Dom
Drewno
Wielościany. Rodzaje wielościanów i ich właściwości. Fasetowane ciała geometryczne Nazywa się ciało geometryczne składające się z 6 ścian

Wielościany. Rodzaje wielościanów i ich właściwości. Fasetowane ciała geometryczne Nazywa się ciało geometryczne składające się z 6 ścian

Sekcje: Technologia

Cele Lekcji:

  • utrwalenie wiedzy o ciałach geometrycznych, umiejętności i umiejętności budowania rysunków wielościanów;
  • rozwijać reprezentacje przestrzenne i myślenie przestrzenne;
  • stworzyć kulturę graficzną.

Rodzaj lekcji:łączny.

Wyposażenie lekcji: Tablica interaktywna MIMIO, projektor multimedialny, komputery, projekt mimo na tablicę interaktywną, prezentacja multimedialna, program Compass-3D LT.

PODCZAS ZAJĘĆ

I. Moment organizacyjny

1. Pozdrowienia;

2. Sprawdzanie obecności uczniów;

3. Sprawdzenie gotowości do lekcji;

4. Wypełnianie dziennika zajęć (i w wersji elektronicznej)

II. Powtórzenie wcześniej poznanego materiału

Projekt mimo jest otwarty na tablicy interaktywnej

Arkusz 1. Na lekcji matematyki studiowałeś geometryczne bryły. Na ekranie widzisz kilka ciał. Zapamiętajmy ich nazwiska. Uczniowie nadają nazwy bryłom geometrycznym, w razie trudności pomagam. (rys. 1).

1 - czworokątny pryzmat
2 - stożek ścięty
3 - trójkątny pryzmat
4-cylindrowy
5 - sześciokątny pryzmat
6 - stożek
7 - kostka
8 - ścięta sześciokątna piramida

Arkusz 4... Zadanie 2. Podano ciała geometryczne i nazwy ciał geometrycznych. Wołamy ucznia do tablicy i razem z nim przeciągamy pod nazwami wielościany i ciała obrotowe, a następnie przeciągamy nazwy ciał geometrycznych (rys. 2).

Dochodzimy do wniosku, że wszystkie ciała dzielą się na wielościany i ciała obrotowe.

Włączamy prezentację „Geometric Solids” ( Podanie ). Prezentacja zawiera 17 slajdów. Prezentację można wykorzystać na kilku lekcjach, zawiera ona dodatkowy materiał (slajdy 14-17). Od slajdu 8 znajduje się hiperłącze do Prezentacji 2 (przeciągnięcia kostką). Prezentacja 2 zawiera 1 slajd, który przedstawia 11 rozłożonych sześcianów (są to linki do filmów). W lekcji wykorzystano tablicę interaktywną MIMIO, a uczniowie pracują na komputerach (wykonują prace praktyczne).

Slajd 2. Wszystkie ciała geometryczne są podzielone na wielościany i bryły obrotowe. Wielościany: pryzmat i piramida. Korpusy obrotowe: walec, stożek, kula, torus. Uczniowie śledzą diagram w skoroszycie.

III. Wyjaśnienie nowego materiału

Slajd 3. Rozważ piramidę. Zapisujemy definicję piramidy. Wierzchołek piramidy to wspólny wierzchołek wszystkich ścian, oznaczony literą S. Wysokość piramidy to prostopadłość opuszczona ze szczytu piramidy (ryc. 3).

Slajd 4. Prawidłowa piramida. Jeśli podstawa piramidy jest wielokątem foremnym, a wysokość spada do środka podstawy, piramida jest prawidłowa.
W regularnej piramidzie wszystkie krawędzie boczne są równe, wszystkie krawędzie boczne są równymi trójkątami równoramiennymi.
Wysokość trójkąta powierzchni bocznej regularnej piramidy nazywa się - apotem prawej piramidy.

Slajd 5. Animacja budowy foremnej sześciokątnej piramidy z oznaczeniem jej głównych elementów (ryc. 4).

Slajd 6... Definicję pryzmatu zapisujemy w zeszycie. Graniastosłup to wielościan o dwóch podstawach (równe, równoległe wielokąty) i ścianach bocznych równoległoboku. Pryzmat może być czworokątny, pięciokątny, sześciokątny itp. Pryzmat nosi nazwę postaci leżącej u podstawy. Animacja budowy pryzmatu sześciokątnego foremnego z oznaczeniem jego głównych elementów (rys. 5).

Slajd 7. Graniastosłup regularny to graniastosłup prosty z wielokątem foremnym u podstawy. Równoległościan jest regularnym pryzmatem czworokątnym (ryc. 6).

Slajd 8. Sześcian to równoległościan, którego wszystkie powierzchnie są kwadratami (ryc. 7).

(Dodatkowy materiał: slajd zawiera hiperłącze do prezentacji z przeciągnięciami sześcianami, łącznie 11 różnych przeciągnięć).
Slajd 9. Aby zapisać definicję walca, ciałem obrotowym jest walec utworzony przez obrót prostokąta wokół osi przechodzącej przez jeden z jego boków. Animacja uzyskania cylindra (rys. 8).

Slajd 10. Stożek jest ciałem obrotowym utworzonym przez obrót trójkąta prostokątnego wokół osi przechodzącej przez jedną z jego nóg (ryc. 9).

Slajd 11. Stożek ścięty to korpus obrotowy utworzony przez obrót prostokątnego trapezu wokół osi przechodzącej przez jego wysokość (ryc. 10).

Slajd 12. Kula jest ciałem obrotowym utworzonym przez obrót koła wokół osi przechodzącej przez jej średnicę (ryc. 11).

Slajd 13. Torus jest ciałem obrotowym utworzonym przez obrót koła wokół osi równoległej do średnicy koła (ryc. 12).

Uczniowie zapisują definicje ciał geometrycznych w zeszycie.

IV. Praca praktyczna „Budowanie rysunku prawidłowego pryzmatu”

Przełączanie na projekt mimio

Arkusz 7... Podano trójkątny pryzmat regularny. U podstawy leży regularny trójkąt. Wysokość pryzmatu = 70mm i bok podstawy = 40mm. Rozważamy pryzmat (kierunek widoku głównego pokazuje strzałka), definiujemy płaskie figury, które zobaczymy w widokach z przodu, z góry i z lewej. Wyciągamy obrazy widoków i umieszczamy je na polu rysunkowym (ryc. 13).

Studenci samodzielnie rysują pryzmat sześciokątny foremny w programie „Kompas – 3D”. Wymiary pryzmatu: wysokość - 60 mm, średnica koła opisanego wokół podstawy - 50 mm.
Budowanie rysunku z widoku z góry (rys. 14).

Następnie budowany jest widok z przodu (ryc. 15).

Następnie budowany jest lewy widok i nanoszone są wymiary (rys. 16).

Prace są sprawdzane i zapisywane na komputerach przez studentów.

V. Dodatkowe materiały na ten temat

Slajd 14... Regularna ścięta piramida (ryc. 17).

Slajd 15. Piramida ścięta przez pochyloną płaszczyznę (ryc. 18).

Slajd 16. Rozwój regularnej trójkątnej piramidy (ryc. 19).

Slajd 17. Rozkładanie równoległościanu (ryc. 20).

CIAŁA GEOMETRYCZNE, ICH POWIERZCHNIE I OBJĘTOŚCI

GEOMETRYCZNY KORPUS. WIELOŚCIAN

Definicja: Połączenie ograniczonego obszaru przestrzennego i jego granicy nazywa się bryłą geometryczną.

Granica to powierzchnia ciała geometrycznego.

Powierzchnia przestrzenna - wewnętrzna powierzchnia bryły geometrycznej.

Definicja: Wielościan jest ciałem geometrycznym, którego powierzchnia jest skończoną liczbą wielokątów, każdy bok każdego wielokąta jest bokiem dwóch i tylko dwóch ścian, które nie leżą na tej samej płaszczyźnie. Wieloboki to ściany wielościanu.

Wierzchołki i boki ścian - wierzchołki i krawędzie wielościanu.

Wielościany są klasyfikowane według liczby twarzy: czworościan(czworościan), pięciościan(pięciościan), Prostopadłościan(sześciokąt), oktaedr(oktaedr), dwunastościan(dwunastościan), dwudziestościan(dwustronny).

Definicja: Przekątna wielościanu to odcinek, który łączy dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany.

