił F (_ rz. Wybierzmy dowolnie punkt A jako środek odniesienia (rys. 4.2) i przenieść wszystkie siły do ​​tego punktu zgodnie z twierdzeniem o równoległym przenoszeniu siły.


Ryż. 4.2.Do głównego twierdzenia statyki: redukcja do najprostszej postaci dowolnego układu sił

Z takim transferem w punkcie A dołączone zostaną dwie grupy wektorów:

1) wektory sił F (_ n = F x _ n oraz 2) wektory momentów dodanych # i LO b, 1 = m A (F \ _ „). CCC F x "_ n można zastąpić wypadkową F = ^ Fj, a układ par jest równoważny jednej parze z momentem

m l = !

W szczególnym przypadku położenia wszystkich sił w jednej płaszczyźnie - płaskiego układu sił - układ sił sprowadza się do wektora głównego i skalarnego momentu głównego (ponieważ kierunek wektora momentu głównego jest do płaszczyzny sił).

Moc F, równa się sumie geometrycznej / wektorowej wszystkich sił układu, nazywa się główny wektor układy sił.

Za chwilę MAMA, równa geometrycznej / wektorowej sumie momentów wszystkich sił względem środka A, nazywa główny punkt układy sił.

Zatem mechaniczne działanie dowolnego przestrzennego układu sił na ATT charakteryzuje się dwoma uogólnionymi parametrami

  • 1 Definicję wektora głównego i momentu głównego układu sił można znaleźć w dalszej części tego rozdziału.
  • 2 W tym samym czasie F nie zależy od wyboru centrum L(innymi słowy, główny wektor układu sił jest niezmiennikiem układu sił), a wartości M A w ogólnym przypadku zależy od położenia środka odniesienia (innymi słowy, główny moment układu sił nie jest niezmiennikiem układu sił).

rami: wektor główny i punkt główny. Wyznaczenie tych wartości można wykonać za pomocą konstrukcji geometrycznej lub obliczeń numerycznych z wykorzystaniem wzorów:

Jeśli chcesz znaleźć kąty, obliczane są cosinusy kierunku wektorów głównych:


? Szczególne przypadki sprowadzania układów sił

Przypadki te są formalnie związane z równością do zera wartości głównych wektorów układu sił.

Zgadzam się. Redukcja dowolnego płaskiego układu sił:

  • 1) F = O, ML - 0 - układ sił jest w równowadze;
  • 2) F - O, MA F MAMA,
  • 3) FF O, M A - 0 - układ sił jest sprowadzony do jednego wektora głównego (stosowany w środku odniesienia) A), która w tym przypadku jest siłą wypadkową;
  • 4) F f O, MA F 0 - układ sił jest sprowadzony do jednej siły - główny wektor układu sił przyłożonych w punkcie V(rys. 4.3), która w tym przypadku jest siłą wypadkową.

Ryż. 4.3.

Na ryc. 4.3 odległość Lv = D, które jest ramieniem siły, oblicza się z warunku M A - K?D.

II przypadek. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił:

  • 1)F = O, M A= 0 - układ sił jest w równowadze;
  • 2) F = O, M AF 0 - układ sił sprowadza się do jednej pary z momentem MAMA, którego wartość nie zależy od wyboru środka odniesienia;
  • 3) FF O, MA = 0 - układ sił sprowadza się do jednej wypadkowej F
  • 4) Och, M AF 0:
    • a) F A.M A - układ sił sprowadza się do jednej wypadkowej, która jest przyłożona w punkcie V takie, że Lv = D = MJF(patrz rys. 4.3);
    • b) F M A - układ sił (rys.4.4) w tym przypadku nazywa się śruba dynamiczna/mocowa, lub po prostu dynamo. Nazywa się linia prosta, wzdłuż której skierowany jest główny wektor oś dynama lub centralna oś układu sił.

Ryż. 4.4.

Pod działaniem takiego układu sił ciało swobodne wykonuje ruch śrubowy. Na zadanie analityczne oś dynama przechodząca przez słup A, ma równania:

gdzie - parametr dynama, o wymiarze długości.

