Definicja całki nieoznaczonej i najprostsze własności. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona, ich własności. Podstawowe metody integracji

dom

Naprawa i czyszczenie

Pojęcie całki nieoznaczonej. różniczkowanie to działanie, dzięki któremu, dla danej funkcji, znajduje się jej pochodną lub różniczkę. Na przykład, jeśli F(x) = x 10, to F" (x) = 10x 9, dF (x) = 10x 9 dx.

Integracja - Jest to przeciwieństwo różnicowania. Stosując całkowanie po danej pochodnej lub różniczki funkcji, znajduje się samą funkcję. Na przykład, jeśli F” (x) = 7x 6, to F (x) == x 7, ponieważ (x 7)” = 7x 6.

Funkcja różniczkowalna F(x), xЄ]a; b[nazywa się funkcja pierwotna dla funkcji f (x) na przedziale ]а; b[, jeśli F" (x) = f (x) dla każdego xЄ]a; b[.

Zatem dla funkcji f(x) = 1/cos 3 x funkcją pierwotną jest funkcja F(x)= tan x, ponieważ (tg x)"= 1/cos 2 x.

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych f(x) na przedziale ]а; b[nazywa się Całka nieoznaczona z funkcji f(x) na tym przedziale i zapisz f (x)dx = F(x) + C. Tutaj f(x)dx jest całką;

F(x)-funkcja całkowa; x-zmienna całkowania: C jest dowolną stałą.

Na przykład 5x 4 dx = x 5 + C, ponieważ (x 3 + C)" = 5x 4.

Dajmy podstawowe własności całki nieoznaczonej. 1. Różniczka całki nieoznaczonej jest równa całce:

D f(x)dx=f(x)dx.

2. Całka nieoznaczona różniczki funkcji jest równa tej funkcji dodanej do dowolnej stałej, tj.

3. Ze znaku całki nieoznaczonej można odjąć stały współczynnik:

af(x)dx = a f(x)dx

4. Całka nieoznaczona z sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej całek nieoznaczonych każdej funkcji:

(f 1 (x) ± f 2 (x)) dx = f 1 (x) dx ± f 2 (x) dx.

Podstawowe formuły całkowe

(całki tabelaryczne).

Przykład 1. Znajdować

Rozwiązanie. Dokonajmy podstawienia 2 - 3x 2 = t wtedy -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. Dalej, otrzymujemy

Przykład 3. Znajdować

Rozwiązanie. Załóżmy 10x = t; wtedy 10dx = dt, skąd dx=(1/10)dt.

Tak więc, znajdując sinl0xdx, możesz użyć wzoru zlewxdx = - (1/k) cos kx+C, gdzie k=10.

Wtedy sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

Pytania i ćwiczenia do samodzielnego testowania

1. Jakie działanie nazywamy integracją?

2. Jaką funkcję nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x)?

3. Zdefiniować całkę nieoznaczoną.

4. Wymień główne własności całki nieoznaczonej.

5. Jak sprawdzić integrację?

6. Napisz podstawowe wzory na całkowanie (całki tabelaryczne).

7. Znajdź całki: a) b) c)

gdzie a jest dolną granicą, b jest górną granicą, F (x) jest jakąś funkcją pierwotną funkcji f (x).

Ze wzoru tego wynika procedura obliczania pewnej całki: 1) znajdź jedną z funkcji pierwotnych F (x) danej funkcji; 2) znajdź wartość F (x) dla x = a i x = b; 3) obliczyć różnicę F (b) - F (a).

Przykład 1. Oblicz całkę

Rozwiązanie. Skorzystajmy z definicji potęgi z wykładnikiem ułamkowym i ujemnym i obliczmy całkę oznaczoną:

2. Segment integracji można podzielić na części:

3. Ze znaku całki można wyjąć stały współczynnik:

4. Całka sumy funkcji jest równa sumie całek wszystkich wyrazów:

2) Wyznaczmy granice całkowania dla zmiennej t. Dla x=1 otrzymujemy tn =1 3 +2=3, dla x=2 otrzymujemy tb =2 3 +2=10.

