Znak konieczny i wystarczający ekstremum. Ekstrema funkcji. Niezbędny znak ekstremum. Znak wystarczający ekstremum przy użyciu pierwszej i drugiej pochodnej. Warunki wystarczające, aby funkcja mogła rosnąć i maleć

Bardzo ważną informację o zachowaniu funkcji dostarczają rosnące i malejące przedziały. Znalezienie ich jest częścią procesu sprawdzania funkcji i kreślenia wykresu. Ponadto przy znajdowaniu największych i najmniejszych wartości funkcji w określonym przedziale zwraca się szczególną uwagę na skrajne punkty, w których następuje zmiana ze zwiększania na zmniejszanie lub ze zmniejszania na zwiększanie.

W tym artykule podamy niezbędne definicje, sformułujemy wystarczające dowody wzrost i spadek funkcji na przedziale oraz warunki wystarczające na istnienie ekstremum, całą tę teorię zastosujemy do rozwiązywania przykładów i problemów.

Nawigacja strony.

Funkcja rosnąca i malejąca na przedziale.

Definicja funkcji rosnącej.

Funkcja y=f(x) rośnie w przedziale X, jeśli dla dowolnego i nierówność zachodzi. Innymi słowy, większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji.

Definicja funkcji malejącej.

Funkcja y=f(x) maleje w przedziale X, jeśli dla dowolnego i nierówność zachodzi . Inaczej mówiąc, większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji.

UWAGA: jeżeli funkcja jest zdefiniowana i ciągła na końcach przedziału rosnącego lub malejącego (a;b), czyli w punktach x=a i x=b, to punkty te zalicza się do przedziału rosnącego lub malejącego. Nie jest to sprzeczne z definicjami funkcji rosnącej i malejącej na przedziale X.

Na przykład z właściwości pliku main funkcje elementarne wiemy, że y=sinx jest zdefiniowane i ciągłe dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu. Zatem ze wzrostu funkcji sinus na przedziale możemy stwierdzić, że rośnie ona na tym przedziale.

Ekstrema, ekstrema funkcji.

Punkt nazywa się maksymalny punkt funkcja y=f(x) jeśli nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x w jej sąsiedztwie. Nazywa się wartość funkcji w punkcie maksymalnym maksimum funkcji i oznaczać .

Punkt nazywa się minimalny punkt funkcja y=f(x) jeśli nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x w jej sąsiedztwie. Nazywa się wartość funkcji w punkcie minimalnym funkcja minimalna i oznaczać .

Przez sąsiedztwo punktu rozumie się przedział , gdzie jest wystarczająco małą liczbą dodatnią.

Nazywa się punkty minimalne i maksymalne punkty ekstremalne i wywoływane są wartości funkcji odpowiadające punktom ekstremalnym ekstrema funkcji.

Nie myl ekstremów funkcji z największymi i najniższa wartość funkcje.

Na pierwszym zdjęciu najwyższa wartość funkcja na odcinku zostaje osiągnięta w punkcie maksymalnym i jest równa maksimum funkcji, a na drugim rysunku - maksymalna wartość funkcji zostaje osiągnięta w punkcie x=b, który nie jest punktem maksymalnym.

Warunki wystarczające dla funkcji rosnących i malejących.

Na podstawie warunków wystarczających (znaków) wzrostu i spadku funkcji wyznaczane są przedziały wzrostu i spadku funkcji.

Oto sformułowania znaków funkcji rosnących i malejących na przedziale:

• jeżeli pochodna funkcji y=f(x) jest dodatnia dla dowolnego x z przedziału X, to funkcja zwiększa się o X;
• jeśli pochodna funkcji y=f(x) jest ujemna dla dowolnego x z przedziału X, to funkcja maleje na X.

Zatem, aby wyznaczyć przedziały wzrostu i spadku funkcji, konieczne jest:

Rozważmy przykład znajdowania przedziałów funkcji rosnących i malejących, aby wyjaśnić algorytm.

Przykład.

Znajdź przedziały funkcji rosnących i malejących.

Rozwiązanie.

Pierwszym krokiem jest znalezienie dziedziny definicji funkcji. Dlatego w naszym przykładzie wyrażenie w mianowniku nie powinno wynosić zero.