PRYZMAT. RÓWNOLEGŁOŚCIAN

Definicja: Wielościan, którego dwie ściany są wielokątami należącymi do równoległych płaszczyzn, a pozostałe są równoległobokami, nazywany jest pryzmatem. Bazą pryzmatu są wielokąty należące do płaszczyzn równoległych. Równoległoboki to boczne powierzchnie pryzmatu.

Boki równoległoboków łączących odpowiednie wierzchołki podstaw pryzmatu są bocznymi krawędziami pryzmatu.

А 1 А 2 ... А п В 1 В 2 ... В п - pryzmat kąta p;

A 1 A 2 ... A p; V 1 V 2 ... V p - podstawa pryzmatu kątowego p;

A1B1B2A2; ...; A 1 B 1 B p A p - ściany boczne pryzmatu kątowego n;

A1B1; A2B2; ...; A p B p - boczne krawędzie pryzmatu kątowego p.

Nieruchomości:

Podstawy pryzmatu są równe i równoległe.



Boczne krawędzie pryzmatu są równe i równoległe.

Definicja: Pryzmat nazywa się prostym, jeśli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw (ryc. 1.), w przeciwnym razie pryzmat nazywa się ukośnym (ryc. 2.).


Rys. 1. Ryż. 2. Rys.3.

Pryzmat nazywany jest trójkątnym, czworokątnym, pięciokątnym, ... w zależności od tego, który wielokąt leży u jego podstawy.

Definicja: Prostopadły narysowany z którego - lub punkt jednej podstawy do płaszczyzny drugiej podstawy nazywany jest wysokością pryzmatu (ryc. 3.).

B 1 M ^ A 1 A 2 A 3; О 1 О 2^A 1 A 2 A 3;

B 1 M = O 1 O 2 = h - wysokość pryzmatu.

Komentarz: Wysokość prostego graniastosłupa jest równa jego bocznej krawędzi .

Definicja: Prosty graniastosłup nazywa się regularnym, jeśli jego podstawy są regularnymi wielokątami.

Komentarz: Boczne powierzchnie zwykłego pryzmatu są równymi prostokątami.

referencja:

1. Regularny czworokąt to kwadrat;

2. Trójkąt regularny to trójkąt równoboczny;

3. Sześciokąt foremny.

Definicja: Pryzmat, którego podstawą jest równoległobok, nazywany jest równoległościanem (ryc. 1.).

Definicja: Równoległościan prosty to równoległościan, którego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw (rys. 2).


Nieruchomości:

  1. Przeciwległe ściany pudełka są równe i równoległe.
  2. Przekątne równoległościanu przecinają się i punkt przecięcia są o połowę mniejsze.
  3. W prostopadłościanie prostokątnym kwadrat dowolnej przekątnej jest równy sumie kwadratów jej wymiarów liniowych .d 2 = a 2 + b 2 + c 2
  4. Przekątne prostokątnego równoległościanu są równe.

Ćwiczenia:

  1. Określ przekątne prostopadłościanu prostokątnego na podstawie jego pomiarów:

a) 8, 9, 12;

B) 12, 16, 21.

referencja: Suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa sumie kwadratów wszystkich jego boków.

  1. W prawym równoległościanie boki podstawy mają 5 cm i 3 cm, a jedna z przekątnych ma 4 cm Znajdź dużą przekątną równoległościanu, wiedząc, że mniejsza przekątna tworzy kąt 60 ° z płaszczyzną podstawy.
  2. W zwykłym czworokątnym pryzmacie powierzchnia podstawy wynosi 144 cm 2, a wysokość 14 cm Określ przekątną tego pryzmatu.

PRYZMAT POWIERZCHNI

Definicja: Całkowita powierzchnia pryzmatu to suma pól wszystkich jego ścian.

Definicja: Pole powierzchni bocznej pryzmatu jest sumą pól jego powierzchni bocznych.

Definicja: Prostopadły przekrój pryzmatu to wielokąt uzyskany, gdy pryzmat przecina się z płaszczyzną prostopadłą do jego krawędzi.

Twierdzenie: Powierzchnia bocznej powierzchni pryzmatu jest równa iloczynowi krawędzi bocznej przez obwód prostopadłego przekroju.


Dany:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pryzmat;

A 1 = l;

ja ^ KLMNP;

P ^ = P (KLMNP)

Udowodnić:


Konsekwencja: Powierzchnia boczna pryzmatu prostego jest równa iloczynowi obwodu jego podstawy i wysokości.

; ;

Ćwiczenia:

Podano ukośny trójkątny graniastosłup, którego dwie boczne powierzchnie są wzajemnie prostopadłe, ich wspólna krawędź wynosi 9,6 cm i znajduje się w odległości 4,8 cm i 14 cm od pozostałych dwóch krawędzi. Znajdź obszar bocznej powierzchni pryzmatu.

6. W prostopadłościanie prostokątnym, jego wymiary odpowiadają 1: 2: 3 (3: 7: 8). Całkowita powierzchnia równoległościanu wynosi 352 cm2. Znajdź jego wymiary.

7. Znajdź całkowitą powierzchnię prostego równoległościanu, którego boki podstawy mają 8 dm i 12 dm i tworzą kąt 30 °, a krawędź boczna ma 6 dm.

8. Całkowita powierzchnia sześcianu wynosi 36 cm2. Określ jego przekątną.

9. Znajdź krawędź sześcianu, jeśli jego całkowita powierzchnia wynosi 24 m2.

W prostopadłościanie prostokątnym boki podstawy mają 10 cm i 17 cm, jedna z przekątnych podstawy ma 21 cm Duża przekątna równoległościanu wynosi 29 cm Określ całkowitą powierzchnię równoległościanu.

15. W prostym równoległościanie boki podstawy mają 3 cm i 8 cm, kąt między nimi wynosi 60 °. Powierzchnia boczna równoległościanu wynosi 220 cm2. Określ całkowitą powierzchnię równoległościanu, obszar mniejszego przekroju przekątnego.

16. Przekątna zwykłego czworokątnego pryzmatu wynosi 9 cm, a całkowita powierzchnia pryzmatu wynosi 144 cm2. Określ bok podstawy i boczną krawędź pryzmatu.

OBJĘTOŚĆ PRYZMATU BEZPOŚREDNIEGO

PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI WOLUMENÓW

  1. Dwie równe wielościany mają taką samą objętość, niezależnie od ich położenia w przestrzeni.
  2. Objętość wielościanu, która jest sumą dwóch sąsiednich wielościanów, jest równa sumie objętości tych wielościanów.
  3. Jeżeli pierwszy z dwóch wielościanów jest całkowicie zawarty w drugim, to objętość pierwszego wielościanu nie przekracza objętości drugiego wielościanu.

Definicja: Wielościany, które mają równe objętości są nazywane równymi.

Definicja: Jednostką objętości jest objętość sześcianu, którego krawędź jest równa jednostce długości.


OBJĘTOŚĆ PRYZMATU BEZPOŚREDNIEGO

Twierdzenie: Objętość prostokątnego równoległościanu jest równa iloczynowi jego wymiarów liniowych.

– wymiary liniowe (pomiary)

Twierdzenie: Objętość prostego pryzmatu jest równa iloczynowi powierzchni podstawy przez wysokość pryzmatu.

Dany:

ABCA 1 B 1 C 1 - pryzmat prosty;

- podstawa pryzmatu;

; ;

OBJĘTOŚĆ POCHYLNEGO PRYZMATU

Twierdzenie: Objętość nachylonego pryzmatu jest równa iloczynowi powierzchni prostopadłego przekroju pryzmatu przez jego boczną krawędź.

Dany:

- pochylony pryzmat;

- żebro boczne;

- przekrój prostopadły;

Udowodnić:

Konsekwencja: Objętość pochylonego pryzmatu jest równa iloczynowi powierzchni podstawy i wysokości pryzmatu.

Ćwiczenia:

1. W nachylonym równoległościanie boki prostopadłego odcinka, równe 3 cm i 4 cm, tworzą ze sobą kąt 30 °. Boczna krawędź równoległościanu ma 1 dm. Znajdź objętość równoległościanu.

2. Podstawą pryzmatu jest regularny trójkąt o boku 4 cm, boczna krawędź pryzmatu ma 6 cm i tworzy kąt 60 ° z płaszczyzną podstawy. Znajdź objętość pryzmatu i obszar prostopadłego przekroju pryzmatu.

3. Podstawą prostego równoległościanu jest równoległobok, którego jeden z kątów wynosi 30 °. Powierzchnia podstawy równoległościanu wynosi 16 dm 2. Powierzchnie powierzchni bocznych równoległościanu wynoszą 24 dm2 i 48 dm2. Znajdź objętość równoległościanu.

4. W prostopadłościanie prostokątnym boki podstawy są na 7:24, a powierzchnia przekroju przekątnej wynosi 50 cm2. Znajdź obszar bocznej powierzchni równoległościanu.

5. U podstawy prostego pryzmatu leży romb o boku a i kącie 60 °. Przekrój poprowadzony przez dużą przekątną podstawy i wierzchołek kąta rozwartego drugiej podstawy jest trójkątem prostokątnym. Znajdź całkowitą powierzchnię pryzmatu.

6. Powierzchnie powierzchni bocznych prostego trójkątnego pryzmatu wynoszą 425 cm2, 250 cm2, 225 cm2, a powierzchnia podstawy pryzmatu wynosi 100 cm2. Znajdź objętość pryzmatu.

7. Podano ukośny równoległościan, którego podstawą jest kwadrat o boku 5 cali. Znajdź objętość równoległościanu, jeśli jedna z bocznych krawędzi tworzy kąt 60 ° z każdym sąsiednim bokiem podstawy i jest równa 1 m.

Podstawą prostego graniastosłupa jest trójkąt równoramienny, którego bok boczny wynosi 1 m, a podstawa 1 m 20 cm Boczna krawędź graniastosłupa jest równa wysokości podstawy, opuszczonej do boku. Znajdź całkowitą powierzchnię pryzmatu.

Ryż. 1. Rys. 2.

Ćwiczenia:

  1. Podstawą piramidy jest prostokąt o bokach 12 cm i 16 cm Każda krawędź boczna piramidy ma 26 cm Znajdź wysokość piramidy.
  2. Podstawą piramidy jest równoległobok o bokach 3 cm i 7 cm oraz przekątnej 6 cm, wysokość piramidy wynosi 4 cm i przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych równoległoboku. Znajdź boczne krawędzie piramidy.
  3. Wysokość regularnej czworokątnej piramidy wynosi 7 cm, a bok podstawy 8 cm Znajdź boczną krawędź piramidy.
  4. Podstawą piramidy jest trójkąt równoramienny, którego podstawa wynosi 6 cm, a wysokość 9 cm Boczne krawędzie piramidy są sobie równe i każda zawiera 13 cm Znajdź wysokość piramidy.
  5. Podstawą piramidy jest trójkąt równoramienny o podstawie 12 cm i boku bocznym 10 cm Boczne powierzchnie piramidy tworzą równe kąty dwuścienne 45 ° z podstawą. Znajdź wysokość piramidy.

Punkt O jest jednakowo oddalony od wierzchołków trójkąta ABC, dlatego jest środkiem okręgu opisanego wokół tego trójkąta. Środek okręgu opisanego wokół trójkąta prostokątnego jest środkiem przeciwprostokątnej. Punkt O to środek przeciwprostokątnej.

.

; .

; ; ; ; .

; , W związku z tym, .

- zatem trójkąt równoboczny.

; .

z trzech stron, dlatego .

;

; ;

;

.

Odpowiedź: .

Komentarz: Boczna powierzchnia nieregularnej ściętej piramidy jest z definicji obliczana jako suma powierzchni jej bocznych ścian.

Ćwiczenia:

OBJĘTOŚĆ PIRAMIDY

Twierdzenie: Objętość piramidy jest równa jednej trzeciej iloczynu powierzchni podstawy piramidy przez jej wysokość.

Dany:

SABC - piramida;

S (ABC) = S główne.

WIĘC ^ ABC; SO = godz.

Udowodnić:

9. OBJĘTOŚĆ PIRAMIDY CIĘTEJ

Dany:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ścięta piramida;

S (ABCD) = S b.d. ; S (A 1 B 1 C 1 D 1) = S c.o.

h - wysokość ściętej piramidy;

Definiować: V us.pyr. -?

.

Ćwiczenia:

  1. Przekątna kwadratowej podstawy regularnej piramidy wynosi 6 cm, wysokość piramidy 15 cm, znajdź jej objętość.
  2. Boczna krawędź regularnej sześciokątnej piramidy ma 14 dm, bok jej podstawy 2 dm. Znajdź objętość piramidy.
  3. Podstawą piramidy jest romb o boku 15 cm, boczne powierzchnie piramidy są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 °. Duża przekątna podstawy wynosi 24 cm, znajdź objętość piramidy.
  4. Znajdź objętość ściętej piramidy, jeśli powierzchnie jej podstaw wynoszą 98 cm2 i 32 cm2, a wysokość odpowiedniej pełnej piramidy wynosi 14 cm.
  5. W piramidzie przez środek wysokości rysowana jest płaszczyzna równoległa do jej podstawy. Określ objętość powstałej ściętej piramidy, jeśli wysokość tej piramidy wynosi 18 cm, a powierzchnia jej podstawy wynosi 400 cm2.
  6. Znajdź objętość trójkątnej piramidy, której boczne krawędzie są prostopadłe parami i są równe 10 cm, 15 cm, 9 cm.
  7. W trójkątnej ściętej piramidzie wysokość wynosi 10 cm, boki dolnej podstawy mają 27 m, 29 m, 52 m, a obwód górnej podstawy 72 m. Znajdź objętość ściętej piramidy.
  8. Boki podstaw regularnej czworokątnej ściętej piramidy mają 40 cm i 10 cm, a jej całkowita powierzchnia wynosi 3400 cm2. Znajdź objętość ściętej piramidy.

CYLINDER. POWIERZCHNIA I POJEMNOŚĆ CYLINDRA.

Definicja: Bryła geometryczna uzyskana przez obrócenie prostokąta wokół jednego z jej boków nazywana jest prostym okrągłym cylindrem.

Definicja: Walec nazywany jest prostym, jeśli jego tworzące są prostopadłe do płaszczyzn podstaw.

AB- oś symetrii, wysokość cylindra; AB = H ;

OGŁOSZENIE- promień podstawy cylindra; AD = R .

Definicja: Odległość między płaszczyznami podstaw jest wysokością prostego okrągłego walca.

Promień walca to promień jego podstawy. Oś cylindra jest linią prostą przechodzącą przez środki podstaw. Jest równoległy do ​​tworzącej.

Dwa koła są fusy prosty okrągły cylinder. Nazywa się segment łączący punkty okręgów podstaw i prostopadłe do płaszczyzn podstaw tworząca prosty okrągły cylinder.

Definicja: Prostokąt, którego jeden bok jest równy obwodowi podstawy walca, a drugi jego wysokości, nazywany jest rozłożoną stroną walca.

Powierzchnia cylindra składa się z podstaw i powierzchni bocznej. Powierzchnia boczna składa się z generatorów.

W dalszej części rozważymy tylko prosty cylinder, nazywając go po prostu cylindrem dla zwięzłości.

Definicja: Walec nazywany jest równobocznym, jeśli jego wysokość jest równa średnicy podstawy.

Przekroje walca.

Przekrój walca przez płaszczyznę równoległą do jego osi jest prostokątem. Jego dwa boki są tworzącymi walca, a pozostałe dwa są równoległymi cięciwami podstaw.

W szczególności prostokąt jest przekrojem osiowym. Przekrój osiowy- przekrój cylindra przez płaszczyznę przechodzącą przez jego oś.

Przekrój walca przez płaszczyznę równoległą do podstawy - okrąg.

Przekrój cylindra z płaszczyzną nierównoległą do podstawy i jego osią jest owalny.

Twierdzenie: Pole powierzchni bocznej cylindra jest równe iloczynowi obwodu jego podstawy przez wysokość ( Strona S. = 2πRH, gdzie r- promień podstawy cylindra, h- wysokość cylindra).

Definicja: Całkowite pole powierzchni walca to suma pól powierzchni bocznej i dwóch podstaw.

S główne. = πR 2 Strona S. = 2πRH S pełna = 2πRH + 2πR 2.

Rozważać NS -kątny prosty pryzmat. Na n → ∞ obwód wielokąta leżącego u podstawy pryzmatu będzie miał tendencję do obwodu podstawy cylindra, obszar wielokąta leżącego u podstawy pryzmatu będzie miał tendencję do obszaru koła, które jest podstawa cylindra. Tom NS -kątny prosty pryzmat będzie miał objętość prostego okrągłego cylindra.

Definicja: Mówi się, że pryzmat jest wpisany w cylinder, jeśli jego podstawy są wpisane w podstawy cylindra.

Definicja: Mówi się, że cylinder jest wpisany w pryzmat, jeśli jego podstawy są wpisane w podstawy pryzmatu.

Ćwiczenia:

1. Przekątna przekroju osiowego cylindra wynosi 48 cm, a kąt między tą przekątną a tworzącą cylindra wynosi 60 °. Znajdź: wysokość, promień podstawy, obszar podstawy cylindra.

2. Powierzchnia przekroju osiowego cylindra wynosi 10 cm2, a powierzchnia podstawy 5 cm2. Znajdź wysokość cylindra.

3. Promień podstawy cylindra wynosi 4 cm, a powierzchnia jego przekroju osiowego wynosi 72 cm2. Znajdź objętość cylindra.

Kwadrat o boku równym a obraca się wokół zewnętrznej osi równoległej do jego boku. Oś jest usuwana z kwadratu w odległości równej bokowi kwadratu. Znajdź całkowitą powierzchnię i objętość ciała obrotowego.

11. U podstawy prostego graniastosłupa leży kwadrat o boku 2. Krawędzie boczne są równe

12. U podstawy prostego graniastosłupa leży trójkąt prostokątny z nogami 6 i 8. Boczne krawędzie są równe ... Znajdź objętość cylindra opisaną wokół tego pryzmatu.

13. Znajdź głośność część cylindra pokazana na rysunku №1.

14. Znajdź głośność część cylindra pokazana na rysunku №2.

Ryż. # 1. Ryż. nr 2.

STOŻEK. POWIERZCHNIA I OBJĘTOŚĆ STOŻKA.

Stożek (z greckiego „konos”)- Szyszka.

Stożek jest znany ludziom od czasów starożytnych. W 1906 roku odkryto książkę „O metodzie”, napisaną przez Archimedesa (287-212 pne), ta książka zawiera rozwiązanie problemu objętości wspólnej części przecinających się cylindrów. Archimedes mówi, że odkrycie to należy do starożytnego greckiego filozofa Demokryta (470-380 p.n.e.), który korzystając z tej zasady uzyskał formuły obliczania objętości piramidy i stożka.

Okrągły stożek zwane ciałem składającym się z koła - podstawa stożka, punkt nie leżący w płaszczyźnie tego okręgu - stożek szczyty a wszystkie odcinki łączące wierzchołek stożka z punktami podstawy (ryc. 1) Nazywa się odcinki łączące wierzchołek stożka z punktami koła podstawy generatory stożka.

Stożek nazywa się bezpośredni jeśli linia prosta łącząca wierzch stożka ze środkiem podstawy jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

W przypadku stożka prostego podstawa wysokości pokrywa się ze środkiem podstawy. Oś stożka prostego nazywana jest linią prostą zawierającą jego wysokość.

Definicja: Geometryczne ciało uzyskane przez obrócenie trójkąta prostokątnego wokół jednej z nóg nazywa się prawym okrągłym stożkiem.

Definicja: Wysokość stożka nazywana jest prostopadłą, obniżoną od wierzchołka do płaszczyzny podstawy.

Definicja: Przeciągnięcie powierzchni bocznej stożka to wycinek koła, którego promień jest równy tworzącej stożka, a długość łuku jest obwodem podstawy stożka.

Sekcje stożkowe.

Płaszczyzna prostopadła do osi stożka przecina stożek w kole, a powierzchnia boczna w okrąg o środku osi stożka.

Płaszczyzna prostopadła do osi stożka odcina od niego mniejszy stożek. Pozostała część nazywana jest stożkiem ściętym.

Przekrój stożka przez płaszczyznę przechodzącą przez jego wierzchołek jest trójkątem równoramiennym, którego boki są tworzącymi stożka.

Definicja: Osiowa sekcja stożka nazywana jest sekcją przechodzącą przez oś stożka.

Wyjście: Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym, którego podstawa jest średnicą podstawy stożka, a boki są tworzącymi stożka.

Powierzchnia stożka składa się z podstawy i powierzchni bocznej.

Obszar bocznej powierzchni stożka można znaleźć według wzoru:

Strona S. = πRL, gdzie r- promień podstawy, L- długość tworząca.

Całkowita powierzchnia stożka znajduje się według wzoru:

S pełne = πRL + πR 2, gdzie r- promień podstawy, L- długość tworząca.

Objętość okrągłego stożka wynosi V = 1/3 πR 2 H, gdzie r- promień podstawy, h- wysokość stożka.

Definicja: Piramida wpisana w stożek to piramida, której podstawą jest wielokąt wpisany w obwód podstawy stożka, a wierzchołek jest wierzchołkiem stożka. Boczne krawędzie piramidy wpisane w stożek są generatorami stożka.

Definicja: Piramida opisana wokół stożka, nazywana jest piramidą, w której podstawą jest wielokąt opisany w pobliżu podstawy stożka, a wierzchołek pokrywa się z wierzchołkiem stożka.

Ćwiczenia:

1. Trójkąt równoramienny o kącie wierzchołkowym 120° i boku 20 cm obraca się wokół podstawy. Znajdź objętość ciała obrotowego.

2. Znajdź wysokość stożka, jeśli powierzchnia jego powierzchni bocznej wynosi 427,2 cm 2, a tworząca 17 cm.

Trójkąt prostokątny, którego nogi mają 3 cm i 4 cm, obraca się wokół osi równoległej do przeciwprostokątnej i przechodzącej przez wierzchołek kąta prostego. Znajdź całkowitą powierzchnię i objętość ciała obrotowego.

STOŻEK ŚCIĘTY. POWIERZCHNIA I OBJĘTOŚĆ STOŻKA TOCZONEGO

Definicja: Stożek ścięty to część stożka zamknięta między jego podstawą a sekcją równoległą do podstawy. Okręgi leżące w równoległych płaszczyznach nazywane są podstawami ściętego stożka.

Definicja: Bryła geometryczna uzyskana przez obrócenie prostokątnego trapezu wokół jego boku bocznego, prostopadłego do podstawy, nazywana jest prawym okrągłym stożkiem ściętym.

Definicja: tworząca stożka ściętego jest częścią tworzącą pełnego stożka, zamkniętą między podstawami.

Definicja: Wysokość ściętego stożka to odległość między jego podstawami.

Zadanie: Niech będzie podany stożek ścięty, którego promienie podstaw i wysokość są znane: r = 5, R = 7, H = Ö60. Znajdź tworzącą ściętego stożka.

Definicja: Linia prosta łącząca środki podstaw nazywana jest osią ściętego stożka. Sekcja przechodząca przez oś nazywana jest osiową. Przekrój osiowy to trapez równoramienny.

Zadanie: Znajdź obszar przekroju osiowego, jeśli znasz promień górnej podstawy, wysokość i tworzącą: R = 6, H = 4, L = 5.

Obszar bocznej powierzchni ściętego stożka można znaleźć według wzoru:

Strona S = π (R + r) L,

gdzie r - promień podstawy dolnej, r L - długość tworząca.

Całkowita powierzchnia ściętego stożka można znaleźć według wzoru:

S pełne = πR 2 + πr 2 + π (R + r) L,

gdzie r - promień podstawy dolnej, r - promień podstawy górnej, L - długość tworząca.

Objętość stożka ściętego można znaleźć tak:

V = 1/3 πH (R 2 + Rr + r 2),

gdzie r - promień podstawy dolnej, r - promień podstawy górnej, h - wysokość stożka.

Ćwiczenia:

Z historii pochodzenia.

Zwyczajowo nazywa się piłkę ciałem ograniczonym kulą, tj. kula i kula to różne ciała geometryczne. Jednak oba słowa „kula” i „kula” pochodzą od tego samego greckiego słowa „sefira” – piłka. W tym przypadku słowo „piłka” powstało z przejścia spółgłosek sf na w. W XI księdze Początków Euklides definiuje kulę jako figurę opisaną przez półkole obracające się wokół ustalonej średnicy. W czasach starożytnych kula cieszyła się dużym szacunkiem. Obserwacje astronomiczne nad firmamentem niezmiennie przywoływały obraz kuli. Zakres od zawsze był szeroko stosowany w różnych dziedzinach nauki i techniki.

Definicja: Geometryczne ciało uzyskane przez obrót półokręgiem wokół jego średnicy nazywa się kulą.

Definicja: Promień kuli (kuli) to odcinek łączący środek kuli (kuli) z dowolnym z jej punktów.

Definicja: Akord sfery to odcinek, który łączy dowolne dwa jej punkty.

Definicja: Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez jej środek.

Przekrój kuli przez płaszczyznę.

Dowolny odcinek kuli przez płaszczyznę jest kołem. Środek tego okręgu jest podstawą prostopadłej opuszczonej ze środka kuli na płaszczyznę cięcia. Sekcja przechodząca przez środek kuli nazywana jest sekcją średnicową (duże koło).

Płaszczyzna styczna do sfery.

Płaszczyzna, która ma tylko jeden punkt wspólny z kulą, nazywana jest płaszczyzną styczną do kuli, a ich wspólny punkt nazywa się punktem styczności płaszczyzny i kuli.

Wielościany nie tylko zajmują poczesne miejsce w geometrii, ale także występują w Życie codzienne każda osoba. Nie wspominając o sztucznie tworzonych przedmiotach gospodarstwa domowego w postaci różnych wielokątów, od pudełka zapałek po elementy architektoniczne, kryształy w postaci sześcianu (sól), pryzmatu (kryształu), piramidy (scheelit), ośmiościanu (diamentu) itp. również występują w przyrodzie.

Pojęcie wielościanu, rodzaje wielościanów w geometrii

Geometria jako nauka zawiera sekcję stereometrii, która bada cechy i właściwości trójwymiarowych ciał, których boki są w przestrzeń trójwymiarowa utworzone przez ograniczone płaszczyzny (ściany), nazywane są „wielościanami”. Rodzaje wielościanów mają kilkunastu przedstawicieli, różniących się liczbą i kształtem twarzy.

Niemniej jednak wszystkie wielościany mają wspólne właściwości:

  1. Wszystkie mają 3 integralne elementy: ścianę (powierzchnię wieloboku), wierzchołek (narożniki utworzone na styku ścian), krawędź (bok figury lub segment utworzony na styku dwóch ścian).
  2. Każda krawędź wielokąta łączy dwie i tylko dwie ściany, które sąsiadują ze sobą.
  3. Wypukłość oznacza, że ​​ciało znajduje się całkowicie tylko po jednej stronie płaszczyzny, na której leży jedna z twarzy. Zasada dotyczy wszystkich ścian wielościanu. Takie kształty geometryczne w stereometrii nazywane są wielościanami wypukłymi. Wyjątkiem są wielościany gwiaździste, które są pochodnymi regularnych wielościanów geometrycznych.

Wielościany można z grubsza podzielić na:

  1. Rodzaje wielościanów wypukłych, składające się z następujących klas: zwykła lub klasyczna (graniastosłup, piramida, równoległościan), regularna (zwana również bryłami platońskimi), półregularna (druga nazwa to bryły Archimedesa).
  2. Wielościany niewypukłe (gwiaździste).

Pryzmat i jego właściwości

Stereometria jako gałąź geometrii bada właściwości figur trójwymiarowych, rodzaje wielościanów (w tym pryzmat). Ciało geometryczne nazywamy pryzmatem, który koniecznie ma dwie całkowicie identyczne ściany (nazywa się je również podstawami) leżące w równoległych płaszczyznach oraz n-tą liczbę ścian bocznych w postaci równoległoboków. Z kolei pryzmat ma również kilka odmian, w tym takie rodzaje wielościanów jak:

  1. Równoległościan powstaje, jeśli u podstawy znajduje się równoległobok - wielokąt z 2 parami równych przeciwnych kątów i dwiema parami przystających przeciwległych boków.
  2. ma żebra prostopadłe do podstawy.
  3. charakteryzuje się obecnością kątów skośnych (innych niż 90) między krawędziami a podstawą.
  4. Graniastosłup regularny charakteryzuje się podstawami w widoku o równych krawędziach bocznych.

Główne właściwości pryzmatu:

  • Kongruentne fundamenty.
  • Wszystkie krawędzie pryzmatu są równe i równoległe do siebie.
  • Wszystkie ściany boczne mają kształt równoległoboku.

Piramida

Piramida to ciało geometryczne składające się z jednej podstawy i n-tej liczby trójkątnych ścian połączonych w jednym punkcie - wierzchołku. Należy zauważyć, że jeśli boczne powierzchnie piramidy są koniecznie reprezentowane przez trójkąty, to u podstawy może znajdować się trójkątny wielokąt, czworokąt lub pięciokąt i tak dalej w nieskończoność. W takim przypadku nazwa piramidy będzie odpowiadać wielokątowi u podstawy. Na przykład, jeśli u podstawy piramidy znajduje się trójkąt, to czworokąt jest czworokątem i tak dalej.

Piramidy to wielościany w kształcie stożka. Rodzaje wielościanów z tej grupy, oprócz wymienionych powyżej, obejmują również następujących przedstawicieli:

  1. ma u podstawy wielokąt foremny, a jego wysokość jest rzutowana na środek okręgu wpisanego w podstawę lub otaczającego ją.
  2. Piramida prostokątna powstaje, gdy jedna z bocznych krawędzi przecina się z podstawą pod kątem prostym. W tym przypadku słusznie jest również nazwać tę krawędź wysokością piramidy.

Właściwości piramidy:

  • Jeśli wszystkie boczne krawędzie piramidy są przystające (tej samej wysokości), to wszystkie przecinają się z podstawą pod tym samym kątem, a wokół podstawy można narysować okrąg, którego środek pokrywa się z rzutem wierzchołka piramidy. piramida.
  • Jeśli u podstawy piramidy leży wielokąt foremny, wszystkie krawędzie boczne są przystające, a ściany są trójkątami równoramiennymi.

Wielościan regularny: rodzaje i właściwości wielościanów

W stereometrii szczególne miejsce zajmują ciała geometryczne o absolutnie równych względem siebie krawędziach, na których wierzchołkach jest połączona taka sama liczba krawędzi. Ciała te nazywane są bryłami platońskimi lub regularnymi wielościanami. Istnieje tylko pięć rodzajów wielościanów o takich właściwościach:

  1. Czworościan.
  2. Prostopadłościan.
  3. Oktaedr.
  4. Dwunastościan.
  5. Dwudziestościan.

Wielościany regularne zawdzięczają swoją nazwę starożytnemu greckiemu filozofowi Platonowi, który w swoich pracach opisał te geometryczne ciała i połączył je z żywiołami natury: ziemią, wodą, ogniem, powietrzem. Piąta figura została nagrodzona podobieństwem ze strukturą wszechświata. Jego zdaniem atomy klęski żywiołowe kształtem przypominają rodzaje wielościanów foremnych. Ze względu na ich najbardziej ekscytującą właściwość, symetrię, te geometryczne bryły cieszyły się dużym zainteresowaniem nie tylko starożytnych matematyków i filozofów, ale także architektów, malarzy i rzeźbiarzy wszystkich czasów. Obecność tylko 5 rodzajów wielościanów o absolutnej symetrii uznano za fundamentalne znalezisko, przyznano im nawet związek z boską zasadą.

Sześcian i jego właściwości

W formie sześcioboku następcy Platona przyjęli podobieństwo do budowy atomów ziemi. Oczywiście w chwili obecnej ta hipoteza została całkowicie obalona, ​​co jednak nie przeszkadza postaciom w dzisiejszych czasach przyciągać estetyką sławnych postaci.

W geometrii sześcian, znany również jako sześcian, jest uważany za szczególny przypadek równoległościanu, który z kolei jest rodzajem pryzmatu. W związku z tym właściwości sześcianu są związane z jedyną różnicą, że wszystkie ściany i rogi sześcianu są sobie równe. Z tego wynikają następujące właściwości:

  1. Wszystkie krawędzie sześcianu są przystające i leżą w równoległych płaszczyznach względem siebie.
  2. Wszystkie twarze są przystającymi kwadratami (jest ich 6 w sześcianie), z których każdy może być traktowany jako podstawa.
  3. Wszystkie kąty płaszczyzn to 90.
  4. Z każdego wierzchołka emanuje taka sama liczba krawędzi, czyli 3.
  5. Sześcian ma 9, które przecinają się na przecięciu przekątnych sześcianu, zwanego środkiem symetrii.

Czworościan

Czworościan to czworościan o równych ścianach w postaci trójkątów, których każdy z wierzchołków jest punktem połączenia trzech ścian.

Właściwości czworościanu foremnego:

  1. Wszystkie ściany czworościanu - oznacza to, że wszystkie ściany czworościanu są przystające.
  2. Ponieważ podstawa jest prezentowana poprawnie figura geometryczna, czyli ma równe boki, wtedy ściany czworościanu zbiegają się pod tym samym kątem, to znaczy wszystkie kąty są równe.
  3. Suma kątów płaskich na każdym z wierzchołków wynosi 180, ponieważ wszystkie kąty są równe, to każdy kąt czworościanu foremnego wynosi 60.
  4. Każdy z wierzchołków jest rzutowany na punkt przecięcia wysokości przeciwległej (ortocentrum) ściany.

Oktaedron i jego właściwości

Opisując typy wielościanów foremnych nie można nie zauważyć takiego obiektu jak ośmiościan, który można wizualnie przedstawić w postaci dwóch czworokątnych regularnych piramid sklejonych ze sobą podstawami.

Właściwości ośmiościanu:

  1. Już sama nazwa geometrycznego ciała sugeruje liczbę jego twarzy. Oktaed składa się z 8 przystających trójkątów równobocznych, na każdym z wierzchołków zbiega się taka sama liczba ścian, czyli 4.
  2. Ponieważ wszystkie ściany ośmiościanu są równe, jego kąty międzyfasetowe są również równe, z których każdy wynosi 60, a suma kątów płaskich każdego z wierzchołków wynosi 240.

Dwunastościan

Jeśli wyobrazimy sobie, że wszystkie ściany geometrycznego ciała są pięciokątem foremnym, otrzymujemy dwunastościan - figurę 12 wielokątów.

Właściwości dwunastościanu:

  1. W każdym wierzchołku przecinają się trzy ściany.
  2. Wszystkie ściany są równe i mają tę samą długość krawędzi i powierzchnię.
  3. Dwunastościan ma 15 osi i płaszczyzn symetrii, a każda z nich przechodzi przez wierzchołek twarzy i środek przeciwległej do niej krawędzi.

dwudziestościan

Nie mniej interesujący niż dwunastościan, figura dwudziestościanu jest trójwymiarowym geometrycznym ciałem o 20 równych ścianach. Wśród właściwości regularnego dwudziestościanu są:

  1. Wszystkie ściany dwudziestościanu są trójkątami równoramiennymi.
  2. Pięć ścian zbiega się w każdym wierzchołku wielościanu, a suma kątów sąsiednich wierzchołków wynosi 300.
  3. Dwudziestościan, podobnie jak dwunastościan, ma 15 osi i płaszczyzn symetrii przechodzących przez punkty środkowe przeciwległych ścian.

Wielokąty półregularne

Oprócz brył platońskich do grupy wielościanów wypukłych należą również bryły Archimedesa, które są obciętymi wielościanami foremnymi. Rodzaje wielościanów z tej grupy mają następujące właściwości:

  1. Ciała geometryczne mają parami równe ściany kilku typów, na przykład czworościan ścięty, podobnie jak czworościan foremny, ma 8 ścian, ale w przypadku ciała Archimedesa 4 ściany będą trójkątne, a 4 sześciokątne.
  2. Wszystkie kąty jednego wierzchołka są przystające.

Wielościany gwiaździste

Przedstawicielami nieobjętościowych typów ciał geometrycznych są wielościany gwiaździste, których powierzchnie przecinają się ze sobą. Mogą być tworzone przez połączenie dwóch regularnych trójwymiarowych ciał lub poprzez wydłużenie ich twarzy.

Tak więc takie wielościany gwiaździste są znane jako: ośmiościan gwiaździsty, dwunastościan, dwudziestościan, sześcian, dwudziestościan, dwudziestościan.

Każde ciało geometryczne składa się z muszli, czyli zewnętrznej powierzchni, i jakiegoś materiału, który ją wypełnia (ryc. 42). Każda geometryczna bryła ma swój własny kształt, który różni się kompozycją, strukturą i rozmiarem.

Kompozycja kształtu ciała geometrycznego to zestawienie przedziałów powierzchni, które go tworzą (tabela 4). Tak więc kształt prostokątnego równoległościanu składa się z sześciu przedziałów, powierzchni (ścian): dwa z nich to podstawy równoległościanu, a pozostałe cztery przedziały tworzą zamkniętą wypukłą powierzchnię łamaną, zwaną powierzchnią boczną.

Ryc. 42. Korpus geometryczny: 1 - skorupa; 2 - przedziały powierzchni tworzących skorupę ciała

Struktura formularza bryła geometryczna jest charakterystyką kształtu, która pokazuje zależność i położenie przedziałów powierzchni względem siebie (patrz Rys. 44).

Te cechy są ze sobą powiązane iw największym stopniu determinują kształt geometrycznego ciała i dowolnego innego obiektu.

Według kształtu proste bryły geometryczne dzielą się na wielościany i bryły obrotowe.

Samolot to szczególny przypadek powierzchni.

Wielościany - ciała geometryczne, których skorupa jest utworzona przez przedziały samolotów (ryc. 43, a).

Faces - przedziały płaszczyzn, które tworzą powierzchnię (powłokę) wielościanu; krawędzie - segmenty linii, wzdłuż których przecinają się ściany; wierzchołki to końce żeber.

Organy rotacyjne - ciała geometryczne (ryc. 43, b), których powłoka jest powierzchnią obrotową (na przykład kulą) lub składa się z odcinka powierzchni obrotowej i jednej (dwóch) sekcji płaszczyzn (na przykład a stożek, cylinder itp.).

Ryż. 43. Wielościany (a) i ciała obrotowe (b): 1 - powłoka ciała geometrycznego;
2 - przedziały samolotów; 3 - przedziały powierzchni obrotowych

4. Kompozycja prostych brył geometrycznych




Struktura formy wpływa na: wygląd zewnętrzny geometryczne ciało. Rozważmy to na przykładzie prostych i nachylonych cylindrów (ryc. 44), których podstawowe przedziały są rozmieszczone w różny sposób względem siebie.

Ryż. 44. Różnice strukturalne w kształcie cylindrów

Ryż. 45. Zmiany w kształcie cylindrów



Ryż. 46. ​​Czworokątne piramidy o różnych kształtach

Porównując obrazy walców na rysunku 45 można stwierdzić, że zmiana położenia jednej z podstaw prowadzi do zmiany kształtu geometrycznego ciała.

Zmiana wysokości, szerokości, długości, średnicy podstawy, kąta pochylenia osiowego, położenia podstaw względem siebie znacząco wpływa na kształt brył geometrycznych. Rozważmy na przykład czworokątne piramidy o różnych kształtach (ryc. 46).

Ryż. 47. Bryły geometryczne

TEORIA POLITOPÓW

Fasetowane bryły geometryczne

Fasetowany korpus geometryczny lub wielościan to część przestrzeni ograniczona zbiorem skończonej liczby płaskich wielokątów połączonych w taki sposób, że każdy bok dowolnego wielokąta jest bokiem innego wielokąta (nazywanego sąsiednim) i wokół każdego wierzchołka tam to jeden cykl wielokątów. Upraszczając powyższą definicję, otrzymujemy definicję wielościanu znaną z podręcznika szkolnego.

Wielościan- bryła geometryczna, ograniczona ze wszystkich stron płaskimi wielokątami, zwanymi ścianami. Boki ścian nazywane są krawędziami wielościanu, a końce krawędzi nazywane są wierzchołkami wielościanu.

Z historii

Matematyka grecka, w której po raz pierwszy pojawiła się teoria wielościanów, rozwinęła się pod wielkim wpływem słynnego myśliciela Platona.

Platon(427–347 pne) - wielki starożytny filozof grecki, założyciel Akademii i przodek tradycji platonizmu. Jedną z zasadniczych cech jego nauczania jest rozważanie przedmiotów idealnych - abstrakcji. Matematyka, przyjmując idee Platona, bada abstrakcyjne, idealne przedmioty od czasów Euklidesa. Jednak zarówno sam Platon, jak i wielu starożytnych matematyków nadało terminowi ideał nie tylko znaczenie abstrakcyjne, ale także znaczenie najlepsze. Zgodnie z tradycją sięgającą starożytnych matematyków, spośród wszystkich wielościanów najlepsze są te, które mają na twarzach wielokąty foremne.

Wielościany można klasyfikować według kilku kryteriów: na przykład czworościany, pięciościany itp. Rozróżnia się liczbą twarzy.

Rozróżnij wielościany regularne i półregularne. Wielościany regularne to takie, w których wszystkie ściany są równymi wielokątami regularnymi, a wszystkie kąty na wierzchołkach są równe. Jeśli twarze wielościanu są różny wielokąty foremne, następnie otrzymuje się wielościan, który nazywa się półregularny (równie kątowy półregularny). Wielościan półregularny to wielościan wypukły, którego ściany są wielokątami foremnymi (być może o różnej liczbie boków), a wszystkie kąty wielościanu są równe.

Oprócz wielościanów regularnych i półregularnych piękne kształty mają tak zwane wielościany regularne gwiaździste. Uzyskuje się je z wielościanów foremnych przez wydłużanie ścian lub krawędzi w taki sam sposób, jak wielokąty z gwiazdami foremnymi uzyskuje się przez wydłużanie boków wielokątów foremnych.

Spośród wielu wielościanów wyróżniamy najbardziej znane: pryzmat i piramidę (ryc. 1).

Pryzmat nazywany jest wielościanem, który ma dwie identyczne, równoległe do siebie ściany - podstawy, a pozostałe - ściany boczne - równoległoboki.

Piramida to wielościan, w którym jedną ścianę - dowolny wielokąt - przyjmuje się za podstawę, a pozostałe (boczne) ściany to trójkąty o wspólnym wierzchołku, zwane szczytem piramidy.

Na ryc. 2 przedstawia kilka pryzmatów i piramid. Piramida, której podstawa ma kształt trójkąta, nazywana jest piramidą trójkątną. Możemy więc mówić o kwadracie, pięcioboku itp. piramidy rys. 2, a i 2, b... Każda twarz może służyć jako podstawa trójkątnej piramidy.

Na ryc. 2, w, 2, g i 2, D podano przykłady pewnej klasy wielościanów, których wierzchołki można podzielić na dwa zestawy o tej samej liczbie punktów; punkty każdego z tych zbiorów są wierzchołkami p-kąta, a płaszczyzny obu p-gonów są równoległe. Jeśli te dwa p-kąty (podstawy) są przystające i są położone tak, że wierzchołki jednego p-kąta są połączone z wierzchołkami drugiego p-kąta równoległymi odcinkami linii prostych, to taki wielościan nazywa się p-gon pryzmat. Przykładami dwóch pryzmatów o kącie p są pryzmat trójkątny (p = 3) na ryc. 2, v i graniastosłup pięciokątny (p = 5) na ryc. 2, g... Jeśli podstawy są umieszczone tak, że wierzchołki jednego p-kąta są połączone z wierzchołkami drugiego p-kąta linią łamaną zygzakowatą składającą się z 2p odcinków linii prostej, jak na ryc. 2, D, wtedy taki wielościan nazywa się antypryzmatem p-gonalnym.

Oprócz dwóch podstaw pryzmat p-gonalny ma p ścianki - równoległoboki. Jeśli równoległoboki mają kształt prostokątów, to pryzmat nazywa się prostym. W takim pryzmacie krawędzie ścian bocznych są prostopadłe do podstawy. Pryzmat, którego podstawy nie są równoległe, nazywa się obciętym.

2. Wielościany regularne. Wypukły polytope nazywa się regularnym, jeśli spełnia następujące dwa warunki:

Wszystkie jego powierzchnie są przystającymi wielokątami foremnymi;

Każdy wierzchołek ma taką samą liczbę ścian.

Jeśli wszystkie ściany wielościanu foremnego są wielokątami foremnymi, to w wielościanie foremnym wszystkie kąty płaskie, wielościenne i dwuścienne są równe.

Jeśli wszystkie ściany są regularnymi p-gonami, a q z nich sąsiaduje z każdym wierzchołkiem, oznaczamy taki regularny wielokąt (p, q). Pierwsza liczba w nawiasach wskazuje, ile boków ma każda ściana, druga to liczba ścian przylegających do każdego wierzchołka. Oznaczenie to zaproponował L. Schläfli (1814-1895), szwajcarski matematyk, który posiada wiele eleganckich wyników z geometrii i Analiza matematyczna... Istnieją niewypukłe wielościany, których twarze się przecinają i które są nazywane „regularnymi wielościanami gwiaździstymi”. W geometrii konwencjonalnie regularne wielościany są rozumiane jako wyłącznie wypukłe wielościany regularne

Wielościany regularne są czasami nazywane bryłami platońskimi, ponieważ zajmują ważne miejsce w filozoficznym obrazie świata opracowanym przez wielkiego myśliciela. Starożytna Grecja Platon.

Istnieje 5 rodzajów wielościanów foremnych: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan.

TETRAHEDRON to regularny wielościan, którego powierzchnia składa się z czterech regularnych trójkątów.

SZEŚCIAN (SZEŚCIAN) to regularny wielościan, którego powierzchnia składa się z sześciu regularnych czworokątów (kwadratów

Oktaedron to regularny wielościan, którego powierzchnia składa się z ośmiu regularnych trójkątów.

Dwunastościan to wielościan foremny, którego powierzchnia składa się z dwunastu pięciokątów foremnych.

ICOSAEDR to wielościan foremny, którego powierzchnia składa się z dwudziestu trójkątów foremnych.

Nazwy tych wielościanów pochodzą ze starożytnej Grecji i wskazują liczbę twarzy:

„Hedra” - krawędź;

„Tetra” - 4;

„Heksa” - 6;

"Okta" - 8;

Ikosa - 20;

Dodeka - 12.

Na ryc. 3 pokazuje regularne wielościany

Z historii

Platon wierzył, że świat zbudowany jest z czterech „elementów” – ognia, ziemi, powietrza i wody, a atomy tych „elementów” mają postać czterech regularnych wielościanów. Czworościan uosabiał ogień, ponieważ jego wierzchołek skierowany jest w górę, jak płonący płomień; dwudziestościan - jako najbardziej opływowy - woda; sześcian to najbardziej stabilna z figur - ziemia, a ośmiościan to powietrze. W naszych czasach układ ten można porównać do czterech stanów skupienia materii – stałego, ciekłego, gazowego i ognistego. Piąty wielościan, dwunastościan, symbolizował cały świat i był czczony jako najważniejszy. Była to jedna z pierwszych prób wprowadzenia idei systematyzacji do nauki.

Starożytni Grecy postrzegali dwunastościan jako kształt wszechświata. Zbadali także wiele właściwości geometrycznych brył platońskich; owoce ich badań można znaleźć w 13. księdze Zasad Euklidesa.

Badanie brył platońskich i związanych z nimi postaci trwa do dziś. Chociaż piękno i symetria są głównymi motywami współczesnych badań, mają również pewną wartość naukową, zwłaszcza w krystalografii. Kryształy sól kuchenna, tioantymonek sodu i ałun chromowy występują naturalnie w postaci odpowiednio sześcianu, czworościanu i oktaedru. Dwudziestościan i dwunastościan nie występują wśród form krystalicznych, ale można je zaobserwować wśród form mikroskopijnych organizmów morskich zwanych radiolarianami.

Właściwości wielościanów foremnych... Wierzchołki każdego wielościanu foremnego leżą na sferze (co nie jest zaskakujące, jeśli pamiętamy, że wierzchołki każdego wielokąta foremnego leżą na okręgu). Oprócz tego obszaru, zwanego „obszarem opisanym”, istnieją jeszcze dwa inne ważne obszary. Jedna z nich, „sfera środkowa”, przechodzi przez środki wszystkich krawędzi, a druga, „sfera wpisana”, dotyka wszystkich twarzy w ich środkach. Wszystkie trzy sfery mają wspólny środek, który nazywa się środkiem wielościanu.

Liczba regularnych wielościanów... Naturalne jest pytanie, czy oprócz brył platońskich istnieją inne regularne wielościany.

