Zobaczmy, jak obliczana jest prędkość i przyspieszenie punktu, jeśli ruch jest określony równaniami (3) lub (4). Kwestia określenia trajektorii w tym przypadku została już rozważona w § 37.

Wzory (8) i (10), które wyznaczają wartości v i a, zawierają pochodne wektorów po czasie. W równaniach zawierających pochodne wektorów przejście do zależności pomiędzy rzutami odbywa się za pomocą twierdzenia: rzut pochodnej wektora na oś ustaloną w danym układzie odniesienia jest równy pochodnej rzutu wektora różniczkowalnego na tę samą oś, tj.

1. Wyznaczanie prędkości punktu. Wektor prędkości punktu Stąd, na podstawie wzorów (I), biorąc pod uwagę, że znajdujemy:

gdzie kropka nad literą jest symbolem zróżnicowania ze względu na czas. Zatem rzuty prędkości punktu na osie współrzędnych są równe pierwszym pochodnym odpowiednich współrzędnych punktu po czasie.

Znając rzuty prędkości, wyznaczymy jej wielkość i kierunek (czyli kąty, jakie wektor v tworzy z osiami współrzędnych) korzystając ze wzorów

2. Wyznaczanie przyspieszenia punktu. Wektor przyspieszenia punktu Stąd na podstawie wzorów (11) otrzymujemy:

tj. rzuty przyspieszenia punktu na osie współrzędnych są równe pierwszym pochodnym rzutów prędkości lub drugim pochodnym odpowiednich współrzędnych punktu po czasie. Wielkość i kierunek przyspieszenia można znaleźć ze wzorów

gdzie są kąty utworzone przez wektor przyspieszenia z osiami współrzędnych.

Tak więc, jeśli ruch punktu jest podany w kartezjańskim współrzędne prostokątne równania (3) lub (4), wówczas prędkość punktu wyznacza się wzorami (12) i (13), a przyspieszenie wzorami (14) i (15). Ponadto, w przypadku ruchu występującego w jednej płaszczyźnie, we wszystkich wzorach należy odrzucić rzut na oś

Niech teraz będzie znana funkcja. Na ryc. 5.10
I
 wektory prędkości punktu poruszającego się w momentach T i  T. Aby uzyskać przyrost wektora prędkości
przesunąć wektor równolegle
rzeczowy M:

Średnie przyspieszenie punktu w czasie  T nazywa się współczynnikiem przyrostu wektora prędkości
na pewien okres T:

Stąd, przyspieszenie punktu w w tej chwili czas jest równy pierwszej pochodnej po czasie wektora prędkości punktu lub drugiej pochodnej wektora promienia po czasie

. (5.11)

Przyspieszenie punktowe jest to wielkość wektorowa charakteryzująca szybkość zmiany wektora prędkości w czasie.

Skonstruujmy hodograf prędkości (ryc. 5.11). Z definicji hodograf prędkości to krzywa rysowana na końcu wektora prędkości, gdy punkt się porusza, jeśli wektor prędkości jest wykreślany z tego samego punktu.

Wyznaczanie prędkości punktu metodą współrzędnych określającą jego ruch

Niech ruch punktu będzie określony metodą współrzędnych w Układ kartezjański współrzędne

X = X(T), y = y(T), z = z(T)

Wektor promienia punktu jest równy

.

Ponieważ wektory jednostkowe
są stałe, to z definicji

. (5.12)

Oznaczmy rzuty wektora prędkości na oś Oh, Oh I Oz Poprzez V X , V y , V z

(5.13)

Porównując równości (5.12) i (5.13) otrzymujemy

(5.14)

W dalszej części pochodna po czasie będzie oznaczona kropką powyżej, tj.

.

Moduł prędkości punktu określa się ze wzoru

. (5.15)

Kierunek wektora prędkości wyznaczają cosinusy kierunkowe:

Wyznaczanie przyspieszenia punktu metodą współrzędnych określenia jego ruchu

Wektor prędkości w kartezjańskim układzie współrzędnych jest równy

.

