Współrzędne środka ciężkości wzoru trapezu. Położenie środka masy. Charakterystyka geometryczna trójkąta równoramiennego

W praktyce inżynierskiej zdarza się, że konieczne staje się obliczenie współrzędnych środka ciężkości złożonej płaskiej figury składającej się z prostych elementów, dla których znane jest położenie środka ciężkości. Takie zadanie jest częścią zadania określenia ...

Charakterystyki geometryczne przekrojów zespolonych belek i prętów. Często z takimi pytaniami muszą się zmierzyć konstruktorzy wykrojników przy określaniu współrzędnych środka nacisku, twórcy schematów obciążenia dla różnych pojazdów przy umieszczaniu obciążeń, projektanci konstrukcji metalowych przy doborze przekrojów elementów i oczywiście studenci podczas studiowania dyscyplin „Mechanika teoretyczna” i „Odporność materiałów”.

Biblioteka figur elementarnych.

W przypadku symetrycznych figur płaskich środek ciężkości pokrywa się ze środkiem symetrii. Symetryczna grupa obiektów elementarnych obejmuje: okrąg, prostokąt (w tym kwadrat), równoległobok (w tym romb), wielokąt foremny.

Z dziesięciu kształtów pokazanych na powyższym rysunku tylko dwa są podstawowe. Oznacza to, że za pomocą trójkątów i sektorów kół możesz połączyć prawie każdą praktyczną postać. Dowolne krzywe można podzielić na sekcje i zastąpić łukami kołowymi.

Pozostałe osiem kształtów jest najczęściej spotykanych, dlatego zostały włączone do tego rodzaju biblioteki. W naszej klasyfikacji te elementy nie są podstawowe. Prostokąt, równoległobok i trapez mogą składać się z dwóch trójkątów. Sześciokąt to suma czterech trójkątów. Odcinek koła to różnica między wycinkiem koła a trójkątem. Sektor kołowy koła to różnica między tymi dwoma sektorami. Okrąg to wycinek koła o kącie α = 2 * π = 360˚. Półokrąg to odpowiednio wycinek koła o kącie α = π = 180˚.

Obliczanie w Excelu współrzędnych środka ciężkości kształtu złożonego.

Zawsze łatwiej jest przekazywać i postrzegać informacje na przykładzie niż studiować pytanie na czysto teoretycznych obliczeniach. Rozważ rozwiązanie problemu „Jak znaleźć środek ciężkości?” na przykładzie kształtu złożonego pokazanego na rysunku poniżej tego tekstu.

Przekrój złożony jest prostokątem (o wymiarach a1 = 80 mm, b1 = 40 mm), do którego trójkąt równoramienny (o wielkości podstawy a2 = 24 mm i wysokość h2 = 42 mm) i z którego wycięto półkole od prawego górnego rogu (wyśrodkowany w punkcie o współrzędnych x03 = 50 mm i tak03 = 40 mm, promień r3 = 26 mm).

Wykorzystamy program, aby pomóc Ci wykonać obliczenia. MS Excel lub program OOo Kalk . Każdy z nich bez problemu poradzi sobie z naszym zadaniem!

W komórkach z żółty wypełnij to pomocnicze wstępne obliczenia .

Policz wyniki w komórkach z jasnożółtym wypełnieniem.

Niebieski czcionka to Wstępne dane .

Czarny czcionka to mediator wyniki obliczeń .

czerwony czcionka to finał wyniki obliczeń .

Rozpoczynamy rozwiązywanie problemu - zaczynamy szukać współrzędnych środka ciężkości przekroju.

Wstępne dane:

1. Piszemy nazwy figur elementarnych tworzących odpowiednio część złożoną

do komórki D3: Prostokąt

do komórki E3: Trójkąt

do komórki F3: Półkole

2. Korzystając z „Biblioteki figur elementarnych” przedstawionej w tym artykule, wyznaczamy współrzędne środków ciężkości elementów przekroju złożonego xci oraz Yci w mm względem dowolnie wybranych osi 0x i 0y i napisz

do komórki D4: = 80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

do komórki D5: = 40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

do komórki E4: = 24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

do komórki E5: = 40 + 42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

do komórki F4: = 50 =50,000

xc 3 = x03

do komórki F5: = 40-4 * 26/3 / PI () =28,965

yc 3 = tak 03 -4* r3 /3/ π

3. Oblicz powierzchnię elementów F 1 , F 2 , F3 w mm2, korzystając ponownie ze wzorów z rozdziału „Biblioteka rycin elementarnych”

w komórce D6: = 40 * 80 =3200

F1 = a 1 * b1

w komórce E6: = 24 * 42/2 =504

F2 = a2 * h2 / 2

w komórce F6: = -pi () / 2 * 26 ^ 2 =-1062

F3 =-π / 2 * r3 ^ 2

Pole trzeciego elementu – półokręgu – jest ujemne, ponieważ jest to wycięcie – puste miejsce!

