Współrzędne środka masy linii jednorodnej. Jak obliczyć środek ciężkości figury ograniczonej płaszczyzną za pomocą całki podwójnej? Przykłady wykonania typowych obliczeń

Podajmy przykład wyznaczania środka masy ciała poprzez podzielenie go na osobne ciała, których środki mas są znane.

Przykład 1. Wyznacz współrzędne środka masy jednorodnej płyty (ryc. 9). Wymiary podano w milimetrach na rysunku 9.

Rozwiązanie: Pokazujemy osie współrzędnych i . Dzielimy płytkę na części, które tworzą trzy prostokąty. Dla każdego prostokąta rysujemy przekątne, których punkty przecięcia wyznaczają położenie środków masy każdego prostokąta. W przyjętym układzie współrzędnych łatwo jest znaleźć wartości współrzędnych tych punktów. Mianowicie:

(-1; 1), (1;5), (5;9). Pole każdego ciała jest odpowiednio równe:

; ; .

Powierzchnia całej płyty jest równa:

Aby wyznaczyć współrzędne środka masy danej płyty, używamy wyrażeń (21). Zastępując wartości wszystkich znanych wielkości w tym równaniu, otrzymujemy

Zgodnie z uzyskanymi wartościami współrzędnych środka masy płyty wskazujemy na rysunku punkt C. Jak widać, środek masy (punkt geometryczny) płytki znajduje się poza nią.

Metoda dodawania. Metoda ta jest częściowym przypadkiem metody separacji. Można go nakładać na korpusy posiadające wycięcia (puste przestrzenie). Ponadto bez wyciętej części znane jest położenie środka masy ciała. Rozważmy na przykład zastosowanie takiej metody.

Przykład 2. Wyznacz położenie środka masy okrągłej płyty o promieniu R, w której znajduje się wycięcie o promieniu r (rys. 10). Odległość.

Rozwiązanie: Jak widać z rys. 10 środek masy płytki leży na osi symetrii płytki, czyli na linii prostej, gdyż ta prosta jest osią symetrii. Zatem, aby określić położenie środka masy tej płyty, konieczne jest określenie tylko jednej współrzędnej, ponieważ druga współrzędna będzie znajdować się na osi symetrii i równoważy zerowe. Pokażmy osie współrzędnych , . Załóżmy, że płytka składa się z dwóch brył – pełnego koła (jakby bez wycięcia) i bryły, która sprawia wrażenie wykonanej z wycięciem. W przyjętym układzie współrzędnych współrzędne wskazanych ciał będą równe: .Pola ciał są równe: ; . Całkowita powierzchnia całego ciała będzie równa różnicy między obszarami pierwszego i drugiego ciała, a mianowicie

Aby obliczyć ilości M, i musisz użyć wzorów (4), (5) i (7). W rezultacie otrzymujemy wzory na współrzędne środka masy cienkiej płyty :

Przykład 4 (obliczanie współrzędnych środka masy jednorodnej płyty)

Znajdź współrzędne środka masy jednorodnej figury ograniczonej liniami i .

Po skonstruowaniu figury zauważamy, że geometrycznie jest ona symetryczna względem linii prostej. Ponieważ figura jest wykonana z jednorodnego materiału, posiada ona nie tylko symetrię geometryczną, ale także fizyczną, czyli masę swojej części, na której się znajduje. na lewo od osi symetrii, jest równa masie części znajdującej się po prawej stronie. Następnie zgodnie ze znanym właściwości fizyczneśrodka masy wnioskujemy, że znajduje się on na osi symetrii, czyli

Aby obliczyć, tworzymy moment statyczny i korzystamy ze wzorów (4) i (5):

;

Odpowiedź: C.

Zastosowania całek potrójnych

Zastosowania całek potrójnych są podobne do całek podwójnych, ale tylko w przypadku brył trójwymiarowych.

Jeśli skorzystamy z jednej z właściwości całki potrójnej (o jej wartości z funkcji identycznie równej jedności), to otrzymamy wzór na obliczenie objętości dowolnego ciała przestrzennego :

Piszemy wzór na objętość przez całka potrójna i oblicz całkę potrójną we współrzędnych cylindrycznych:

Odpowiedź: (jednostki objętości).

Wzór na obliczenie masy trójwymiarowego obiektu zajmującego objętość V, ma postać:

(13)

Oto jest gęstość nasypowa rozkład masy.

Przykład 6 (obliczanie masy ciała trójwymiarowego)

Znajdź masę kuli o promieniu R, jeśli gęstość jest proporcjonalna do sześcianu odległości od środka i na jednostkę odległości jest równa k.