Przejdźmy do znalezienia pochodnej funkcji:

Aby wyznaczyć przedziały wzrostu i spadku funkcji na podstawie kryterium wystarczającego, rozwiązujemy nierówności w dziedzinie definicji. Zastosujmy uogólnienie metody przedziałowej. Jedynym prawdziwym pierwiastkiem licznika jest x = 2, a mianownik dąży do zera przy x = 0. Punkty te dzielą dziedzinę definicji na przedziały, w których pochodna funkcji zachowuje swój znak. Zaznaczmy te punkty na osi liczbowej. Konwencjonalnie oznaczamy plusami i minusami przedziały, w których pochodna jest dodatnia lub ujemna. Poniższe strzałki schematycznie pokazują wzrost lub spadek funkcji w odpowiednim przedziale.

Zatem, I .

W punkcie Funkcja x=2 jest zdefiniowana i ciągła, dlatego należy ją dodawać zarówno do przedziału rosnącego, jak i malejącego. W punkcie x=0 funkcja nie jest zdefiniowana, dlatego nie uwzględniamy tego punktu w wymaganych przedziałach.

Przedstawiamy wykres funkcji w celu porównania uzyskanych za jej pomocą wyników.

Odpowiedź:

Funkcja rośnie wraz z , maleje w przedziale (0;2] .

Warunki wystarczające na ekstremum funkcji.

Aby znaleźć maksima i minima funkcji, można oczywiście użyć dowolnego z trzech znaków ekstremum, jeśli funkcja spełnia ich warunki. Najpopularniejszy i najwygodniejszy jest pierwszy z nich.

Pierwszy warunek wystarczający ekstremum.

Niech funkcja y=f(x) będzie różniczkowalna w sąsiedztwie punktu i ciągła w samym punkcie.

Innymi słowy:

Algorytm znajdowania punktów ekstremalnych na podstawie pierwszego znaku ekstremum funkcji.

• Znajdujemy dziedzinę definicji funkcji.
• Znajdujemy pochodną funkcji w dziedzinie definicji.
• Wyznaczamy zera licznika, zera mianownika pochodnej oraz punkty dziedziny definicji, w której pochodna nie istnieje (wszystkie wymienione punkty to tzw. punkty możliwego ekstremum, przechodząc przez te punkty, pochodna może po prostu zmienić swój znak).
• Punkty te dzielą dziedzinę definicji funkcji na przedziały, w których pochodna zachowuje swój znak. Znaki pochodnej wyznaczamy na każdym z przedziałów (np. obliczając wartość pochodnej funkcji w dowolnym punkcie danego przedziału).
• Wybieramy punkty, w których funkcja jest ciągła i przechodząc przez które pochodna zmienia znak - są to punkty ekstremalne.

Za dużo słów, spójrzmy lepiej na kilka przykładów znajdowania ekstremów i ekstremów funkcji przy użyciu pierwszego warunku wystarczającego na ekstremum funkcji.

Przykład.

Znajdź ekstremum funkcji.

Rozwiązanie.

Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem x=2.

Znajdowanie pochodnej:

Zerami licznika są punkty x=-1 i x=5, mianownik dąży do zera przy x=2. Zaznacz te punkty na osi liczb

Wyznaczamy znaki pochodnej w każdym przedziale; w tym celu obliczamy wartość pochodnej w dowolnym punkcie każdego przedziału, np. w punktach x=-2, x=0, x=3 i x=6.

Zatem na przedziale pochodna jest dodatnia (na rysunku stawiamy znak plus nad tym przedziałem). Podobnie

Dlatego stawiamy minus nad drugim przedziałem, minus nad trzecim i plus nad czwartym.

Pozostaje wybrać punkty, w których funkcja jest ciągła i jej pochodna zmienia znak. To są punkty ekstremalne.

W punkcie x=-1 funkcja jest ciągła i pochodna zmienia znak z plusa na minus, zatem zgodnie z pierwszym znakiem ekstremum x=-1 jest punktem maksymalnym, odpowiada mu maksimum funkcji .

W punkcie x=5 funkcja jest ciągła i pochodna zmienia znak z minus na plus, zatem x=-1 jest punktem minimalnym, odpowiada mu minimum funkcji .

Ilustracja graficzna.

Odpowiedź:

UWAGA: pierwsze wystarczające kryterium ekstremum nie wymaga różniczkowalności funkcji w samym punkcie.

Przykład.

Znaleźć ekstrema i ekstrema funkcji .

Rozwiązanie.

Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Sama funkcja może być zapisana jako:

Znajdźmy pochodną funkcji:

W punkcie x=0 pochodna nie istnieje, gdyż wartości granic jednostronnych nie pokrywają się, gdy argument dąży do zera:

Jednocześnie pierwotna funkcja jest ciągła w punkcie x=0 (patrz rozdział o badaniu funkcji pod kątem ciągłości):

Znajdźmy wartość argumentu, przy której pochodna dąży do zera:

Zaznaczmy wszystkie uzyskane punkty na osi liczbowej i określmy znak pochodnej na każdym z przedziałów. Aby to zrobić, obliczamy wartości pochodnej w dowolnych punktach każdego przedziału, na przykład w x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

To jest,

Zatem zgodnie z pierwszym znakiem ekstremum punkty minimalne wynoszą , maksymalna liczba punktów wynosi .

Obliczamy odpowiednie minima funkcji

Obliczamy odpowiednie maksima funkcji

Ilustracja graficzna.

Odpowiedź:

.

Drugi znak ekstremum funkcji.

Jak widać, ten znak ekstremum funkcji wymaga istnienia w tym punkcie pochodnej co najmniej drugiego rzędu.

Aby sprawdzić zachowanie funkcji, należy:

2) Przyrównaj tę pochodną do zera i rozwiąż powstałe równanie
Jego korzenie
są punktami stacjonarnymi.

3) Punkty stacjonarne poddać dodatkowym badaniom, w tym celu nanieść je na oś liczbową i określić ich znaki
na uzyskanych obszarach. Znając te znaki, możesz określić charakter każdego stacjonarnego punktu .
Jeżeli przy przejściu przez punkt stacjonarny pochodna
zmienia znak z plusa na minus, wówczas punkt stacjonarny jest punktem maksymalnym. Jeżeli przy przejściu przez punkt stacjonarny znak pochodnej zmienia się z minus na plus, to punkt stacjonarny jest punktem minimalnym. Jeżeli przy przejściu przez punkt stacjonarny pochodna

nie zmienia znaku, to punkt stacjonarny nie jest punktem ekstremalnym.

Czasami przy znajdowaniu ekstremów stosuje się inne warunki wystarczające, w których charakter punktu ekstremum określa znak drugiej pochodnej w punkcie stacjonarnym. Twierdzenie (drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum). --- punkt stacjonarny funkcji
(to jest I ma drugą pochodną , ciągły w sąsiedztwie punktu

.Następnie
1) jeśli , To ;

--- maksymalny punkt funkcji
1) jeśli 2) jeśli

--- Minimalny punkt funkcji.

Przykład 3. Znajdź ekstremum funkcji.
Rozwiązanie. Od
, wystarczy wziąć pod uwagę tylko przedział od 0 do
. Znajdziemy
(to jest
:

,
.

Zrównywanie
do zera, znajdujemy punkty stacjonarne:

Lub
. pomiędzy
istnieją dwa pierwiastki tego równania:
(to jest
. Zdefiniujmy znak
w tych punktach:
, stąd
--- maksymalny punkt:

, stąd
--- Minimalny punkt.

Badanie funkcji wypukłości i wklęsłości. Punkty przegięcia

Rozważmy krzywą Г na płaszczyźnie, która jest wykresem funkcji różniczkowalnej
.

Definicja 1. Mówi się, że krzywa jest wypukła w górę (wypukła) w (a, b), jeśli w tym przedziale wszystkie punkty krzywej leżą nie wyżej niż którakolwiek z jej stycznych.

Definicja 2. Krzywa nazywana jest wypukłą w dół (wklęsłą).
, jeżeli na tym przedziale wszystkie punkty krzywej leżą nie niżej niż którakolwiek z jej stycznych.

Kierunek wypukłości krzywej jest ważną cechą jej kształtu. Ustalmy kryteria, za pomocą których wyznaczamy przedziały, w których wykres funkcji jest wypukły (wklęsły). Takim znakiem jest np. znak drugiej pochodnej funkcji
(jeśli istnieje).

Twierdzenie 1.
druga pochodna funkcji jest ujemna, to krzywa
wypukłe w górę w tym przedziale.

Twierdzenie 2. Jeśli we wszystkich punktach przedziału
druga pochodna funkcji
jest dodatnia, to krzywa
w tym przedziale jest wklęsły (wypukły w dół).

Przykład 1. Znajdź przedziały wypukło-wklęsłe funkcji

Rozwiązanie. Na

dlatego funkcja dla nich wypukły; Na

zatem dla nich funkcja jest wklęsła.

Definicja 3. Punkt oddzielający część wypukłą od wklęsłej nazywa się punktem przegięcia.

Jest oczywiste, że w punkcie przegięcia styczna, jeśli istnieje, przecina krzywą, ponieważ z jednej strony tego punktu krzywa leży pod styczną, a z drugiej nad nią.

Twierdzenie 3. (Warunek konieczny przegięcia). Jeśli istnieje punkt przegięcia krzywej
i ma drugą pochodną
To
.

Stąd wynika, że ​​należy sprawdzić przegięcie tylko te punkty, w których druga pochodna jest równa zeru lub nie istnieje.

Twierdzenie 4. Jeśli podczas przechodzenia przez punkt druga pochodna
zmienia znak, a następnie punkt krzywej
z odciętą istnieje punkt przegięcia.

Przykład 2. Znajdź punkty przegięcia krzywej
.

Rozwiązanie. Zakres dopuszczalnych wartości:
.

Znajdowanie instrumentów pochodnych:

;
.

Druga pochodna nie znika nigdzie, ale kiedy
nie istnieje.

Zdefiniujmy znaki
po lewej i prawej stronie punktu
:

Na
, zatem w przedziale
funkcja jest wklęsła;

Na
, zatem w przedziale
funkcja jest wypukła.

Zatem kiedy
istnieje punkt przegięcia
.

Twierdzenie (pierwszy warunek wystarczający ekstremum). Niech funkcja będzie ciągła w punkcie, a pochodna zmieni znak przy przejściu przez ten punkt. Wtedy jest punkt ekstremum: maksimum, jeśli znak zmienia się z „+” na „–”, i minimum, jeśli z „–” na „+”.

Dowód. Niech na i na .

Zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a , gdzie .To jeśli , to ; dlatego , stąd, , Lub . Jeśli zatem; dlatego , stąd, Lub .

Zatem udowodniono, że w dowolnym punkcie w pobliżu , tj. – maksymalny punkt funkcji.

Dowód twierdzenia dla punktu minimalnego przeprowadza się analogicznie. Twierdzenie zostało udowodnione.

Jeśli pochodna nie zmienia znaku przy przejściu przez punkt, to w tym punkcie nie ma ekstremum.

Twierdzenie (drugi warunek wystarczający ekstremum). Niech pochodna funkcji dwukrotnie różniczkowalnej w punkcie będzie równa 0 (), a jej druga pochodna w tym punkcie będzie różna od zera () i ciągła w pewnym sąsiedztwie punktu. Następnie jest punkt ekstremalny; w tym punkcie jest minimum, a w tym punkcie maksimum.

Algorytm znajdowania ekstremów funkcji przy użyciu pierwszego warunku wystarczającego na ekstremum.

1. Znajdź pochodną.

2. Znajdź punkty krytyczne funkcji.

3. Zbadaj znak pochodnej po lewej i prawej stronie każdego punktu krytycznego i wyciągnij wniosek o istnieniu ekstremów.

4. Znajdź ekstremalne wartości funkcji.

Algorytm znajdowania ekstremów funkcji przy użyciu drugiego warunku wystarczającego na ekstremum.

1. Znajdź pochodną.

2. Znajdź drugą pochodną.

3. Znajdź te punkty, w których .

4. Określ znak w tych punktach.

5. Wyciągnij wniosek o istnieniu i naturze ekstremów.

6. Znajdź ekstremalne wartości funkcji.

Przykład. Rozważmy . Znajdziemy . Następnie o i o . Przeanalizujmy punkty krytyczne, korzystając z pierwszego warunku wystarczającego ekstremum. Mamy to za i za , i za . W punktach i pochodna zmienia swój znak: w z „+” na „–” i w w od „–” na „+”. Oznacza to, że w pewnym momencie funkcja ma maksimum, a w pewnym minimum; . Dla porównania badamy punkty krytyczne, korzystając z drugiego warunku wystarczającego ekstremum. Znajdźmy drugą pochodną. Mamy: , a to oznacza, że ​​w pewnym momencie funkcja ma maksimum, a w pewnym minimum.

Pojęcie asymptoty wykresu funkcji. Asymptoty poziome, ukośne i pionowe. Przykłady.

Definicja. Asymptota wykresu funkcji to linia prosta, która ma tę właściwość, że odległość od punktu do tej prostej dąży do zera, gdy punkt wykresu oddala się od początku w nieskończoność.

Istnieją asymptoty pionowe (ryc. 6.6 a), poziome (ryc. 6.6 b) i nachylone (ryc. 6.6 c).

Na ryc. Pokazano 6.6a asymptota pionowa.

Na ryc. 6.6b - asymptota pozioma.

Na ryc. 6,6 V – asymptota ukośna.

Twierdzenie 1. W punktach asymptot pionowych (np. ) funkcja ma nieciągłość, a jej granica po lewej i prawej stronie punktu jest równa:

Twierdzenie 2. Niech funkcja będzie zdefiniowana dla wystarczająco dużych i istnieją skończone granice

I .

Wtedy prosta jest asymptotą ukośną wykresu funkcji.

Twierdzenie 3. Niech funkcja będzie zdefiniowana dla wystarczająco dużej i istnieje granica funkcji. Wtedy prosta jest asymptotą poziomą wykresu funkcji.

Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, gdy . Dlatego jeśli w jakimkolwiek kierunku krzywa ma asymptotę poziomą, to w tym kierunku nie ma asymptoty nachylonej i odwrotnie.

Przykład. Znajdź asymptoty wykresu funkcji.

Rozwiązanie. W punkcie, w którym funkcja nie jest zdefiniowana, znajdźmy granice funkcji po lewej i prawej stronie punktu:

; .

Jest zatem asymptotą pionową.

Schemat ogólny badanie funkcji i konstrukcja ich wykresów. Przykład.

Ogólny schemat badań funkcji i kreślenie tego.

1. Znajdź dziedzinę definicji.

2. Zbadaj funkcję na parzystość - nieparzystość.

3. Znajdź asymptoty pionowe i punkty nieciągłości (jeśli występują).

4. Badać zachowanie funkcji w nieskończoności; znajdź asymptoty poziome i ukośne (jeśli istnieją).

5. Znaleźć ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji.

6. Znajdź punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych i, jeśli jest to konieczne do schematycznej konstrukcji wykresu, znajdź dodatkowe punkty.

7. Schematycznie narysuj wykres.

Szczegółowy schemat badania funkcjonalne i spiskowanie .

1. Znajdź dziedzinę definicji .

A. Jeśli y ma mianownik, nie powinien on wynosić 0.

B. Radykalne wyrażenie pierwiastka parzystego stopnia musi być nieujemne (większe lub równe zero).

C. Wyrażenie podlogu musi być dodatnie.

2. Zbadaj funkcję parzystości - nieparzystości.

A. Jeśli , to funkcja jest parzysta.

B. Jeśli , to funkcja jest nieparzysta.

C. Jeśli ani, ani , to jest funkcją postaci ogólnej.

3. Znajdź asymptoty pionowe i punkty nieciągłości (jeśli występują).

A. Asymptota pionowa może wystąpić tylko na granicy dziedziny definicji funkcji.

B. Jeśli ( lub ), to jest asymptotą pionową wykresu.

4. Zbadaj zachowanie funkcji w nieskończoności; znajdź asymptoty poziome i ukośne (jeśli istnieją).

A. Jeśli , to jest asymptotą poziomą wykresu.

B. Jeśli i , to prosta jest nachyloną asymptotą wykresu.

C. Jeżeli granice wskazane w punktach a, b istnieją tylko wtedy, gdy jednostronna dąży do nieskończoności ( lub ), to powstałe asymptoty będą jednostronne: lewoskrętne w i prawoskrętne w przypadku .

5. Znajdź ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji.

A. Znajdź pochodną.

B. Znajdź punkty krytyczne (te punkty, w których lub gdzie nie istnieje).

C. Na osi liczbowej zaznacz dziedzinę definicji i jej punkty krytyczne.

D. Na każdym z otrzymanych przedziałów liczbowych określ znak pochodnej.

mi. Na podstawie znaków pochodnej wyciągnąć wniosek o istnieniu ekstremów w y i ich rodzaju.

F. Znajdź wartości ekstremalne.

G. Na podstawie znaków pochodnej wyciągnij wnioski dotyczące zwiększania i zmniejszania.

6. Znajdź punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych i, jeśli jest to konieczne do schematycznego wykreślenia wykresu, znajdź dodatkowe punkty.