Obliczanie współrzędnych środka ciężkości:

4. Definiujemy Łączna powierzchnia ostateczna liczba F0 w mm2

w scalonej komórce D8E8F8: = D6 + E6 + F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Obliczmy momenty statyczne figury złożonej Sx oraz Sy w mm3 względem wybranych osi 0x i 0y

w scalonej komórce D9E9F9: = D5 * D6 + E5 * E6 + F5 * F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 * F2 + yc3 * F3

w scalonej komórce D10E10F10: = D4 * D6 + E4 * E6 + F4 * F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 * F2 + xc3 * F3

6. I na koniec obliczamy współrzędne środka ciężkości przekroju kompozytowego Xc oraz Yc w mm w wybranym układzie współrzędnych 0x - 0y

w scalonej komórce D11E11F11: = D10 / D8 =30,640

Xc = Sy / F0

w scalonej komórce D12E12F12: = D9 / D8 =22,883

Yc = Sx / F0

Problem rozwiązany, obliczenia w Excelu zakończone - znaleziono współrzędne środka ciężkości przekroju, skompilowane za pomocą trzech prostych elementów!

Wniosek.

Przykład w artykule został wybrany bardzo prosto, aby ułatwić zrozumienie metodologii obliczania środka ciężkości odcinka złożonego. Metoda polega na tym, aby każdą skomplikowaną figurę podzielić na proste elementy ze znanym położeniem środków ciężkości i wykonać obliczenia końcowe dla całego przekroju.

Jeżeli przekrój składa się z profili walcowanych - kątowników i ceowników, to nie ma potrzeby dzielenia ich na prostokąty i kwadraty z wyciętym kołem "π/2" - sektory. Współrzędne środków ciężkości tych profili podano w tabelach GOST, to znaczy zarówno narożnik, jak i kanał będą podstawowymi elementami w obliczeniach przekrojów kompozytowych (nie ma sensu mówić o belkach dwuteowych, rurach , pręty i sześciokąty - są to sekcje centralnie symetryczne).

Położenie osi współrzędnych oczywiście nie wpływa na położenie środka ciężkości figury! Dlatego wybierz układ współrzędnych, który uprości Twoje obliczenia. Gdybym na przykład w naszym przykładzie obrócił układ współrzędnych o 45˚ zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to obliczenie współrzędnych środków ciężkości prostokąta, trójkąta i półokręgu zamieniłoby się w kolejny oddzielny i nieporęczny krok obliczeniowy, którego nie można wykonać „w głowie”. ”.

Przedstawiony poniżej wyliczony plik Excel nie jest w tym przypadku programem. Jest to raczej szkic kalkulatora, algorytm, za którym w każdym przypadku podąża szablon. skomponuj własną sekwencję formuł dla komórek z jasnożółtym wypełnieniem.

Więc teraz wiesz, jak znaleźć środek ciężkości dowolnej sekcji! Pełne obliczenie wszystkich cech geometrycznych dowolnie złożonych przekrojów kompozytowych zostanie omówione w jednym z następnych artykułów w nagłówku „”. Śledź nowości na blogu.

Do otrzymujący informacje o wydaniu nowych artykułów i dla pobieranie plików programu roboczego Proszę o zaprenumerowanie ogłoszeń w okienku znajdującym się na końcu artykułu lub w okienku u góry strony.

Po wpisaniu adresu E-mail i klikając w przycisk "Otrzymuj ogłoszenia o artykułach" NIE ZAPOMNIJ POTWIERDŹ SUBSKRYBCJĘ klikając na link w liście, który natychmiast przyjdzie do Ciebie na określoną pocztę (czasami - do folderu « spam » )!

Kilka słów o szkle, monecie i dwóch widelcach, które przedstawia „ikona ilustracji” na samym początku artykułu. Wielu z Was z pewnością zna tę „sztuczkę”, wywołującą pełne podziwu spojrzenia dzieci i niewtajemniczonych dorosłych. Tematem tego artykułu jest środek ciężkości. To on i punkt podparcia, bawiący się naszą świadomością i doświadczeniem, po prostu oszukują nasze umysły!

Środek ciężkości widelców + system monet jest zawsze włączony naprawiony dystans pionowo w dół od krawędzi monety, która z kolei jest punktem podparcia. To jest pozycja o stabilnej równowadze! Jeśli potrząśniesz widłami, natychmiast stanie się oczywiste, że system dąży do powrotu do poprzedniej stabilnej pozycji! Wyobraź sobie wahadło - punkt mocowania (= punkt podparcia monety na krawędzi szkła), oś pręta wahadła (= w naszym przypadku oś jest wirtualna, ponieważ masa dwóch widelców jest oddzielone w różnych kierunkach przestrzeni) oraz ciężar na dole osi (= środek ciężkości całego układu + moneta "). Jeśli zaczniesz odchylać wahadło od pionu w dowolnym kierunku (do przodu, do tyłu, w lewo, w prawo), to nieuchronnie powróci do swojej pierwotnej pozycji pod wpływem grawitacji. ustalony stan równowagi(to samo dzieje się z naszymi widelcami i monetami)!

Kto nie rozumie, ale chce zrozumieć - sam to wymyśl. Bardzo interesujące jest „dotarcie” do siebie! Dodam, że ta sama zasada korzystania ze stabilnej wagi realizowana jest w zabawce Vanka-stand up. Jedynie środek ciężkości tej zabawki znajduje się powyżej punktu podparcia, ale poniżej środka półkuli powierzchni nośnej.

Zawsze cieszę się z Waszych komentarzy, drodzy czytelnicy !!!

Błagam, POSZANOWANIE praca autora, pobierz plik PO SUBSKRYPCJI do ogłoszeń artykułów.

Matematyczna technika obliczania środka masy należy do dziedziny matematyki; tam podobne problemy służą jako dobre przykłady w rachunku całkowym. Ale nawet jeśli wiesz, jak całkować, warto znać kilka sztuczek do obliczania położenia środka masy. Jedna z takich sztuczek opiera się na tak zwanym twierdzeniu Pappa, które działa w następujący sposób. Jeśli weźmiemy jakąś figurę zamkniętą i uformujemy bryłę, obracając tę ​​figurę w przestrzeni tak, aby każdy punkt poruszał się prostopadle do płaszczyzny figury, to objętość ciała uformowanego w tym przypadku jest równa iloczynowi pola figura według odległości przebytej przez jej środek ciężkości! Oczywiście twierdzenie to jest również prawdziwe w przypadku, gdy płaska figura porusza się po linii prostej prostopadłej do jej powierzchni, ale jeśli poruszamy ją po okręgu lub jakimś innym

krzywej, wtedy uzyskuje się znacznie ciekawszą bryłę. Podczas poruszania się po zakrzywionej ścieżce wnętrze figury porusza się mniej niż na zewnątrz, a te efekty kompensują się nawzajem. Więc jeśli chcemy zdefiniować; środek masy figury płaskiej o jednolitej gęstości, to należy pamiętać, że objętość utworzona przez jej obrót wokół osi jest równa odległości, jaką pokonuje środek masy pomnożonej przez powierzchnię figury.
Na przykład, jeśli musimy znaleźć środek masy trójkąta prostokątnego o podstawie D i wysokości H (ryc. 19.2), robi się to w następujący sposób. Wyobraź sobie oś biegnącą wzdłuż H i obróć trójkąt o 360° wokół tej osi. To daje nam stożek. Odległość, na jaką przemieszcza się współrzędna x środka masy, wynosi 2πx, a obszar poruszającego się obszaru, czyli obszar trójkąta, wynosi l / 2 HD. Iloczyn odległości przebytej przez środek masy przez pole trójkąta jest równy objętości stożka, czyli 1/3 πD 2 H. Zatem (2πх) (1 / 2HD) = 1 / 3D 2 H lub x = D / З. Całkowicie analogicznie do obrotu wokół drugiej nogi lub po prostu ze względu na symetrię, stwierdzamy, że y = H / 3. Ogólnie rzecz biorąc, środek masy dowolnego trójkąta jednostronnego znajduje się w punkcie przecięcia jego trzech środkowych (linie łączące wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku), który jest oddalony od podstawy w odległości równej do 1/3 długości każdej mediany.
Jak to zobaczyć? Podziel trójkąt liniami równoległymi do podstawy na wiele pasków. Zauważ teraz, że mediana dzieli każdy pasek na pół, więc środek masy musi znajdować się na środku.
Przyjmijmy teraz bardziej złożony kształt. Załóżmy, że chcesz znaleźć położenie środka masy jednorodnego półokręgu, czyli koła przeciętego na pół. Gdzie w tym przypadku będzie zlokalizowany środek masy? W przypadku pełnego koła środek masy znajduje się w środku geometrycznym, ale w przypadku półokręgu trudniej jest znaleźć jego położenie. Niech r będzie promieniem okręgu, a x odległością środka masy od prostoliniowej granicy półokręgu. Obracając go wokół tej krawędzi, jak wokół osi, otrzymujemy piłkę. W tym przypadku środek masy pokonuje odległość 2πx, a pole półokręgu wynosi 1/2πr 2 (połowa pola koła). Ponieważ objętość kuli wynosi oczywiście 4πg 3/3, stąd znajdujemy

lub

Istnieje również inne twierdzenie Pappa, które w rzeczywistości jest szczególnym przypadkiem twierdzenia sformułowanego powyżej, a zatem również jest słuszne. Załóżmy, że zamiast pełnego półokręgu wzięliśmy półokrąg, na przykład kawałek drutu w postaci półokręgu o jednolitej gęstości i chcemy znaleźć jego środek masy. Okazuje się, że obszar, który jest „wymiatany” przez płaską krzywą podczas ruchu podobnego do opisanego powyżej, jest równy odległości przebytej przez środek masy pomnożonej przez długość tej krzywej. (Możesz myśleć o krzywej jako bardzo wąskim pasku i zastosować do niej poprzednie twierdzenie.)

Na podstawie uzyskanych powyżej ogólnych wzorów można wskazać konkretne metody wyznaczania współrzędnych środków ciężkości ciał.

1. Symetria. Jeżeli jednorodne ciało ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii (ryc. 7), to jego środek ciężkości leży odpowiednio w płaszczyźnie symetrii, osi symetrii lub w środku symetrii.

Rys. 7

2. Rozdzielać. Ciało podzielone jest na skończoną liczbę części (ryc. 8), dla których znane jest położenie środka ciężkości i obszar.