Rzeczywiście, niech M 0= ^ Г (#;. X / s) - główny moment układu sił F i z wypadkową F (X,Y, Z)= w stosunku do środka O oraz M A= ^ (n, x / D jest głównym momentem tego samego układu sił po zredukowaniu do środka A(rys. 4.5, a). Ponieważ / *, = OA+ ja wtedy M L = M 0 -OAx^ F i= M 0 -OA x F. Warunek współliniowości wektora głównego i momentu głównego punktu A jest napisane w następujący sposób: pF = MA, gdzie r jest parametrem śruby o wymiarze długości. Skąd bierzemy?


i, zrównując współczynniki w ortach po lewej i prawej stronie, otrzymujemy wymagane równanie dla osi środkowej prądnicy;

Ryż. 4,5,a. Do wyprowadzenia równania osi centralnej dynama

c) jeżeli wektor główny i moment główny tworzą ze sobą kąt φ różny od zera i n/2, to układ sił sprowadza się do dynama F, Mp którego oś przechodzi przez punkt V takie, że AB = MJF ( Ryż. 4,5 , b).

Ryż. 4,5,b. Dowolne położenie wektora głównego układu sił i momentu głównego

Jak widać, głównym wektorem są elementy dynama F układy sił i momentów dynama Poseł M A w kierunku wektora głównego, tj. = M A SOBF.

Skąd bierzemy?

Główny niezmienniki statyczne 1 głównym wektorem są układy sił Ri moment dynamo, równy rzutowi momentu głównego M A w kierunku wektora głównego. Dla wektora F to stwierdzenie jest oczywiste. Na moment dynamo widać, że M A = M 1 (+ M ±, gdzie M A F = M l (F + M L F, lub MA F = M n F.

Ponieważ wektor / 'jest stały, wynika z tego, że rzut momentu głównego na jego kierunek jest również stały.

? Warunki równowagi

Układy sił dzielą się geometrycznie na następujące typy:

  • 1) system zbieżnych sił, tych. siły, których linie działania przecinają się w jednym punkcie;
  • 2) arbitralne płaski układ sił, tych. siły, których linie działania znajdują się na tej samej płaszczyźnie;
  • 3)równoległy układ sił- płaskie i przestrzenne, tj. siły, których linie działania są równoległe;
  • 4) arbitralne przestrzenny układ sił.

Jeżeli oprócz układu sił na L TT działa układ momentów, to każdy moment tego układu można przedstawić jako parę sił, a tym samym układ momentów można sprowadzić do układu sił.

Główny warunek równowagi statyki(w postaci wektorowej):

Aby uzyskać równowagę A TT pod działaniem przestrzennego układu sił, konieczne i wystarczające jest, aby główny wektor i główny moment tego układu sił względem dowolnego środka odniesienia były równe zero 1:

Projektując te dwa równania wektorowe na osiach współrzędnych wybranego WSPÓŁ, otrzymujemy sześć równań skalarnych, lub analityczna postać warunków równowagi:

W ten sposób, dla równowagi ATT pod działaniem przestrzennego układu sił konieczne i wystarczające jest, aby sumy rzutów wszystkich sił na każdą z trzech osi współrzędnych oraz suma momentów wszystkich sił względem tych osi były równy zero.

Te same warunki można sformułować w formie geometrycznej:dla równowagi ATT pod działaniem przestrzennego układu sił jest konieczne i wystarczające, aby wielokąt siły i wielokąt momentów były zamknięte.

Warunki równowagi wyrażone w formie analitycznej (4.1a) są często nazywane równania równowagi. Jeśli liczba niewiadomych przekracza liczbę równań równowagi, to problemem jest: statycznie niezdefiniowane. Jak widać, w ogólnym przypadku problem równowagi ciała może mieć sześć nieznanych wielkości.

Rada!Aby uzyskać najprostsze równania równowagi (z których każde zawiera minimalną liczbę niewiadomych)) osie współrzędnych można narysować prostopadle do największej liczby nieznanych sił, a punkty na przecięciu linii działania można wybrać jako środek redukcji największa liczba nieznane siły.