Z definicji

Oznaczmy rzuty wektora przyspieszenia na oś Oh, Oh I Oz Poprzez A X , A y , A z Odpowiednio rozwijamy wektor prędkości wzdłuż osi:

. (5.17)

Porównując równości (5.16) i (5.17) otrzymujemy

Moduł wektora przyspieszenia punktowego oblicza się analogicznie do modułu wektora prędkości punktowej:

, (5.19)

a kierunek wektora przyspieszenia jest zgodny z cosinusami kierunku:

Wyznaczanie prędkości i przyspieszenia punktu metodą naturalną wyznaczania jego ruchu

Orty I wylegiwać się płaszczyzna oscylacyjna, wektory jednostkowe I V normalny samolot, wektory jednostkowe I - W płaszczyzna prostowania.

Powstały trójścian nazywa się naturalnym.

Niech zostanie dane prawo ruchu punktu S = S(T).

Wektor promienia zwrotnica M względem dowolnego stałego punktu będzie złożoną funkcją czasu
.

Z geometrii różniczkowej znane są wzory Serre’a-Freneta ustalające powiązania pomiędzy wektorami jednostkowymi osi naturalnych a funkcją wektorową krzywej

gdzie  jest promieniem krzywizny trajektorii.

Korzystając z definicji prędkości i wzoru Serre’a-Freneta otrzymujemy:

. (5.20)

Oznaczanie rzutu prędkości na styczną i biorąc pod uwagę, że wektor prędkości jest skierowany stycznie, mamy

. (5.21)

Porównując równości (5.20) i (5.21) otrzymujemy wzory na określenie wektora prędkości pod względem wielkości i kierunku

Ogrom pozytywne, jeśli o to chodzi M porusza się w kierunku dodatnim odniesienia łuku S i negatywne w przeciwnym przypadku.

Korzystając z definicji przyspieszenia i wzoru Serre’a-Freneta otrzymujemy:

Oznaczmy rzut przyspieszenia punktu na stycznej , główny normalny i binormalny
odpowiednio.

Wtedy jest przyspieszenie

Ze wzorów (5.23) i (5.24) wynika, że ​​wektor przyspieszenia zawsze leży w płaszczyźnie styku i jest rozwijany w kierunkach I :

(5.25)

Rzut przyspieszenia na styczną
zwany tangens Lub przyspieszenie styczne. Charakteryzuje zmianę prędkości.

Rzut przyspieszenia na normalną główną
zwany normalne przyspieszenie.

Charakteryzuje zmianę wektora prędkości w kierunku.
.

Wielkość wektora przyspieszenia jest równa I Jeśli

Wielkość wektora przyspieszenia jest równa I tego samego znaku, wówczas ruch punktu zostanie przyspieszony.

różne znaki, wówczas ruch punktu będzie powolny. Podano podstawowe wzory kinematyki punkt materialny

Treść Zobacz także:

Przykład rozwiązania problemu (metoda współrzędnych określenia ruchu punktu)

Podstawowe wzory na kinematykę punktu materialnego

Przedstawmy podstawowe wzory kinematyki punktu materialnego. Po czym przedstawimy ich wnioski i prezentację teorii.
,
Wektor promienia punktu materialnego M w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz:

gdzie są wektorami jednostkowymi (ortami) w kierunku osi x, y, z.
;
.
.
Prędkość punktowa:
.

Wektor jednostkowy w kierunku stycznym do trajektorii punktu:
;
;
;
; ;

Punkt przyspieszenia:
;
;
.

Przyspieszenie styczne (styczne):
;
;
.

Normalne przyspieszenie:
.

Wektor jednostkowy skierowany do środka krzywizny trajektorii punktu (wzdłuż normalnej głównej):

Wektor promienia i trajektoria punktu Rozważmy ruch punktu materialnego M. Wybierzmy ustalony prostokątny układ współrzędnych Oxyz ze środkiem w pewnym stałym punkcie O.

Wtedy położenie punktu M jest jednoznacznie określone przez jego współrzędne
,
(x, y, z)

.
(1)
Współrzędne te są składowymi wektora promienia punktu materialnego.

Wektor promienia punktu M jest wektorem narysowanym od początku stałego układu współrzędnych O do punktu M.

Jeżeli punkt porusza się w płaszczyźnie, wówczas osie i układy współrzędnych można tak dobrać, aby leżały w tej płaszczyźnie. Następnie trajektorię wyznaczają dwa równania

W niektórych przypadkach z tych równań można wyeliminować czas. Wtedy będzie miało równanie trajektorii:
,
zależność formy

gdzie jest jakaś funkcja. Ta zależność zawiera tylko zmienne i . Nie zawiera parametru.

Prędkość punktu materialnego jest pochodną jego wektora promienia po czasie.

Zgodnie z definicją prędkości i definicją pochodnej:
,
W mechanice pochodne po czasie oznacza się kropką nad symbolem. Zastąpmy tutaj wyrażenie wektora promienia:

,
gdzie wyraźnie wskazaliśmy zależność współrzędnych od czasu. Otrzymujemy:
,
,

Gdzie
.

- rzuty prędkości na osie współrzędnych. Uzyskuje się je różniczkując składowe wektora promienia ze względu na czas
.
Zatem
.

Moduł prędkości:

Styczna do ścieżki Z matematycznego punktu widzenia układ równań (1) można uznać za równanie prostej (krzywej) określonej równaniami parametrycznymi. Czas odgrywa w tym przypadku rolę parametru. Z kursu analiza matematyczna
.
wiadomo, że wektor kierunkowy stycznej do tej krzywej ma następujące składowe: Ale to są składowe wektora prędkości punktu. To jest.

prędkość punktu materialnego jest skierowana stycznie do trajektorii
Wszystko to można bezpośrednio wykazać. Niech w danym momencie punkt znajdzie się w położeniu zgodnym z wektorem promienia (patrz rysunek). I w danym momencie - w pozycji z wektorem promienia.
;
;
.
Narysujmy linię prostą przechodzącą przez punkty.

Z definicji styczna to linia prosta, do której linia prosta zmierza jako .
.
Wprowadźmy następującą notację:
Następnie wektor kierowany jest wzdłuż linii prostej.

Podczas pielęgnacji linia prosta dąży do stycznej, a wektor dąży do prędkości punktu w danym momencie: Ponieważ wektor jest skierowany wzdłuż linii prostej, a linia prosta w punkcie , wektor prędkości jest skierowany wzdłuż stycznej.:
.
Oznacza to, że wektor prędkości punktu materialnego jest skierowany wzdłuż stycznej do trajektorii.
Przedstawmy
.

wektor kierunku stycznego o długości jednostkowej
.

Pokażemy, że długość tego wektora jest równa jeden. Rzeczywiście, od

Następnie wektor prędkości punktu można przedstawić jako:
;
;
;
.
Przyspieszenie punktu materialnego
.

Przyspieszenie punktu materialnego jest pochodną jego prędkości po czasie.

Rozważmy teraz kwestię kierunku wektora przyspieszenia względem trajektorii. W tym celu stosujemy wzór:
.
Różniczkujemy go ze względu na czas, korzystając z reguły różniczkowania iloczynu:
.

Wektor jest skierowany stycznie do trajektorii. W którą stronę skierowana jest jej pochodna po czasie?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, korzystamy z faktu, że długość wektora jest stała i równa jedności. Wtedy kwadrat jego długości jest również równy jeden:
.
Tutaj i poniżej dwa wektory w nawiasach oznaczają iloczyn skalarny wektorów. Zróżniczkujmy ostatnie równanie ze względu na czas:
;
;
.
Ponieważ iloczyn skalarny wektorów i jest równy zero, wektory te są do siebie prostopadłe. Ponieważ wektor jest skierowany stycznie do trajektorii, wektor jest prostopadły do ​​stycznej.

Pierwsza składowa nazywa się przyspieszeniem stycznym lub stycznym:
.
Drugi składnik nazywa się przyspieszeniem normalnym:
.
Wtedy całkowite przyspieszenie wynosi:
(2) .
Wzór ten przedstawia rozkład przyspieszenia na dwie wzajemnie prostopadłe składowe - styczną do trajektorii i prostopadłą do stycznej.

Od tego czasu
(3) .

Przyspieszenie styczne (styczne).

Pomnóżmy obie strony równania (2) skalarny do:
.
Ponieważ wtedy .
;
.
Następnie
.
Tutaj umieszczamy:

Widzimy z tego, że przyspieszenie styczne jest równe rzutowi całkowitego przyspieszenia na kierunek stycznej do trajektorii lub, co jest takie samo, na kierunek prędkości punktu.

Przyspieszenie styczne (styczne) punktu materialnego to rzut jego całkowitego przyspieszenia na kierunek stycznej do trajektorii (lub kierunku prędkości).

Symbolem tym określamy styczny wektor przyspieszenia skierowany wzdłuż stycznej do trajektorii. Następnie jest wielkością skalarną równą rzutowi całkowitego przyspieszenia na kierunek stycznej. Może być zarówno pozytywny, jak i negatywny.
.

Podstawiając mamy:
.
Umieśćmy to we wzorze:
.
Następnie: Oznacza to, że przyspieszenie styczne jest równe pochodnej czasu prędkości bezwzględnej punktu. Zatem, przyspieszenie styczne prowadzi do zmiany wartości bezwzględnej prędkości punktu

. Wraz ze wzrostem prędkości przyspieszenie styczne jest dodatnie (lub skierowane wzdłuż prędkości). Gdy prędkość maleje, przyspieszenie styczne jest ujemne (lub w kierunku przeciwnym do prędkości).

Rozważmy wektor jednostkowy styczny do trajektorii.
.

Umieśćmy jego początek w początku układu współrzędnych. Wtedy koniec wektora będzie znajdował się na kuli o jednostkowym promieniu. Kiedy punkt materialny się poruszy, koniec wektora przesunie się wzdłuż tej kuli. Oznacza to, że będzie się obracał wokół swojego początku. Niech będzie chwilową prędkością kątową obrotu wektora w chwili czasu. Wtedy jego pochodną jest prędkość ruchu końca wektora. Jest skierowany prostopadle do wektora. Zastosujmy wzór na ruch obrotowy. Moduł wektorowy:
.
Rozważmy teraz położenie punktu dla dwóch bliskich momentów w czasie. Niech punkt będzie na miejscu w chwili czasu i na miejscu w chwili czasu.

Niech i będą wektorami jednostkowymi skierowanymi stycznie do trajektorii w tych punktach. Przez punkty i rysujemy płaszczyzny prostopadłe do wektorów i .
.
Niech będzie linią prostą utworzoną przez przecięcie tych płaszczyzn. Z punktu obniżamy prostopadłą do linii prostej.

Jeżeli położenia punktów są wystarczająco blisko siebie, wówczas ruch punktu można uznać za obrót po okręgu o promieniu wokół osi, która będzie chwilową osią obrotu punktu materialnego. Ponieważ wektory i są prostopadłe do płaszczyzn i , to kąt między tymi płaszczyznami

Jeżeli położenia punktów są wystarczająco blisko siebie, wówczas ruch punktu można uznać za obrót po okręgu o promieniu wokół osi, która będzie chwilową osią obrotu punktu materialnego. Ponieważ wektory i są prostopadłe do płaszczyzn i , to kąt między tymi płaszczyznami

równy kątowi
pomiędzy wektorami i .
;
.
Wówczas chwilowa prędkość obrotu punktu wokół osi jest równa chwilowej prędkości obrotu wektora:
.

Oto odległość między punktami i . (2) W ten sposób znaleźliśmy moduł pochodnej wektora po czasie:
(4) .
Jak wskazaliśmy wcześniej, wektor jest prostopadły do ​​wektora. (3) Z powyższego rozumowania jasno wynika, że ​​jest on skierowany w stronę chwilowego środka krzywizny trajektorii. Kierunek ten nazywany jest normalną główną.
.

Pomnóżmy obie strony równania (2) skalarny do:
(2) .
.
Ponieważ wtedy .
;
.
Normalne przyspieszenie

skierowane wzdłuż wektora.

Jak się dowiedzieliśmy, wektor ten jest skierowany prostopadle do stycznej, w kierunku chwilowego środka krzywizny trajektorii.
.
Oznacza to, że przyspieszenie normalne powoduje zmianę kierunku prędkości punktu i jest związane z promieniem krzywizny trajektorii.

