Wzór na pochodną funkcji określonej implicite. Dowód i przykłady zastosowania tej formuły. Przykłady obliczania instrumentów pochodnych pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu.

Pochodna pierwszego rzędu

Niech funkcja będzie określona pośrednio za pomocą równania
(1) .
I niech to równanie, dla jakiejś wartości, będzie miało unikalne rozwiązanie.
.
Niech funkcja będzie różniczkowalna w punkcie , i
(2) .

Wtedy przy tej wartości istnieje pochodna, którą określa się wzorem:

Dowód
.
Aby to udowodnić, rozważ funkcję jako złożoną funkcję zmiennej:
(3) :
.
Zastosujmy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej i znajdźmy pochodną po zmiennej z lewej i prawej strony równania
(4) ;
.

Ponieważ pochodna stałej wynosi zero i , następnie

Formuła jest sprawdzona.

Instrumenty pochodne wyższego rzędu
(4) .
Przepiszmy równanie (4) stosując inne oznaczenia:
;
.
Jednocześnie i są złożonymi funkcjami zmiennej:
(1) .

Zależność wyznacza równanie (1):
Znajdujemy pochodną po zmiennej po lewej i prawej stronie równania (4).
;
.
Zgodnie ze wzorem na pochodną funkcji zespolonej mamy:

.
Zgodnie ze wzorem na pochodną produktu:


.

Korzystając ze wzoru na sumę pochodnych:
(5) .
Skoro pochodna prawej strony równania (4) jest równa zero, to

Podstawiając tutaj pochodną, ​​otrzymujemy wartość pochodnej drugiego rzędu w postaci ukrytej.
.
Różniczkując równanie (5) w podobny sposób otrzymujemy równanie zawierające pochodną trzeciego rzędu:

Zastępując tutaj znalezione wartości pochodnych pierwszego i drugiego rzędu, znajdujemy wartość pochodnej trzeciego rzędu.

Kontynuując różniczkowanie, można znaleźć pochodną dowolnego rzędu.

Przykłady

Przykład 1
Znajdź pochodną pierwszego rzędu funkcji danej implicite równaniem: .

(P1)

Rozwiązanie według wzoru 2
(2) .

Pochodną znajdujemy korzystając ze wzoru (2):
.
Przesuńmy wszystkie zmienne na lewą stronę tak, aby równanie przyjęło postać .

Stąd.
;
;
;
.

Znajdujemy pochodną względem , uznając ją za stałą.
;
;
;
.

Znajdujemy pochodną po zmiennej, biorąc pod uwagę stałą zmiennej.
.

Korzystając ze wzoru (2) znajdujemy:
.
Pomnóż licznik i mianownik przez:
.

Rozwiązanie drugie

Rozwiążmy ten przykład w drugi sposób. W tym celu znajdziemy pochodną po zmiennej lewej i prawej strony pierwotnego równania (A1).

Stosujemy:
.
Stosujemy wzór na ułamek pochodny:
;
.
Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej:
.
Zróżniczkujmy pierwotne równanie (A1).
Znajdź pochodną pierwszego rzędu funkcji danej implicite równaniem: ;
;
.
Mnożymy i grupujemy wyrazy.
;
.

Podstawmy (z równania (A1)):
.
Pomnóż przez:
.

Przykład 2

Znajdź pochodną drugiego rzędu funkcji podanej implicite, korzystając z równania:
(A2.1) .

Rozróżniamy pierwotne równanie ze względu na zmienną, biorąc pod uwagę, że jest ona funkcją:
;
.
Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.
.

Zróżniczkujmy pierwotne równanie (A2.1):
;
.
Z pierwotnego równania (A2.1) wynika, że ​​.
.
Zastąpmy:
;
Otwórz nawiasy i pogrupuj pręty: .
(A2.2)
Znajdujemy pochodną pierwszego rzędu: .

(A2.3)
;
;
;
.
Aby znaleźć pochodną drugiego rzędu, różniczkujemy równanie (A2.2).
.
Pomnóż przez:

;
.
Zastąpmy wyrażenie pochodną pierwszego rzędu (A2.3):

Stąd znajdujemy pochodną drugiego rzędu.

Przykład 3
Znajdź pochodną trzeciego rzędu funkcji podanej w sposób dorozumiany, korzystając z równania: .

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
Różniczkujemy pierwotne równanie ze względu na zmienną, zakładając, że jest ona funkcją . ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
Zróżniczkujmy równanie (A3.2) ze względu na zmienną . .

(A3.3)
;
;
;
;
;
Zróżniczkujmy równanie (A3.3). .

(A3.4)
;
;
.

Z równań (A3.2), (A3.3) i (A3.4) znajdujemy wartości pochodnych w .
Pochodna funkcji określonej domyślnie.

Pochodna funkcji parametrycznie zdefiniowanej W tym artykule przyjrzymy się dwóm bardziej typowym zadaniom, które często można znaleźć testy Przez wyższa matematyka . Aby skutecznie opanować materiał, trzeba umieć znaleźć instrumenty pochodne przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Wyszukiwania instrumentów pochodnych nauczysz się praktycznie od podstaw na dwóch podstawowych lekcjach Pochodna funkcji zespolonej

. Jeśli twoje umiejętności różnicowania są w porządku, to chodźmy.

Pochodna funkcji określonej domyślnie

Lub, w skrócie, pochodna funkcji ukrytej. Co to jest funkcja ukryta? Przypomnijmy sobie najpierw samą definicję funkcji jednej zmiennej: Funkcja jednej zmiennej

jest regułą, zgodnie z którą każda wartość zmiennej niezależnej odpowiada jednej i tylko jednej wartości funkcji. Zmienna nazywa się zmienna niezależna Lub.
argument Zmienna nazywa się zmienna niezależna zmienna zależna .

funkcjonować Do tej pory przyjrzeliśmy się funkcjom zdefiniowanym w wyraźny

formularz. Co to znaczy? Przeprowadźmy podsumowanie na konkretnych przykładach.

Rozważ funkcję Widzimy, że po lewej stronie mamy samotnego „gracza”, a po prawej -. Czyli funkcja wyraźnie wyrażona poprzez zmienną niezależną.

Spójrzmy na inną funkcję:

Tutaj doszło do pomieszania zmiennych. Ponadto w żaden sposób niemożliwe wyrażaj „Y” tylko poprzez „X”. Jakie są te metody? Przenoszenie wyrazów z części na część ze zmianą znaku, usuwaniem ich z nawiasów, rzucaniem czynników zgodnie z zasadą proporcji itp. Przepisz równość i spróbuj wyrazić „y” jawnie: . Możesz przekręcać równanie godzinami, ale nie odniesiesz sukcesu.

Pozwólcie, że przedstawię: – przykład funkcja ukryta.

W trakcie analizy matematycznej udowodniono, że funkcja ukryta istnieje(choć nie zawsze) posiada wykres (podobnie jak „normalna” funkcja). Funkcja ukryta jest dokładnie taka sama istnieje pierwsza pochodna, druga pochodna itd. Jak mówią, respektowane są wszelkie prawa mniejszości seksualnych.

Na tej lekcji nauczymy się, jak znaleźć pochodną funkcji zdefiniowanej implicytnie. To nie jest takie trudne! Wszystkie reguły różniczkowania, tabela instrumentów pochodnych funkcje elementarne pozostają ważne. Różnica polega na jednym szczególnym momencie, któremu przyjrzymy się teraz.

Tak, i powiem ci dobrą wiadomość - omówione poniżej zadania są wykonywane według dość rygorystycznego i jasnego algorytmu bez kamienia przed trzema torami.

Przykład 1

1) W pierwszym etapie dołączamy pociągnięcia do obu części:

2) Korzystamy z zasad liniowości pochodnej (dwie pierwsze zasady lekcji Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań):

3) Różnicowanie bezpośrednie.
Sposób rozróżnienia jest całkowicie jasny. Co zrobić, gdy pod uderzeniami znajdują się „zabawy”?

- aż do wstydu, pochodna funkcji jest równa jej pochodnej: .