  • ? Szczególne przypadki warunków równowagi
  • 1. Układ sił zbieżnych ze środkiem sił w punkcie A. Warunek równowagi dla niego w postaci wektorowej sprowadza się do jednego równania

1a. Przestrzenny układ sił zbieżnych. Równania równowagi dla takiego układu w postaci analitycznej przyjmą postać:

16. Płaski układ sił zbieżnych. Równania równowagi dla takiego układu w postaci analitycznej przy założeniu, że siły znajdują się w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny Och, przyjmij formę:

2. Płaski układ sił z siłami znajdującymi się w płaszczyźnie Och:

Dla jednoznaczności statycznej w tym przypadku liczba niewiadomych nie powinna przekraczać trzech. Te same równania można podać w innych, równoważnych formach analitycznych:

gdzie jest linia prosta? Słońce nie prostopadłe do osi Oh.

Inna forma warunków równowagi:

gdzie A, B, C nie leżeć na jednej prostej i należeć do samolotu Och.

3. Równoległe układy sił:

Za. Równoległe układy sił w przestrzeni, z uwzględnieniem ich równoległych do osi Jednostka organizacyjna. Wówczas z sześciu równań (4.1a) pierwsze, trzecie i szóste zamienią się w identyczność (niezależnie od tego, czy dany układ sił jest w równowadze, czy nie):

36. Równoległe układy sił na płaszczyźnie, z uwzględnieniem ich położonych w tej samej płaszczyźnie Ooh równolegle do osi Jednostka organizacyjna:

lub w innej formie:

4. Dla dowolnego przestrzennego układu sił warunek równowagi został już pokazany wcześniej w tym rozdziale - jest to podstawowy warunek równowagi dla statyki (4.1).

Przykład 1 (doprowadzenie układu sił do najprostszej postaci). Określ wektor głowy R * i główny punkt M 0 dany układ sił Px, P 2, P 2, P 4 w stosunku do centrum O i ustalić najprostszą formę tego systemu. Wymiary równoległościanu (ryc. 4.6), a także moduły i kierunki sił podano w tabeli.

Wykonując zadanie, musisz wykonać następujące czynności:

  • 1) zobrazuj dany układ sił, budując równoległościan w skali, pokazując kąt hej na rysunku równy 135 °; redukcja wymiarów wzdłuż osi Oh weź równe 1: 2;
  • 2) po wybraniu układu osi współrzędnych określić moduł i kierunek wektora głównego danego układu sił poprzez jego rzuty na osie współrzędnych i zobrazować R * na rysunku;

Ryż. 4.6. Przykład 1: oryginalne pudełko

  • 3) obliczyć główny moment danego układu sił względem środka O przez jego rzuty na osie współrzędnych i przedstawiają M 0 na rysunku;
  • 4) obliczyć najmniejszy moment główny danego układu sił;
  • 5) na podstawie wyników obliczenia wektora głównego i najmniejszego momentu głównego M * ustalić najprostszą postać danego układu sił. W takim przypadku musisz wykonać następujące czynności:
    • a) jeżeli dany układ sił sprowadza się do pary sił, to pokaż moment tej pary przykładając go do punktu O;
  • 6) jeżeli dany układ sił sprowadza się do wypadkowej, to znaleźć równania linii działania wypadkowej, wyznaczyć punkty przecięcia tej linii z płaszczyznami współrzędnych i zobrazować na rysunku;
  • c) jeśli dany układ sił sprowadza się do dynama (śruby napędowej), to znajdź równania osi środkowej, wyznacz punkty przecięcia tej osi z płaszczyznami współrzędnych i przedstaw na rysunku /?* i M*.

Rozwiązanie. 1. Wyznaczanie wektora głównego danego układu sił. Dany układ sił pokazano na rys. 4.7.

Ryż. 4.7. Przykład 1: zastosowany układ sił

W tym przypadku cos a = 0,6 i sin a = 0,8.

Główne rzuty wektorowe na oś współrzędnych:

Główny moduł wektorowy Cosinus kierunku:

Zgodnie z danymi początkowymi otrzymujemy X = 10,6 N, Y = 10,0 godz.; Z = -12,8 H; R * = 19,4 godz.; sałata (R, i) = 0,547, cos (R, j) = 0,515, cos (R, k) == -0,660.

Główny wektor pokazano na ryc. 4.8.