V: objętość podstawowa i .

Należy zauważyć, że tutaj przy obliczaniu całki potrójnej wynik był iloczynem całek, ponieważ całki wewnętrzne okazały się niezależne od zmiennych całek zewnętrznych.

Odpowiedź: (jednostki masy).

Właściwości mechaniczne objętości V(momenty statyczne, momenty bezwładności, współrzędne środka masy) oblicza się za pomocą wzorów, które

są kompilowane przez analogię do wzorów na ciała dwuwymiarowe.

Elementarne momenty statyczne i momenty bezwładności względem osi współrzędnych:

elementarne momenty bezwładności względem płaszczyzn współrzędnych i początek współrzędnych:

Następnie oblicz właściwości mechaniczne całej objętości V, należy zsumować wyrazy elementarne tej cechy po wszystkich częściach przegrody (ponieważ obliczona cecha ma właściwość addytywności), a następnie przejść do granicy wynikowej sumy, pod warunkiem, że wszystkie elementarne części przegrody są zmniejszane na czas nieokreślony (zawężane do punktów). Działania te opisano jako całkowanie elementarnego składnika obliczonej charakterystyki mechanicznej po objętości V.

Wynik jest następujący wzory do obliczeń momenty statyczne M i momenty bezwładności I ciał trójwymiarowych :

W praktyce warto nie tylko używać tych wzorów jako gotowych, ale także wyprowadzać je w rozwiązywanym problemie.

Przykłady 7 (obliczanie właściwości mechanicznych ciał trójwymiarowych)

Znajdź moment bezwładności jednorodnego walca, którego wysokość wynosi H i promień podstawy R, względem osi pokrywającej się ze średnicą podstawy.

Znajdźmy odległość D dla dowolnego punktu na cylindrze:

odległość punktu ze współrzędnymi od osi – jest to długość prostopadłej poprowadzonej od tego punktu do osi . Skonstruujmy płaszczyznę prostopadłą do osi, tak aby punkt należał do tej płaszczyzny. Wtedy każda prosta przecinająca oś i należąca do tej płaszczyzny będzie prostopadła . W szczególności linia prosta łącząca punkt i punkt będzie prostopadła do osi, a odległość pomiędzy tymi punktami będzie wymaganą odległością D. Obliczamy to korzystając ze znanego wzoru na odległość pomiędzy dwoma punktami.

– obliczanie środka ciężkości płaskiej figury ograniczonej. Wielu czytelników intuicyjnie rozumie, jaki jest środek ciężkości, niemniej jednak polecam powtórzyć materiał z jednej z lekcji geometria analityczna gdzie to wymyśliłem Problem dotyczący środka ciężkości trójkąta i rozszyfrował go w przystępnej formie znaczenie fizyczne ten termin.

W zadaniach niezależnych i kontrolnych zazwyczaj oferowane są rozwiązania najprostszy przypadek– mieszkanie z ograniczoną odpowiedzialnością jednorodny figura, czyli figura o stałej gęstości fizycznej - szkło, drewno, cyna, żeliwne zabawki, trudne dzieciństwo itp. Ponadto domyślnie będziemy rozmawiać tylko o takich liczbach =)

Pierwsza zasada i najprostszy przykład : jeśli ma płaską sylwetkę środek symetrii, to jest to środek ciężkości tej figury. Na przykład środek okrągłej, jednorodnej płyty. Jest to logiczne i zrozumiałe w życiu codziennym - masa takiej figury jest „sprawiedliwie rozłożona we wszystkich kierunkach” względem środka. Nie chcę tego odwracać.

Jednak w trudnych realiach raczej nie rzucą ci słodyczy eliptyczny batonik czekoladowy, więc będziesz musiał uzbroić się w kilka poważnych narzędzi kuchennych:

Współrzędne środka ciężkości płaskiej jednorodnej ograniczonej figury oblicza się za pomocą następujących wzorów:

, Lub:

, gdzie jest obszar regionu (rysunek); lub bardzo krótko:

, Gdzie

Całkę umownie nazwiemy całką „X”, a całkę całką „Y”.

Uwaga pomocy : dla mieszkania ograniczona heterogeniczny figury, których gęstość jest określona przez funkcję, wzory są bardziej złożone:
, Gdzie – masa figury;w przypadku gęstości jednolitej upraszcza się je do powyższych wzorów.