Bryły platońskie są trójwymiarowym odpowiednikiem płaskich wielokątów foremnych. Istnieje jednak istotna różnica między przypadkiem dwuwymiarowym a trójwymiarowym: istnieje nieskończenie wiele różnych wielokątów foremnych, ale tylko pięć różnych wielościanów foremnych. Dowód na to znany jest od ponad dwóch tysięcy lat; z tym dowodem i badaniem pięciu ciał regularnych, Początki Euklidesa kończą się

Jak pokazują poniższe proste rozważania, odpowiedź musi brzmieć „nie”. Niech (p, q) będzie dowolnym regularnym politopem. Ponieważ jej ściany są regularnymi p-gonami, ich kąty wewnętrzne, jak łatwo wykazać, są równe (180 - 360/p) lub 180 (1 - 2/p) stopni. Ponieważ wielościan (p, q) jest wypukły, suma wszystkich kątów wewnętrznych wzdłuż ścian przylegających do dowolnego z jego wierzchołków musi być mniejsza niż 360 stopni. Ale każdy wierzchołek sąsiaduje z q ścianami, więc nierówność musi się utrzymać.

gdzie symbol< означает "меньше чем". После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду

Łatwo zauważyć, że p i q muszą być większe niż 2. Zastępując p = 3 w (1), stwierdzamy, że jedyne dopuszczalne wartości q w tym przypadku to 3, 4 i 5, tj. otrzymujemy politopy (3, 3), (3, 4) i (3, 5). Dla p = 4 jedyną prawidłową wartością dla q jest 3, tj. polytope (4, 3), dla p = 5 nierówność (1) spełnia również tylko q = 3, tj. wielościan (5, 3). Dla p>5 nie ma dopuszczalnych wartości q. W konsekwencji nie ma innych regularnych wielościanów poza ciałami Platona.

3. Wielościany półregularne. Powyżej rozważyliśmy wielościany regularne, tj. takie wielościany wypukłe, których ściany są równymi wielokątami foremnymi, a na każdym wierzchołku zbiega się ta sama liczba ścian. Jeżeli w tej definicji założymy, że ścianami wielościanu mogą być różne wielokąty foremne, to otrzymujemy wielościany zwane półregularnymi (równie kątowymi półregularnymi).

Wielościan półregularny to wielościan wypukły, którego ściany są wielokątami foremnymi (być może o różnej liczbie boków), a wszystkie kąty wielościanu są równe.

Wielościany półregularne zawierają regularne graniastosłupy n-kątne, których wszystkie krawędzie są równe. Na przykład regularny pryzmat pięciokątny na rysunku 4, a ma dwa pięciokąty foremne z licami - podstawy pryzmatu i pięć kwadratów tworzących powierzchnię boczną pryzmatu. Do wielościanów półregularnych należą również tzw. antypryzmaty. Na rysunku 4 b widzimy pięciokątny antypryzmat uzyskany z pięciokątnego pryzmatu przez obrócenie jednej z podstaw względem drugiej o kąt 36. Każdy wierzchołek górnej i dolnej podstawy jest połączony z dwoma najbliższymi wierzchołkami drugiej podstawy.

a B C

Oprócz tych dwóch nieskończonych serii wielościanów półregularnych, istnieje jeszcze 13 wielościanów półregularnych, które po raz pierwszy odkrył i opisał Archimedes - są to ciała Archimedesa.

Najprostsze z nich uzyskuje się z wielościanów foremnych metodą „obcinania”, polegającą na odcinaniu narożników wielościanu przez płaszczyzny. Jeśli odetniemy narożniki czworościanu płaszczyznami, z których każda odcina jedną trzecią jego krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka, otrzymamy ścięty czworościan o ośmiu ścianach (ryc. 4, v). Spośród nich cztery to sześciokąty foremne, a cztery to trójkąty foremne. W każdym wierzchołku tego wielościanu zbiegają się trzy twarze.

Jeśli odetniemy w ten sposób wierzchołki ośmiościanu i dwudziestościanu, otrzymamy odpowiednio ośmiościan ścięty (ryc. 5, a) i dwudziestościan ścięty (ryc. 5, b). Zwróć uwagę, że powierzchnia piłki nożnej ma kształt ściętego dwudziestościanu. Ścięty sześcian (ryc. 5, c) i ścięty dwunastościan (ryc. 5, d) można również uzyskać z sześcianu i dwunastościanu.

a B C D

Rozważyliśmy 4 z 13 wielościanów półregularnych opisanych przez Archimedesa. Reszta to wielościany bardziej złożonego typu.

Z historii

Kosmologiczna hipoteza Keplera jest dość oryginalna, w której próbował powiązać niektóre właściwości Układ Słoneczny o właściwościach wielościanów foremnych. Kepler zasugerował, że odległości między sześcioma znanymi wówczas planetami wyrażane są w rozmiarach pięciu regularnych wielościanów wypukłych (bryła platońska). Pomiędzy każdą parą sfer niebieskich, wzdłuż których zgodnie z tą hipotezą krążą planety, Kepler wpisał jedną z brył platońskich. Oktaedron opisany jest wokół sfery Merkurego, planety najbliższej Słońcu. Ten ośmiościan jest wpisany w sferę Wenus, wokół której opisany jest dwudziestościan. Wokół dwudziestościanu opisana jest sfera Ziemi, a wokół niej dwunastościan.

Poważnego kroku w nauce wielościanów dokonał w XVIII wieku Leonard Euler (1707-1783), który bez przesady „wierzył w harmonię z algebrą”. Twierdzenie Eulera o związku między liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu wypukłego, którego dowód Euler opublikował w 1758 r. W „Notatkach Petersburskiej Akademii Nauk”, ostatecznie przyniósł porządek matematyczny w różnorodnym świecie wielościanów .

Wierzchołki + Ściany - Krawędzie = 2.

Elementy symetrii wielościanów foremnych

Niektóre z regularnych i półregularnych ciał występują w naturze w postaci kryształów, inne w postaci wirusów, najprostszych mikroorganizmów

Wielościany gwiaździste

Wielościany gwiaździste są otrzymywane z wielościanów foremnych poprzez wydłużanie ścian lub krawędzi w taki sam sposób, jak wielościany gwiaździste uzyskuje się poprzez wydłużanie boków wielokątów foremnych.

Pierwsze dwie regularne wielościany gwiaździste zostały odkryte przez I. Keplera (1571-1630), a pozostałe dwie zostały zbudowane prawie 200 lat później przez francuskiego matematyka i mechanika L. Poinsota (1777-1859). Dlatego regularne wielościany gwiaździste nazywane są ciałami Keplera-Poinsota.

W swojej pracy „O wielokątach i wielościanach” (1810) Poinsot opisał cztery wielościany regularne, ale kwestia istnienia innych takich wielościanów pozostała otwarta. Odpowiedzi udzielił rok później, w 1811 r., francuski matematyk O. Cauchy (1789-1857). W swoim Investigation of Polyhedra udowodnił, że nie ma innych regularnych wielościanów gwiaździstych.

Zastanów się, które wielościany regularne można wykorzystać do uzyskania wielościanów regularnych gwiaździstych. Z czworościanu, sześcianu i ośmiościanu nie można uzyskać regularnych wielościanów gwiaździstych. Weźmy dwunastościan. Kontynuacja jego krawędzi prowadzi do zastąpienia każdej ściany pięciokątem foremnym w kształcie gwiazdy (ryc. 30, a), w wyniku czego powstaje wielościan, który nazywa się małym dwunastościanem gwiaździstym (ryc. 30, b).

Przy wydłużaniu ścian dwunastościanu pojawiają się dwie możliwości. Po pierwsze, jeśli weźmiemy pod uwagę pięciokąty foremne, otrzymamy tak zwany wielki dwunastościan (ryc. 31). Jeśli, po drugie, pięciokąty w kształcie gwiazdy są uważane za twarze, otrzymuje się duży dwunastościan w kształcie gwiazdy (ryc. 32).

Dwudziestościan ma jeden gwiaździsty kształt. Wydłużając ściany dwudziestościanu foremnego uzyskuje się duży dwudziestościan (ryc. 33).

Tak więc istnieją 4 rodzaje regularnych wielościanów gwiaździstych.

Wielościany gwiaździste są bardzo dekoracyjne, co pozwala na szerokie zastosowanie w branży jubilerskiej przy wytwarzaniu wszelkiego rodzaju biżuterii.

Wiele form wielościanów gwiaździstych sugeruje sama natura. Płatki śniegu to wielościany w kształcie gwiazdy (ryc. 34). Od starożytności ludzie próbowali opisywać wszystkie możliwe rodzaje płatków śniegu, kompilując specjalne atlasy. Obecnie znanych jest kilka tysięcy różnych rodzajów płatków śniegu.


Podobne informacje.


Sekcje