Podwójna transformacja całkowa współrzędnych prostokątnych, do współrzędnych biegunowych
, powiązane ze współrzędnymi prostokątnymi przez relacje
,
, przeprowadza się według wzoru

Jeśli obszar integracji
ograniczona do dwóch wiązek
,
(
) wychodzących z bieguna i dwóch krzywych
I
, to całka podwójna jest obliczana według wzoru

.

Przykład 1.3. Oblicz obszar figury ograniczony tymi liniami:
,
,
,
.

Rozwiązanie. Aby obliczyć powierzchnię obszaru
skorzystajmy ze wzoru:
.

Narysuj obszar (Rys. 1.5). W tym celu przekształcamy krzywe: , , , . Przejdźmy do współrzędnych biegunowych: , . . W biegunowym układzie współrzędnych obszar opisują równania:

.

1.2. Całki potrójne

Główne właściwości całek potrójnych są podobne do właściwości całek podwójnych.

W współrzędne kartezjańskie Całka potrójna jest zwykle zapisywana w następujący sposób:

.

Jeśli
, to całka potrójna po polu liczbowo równa objętości ciała :

.

Obliczanie całki potrójnej

Niech obszar integracji ograniczone odpowiednio z góry i z dołu jednowartościowymi powierzchniami ciągłymi
,
i rzut obszaru do płaszczyzny współrzędnych
jest płaski teren
(Rys. 1.6).

Następnie dla stałych wartości odpowiednie aplikacje punkty obszaru zmienić w sobie. Następnie otrzymujemy: . Jeśli dodatkowo projekcja jest określony przez nierówności , , Gdzie są jednowartościowymi funkcjami ciągłymi na , To

.

Przykład 1.4. Oblicz
, Gdzie - ciało ograniczone płaszczyznami:

	, , , ( , , ). Rozwiązanie. Obszarem integracji jest piramida (ryc. 1.7). Projekcja obszaru jest trójkąt , ograniczony liniami prostymi , , (Rys. 1.8). Na aplikacje punktowe spełnić nierówność , Dlatego .
	Ustalanie granic całkowania dla trójkąta , dostajemy

Całka potrójna we współrzędnych cylindrycznych

Podczas przemieszczania się ze współrzędnych kartezjańskich
do współrzędnych cylindrycznych
(ryc. 1.9) związany z
proporcje
,
,
, I

	, ,, całka potrójna transformuje: Przykład 1.5. Oblicz objętość ciała ograniczonego powierzchniami: , , . Rozwiązanie. Pożądana objętość ciała równa się .
	Obszar integracji to część cylindra ograniczona od dołu płaszczyzną i nad płaszczyzną (Rys. 1.10). Projekcja obszaru jest koło wyśrodkowany w początku i z jednostkowym promieniem. Przejdźmy do współrzędnych cylindrycznych. , , . Na aplikacje punktowe , spełniają nierówność lub w współrzędne cylindryczne:

Region
, ograniczony krzywą
, przybiera postać lub
, podczas gdy kąt biegunowy
. W rezultacie mamy

.

2. Elementy teorii pola

Przypomnijmy sobie najpierw metody obliczania całek krzywoliniowych i powierzchniowych.

Obliczanie całki krzywoliniowej po współrzędnych funkcji zdefiniowanych na krzywej , sprowadza się do obliczenia całki oznaczonej postaci

jeśli krzywa parametryczne
odpowiada punktowi początkowemu krzywej , A
- jego punkt końcowy.

Obliczanie całki powierzchniowej funkcji
zdefiniowane na dwustronnej powierzchni , sprowadza się do obliczenia całki podwójnej, na przykład postaci

,

jeśli powierzchnia , dane przez równanie
, jest jednoznacznie rzutowany na płaszczyznę
do regionu
. Tutaj - kąt między jednostkowym wektorem normalnym na powierzchnię i oś
:

.

Strona powierzchni wymagana przez warunki problemu ustala się poprzez wybór odpowiedniego znaku we wzorze (2.3).

Definicja 2.1. Pole wektorowe
nazywamy funkcją wektorową punktu
wraz z jego zakresem:

pole wektorowe
charakteryzuje się wartością skalarną - rozbieżność:

Definicja 2.2. przepływ pole wektorowe
przez powierzchnię nazywa się całką powierzchniową:

,

Gdzie - jednostkowy wektor normalny do wybranej strony powierzchni , A
- iloczyn skalarny wektorów I .

Definicja 2.3. krążenie pole wektorowe

Przez krzywa zamknięta nazywa się całką krzywoliniową

,

Gdzie
.

Formuła Ostrogradskiego-Gaussa ustanawia połączenie między przepływem pola wektorowego przez zamkniętą powierzchnię i dywergencja pola:

Gdzie - powierzchnia ograniczona konturem zamkniętym , A jest jednostkowym wektorem normalnym do tej powierzchni. Kierunek normalnej musi odpowiadać kierunkowi konturu .

Przykład 2.1. Oblicz całkę powierzchniową

,

Gdzie - zewnętrzna część stożka
(
) odcięte przez samolot
(Rysunek 2.1).

Rozwiązanie. Powierzchnia w unikalny sposób rzutowany na ten obszar
samolot
, a całkę oblicza się ze wzoru (2.2).

Wektor normalny powierzchni jednostkowej znajdujemy według wzoru (2.3): . Tutaj, w wyrażeniu na normalną, wybierany jest znak plus, ponieważ kąt między osiami i normalne jest głupi i dlatego musi być ujemna. Jeśli się uwzględni , na powierzchni dostajemy

Region
jest koło
. Dlatego w ostatniej całce przechodzimy do współrzędnych biegunowych, podczas gdy
,
:

Przykład 2.2. Znajdź dywergencję i zwinięcie pola wektorowego
.

Rozwiązanie. Ze wzoru (2.4) otrzymujemy

Wirnik tego pola wektorowego można znaleźć według wzoru (2.5)

Przykład 2.3. Znajdź przepływ pola wektorowego
przez część samolotu :
znajduje się w pierwszej oktancie (normalna tworzy kąt ostry z osią
).

	Rozwiązanie. Według wzoru (2.6) . Narysuj część samolotu : znajduje się w pierwszym oktacie. Równanie tej płaszczyzny w odcinkach ma postać (Rys. 2.3). Wektor normalny do płaszczyzny ma współrzędne: , jednostkowy wektor normalny
	. . , , Gdzie , stąd,

Gdzie
- rzut płaski NA
(Rys. 2.4).

Przykład 2.4. Oblicz przepływ pola wektorowego przez zamkniętą powierzchnię utworzony przez samolot
i część stożka
(
) (ryc. 2.2).

Rozwiązanie. Korzystamy ze wzoru Ostrogradskiego-Gaussa (2.8)

.

Znajdź rozbieżność pola wektorowego według wzoru (2.4):

Gdzie
jest objętością stożka, po którym przeprowadza się całkowanie. Korzystamy ze znanego wzoru na obliczenie objętości stożka
(jest promieniem podstawy stożka, - jego wysokość). W naszym przypadku otrzymujemy
. Wreszcie dostajemy

.

Przykład 2.5. Oblicz cyrkulację pola wektorowego
wzdłuż konturu utworzone przez przecięcie powierzchni
I
(
). Sprawdź wynik za pomocą wzoru Stokesa.

Rozwiązanie. Przecięcie tych powierzchni jest okręgiem
,
(Rys. 2.1). Kierunek obwodnicy dobiera się zazwyczaj tak, aby obszar przez nią ograniczony pozostawał po lewej stronie. Piszemy parametryczne równania konturu :

Gdzie

gdzie parametr zmiany od zanim
. Ze wzoru (2.7), biorąc pod uwagę (2.1) i (2.10), otrzymujemy

.

Zastosujemy teraz wzór Stokesa (2.9). Jako powierzchnia , rozpięte konturem , możesz wziąć udział w samolocie
. Normalny kierunek
do tej powierzchni jest zgodny z kierunkiem przechodzenia konturu . Zwinięcie tego pola wektorowego oblicza się w przykładzie 2.2:
. Dlatego pożądany obieg

Gdzie
- obszar regionu
.
- okrąg o promieniu
, Gdzie

Załóżmy, że mamy dwa prostokątne układy współrzędnych w przestrzeni i
i układ funkcji

(1)

które ustanawiają korespondencję jeden do jednego między punktami niektórych obszarów
I
w tych układach współrzędnych. Załóżmy, że funkcje układu (1) mają in
ciągłe pochodne cząstkowe. Wyznacznik złożony z tych pochodnych cząstkowych

,

nazywamy jakobianem (lub wyznacznikiem Jacobiego) układu funkcji (1). Założymy, że
V
.

Przy powyższych założeniach zachodzi następujący ogólny wzór na zmianę zmiennych w całce potrójnej:

Podobnie jak w przypadku całki podwójnej, jedności układu (1) i warunku
mogą zostać naruszone w poszczególnych punktach, na poszczególnych liniach i na poszczególnych powierzchniach.

Układ funkcji (1) dla każdego punktu
pasuje do jednego punktu
. Te trzy liczby
nazywane są współrzędnymi krzywoliniowymi punktu . Punkty przestrzeni
, dla których jedna z tych współrzędnych pozostaje stała, tworzą tzw. powierzchnia współrzędnych.

II Całka potrójna we współrzędnych cylindrycznych

Cylindryczny układ współrzędnych (CCS) jest zdefiniowany przez płaszczyznę
, w którym biegunowy układ współrzędnych i oś
prostopadle do tej płaszczyzny. Współrzędne punktu cylindrycznego
, Gdzie
– współrzędne biegunowe punktu – projekcje t okulary do samolotu
, A są współrzędnymi rzutu punktu na oś
Lub
.

W samolocie
współrzędne kartezjańskie wprowadzamy w zwykły sposób, kierując oś aplikacyjną wzdłuż osi
CSK. Teraz nie jest trudno uzyskać wzory odnoszące współrzędne cylindryczne do współrzędnych kartezjańskich:

(3)

Formuły te odwzorowują obszar na całą przestrzeń
.

Powierzchniami współrzędnych w tym przypadku będą:

1)
- powierzchnie cylindryczne z generatorami równoległymi do osi
, którego prowadnicami są okręgi na płaszczyźnie
, wyśrodkowany w punkcie ;

2)

;

3)
- płaszczyzny równoległe do płaszczyzn
.

System Jakobianu (3):

.

Ogólna formuła w przypadku CSC przyjmuje postać:

Uwaga 1 . Przejście do współrzędnych cylindrycznych jest zalecane, gdy obszarem całkowania jest kołowy walec lub stożek albo paraboloida obrotowa (lub ich części), a oś tego ciała pokrywa się z osią aplikatora
.

Uwaga 2. Współrzędne cylindryczne można uogólnić w taki sam sposób, jak współrzędne biegunowe na płaszczyźnie.

Przykład 1 Oblicz potrójną całkę funkcji

Przez region
, czyli wnętrze cylindra
, ograniczony stożkiem
i paraboloidy
.

Rozwiązanie. Rozważaliśmy już ten obszar w §2, przykład 6 i uzyskaliśmy standardową notację w DPSC. Jednak obliczenie całki w tym obszarze jest trudne. Przejdźmy do CSK:

.

Występ
ciało
do samolotu
jest okręgiem
. Dlatego współrzędna zmienia się od 0 do
, A – od 0 do R. Przez dowolny punkt
narysuj linię równoległą do osi
. Bezpośrednie wejście do
na stożku, ale wyjdzie na paraboloidzie. Ale stożek
ma równanie w CSK
i paraboloidy
- równanie
. Więc mamy

III Całka potrójna we współrzędnych sferycznych

Sferyczny układ współrzędnych (SCS) jest zdefiniowany przez płaszczyznę
, w którym określony jest LUW, oraz oś
, prostopadle do płaszczyzny
.

Współrzędne punktu sferycznego przestrzeń nazywa się potrójną liczbą
, Gdzie jest biegunowym kątem rzutu punktu na płaszczyznę
,- kąt między osiami
i wektor
I
.

W samolocie
wprowadzić osie współrzędnych kartezjańskich
I
w zwykły sposób, a oś aplikacyjna jest zgodna z osią
. Wzory odnoszące współrzędne sferyczne do kartezjańskiego to:

(4)

Formuły te odwzorowują obszar na całą przestrzeń
.

Jakobian układu funkcji (4):

.

Powierzchnie współrzędnych tworzą trzy rodziny:

1)
– koncentryczne sfery wyśrodkowane w początku;

2)
- półpłaszczyzny przechodzące przez oś
;

3)
są okrągłymi stożkami z wierzchołkiem w początku, którego oś jest osią
.

Wzór na przejście do SSC w potrójnej całce:

Uwaga 3. Przejście do SSC jest zalecane, gdy obszarem integracji jest piłka lub jej część. W tym przypadku równanie kuli
wchodzi w. Podobnie jak omówiony wcześniej CSC, CSC jest „przywiązany” do osi
. Jeśli środek kuli zostanie przesunięty o promień wzdłuż osi współrzędnych, wówczas najprostsze równanie sferyczne zostanie uzyskane z przesunięciem wzdłuż osi
:

Uwaga 4. Możliwe jest uogólnienie SSC:

z Jakobianem
. Ten układ funkcji przełoży elipsoidę

w równoległościan

Przykład 2 Znajdź średnią odległość punktów kuli o promieniu od jego centrum.

Rozwiązanie. Przypomnijmy, że średnia wartość funkcji
w pobliżu
jest potrójną całką funkcji po polu podzieloną przez objętość pola. W naszym przypadku

Więc mamy

Procedura obliczania całki potrójnej jest podobna do odpowiedniej operacji dla całki podwójnej. Aby to opisać, wprowadzamy pojęcie regularnej domeny trójwymiarowej:

Definicja 9.1. Trójwymiarowy obszar V ograniczony przez zamkniętą powierzchnię S nazywamy regularnym, jeśli:

1. dowolna linia prosta oś równoległa Oz i poprowadzona przez wewnętrzny punkt regionu przecina S w dwóch punktach;
2. cały obszar V jest rzutowany na płaszczyznę Oxy na regularny dwuwymiarowy obszar D;
3. dowolna część dziedziny V, odcięta od niej płaszczyzną równoległą do którejkolwiek z płaszczyzn współrzędnych, ma własności 1) i 2).

Rozważmy regularny obszar V ograniczony z góry i z dołu przez powierzchnie z=χ(x, y) i z=ψ(x, y) i rzutowany na płaszczyznę Oxy na regularny obszar D, wewnątrz którego x zmienia się od a do b, ograniczony krzywymi y=φ1(x) i y=φ2(x) (rys. 1). Zdefiniujmy funkcję ciągłą f(x, y, z) w dziedzinie V.

Definicja 9.2. Całkę potrójną funkcji f(x, y, z) po dziedzinie V nazywamy wyrażeniem postaci:

Całka potrójna ma takie same właściwości jak całka podwójna. Wymieniamy je bez dowodu, ponieważ dowodzi się ich podobnie jak w przypadku całki podwójnej.

Obliczanie całki potrójnej.

Twierdzenie 9.1. Całka potrójna funkcji f(x,y,z) po właściwej dziedzinie V jest równa całce potrójnej po tej samej dziedzinie:

. (9.3)

Dowód.

Region V dzielimy płaszczyznami równoległymi do płaszczyzn współrzędnych na n regularnych regionów. Wtedy z własności 1 wynika, że

gdzie jest całką potrójną funkcji f(x,y,z) po dziedzinie .

Korzystając ze wzoru (9.2), poprzednią równość można zapisać jako:

Z warunku ciągłości dla funkcji f(x,y,z) wynika, że ​​granica sumy całkowej po prawej stronie tej równości istnieje i jest równa całce potrójnej. Następnie przechodząc do granicy w , otrzymujemy:

co było do okazania

Komentarz.

Podobnie jak w przypadku całki podwójnej można udowodnić, że zmiana kolejności całkowania nie zmienia wartości całki potrójnej.

Przykład. Obliczmy całkę, gdzie V jest trójkątną piramidą z wierzchołkami w punktach (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1). Jego rzutem na płaszczyznę Oxy jest trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0) i (0, 1). Od dołu region jest ograniczony płaszczyzną z = 0, a od góry płaszczyzną x + y + z = 1. Przejdźmy do całki potrójnej:

Czynniki, które nie zależą od zmiennej integracji, można wyjąć ze znaku odpowiedniej całki:

Krzywoliniowe układy współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej.

1. Cylindryczny układ współrzędnych.

Współrzędne cylindryczne punktu Р(ρ,φ,z) są współrzędnymi biegunowymi ρ, φ rzutu tego punktu na płaszczyznę Oxy i aplikacji tego punktu z (ryc. 2).

Wzory konwersji ze współrzędnych cylindrycznych na współrzędne kartezjańskie można określić w następujący sposób:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9,4)

1. Sferyczny układ współrzędnych.

W współrzędne sferyczne położenie punktu w przestrzeni określa współrzędna liniowa ρ – odległość punktu od początku kartezjańskiego układu współrzędnych (lub bieguna układu sferycznego), φ – kąt biegunowy między dodatnią półosią Ox i rzut punktu na płaszczyznę Oxy, a θ – kąt między dodatnią półosią osi Oz a odcinkiem OP (rys.3). W której

Ustawmy wzory na przejście ze współrzędnych sferycznych do kartezjańskich:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9,5)

Jakobian i jego znaczenie geometryczne.

Rozważmy ogólny przypadek zmiany zmiennych w całka podwójna. Niech na płaszczyźnie Oxy będzie dana dziedzina D ograniczona linią L. Załóżmy, że x i y są jednowartościowymi i różniczkowalnymi w sposób ciągły funkcjami nowych zmiennych u i v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9,6)

Rozważać układ prostokątny współrzędne Оuv, którego punkt Р΄(u, v) odpowiada punktowi Р(х,y) z obszaru D. Wszystkie takie punkty tworzą obszar D΄ na płaszczyźnie Оuv ograniczonej prostą L΄. Można powiedzieć, że wzory (9.6) ustalają zgodność jeden do jednego między punktami dziedzin D i D΄. W tym przypadku linie u = const i

v = const na płaszczyźnie Ouv będzie odpowiadać pewnym liniom na płaszczyźnie Oxy.

Rozważmy prostokątny obszar ΔS΄ na płaszczyźnie Оuv ograniczony liniami u = const, u+Δu = const, v = const i v+Δv = const. Będzie to odpowiadać krzywoliniowemu obszarowi ΔS w płaszczyźnie Oxy (rys. 4). Obszary rozważanych stanowisk będą również oznaczane przez ΔS΄ i ΔS. W tym przypadku ΔS΄ = Δu Δv. Znajdźmy obszar ∆S. Oznaczmy wierzchołki tego czworoboku krzywoliniowego P1, P2, P3, P4, gdzie

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Zastąpmy małe przyrosty Δu i Δv odpowiednimi różniczkami. Następnie

W tym przypadku czworokąt P1 P2 P3 P4 można uznać za równoległobok, a jego pole można wyznaczyć za pomocą wzoru z geometrii analitycznej:

(9.7)

Definicja 9.3. Wyznacznik nazywany jest wyznacznikiem funkcjonalnym lub jakobianem funkcji φ(x, y) i ψ(x, y).

Przechodząc do granicy w równości (9.7), otrzymujemy geometryczne znaczenie jakobianu:

to znaczy moduł Jakobianu jest granicą stosunku obszarów nieskończenie małych obszarów ΔS i ΔS΄.

Komentarz. Podobnie można zdefiniować pojęcie jakobianu i jego geometryczne znaczenie dla n-wymiarowej przestrzeni: jeśli x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un),…, xn = φ(u1 , u2,…, un), wtedy

(9.8)

W tym przypadku moduł Jakobianu wyznacza granicę stosunku „objętości” małych obszarów przestrzeni x1, x2,…, xn i u1, u2,…, un.

Zamiana zmiennych w całkach wielokrotnych.

Przeanalizujmy ogólny przypadek zmiany zmiennych na przykładzie całki podwójnej.

Niech będzie dana dziedzina D funkcja ciągła z = f(x, y), z których każda wartość odpowiada tej samej wartości funkcji z = F(u, v) w dziedzinie D΄, gdzie

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9,9)

Rozważ sumę całkowitą

gdzie suma całkowa po prawej stronie jest przejęta przez dziedzinę D΄. Przechodząc do granicy w , otrzymujemy wzór na przekształcenie współrzędnych w całce podwójnej.

Całki potrójne. Obliczanie objętości ciała.
Całka potrójna we współrzędnych cylindrycznych

Zmarły przez trzy dni leżał w dziekanacie, ubrany w pitagorejskie spodnie,
W rękach Fikhtengoltza trzymał tom, który uratował go przed białym światem,
Do nóg przywiązano potrójną całkę, a zwłoki owinięto w matrycę,
I zamiast się modlić, jakiś bezczelny człowiek przeczytał twierdzenie Bernoulliego.

Całki potrójne to coś, czego nie możesz się już bać =) Bo jeśli czytasz ten tekst, to najprawdopodobniej dobrze rozumiesz teoria i praktyka całek „zwykłych”., I całki podwójne. A tam, gdzie jest podwójna, w pobliżu jest potrójna:

A tak naprawdę, czego tu się bać? Całka mniej, całka więcej ....

Zrozumienie zapisu:

– ikona potrójnej całki;
– całka funkcja trzech zmiennych;
jest iloczynem różnic.
jest regionem integracji.

Skupmy się w szczególności na obszary integracji. jeśli w całka podwójna ona reprezentuje płaska postać, wtedy tutaj - ciało przestrzenne, o którym wiadomo, że jest ograniczony przez zbiór powierzchnie. Dlatego oprócz powyższego musisz nawigować główne powierzchnie przestrzeni i umieć wykonywać proste trójwymiarowe rysunki.

Niektórych to denerwuje, rozumiem... Niestety, artykuł nie może być zatytułowany „potrójne całki dla manekinów”, a ty musisz coś wiedzieć / umieć coś zrobić. Ale to nic – cały materiał przedstawiony jest w niezwykle przystępnej formie i opanowany w możliwie najkrótszym czasie!

Co to znaczy obliczyć całkę potrójną i na czym to polega?

Obliczanie średnich całkowych potrójnych znajdź NUMER:

W najprostszym przypadku kiedy całka potrójna jest liczbowo równa objętości ciała. I rzeczywiście wg ogólne znaczenie integracji, produkt jest nieskończenie mały objętość elementarnej „cegły” ciała. A potrójna całka jest sprawiedliwa łączy wszystkie te nieskończenie małe cząstki nad powierzchnią, co daje całkowitą (całkowitą) wartość objętości ciała: .

Ponadto potrójna całka ma znaczenie aplikacje fizyczne. Ale o tym później - w drugiej części lekcji poświęconej obliczanie dowolnych całek potrójnych, którego funkcja zasadniczo różni się od stałej i ciągłej w dziedzinie . W tym artykule szczegółowo rozważymy problem znalezienia woluminu, który moim zdaniem subiektywna ocena występuje 6-7 razy częściej.

Jak rozwiązać potrójną całkę?

Odpowiedź wynika logicznie z poprzedniego akapitu. Trzeba zdefiniować kolejność chodzenia po ciele i idź do całki iterowane. Następnie kolejno zajmij się trzema pojedynczymi całkami.

Jak widać cała kuchnia bardzo, bardzo przypomina całki podwójne, z tą różnicą, że teraz dodaliśmy dodatkowy wymiar (w przybliżeniu wysokość). I prawdopodobnie wielu z was już odgadło, jak rozwiązuje się całki potrójne.

Rozwiejmy pozostałe wątpliwości:

Przykład 1

Proszę napisać w kolumnie na papierze:

I odpowiedz na poniższe pytania. Czy wiesz, jakie powierzchnie definiują te równania? Czy rozumiesz nieformalne znaczenie tych równań? Czy możesz sobie wyobrazić, jak te powierzchnie są rozmieszczone w kosmosie?

Jeśli skłaniasz się ku ogólnej odpowiedzi „raczej nie niż tak”, to koniecznie przepracuj lekcję, inaczej nie posuniesz się dalej!

Rozwiązanie: skorzystaj ze wzoru .

Aby się dowiedzieć kolejność chodzenia po ciele i idź do całki iterowane potrzebujesz (wszystko, co genialne, jest proste), aby zrozumieć, jakie to ciało. A takie zrozumienie w wielu przypadkach znacznie ułatwiają rysunki.

Zgodnie z warunkami ciało jest ograniczone kilkoma powierzchniami. Od czego zacząć budowę? Proponuję następujący tok postępowania:

Narysujmy najpierw równoległy ortogonalny rzut ciała na płaszczyznę współrzędnych. Pierwszy raz powiedziałem, jak nazywa się ta projekcja, lol =)

Ponieważ projekcja odbywa się wzdłuż osi, przede wszystkim wskazane jest, aby sobie z tym poradzić powierzchnie które są równoległe do danej osi. Przypominam, że równania takich powierzchni nie zawierają litery „z”. W tym problemie są trzy z nich:

– równanie definiuje płaszczyznę współrzędnych , która przechodzi przez oś ;
– równanie definiuje płaszczyznę współrzędnych , która przechodzi przez oś ;
- zestawy równań samolot „płaska” linia równolegle do osi.

Najprawdopodobniej pożądanym odwzorowaniem jest następujący trójkąt:

Być może nie wszyscy do końca zrozumieli, o co chodziło. Wyobraź sobie, że z ekranu monitora wystaje oś, która wbija się bezpośrednio w nasadę nosa ( te. okazuje się, że patrzysz na trójwymiarowy rysunek z góry). Badany obiekt przestrzenny znajduje się w nieskończonym trójściennym „korytarzu”, a jego rzut na płaszczyznę jest najprawdopodobniej zacienionym trójkątem.

Zwracam szczególną uwagę na fakt, że do tej pory wyrażaliśmy tylko projekcja a zdania „najprawdopodobniej”, „najprawdopodobniej” nie były przypadkowe. Faktem jest, że nie wszystkie powierzchnie zostały jeszcze przeanalizowane i może się zdarzyć, że jedna z nich „odrąbie” część trójkąta. Jako ilustracyjny przykład, kula wyśrodkowany w początku układu współrzędnych o promieniu mniejszym niż jeden, na przykład kula jest jego rzutem na płaszczyznę (okrąg ) nie „pokryje” całkowicie zacieniowanego obszaru, a końcowy rzut bryły wcale nie będzie trójkątem (okrąg „obetnie” swoje ostre rogi).

W drugim etapie dowiadujemy się, w jaki sposób ciało jest ograniczone od góry, a nie od dołu i wykonujemy rysunek przestrzenny. Wracamy do stanu problemu i widzimy jakie powierzchnie pozostały. Równanie definiuje samą płaszczyznę współrzędnych, a równanie - cylinder paraboliczny, usytuowany powyżej płaszczyźnie i przechodzącej przez oś. Zatem rzut ciała jest rzeczywiście trójkątem.

Nawiasem mówiąc, znalazłem tutaj nadmierność warunkach – nie trzeba było uwzględniać równania płaszczyzny, gdyż powierzchnia stykająca się z osią odciętych i tak zamyka bryłę. Warto zauważyć, że w tym przypadku nie bylibyśmy w stanie narysować rzutu od razu - trójkąt „narysowałby się” dopiero po przeanalizowaniu równania.

Ostrożnie narysujmy fragment walca parabolicznego:

Po uzupełnieniu rysunków z porządek ciała Nie ma problemu!

Najpierw ustalamy kolejność przechodzenia rzutu (jednocześnie DUŻO WYGODNIEJ jest poruszać się po dwuwymiarowym rysunku). Zrobione ABSOLUTNIE TO SAMO, Jak w całki podwójne! Przypomnij sobie wskaźnik laserowy i skanowanie płaskiego obszaru. Wybierzmy „tradycyjne” pierwsze obejście:

Następnie podnosimy magiczną latarkę, patrzymy na trójwymiarowy rysunek i dokładnie od dołu do góry oświetlić pacjenta. Promienie wchodzą do ciała przez płaszczyznę i opuszczają je przez powierzchnię. Zatem kolejność przechodzenia przez ciało jest następująca:

Przejdźmy do całek iterowanych:

1) Powinieneś zacząć od całki „Z”. Używamy Formuła Newtona-Leibniza:

Zastąp wynik całką „gra”:

Co się stało? Zasadniczo rozwiązanie zostało sprowadzone do całki podwójnej, a mianowicie do wzoru objętość belki cylindrycznej! Co następuje, jest dobrze znane:

2)

Zwróć uwagę na racjonalną technikę rozwiązywania trzeciej całki.

Odpowiedź:

Obliczenia zawsze można zapisać w „jednej linijce”:


Ale bądź ostrożny z tą metodą - wzrost prędkości jest obarczony utratą jakości, a im trudniejszy przykład, tym większe prawdopodobieństwo popełnienia błędu.

Odpowiedzmy sobie na ważne pytanie:

Czy konieczne jest wykonanie rysunków, jeśli stan zadania nie wymaga ich wykonania?

Możesz iść na cztery sposoby:

1) Przedstaw projekcję i samo ciało. Jest to najkorzystniejsza opcja - jeśli uda się wykonać dwa porządne rysunki, nie leniuchuj, wykonaj oba rysunki. Polecam jako pierwszy.

2) Narysuj tylko ciało. Odpowiedni, gdy ciało ma prostą i oczywistą projekcję. Czyli np. w analizowanym przykładzie wystarczyłby trójwymiarowy rysunek. Jednak i tu jest minus – ustalanie kolejności omijania projekcji z obrazu 3D jest niewygodne, a tę metodę poleciłbym tylko osobom o dobrym poziomie wyszkolenia.

3) Pokaż tylko projekcję. Również nie jest źle, ale wtedy wymagane są dodatkowe pisemne uwagi, które ograniczają obszar z różnych stron. Niestety często wymuszana jest ta trzecia opcja – gdy nadwozie jest zbyt duże lub jego konstrukcja obarczona jest innymi utrudnieniami. Rozważymy również takie przykłady.

4) W ogóle nie rób rysunków. W takim przypadku musisz wyobrazić sobie ciało mentalnie i skomentować jego kształt / położenie na piśmie. Nadaje się do bardzo prostych brył lub zadań gdzie wykonanie obu rysunków jest utrudnione. Ale nadal lepiej jest wykonać przynajmniej schematyczny rysunek, ponieważ „nagie” rozwiązanie można odrzucić.

Następujący organ do niezależnej sprawy:

Przykład 2

Korzystając z potrójnej całki oblicz objętość ciała ograniczonego powierzchniami

W ta sprawa obszar integracji jest określony głównie przez nierówności, a jeszcze lepiej - przez zbiór nierówności definiuje 1. oktant, w tym płaszczyzny współrzędnych i nierówność - połowa przestrzeni, zawierający pochodzenie (sprawdzać)+ sam samolot. Płaszczyzna „pionowa” przecina paraboloidę wzdłuż paraboli i pożądane jest zbudowanie tej sekcji na rysunku. Aby to zrobić, musisz znaleźć dodatkowy punkt odniesienia, najłatwiej jest na szczycie paraboli (rozważamy wartości i obliczyć odpowiednie Z).

Kontynuujemy rozciąganie:

Przykład 3

Za pomocą całki potrójnej oblicz objętość ciała ograniczonego wskazanymi powierzchniami. Wykonaj rysunek.

Rozwiązanie: sformułowanie „wykonać rysunek” daje nam pewną swobodę, ale najprawdopodobniej oznacza wykonanie rysunku przestrzennego. Jednak projekcja też nie boli, tym bardziej, że tutaj nie należy do najłatwiejszych.

Trzymamy się wypracowanej wcześniej taktyki - najpierw zajmiemy się powierzchnie które są równoległe do osi aplikacji. Równania takich powierzchni nie zawierają wprost zmiennej „z”:

– równanie definiuje płaszczyznę współrzędnych przechodzącą przez oś ( co na płaszczyźnie jest określone równaniem „homonimicznym” );
- zestawy równań samolot przechodząc przez „homonim” „płaska” linia równolegle do osi.

Pożądane ciało jest ograniczone płaszczyzną od dołu i cylinder paraboliczny powyżej:

Ustalmy kolejność omijania ciała, natomiast granice całkowania „x” i „y” przypominam, wygodniej jest dowiedzieć się z rysunku dwuwymiarowego:

Zatem:

1)

Podczas całkowania po „y” - „x” jest uważane za stałą, dlatego wskazane jest natychmiastowe wyjęcie stałej ze znaku całki.

3)

Odpowiedź:

Tak, prawie zapomniałem, w większości przypadków porównanie otrzymanego wyniku z trójwymiarowym rysunkiem jest mało przydatne (a nawet szkodliwe), ponieważ jest wysoce prawdopodobne, że iluzja objętości o których mówiłem na zajęciach Objętość korpusu rewolucji. Oceniając więc korpus rozważanego zadania, osobiście wydawało mi się, że ma on dużo więcej niż 4 „kostki”.

Poniższy przykład dotyczy rozwiązania autonomicznego:

Przykład 4

Za pomocą całki potrójnej oblicz objętość ciała ograniczonego wskazanymi powierzchniami. Wykonaj rysunki podanego ciała i jego rzut na płaszczyznę.

Przykład zadania na końcu lekcji.

Nierzadko zdarza się, że wykonanie trójwymiarowego rysunku jest trudne:

Przykład 5

Korzystając z potrójnej całki, znajdź objętość ciała określoną przez ograniczające je powierzchnie

Rozwiązanie: projekcja tutaj jest prosta, ale trzeba pomyśleć o kolejności jej obejścia. Jeśli wybierzesz pierwszą metodę, figura będzie musiała zostać podzielona na 2 części, co nie iluzoryczne grozi obliczeniem sumy dwa całki potrójne. Pod tym względem drugi sposób wygląda znacznie bardziej obiecująco. Wyraźmy i przedstawmy rzut tego ciała na rysunku:

Przepraszam za jakość niektórych zdjęć, wyciąłem je prosto z własnych rękopisów.

Wybieramy korzystniejszą kolejność omijania figury:

Teraz wszystko zależy od ciała. Od dołu jest ograniczona płaszczyzną, od góry - płaszczyzną przechodzącą przez oś y. I wszystko byłoby dobrze, ale ostatnia płaszczyzna jest zbyt stroma i nie tak łatwo zbudować teren. Wybór tutaj jest nie do pozazdroszczenia: albo biżuteria działa na małą skalę (bo ciało jest dość cienkie), albo rysunek o wysokości około 20 centymetrów (a nawet wtedy, jeśli pasuje).

Ale istnieje trzecia, pierwotnie rosyjska metoda rozwiązania problemu - punktacja =) I zamiast trójwymiarowego rysunku radzimy sobie z słownym opisem: „To ciało jest ograniczone cylindrami i płaszczyzna z boku, płaszczyzna na dole i płaszczyzna na górze.

„Pionowe” granice integracji są oczywiście następujące:

Obliczmy objętość ciała, nie zapominając, że ominęliśmy projekcję w mniej powszechny sposób:

1)

Odpowiedź:

Jak zauważyłeś, ciała oferowane w zadaniach za nie więcej niż sto dolców często ograniczają się do samolotu od dołu. Ale to nie jest jakaś zasada, więc zawsze musisz mieć się na baczności - zadanie może natknąć się na miejsce, w którym znajduje się ciało i pod samolot . I tak np. jeśli w analizowanym problemie zamiast uwzględniać płaszczyznę , to badane ciało będzie pokazane symetrycznie w dolnej półprzestrzeni i będzie ograniczone płaszczyzną od dołu, a płaszczyzną już od góry!

Łatwo sprawdzić, że otrzymamy ten sam wynik:

(pamiętaj, że ciało trzeba ominąć ściśle od dołu do góry!)

Ponadto „ulubiony” samolot może okazać się całkowicie nieaktualny, najprostszy przykład: piłka znajdująca się nad płaszczyzną - przy obliczaniu jej objętości równanie w ogóle nie jest potrzebne.

Rozważymy wszystkie te przypadki, ale na razie podobne zadanie dla niezależnego rozwiązania:

Przykład 6

Korzystając z potrójnej całki, znajdź objętość ciała ograniczonego powierzchniami

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Przejdźmy do drugiego akapitu z nie mniej popularnymi materiałami:

Całka potrójna we współrzędnych cylindrycznych

Współrzędne cylindryczne są w rzeczywistości współrzędne biegunowe w kosmosie.
W cylindrycznym układzie współrzędnych położenie punktu w przestrzeni jest określone przez współrzędne biegunowe, a punkt jest rzutem punktu na płaszczyznę i zastosowaniem samego punktu.

Przejście z trójwymiarowego układu kartezjańskiego do cylindrycznego układu współrzędnych odbywa się według następujących wzorów:

Dla naszego motywu transformacja wygląda następująco:

I odpowiednio, w uproszczonym przypadku, który rozważamy w tym artykule:

Najważniejsze, aby nie zapomnieć o dodatkowym mnożniku „er” i poprawnie umieścić biegunowe granice integracji przy omijaniu projekcji:

Przykład 7

Rozwiązanie: postępujemy w ten sam sposób: najpierw rozważamy równania, w których nie ma zmiennej „z”. Jest tu sam. Występ cylindryczna powierzchnia w samolocie jest „homonim” koło .

samoloty ogranicz pożądane ciało od dołu i góry („wyrzeźbij” je z cylindra) i rzutuj na okrąg:

Następnym krokiem jest rysunek 3D. Główna trudność polega na skonstruowaniu płaszczyzny, która przecina cylinder pod kątem „ukośnym”, w wyniku czego elipsa. Doprecyzujmy tę sekcję analitycznie: w tym celu przepisujemy równanie płaszczyzny w postaci funkcjonalnej i obliczyć wartości funkcji („wysokość”) w oczywistych punktach leżących na granicy projekcji:

Znalezione punkty zaznaczamy na rysunku i dokładnie (nie tak jak ja =)) połącz je linią:

Rzutem ciała na płaszczyznę jest okrąg, a to jest ważki argument przemawiający za przejściem na cylindryczny układ współrzędnych:

Znajdźmy równania powierzchni we współrzędnych walcowych:

Teraz trzeba ustalić kolejność omijania ciała.

Zajmijmy się najpierw projekcją. Jak określić jego kolejność przechodzenia? DOKŁADNIE TAKIE SAME JAK Z obliczanie całek podwójnych we współrzędnych biegunowych. Tutaj jest to elementarne:

Oczywiste są też „pionowe” granice całkowania – wchodzimy do ciała przez płaszczyznę i wychodzimy z niego przez płaszczyznę:

Przejdźmy do całek iterowanych:

Jednocześnie natychmiast umieszczamy mnożnik „er” w „naszej” całce.

Miotłę, jak zwykle, łatwiej złamać wzdłuż gałązek:

1)

Wynik przenosimy do następującej całki:

I tutaj nie zapominamy, że „phi” jest uważane za stałą. Ale to na razie:

Odpowiedź:

Podobne zadanie dla niezależnego rozwiązania:

Przykład 8

Użyj potrójnej całki do obliczenia objętości ciała ograniczonego powierzchniami. Wykonaj rysunki podanego ciała i jego rzut na płaszczyznę.

Przybliżona próbka wykończenia na koniec lekcji.

Proszę zwrócić uwagę, że w warunkach problemów ani słowa nie mówi się o przejściu do cylindrycznego układu współrzędnych, a ignorant zderzy się z trudnymi całkami we współrzędnych kartezjańskich. ... A może nie - w końcu istnieje trzeci, pierwotnie rosyjski sposób rozwiązywania problemów =)

To dopiero początek! …w dobrym znaczeniu :)

Przykład 9

Korzystając z potrójnej całki, znajdź objętość ciała ograniczonego powierzchniami

Skromny i gustowny.

Rozwiązanie: to ciało jest ograniczone powierzchnia stożkowa I paraboloida eliptyczna. Czytelników, którzy dokładnie zapoznali się z materiałami artykułu Główne powierzchnie przestrzeni, przedstawiłem już jak wygląda ciało, ale w praktyce często zdarzają się bardziej złożone przypadki, dlatego przeprowadzę szczegółowe rozumowanie analityczne.

Najpierw znajdź linie, wzdłuż których przecinają się powierzchnie. Stwórzmy i rozwiążmy następujący system:

Od pierwszego równania odejmujemy drugi wyraz po wyrazie:

Rezultatem są dwa pierwiastki:

Podstawiamy znalezioną wartość do dowolnego równania układu:
, skąd to wynika
Zatem korzeń odpowiada pojedynczemu punktowi - pochodzeniu. Oczywiście wierzchołki rozważanych powierzchni pokrywają się.

Podstawmy teraz drugi pierwiastek - również w dowolnym równaniu układu:

Jakie jest znaczenie geometryczne uzyskanego wyniku? „Na wysokości” (w płaszczyźnie) paraboloida i stożek przecinają się wzdłuż kręgi– jednostka promienia wyśrodkowana w punkcie .

W tym przypadku „kielich” paraboloidy zawiera zatem „lejek” stożka generatory powierzchnię stożkową należy narysować linią przerywaną (z wyjątkiem najbardziej oddalonego od nas segmentu generatora, który jest widoczny pod tym kątem):

Rzut ciała na płaszczyznę wynosi koło wyśrodkowany na początku promienia 1, którego nawet nie zadałem sobie trudu narysowania ze względu na oczywistość tego faktu (jednak robimy pisemny komentarz!). Nawiasem mówiąc, w dwóch poprzednich zadaniach rysunek projekcji również mógłby być oceniony, gdyby nie warunek.

Przy przechodzeniu do współrzędnych cylindrycznych według standardowych wzorów nierówność zostanie zapisana w najprostszej postaci i nie ma problemów z kolejnością przechodzenia przez projekcję:

Znajdźmy równania powierzchni w cylindrycznym układzie współrzędnych:

Ponieważ problem dotyczy górnej części stożka, wyrażamy z równania:

„Skanowanie ciała” od dołu do góry. Promienie światła przenikają paraboloida eliptyczna i wyjść przez powierzchnię stożkową. Zatem „pionowa” kolejność przechodzenia ciała jest następująca:

Reszta techniki:

Odpowiedź:

Nierzadko zdarza się, że ciało jest definiowane nie przez jego powierzchnie ograniczające, ale przez zestaw nierówności:

Przykład 10

zmysł geometryczny nierówności przestrzenne wyjaśniłem wystarczająco szczegółowo w tym samym artykule referencyjnym - Główne powierzchnie przestrzeni i ich budowa.

Chociaż to zadanie zawiera parametr, umożliwia wykonanie dokładnego rysunku, który odzwierciedla podstawowy widok ciała. Zastanów się, jak budować. Krótkie rozwiązanie i odpowiedź znajduje się na końcu lekcji.

... cóż, jeszcze kilka zadań? Myślałem o dokończeniu lekcji, ale po prostu czuję, że chcesz więcej =)

Przykład 11

Korzystając z potrójnej całki oblicz objętość danego ciała:
, gdzie jest dowolną liczbą dodatnią.

Rozwiązanie: nierówność definiuje kulę wyśrodkowaną w początku współrzędnych promienia i nierówności - "wewnątrz" walca kołowego o osi symetrii o promieniu . W ten sposób pożądany korpus jest ograniczony okrągłym cylindrem z boku i sferycznymi segmentami symetrycznymi względem płaszczyzny od góry i od dołu.

Biorąc za podstawową jednostkę miary, wykonamy rysunek:

Dokładniej, należy to nazwać rysunkiem, ponieważ nie zachowałem zbyt dobrze proporcji wzdłuż osi. Jednak uczciwie, zgodnie z warunkiem, nie trzeba było niczego rysować, a taka ilustracja okazała się wystarczająca.

Pamiętaj, że tutaj nie trzeba ustalać wysokości, na której cylinder wycina „czapki” z kuli - jeśli podniesiesz kompas i zaznaczysz okrąg ze środkiem na początku współrzędnych o promieniu 2 cm , wtedy punkty przecięcia z cylindrem same się okażą.

Przykłady rozwiązań dowolnych całek potrójnych.
Fizyczne zastosowania całki potrójnej

W drugiej części lekcji opracujemy technikę rozwiązywania dowolnych całek potrójnych , którego całka funkcja trzech zmiennych w ogólnym przypadku różni się od stałej i ciągłej w regionie; a także zapoznać się z fizycznymi zastosowaniami całki potrójnej

Nowo przybyłym odwiedzającym polecam zacząć od pierwszej części, w której omówiliśmy podstawowe koncepcje i zasady problem znalezienia objętości ciała za pomocą całki potrójnej. Co do reszty, proponuję trochę powtórzyć funkcje pochodne trzech zmiennych, ponieważ w przykładach tego artykułu użyjemy operacji odwrotnej - częściowa integracja Funkcje .

Ponadto jest jeszcze jedna ważna kwestia: jeśli nie czujesz się dobrze, lepiej odłożyć czytanie tej strony, jeśli to możliwe. I nie chodzi tylko o to, że teraz złożoność obliczeń wzrośnie - większości całek potrójnych nie ma niezawodne sposoby kontrola ręczna, więc bardzo niepożądane jest rozpoczynanie ich rozwiązywania w stanie zmęczenia. Nadaje się do niskich tonów rozwiązać coś wcześniej albo po prostu zrobić sobie przerwę (jestem cierpliwy, poczekam =)), żeby innym razem ze świeżą głową kontynuować masakrę potrójnych całek:

Przykład 13

Oblicz potrójną całkę

W praktyce ciało jest również oznaczane literą , ale nie jest to zbyt dobra opcja, ponieważ „ve” jest „zarezerwowane” na oznaczenie objętości.

Powiem Ci czego NIE robić. Nie trzeba używać właściwości liniowości i przedstaw całkę jako . Chociaż jeśli naprawdę chcesz, możesz. Na koniec mały plus – nagranie będzie długie, ale mniej zagracone. Ale to podejście wciąż nie jest standardowe.

W algorytmie rozwiązania będzie mało nowości. Najpierw musisz zająć się obszarem integracji. Rzut ciała na płaszczyznę to boleśnie znajomy trójkąt:

Korpus ograniczony od góry samolot, która przechodzi przez początek. Nawiasem mówiąc, z góry potrzebujesz koniecznie sprawdź(mentalnie lub na szkicu) czy płaszczyzna ta „odcina” część trójkąta. Aby to zrobić, znajdujemy jego linię przecięcia z płaszczyzną współrzędnych, tj. decydować najprostszy system: - nie, podane prosty (nie na rysunku)„przechodzi”, a rzut ciała na płaszczyznę jest rzeczywiście trójkątem.

Rysunek przestrzenny również tutaj nie jest skomplikowany:

Właściwie można by się ograniczyć tylko do nich, bo rzutowanie jest bardzo proste. …No, albo tylko rysowanie rzutu, bo ciało też jest proste =) Jednak nie rysowanie niczego, przypominam, to zły wybór.

I oczywiście nie mogę nie zadowolić cię ostatnim zadaniem:

Przykład 19

Znajdź środek ciężkości ciała jednorodnego ograniczonego powierzchniami , . Wykonaj rysunki podanego ciała i jego rzut na płaszczyznę.

Rozwiązanie: pożądana bryła jest ograniczona przez płaszczyzny współrzędnych i płaszczyznę , która jest dogodna do późniejszej konstrukcji występuje w segmentach: . Wybierzmy „a” jako jednostkę skali i wykonajmy trójwymiarowy rysunek:

Rysunek już ustalił gotowy punkt środka ciężkości, jednak na razie go nie znamy.

Rzut ciała na płaszczyznę jest oczywisty, niemniej jednak przypomnę, jak znaleźć go analitycznie - w końcu takie proste przypadki nie zawsze się spotykają. Aby znaleźć linię, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny, musisz rozwiązać układ:

Podstawiamy wartość w pierwszym równaniu: i otrzymujemy równanie „płasko” prosto:

Oblicz współrzędne środka ciężkości ciała za pomocą wzorów
, gdzie jest objętością ciała.