Tak naprawdę cała nowość kończy się na formułach, reszta to Twoje umiejętności rozwiązywać całki podwójne Swoją drogą, teraz jest świetna okazja, żeby poćwiczyć i udoskonalić swoją technikę. A jak wiadomo, perfekcja nie ma granic =)

Dorzućmy orzeźwiającą porcję paraboli:

Przykład 1

Znajdź współrzędne środka ciężkości jednorodnej płaskiej figury ograniczonej liniami.

Rozwiązanie: linie są tu elementarne: definiuje oś x, a równanie – parabolę, którą można łatwo i szybko skonstruować za pomocą przekształcenia geometryczne grafów:

– parabola, przesunął się o 2 jednostki w lewo i 1 jednostkę w dół.

Od razu uzupełnię cały rysunek o gotowy punkt środka ciężkości figury:

Zasada druga: jeśli figura ma oś symetrii, wówczas środek ciężkości tej figury koniecznie leży na tej osi.

W naszym przypadku figura jest symetryczna względem bezpośredni, czyli tak naprawdę znamy już współrzędną „x” punktu „em”.

Należy również pamiętać, że w pionie środek ciężkości jest przesunięty bliżej osi x, ponieważ tam figura jest bardziej masywna.

Tak, być może nie wszyscy jeszcze w pełni zrozumieli, czym jest środek ciężkości: proszę podnieść palec wskazujący do góry i w myślach umieścić zacienioną „podeszwę” z kropką na niej. Teoretycznie liczba nie powinna spaść.

Współrzędne środka ciężkości figury znajdujemy za pomocą wzorów , Gdzie .

Kolejność przemierzania obszaru (rysunek) jest tutaj oczywista:

Uwaga! Ustalenie najkorzystniejszej kolejności przejazdu raz- i korzystaj z tego dla wszystkich całki!

1) Najpierw obliczmy pole figury. Ze względu na względną prostotę całki rozwiązanie można zapisać zwięźle; najważniejsze jest, aby nie pomylić się w obliczeniach:

Patrzymy na rysunek i szacujemy obszar według komórek. Okazało się, że chodziło o tę sprawę.

2) Współrzędna X środka ciężkości została już znaleziona „ metoda graficzna", więc możesz odwołać się do symetrii i przejść do następnego punktu. Jednak nadal nie polecam tego robić – istnieje duże prawdopodobieństwo, że rozwiązanie zostanie odrzucone ze sformułowaniem „użyj wzoru”.

Pamiętaj, że tutaj możesz poradzić sobie wyłącznie z obliczeniami mentalnymi - czasami wcale nie jest konieczne sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika lub dręczenie kalkulatora.

Zatem:
czyli to, co należało uzyskać.

3) Znajdź rzędną środka ciężkości. Obliczmy całkę „z gry”:

Ale tutaj byłoby ciężko bez kalkulatora. Na wszelki wypadek dodam, że w wyniku mnożenia wielomianów otrzymujemy 9 wyrazów, a niektóre z nich są podobne. Podobne warunki dałem ustnie (jak to zwykle ma miejsce w podobnych przypadkach) i natychmiast spisał całą kwotę.

W rezultacie:
, co jest bardzo, bardzo podobne do prawdy.

Na ostatnim etapie zaznacz punkt na rysunku. Zgodnie z warunkiem nie było obowiązku rysowania czegokolwiek, ale w większości zadań jesteśmy zmuszeni, chcąc nie chcąc, narysować jakąś figurę. Ale jest absolutny plus - wizualna i dość skuteczna weryfikacja wyniku.

Odpowiedź:

Poniższe dwa przykłady dotyczą niezależna decyzja.

Przykład 2

Znajdź współrzędne środka ciężkości jednorodnej płaskiej figury ograniczonej liniami

Nawiasem mówiąc, jeśli wyobrazisz sobie, jak znajduje się parabola i zobaczysz punkty, w których przecina ona oś, to tutaj możesz obejść się bez rysunku.

I bardziej skomplikowane:

Przykład 3

Znajdź środek ciężkości jednorodnej płaskiej figury ograniczonej liniami

Jeśli masz trudności z konstruowaniem wykresów, przestudiuj (powtórz) lekcja o parabolach i/lub Przykład nr 11 artykułu Całki podwójne dla manekinów.

Przykładowe rozwiązania na końcu lekcji.

Ponadto kilkanaście lub dwa podobne przykłady można znaleźć w odpowiednim archiwum na stronie Gotowe rozwiązania dla matematyki wyższej.