A. Aby znaleźć punkty przecięcia wykresu z osią, należy rozwiązać równanie. Punkty, w których są zera, będą punktami przecięcia wykresu z osią.

B. Punkt przecięcia wykresu z osią wygląda tak. Istnieje tylko wtedy, gdy punkt należy do dziedziny funkcji.

8. Schematycznie narysuj wykres.

A. Konstruuj układ współrzędnych i asymptoty.

B. Zaznacz skrajne punkty.

C. Zaznacz punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych.

D. Schematycznie skonstruuj wykres tak, aby przechodził przez zaznaczone punkty i zbliżał się do asymptot.

Przykład. Zbadaj funkcję i schematycznie skonstruuj jej wykres.

2. – funkcja formy ogólnej.

3. Ponieważ i , to proste i są asymptotami pionowymi; punkty to punkty przerwania. , gdy nie należy do dziedziny definicji funkcji

Aby znaleźć maksima i minima funkcji, możesz użyć dowolnego z trzech znaków wystarczających ekstremum. Chociaż najczęstszy i najwygodniejszy jest ten pierwszy.

Pierwszy warunek wystarczający ekstremum.

Niech funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w sąsiedztwie punktu i jest ciągła w samym punkcie. Następnie

Innymi słowy:

Algorytm.

• Znajdujemy dziedzinę definicji funkcji.

Znajdujemy pochodną funkcji w dziedzinie definicji.

Wyznaczamy zera licznika, zera mianownika pochodnej oraz punkty dziedziny definicji, w których pochodna nie istnieje (punkty te nazywane są punkty możliwego ekstremum, przechodząc przez te punkty, pochodna może po prostu zmienić swój znak).

Punkty te dzielą dziedzinę definicji funkcji na przedziały, w których pochodna zachowuje swój znak. Znaki pochodnej wyznaczamy na każdym z przedziałów (np. obliczając wartość pochodnej funkcji w dowolnym punkcie danego przedziału).

Wybieramy punkty, w których funkcja jest ciągła i przechodząc przez które pochodna zmienia znak.

Przykład. Znajdź ekstremum funkcji.
Rozwiązanie.
Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem x = 2.
Znajdowanie pochodnej:

Zera licznika są punktami x = -1 I x = 5, mianownik dąży do zera w x = 2. Zaznacz te punkty na osi liczb

Wyznaczamy znaki pochodnej w każdym przedziale; w tym celu obliczamy wartość pochodnej w dowolnym punkcie każdego przedziału, np. w punktach x = -2, x = 0, x = 3 I x=6.

Zatem na przedziale pochodna jest dodatnia (na rysunku stawiamy znak plus nad tym przedziałem). Podobnie

Dlatego stawiamy minus nad drugim przedziałem, minus nad trzecim i plus nad czwartym.

Pozostaje wybrać punkty, w których funkcja jest ciągła i jej pochodna zmienia znak. To są punkty ekstremalne.
W punkcie x = -1 funkcja jest ciągła i pochodna zmienia znak z plusa na minus, zatem zgodnie z pierwszym znakiem ekstremum x = -1 jest punktem maksymalnym; odpowiada mu maksimum funkcji.
W punkcie x = 5 funkcja jest ciągła i pochodna zmienia znak z minus na plus, zatem x = -1 jest punktem minimalnym; odpowiada mu minimum funkcji.
Ilustracja graficzna.

Odpowiedź: .

Drugi wystarczający znak ekstremum funkcji.
Pozwalać

jeśli , to jest punktem minimalnym;

jeśli , to jest punktem maksymalnym.

Jak widać, kryterium to wymaga istnienia w tym punkcie pochodnej co najmniej do drugiego rzędu.
Przykład. Znajdź ekstremum funkcji.
Rozwiązanie.
Zacznijmy od dziedziny definicji:

Rozróżnijmy pierwotną funkcję:

Pochodna dąży do zera w x = 1, czyli jest to punkt możliwego ekstremum.
Znajdujemy drugą pochodną funkcji i obliczamy jej wartość w x = 1:Ponadto,

Wywołuje się funkcję y = f(x). wzrastający (malejące) w pewnym przedziale, jeśli dla x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Jeżeli funkcja różniczkowalna y = f(x) rośnie (maleje) na pewnym przedziale, to jej pochodna na tym przedziale f " (x) > 0

(f" (x)< 0).

Kropka x o zwany lokalny punkt maksymalny (minimum) funkcja f(x), jeżeli istnieje sąsiedztwo punktu x o, dla wszystkich punktów, dla których prawdziwa jest nierówność f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)).

Nazywa się punkty maksymalne i minimalne punkty ekstremalne, a wartości funkcji w tych punktach są jej skrajności.

Warunki wstępne ekstremum. Jeśli chodzi o x o jest ekstremum funkcji f(x), to albo f " (x o) = 0, albo f (x o) nie istnieje. Takie punkty nazywane są krytyczny, a sama funkcja jest zdefiniowana w punkcie krytycznym. Ekstremów funkcji należy szukać wśród jej punktów krytycznych.

Pierwszy warunek wystarczający. Pozwalać x o- punkt krytyczny. Jeśli f "(x) podczas przechodzenia przez punkt x o zmienia znak plus na minus, a następnie w punkcie x o funkcja ma maksimum, w przeciwnym razie ma minimum. Jeżeli po przejściu przez punkt krytyczny pochodna nie zmienia znaku, to w tym punkcie x o nie ma skrajności.

Drugi warunek wystarczający. Niech funkcja f(x) ma pochodną
f "(x) w pobliżu punktu x o i drugą pochodną w samym punkcie x o. Jeśli f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка x o jest lokalnym minimum (maksymalnym) punktem funkcji f(x). Jeśli =0, to musisz albo użyć pierwszego warunku wystarczającego, albo użyć wyższych pochodnych.

Na segmencie funkcja y = f(x) może osiągnąć wartość minimalną lub maksymalną albo w punktach krytycznych, albo na końcach odcinka.

Badanie warunków i sporządzanie wykresów.

Znajdź dziedzinę funkcji

Znajdź punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych

Znaleźć przedziały znaku stałości

Zbadaj równość, dziwność

Znajdź asymptoty wykresu funkcji

Znajdź przedziały monotoniczności funkcji

Znajdź ekstremum funkcji

Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia

Asymptoty wykresów funkcji. Ogólny schemat badania i kreślenia wykresów funkcji. Przykłady.

Pionowy

Asymptota pionowa - linia prosta pod warunkiem istnienia granicy .

Z reguły przy wyznaczaniu asymptoty pionowej szukają nie jednej granicy, ale dwóch jednostronnych (lewej i prawej). Ma to na celu określenie, jak funkcja zachowuje się, gdy zbliża się do asymptoty pionowej z różnych kierunków. Na przykład:

Uwaga: zwróć uwagę na znaki nieskończoności w tych równościach.

[edytuj] Poziomo

Asymptota pozioma - linia prosta pod warunkiem istnienia granicy

.

[edytuj] Ukośne

Asymptota ukośna - linia prosta pod warunkiem istnienia granic

Przykład asymptoty ukośnej

1.

Uwaga: funkcja nie może mieć więcej niż dwie asymptoty ukośne (poziome)!

Uwaga: Jeśli przynajmniej jedna z dwóch powyższych granic nie istnieje (lub jest równa ), to asymptota ukośna w (lub ) nie istnieje!

Zależność między asymptotami ukośnymi i poziomymi

Jeśli przy obliczaniu limitu , to jest oczywiste, że asymptota ukośna pokrywa się z asymptotą poziomą. Jaki jest związek między tymi dwoma typami asymptot?

Rzecz w tym, że asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem ukośnej Na , a z powyższych komentarzy wynika, że

1. Funkcja ma albo tylko jedną asymptotę ukośną, albo jedną asymptotę pionową, albo jedną asymptotę ukośną i jedną pionową, albo dwie asymptoty ukośne, albo dwie asymptoty pionowe, albo nie ma w ogóle asymptot.

2. Istnienie asymptot wskazanych w ust. 1.) jest bezpośrednio związane z istnieniem odpowiednich granic.

Wykres funkcji z dwiema asymptotami poziomymi

]Znajdowanie asymptot

Kolejność znajdowania asymptot

1. Znajdowanie asymptot pionowych.

2. Znalezienie dwóch granic

3. Znalezienie dwóch granic:

jeśli w pkt. 2.), to , a granicy szuka się za pomocą wzoru na asymptotę poziomą, .