Stąd możesz znaleźć promień krzywizny trajektorii:
.

Podsumowując, zauważamy, że formuła (4) można przepisać w następujący sposób:
.
Tutaj zastosowaliśmy wzór na iloczyn krzyżowy trzech wektorów:
,
które oprawili
.

Więc mamy:
;
.
Przyrównajmy moduły lewej i prawej części:
.
Ale wektory są również wzajemnie prostopadłe. Dlatego
.
Następnie
.
Jest to dobrze znany wzór z geometrii różniczkowej na krzywiznę krzywej.

Wprowadźmy wektor jednostkowy τ związany z ruchomym punktem A i skierowany stycznie do trajektorii w kierunku rosnącej współrzędnej łuku (rys. 1.6). Jest oczywiste, że τ jest wektorem zmiennym: zależy od l. Wektor prędkości v punktu A jest skierowany stycznie do trajektorii, więc można go przedstawić w następujący sposób

gdzie v τ =dl/dt jest rzutem wektora v na kierunek wektora τ, a v τ jest wielkością algebraiczną. Ponadto |v τ |=|v|=v.

Przyspieszenie punktowe

Zróżniczkujmy (1.22) ze względu na czas

(1.23)

Przekształćmy ostatni wyraz tego wyrażenia

(1.24)

Wyznaczmy przyrost wektora τ o dl (rys. 1.7).

Jak widać z rys. 1,7, kąt , skąd i o .

Wprowadzając wektor jednostkowy n normalnej do trajektorii w punkcie 1, skierowany w stronę środka krzywizny, zapisujemy ostatnią równość w postaci wektorowej

Podstawmy (1.23) do (1.24) i otrzymane wyrażenie do (1.22). W rezultacie znajdziemy

(1.26)

Tutaj nazywa się pierwszy termin styczny a τ , drugie - normalna jakiś.

Zatem całkowite przyspieszenie a punktu można przedstawić jako sumę geometryczną przyspieszeń stycznych i normalnych.

Moduł przyspieszenia pełnopunktowego

(1.27)

Jest on skierowany w stronę wklęsłości trajektorii pod kątem α do wektora prędkości, oraz .

Jeżeli kąt α jest ostry, to tgα > 0, zatem dv/dt > 0, gdyż v 2 /R > 0 jest zawsze.

W w tym przypadku wielkość prędkości wzrasta w czasie - nazywa się ruchem przyśpieszony(ryc. 1.8).

W przypadku, gdy prędkość maleje z upływem czasu, nazywa się ruch powolny(ryc. 1.9).

Jeżeli kąt α=90°, tanα=∞, czyli dv/dt=0. W takim przypadku prędkość nie zmienia się w czasie, a całkowite przyspieszenie będzie równe dośrodkowemu

(1.28)

W szczególności całkowite przyspieszenie jednostajnego ruchu obrotowego (R=const, v=const) jest przyspieszeniem dośrodkowym o wartości a n =v 2 /R i skierowanym cały czas w stronę środka.

Natomiast w ruchu liniowym całkowite przyspieszenie ciała jest równe przyspieszeniu stycznemu. W tym przypadku a n = 0, ponieważ trajektorię prostoliniową można uznać za okrąg o nieskończenie dużym promieniu, a R → ∞; v2 /R=0; n = 0; a=a τ.

Trajektoria ruchu punktu materialnego przez wektor promienia

Zapomniawszy nieco o tej części matematyki, w mojej pamięci równania ruchu punktu materialnego zawsze były przedstawiane za pomocą znanej nam wszystkim zależności y(x) i patrząc na tekst problemu, byłem trochę zaskoczony, gdy zobaczyłem wektory. Okazało się, że istnieje reprezentacja trajektorii punktu materialnego za pomocą wektor promienia— wektor określający położenie punktu w przestrzeni względem jakiegoś wcześniej ustalonego punktu, zwanego początkiem.