Jak odróżnić
Tutaj mamy złożona funkcja. Dlaczego? Wydaje się, że pod sinusem jest tylko jedna litera „Y”. Ale faktem jest, że jest tylko jedna litera „y” - SAM JEST FUNKCJĄ(patrz definicja na początku lekcji). Zatem sinus jest funkcją zewnętrzną i jest funkcją wewnętrzną. Korzystamy z reguły różniczkowania funkcji zespolonej :

Wyróżniamy produkt według przyjętej zasady :

Należy pamiętać, że – jest także funkcją złożoną, każda „gra z dzwonkami i gwizdkami” jest złożoną funkcją:

Samo rozwiązanie powinno wyglądać mniej więcej tak:


Jeśli są nawiasy, rozwiń je:

4) Po lewej stronie zbieramy wyrazy zawierające literę „Y” z liczbą pierwszą. Przenieś wszystko inne na prawą stronę:

5) Po lewej stronie wyciągamy pochodną z nawiasów:

6) I zgodnie z zasadą proporcji wrzucamy te nawiasy do mianownika prawej strony:

Znaleziono pochodną. Gotowy.

Warto zauważyć, że każdą funkcję można przepisać niejawnie. Na przykład funkcja można przepisać w ten sposób: . I różnicuj to za pomocą omówionego właśnie algorytmu. W rzeczywistości wyrażenia „funkcja ukryta” i „funkcja ukryta” różnią się jednym niuansem semantycznym. Wyrażenie „funkcja określona niejawnie” jest bardziej ogólne i poprawne, – funkcja ta jest określona implicytnie, ale tutaj można wyrazić „grę” i przedstawić funkcję jawnie. Słowa „funkcja ukryta” częściej oznaczają „klasyczną” funkcję ukrytą, gdy „gry” nie da się wyrazić.

Należy również zauważyć, że „ukryte równanie” może w sposób dorozumiany określać dwie lub nawet więcej funkcji jednocześnie, na przykład równanie koła w sposób dorozumiany definiuje funkcje , które definiują półkola. Ale w ramach tego artykułu my nie będę czynił specjalnego rozróżnienia między terminami i niuansami, była to tylko informacja dla ogólnego rozwoju.

Drugie rozwiązanie

Uwaga! Możesz zapoznać się z drugą metodą tylko wtedy, gdy możesz mieć pewność, że ją znajdziesz pochodne cząstkowe. Początkujący do nauki analiza matematyczna i czajniki proszę nie czytaj i pomiń ten punkt, w przeciwnym razie w twojej głowie będzie kompletny bałagan.

Znajdźmy pochodną funkcji ukrytej, korzystając z drugiej metody.

Przenosimy wszystkie terminy na lewą stronę:

Rozważmy funkcję dwóch zmiennych:

Następnie naszą pochodną można znaleźć za pomocą wzoru
Znajdźmy pochodne cząstkowe:

Zatem:

Drugie rozwiązanie pozwala na przeprowadzenie kontroli. Nie jest jednak wskazane, aby pisali ostateczną wersję zadania, ponieważ pochodne cząstkowe opanowuje się później, a student studiujący temat „Pochodna funkcji jednej zmiennej” nie powinien jeszcze znać pochodnych cząstkowych.

Spójrzmy na jeszcze kilka przykładów.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób dorozumiany

Dodaj obrysy do obu części:

Korzystamy z reguł liniowości:

Znajdowanie instrumentów pochodnych:

Otwieranie wszystkich nawiasów:

Przenosimy wszystkie terminy with na lewą stronę, resztę na prawą stronę:

Ostateczna odpowiedź:

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób dorozumiany

Pełne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji.

Nierzadko zdarza się, że ułamki powstają po różniczku. W takich przypadkach musisz pozbyć się ułamków. Spójrzmy na jeszcze dwa przykłady.

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób dorozumiany

Obie części zamykamy obrysami i stosujemy zasadę liniowości:

Różniczkuj, korzystając z reguły różniczkowania funkcji zespolonej oraz zasada różniczkowania ilorazów :

Rozszerzanie nawiasów:

Teraz musimy pozbyć się ułamka. Można to zrobić później, ale bardziej racjonalnie jest zrobić to od razu. Mianownik ułamka zawiera . Zwielokrotniać NA . W szczegółach będzie to wyglądać następująco:

Czasami po zróżnicowaniu pojawiają się 2-3 frakcje. Gdybyśmy mieli np. inny ułamek, to operację trzeba by powtórzyć – pomnożyć każdy termin każdej części NA

Po lewej stronie wyjmujemy to z nawiasów:

Ostateczna odpowiedź:

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób dorozumiany

To jest przykład dla niezależna decyzja. Jedyną rzeczą jest to, że zanim pozbędziesz się frakcji, najpierw będziesz musiał pozbyć się trzypiętrowej struktury samej frakcji. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Pochodna funkcji parametrycznie zdefiniowanej

Nie stresujmy się, wszystko w tym akapicie jest również dość proste. Można zapisać ogólny wzór funkcji parametrycznie określonej, ale żeby było jasne, od razu napiszę konkretny przykład. W postaci parametrycznej funkcję wyznaczają dwa równania: . Często równania zapisuje się nie w nawiasach klamrowych, ale sekwencyjnie: , .

Zmienna nazywana jest parametrem i może przyjmować wartości od „minus nieskończoności” do „plus nieskończoności”. Rozważmy na przykład tę wartość i podstawimy ją do obu równań: . Lub mówiąc po ludzku: „jeśli x równa się cztery, to y równa się jeden”. Można zaznaczyć punkt na płaszczyźnie współrzędnych i punkt ten będzie odpowiadał wartości parametru. Podobnie można znaleźć punkt dla dowolnej wartości parametru „te”. Jeśli chodzi o funkcję „zwykłą”, dla Indian amerykańskich o funkcji parametrycznie zdefiniowanej również przestrzegane są wszelkie prawa: można zbudować wykres, znaleźć pochodne itp. Nawiasem mówiąc, jeśli chcesz wykreślić wykres parametrycznie określonej funkcji, możesz skorzystać z mojego programu.

W najprostszych przypadkach możliwe jest jawne przedstawienie funkcji. Wyraźmy parametr: – z pierwszego równania i podstawmy go do drugiego równania: . Rezultatem jest zwykła funkcja sześcienna.

W bardziej „poważnych” przypadkach ta sztuczka nie działa. Ale to nie ma znaczenia, ponieważ istnieje wzór na znalezienie pochodnej funkcji parametrycznej:

Znajdujemy pochodną „gry po zmiennej te”:

Wszystkie reguły różniczkowania i tabela pochodnych obowiązują oczywiście dla litery , a zatem: nie ma nowości w procesie poszukiwania instrumentów pochodnych. Po prostu w myślach zamień wszystkie „X” w tabeli na literę „Te”.

Znajdujemy pochodną „x względem zmiennej te”:

Teraz pozostaje tylko podstawić znalezione pochodne do naszego wzoru:

Gotowy. Pochodna, podobnie jak sama funkcja, również zależy od parametru.

Jeśli chodzi o zapis, zamiast pisać go we wzorze, można go po prostu zapisać bez indeksu dolnego, ponieważ jest to „regularna” pochodna „po X”. Ale w literaturze zawsze jest opcja, więc nie odstąpię od standardu.

Przykład 6

Używamy wzoru

W w tym przypadku:

Zatem:

Cechą szczególną znajdowania pochodnej funkcji parametrycznej jest fakt, że na każdym etapie korzystne jest maksymalne uproszczenie wyniku. Zatem w rozważanym przykładzie, kiedy go znalazłem, otworzyłem nawiasy pod korzeniem (chociaż mogłem tego nie zrobić). Jest duża szansa, że ​​po podstawieniu do wzoru wiele rzeczy zostanie dobrze zredukowanych. Chociaż oczywiście istnieją przykłady z niezdarnymi odpowiedziami.

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji określonej parametrycznie

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

W artykule Najprostsze typowe problemy z instrumentami pochodnymi przyjrzeliśmy się przykładom, w których musieliśmy znaleźć drugą pochodną funkcji. Dla funkcji zdefiniowanej parametrycznie można znaleźć także drugą pochodną, ​​którą wyznacza się za pomocą wzoru: . Jest całkiem oczywiste, że aby znaleźć drugą pochodną, ​​trzeba najpierw znaleźć pierwszą pochodną.

Przykład 8

Znajdź pierwszą i drugą pochodną funkcji podanej parametrycznie

Najpierw znajdźmy pierwszą pochodną.
Używamy wzoru

W tym przypadku:

Funkcję Z= f(x; y) nazywamy ukrytą, jeżeli jest ona dana równaniem F(x,y,z)=0 nierozwiązanym w odniesieniu do Z. Znajdźmy pochodne cząstkowe funkcji Z podanej implicytnie. W tym celu podstawiając do równania funkcję f(x;y) zamiast Z, otrzymujemy tożsamość F(x,y, f(x,y))=0. Pochodne cząstkowe funkcji identycznie równe zero względem x i y są również równe zero.

F(x,y, f(x, y)) =
=0 (uważany za stały)

F(x,y, f(x, y)) =
=0 (xuważana za stałą)

Gdzie
I

Przykład: Znajdź pochodne cząstkowe funkcji Z podanej w równaniu
.

Tutaj F(x,y,z)=
;
;
;
. Zgodnie ze wzorami podanymi powyżej mamy:

I

1. Pochodna kierunkowa

Niech w pewnym sąsiedztwie punktu M (x,y) będzie dana funkcja dwóch zmiennych Z= f(x; y). Rozważmy kierunek określony przez wektor jednostkowy
, Gdzie
(patrz zdjęcie).

Na linii prostej przechodzącej w tym kierunku przez punkt M bierzemy punkt M 1 (
) tak, aby długość
segmentMM 1 jest równy
. Przyrost funkcji f(M) wyznacza relacja gdzie
połączone relacjami. Limit proporcji Na
będziemy nazywać pochodną funkcji
w tym punkcie
ku i być wyznaczonym .

=

Jeżeli funkcja Z jest różniczkowalna w punkcie
, to jego przyrost w tym punkcie z uwzględnieniem zależności dla
można zapisać w następującej formie.

dzieląc obie części przez

i przejście do limitu o godz
otrzymujemy wzór na pochodną funkcji Z= f(x; y) w kierunku:

1. Gradient

Rozważmy funkcję trzech zmiennych
w pewnym momencie różniczkowalne
.

Gradient tej funkcji
w punkcie M jest wektorem, którego współrzędne są odpowiednio równe pochodnym cząstkowym
w tym momencie. Aby wskazać gradient, użyj symbolu
.
=
.

.Gradient wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w danym punkcie.

Ponieważ wektor jednostkowy ma współrzędne (
), wówczas pochodną kierunkową dla przypadku funkcji trzech zmiennych zapisujemy w postaci tj. ma wzór na iloczyn skalarny wektorów I
. Przepiszmy ostatnią formułę w następujący sposób:

, Gdzie - kąt między wektorem I
. Od
, to wynika, że ​​pochodna funkcji w kierunku przyjmuje maksymalną wartość w =0, tj. gdy kierunek wektorów I
mecz. Naraz
Oznacza to, że gradient funkcji charakteryzuje kierunek i wielkość maksymalnej szybkości wzrostu tej funkcji w punkcie.

1. Ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Pojęcia maks., min., ekstremum funkcji dwóch zmiennych są podobne do odpowiednich pojęć funkcji jednej zmiennej. Niech będzie zdefiniowana funkcja Z= f(x; y) w jakiejś dziedzinie D itd. M
należy do tego obszaru. Punkt M
nazywa się punktem maksymalnym funkcji Z= f(x; y) jeżeli istnieje takie δ-sąsiedztwo punktu
, że dla każdego punktu z tego otoczenia nierówność
. Punkt min wyznacza się analogicznie, zmieni się jedynie znak nierówności
. Wartość funkcji w punkcie max(min) nazywa się maksimum (minimum). Maksimum i minimum funkcji nazywane są ekstremami.

1. Warunki konieczne i wystarczające na ekstremum

Twierdzenie:(Warunki konieczne ekstremum). Jeżeli w punkcie M
funkcja różniczkowalna Z= f(x; y) ma ekstremum, to jej pochodne cząstkowe w tym punkcie są równe zeru:
,
.

Dowód: Po ustaleniu jednej ze zmiennych x lub y przekształcamy Z = f(x; y) w funkcję jednej zmiennej, dla której ekstremum muszą być spełnione powyższe warunki. Równości geometryczne
I
oznaczają, że w ekstremum funkcji Z= f(x; y) płaszczyzna styczna do powierzchni reprezentującej funkcję f(x,y)=Z jest równoległa do płaszczyzny OXY, ponieważ równanie płaszczyzny stycznej to Z = Z 0. Punkt, w którym pochodne cząstkowe funkcji pierwszego rzędu Z = f (x; y) są równe zeru, tj.
,
, nazywane są punktem stacjonarnym funkcji. Funkcja może mieć ekstremum w punktach, w których nie istnieje przynajmniej jedna z pochodnych cząstkowych. Na przykładZ=|-
| ma maksimum w punkcie O(0,0), ale nie ma w tym punkcie żadnych pochodnych.

Nazywa się punkty stacjonarne i punkty, w których nie istnieje co najmniej jedna pochodna cząstkowa punkty krytyczne. W punktach krytycznych funkcja może mieć ekstremum lub nie. Równość pochodnych cząstkowych do zera jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym istnienia ekstremum. Na przykład, gdy Z=xy, punkt O(0,0) jest krytyczny. Jednakże funkcja Z=xy nie ma w sobie ekstremum. (Bo w kwartałach I i III Z>0, a w kwartałach II i IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Twierdzenie: (Warunek wystarczający dla ekstremów). Niech w stacjonarnym punkcie
oraz w pewnym sąsiedztwie funkcja f(x; y) ma ciągłe pochodne cząstkowe aż do drugiego rzędu włącznie. Obliczmy w punkcie
wartości
,
I
. Oznaczmy

Na wszelki wypadek
, ekstremum w punkcie
może tak być lub nie. Potrzebne są dalsze badania.

Lub w skrócie - pochodna funkcji ukrytej. Co to jest funkcja ukryta? Ponieważ moje lekcje mają charakter praktyczny, staram się unikać definicji i twierdzeń, ale wypadałoby to zrobić w tym miejscu. Czym w ogóle jest funkcja?

Funkcja pojedynczej zmiennej to reguła stwierdzająca, że ​​dla każdej wartości zmiennej niezależnej istnieje jedna i tylko jedna wartość tej funkcji.

jest regułą, zgodnie z którą każda wartość zmiennej niezależnej odpowiada jednej i tylko jednej wartości funkcji. Zmienna nazywa się zmienna niezależna Lub.
Zmienna nazywa się Zmienna nazywa się zmienna niezależna zmienna zależna.

Z grubsza rzecz biorąc, litera „Y” w tym przypadku jest funkcją.

funkcjonować Do tej pory przyjrzeliśmy się funkcjom zdefiniowanym w wyraźny

formularz. Co to znaczy? Przeprowadźmy podsumowanie na konkretnych przykładach.

Widzimy, że po lewej stronie mamy samotne „Y” (funkcja), a po prawej - Widzimy, że po lewej stronie mamy samotnego „gracza”, a po prawej -. Czyli funkcja wyraźnie wyrażona poprzez zmienną niezależną.

Spójrzmy na inną funkcję:

Tutaj doszło do pomieszania zmiennych. Ponadto w żaden sposób niemożliwe wyrażaj „Y” tylko poprzez „X”. Jakie są te metody? Przenoszenie wyrazów z części na część ze zmianą znaku, usuwaniem ich z nawiasów, rzucaniem czynników zgodnie z zasadą proporcji itp. Przepisz równość i spróbuj wyrazić „y” jawnie: . Możesz przekręcać równanie godzinami, ale nie odniesiesz sukcesu.

Pozwólcie, że przedstawię: - przykład funkcja ukryta.

W trakcie analizy matematycznej udowodniono, że funkcja ukryta istnieje(choć nie zawsze) posiada wykres (podobnie jak „normalna” funkcja). Funkcja ukryta jest dokładnie taka sama istnieje pierwsza pochodna, druga pochodna itd. Jak mówią, respektowane są wszelkie prawa mniejszości seksualnych.

Na tej lekcji nauczymy się, jak znaleźć pochodną funkcji określonej w sposób dorozumiany. To nie jest takie trudne! Wszystkie zasady różniczkowania i tablica pochodnych funkcji elementarnych pozostają w mocy. Różnica polega na jednym szczególnym momencie, któremu przyjrzymy się teraz.

Tak, i powiem ci dobrą wiadomość - omówione poniżej zadania są wykonywane według dość rygorystycznego i jasnego algorytmu bez kamienia przed trzema torami.

Przykład 1

1) W pierwszym etapie dołączamy pociągnięcia do obu części:

2) Korzystamy z zasad liniowości pochodnej (dwie pierwsze zasady lekcji Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań):

3) Różnicowanie bezpośrednie.
Sposób rozróżnienia jest całkowicie jasny. Co zrobić, gdy pod uderzeniami znajdują się „zabawy”?

Aż do stopnia hańby pochodna funkcji jest równa jej pochodnej: .

Jak odróżnić

Tutaj mamy złożona funkcja. Dlaczego? Wydaje się, że pod sinusem jest tylko jedna litera „Y”. Ale faktem jest, że jest tylko jedna litera „y” - SAM JEST FUNKCJĄ(patrz definicja na początku lekcji). Zatem sinus jest funkcją zewnętrzną i jest funkcją wewnętrzną. Korzystamy z reguły różniczkowania funkcji zespolonej:

Rozróżniamy produkt według przyjętej zasady:

Należy pamiętać, że - jest również funkcją złożoną, każda „gra z dzwonkami i gwizdkami” jest złożoną funkcją:

Samo rozwiązanie powinno wyglądać mniej więcej tak:

Jeśli są nawiasy, rozwiń je:

4) Po lewej stronie zbieramy wyrazy zawierające literę „Y” z liczbą pierwszą. Przenieś wszystko inne na prawą stronę:

5) Po lewej stronie wyciągamy pochodną z nawiasów:

6) I zgodnie z zasadą proporcji wrzucamy te nawiasy do mianownika prawej strony:

Znaleziono pochodną. Gotowy.

Warto zauważyć, że każdą funkcję można przepisać niejawnie. Na przykład funkcję można przepisać w następujący sposób: . I różnicuj to za pomocą omówionego właśnie algorytmu. W rzeczywistości wyrażenia „funkcja ukryta” i „funkcja ukryta” różnią się jednym niuansem semantycznym. Wyrażenie „funkcja określona w formie ukrytej” jest bardziej ogólne i poprawne - funkcja ta jest określona w formie ukrytej, ale tutaj można wyrazić „grę” i jawnie przedstawić funkcję. Wyrażenie „funkcja ukryta” odnosi się do „klasycznej” funkcji ukrytej, gdy „y” nie może zostać wyrażone.

Drugie rozwiązanie

Uwaga! Z drugą metodą możesz zapoznać się tylko wtedy, gdy wiesz, jak pewnie znaleźć pochodne cząstkowe. Początkujący i początkujący w nauce analizy matematycznej, proszę nie czytać i pomijać ten punkt, w przeciwnym razie w głowie będzie kompletny bałagan.

Znajdźmy pochodną funkcji ukrytej, korzystając z drugiej metody.

Przenosimy wszystkie terminy na lewą stronę:

Rozważmy funkcję dwóch zmiennych:

Następnie naszą pochodną można znaleźć za pomocą wzoru

Znajdźmy pochodne cząstkowe:

Zatem:

Drugie rozwiązanie pozwala na przeprowadzenie kontroli. Nie jest jednak wskazane, aby pisali ostateczną wersję zadania, ponieważ pochodne cząstkowe opanowuje się później, a student studiujący temat „Pochodna funkcji jednej zmiennej” nie powinien jeszcze znać pochodnych cząstkowych.

Spójrzmy na jeszcze kilka przykładów.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób dorozumiany

Dodaj obrysy do obu części:

Korzystamy z reguł liniowości:

Znajdowanie instrumentów pochodnych:

Otwieranie wszystkich nawiasów:

Wszystkie wyrazy z przenosimy na lewą stronę, resztę na prawą stronę:

Po lewej stronie wyjmujemy to z nawiasów:

Ostateczna odpowiedź:

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób dorozumiany

Pełne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji.

Nierzadko zdarza się, że ułamki powstają po różniczku. W takich przypadkach musisz pozbyć się ułamków. Spójrzmy na jeszcze dwa przykłady: każdy termin każdej części

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób dorozumiany

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Jedyną rzeczą jest to, że zanim pozbędziesz się frakcji, najpierw będziesz musiał pozbyć się trzypiętrowej struktury samej frakcji. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.