Przykład 3. Oblicz całkę

Rozwiązanie. 1) wstaw cos x=t; wtedy – sinxdx =dt i

sinxdx = -dt. 2) Wyznaczmy granice całkowania dla zmiennej t: t n =cos0=1:t in =cos (π/2)=0.

3) Wyrażając całkę w postaci t i dt i przechodząc do nowych granic, otrzymujemy

Obliczmy każdą całkę osobno:

Przykład 5. Oblicz obszar figury ograniczony parabolą y = x 2, liniami prostymi x = - 1, x = 2 i osią odciętych (ryc. 47).

Rozwiązanie. Stosując wzór (1) otrzymujemy

te. S=3 mkw. jednostki

Obszar rysunku ABCD (ryc. 48), ograniczony wykresami funkcje ciągłe y =f 1 (x) i y f 2 = (x), gdzie x Є[a, b], odcinki linii x = a i x = b, oblicza się według wzoru





		Objętość ciała utworzona przez obrót wokół osi Oy krzywoliniowego trapezu aAB, ograniczonego ciągłą krzywą x=f(y), gdzie Є [a, b], odcinek [a, b] osi Oy, linia odcinki y = a i y = b ( ryc. 53), obliczane według wzoru Ścieżka zajmowana przez punkt. Jeżeli punkt porusza się prostoliniowo, a jego prędkość v=f(t) jest znaną funkcją czasu t, to drogę przebytą przez punkt w czasie oblicza się ze wzoru Pytania autotestowe 1. Podaj definicję całki oznaczonej. 2. Wymień główne własności całki oznaczonej. 3. Jakie jest geometryczne znaczenie całki oznaczonej? 4. Napisz wzory określające pole figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej. 5. Z jakich wzorów oblicza się objętość ciała wirującego? 6. Napisz wzór na obliczenie drogi przebytej przez ciało. 7. Napisz wzór na obliczenie pracy wykonanej przez zmienną siłę. 8. Z jakiego wzoru oblicza się siłę nacisku cieczy na płytę?

Całka jest ważną częścią rachunku różniczkowego. Całki mogą być podwójne, potrójne itp. Aby znaleźć pole powierzchni i objętość ciała geometryczne Stosuje się różne typy całek.

Całka nieoznaczona ma postać: \(∫f (x)\, dx\), a całka oznaczona ma postać: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\)

Obszar płaszczyzny ograniczony wykresem całki oznaczonej:

Operacje całkowania są odwrotnością różniczkowania. Z tego powodu musimy pamiętać o funkcji pierwotnej, funkcji i tabeli pochodnych.

Funkcja \(F (x) = x^2\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f (x) = 2x\) . Funkcje \(f (x) = x^2+2\) i \(f (x) = x^2+7\) są także funkcjami pierwotnymi funkcji \(f (x) = 2x\). \(2\) i \(7-\) są stałymi, których pochodne są równe zeru, więc możemy je podstawiać ile chcemy, wartość funkcji pierwotnej nie ulegnie zmianie. Aby zapisać całkę nieoznaczoną, użyj znaku \(∫\) . Całka nieoznaczona jest zbiorem wszystkich funkcji pierwotnych funkcji \(f (x) = 2x\). Operacje całkowania są odwrotnością różniczkowania. \(∫2x = x^2+C\) , gdzie \(C\) jest stałą całkowania, to znaczy, jeśli obliczymy pochodną \(x^2\) , otrzymamy \(2x\) i to jest \ (∫2x\) . Łatwe, prawda? Jeśli nie rozumiesz, musisz powtórzyć pochodną funkcji. Teraz możemy wyprowadzić wzór, według którego obliczymy całkę: \(∫u^ndu=\frac(u^n+1) (n+1), n ≠ -1\). odjęliśmy 1, teraz dodajemy 1, n nie może być równe 0. Istnieją również inne zasady całkowania dla innych podstawowych funkcji, których należy się nauczyć:

Rozwiązanie całki nieoznaczonej jest procesem odwrotnym do znajdowania funkcji pierwotnych równanie różniczkowe. Znajdujemy funkcję, której pochodna jest całką i nie zapomnij dodać na końcu „+ C”.