Cóż, nie mogę powstrzymać się od zadowolenia fanów matematyki wyższej, którzy często proszą mnie o analizę trudnych problemów:

Przykład 4

Znajdź środek ciężkości jednorodnej płaskiej figury ograniczonej liniami. Narysuj figurę i jej środek ciężkości na rysunku.

Rozwiązanie: stan tego zadania już kategorycznie wymaga ukończenia rysunku. Ale wymóg nie jest tak formalny! – nawet osoba o średnim poziomie wytrenowania może sobie wyobrazić tę liczbę w głowie:

Linia prosta przecina okrąg na 2 części i dodatkową klauzulę (cm. nierówności liniowe) wskazuje, że mówimy o małym zacienionym fragmencie.

Figura jest symetryczna względem linii prostej (oznaczonej linią przerywaną), zatem środek ciężkości powinien leżeć na tej linii. I oczywiście jego współrzędne są równe modulo. Doskonała wskazówka, która praktycznie eliminuje możliwość błędnej odpowiedzi!

Teraz zła wiadomość =) Na horyzoncie pojawia się nieprzyjemna całka korzenia, którą szczegółowo sprawdziliśmy w przykładzie nr 4 lekcji Efektywne metody rozwiązywania całek. I kto wie, co jeszcze tam zostanie narysowane. Wydawać by się mogło, że ze względu na obecność koło opłacalne, ale nie wszystko jest takie proste. Równanie prostej zostaje przekształcone do postaci a całki również nie okażą się cukrem (chociaż fani Całki trygonometryczne doceni). W związku z tym rozsądniej jest skupić się na współrzędnych kartezjańskich.

Kolejność przechodzenia po figurze:

1) Oblicz pole figury:

Bardziej racjonalne jest przyjęcie pierwszej całki podsumowując znak różniczkowy:

A w drugiej całce dokonujemy standardowego zastąpienia:

Obliczmy nowe granice całkowania:

2) Znajdźmy.

Tutaj, w drugiej całce, zostało ono ponownie użyte metoda podciągania funkcji pod znak różniczkowy. Ćwicz i przyjmuj te optymalne (Moim zdaniem) techniki rozwiązywania całek standardowych.

Po trudnych i czasochłonnych obliczeniach ponownie zwracamy uwagę na rysunek (pamiętaj o tych punktach jeszcze nie wiemy! ) i czerpiemy głęboką satysfakcję moralną ze znalezionej wartości.

3) Na podstawie przeprowadzonej wcześniej analizy pozostaje upewnić się, że .

Świetnie:

Narysujmy punkt na rysunku. Zgodnie z brzmieniem warunku zapisujemy go jako ostateczny odpowiedź:

Podobne zadanie, które możesz rozwiązać samodzielnie:

Przykład 5

Znajdź środek ciężkości jednorodnej płaskiej figury ograniczonej liniami. Wykonaj rysunek.

Ten problem jest interesujący, ponieważ zawiera figurę o dość małych rozmiarach, a jeśli gdzieś popełnisz błąd, istnieje duże prawdopodobieństwo, że w ogóle „nie dostaniesz się” do tego obszaru. Co jest z pewnością dobre z punktu widzenia kontroli decyzji.

Przykładowy projekt na końcu lekcji.

Czasami ma to sens przejście do współrzędnych biegunowych w całkach podwójnych. To zależy od figury. Szukałem i szukałem udanego przykładu, ale nie mogłem go znaleźć, więc zademonstruję rozwiązanie w pierwszym problemie demonstracyjnym powyższej lekcji:


Przypomnę, że w tym przykładzie poszliśmy do współrzędne biegunowe, ustaliłem kolejność przemierzania terenu i obliczyłem jego pole

Znajdźmy środek ciężkości tej figury. Schemat jest taki sam: . Wartość patrzy się bezpośrednio z rysunku, a współrzędną „x” należy przesunąć nieco bliżej osi rzędnych, ponieważ tam znajduje się bardziej masywna część półkola.

W całkach używamy standardowych wzorów przejść:

Co ciekawe, najprawdopodobniej się nie mylili.

3 Zastosowania całek podwójnych

3.1 Wprowadzenie teoretyczne

Rozważmy zastosowania całka podwójna do rozwiązania szeregu problemów geometrycznych i mechanicznych.

3.1.1 Obliczanie pola i masy płaskiej płyty

Rozważmy płytkę z cienkiego materiału D, znajdujący się w samolocie Ooo. Kwadrat S tej płyty można znaleźć korzystając z całki podwójnej według wzoru:

3.1.2 Momenty statyczne. Środek masy płaskiej płyty

Moment statyczny M X względem osi Wół punkt materialny P(X;y), leżąc w samolocie Oksy i posiadanie masy M, nazywa się iloczynem masy punktu i jego rzędnej, tj. M X = mój. Moment statyczny wyznacza się w podobny sposób M y względem osi Oj: ­ ­ ­ M y = mx. Momenty statyczne płaska płyta o gęstości powierzchniowej γ = γ (x, y) oblicza się za pomocą wzorów:

Jak wiadomo z mechaniki, współrzędne X C , j Cśrodek masy płaskiego układu materialnego wyznaczają równości:

Gdzie M jest masą układu, oraz M X I M y– momenty statyczne układu. Masa płaska M wyznacza się wzorem (1), momenty statyczne płaskiej płyty można obliczyć korzystając ze wzorów (3) i (4). Następnie zgodnie ze wzorami (5) otrzymujemy wyrażenie na współrzędne środka masy płaskiej płyty:

Typowe obliczenia obejmują dwa zadania. Każde zadanie otrzymuje płaską płytkę D, ograniczony liniami określonymi w opisie problemu. G(x, y) – gęstość powierzchniowa płyty D. Do tej płyty znajdź: 1. S- kwadrat; 2. M– masa; 3. M y , M X– momenty statyczne wokół osi Oh I Oh odpowiednio; 4. , – współrzędne środka masy.

3.3 Procedura wykonywania typowych obliczeń

Przy rozwiązywaniu każdego zadania należy: 1. Narysować rysunek zadanego obszaru. Wybierz układ współrzędnych, w którym będą obliczane całki podwójne. 2. Zapisz pole w postaci układu nierówności w wybranym układzie współrzędnych. 3. Oblicz powierzchnię S i masa M płytki według wzorów (1) i (2). 4. Oblicz momenty statyczne M y , M X zgodnie ze wzorami (3) i (4). 5. Oblicz współrzędne środka masy korzystając ze wzorów (6). Narysuj na rysunku środek masy. W takim przypadku następuje wizualna (jakościowa) kontrola uzyskanych wyników. Odpowiedzi liczbowe należy podać do trzech cyfr znaczących.

3.4 Przykłady wykonania typowych obliczeń

Zadanie 1. Płyta D ograniczone liniami: y = 4 – X 2 ; X = 0; y = 0 (X ≥ 0; y ≥ 0) Gęstość powierzchniowa γ 0 = 3. Rozwiązanie. Obszar określony w zadaniu jest ograniczony parabolą y = 4 – X 2, osie współrzędnych i leży w pierwszej ćwiartce (ryc. 1). Problem rozwiążemy w kartezjańskim układzie współrzędnych. Region ten można opisać układem nierówności:

Ryż. 1

Kwadrat S płyta jest równa (1): Ponieważ płyta jest jednorodna, jej masa M = γ 0 S= 3· = 16. Korzystając ze wzorów (3), (4) wyznaczamy momenty statyczne płyty: Współrzędne środka masy wyznacza się według wzoru (6): Odpowiedź: S ≈ 5,33; M = 16; M X = 25,6; M y = 12; = 0,75; = 1,6.

Zadanie 2. Płyta D ograniczone liniami: X 2 + Na 2 = 4; X = 0, Na = X (X ≥ 0, Na≥ 0). Gęstość powierzchniowa γ (x, y) = Na. Rozwiązanie. Płyta jest ograniczona okręgiem i liniami prostymi przechodzącymi przez początek współrzędnych (ryc. 2). Dlatego, aby rozwiązać problem, wygodnie jest użyć biegunowego układu współrzędnych. Kąt polarny φ zmienia się z π/4 na π/2. Promień przeprowadzony od bieguna przez płytkę „wchodzi” do niej w punkcie ρ = 0 i „wychodzi” na okrąg, którego równanie brzmi: X 2 + Na 2 = 4 <=>ρ = 2.

Ryż. 2

W konsekwencji dany obszar można zapisać za pomocą układu nierówności: Pole płytki znajdujemy za pomocą wzoru (1): Masę płyty wyznaczamy za pomocą wzoru (2), podstawiając γ (x, y) = y = ρ grzech φ :
Do obliczenia momentów statycznych płyty używamy wzorów (3) i (4):
Współrzędne środka masy uzyskujemy korzystając ze wzorów (6): Odpowiedź: S ≈ 1,57; M ≈ 1,886; M X = 2,57; M y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Przygotowanie raportu

Protokół musi zawierać wszystkie wykonane obliczenia i starannie wykonane rysunki. Odpowiedzi liczbowe należy podać do trzech cyfr znaczących.