W ten sam sposób opisano wzór na trajektorię punktu materialnego, oprócz wektora promienia orty— wektory jednostkowe ja, j, k w naszym przypadku pokrywające się z osiami układu współrzędnych. Na koniec rozważmy przykład równania trajektorii punktu materialnego (w przestrzeni dwuwymiarowej):

Co jest interesującego w tym przykładzie? Trajektorię ruchu punktu wyznaczają sinusy i cosinusy. Jak według ciebie będzie wyglądał wykres w znanym obrazie y(x)? „Prawdopodobnie coś przerażającego” – pomyślałeś, ale wszystko nie jest tak skomplikowane, jak się wydaje! Spróbujmy skonstruować trajektorię punktu materialnego y(x), jeśli porusza się on zgodnie z przedstawionym powyżej prawem:

Tutaj zauważyłem kwadrat cosinusa, jeśli w jakimkolwiek przykładzie widzisz kwadrat sinusa lub cosinusa, oznacza to, że musisz zastosować podstawową tożsamość trygonometryczną, co właśnie zrobiłem (drugi wzór) i przekształciłem wzór na współrzędne y, tak aby zamiast sinusa podstawić do niego formułę zmiany X:

W rezultacie straszliwe prawo ruchu punktu okazało się zwyczajne parabola, których gałęzie są skierowane w dół. Mam nadzieję, że rozumiesz przybliżony algorytm konstruowania zależności y(x) z reprezentacji ruchu przez wektor promienia. Przejdźmy teraz do naszego głównego pytania: jak znaleźć wektor prędkości i przyspieszenia punktu materialnego oraz ich moduły.

Wektor prędkości punktu materialnego

Wszyscy wiedzą, że prędkość punktu materialnego to odległość przebyta przez ten punkt w jednostce czasu, czyli pochodna wzoru na prawo ruchu. Aby znaleźć wektor prędkości, należy obliczyć pochodną po czasie. Spójrzmy konkretny przykład znalezienie wektora prędkości.

Przykład wyznaczania wektora prędkości

Mamy prawo ruchu punktu materialnego:

Teraz musisz wziąć pochodną tego wielomianu, jeśli zapomniałeś, jak to zrobić, oto ona. W rezultacie wektor prędkości będzie miał następującą postać:

Wszystko okazało się prostsze niż myślałeś, teraz znajdźmy wektor przyspieszenia punktu materialnego, korzystając z tego samego prawa przedstawionego powyżej.

Jak znaleźć wektor przyspieszenia punktu materialnego

Wektor przyspieszenia punktowego jest to wielkość wektorowa charakteryzująca zmianę w czasie wielkości i kierunku prędkości punktu. Aby znaleźć wektor przyspieszenia punktu materialnego w naszym przykładzie, należy wziąć pochodną, ​​ale ze wzoru na wektor prędkości przedstawionego tuż powyżej:

Moduł wektora prędkości punktowej

Znajdźmy teraz wielkość wektora prędkości punktu materialnego. Jak wiecie z 9. klasy, modułem wektora jest jego długość, wyrażona w prostokątnych współrzędnych kartezjańskich, równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów jego współrzędnych. A skąd możemy uzyskać jego współrzędne z wektora prędkości, który otrzymaliśmy powyżej, pytasz? To bardzo proste:

Teraz wystarczy zastąpić czas określony w zadaniu i uzyskać konkretną wartość liczbową.

Moduł wektora przyspieszenia

Jak zrozumiałeś z tego, co napisano powyżej (i z 9. klasy), znalezienie modułu wektora przyspieszenia odbywa się w taki sam sposób, jak modułu wektora prędkości: bierzemy pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów współrzędnych wektora , to proste! Oto oczywiście przykład dla Ciebie:

Jak widać, przyspieszenie punktu materialnego zgodnie z podanym powyżej prawem nie zależy od czasu i ma stałą wielkość i kierunek.

Więcej przykładów rozwiązań problemu wyznaczania wektora prędkości i przyspieszenia

A tutaj znajdziesz przykłady rozwiązań innych problemów z fizyki. A dla tych, którzy nie do końca rozumieją, jak znaleźć wektor prędkości i przyspieszenia, oto kilka kolejnych przykładów z sieci bez zbędnych wyjaśnień, mam nadzieję, że ci pomogą.

Jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w komentarzach.