Zasady rachunku całkowego zostały sformułowane niezależnie przez Izaaka Newtona i Gottfrieda Leibniza pod koniec XVII wieku. Bernhard Riemann podał ścisłą matematyczną definicję całek. Pierwszą udokumentowaną systematyczną metodą umożliwiającą wyznaczanie całek jest metoda rachunku różniczkowego starożytnego greckiego astronoma Eudoksosa, który próbował znaleźć pola i objętości, dzieląc je na nieskończoną liczbę znanych obszarów i objętości. Metoda ta została rozwinięta i zastosowana przez Archimedesa w III wieku p.n.e. mi. i służył do obliczania pól paraboli i przybliżania pola koła.

Podobną metodę opracował niezależnie w Chinach około III wieku naszej ery Liu Hui, który wykorzystał ją do obliczenia pola koła. Metodę tę zastosowali później w V wieku chińscy matematycy z ojca i syna ZU Chongzhi i ZU Geng do obliczenia objętości kuli.

Kolejne znaczące postępy w rachunku całkowym nastąpiły dopiero w XVII wieku. W tym czasie prace Cavalieriego i Fermata zaczęły kłaść podwaliny pod nowoczesny rachunek różniczkowy.

W szczególności podstawowe twierdzenie rachunku całkowego pozwala nam rozwiązać znacznie szerszą klasę problemów. Równie ważne są złożone ramy matematyczne opracowane przez Newtona i Leibniza. Ta struktura całek została zaczerpnięta bezpośrednio z prac Leibniza i stała się nowoczesnym rachunkiem całkowym, który został zmodyfikowany przez Riemanna za pomocą granic. Następnie rozważono funkcje bardziej ogólne, zwłaszcza w kontekście analizy Fouriera, do której nie ma zastosowania definicja Riemanna. Lebesgue sformułował inną definicję całki, opartą na teorii miary (poddziedzina analizy rzeczywistej).

Współczesny zapis całki nieoznaczonej wprowadził Gottfried Leibniz w 1675 roku.

Całki są szeroko stosowane w wielu dziedzinach matematyki. Na przykład w teorii prawdopodobieństwa całki służą do określenia prawdopodobieństwa, że jakaś zmienna losowa znajdzie się w określonym zakresie.

Całki można wykorzystać do obliczenia obszaru dwuwymiarowego obszaru, który ma zakrzywioną granicę, a także do obliczenia objętości trójwymiarowego obiektu, który ma zakrzywioną granicę.

Całki wykorzystuje się w fizyce, w takich dziedzinach jak kinematyka, do wyznaczania przemieszczenia, czasu i prędkości.

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Fakt 1. Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania, czyli przywróceniem funkcji ze znanej pochodnej tej funkcji. W ten sposób przywrócono funkcję F(X) jest nazywany funkcja pierwotna dla funkcji F(X).

Definicja 1. Funkcja F(X F(X) w pewnym przedziale X, jeśli dla wszystkich wartości X z tego przedziału zachodzi równość F "(X)=F(X), to jest tę funkcję F(X) jest pochodną funkcji pierwotnej F(X). .

Na przykład funkcja F(X) = grzech X jest funkcją pierwotną F(X) = sałata X na całej osi liczbowej, ponieważ dla dowolnej wartości x (grzech X)" = (kos X) .

Definicja 2. Całka nieoznaczona funkcji F(X) jest zbiorem wszystkich jego funkcji pierwotnych. W tym przypadku stosowana jest notacja

∫

F(X)dx

gdzie jest znak ∫ zwany znakiem całki, funkcją F(X) – funkcja całkowa, oraz F(X)dx – wyrażenie całkowe.

Zatem jeśli F(X) – pewna funkcja pierwotna dla F(X) , To

∫

F(X)dx = F(X) +C

Gdzie C - dowolna stała (stała).

Aby zrozumieć znaczenie zbioru funkcji pierwotnych funkcji jako całki nieoznaczonej, właściwa jest następująca analogia. Niech będą drzwi (tradycyjne drewniane drzwi). Jej funkcją jest „być drzwiami”. Z czego wykonane są drzwi? Zrobiony z drewna. Oznacza to, że zbiór funkcji pierwotnych całki funkcji „być drzwiami”, czyli jej całki nieoznaczonej, to funkcja „być drzewem + C”, gdzie C jest stałą, co w tym kontekście może oznaczać na przykład rodzaj drzewa. Tak jak drzwi wykonuje się z drewna za pomocą niektórych narzędzi, tak pochodną funkcji „tworzy się” z funkcji pierwotnej za pomocą wzory, których nauczyliśmy się studiując pochodną .

Wówczas tabela funkcji przedmiotów powszechnych i odpowiadających im funkcji pierwotnych („być drzwiami” - „być drzewem”, „być łyżką” - „być metalem” itp.) jest podobna do tabeli podstawowych Całki nieoznaczone, które zostaną podane poniżej. Tabela całek nieoznaczonych zawiera listę powszechnych funkcji ze wskazaniem funkcji pierwotnych, z których te funkcje są „utworzone”. W części zadań ze znalezieniem całki nieoznaczonej podano całki, które można całkować bezpośrednio, bez większego wysiłku, czyli korzystając z tabeli całek nieoznaczonych. W przypadku bardziej złożonych problemów całkę należy najpierw przekształcić, aby można było zastosować całki tabelaryczne.

Fakt 2. Przywracając funkcję jako funkcję pierwotną, musimy wziąć pod uwagę dowolną stałą (stała) C, a żeby nie pisać listy funkcji pierwotnych z różnymi stałymi od 1 do nieskończoności, trzeba napisać zbiór funkcji pierwotnych z dowolną stałą C na przykład tak: 5 X³+C. Zatem dowolna stała (stała) jest zawarta w wyrażeniu funkcji pierwotnej, ponieważ funkcja pierwotna może być funkcją, na przykład 5 X³+4 lub 5 X³+3 i po zróżnicowaniu 4 lub 3 lub jakakolwiek inna stała dąży do zera.

Postawmy problem całkowania: dla tej funkcji F(X) znajdź taką funkcję F(X), czyja pochodna równy F(X).

Przykład 1. Znajdź zbiór funkcji pierwotnych

Rozwiązanie. W przypadku tej funkcji funkcją pierwotną jest funkcja

Funkcjonować F(X) nazywa się funkcją pierwotną F(X), jeśli pochodna F(X) jest równe F(X) lub, co jest tym samym, różnicowe F(X) jest równy F(X) dx, tj.

(2)

Zatem funkcja jest funkcją pierwotną. Jednak nie jest to jedyna funkcja pierwotna dla . Pełnią także funkcję funkcyjną

Gdzie Z– dowolna stała. Można to sprawdzić poprzez różnicowanie.

Zatem jeśli istnieje jedna funkcja pierwotna, to istnieje dla niej nieskończona liczba funkcji pierwotnych, które różnią się składnikiem stałym. Wszystkie funkcje pierwotne funkcji są zapisane w powyższej formie. Wynika to z następującego twierdzenia.

Twierdzenie (formalne stwierdzenie faktu 2). Jeśli F(X) – funkcja pierwotna funkcji F(X) w pewnym przedziale X, to jakakolwiek inna funkcja pierwotna dla F(X) w tym samym przedziale można przedstawić w postaci F(X) + C, Gdzie Z– dowolna stała.

W następnym przykładzie przechodzimy do tabeli całek, która zostanie podana w paragrafie 3, po właściwościach całki nieoznaczonej. Robimy to przed przeczytaniem całej tabeli, aby istota powyższego była jasna. A po tabeli i właściwościach wykorzystamy je w całości podczas integracji.

Przykład 2. Znajdź zbiory funkcji pierwotnych:

Rozwiązanie. Znajdujemy zbiory funkcji pierwotnych, z których te funkcje są „utworzone”. Wspominając o wzorach z tablicy całek, na razie przyjmijmy, że takie wzory tam istnieją, a samą tabelę całek nieoznaczonych przeanalizujemy nieco dalej.

1) Stosując wzór (7) z tabeli całek dla N= 3, otrzymujemy

2) Korzystając ze wzoru (10) z tabeli całek dla N= 1/3, mamy

3) Od

następnie zgodnie ze wzorem (7) z N= -1/4 znajdujemy

Pod znakiem całki nie jest zapisywana sama funkcja. F, a jego iloczyn przez różnicę dx. Odbywa się to przede wszystkim w celu wskazania, za pomocą której zmiennej szukana jest funkcja pierwotna. Na przykład,

, ;

tutaj w obu przypadkach całka jest równa , ale jej całki nieoznaczone w rozpatrywanych przypadkach okazują się różne. W pierwszym przypadku funkcję tę traktuje się jako funkcję zmiennej X, a w drugim - w funkcji z .

Proces znajdowania całki nieoznaczonej funkcji nazywa się całkowaniem tej funkcji.

Znaczenie geometryczne całki nieoznaczonej

Załóżmy, że musimy znaleźć krzywą y=F(x) i już wiemy, że tangens kąta nachylenia stycznej w każdym punkcie wynosi dana funkcja k(x) odcięta tego punktu.

Według zmysł geometryczny pochodna, tangens kąta stycznego w danym punkcie krzywej y=F(x) równa wartości instrumentu pochodnego F”(x). Musimy więc znaleźć taką funkcję F(x), dla którego F"(x)=f(x). Funkcja wymagana w zadaniu F(x) jest funkcją pierwotną k(x). Warunki zadania spełnia nie jedna krzywa, ale rodzina krzywych. y=F(x)- można z niej otrzymać jedną z tych krzywych oraz dowolną inną krzywą transfer równoległy wzdłuż osi Oj.

Nazwijmy wykres funkcji pierwotnej k(x) krzywa całkowa. Jeśli F"(x)=f(x), a następnie wykres funkcji y=F(x) istnieje krzywa całkowa.

Fakt 3. Całkę nieoznaczoną geometrycznie reprezentuje rodzina wszystkich krzywych całkowych , jak na zdjęciu poniżej. Odległość każdej krzywej od początku współrzędnych jest określona przez dowolną stałą całkowania C.

Własności całki nieoznaczonej

Fakt 4. Twierdzenie 1. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa całce, a jej różniczka jest równa całce.

Fakt 5. Twierdzenie 2. Całka nieoznaczona z różniczki funkcji F(X) jest równa funkcji F(X) aż do stałego terminu , tj.

(3)

Twierdzenia 1 i 2 pokazują, że różniczkowanie i całkowanie są operacjami wzajemnie odwrotnymi.

Fakt 6. Twierdzenie 3. Stały czynnik całki można wyjąć ze znaku całki nieoznaczonej , tj.

Funkcja, którą można odtworzyć z jej pochodnej lub różniczki, nazywa się funkcja pierwotna.

Definicja. Funkcjonować F(x) zwany funkcja pierwotna dla funkcji

k(x) w pewnym przedziale, jeśli w każdym punkcie tego przedziału

F”(x) = f(x)

lub, co jest również,

dF(x) = f(x)dx

Na przykład, F(x) = grzech x jest funkcją pierwotną dla f(x) = cos x na całej osi liczbowej OX, ponieważ

(grzech x)” = cos x

Jeśli funkcja F(X) istnieje funkcja pierwotna F(X) NA [ A; B], a następnie funkcja F(X) + C, Gdzie C dowolna liczba rzeczywista jest również funkcją pierwotną F(X) przy dowolnej wartości C. Naprawdę ( F(X) + C)" = F"(X) + C" = F(X).

Przykład.

Definicja. Jeśli F(x) jedna z funkcji pierwotnych k(x) NA [ A; B], następnie wyrażenie F(x) + C, Gdzie C dowolna stała tzw Całka nieoznaczona z funkcji k(x) i jest oznaczony symbolem ʃ F(X)dx(czytaj: całka nieoznaczona z k(x) NA dx). Więc,

ʃ F (X ) dx = F (X ) +C ,

Gdzie k(x) zwana funkcją całkową, f(x)dx- wyrażenie całkowe, X jest zmienną całkowania, a symbol ʃ jest znakiem całki nieoznaczonej.

Własności całki nieoznaczonej i jej własności geometryczne.

Z definicji całki nieoznaczonej wynika, że:

1. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa całce:

Naprawdę, F"(X) = F(X) i ʃ F(X)dx = F(X)+C. Następnie

2. Różniczka całki nieoznaczonej jest równa całce

Naprawdę,

3. Całka nieoznaczona pochodnej jest równa samej funkcji plus dowolna stała:

Naprawdę, F"(X) = F(X). Następnie,

4. Całka nieoznaczona różniczki jest równa funkcji różniczkowalnej plus dowolna stała:

Naprawdę, . Następnie,

5. Stały mnożnik k(k≠ 0) można przyjąć jako znak całki nieoznaczonej:

6. Całka nieoznaczona z sumy algebraicznej skończonej liczby funkcji jest równa sumie algebraicznej całek tych funkcji:

Nazwijmy ten wykres funkcją pierwotną F(x) krzywej całkowej. Wykres dowolnej innej funkcji pierwotnej F(x) + C uzyskane przez równoległe przeniesienie krzywej całkowej F(x) wzdłuż osi OJ.

Przykład.

Tabela całek podstawowych

Podstawowe techniki integracyjne

1. Integracja bezpośrednia (tabelaryczna).

Całkowanie bezpośrednie (tabelaryczne) to redukcja całki do postaci tabelarycznej przy użyciu podstawowych właściwości i wzorów elementarnej matematyki.

Przykład 1.

Rozwiązanie:

Przykład2 .

Rozwiązanie:

Przykład3 .

Rozwiązanie:

2. Sposób doprowadzenia pod mechanizm różnicowy.

Przykład 1.

Rozwiązanie:

Przykład2 .

Rozwiązanie:

Przykład3 .

Rozwiązanie:

Przykład4 .

Rozwiązanie:

Przykład5 .

Rozwiązanie:

Przykład6 .

Rozwiązanie:

Przykład7 .

Rozwiązanie:

Przykład8 .

Rozwiązanie:

Przykład9 .

Rozwiązanie:

Przykład10 .

Rozwiązanie:

3. Druga metoda podłączenia do mechanizmu różnicowego.

Przykład 1.

Rozwiązanie:

Przykład2 .

Rozwiązanie:

4. Metoda zastępowania zmiennych (podstawiania).

Przykład.

Rozwiązanie:

5. Metoda całkowania przez części.

Korzystając z tego wzoru, przyjmuje się następujące typy całek:

1 typ

, obowiązuje formuła N- raz, reszta dw.

2 typ.

, Formułę stosuje się jednorazowo.

Przykład1 .

Rozwiązanie:

Przykład 2.

Rozwiązanie:

Przykład3 .

Rozwiązanie:

Przykład4 .

Rozwiązanie:

Integracja ułamków wymiernych.

Ułamek wymierny to stosunek dwóch wielomianów - stopni M i - stopnie N,

Możliwe są następujące przypadki:

1. Jeśli , użyj metody dzielenia kąta, aby wyeliminować całą część.

2. Jeżeli w mianowniku znajduje się również trójmian kwadratowy, wówczas stosuje się metodę dodawania do doskonałego kwadratu.

Przykład 1.

Rozwiązanie:

Przykład2 .

Rozwiązanie:

3. Metoda współczynników nieokreślonych przy rozkładzie ułamka wymiernego właściwego na sumę ułamków prostych.

Dowolny właściwy ułamek wymierny, gdzie można przedstawić jako sumę ułamków prostych:

Gdzie A, B, C, D, E, F, M, N,…‒ niepewne współczynniki.

Aby znaleźć niepewne współczynniki, prawą stronę należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Ponieważ mianownik pokrywa się z mianownikiem ułamka po prawej stronie, można je odrzucić, a liczniki zrównać. Następnie zrównując współczynniki w tych samych stopniach X po lewej i prawej stronie otrzymujemy układ równań liniowych z N- nieznany. Po rozwiązaniu tego układu znajdujemy wymagane współczynniki A, B, C, D i tak dalej. I dlatego rozłożymy ułamek wymierny właściwy na prostsze ułamki.

Przyjrzyjmy się możliwym opcjom na przykładach:

1. Jeżeli czynniki mianownika są liniowe i różne: