Znajdź wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu. Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu. Wymierne pierwiastki wielomianów o współczynnikach całkowitych. Schemat Hornera

Pozwalać

- wielomian stopnia n ≥ 1 na rzeczywistej lub zespolonej zmiennej z o rzeczywistych lub zespolonych współczynnikach a i. Przyjmujemy następujące twierdzenie bez dowodu.

Twierdzenie 1

Równanie P n (z) = 0 ma co najmniej jeden korzeń.

Udowodnijmy następujący lemat.

Lemat 1

Niech P n (z)- wielomian stopnia n, z 1 - pierwiastek równania:
P n (z 1) = 0.
Następnie P n (z) mogą być reprezentowane w jedyny sposób w postaci:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
gdzie P n- 1 (z)- wielomian stopnia n - 1 .

Dowód

Jako dowód stosujemy twierdzenie (patrz Dzielenie i mnożenie wielomianu przez wielomian przez róg i kolumnę), zgodnie z którym dla dowolnych dwóch wielomianów P n (z) i Q k (z), stopnie n i k oraz n ≥ k, istnieje jednoznaczna reprezentacja w postaci:
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
gdzie P n-k (z) jest wielomianem stopnia n-k, U k- 1 (z)- wielomian stopnia co najwyżej k- 1 .

Wstawiamy k = 1 , Q k (z) = z - z 1, następnie
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
gdzie c jest stałą. Podstaw tutaj z = z 1 i weź pod uwagę, że P n (z 1) = 0:
P n (z 1) = (z 1 - z 1) P n-1 (z 1) + c;
0 = 0 + c.
Stąd c = 0 ... Następnie
n,
co było do okazania

Rozkładanie wielomianu na czynniki

Tak więc, na podstawie Twierdzenia 1, wielomian P n (z) ma co najmniej jeden korzeń. Oznaczmy to jako z 1 , P n (z 1) = 0... Następnie w oparciu o Lemat 1:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Dalej, jeśli n> 1 , to wielomian P n- 1 (z) ma również co najmniej jeden pierwiastek, który oznaczamy jako z 2 , P n- 1 (z 2) = 0... Następnie
P n- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Kontynuując ten proces dochodzimy do wniosku, że istnieje n liczb z 1, z 2, ..., z n takie, że
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Ale P 0 (z) jest stała. Zrównując współczynniki przy z n, stwierdzamy, że jest on równy a n. W rezultacie otrzymujemy wzór na rozłożenie wielomianu na czynniki:
(1) P n (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Liczby z i są pierwiastkami wielomianu P n (z).

W ogólnym przypadku nie wszystkie z i zawarte w (1) , są różne. Mogą być wśród nich te same wartości. Następnie faktoryzacja wielomianu (1) można zapisać jako:
(2) P n (z) = a n (z - z 1) n 1 (z - z 2) n 2 ... (z - z k) n k;
.
Tutaj z i ≠ z j dla i ≠ j. Jeśli n i = 1 , następnie źródło zi zwany prostym... Wchodzi w faktoryzację w postaci (z-z i)... Jeśli n i> 1 , następnie źródło zi nazywa się wielokrotnym pierwiastkiem mnogości n ja. Jest ona zawarta w faktoryzacji jako iloczyn n i czynników pierwszych: (z-z i) (z-z i) ... (z-z i) = (z-z i) n i.

Wielomiany o rzeczywistych współczynnikach

Lemat 2

Jeśli jest pierwiastkiem zespolonym wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to liczba sprzężona zespolona jest również pierwiastkiem wielomianu.

Dowód

Rzeczywiście, jeśli i współczynniki wielomianu są liczbami rzeczywistymi, to wtedy.

Tak więc złożone pierwiastki wchodzą do faktoryzacji parami z ich złożonymi wartościami sprzężonymi:
,
gdzie są liczby rzeczywiste.
Następnie rozkład (2) wielomian ze współczynnikami rzeczywistymi dla czynników można przedstawić w postaci, w której występują tylko stałe rzeczywiste:
(3) ;
.

Wielomianowe metody faktoryzacji

W związku z powyższym, aby rozłożyć wielomian na czynniki, musisz znaleźć wszystkie pierwiastki równania P n (z) = 0 i określić ich wielość. Mnożniki z złożone korzenie muszą być zgrupowane ze złożonymi koniugatami. Wtedy ekspansja jest określona wzorem (3) .

Zatem metoda rozkładania wielomianu na czynniki jest następująca:
1. Znajdź pierwiastek z 1 równania P n (z 1) = 0.
2.1. Jeśli pierwiastek z 1 realne, wtedy dodajemy czynnik do rozszerzenia (z - z 1) (z - z 1) 1 :
.
1 (z) zaczynając od punktu (1) dopóki nie znajdziemy wszystkich korzeni.
2.2. Jeśli pierwiastek jest złożony, to sprzężona liczba zespolona jest również pierwiastkiem wielomianu. Następnie czynnik jest uwzględniany w rozszerzeniu

,
gdzie b 1 = - 2 x 1, C 1 = x 1 2 + y 1 2.
W tym przypadku dodajemy czynnik do rozszerzenia (z 2 + b 1 z + c 1) i podziel wielomian P n (z) przez (z 2 + b 1 z + c 1)... W rezultacie otrzymujemy wielomian stopnia n - 2 :
.
Następnie powtarzamy proces dla wielomianu P n- 2 (z) zaczynając od punktu (1) dopóki nie znajdziemy wszystkich korzeni.

Znajdowanie pierwiastków wielomianu

Głównym zadaniem przy rozkładaniu wielomianu na czynniki jest znalezienie jego pierwiastków. Niestety nie zawsze można to zrobić analitycznie. Tutaj przeanalizujemy kilka przypadków, w których można analitycznie znaleźć pierwiastki wielomianu.

Pierwiastki wielomianowe pierwszego stopnia

Wielomian pierwszego stopnia jest funkcją liniową. Ma jeden korzeń. Rozkład na czynniki ma tylko jeden czynnik zawierający zmienną z:
.

Pierwiastki wielomianu stopnia 2

Aby znaleźć pierwiastki wielomianu drugiego stopnia, musisz rozwiązać równanie kwadratowe:
P 2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Jeśli dyskryminator, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:
, .
Wtedy faktoryzacja to:
.
Jeżeli dyskryminator D = 0 , to równanie ma jeden podwójny pierwiastek:
;
.
Jeżeli dyskryminator D< 0 , to pierwiastki równania są złożone,
.

Wielomiany stopnia wyższego niż dwa

Istnieją wzory na znalezienie pierwiastków wielomianów trzeciego i czwartego stopnia. Są jednak rzadko używane, ponieważ są uciążliwe. Nie ma wzorów na znalezienie pierwiastków wielomianów stopnia wyższego niż 4. Mimo to w niektórych przypadkach możliwe jest rozłożenie wielomianu na czynniki.

Odnajdywanie całych korzeni

Jeśli wiadomo, że wielomian, którego współczynniki są liczbami całkowitymi, ma pierwiastek całkowity, to można go znaleźć, przeglądając wszystkie możliwe wartości.

Lemat 3

Niech wielomian
,
którego współczynniki a i są liczbami całkowitymi ma pierwiastek całkowity z 1 ... Wtedy ten pierwiastek jest dzielnikiem liczby a 0 .

Dowód

Przepisz równanie P n (z 1) = 0 jak:
.
Następnie - całość,
M z 1 = - 0.
Podziel przez z 1 :
.
Ponieważ M jest liczbą całkowitą, więc jest liczbą całkowitą. co było do okazania

Dlatego jeśli współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi, możesz spróbować znaleźć pierwiastki całkowite. Aby to zrobić, musisz znaleźć wszystkie dzielniki wolnego terminu a 0 i przez podstawienie do równania P n (z) = 0, sprawdź, czy są to pierwiastki tego równania.
Notatka... Jeżeli współczynniki wielomianu są liczbami wymiernymi, to mnożenie równania P n (z) = 0 na wspólnym mianowniku liczb a i otrzymujemy równanie wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Znalezienie racjonalnych korzeni

Jeżeli współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi i nie ma pierwiastków całkowitych, to dla n ≠ 1 , można spróbować znaleźć racjonalne korzenie. Aby to zrobić, musisz dokonać zamiany
z = r / a n
i pomnóż równanie przez n n- 1 ... W rezultacie otrzymujemy równanie wielomianu w zmiennej y o współczynnikach całkowitych.Następnie szukamy pierwiastków całkowitych tego wielomianu wśród dzielników wyrazu wolnego. Jeżeli znaleźliśmy taki pierwiastek y i, to przechodząc do zmiennej x, otrzymujemy pierwiastek wymierny
z ja = y ja / n.

Przydatne formuły

Oto wzory, których można użyć do rozkładania wielomianu na czynniki.

Bardziej ogólnie, aby rozwinąć wielomian
P n (z) = z n - a 0,
gdzie 0 - złożony, musisz znaleźć wszystkie jego pierwiastki, czyli rozwiązać równanie:
z n = a 0 .
To równanie można łatwo rozwiązać, wyrażając a 0 przez moduł r i argument φ:
.
Ponieważ 0 nie zmienia się, jeśli dodasz do argumentu 2 π, to reprezentujemy a 0 jak:
,
gdzie k jest liczbą całkowitą. Następnie
;
.
Przypisywanie k wartości k = 0, 1, 2, ... n-1, otrzymujemy n pierwiastków wielomianu. Wtedy jego faktoryzacja ma postać:
.

Wielomian dwukwadratowy

Rozważmy wielomian dwukwadratowy:
.
Wielomian dwukwadratowy można rozłożyć na czynniki bez znajdowania pierwiastków.

Mamy bowiem:

,
gdzie .

Wielomiany redukcyjne dwusześcienne i kwadratowe

Rozważ wielomian:
.
Jego pierwiastki określa się z równania:
.
Sprowadza się to do równania kwadratowego przez podstawienie t = z n:
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Po rozwiązaniu tego równania znajdujemy jego pierwiastki, t 1 , T 2 ... Następnie znajdujemy rozszerzenie w postaci:
.
Ponadto, stosując metodę wskazaną powyżej, wyliczamy z n - t 1 oraz z n - t 2 ... Podsumowując, grupujemy czynniki zawierające złożone korzenie sprzężone.

Wielomiany zwrotne

Wielomian nazywa się zwrotny jeśli jego współczynniki są symetryczne:

Przykład wielomianu zwrotnego:
.

Jeżeli stopień wielomianu rekurencyjnego n jest nieparzysty, to taki wielomian ma pierwiastek z = -1 ... Dzielenie takiego wielomianu przez z + 1 , otrzymujemy wielomian zwrotny stopnia

W tym artykule zaczniemy się uczyć liczby wymierne... Tutaj podajemy definicje liczb wymiernych, podajemy niezbędne wyjaśnienia i podajemy przykłady liczb wymiernych. Następnie zastanówmy się, jak ustalić, czy dana liczba jest wymierna, czy nie.

Nawigacja po stronach.

Definicja i przykłady liczb wymiernych

W tym podrozdziale podajemy kilka definicji liczb wymiernych. Pomimo różnic w sformułowaniach wszystkie te definicje mają to samo znaczenie: liczby wymierne łączą liczby całkowite i ułamkowe, tak jak liczby całkowite łączą liczby naturalne, ich liczby przeciwne i liczbę zero. Innymi słowy, liczby wymierne uogólniają liczby całkowite i ułamkowe.

Zacznijmy definicje liczb wymiernych co jest odbierane najbardziej naturalnie.

Z brzmiącej definicji wynika, że ​​liczba wymierna to:

• Dowolna liczba naturalna n. Rzeczywiście, każdą liczbę naturalną można przedstawić jako zwykły ułamek, na przykład 3 = 3/1.
• Dowolna liczba całkowita, w szczególności zero. Rzeczywiście, każdą liczbę całkowitą można zapisać albo jako dodatni wspólny ułamek, albo jako ujemny wspólny ułamek, albo jako zero. Na przykład 26 = 26/1.
• Dowolny ułamek (dodatni lub ujemny). Jest to bezpośrednio powiedziane w powyższej definicji liczb wymiernych.
• Dowolna liczba mieszana. Rzeczywiście, zawsze można przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek nieregularny. Na przykład i.
• Dowolny skończony ułamek dziesiętny lub nieskończony ułamek okresowy. Wynika to z faktu, że wskazane ułamki dziesiętne są konwertowane na zwykłe ułamki. Na przykład 0, (3) = 1/3.

Jasne jest również, że każdy nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny NIE jest liczbą wymierną, ponieważ nie może być reprezentowany jako zwykły ułamek.

Teraz możemy spokojnie prowadzić przykłady liczb wymiernych... Liczby 4, 903, 100 321 są liczbami wymiernymi, ponieważ są naturalne. Liczby całkowite 58, -72, 0, -833 333 333 są również przykładami liczb wymiernych. Ułamki zwykłe 4/9, 99/3 są również przykładami liczb wymiernych. Liczby wymierne to także liczby.

Z podanych przykładów widać, że istnieją zarówno liczby wymierne dodatnie, jak i ujemne, a liczba wymierna zero nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

Powyższą definicję liczb wymiernych można sformułować w bardziej zwięzły sposób.

Definicja.

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać jako ułamek z / n, gdzie z jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną.

Wykażmy, że ta definicja liczb wymiernych jest równoważna z poprzednią definicją. Wiemy, że za znak dzielenia można uznać ułamek ułamka, to z własności dzielenia liczb całkowitych i reguł dzielenia liczb całkowitych wynika ważność następujących równości i. A więc to jest dowód.

Podajmy przykłady liczb wymiernych opartych na tej definicji. Liczby -5, 0, 3 i są liczby wymierne, ponieważ można je zapisać jako ułamki z liczbą całkowitą i mianownikiem naturalnym postaci i odpowiednio.

Definicję liczb wymiernych można podać w następującym sformułowaniu.

Definicja.

Liczby wymierne To liczby, które można zapisać jako skończony lub nieskończony okresowy ułamek dziesiętny.

Ta definicja jest również równoważna pierwszej definicji, ponieważ każdy zwykły ułamek odpowiada skończonemu lub okresowemu ułamkowi dziesiętnemu i odwrotnie, a każda liczba całkowita może być powiązana z ułamkiem dziesiętnym z zerami po przecinku.

Na przykład liczby 5, 0, -13 są przykładami liczb wymiernych, ponieważ można je zapisać jako następujące ułamki dziesiętne 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 i -7, (18).

Kończymy teorię tego rozdziału następującymi stwierdzeniami:

• liczby całkowite i ułamkowe (dodatnie i ujemne) tworzą zbiór liczb wymiernych;
• każda liczba wymierna może być reprezentowana jako ułamek z liczbą całkowitą i mianownikiem naturalnym, a każdy taki ułamek jest pewną liczbą wymierną;
• każda liczba wymierna może być reprezentowana jako skończony lub nieskończony okresowy ułamek dziesiętny, a każdy taki ułamek reprezentuje pewną liczbę wymierną.

Czy ta liczba jest racjonalna?

W poprzednim akapicie dowiedzieliśmy się, że każda liczba naturalna, każda liczba całkowita, każdy zwykły ułamek, każda liczba mieszana, każdy skończony ułamek dziesiętny, a także każdy okresowy ułamek dziesiętny jest liczbą wymierną. Ta wiedza pozwala nam „rozpoznawać” liczby wymierne ze zbioru liczb zapisanych.

A co jeśli liczba jest podana w postaci jakiejś, czyli jak itd., jak odpowiedzieć na pytanie, czy dana liczba jest wymierna? W wielu przypadkach bardzo trudno jest na nie odpowiedzieć. Wskażmy kilka kierunków w toku myśli.

Jeśli liczba jest określona jako wyrażenie liczbowe, które zawiera tylko liczby wymierne i znaki arytmetyczne (+, -, · i :), to wartością tego wyrażenia jest liczba wymierna. Wynika to ze sposobu definiowania akcji z liczbami wymiernymi. Na przykład po wykonaniu wszystkich kroków w wyrażeniu otrzymujemy liczbę wymierną 18.

Czasami po uproszczeniu wyrażeń i nie tylko złożony rodzaj, staje się możliwe ustalenie, czy dana liczba jest wymierna.

Chodźmy dalej. Liczba 2 jest liczbą wymierną, ponieważ każda liczba naturalna jest wymierna. A co z liczbą? Czy to racjonalne? Okazuje się, że nie, nie jest to liczba wymierna, jest to liczba niewymierna (dowód tego faktu przez sprzeczność znajduje się we wskazanym poniżej w bibliografii podręcznika do algebry dla 8 klasy). Udowodniono również, że pierwiastek kwadratowy z Liczba naturalna jest liczbą wymierną tylko w przypadkach, gdy pierwiastek jest liczbą, która jest kwadratem idealnym pewnej liczby naturalnej. Na przykład i są liczbami wymiernymi, ponieważ 81 = 9 2 i 1024 = 32 2, a liczby i nie są wymierne, ponieważ liczby 7 i 199 nie są idealnymi kwadratami liczb naturalnych.

Czy liczba jest racjonalna, czy nie? W tym przypadku łatwo zauważyć, że podana liczba jest zatem wymierna. Czy liczba jest racjonalna? Udowodniono, że k-ty pierwiastek liczby całkowitej jest liczbą wymierną tylko wtedy, gdy liczba pod pierwiastkiem jest k-tą potęgą pewnej liczby całkowitej. Dlatego nie jest liczbą wymierną, ponieważ nie ma liczby całkowitej, której piątą potęgą jest 121.

Metoda sprzeczna pozwala nam wykazać, że logarytmy niektórych liczb z jakiegoś powodu nie są liczbami wymiernymi. Jako przykład udowodnijmy, że nie jest to liczba wymierna.

Załóżmy, że jest odwrotnie, to znaczy załóżmy, że jest to liczba wymierna i można ją zapisać jako zwykły ułamek m / n. Następnie i podaj następujące równości:. Ostatnia równość jest niemożliwa, ponieważ po lewej stronie jest liczba nieparzysta 5 n, a po prawej stronie liczba parzysta 2 m. Stąd nasze założenie jest błędne, a więc nie jest liczbą wymierną.

Podsumowując, należy szczególnie zauważyć, że przy wyjaśnianiu racjonalności lub irracjonalności liczb należy powstrzymać się od nagłych wniosków.

Na przykład nie należy od razu twierdzić, że iloczyn liczb niewymiernych π i e jest liczbą niewymierną, jest to „trochę oczywiste”, ale nie udowodnione. Rodzi to pytanie: „Dlaczego iloczyn miałby być liczbą wymierną”? A dlaczego nie, ponieważ możesz podać przykład liczb niewymiernych, których iloczyn daje liczbę wymierną:.

Nie wiadomo również, czy liczby i wiele innych liczb jest wymiernych, czy nie. Na przykład istnieją liczby niewymierne, których stopień niewymierny jest liczbą wymierną. Aby to zilustrować, podajemy stopień postaci, podstawę tego stopnia i wykładnik nie są liczbami wymiernymi, ale i 3 jest liczbą wymierną.

Bibliografia.

• Matematyka. Klasa 6: podręcznik. do kształcenia ogólnego. instytucje / [N. Ya Vilenkin i inni]. - wyd. 22, ks. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 s.: Ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: badanie. na 8 cl. ogólne wykształcenie. instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M.: Edukacja, 2008 .-- 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Podręcznik. instrukcja - M .; Wyższy. shk., 1984.-351 s., il.

Ten wielomian ma współczynniki całkowite. Jeśli liczba całkowita jest pierwiastkiem tego wielomianu, to jest dzielnikiem liczby 16. Tak więc, jeśli dany wielomian ma pierwiastki całkowite, to może być tylko liczbami ± 1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 16. Poprzez bezpośrednią weryfikację upewniamy się, że liczba 2 jest pierwiastkiem tego wielomianu, czyli x 3 - 5x 2 - 2x + 16 = (x - 2) Q (x), gdzie Q (x) jest wielomianem drugi stopień. W konsekwencji wielomian jest rozkładany na czynniki, z których jednym jest (x - 2). Aby znaleźć postać wielomianu Q (x), używamy tak zwanego schematu Hornera. Główną zaletą tej metody jest jej zwartość i możliwość szybkiego podziału wielomianu przez dwumian. W rzeczywistości schemat Hornera jest inną formą zapisu metody grupowania, chociaż w przeciwieństwie do tej ostatniej jest całkowicie lubiany. Odpowiedź (faktoryzacja) jest tutaj uzyskiwana sama i nie widzimy samego procesu jej uzyskiwania. Nie będziemy angażować się w rygorystyczne uzasadnienie schematu Hornera, a jedynie pokażemy, jak to działa.

	1	−5	−2	16
2	1	−3	−8	0

W prostokątnej tabeli 2 × (n + 2), gdzie n jest stopniem wielomianu (patrz rys.), Współczynniki wielomianu są zapisane w górnym wierszu w rzędzie (lewy górny róg pozostaje wolny) . W lewym dolnym rogu zapisana jest liczba - pierwiastek wielomianu (lub liczba x 0, jeśli chcemy podzielić przez dwumian (x - x 0)), w naszym przykładzie jest to liczba 2. Następnie cała dolny wiersz tabeli jest wypełniany zgodnie z następującą zasadą.

W drugiej komórce dolnego wiersza liczba jest „zdejmowana” z komórki nad nią, czyli 1. Następnie robią to. Pierwiastek równania (liczba 2) jest mnożony przez ostatnią zapisaną liczbę (1), a wynik jest dodawany do liczby w górnym wierszu nad następną wolną komórką, w naszym przykładzie mamy:

Wynik zapisujemy do wolnej komórki pod −2. Następnie postępujemy w ten sam sposób:
Stopień wielomianu otrzymanego w wyniku dzielenia jest zawsze o 1 mniejszy od stopnia pierwotnego. Więc:

Pytanie o znalezienie racjonalnych pierwiastków wielomianu F(x)Q[x] (ze współczynnikami wymiernymi) sprowadza się do pytania o znalezienie wymiernych pierwiastków wielomianów k ∙ F(x)Z[x] (ze współczynnikami całkowitymi). Tutaj numer k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników współczynników danego wielomianu.

Konieczne, ale nie wystarczające warunki istnienie wymiernych pierwiastków wielomianu o współczynnikach całkowitych wynika z następującego twierdzenia.

Twierdzenie 6.1 (o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych). Jeśli – wymierny pierwiastek wielomianuF(x) = a n  x n + + …+ a 1  x + a 0 Z cały współczynniki i(P, Q) = 1, to licznik ułamkaPjest dzielnikiem wyrazu wolnego a 0 i mianownikQjest dzielnikiem wiodącego współczynnika a 0 .

Twierdzenie 6.2.Jeśli Q ( gdzie (P, Q) = 1) jest racjonalnym pierwiastkiem wielomianu F(x) ze współczynnikami całkowitymi, to
–wszystkie liczby.

Przykład. Na wszystkich wymiernych wielomianach pierwiastków

F(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x + 1.

1. Według twierdzenia 6.1: if – wymierny pierwiastek wielomianu F(x), ( gdzie( P, Q) = 1), następnie a 0 = 1 P, a n = 6 Q... Więc P { 1}, Q (1, 2, 3, 6), więc

.

2. Wiadomo, że (Wniosek 5.3) liczba a jest pierwiastkiem wielomianu F(x) wtedy i tylko wtedy gdy F(x) podzielony przez ( x-a).

Dlatego, aby sprawdzić, czy liczby 1 i –1 są pierwiastkami wielomianu F(x) możesz skorzystać ze schematu Hornera:

F(1) = 60,F(–1) = 120, więc 1 i –1 nie są pierwiastkami wielomianu F(x).

3. Wyeliminować niektóre z pozostałych liczb
, używamy Twierdzenia 6.2. Jeśli wyrażenia lub
przyjmuje wartości całkowite dla odpowiednich wartości licznika P i mianownik Q, następnie w odpowiednich komórkach tabeli (patrz poniżej) napiszemy literę „c”, w przeciwnym razie - „dr”.

=
=

4.Za pomocą schematu Hornera sprawdzamy, czy liczby pozostałe po odfiltrowaniu będą
korzenie F(x). Najpierw podzielmy się F(x) na ( x – ).

W efekcie mamy: F(x) = (x – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2) i - korzeń F(x). Prywatny Q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2 jest dzielone przez ( x + ).

Bo Q (–) = 30, to (-) nie jest pierwiastkiem wielomianu Q(x), a więc wielomian F(x).

Na koniec dzielimy wielomian Q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 X - 2 dnia ( x – ).

Otrzymane: Q () = 0, czyli pierwiastek Q(x), i stąd jest korzeń F (x). Tak więc wielomian F (x) ma dwa wymierne pierwiastki: i.

Wyzwolenie z irracjonalności algebraicznej w mianowniku ułamka

W kursie szkolnym, rozwiązując niektóre rodzaje problemów, aby pozbyć się irracjonalności w mianowniku ułamka, wystarczy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez liczbę sprzężoną z mianownikiem.

Przykłady. 1.T =
.

Tutaj w mianowniku wyzwalana jest formuła skróconego mnożenia (różnica kwadratów), która pozwala pozbyć się irracjonalności w mianowniku.

2. Pozbądź się irracjonalności w mianowniku ułamka

T =
... Wyrażenie - niepełny kwadrat różnicy liczb a=
oraz b= 1. Używając skróconego wzoru na mnożenie a 3 – b 3 = (+b) · ( a 2 – ab + b 2 ), możesz określić współczynnik m = (+b) =
+ 1, przez który należy pomnożyć licznik i mianownik ułamka T pozbyć się irracjonalności w mianowniku ułamka T... W ten sposób,

W sytuacjach, w których skrócone formuły mnożenia nie działają, możesz użyć innych technik. Poniżej sformułujemy twierdzenie, którego dowód w szczególności pozwala nam znaleźć algorytm pozbycia się irracjonalności w mianowniku ułamka w bardziej skomplikowanych sytuacjach.

Definicja 6.1. Numer z nazywa algebraiczny nad ciałem F jeśli istnieje wielomian F(x) F[x] którego korzeń to z, w przeciwnym razie liczba z nazywa transcendentalny nad polemF.

Definicja 6.2.Stopień algebraiczny nad ciałem F liczby z jest stopniem nieredukowalnego nad polem F wielomian P(x)F[x] którego pierwiastek jest liczbą z.

Przykład. Pokażmy, że liczba z =
jest algebraiczny nad ciałem Q i znajdź jego stopień.

Znajdź nieredukowalne nad polem Q wielomian P(x), którego korzeń to x =
... Podnieśmy obie strony równości x =
do czwartej potęgi dostajemy x 4 = 2 lub x 4 – 2 = 0. A więc P(x) = x 4 – 2 i stopień liczby z jest równe stopnie P(x) = 4.

Twierdzenie 6.3 (o wyzwoleniu z irracjonalności algebraicznej w mianowniku ułamka).Pozwalaćz- liczba algebraiczna nad ciałemFstopieńn... Wyrażenie formyT = ,gdzie F(x), (x)F[x], (z) 0

można jednoznacznie przedstawić jako:

T = Z n -1 z n -1 + C n -2 z n -2 + … + C 1 z + C 0 , C i F.

Na konkretnym przykładzie zademonstrujemy algorytm uwalniania od irracjonalności w mianowniku ułamka.

Przykład. Pozbądź się irracjonalności w mianowniku ułamka:

T =

1. Mianownikiem ułamka jest wartość wielomianu (x) = x 2 – x+1 w x =
... Poprzedni przykład pokazuje, że
- liczba algebraiczna nad ciałem Q stopnia 4, ponieważ jest to pierwiastek nieredukowalnego ponad Q wielomian P(x) = x 4 – 2.

2. Znajdź rozkład liniowy GCD ( (x), P(x)) przy użyciu algorytmu Euklidesa.

_ x 4 – 2 | x 2 - x + 1

x 4 - x 3 + X 2 x 2 + x = q 1 (x)

_ x 3 - x 2 – 2

x 3 - x 2 + X

x 2 - x + 1 | – x –2 = r 1 (x )

x 2 + 2 x - x + 3 = Q 2 (x)

_–3x+ 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = r 2

– x –2 -x - =Q 3 (x)

Więc, gcd ( (x), P(x)) = r 2 = 7. Znajdźmy jego rozkład liniowy.

Zapiszmy ciąg euklidesowy za pomocą notacji wielomianów.

P(x) = (x) · Q 1 (x) + r 1 (x)
r 1 (x) =P(x) – (x) · Q 1 (x)

(x) = r 1 (x) · Q 2 (x) + r 2 (x)
r 2 (x) = (x) – r 1 (x) · Q 2 (x)

r 1 (x) = r 2 (x) · Q 2 (x).

Podstaw w równości 7 = r 2 (x) = (x) – r 1 (x) · Q 2 (x) pozostała wartość r 1 (x) = P(x) – (x) · Q 1 (x), po przekształceniach otrzymujemy rozkład liniowy GCD ( (x), P(x)): 7 = P(x) · (– Q 2 (x)) + (x) ·. Jeśli podstawimy odpowiednie wielomiany w ostatniej równości zamiast notacji i weźmiemy pod uwagę, że P(
) = 0, to mamy:

(1 –
+
) · (–
+ 2
+ 3
+ 1)] = 7 (1)

3. Z równości (1) wynika, że ​​jeśli mianownik ułamka T pomnóż przez liczbę m=, to otrzymujemy 7. Zatem

T =
=.

PROCEDURA 16. Temat lekcji: Standardowy widok wielomianowy

Rodzaj lekcji: lekcja sprawdzania i kontrolowania wiedzy i umiejętności

Cele Lekcji:

Sprawdź możliwość zredukowania wielomianu do postaci standardowej

Rozwijaj logiczne myślenie uczniów, uwagę

Pielęgnuj niezależność

Struktura lekcji:

Organizowanie czasu

Odprawa

Niezależna praca.

1. Uzupełnij zdania:

a) Wyrażenie zawierające sumę jednomianów nazywa się ... (wielomian).

b) Wielomian składający się ze standardowych jednomianów i niezawierający takich terminów nazywa się ... (wielomian standardowy).

c) Największy ze stopni jednomianów zawartych w wielomianu postaci standardowej nazywa się ... (stopień wielomianu).

d) Przed określeniem stopnia wielomianu musisz ... (doprowadzić do standardowej formy).

e) Aby znaleźć wartość wielomianu, musisz wykonać pierwszy ... (przedstawić wielomian w standardowej formie), drugi ... (podstawić wartość zmiennej w tym wyrażeniu).

2. Znajdź wartość wielomianu:

a) 2 a 4 - ab+2 b 2 w a=-1, b=-0,5

b) x 2 +2 xy+ tak 2 w x=1,2, tak=-1,2

3. Sprowadź wielomian do jego standardowej postaci:

a) -5ax 2 + 7a 2 x + 2a 2 x + 9x 2 - 4х 2 - 8a 2 X;

b) (5x 2 - 7x - 13) - (3x 2 - 8x + 17);

v) 2a - (1.4av + 2a 2 - 1) + (3a + 6,4 śr);

G) (2s 2 - 1,6s + 4) - ((10,6s 2 + 4,4s - 0,3) - (3,6s 2 - 7s - 0,7));

4. Sprowadź wielomian do postaci standardowej i dowiedz się, przy jakich wartościach x jego wartość to 1:

a) 2 x 2 -3 x- x 2 -5+2 x- x 2 +10;

b) 0,3 x 3 - x 2 + x- x 3 +3 x 2 +0,7 x 3 -2 x 2 +0,07

Numer biletu 17.Podzielność liczb całkowitych