Ryż. 4.8.

2. Wyznaczenie momentu głównego danego układu sił względem środka O.

Główne momenty danego układu sił względem osi współrzędnych:

Główny punkt modułu:

Cosinus kierunku:

W wyniku obliczeń mamy: M x= -200 Ncm; m= 384 Ncm; M,= -200 Ncm; sałata (М 0, i) = -0,419; sałata (M 0, j)= 0,805; sałata (M 0, k) - - -0,419.

Główny punkt pokazano na ryc. 4.8.

3. Obliczanie najmniejszego momentu głównego danego układu sił:

Zgodnie z tym wzorem otrzymujemy: LH = 221 N cm.

4. Ponieważ R * Ф 0 i L / * * 0, wtedy dany układ sił sprowadza się do dynama (śruby napędowej).

Równanie osi centralnej to:

Z tych trzech równań tylko dwa są niezależne. Zastępując znalezione wartości liczbowe wielkości w dwóch z tych równań, znajdujemy:

Wartości współrzędnych punktów przecięcia osi środkowej płaszczyzn współrzędnych, określone za pomocą tych równań, podano w tabeli.

Współrzędne, cm

Oś centralną układu pokazano na ryc. 4.8.

Notatka. Jeżeli siły zostaną zredukowane do wypadkowej, tj. R * f 0 i M "= 0, to równania linii działania są wypadkową:

gdzie X, Y, Z - rzut wypadkowej siły na osie współrzędnych; M x, M r, M. - główne momenty danego układu sił względem osi współrzędnych. Z tych trzech równań tylko dwa są niezależne.

  • Wielkość niezmienna to wielkość, która nie zależy od wyboru CS i dlatego pozostaje stała przy różnych transformacjach układów współrzędnych. W tym przypadku wartości te pozostają stałe dla różnych wyborów środka odniesienia.
  • Warunki te będą wystarczające dla równowagi ATT, jeśli w początkowej chwili znajdował się w spoczynku w wybranym inercyjnym CO. W zwykłej praktyce inżynierskiej do takiego systemu wybiera się CO związany z Ziemią.

Rozważ kilka szczególnych przypadków poprzedniego twierdzenia.

1. Jeżeli dla danego układu sił R = 0, M 0 = 0, to jest on w równowadze.

2. Jeżeli dla danego układu sił R = 0, M 0  0, to redukuje się go do jednej pary z momentem M 0 = m 0 (F i). W tym przypadku wartość M 0 nie zależy od wyboru centrum O.

3. Jeżeli dla danego układu sił R  0, to jest on sprowadzony do jednej wypadkowej, a jeśli R  0 i M 0 = 0, to układ zastępuje jedna siła, czyli wynikowy R przechodzący przez środek O; jeśli R  0 i M 0  0, to układ jest zastępowany przez jedną siłę przechodzącą przez jakiś punkt C, a OS = d (OCR) i d = | M 0 | / R.

Zatem płaski układ sił, jeśli nie jest w równowadze, sprowadza się albo do jednej wypadkowej (gdy R  0) albo do jednej pary (gdy R = 0).

Przykład 2. Siły przyłożone do dysku:

(ryc. 3.16), aby doprowadzić ten układ sił do najprostszej postaci.

Rozwiązanie: wybierz układ współrzędnych Oxy. Jako środek redukcji wybieramy punkt O. Główny wektor R:

R x = F ix = -F 1 cos30 0 - F 2 cos30 0 + F 4 cos45 0 = 0; Ryż. 3.16

R y = F iy = -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 - F 3 + F 4 cos45 0 = 0. Zatem R = 0.

Główny moment systemu M 0:

М 0: = m 0 (F i) = F 3 * a - F 4 * a * sin45 0 = 0, gdzie a jest promieniem dysku.

Odpowiedź: R = 0; M 0 = 0; ciało jest w równowadze.

Zmniejsz do najprostszej postaci układ sił F 1, F 2, F 3, pokazany na rysunku (rys. 3.17). Siły F 1 i F 2 są skierowane na przeciwne strony, a siła F 3 jest skierowana po przekątnej prostokąta ABCD, którego bok AD jest równy a. |F1 | = |F2 | = |F3 |/2=F.

Rozwiązanie: skieruj osie współrzędnych, jak pokazano na rysunku. Zdefiniujmy rzuty wszystkich sił na oś współrzędnych:

Moduł wektora głównego R jest równy:
;
.

Cosinusy kierunku będą następujące:
;
.

Stąd: (x, R) = 150 0; (y, R) = 60 0.

O definiujemy moment główny układu sił względem środka redukcji A. Wtedy

m A = m A (F 1) + m A (F 2) + m A (F 3).

Biorąc pod uwagę, że m A (F 1) = m A (F 3) = 0, ponieważ kierunek sił przechodzi przez punkt A, to

m A = m A (F 2) = F * a.

W ten sposób układ sił sprowadza się do siły R i pary sił z momentem m A skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (rys. 3.18).

Odpowiedź: R = 2F; (x,^R) = 150 0; (y, ^ R) = 60 0; m A = F * a.

Pytania do samokontroli

    Jaki jest moment siły względem środka?

    Czym jest para sił?

    Redukcja dowolnego płaskiego układu sił do danego środka?

    Dodawanie sił równoległych?

Literatura:,,.

Wykład 4. Warunki równowagi dla dowolnego płaskiego układu sił

Podstawowa postać warunków równowagi. Dla równowagi dowolnego płaskiego układu sił konieczne i wystarczające jest, aby suma rzutów wszystkich sił na każdą z dwóch osi współrzędnych i suma ich momentów względem dowolnego środka leżącego w płaszczyźnie działania siły są równe zeru:

F ix = 0; F iy = 0; m 0 (Fi) = 0.

Druga postać warunków równowagi: Dla równowagi dowolnego płaskiego układu sił konieczne i wystarczające jest, aby suma momentów wszystkich tych sił względem dowolnych dwóch środków A i B oraz suma ich rzutów na oś Ox nie prostopadłą do prostej AB są równe zeru:

m A (Fi) = 0; mB (Fi) = 0; F ix = 0.

Trzecia postać warunków równowagi (równanie trzech punktów): Dla równowagi dowolnego płaskiego układu sił konieczne i wystarczające jest, aby suma wszystkich tych sił względem dowolnych trzech centrów A, B, C, które nie leżą na jednej prostej, była równa zeru:

m A (Fi) = 0; mB (Fi) = 0; m С (F i) = 0.

P Przykład 1. Wyznacz reakcje osadzenia belki wspornikowej pod działaniem obciążenia równomiernie rozłożonego, jednej siły skupionej i dwóch par sił (rys. 4.1); intensywność obciążenia q = 3 * 10 4 H / m; F = 4 * 104 H; m1 = 2*104 H*m; m2 = 3 * 10 4 H * m. BN = 3m; NC = 3m; CA = 4m.

r rozwiązanie:

Zgodnie z zasadą wolności od wiązań zastąpimy wiązania odpowiednimi reakcjami. Przy osadzeniu sztywnym w ścianie pojawia się siła reakcji R A o nieznanym kierunku i nieznanym momencie m A (rys. 4.2). Zastępujemy obciążenie rozłożone równoważną siłą skupioną Q przyłożoną w punkcie K (VC = 1,5 m). Wybierzmy układ współrzędnych VHU i skomponujmy warunki równowagi belki w postaci podstawowej:

rzut sił na oś X: - Fcos45 0 - R Ax = 0 (1)

rzut sił na oś Y: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

suma momentów: m A (F) = m 1 - m 2 + m A + Q * KA + F ”* CA = 0 (3)

Siła F jest rozkładana w punkcie C na dwie wzajemnie prostopadłe składowe F „i F”; siła F 'nie tworzy momentu względem punktu A, ponieważ linia działania siły przechodzi przez punkt A. Moduł siły F ”= Fcos45 0 = F (2) 1/2 / 2.

Podstawiając wartości liczbowe do równań (1), (2) i (3) otrzymujemy:

W tym układzie trzech równań istnieją trzy niewiadome, dlatego układ ma rozwiązanie, a ponadto tylko jedno.

4 * 10 4 * 0,7 = R Ax R Ax = 2,8 * 10 4 H

3 * 10 4 * 3 - 4 * 10 4 * 0,7 + R Ay = 0 R Ay = 11,8 * 10 4 H

m A - 10 4 + 3 * 10 4 * 3 * 8,5 + 4 * 10 4 * 2,8 = 0 m A = - 86,8 * 10 4 H * m

Odpowiedź: R Ax = 2,8 * 104 H; RAy = 11,8 * 104H; mA = - 86,8 * 104 H * m.

Przykład 2. Wyznacz reakcje podpór A, B, C i przegubu D belki zespolonej (rys. 4.3).

Q = 1,75 * 10 4 N / m; F = 6 * 104 H; P = 5 * 10 4 godz.

Rozwiązanie: Zgodnie z zasadą wolności od wiązań zastąpimy wiązania odpowiednimi reakcjami.

Zastępujemy obciążenie rozłożone q równoważną siłą skupioną Q = q * KA przyłożoną w punkcie M (AM = 2m). Liczba nieznanych sił reakcji: R Ax, R Ay, R B, R C oraz dwie pary składowych sił reakcji w zawiasie D.

r Rozważmy osobno reakcje w zawiasie D. Aby to zrobić, rozważ oddzielnie belki AD i DE (ryc. 4.5a, 4.5b).

Zgodnie z trzecim prawem Newtona w zawiasie D na belkę KD działa układ sił R Dx i R Dy, a układ sił jest przeciwny do belki DE: R 'Dx i R' Dy, a moduły siły są równe parami, tj. R Dx = R Dx i R Dy = R Dy. Ten wewnętrzna siła belka zespolona, ​​więc liczba nieznanych sił reakcji wynosi sześć. Do ich wyznaczenia konieczne jest sporządzenie sześciu niezależnych równań stanów równowagi. Możliwe są następujące opcje tworzenia równań stanu.

Opracowujemy warunki równowagi dla całej konstrukcji (3 równania) oraz dla pojedynczego elementu tej konstrukcji: belek KD lub DE. Podczas kompilowania równań równowagi dla całej konstrukcji nie uwzględnia się sił wewnętrznych, ponieważ podczas sumowania są one wzajemnie anihilowane.

Równania warunku równowagi dla całej konstrukcji:

R Oś - Fcos60 0 = 0

Q - R Ay - Fsin60 0 + R B + R C - P = 0

m A (F) = Q * m A - Fsin60 0 * AN + R B * AB + R C * AC - P * AE = 0

Równania warunku równowagi dla elementu DE:

R’Dy, + R C - P * DE = 0

MD (F) = RC * DC - P * DE = 0

W ten sposób skompilowano sześć niezależnych równań z sześcioma niewiadomymi, dlatego układ równań ma rozwiązanie, a ponadto tylko jedno. Rozwiązując układ równań, wyznaczamy nieznane siły reakcji.


Statyka karoserii sztywnej:
Przestrzenny układ sił
§ 7. Sprowadzenie układu sił do najprostszej postaci”

Zadania na ten temat

7.1 Do wierzchołków sześcianu działają siły wzdłuż kierunków żeber, jak pokazano na rysunku. Jakie warunki muszą spełniać moduły sił F1, F2, F3, F4, F5 i F6, aby były w równowadze?
ROZWIĄZANIE

7.2 Na trzech rozłącznych i nierównoległych krawędziach równoległościanu prostokątnego działają trzy równe w wartości bezwzględnej siły P. Jaki związek musi istnieć między krawędziami a, b i c, aby ten układ został sprowadzony do jednej wypadkowej?
ROZWIĄZANIE

7.3 Do czterech wierzchołków A, H, B i D sześcianu przyłożone są cztery siły o równej wielkości: P1 = P2 = P3 = P4 = P, a siła P1 jest skierowana wzdłuż AC, P2 wzdłuż HF, P3 wzdłuż BE i P4 wzdłuż DG. Sprowadź ten system do najprostszej formy.
ROZWIĄZANIE

7.4 Do czworościanu foremnego ABCD o krawędziach równych a przyłożone są następujące siły: F1 wzdłuż krawędzi AB, F2 wzdłuż krawędzi CD i F3 w punkcie E w środku krawędzi BD. Wielkości sił F1 i F2 są dowolne, a rzuty siły F3 na osie x, y i z wynoszą + F25√3 / 6; -F2 / 2; -F2√ (2/3). Czy ten układ sił sprowadza się do jednej wypadkowej? Jeśli dane, to znajdź współrzędne x i z punktu przecięcia linii działania wypadkowej z płaszczyzną Oxz.
ROZWIĄZANIE

7.5 Na wierzchołki sześcianu, których krawędzie mają długość 5 cm, przykłada się, jak pokazano na rysunku, sześć sił o równym module, po 2 N każda. Sprowadź ten system do najprostszej formy.
ROZWIĄZANIE

7.6 Układ sił: P1 = 8 N, skierowanych wzdłuż Oz i P2 = 12 N, skierowanych równolegle do Oy, jak pokazano na rysunku, gdzie OA = 1,3 m, doprowadza do postaci kanonicznej, po określeniu wielkości wektor główny V wszystkich tych sił i wielkość ich głównego momentu M względem dowolnego punktu przyjętego na centralnej osi śruby. Znajdź kąty α, β i γ, utworzone przez oś centralną śruby z osiami współrzędnych, a także współrzędne x i y jej miejsca spotkania z płaszczyzną Oxy.
ROZWIĄZANIE

7.7 Trzy siły P1, P2 i P3 leżą w płaszczyznach współrzędnych i są równoległe do osi współrzędnych, ale mogą być skierowane zarówno w jednym, jak iw drugim kierunku. Punkty ich zastosowania A, B i C znajdują się w określonych odległościach a, b i c od początku. Jaki warunek muszą spełniać wielkości tych sił, aby można je było zredukować do jednej wypadkowej? Jaki warunek muszą spełniać wielkości tych sił, aby centralna oś śruby przechodziła przez początek?
ROZWIĄZANIE

7.8 Do czworościanu foremnego ABCD o krawędziach równych a, siła F1 jest przyłożona wzdłuż krawędzi AB, a siła F2 wzdłuż krawędzi CD. Znajdź współrzędne x i y przecięcia centralnej osi śruby z płaszczyzną Oxy.
ROZWIĄZANIE

7.9 Wzdłuż krawędzi sześcianu, równych a, występuje dwanaście sił o równym module P, jak pokazano na rysunku. Sprowadź ten układ sił do postaci kanonicznej i wyznacz współrzędne x i y punktu przecięcia centralnej osi śruby z płaszczyzną Oxy.
ROZWIĄZANIE

7.10 Wzdłuż krawędzi równoległościanu prostokątnego, odpowiednio równych 10 m, 4 m i 5 m, występuje sześć sił wskazanych na rysunku: P1 = 4 N, P2 = 6 N, P3 = 3 N, P4 = 2 N, P5 = 6 N, P6 = 8 N. Sprowadź ten układ sił do postaci kanonicznej i wyznacz współrzędne x i y punktu przecięcia centralnej osi śruby z płaszczyzną Oxy.
ROZWIĄZANIE

7.11 Wypadkowe siły parcia wody P = 8000 kN i F = 5200 kN na tamę działają w środkowej płaszczyźnie pionowej prostopadłej do odpowiednich ścian w odległości H = 4 mi h = 2,4 m od podstawy. W jej środku przykładana jest siła ciężaru G1 = 12000 kN prostokątnej części zapory, a siła ciężaru G2 = 6000 kN części trójkątnej w odległości jednej trzeciej długości dolnej podstawy odcinka trójkątnego od pionową krawędź tej sekcji. Szerokość zapory u podstawy b = 10 m, w górnej części a = 5 m; tg α = 5/12. Wyznacz wypadkową rozłożonych sił reakcji gruntu, na którym posadowiona jest zapora.
ROZWIĄZANIE

7.12 Ciężar wieży radiowej z podstawą betonową G = 140 kN. Na maszt przyłożona jest siła naciągu anteny F = 20 kN oraz wypadkowa sił naporu wiatru P = 50 kN; obie siły są poziome i znajdują się we wzajemnie prostopadłych płaszczyznach; H = 15 m, h = 6 m. Określ wynikową reakcję gleby, w której ułożona jest podstawa masztu.

Sekcje