Rys. 8

3.Metoda obszarów ujemnych. Szczególny przypadek metody partycjonowania (rys. 9). Dotyczy to nadwozi z wycięciami, jeżeli znane są środki ciężkości nadwozia bez wycięcia i wycięcia. Korpus w postaci płyty z wycięciem to połączenie płyty pełnej (bez wycięcia) z polem S 1 i polem wyciętej części S 2.

Rys. 9

4.Metoda grupowania. Stanowi dobre uzupełnienie dwóch ostatnich metod. Po podzieleniu figury na jej elementy składowe może być wygodne ponowne połączenie niektórych z nich, aby następnie uprościć rozwiązanie, biorąc pod uwagę symetrię tej grupy.

Środki ciężkości niektórych ciał jednorodnych.

1) Środek ciężkości łuku koła. Rozważ łuk AB promień r z centralnym narożnikiem. Dzięki symetrii środek ciężkości tego łuku leży na osi Wół(rys. 10).

Rys. 10

Znajdźmy współrzędną za pomocą wzoru. Aby to zrobić, wybierz na łuku AB element MM” długość, której położenie zależy od kąta. Koordynować NS element MM” Wola . Zastępując te wartości NS i d ja i pamiętając, że całka musi być przedłużona na całą długość łuku, otrzymujemy:

gdzie L- długość łuku AB równy.

Stąd ostatecznie stwierdzamy, że środek ciężkości łuku koła leży na jego osi symetrii w pewnej odległości od środka O równy

gdzie kąt jest mierzony w radianach.

2) Środek ciężkości obszaru trójkąta. Rozważ trójkąt leżący w samolocie Oxy, których współrzędne wierzchołków są znane: A i(x ja,ja ja), (i= 1,2,3). Łamanie trójkąta na wąskie paski równoległe do boku A 1 A 2 dochodzimy do wniosku, że środek ciężkości trójkąta powinien należeć do mediany A 3 m 3 (rys. 11).

Rys. 11

Łamanie trójkąta na paski równoległe do boku A 2 A 3, możesz upewnić się, że powinien leżeć na medianie A 1 m 1 . Zatem, środek ciężkości trójkąta leży na przecięciu jego median, która, jak wiadomo, oddziela jedną trzecią od każdej mediany, licząc od odpowiedniej strony.

W szczególności dla mediany A 1 m 1 otrzymujemy biorąc pod uwagę, że współrzędne punktu m 1 to średnia arytmetyczna współrzędnych wierzchołków A 2 i A 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Zatem współrzędne środka ciężkości trójkąta są średnią arytmetyczną współrzędnych jego wierzchołków:

x C = (1/3) Σ x ja ; tak C = (1/3) Σ ja ja.

3) Środek ciężkości obszaru sektora kołowego. Rozważ sektor okręgu o promieniu r o kącie środkowym 2α, położonym symetrycznie względem osi Wół(rys. 12).

To oczywiste, że tak C = 0, a odległość od środka okręgu, z którego ten sektor jest odcięty do jego środka ciężkości, można wyznaczyć ze wzoru:

Rys. 12

Najłatwiejszym sposobem obliczenia tej całki jest podzielenie obszaru całkowania na elementarne sektory pod kątem D. Aż do nieskończenie małego pierwszego rzędu, taki sektor można zastąpić trójkątem o podstawie równej r× Dφ i wzrost r... Obszar takiego trójkąta dF=(1/2)r 2 ∙Dφ, a jego środek ciężkości znajduje się w odległości 2/3 r od wierzchołka, dlatego w (5) umieszczamy: x = (2/3)r cosφ. Zastępowanie w (5) F= α r 2, otrzymujemy:

Korzystając z ostatniego wzoru obliczamy w szczególności odległość do środka ciężkości półkole.

Podstawiając α = π / 2 do (2), otrzymujemy: x C = (4r) / (3π) ≅ 0,4 r .

Przykład 1. Określmy środek ciężkości jednorodnego ciała pokazanego na ryc. 13.

Rys. 13

Korpus jest jednorodny, składający się z dwóch części o symetrycznym kształcie. Współrzędne ich środków ciężkości:

Ich tomy:

Dlatego współrzędne środka ciężkości ciała

Przykład 2. Znajdź środek ciężkości płyty wygiętej pod kątem prostym. Wymiary - na rysunku (rys. 14).

Rys. 14

Współrzędne środka ciężkości:

Kwadraty:

Ryż. 6.5.

Przykład 3. Kwadratowy otwór jest wycinany z kwadratowego arkusza cm (ryc. 15). Znajdź środek ciężkości liścia.

Rys. 15

W tym zadaniu wygodniej jest podzielić ciało na dwie części: duży kwadrat i kwadratowy otwór. Tylko obszar dziury należy uznać za ujemny. Następnie współrzędne środka ciężkości arkusza z otworem:

współrzędne, ponieważ ciało ma oś symetrii (przekątną).

Przykład 4. Zszywka druciana (rys. 16) składa się z trzech odcinków o równej długości ja.

Rys. 16

Współrzędne środków ciężkości przekrojów:

Dlatego współrzędne środka ciężkości całego wspornika:

Przykład 5. Określ położenie środka ciężkości kratownicy, którego wszystkie pręty mają tę samą gęstość liniową (ryc. 17).

Przypomnijmy, że w fizyce gęstość ciała ρ i jego ciężar właściwy g są powiązane zależnością: γ = ρ g, gdzie g- przyśpieszenie grawitacyjne. Aby znaleźć masę takiego jednorodnego ciała, należy pomnożyć gęstość przez jego objętość.

Rys. 17

Określenie gęstość „liniowa” lub „liniowa” oznacza, że ​​aby określić masę pręta kratownicy, gęstość liniową należy pomnożyć przez długość tego pręta.

Aby rozwiązać problem, możesz użyć metody dzielenia. Reprezentując daną kratownicę jako sumę 6 pojedynczych prętów otrzymujemy:

gdzie L i długość i-ty pręt kratownicy, oraz x ja, ja ja- współrzędne jego środka ciężkości.

Ten problem można uprościć, grupując ostatnich 5 elementów kratownicy. Łatwo zauważyć, że tworzą one figurę ze środkiem symetrii znajdującym się pośrodku czwartego pręta, gdzie znajduje się środek ciężkości tej grupy prętów.

Tak więc daną kratownicę można przedstawić za pomocą kombinacji tylko dwóch grup prętów.

Pierwsza grupa składa się z pierwszej wędki, bo to L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, tak 1 = 2 m. Druga grupa prętów składa się z pięciu prętów, bo to L 2 = 20m, x 2 = 3 m, tak 2 = 2 m.

Współrzędne środka ciężkości farmy określa wzór:

x C = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4 0 + 20 ∙ 3) / 24 = 5/2 m;

tak C = (L 1 ∙tak 1 +L 2 ∙tak 2)/(L 1 + L 2) = (4 2 + 20 ∙ 2) / 24 = 2 m.

Zwróć uwagę, że centrum Z leży na linii prostej łączącej Z 1 i Z 2 i dzieli segment Z 1 Z 2 w odniesieniu do: Z 1 Z/SS 2 = (x C - x 1)/(x 2 - x C ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Pytania autotestu

Co nazywa się środkiem sił równoległych?

Jak wyznaczane są współrzędne środka sił równoległych?

Jak wyznaczyć środek sił równoległych, których wypadkowa wynosi zero?

Jaką właściwość ma środek sił równoległych?

Jakich wzorów używa się do obliczania współrzędnych środka sił równoległych?

Jak nazywa się środek ciężkości ciała?

Dlaczego siły grawitacji na Ziemi, działające na punkt ciała, można traktować jako układ sił równoległych?

Napisz wzór na określenie położenia środka ciężkości ciał niejednorodnych i jednorodnych, wzór na określenie położenia środka ciężkości odcinków płaskich?

Zapisz wzór na określenie położenia środka ciężkości prostego figury geometryczne: prostokąt, trójkąt, trapez i półkole?

Jak nazywa się moment statyczny kwadratu?

Podaj przykład ciała, którego środek ciężkości znajduje się na zewnątrz ciała.

W jaki sposób wykorzystuje się właściwości symetrii do wyznaczania środków ciężkości ciał?

Jaka jest istota metody wag ujemnych?

Gdzie jest środek ciężkości łuku kołowego?

Jak graficznie znaleźć środek ciężkości trójkąta?

Zapisz wzór na środek ciężkości sektora kołowego.

Korzystając ze wzorów na środki ciężkości trójkąta i sektora kołowego, wyprowadź podobny wzór na odcinek kołowy.

Jakie wzory stosuje się do obliczania współrzędnych środków ciężkości ciał jednorodnych, figur płaskich i linii?

Jak nazywa się moment statyczny obszaru figury płaskiej względem osi, jak jest obliczany i jaki ma wymiar?

Jak określić położenie środka ciężkości obszaru, jeśli znane jest położenie środków ciężkości jego poszczególnych części?

Jakich twierdzeń pomocniczych używa się do określenia położenia środka ciężkości?

6.1. Informacje ogólne

Centrum równoległych sił
Rozważmy dwie równoległe, jednostronne siły i przyłożone do ciała w punktach A 1 i A 2 (rysunek 6.1). Ten układ sił ma wypadkową, której linia działania przechodzi przez pewien punkt Z... Pozycja punktowa Z można znaleźć za pomocą twierdzenia Varignona:

Jeśli obrócisz siły wokół punktów A 1 i A 2 w jedną stronę i pod tym samym kątem, otrzymujemy nowy system sals równoległych z tymi samymi modułami. Co więcej, ich wypadkowa również przejdzie przez punkt Z... Ten punkt nazywa się środkiem sił równoległych.
Rozważmy układ równoległych i równo ukierunkowanych sił przyłożonych do bryły sztywnej w punktach. Ten system ma wypadkową.
Jeżeli każda siła układu zostanie obrócona wokół punktów ich przyłożenia w tym samym kierunku i pod tym samym kątem, to uzyska się nowe układy równo ukierunkowanych sił równoległych o tych samych modułach i punktach przyłożenia. Wypadkowa takich systemów będzie miała ten sam moduł r ale za każdym razem w innym kierunku. Łączenie sił F 1 i F 2 stwierdzamy, że ich wypadkowa r 1, który zawsze przejdzie przez punkt Z 1, którego położenie wyznacza równość. Dodawanie dalej r 1 i F 3, znajdujemy ich wypadkową, która zawsze przejdzie przez punkt Z 2 leżące na linii prostej A 3 Z 2. Po zakończeniu procesu dodawania sił dochodzimy do wniosku, że wypadkowa wszystkich sił rzeczywiście zawsze przejdzie przez ten sam punkt Z, których pozycja w stosunku do punktów pozostanie niezmieniona.
Punkt Z, przez który linia działania wypadkowego układu sił równoległych przechodzi przy dowolnych obrotach tych sił wokół punktów ich przyłożenia w tym samym kierunku pod tym samym kątem, nazywana jest środkiem sił równoległych (ryc. 6.2).

Rysunek 6.2

Określ współrzędne środka sił równoległych. Od pozycji punktu Z względem ciała jest niezmieniony, to jego współrzędne nie zależą od wyboru układu współrzędnych. Obróćmy wszystkie siły wokół ich przyłożenia, aby stały się równoległe do osi OU i zastosuj twierdzenie Varignona do sił obróconych. Ponieważ R " jest wypadkową tych sił, to zgodnie z twierdzeniem Varignona mamy odkąd ,, dostajemy

Stąd znajdujemy współrzędną środka sił równoległych zc:

Aby określić współrzędne xc Skomponujmy wyrażenie momentu sił wokół osi Oz.

Aby określić współrzędne yc obróć wszystkie siły, aby stały się równoległe do osi Oz.

Położenie środka sił równoległych względem początku (rys. 6.2) można określić za pomocą wektora promienia:

6.2. Środek ciężkości ciała sztywnego

Środek ciężkości ciało sztywne nazywamy punktem niezmiennie związanym z tym ciałem Z, przez który przechodzi linia działania wypadkowej sił grawitacyjnych danego ciała, dla dowolnego położenia ciała w przestrzeni.
Środek ciężkości stosuje się w badaniu stabilności równowagowych położeń ciał i ośrodków ciągłych pod działaniem grawitacji oraz w niektórych innych przypadkach, a mianowicie w wytrzymałości materiałów i mechanice konstrukcyjnej - przy zastosowaniu reguły Vereshchagin'a.
Istnieją dwa sposoby wyznaczania środka ciężkości ciała: analityczny i eksperymentalny. Sposób analityczny Definicja środka ciężkości wynika bezpośrednio z pojęcia środka sił równoległych.
Współrzędne środka ciężkości, jako środka sił równoległych, określają wzory:

gdzie r- masa całego ciała; pk- masa cząstek ciała; xk, yk, zk- współrzędne cząstek ciała.
W przypadku ciała jednorodnego waga całego ciała i dowolnej jego części jest proporcjonalna do objętości P = Vγ, pk = vk γ, gdzie γ - waga jednostki objętości, V- objętość ciała. Zastępowanie wyrażeń P, pk we wzorach do wyznaczania współrzędnych środka ciężkości i zniesienia przez wspólny czynnik γ otrzymujemy:

Punkt Z, którego współrzędne są określone przez otrzymane wzory, nazywa się środek ciężkości objętości.
Jeśli ciało jest cienką jednorodną płytą, środek ciężkości określają wzory:

gdzie S- powierzchnia całej płyty; Sk- obszar jego części; xk, yk- współrzędne środka ciężkości części płytowych.
Punkt Z w tym przypadku nazywa się środek ciężkości obszaru.
Liczniki wyrażeń określających współrzędne środka ciężkości figur płaskich nazywamy z momenty taktyczne kwadratu w odniesieniu do osi w oraz NS:

Wtedy środek ciężkości obszaru można wyznaczyć ze wzorów:

Dla ciał, których długość jest wielokrotnie większa niż wymiary przekroju, wyznaczany jest środek ciężkości linii. Współrzędne środka ciężkości linii określają wzory:

gdzie L- długość linii; lk- długość jego części; xk, yk, zk- współrzędna środka ciężkości części linii.

6.3. Metody wyznaczania współrzędnych środków ciężkości ciał

Na podstawie uzyskanych wzorów można zaproponować praktyczne metody wyznaczania środków ciężkości ciał.
1. Symetria... Jeśli ciało ma środek symetrii, to środek ciężkości znajduje się w środku symetrii.
Jeśli ciało ma płaszczyznę symetrii. Na przykład płaszczyzna XOU, a następnie środek ciężkości leży w tej płaszczyźnie.
2. Rozdzielać... W przypadku korpusów składających się z korpusów o prostym kształcie stosuje się metodę dzielenia. Ciało podzielone jest na części, których środek ciężkości znajduje się metodą symetrii. Środek ciężkości całego ciała określają wzory na środek ciężkości objętości (obszaru).

Przykład... Określ środek ciężkości płyty pokazanej na poniższym rysunku (Rysunek 6.3). Płytkę można podzielić na prostokąty na różne sposoby i określić współrzędne środka ciężkości każdego prostokąta oraz ich powierzchnię.

Rysunek 6.3

Odpowiedź: xC= 17,0cm; takC= 18,0 cm.

3. Dodatek... Ta metoda jest szczególnym przypadkiem metody dzielenia. Stosuje się go, gdy ciało ma nacięcia, nacięcia itp., jeśli znane są współrzędne środka ciężkości ciała bez nacięcia.

Przykład... Określ środek ciężkości okrągłej płyty z promieniem wycięcia r = 0,6 r(rys. 6.4).

Rysunek 6.4

Okrągła płytka ma środek symetrii. Umieść początek na środku płyty. Obszar płyty bez cięcia, obszar cięcia. Powierzchnia płyty z karbem; ...
Płyta karbowana ma oś symetrii О1x, W związku z tym, yc=0.

4. Integracja... Jeżeli ciała nie można podzielić na skończoną liczbę części, których położenie środków ciężkości jest znane, ciało dzieli się na dowolnie małe objętości, dla których formuła przy użyciu metody podziału przyjmuje postać: .
Następnie przechodzą do granicy, kierując podstawowe objętości do zera, tj. ciągnąc tomy na punkty. Sumy zastępuje się całkami rozciągniętymi na całą objętość ciała, a następnie wzory na określenie współrzędnych środka ciężkości objętości przyjmują postać:

Wzory do wyznaczania współrzędnych środka ciężkości obszaru:

Współrzędne środka ciężkości obszaru należy określić podczas badania równowagi płyt, przy obliczaniu całki Mohra w mechanice konstrukcji.

Przykład... Wyznacz środek ciężkości łuku kołowego o promieniu r z kątem środkowym AOB= 2α (ryc. 6.5).

Ryż. 6,5

Łuk kołowy jest symetryczny do osi Oh, dlatego środek ciężkości łuku leży na osi Oh, tak = 0.
Zgodnie ze wzorem na środek ciężkości linii:

6.Metoda eksperymentalna... Środki ciężkości ciał niejednorodnych o złożonej konfiguracji można wyznaczyć eksperymentalnie: metodą zawieszania i ważenia. Pierwszy sposób polega na zawieszeniu ciała na linie w różnych punktach. Kierunek liny, na której zawieszone jest ciało, da kierunek siły grawitacji. Punkt przecięcia tych kierunków wyznacza środek ciężkości ciała.
Metoda ważenia polega na określeniu w pierwszej kolejności masy ciała, np. samochodu. Wtedy równowaga określa nacisk tylnej osi samochodu na podporę. Po skompilowaniu równania równowagi w odniesieniu do dowolnego punktu, na przykład osi przednich kół, można obliczyć odległość od tej osi do środka ciężkości samochodu (ryc. 6.6).

Rysunek 6.6

Czasami przy rozwiązywaniu problemów konieczne jest jednoczesne zastosowanie różnych metod wyznaczania współrzędnych środka ciężkości.

6.4. Środki ciężkości niektórych najprostszych kształtów geometrycznych

Do wyznaczenia środków ciężkości ciał o często występującym kształcie (trójkąt, łuk koła, sektor, odcinek) wygodnie jest posłużyć się danymi referencyjnymi (tab. 6.1).

Tabela 6.1

Współrzędne środka ciężkości niektórych ciał jednorodnych

№	Nazwa figury	Rysunek
	Łuk koła: środek ciężkości łuku koła jednorodnego znajduje się na osi symetrii (współrzędna uc=0). r to promień okręgu.
	Jednorodny sektor obiegu zamkniętego uc=0). gdzie α jest połową kąta centralnego; r to promień okręgu.
	Człon: środek ciężkości znajduje się na osi symetrii (współrzędna uc=0). gdzie α jest połową kąta centralnego; r to promień okręgu.
	Półkole:
	Trójkąt: środek ciężkości jednorodnego trójkąta znajduje się na przecięciu jego środkowych. gdzie x1, y1, x2, y2, x3, y3- współrzędne wierzchołków trójkąta
	Stożek: środek ciężkości jednorodnego okrągłego stożka leży na jego wysokości i znajduje się w odległości 1/4 wysokości od podstawy stożka.

Środek ciężkości łuku kołowego

Łuk ma oś symetrii. Środek ciężkości leży na tej osi, tj. tak C = 0 .

dl- element łukowy, dl = Rdφ, r- promień okręgu, x = Rcosφ, L = 2αR,

Stąd:

x C = R (sinα / α).

Środek ciężkości sektora o obiegu zamkniętym

Sektor promienia r z narożnikiem środkowym 2 α ma oś symetrii Wół, na którym znajduje się środek ciężkości.

Dzielimy sektor na podstawowe sektory, które można uznać za trójkąty. Środki ciężkości sektorów elementarnych znajdują się na łuku koła o promieniu (2/3) r.

Środek ciężkości sektora pokrywa się ze środkiem ciężkości łuku AB:

Półkole:

37. Kinematyka. Kinematyka punktowa. Metody określania ruchu punktu.

Kinematyka- dział mechaniki, w którym ruch ciał materialnych jest badany z geometrycznego punktu widzenia, bez uwzględnienia masy i sił na nie działających. Metody określania ruchu punktu: 1) naturalne, 2) współrzędne, 3) wektorowe.

Punkt kinematyczny- Pracownia Kinematyki opis matematyczny ruch punktów materialnych. Głównym zadaniem kinematyki jest opisanie ruchu za pomocą aparatu matematycznego bez poszukiwania przyczyn, które powodują ten ruch.

Naturalne cn... trajektoria punktu, prawo jego ruchu wzdłuż tej trajektorii, początek i kierunek współrzędnej łuku są wskazane: s = f (t) - prawo ruchu punktu. W ruchu prostym: x = f (t).

Współrzędna cn... położenie punktu w przestrzeni wyznaczają trzy współrzędne, których zmiany określają prawo ruchu punktu: x = f 1 (t), y = f 2 (t), z = f 3 (t).

Jeśli ruch odbywa się w płaszczyźnie, to istnieją dwa równania ruchu. Równania ruchu opisują równanie trajektorii w postaci parametrycznej. Eliminując parametr t z równań, otrzymujemy równanie trajektorii w zwykłej postaci: f (x, y) = 0 (dla płaszczyzny).

wektor... położenie punktu jest określone przez jego wektor promienia narysowany z pewnego środka. Nazywana jest krzywa narysowana na końcu wektora. hodograf tego wektora. Te. trajektoria - hodograf wektora promieniowego.

38. Związek między współrzędną i wektorem, współrzędnymi i naturalnymi sposobami określania ruchu punktu.

POŁĄCZENIE METODY WEKTOROWEJ Z WSPÓŁRZĘDNYMI I NATURALNYMI wyrażony wskaźnikami:

gdzie jest wersorem stycznej do trajektorii w danym punkcie, skierowanym w stronę odniesienia odległości, jest wersorem normalnej do trajektorii w tym punkcie, skierowanym w stronę środka krzywizny (patrz rys. 3).

ZWIĄZEK METODY WSPÓŁRZĘDNYCH Z NATURALNYM... Równanie trajektorii f (x, y) = z; f 1 (x, z) = y otrzymuje się z równań ruchu w postaci współrzędnych przez eliminację czasu t. Dodatkowa analiza wartości, jakie mogą przyjąć współrzędne punktu, określa tę część krzywej, która jest trajektorią. Na przykład, jeśli ruch punktu jest określony równaniami: x = sin t; y = sin 2 t = x 2, to trajektorią punktu jest ten odcinek paraboli y = x 2, dla którego -1≤x≤ + 1, 0≤x≤1. Początek i kierunek zliczania odległości są wybierane arbitralnie, co dodatkowo określa znak prędkości oraz wielkość i znak początkowej odległości s 0.

Prawo ruchu określa zależność:

znak + lub - określany jest w zależności od przyjętego kierunku odniesienia odległości.

Prędkość punktowa Jest miarą kinematyczną jego ruchu, równą pochodnej czasowej wektora promienia tego punktu w rozpatrywanym układzie odniesienia. Wektor prędkości jest skierowany stycznie do trajektorii punktu w kierunku ruchu

Wektor prędkości (v)- Jest to odległość, jaką ciało pokonuje w określonym kierunku w jednostce czasu. Zauważ, że definicja wektory prędkości jest bardzo podobna do definicji prędkości, z wyjątkiem jednej istotnej różnicy: prędkość ciała nie wskazuje kierunku ruchu, a wektor prędkości ciała wskazuje zarówno prędkość, jak i kierunek ruchu. Dlatego potrzebne są dwie zmienne opisujące wektor prędkości ciała: prędkość i kierunek. Wielkości fizyczne, które mają znaczenie i kierunek, nazywane są wielkościami wektorowymi.

Wektor prędkości ciała mogą się od czasu do czasu zmieniać. Jeśli zmienia się jego prędkość lub kierunek, zmienia się również prędkość ciała. Wektor o stałej prędkości implikuje stałą prędkość i stały kierunek, podczas gdy określenie „stała prędkość” implikuje tylko stałą wartość, nie biorąc pod uwagę kierunku. Termin „wektor prędkości” jest często używany zamiennie z terminem „prędkość”. Oba wyrażają odległość, jaką ciało pokonuje w jednostce czasu.

Przyspieszenie punktowe Jest miarą zmiany jego prędkości, równą pochodnej czasowej prędkości tego punktu lub drugiej pochodnej wektora promienia punktu względem czasu. Przyspieszenie charakteryzuje zmianę wielkości i kierunku wektora prędkości i jest skierowane w kierunku wklęsłości trajektorii.

Wektor przyspieszenia

jest to stosunek zmiany prędkości do przedziału czasu, w którym nastąpiła ta zmiana. Średnie przyspieszenie możesz wyznaczyć ze wzoru:

gdzie - wektor przyspieszenia.

Kierunek wektora przyspieszenia pokrywa się z kierunkiem zmiany prędkości Δ = - 0 (tutaj 0 to prędkość początkowa, czyli prędkość, z jaką ciało zaczęło przyspieszać).

W chwili t1 (patrz rys. 1.8) ciało ma prędkość 0. W chwili t2 ciało ma prędkość. Zgodnie z zasadą odejmowania wektorów znajdujemy wektor zmiany prędkości Δ = - 0. Wówczas przyspieszenie można wyznaczyć w następujący sposób: