Koncepcja przestrzeni wektorowej właściwości. Liniowa przestrzeń wektorowa: definicja, właściwości. Przestrzeń liniowa wektorowa

Dom

Fasady szklane

Niech P będzie polem. Elementy a, b, ... О R zadzwonimy skalary.

Definicja 1. Klasa V nazywa się obiekty (elementy) , , , ... o dowolnym charakterze przestrzeń wektorowa nad polem P, a elementy klasy V nazywane są wektory, jeśli V jest domknięte operacją „+” i operacją mnożenia przez skalary z P (tj. dla dowolnego , ОV +О V;"aО Р aОV) i spełnione są następujące warunki:

A 1: algebra - grupa abelowa;

A 2: dla dowolnego a, bОР, dla dowolnego ОV, a(b)=(ab) jest uogólnionym prawem skojarzeń;

A 3: dla dowolnego a, bОР, dla dowolnego ОV, (a+b)= a+ b;

A 4: dla dowolnego a z P, dla dowolnego , z V, a(+) = a+a (uogólnione prawa rozdzielności);

A 5: dla dowolnego z V, 1 = jest spełnione, gdzie 1 jest jednostką pola P – właściwość jedności.

Elementy pola P będziemy nazywać skalarami, a elementy zbioru V wektorami.

Komentarz. Mnożenie wektora przez skalar nie jest operacją binarną na zbiorze V, ponieważ jest to odwzorowanie P’V®V.

Spójrzmy na przykłady przestrzeni wektorowych.

Przykład 1. Zerowa (zerowymiarowa) przestrzeń wektorowa - przestrzeń V 0 =() - składająca się z jednego wektora zerowego.

I dla dowolnego aОР a=. Sprawdźmy spełnialność aksjomatów przestrzeni wektorowej.

Należy zauważyć, że zerowa przestrzeń wektorowa zasadniczo zależy od pola P. Zatem przestrzenie zerowymiarowe nad polem liczby wymierne i nad ciałem liczb rzeczywistych są uważane za różne, chociaż składają się z jednego wektora zerowego.

Przykład 2. Pole P samo w sobie jest przestrzenią wektorową nad polem P. Niech V=P. Sprawdźmy spełnialność aksjomatów przestrzeni wektorowej. Ponieważ P jest ciałem, to P jest addytywną grupą abelową i A 1 zachodzi. Ze względu na spełnialność mnożenia w P, A2 jest spełnione. Aksjomaty A 3 i A 4 są spełnione ze względu na wykonalność w P rozdzielności mnożenia względem dodawania. Ponieważ w polu P znajduje się element jednostkowy 1, właściwość jedności A 5 jest spełniona. Zatem pole P jest przestrzenią wektorową nad polem P.

Przykład 3. Arytmetyczna n-wymiarowa przestrzeń wektorowa.

Niech P będzie polem. Rozważmy zbiór V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a ja О P, i=1,…, n). Wprowadźmy na zbiorze V operacje dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar według następujących zasad:

"= (za 1 , za 2 , … , za n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (za 1 + b 1 , za 2 + b 2 , … , za n +bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Zostaną wywołane elementy zbioru V wektory n-wymiarowe. Mówi się, że dwa n-wymiarowe wektory są równe, jeśli odpowiadające im składowe (współrzędne) są równe. Pokażmy, że V jest przestrzenią wektorową nad ciałem P. Z definicji operacji dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar wynika, że V jest domknięte pod tymi operacjami. Ponieważ dodanie elementów V sprowadza się do dodania elementów ciała P, a P jest addytywną grupą abelową, to V jest addytywną grupą abelową. Ponadto =, gdzie 0 jest zerem pola P, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Zatem A 1 jest spełnione. Ponieważ pomnożenie elementu z V przez element z P sprowadza się do pomnożenia elementów pola P, to:

A 2 jest spełnione ze względu na łączność mnożenia przez P;

A 3 i A 4 są spełnione ze względu na rozdzielność mnożenia ze względu na dodawanie przez P;

A 5 jest spełnione, ponieważ 1 Î P jest elementem neutralnym w odniesieniu do mnożenia przez P.

Definicja 2. Zbiór V= P n zawierający działania określone wzorami (1) i (2) nazywany jest arytmetyczną n-wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem P.

W artykule o wektorach n-wymiarowych doszliśmy do koncepcji przestrzeni liniowej generowanej przez zbiór n-wymiarowych wektorów. Teraz musimy rozważyć równie ważne pojęcia, takie jak wymiar i podstawa przestrzeni wektorowej. Są one bezpośrednio związane z koncepcją liniowo niezależnego układu wektorów, dlatego dodatkowo warto przypomnieć sobie podstawy tego tematu.

Wprowadźmy kilka definicji.

Definicja 1

Wymiar przestrzeni wektorowej– liczba odpowiadająca maksymalnej liczbie nieliniowo wektory zależne w tej przestrzeni.

Definicja 2

Baza przestrzeni wektorowej– zbiór liniowo niezależnych wektorów, uporządkowany i równy wymiarowi przestrzeni.

Rozważmy pewną przestrzeń n -wektorów. Jego wymiar jest odpowiednio równy n. Weźmy układ n wektorów jednostkowych:

mi (1) = (1, 0, . . . 0) mi (2) = (0, 1, . . , 0) mi (n) = (0, 0, . . , 1)

Używamy tych wektorów jako składników macierzy A: będzie to macierz jednostkowa o wymiarze n na n. Ranga tej macierzy wynosi n. Dlatego układ wektorowy e (1) , e (2) , . . . , e(n) jest liniowo niezależne. W takim przypadku nie jest możliwe dodanie do układu pojedynczego wektora bez naruszenia jego liniowej niezależności.

Ponieważ liczba wektorów w układzie wynosi n, to wymiar przestrzeni n-wymiarowych wektorów wynosi n, a wektory jednostkowe to e (1), e (2), . . . , e (n) są podstawą określonej przestrzeni.

Z otrzymanej definicji możemy stwierdzić: dowolny układ n-wymiarowych wektorów, w którym liczba wektorów jest mniejsza niż n, nie jest bazą przestrzeni.

Jeśli zamienimy pierwszy i drugi wektor, otrzymamy układ wektorów e (2) , e (1) , . . . , mi (n). Będzie to również podstawa n-wymiarowej przestrzeni wektorowej. Stwórzmy macierz, przyjmując wektory powstałego układu jako jego wiersze. Macierz można otrzymać z macierzy jednostkowej zamieniając pierwsze dwa wiersze, jej ranga będzie wynosić n. Układ e (2) , e (1) , . . . , e(n) jest liniowo niezależne i stanowi podstawę n-wymiarowej przestrzeni wektorowej.

Przestawiając inne wektory w oryginalnym układzie, otrzymujemy kolejną bazę.

Możemy wziąć liniowo niezależny układ wektorów niejednostkowych i będzie on również reprezentował podstawę n-wymiarowej przestrzeni wektorowej.

Definicja 3

Przestrzeń wektorowa o wymiarze n ma tyle baz, ile jest liniowo niezależnych układów n-wymiarowych wektorów o liczbie n.

Płaszczyzna jest przestrzenią dwuwymiarową - jej podstawą będą dowolne dwa niewspółliniowe wektory. Podstawą przestrzeni trójwymiarowej będą dowolne trzy niewspółpłaszczyznowe wektory.

Rozważmy zastosowanie tej teorii na konkretnych przykładach.

Przykład 1

Dane początkowe: wektory

za = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) do = (3 , - 1 , - 2)

Należy ustalić, czy podane wektory są podstawą trójwymiarowej przestrzeni wektorowej.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać problem, badamy dany układ wektorów pod kątem zależności liniowej. Stwórzmy macierz, której wiersze są współrzędnymi wektorów. Ustalmy rząd macierzy.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

W konsekwencji wektory określone przez warunek zadania są liniowo niezależne, a ich liczba jest równa wymiarowi przestrzeni wektorowej - stanowią one podstawę przestrzeni wektorowej.

Odpowiedź: wskazane wektory są podstawą przestrzeni wektorowej.

Przykład 2

Dane początkowe: wektory

za = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) do = (3 , - 1 , - 2) re = (0, 1, 2)

Należy ustalić, czy podany układ wektorów może stanowić podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Rozwiązanie

Układ wektorów określony w opisie problemu jest liniowo zależny, ponieważ maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów wynosi 3. Wskazany układ wektorów nie może zatem służyć jako podstawa trójwymiarowej przestrzeni wektorowej. Warto jednak zauważyć, że podsystem pierwotnego układu a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) jest podstawą.

Odpowiedź: wskazany układ wektorów nie jest bazą.

Przykład 3

Dane początkowe: wektory

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Czy mogą być podstawą przestrzeni czterowymiarowej?

Rozwiązanie

Stwórzmy macierz używając współrzędnych podanych wektorów jako wierszy

ZA = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Metodą Gaussa wyznaczamy rząd macierzy:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

W konsekwencji układ danych wektorów jest liniowo niezależny, a ich liczba jest równa wymiarowi przestrzeni wektorowej - stanowią one podstawę czterowymiarowej przestrzeni wektorowej.

Odpowiedź: podane wektory są podstawą przestrzeni czterowymiarowej.

Przykład 4

Dane początkowe: wektory

za (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) za (2) = (0, 2, 1, - 3) za (3) = (1, 0, 0, 5)

Czy stanowią one podstawę przestrzeni o wymiarze 4?

Rozwiązanie

Pierwotny układ wektorów jest liniowo niezależny, ale liczba wektorów w nim zawartych nie jest wystarczająca, aby stać się podstawą przestrzeni czterowymiarowej.

Odpowiedź: nie, nie.

Rozkład wektora na bazę

Załóżmy, że dowolne wektory e (1) , e (2) , . . . , e (n) są podstawą n-wymiarowej przestrzeni wektorowej. Dodajmy do nich pewien n-wymiarowy wektor x →: powstały układ wektorów stanie się liniowo zależny. Właściwości zależności liniowej mówią, że co najmniej jeden z wektorów takiego układu może być wyrażony liniowo przez pozostałe. Przeformułowując to stwierdzenie, możemy powiedzieć, że co najmniej jeden z wektorów układu liniowo zależnego można rozwinąć na pozostałe wektory.

W ten sposób doszliśmy do sformułowania najważniejszego twierdzenia:

Definicja 4

Dowolny wektor n-wymiarowej przestrzeni wektorowej można jednoznacznie rozłożyć na bazę.

Dowód 1

Udowodnijmy to twierdzenie:

zdefiniujmy bazę n-wymiarowej przestrzeni wektorowej - e (1) , e (2) , . . . , mi (n). Uczyńmy system liniowo zależnym, dodając do niego n-wymiarowy wektor x →. Wektor ten można wyrazić liniowo w postaci wektorów oryginalnych e:

x = x 1 · mi (1) + x 2 · mi (2) + . . . + x n · e (n) , gdzie x 1 , x 2 , . . . , x n - niektóre liczby.

Teraz udowodnimy, że taki rozkład jest unikalny. Załóżmy, że tak nie jest i istnieje inny podobny rozkład:

x = x ~ 1 mi (1) + x 2 ~ mi (2) + . . . + x ~ n e (n) , gdzie x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - niektóre liczby.

Odejmijmy odpowiednio lewą i prawą stronę tej równości, lewą i prawą stronę równości x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · mi (n) . Otrzymujemy:

0 = (x ~ 1 - x 1) · mi (1) + (x ~ 2 - x 2) · mi (2) + . . . (x ~ n - x n) mi (2)

Układ wektorów bazowych e (1) , e (2) , . . . , e(n) jest liniowo niezależne; z definicji liniowej niezależności układu wektorów powyższa równość jest możliwa tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki wynoszą (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) będzie równe zero. Z czego będzie sprawiedliwie: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . I to jest jedyna możliwość rozłożenia wektora na bazę.

W tym przypadku współczynniki x 1, x 2, . . . , x n nazywane są współrzędnymi wektora x → w bazie e (1) , e (2) , . . . , mi (n).

Sprawdzona teoria wyjaśnia wyrażenie „biorąc pod uwagę n-wymiarowy wektor x = (x 1 , x 2 , . . , x n)”: rozważana jest wektor x → n-wymiarowa przestrzeń wektorowa, a jej współrzędne są określone w pewna podstawa. Jasne jest również, że ten sam wektor w innej bazie przestrzeni n-wymiarowej będzie miał różne współrzędne.

Rozważmy następujący przykład: załóżmy, że w pewnej bazie n-wymiarowej przestrzeni wektorowej dany jest układ n liniowo niezależnych wektorów

i podany jest także wektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Wektory e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) w tym przypadku są również podstawą tej przestrzeni wektorowej.

Załóżmy, że konieczne jest wyznaczenie współrzędnych wektora x → w bazie e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , oznaczane jako x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ rz.

Wektor x → będzie reprezentowany w następujący sposób:

x = x ~ 1 mi (1) + x ~ 2 mi (2) + . . . + x ~ n mi (n)

Zapiszmy to wyrażenie w formie współrzędnych:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , mi (1) 2 , . . , mi (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , mi (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , mi (n) 2 , . . . , mi (n) n) = = (x ~ 1 mi 1 (1) + x ~ 2 mi 1 (2) + . + x ~ n mi 2 (n) , . mi n (1) + x ~ 2 mi n (2) + .

Wynikowa równość jest równoważna systemowi n liniowemu wyrażenia algebraiczne z n nieznanymi zmiennymi liniowymi x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 mi 1 1 + x ~ 2 mi 1 2 + . . . + x ~ n mi 1 n x 2 = x ~ 1 mi 2 1 + x ~ 2 mi 2 2 + . . . + x ~ n mi 2 n ⋮ x n = x ~ 1 mi n 1 + x ~ 2 mi n 2 + . . . + x ~ n mi n n

Macierz tego układu będzie miała następującą postać:

mi 1 (1) mi 1 (2) ⋯ mi 1 (n) mi 2 (1) mi 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Niech to będzie macierz A, której kolumny są wektorami liniowo niezależnego układu wektorów e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Ranga macierzy wynosi n, a jej wyznacznik jest różny od zera. Oznacza to, że układ równań ma unikalne rozwiązanie, określone dowolną dogodną metodą: na przykład metodą Cramera lub metodą macierzową. W ten sposób możemy wyznaczyć współrzędne x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n wektor x → w bazie e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Zastosujmy rozważaną teorię do konkretnego przykładu.

Przykład 6

Dane początkowe: wektory są określone w oparciu o przestrzeń trójwymiarową

mi (1) = (1 , - 1, 1) mi (2) = (3, 2, - 5) mi (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, - 7)

Należy potwierdzić fakt, że układ wektorów e (1), e (2), e (3) służy także za bazę danej przestrzeni, a także wyznaczyć współrzędne wektora x w danej bazie.

Rozwiązanie

Układ wektorów e (1), e (2), e (3) będzie podstawą przestrzeni trójwymiarowej, jeśli jest liniowo niezależny. Przekonajmy się o takiej możliwości, wyznaczając rząd macierzy A, której wierszami są dane wektory e (1), e (2), e (3).

Stosujemy metodę Gaussa:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R za n k (A) = 3 . Zatem układ wektorów e (1), e (2), e (3) jest liniowo niezależny i stanowi bazę.

Niech wektor x → będzie miał w bazie współrzędne x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3. Zależność między tymi współrzędnymi określa równanie:

x 1 = x ~ 1 mi 1 (1) + x ~ 2 mi 1 (2) + x ~ 3 mi 1 (3) x 2 = x ~ 1 mi 2 (1) + x ~ 2 mi 2 (2) + x ~ 3 mi 2 (3) x 3 = x ~ 1 mi 3 (1) + x ~ 2 mi 3 (2) + x ~ 3 mi 3 (3)

Zastosujmy wartości zgodnie z warunkami problemu:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Rozwiążmy układ równań metodą Cramera:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Zatem wektor x → w bazie e (1), e (2), e (3) ma współrzędne x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Odpowiedź: x = (1, 1, 1)

Relacje pomiędzy bazami

Załóżmy, że w jakiejś bazie n-wymiarowej przestrzeni wektorowej dane są dwa liniowo niezależne układy wektorów:

do (1) = (do 1 (1) , do 2 (1) , . . . , do n (1)) do (2) = (do 1 (2) , do 2 (2) , . . . , do n (2)) ⋮ do (n) = (do 1 (n) , mi 2 (n) , . . . , do n (n))

mi (1) = (mi 1 (1) , mi 2 (1) , . . . , mi n (1)) mi (2) = (mi 1 (2) , mi 2 (2) , . . . , mi n (2)) ⋮ mi (n) = (mi 1 (n) , mi 2 (n) , . . . , mi n (n))

Systemy te stanowią jednocześnie bazę danej przestrzeni.

Niech c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - współrzędne wektora c (1) w bazie e (1), e (2), . . . , e (3) , wówczas zależność współrzędnych będzie dana układem równań liniowych:

do 1 (1) = do ~ 1 (1) mi 1 (1) + do ~ 2 (1) mi 1 (2) + . . . + do ~ n (1) mi 1 (n) do 2 (1) = do ~ 1 (1) mi 2 (1) + do ~ 2 (1) mi 2 (2) + . . . + do ~ n (1) mi 2 (n) ⋮ do n (1) = do ~ 1 (1) mi n (1) + do ~ 2 (1) mi n (2) + . . . + do ~ n (1) e n (n)

System można przedstawić w postaci macierzowej w następujący sposób:

( do 1 (1) , do 2 (1) , . . . , do n (1)) = (c ~ 1 (1) , do ~ 2 (1) , . . . , do ~ n (1)) mi 1 (1) mi 2 (1) … e n (1) mi 1 (2) mi 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi 1 (n) mi 2 (n) … e n (n)

Dokonajmy tego samego zapisu dla wektora c (2) przez analogię:

( do 1 (2) , do 2 (2) , . . . , do n (2)) = (c ~ 1 (2) , do ~ 2 (2) , . . , do ~ n (2)) mi 1 (1) mi 2 (1) … e n (1) mi 1 (2) mi 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) mi 2 (n) … e n (n)

( do 1 (n) , do 2 (n) , . . . , do n (n)) = (c ~ 1 (n) , do ~ 2 (n) , . . . , do ~ n (n)) mi 1 (1) mi 2 (1) … e n (1) mi 1 (2) mi 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi 1 (n) mi 2 (n) … e n (n)

Połączmy równości macierzowe w jedno wyrażenie:

do 1 (1) do 2 (1) ⋯ do n (1) do 1 (2) do 2 (2) ⋯ do n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ do 1 (n) do 2 (n) ⋯ do n (n) = do ~ 1 (1) do ~ 2 (1) ⋯ do ~ n (1) do ~ 1 (2) do ~ 2 (2) ⋯ do ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ do ~ 1 (n) do ~ 2 (n) ⋯ do ~ n (n) mi 1 (1) mi 2 (1) ⋯ e n (1) mi 1 (2) mi 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi 1 (n ) mi 2 (n) ⋯ e n (n)

Określi połączenie między wektorami dwóch różnych baz.

Na tej samej zasadzie można wyrazić wszystkie wektory bazowe e(1), e(2), . . . , e (3) poprzez podstawę c (1) , c (2) , . . . , c (n):

mi 1 (1) mi 2 (1) ⋯ mi n (1) mi 1 (2) mi 2 (2) ⋯ mi n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi 1 (n) mi 2 (n) ⋯ mi n (n) = mi ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) do 1 (1) do 2 (1) ⋯ do n (1) do 1 (2) do 2 (2) ⋯ do n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ do 1 (n ) do 2 (n) ⋯ do n (n)

Podajmy następujące definicje:

Definicja 5

Macierz c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) jest macierzą przejścia z bazy e (1) , e (2) , . . . , mi (3)

do podstawy c (1) , c (2) , . . . , c (n).

Definicja 6

Macierz e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) jest macierzą przejścia z podstawy c (1) , c (2) , . . . , c(n)

do podstawy e (1) , e (2) , . . . , mi (3) .

Z tych równości wynika, że

do ~ 1 (1) do ~ 2 (1) ⋯ do ~ n (1) do ~ 1 (2) do ~ 2 (2) ⋯ do ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ do ~ 1 (n) do ~ 2 (n) ⋯ do ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · do ~ 1 (1) do ~ 2 (1) ⋯ do ~ n (1) do ~ 1 (2) do ~ 2 (2) ⋯ do ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ do ~ 1 (n) do ~ 2 (n) ⋯ do ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

te. macierze przejść są wzajemne.

Przyjrzyjmy się teorii na konkretnym przykładzie.

Przykład 7

Dane początkowe: należy znaleźć macierz przejścia z podstawy

do (1) = (1 , 2 , 1) do (2) = (2 , 3 , 3) do (3) = (3 , 7 , 1)

mi (1) = (3 , 1 , 4) mi (2) = (5 , 2 , 1) mi (3) = (1 , 1 , - 6)

Należy także wskazać zależność pomiędzy współrzędnymi dowolnego wektora x → w danych podstawach.

Rozwiązanie

1. Niech T będzie macierzą przejścia, wówczas równość będzie prawdziwa:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Pomnóż obie strony równości przez

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

i otrzymujemy:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Zdefiniuj macierz przejścia:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Zdefiniujmy zależność pomiędzy współrzędnymi wektora x → :

Załóżmy, że w bazie c (1) , c (2) , . . . , c (n) wektor x → ma współrzędne x 1 , x 2 , x 3 , to:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

oraz w bazie e (1) , e (2) , . . . , e (3) ma współrzędne x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, wówczas:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Ponieważ Jeśli lewa strona tych równości jest równa, możemy przyrównać także prawą stronę:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Pomnóż obie strony po prawej stronie przez

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

i otrzymujemy:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Po drugiej stronie

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Ostatnie równości pokazują związek pomiędzy współrzędnymi wektora x → w obu podstawach.

Odpowiedź: macierz przejścia

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Współrzędne wektora x → w danych podstawach powiązane są zależnością:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Wektor(Lub liniowy) przestrzeń- struktura matematyczna, będąca zbiorem elementów zwanych wektorami, dla której określone są operacje dodawania między sobą i mnożenia przez liczbę - skalar.

1) X+y=y+x ( przemienność dodawania)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( łączność addycyjna)

3) istnieje element 0єV taki, że x+0=x

4) dla dowolnego x єV istnieje element - x єV taki, że x+(-x)=0? zwany wektorem, naprzeciwko wektor x.

5) α(βx)= (αβ)x ( łączność mnożenia przez skalar)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) Wektory swobodne w przestrzeni R 3

2) Macierze wymiaru nxm

3) Zbiór wszystkich wielomianów, których stopień nie przekracza n

4) Przykładami przestrzeni liniowej są:

5) - przestrzeń liczb rzeczywistych.

6) - zbiór wektorów geometrycznych na płaszczyźnie.

7) - przestrzeń macierzy o stałym wymiarze.

8) - przestrzeń rozwiązań jednorodnych układów liniowych itp.

Podstawowe definicje

Wektor N-wymiarowy nazywa się ciągiem n liczb. Te liczby to tzw współrzędne wektor. Nazywa się liczbę współrzędnych wektora n wymiar wektor.

Można dodawać tylko wektory o tym samym wymiarze

Wektory są równe, jeśli mają ten sam wymiar i odpowiadające im współrzędne są równe.

Może to być dowolny n-wymiarowy wektor A pomnożyć przez dowolną liczbęλ, a wszystkie jego współrzędne są mnożone przez tę liczbę:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Można dodać dwa wektory o tym samym wymiarze i dodać odpowiadające im współrzędne:

Jak się nazywa kombinacja liniowa wektory?

Kombinacja liniowa wektorów a1,a2,…,an zwane wyrażeniem postaci:

Gdzie a1,a2,…,an- dowolne liczby

Jakie wektory nazywane są liniowo zależnymi (niezależnymi)?

Niezerowe wektory a1,a2,…,an są nazywane liniowo zależne, jeśli nietrywialna kombinacja liniowa tych wektorów jest równa wektorowi zerowemu:

Niezerowe wektory a1,a2,…,an są nazywane liniowo niezależne, chyba że trywialna kombinacja liniowa tych wektorów jest równa wektorowi zerowemu.

Przykłady wektorów liniowo niezależnych

Jak rozwiązano kwestię liniowej zależności wektorów?

Twierdzenie 1. Aby układ wektorów był liniowo zależny, konieczne i wystarczające jest, aby przynajmniej jeden z nich był przedstawiony jako liniowa kombinacja pozostałych.

Twierdzenie 2. W przestrzeni n-wymiarowej każdy układ zawierający więcej niż n wektorów jest liniowo zależny.

Twierdzenie 3.Jeżeli wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych jest różny od zera, to układ wektorów jest liniowo niezależny. Jeżeli twierdzenia te nie odpowiadają na pytanie o liniową zależność lub niezależność wektorów, to konieczne jest rozwiązanie układu równań dla , lub określenie rangi układu wektorów.

Jaki jest związek między współrzędnymi dwóch liniowo zależnych wektorów?

Podaj przykład dwóch liniowo zależnych wektorów

: Wektory i współliniowość, gdy taka liczba istnieje że zachodzi równość:
.

Definicja bazy przestrzennej liniowej

Zbiór n liniowo niezależnych elementów w przestrzeni o wymiarze n nazywany jest podstawą tej przestrzeni.

Wyznaczanie wymiaru przestrzeni liniowej.

Definicja 3.1. Przestrzeń liniowa R nazywa się n-wymiarowym, jeśli zawiera N elementy liniowo niezależne i dowolne ( N+1) elementy są już liniowo zależne. W tym przypadku numer N zwany wymiarem przestrzeni R.

Wymiar przestrzeni jest oznaczony symbolem dim.

Definicja 3.2. Przestrzeń liniowa R nazywa się nieskończenie wymiarowym, jeśli zawiera dowolną liczbę liniowo niezależnych elementów.

Twierdzenie 3.4. Pozwalać przestrzeń liniowa R ma podstawę składającą się z N elementy. Potem wymiar R równy N(ciemny R=n).

Pojęcie przestrzeni n-wymiarowej

Przestrzeń liniowa V nazywana jest przestrzenią n-wymiarową, jeśli zawiera układ n elementów liniowo niezależnych, a dowolne n+1 elementów jest liniowo zależnych.

Wzory łączące wektory starej i nowej podstawy

Przestrzeń wektorowa (liniowa) to zbiór wektorów (elementów) o składowych rzeczywistych, w którym określone są operacje dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, spełniające określone aksjomaty (właściwości)

1)x+Na=Na+X(przemienność dodawania);

2)(X+Na)+z=X+(y+z) (łączność dodawania);

3) istnieje wektor zerowy 0 (lub wektor zerowy) spełniający warunek X+ 0 =X: dla dowolnego wektora X;

4) dla dowolnego wektora X istnieje wektor przeciwny Na takie, że X+Na = 0 ,

5) 1 x=X,

6) A(bx)=(ok)X(łączność mnożenia);

7) (A+B)X=ach+bx(właściwość rozdzielcza w stosunku do czynnika liczbowego);

8) A(X+Na)=ach+tak(właściwość rozdzielcza względem mnożnika wektora).

Przestrzeń liniowa (wektorowa) V(P) nad ciałem P jest niepustym zbiorem V. Elementy zbioru V nazywane są wektorami, a elementy ciała P skalarami.

Najprostsze właściwości.

1. Przestrzeń wektorowa to grupa abelowa (grupa, w której działanie na grupach jest przemienne. Działanie na grupach na grupach abelowych nazywa się zwykle „dodawaniem” i oznacza się je znakiem +)

2. Element neutralny jest jedynym, który wynika z właściwości grupy dla dowolnego elementu.

3. Dla każdego element przeciwny jest jedynym, który wynika z właściwości grupy.

4.(–1) x = – x dla dowolnego x є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) dla dowolnego α є P i x є V.

Wyrażenie a 1 e 1+za 2 i 2+ … +an n e n(1) nazywa się liniową kombinacją wektorów mi 1 , mi 2 ,..., mi n z szansami 1, 2,..., jakiś . Kombinację liniową (1) nazywamy nietrywialną, jeżeli występuje co najmniej jeden ze współczynników za 1 , za 2 , ..., za n różny od zera. Wektory mi 1 , mi 2 ,..., mi n nazywane są liniowo zależnymi, jeśli istnieje nietrywialna kombinacja (1), którą jest wektor zerowy. W przeciwnym razie (to znaczy, gdyby była to tylko trywialna kombinacja wektorów mi 1 , mi 2 ,..., mi n równe wektorowi zerowemu) wektory mi 1 , mi 2 ,..., mi n nazywane są liniowo niezależnymi.

Wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba zawartych w niej wektorów LZ.

Przestrzeń wektorowa nazywa się n-wymiarowym (lub ma „wymiar N"), jeśli istnieje N elementy liniowo niezależne mi 1 , mi 2 ,..., mi n , i dowolne N+ 1 elementy są liniowo zależne (uogólniony warunek B). Przestrzeń wektorowa nazywane są nieskończonymi wymiarami, jeśli są w nim jakiekolwiek naturalne N istnieje N wektory liniowo niezależne. Każdy N liniowo niezależne wektory n-wymiarowe Przestrzeń wektorowa stanowią podstawę tej przestrzeni. Jeśli mi 1 , mi 2 ,..., mi n- podstawa Przestrzeń wektorowa, to dowolny wektor X przestrzeń tę można jednoznacznie przedstawić jako liniową kombinację wektorów bazowych: X=a 1 i 1+za 2 i 2+... +an n e n.
Jednocześnie liczby za 1, za 2, ..., za n nazywane są współrzędnymi wektorowymi X na tej podstawie.

1. Pojęcie przestrzeni liniowej

Definicja 1.1. R Wiele elementy x, y, z,

... dowolnego rodzaju nazywa się przestrzenią liniową (lub wektorową), jeśli spełnione są trzy następujące wymagania: X Istnieje zasada, według której dowolne dwa elementy y I R trzeci element jest dopasowany z tego zbioru, zwaną sumą elementów X Istnieje zasada, według której dowolne dwa elementy y i wyznaczone z=x+y.
Istnieje zasada, według której dowolny element X I R i ktokolwiek prawdziwa liczba α element jest dopasowany w tego zbioru, zwany iloczynem elementu X na numer α i wyznaczone w=αx Lub w=xα.
Dwie przedstawione reguły podlegają następującym ośmiu aksjomatom:

x+y=y+x(właściwość przemienna sumy);
(x+y)+z=x+(y+z)(kombinacyjna właściwość sumy);
istnieje element zerowy 0 taki, że X+0=X dla dowolnego elementu X.
dla dowolnego elementu X istnieje element przeciwny X" takie, że x+x”=0;
1· x=x dla kogokolwiek X;
λ(μx)=(λμ)x(właściwość kombinacyjna dotycząca czynnika liczbowego);
(λ+μ )x= λx+μx(własność rozdzielcza dotycząca czynników liczbowych);
λ(x+y)=λx+λy(właściwość rozdzielcza w stosunku do sumy elementów).

Elementy przestrzeni liniowej (wektorowej) nazywane są wektorami.

2. Podstawa przestrzeni liniowej

Definicja 2.1. R Zbiór liniowo niezależnych elementów przestrzeni X nazywa się bazą tej przestrzeni, jeśli dla każdego elementu przestrzeń R istnieją liczby rzeczywiste

tak, że zachodzi równość X Równość (2.1) nazywa się rozwinięciem elementu X zgodnie z podstawą, a liczby nazywane są współrzędnymi elementu

(w stosunku do podstawy). X Udowodnimy, że dowolny element R

przestrzeń liniowa X:

Niech nastąpi kolejny rozkład

(2.3)

Odejmując (2.1) od (2.2) mamy:

Ponieważ elementy bazowe są liniowo niezależne, z zależności (2.3) wynika, że R Zatem każdy element przestrzeni liniowej

można w unikalny sposób rozbudować o podstawę. R Twierdzenie 2.2. R Podczas dodawania dowolnych dwóch elementów przestrzeni liniowej X ich współrzędne (względem dowolnej podstawy przestrzennej α ) dodać i przy mnożeniu dowolnego elementu X na dowolny numer α .

wszystkie współrzędne

pomnożone przez

Dowód wynika z aksjomatów 1-8 Definicji 1.1. R.

3. Wymiar przestrzeni liniowej R nazywa się n-wymiarowym, jeśli zawiera N elementy liniowo niezależne i dowolne ( N Rozważ dowolną przestrzeń rzeczywistą N Definicja 3.1. R.

Wymiar przestrzeni jest oznaczony symbolem dim.

Przestrzeń liniowa R nazywa się nieskończenie wymiarowym, jeśli zawiera dowolną liczbę liniowo niezależnych elementów.

+1) elementy są już liniowo zależne. W tym przypadku numer R zwany wymiarem przestrzeni N(ciemny R=n Definicja 3.2. N Przestrzeń liniowa

Twierdzenie 3.3. R Pozwalać N jest liniową przestrzenią wymiarową N). Potem dowolne X Podstawą są liniowo niezależne elementy tej przestrzeni. R Dowód. Ponieważ liniowo zależny, tj. są liczby (nie wszystkie równe zero) tak, że równość

(3.3)

Z równości (3.3) wynika, że dowolny wektor z przestrzeni R można je rozbudowywać w elementy i dlatego stanowią one podstawę przestrzeni R. ■

Twierdzenie 3.4. R ma podstawę składającą się z N elementy. Potem wymiar R Niech przestrzeń liniowa N(ciemny R=n).

równy N Dowód. Niech zestaw R elementy są podstawą przestrzeni N. Wystarczy udowodnić, że jakikolwiek +1 elementy

tej przestrzeni są liniowo zależne. Rozwijając te elementy według podstawy, otrzymujemy: Gdzie 11 A 12 , A ,...,A n+1, rz

liczby rzeczywiste. Niech elementy

liniowo niezależne. Zapiszmy (3.4) w postaci macierzowej: Ponieważ są one liniowo niezależne, macierz A ma macierz odwrotną A-1.

Po rozwiązaniu równania macierzowego (3.5) otrzymujemy: Jak widać z równania (3.9), można je przedstawić za pomocą liniowej kombinacji wektorów . Dlatego wektory

liniowo zależne. ■

4. Zastąpienie bazy i transformacja współrzędnych R Wpuść przestrzeń Oprócz pierwotnej podstawy istnieje jeszcze jedna podstawa

. Wektory tej bazy można wyrazić poprzez liniową kombinację wektorów pierwotnej bazy w następujący sposób: Matryca P zwany macierz zmiany podstawy .

Z kolei wektory pierwotnej bazy wyrażamy poprzez wektory nowej bazy zależnością: Z (4.6) wynika, że QP=E , Gdzie mi jest macierzą jednostkową i macierzami Q Matryca I

wzajemnie odwrotne macierze.

Zastanówmy się, jak zmieniają się współrzędne wektorów, gdy zmienia się baza. X Niech wektor ma współrzędne i współrzędne

(4.7)

. Wektory tej bazy można wyrazić poprzez liniową kombinację wektorów pierwotnej bazy w następujący sposób: , Następnie P P T macierz transformacji współrzędnych . Jest transponowany za pomocą macierzy zmiany podstawy. Odwrotna macierz(PT) -1

daje wyrażenia dla nowych współrzędnych w kategoriach starych. Nazywa się macierz odwrotną do transpozycji jakiejś macierzy przeciwgradient

z nią.

5. Izomorfizm przestrzeni liniowych R Istnieje zasada, według której dowolne dwa elementy Definicja 5.1. Dwie dowolne rzeczywiste przestrzenie liniowe R"∈R nazywane są izomorficznymi, jeśli można ustalić zgodność jeden do jednego między elementami tych przestrzeni, tak że jeśli x, y∊Definicja 5.1. odpowiedź x", y"∈R odpowiednio, a następnie element x+y∈Definicja 5.1. element odpowiada α x"+y" α X∈R odpowiednio, a następnie element α X"∈Definicja 5.1..

i dla każdego prawdziwego R Istnieje zasada, według której dowolne dwa elementy Definicja 5.1., element

Twierdzenie 5.2. R Istnieje zasada, według której dowolne dwa elementy Definicja 5.1. Jeśli przestrzeń są izomorficzne, to mają ten sam wymiar. R Dowód. Niech przestrzenie liniowe są izomorficzne i niech elementy przestrzeń elementy odpowiadają odpowiednio przestrzeń R”. Załóżmy, że elementy Dowód. Niech przestrzenie liniowe y w przestrzeni R, a suma odpowiada sumie . Ale to drugie oznacza liniową zależność elementów . Stąd liniowo niezależne. Z liniowej zależności elementów wynika z liniowej zależności elementów . Dlatego maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów dla przestrzeni R Istnieje zasada, według której dowolne dwa elementy Definicja 5.1. jedno i to samo, tj. przestrzenie te mają ten sam wymiar. ■

Twierdzenie 5.3. N Dowolne dwa R Istnieje zasada, według której dowolne dwa elementy Definicja 5.1.-wymiarowe rzeczywiste przestrzenie liniowe

są izomorficzne. Istnieje zasada, według której dowolne dwa elementy Dowód. Wybierzmy podstawy R Istnieje zasada, według której dowolne dwa elementy Definicja 5.1. dla spacji Definicja 5.1. odpowiednio. Wtedy każdy element przestrzeni R można przedstawić za pomocą liniowej kombinacji elementów podstawowych: . Ten element w przestrzeni X" są izomorficzne, to mają ten sam wymiar. Definicja 5.1. dopasujmy element o tych samych współrzędnych:. Z kolei element X są izomorficzne, to mają ten sam wymiar. R pasuje do elementu X Istnieje zasada, według której dowolne dwa elementy y są izomorficzne, to mają ten sam wymiar. R Dowód. Niech przestrzenie liniowe X" Istnieje zasada, według której dowolne dwa elementy . Zauważ, że jeśli elementy są izomorficzne, to mają ten sam wymiar. Definicja 5.1. y” x", y" są izomorficzne, to mają ten sam wymiar. R odpowiednio, a następnie element x+y są izomorficzne, to mają ten sam wymiar. Definicja 5.1. odpowiednio zatem, w oparciu o Twierdzenie 2.2, element α X odpowiednio, a następnie element α X". ■

Sekcje