Znaki podzielności liczb- są to reguły, które pozwalają stosunkowo szybko dowiedzieć się, bez dzielenia, czy ta liczba jest podzielna przez daną liczbę bez reszty.
Niektóre z oznaki podzielności całkiem proste, niektóre bardziej skomplikowane. Na tej stronie znajdziesz oba znaki podzielności liczby pierwsze, takie jak na przykład 2, 3, 5, 7, 11, oraz znaki podzielności liczb złożonych, takie jak 6 lub 12.
Mieć nadzieję, tę informację będzie ci przydatne.
Miłej nauki!

Test na podzielność przez 2

Jest to jeden z najprostszych znaków podzielności. Brzmi to tak: jeśli zapis liczby naturalnej kończy się cyfrą parzystą, to jest ona parzysta (podzielna bez reszty przez 2), a jeśli zapis liczby kończy się cyfrą nieparzystą, to liczba ta jest nieparzysta.
Innymi słowy, jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 2 , 4 , 6 , 8 Lub 0 - liczba jest podzielna przez 2, jeśli nie, to jest niepodzielna
Na przykład liczby: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 są podzielne przez 2, ponieważ są parzyste.
Liczby: 23 5 , 137 , 2303
Nie można ich podzielić przez 2, ponieważ są nieparzyste.

Test na podzielność przez 3

Ten znak podzielności rządzi się zupełnie innymi prawami: jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to liczba ta jest podzielna przez 3; Jeśli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 3, to liczba ta nie jest podzielna przez 3.
Oznacza to, że aby dowiedzieć się, czy liczba jest podzielna przez 3, wystarczy dodać do siebie liczby tworzące tę liczbę.
Wygląda to tak: 3987 i 141 są podzielne przez 3, bo w pierwszym przypadku 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - podzielne przez 3), a w drugim 1+4+1= 6 (6:3=2 – także podzielne przez 3).
Ale liczby: 235 i 566 nie są podzielne przez 3, bo 2+3+5= 10 i 5+6+6= 17 (i wiemy, że ani 10, ani 17 nie są podzielne przez 3 bez reszty).

Test podzielności przez 4

Ten znak podzielności będzie bardziej skomplikowany. Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby tworzą liczbę podzielną przez 4 lub jest to 00, to liczba ta jest podzielna przez 4, w przeciwnym razie dana liczba nie jest podzielna przez 4 bez reszty.
Na przykład: 1 00 i 3 64 są podzielne przez 4, ponieważ w pierwszym przypadku liczba kończy się na 00 , a w drugim dalej 64 , co z kolei jest podzielne przez 4 bez reszty (64:4=16)
Liczby 3 57 i 8 86 nie są podzielne przez 4, ponieważ żadne z nich nie jest podzielne 57 żaden 86 nie są podzielne przez 4, co oznacza, że ​​nie spełniają tego kryterium podzielności.

Test podzielności przez 5

I znowu mamy dość prosty znak podzielności: jeśli zapis liczby naturalnej kończy się cyfrą 0 lub 5, to liczba ta jest podzielna przez 5 bez reszty. Jeśli zapis liczby kończy się inną cyfrą, to liczba nie dzieli się przez 5 bez reszty.
Oznacza to, że dowolne liczby kończące się cyframi 0 I 5 , na przykład 1235 5 i 43 0 , podlegają tej regule i są podzielne przez 5.
I na przykład 1549 3 i 56 4 nie kończą się cyfrą 5 ani 0, co oznacza, że ​​nie można ich podzielić przez 5 bez reszty.

Test podzielności przez 6

Mamy przed sobą liczbę złożoną 6, która jest iloczynem liczb 2 i 3. Dlatego znak podzielności przez 6 jest również złożony: aby liczba była podzielna przez 6, musi odpowiadać dwóm znakom podzielność jednocześnie: znak podzielności przez 2 i znak podzielności przez 3. Należy pamiętać, że taka liczba złożona jak 4 ma indywidualny znak podzielności, ponieważ jest iloczynem samej liczby 2. Wróćmy jednak do testu podzielności przez 6.
Liczby 138 i 474 są parzyste i spełniają kryteria podzielności przez 3 (1+3+8=12, 12:3=4 i 4+7+4=15, 15:3=5), czyli są podzielne przez 6. Ale 123 i 447, chociaż są podzielne przez 3 (1+2+3=6, 6:3=2 i 4+4+7=15, 15:3=5), ale są nieparzyste, co oznacza, że ​​nie odpowiadają one kryterium podzielności przez 2, a zatem nie odpowiadają kryterium podzielności przez 6.

Test podzielności przez 7

Ten test podzielności jest bardziej złożony: liczba jest podzielna przez 7, jeśli wynik odjęcia dwukrotności ostatniej cyfry od liczby dziesiątek tej liczby jest podzielny przez 7 lub równy 0.
Brzmi to dość zawile, ale w praktyce jest proste. Przekonaj się sam: liczba 95 9 jest podzielne przez 7, ponieważ 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 dzieli się przez 7 bez reszty). Co więcej, jeśli pojawią się trudności z liczbą uzyskaną podczas przekształcenia (ze względu na jej wielkość trudno jest zrozumieć, czy jest ona podzielna przez 7, czy nie, wówczas procedurę tę można kontynuować tyle razy, ile uznasz za konieczne).
Na przykład, 45 5 i 4580 1 mają właściwości podzielności przez 7. W pierwszym przypadku wszystko jest dość proste: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. W drugim przypadku zrobimy tak: 4580 -2*1=4580-2=4578. Trudno nam zrozumieć, czy 457 8 na 7, więc powtórzmy proces: 457 -2*8=457-16=441. I znowu skorzystamy z testu podzielności, ponieważ wciąż mamy przed sobą liczbę trzycyfrową 44 1. Zatem 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, tj. 42 dzieli się przez 7 bez reszty, co oznacza, że ​​45801 dzieli się przez 7.
Oto liczby 11 1 i 34 Liczba 5 nie jest podzielna przez 7, ponieważ 11 -2*1=11-2=9 (9 nie jest podzielne przez 7) i 34 -2*5=34-10=24 (24 nie jest podzielne przez 7 bez reszty).

Test podzielności przez 8

Test na podzielność przez 8 wygląda następująco: jeśli 3 ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 lub jest to 000, to dana liczba jest podzielna przez 8.
Numery 1 000 lub 1 088 podzielna przez 8: pierwsza kończy się na 000 , drugi 88 :8=11 (podzielne przez 8 bez reszty).
A oto cyfry 1 100 lub 4 757 nie są podzielne przez 8, ponieważ liczby 100 I 757 nie są podzielne przez 8 bez reszty.

Test podzielności przez 9

Ten znak podzielności jest podobny do znaku podzielności przez 3: jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9, to liczba ta jest podzielna przez 9; Jeśli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 9, to liczba ta nie jest podzielna przez 9.
Na przykład: 3987 i 144 są podzielne przez 9, ponieważ w pierwszym przypadku 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - dzieli się przez 9 bez reszty), a w drugim 1+4+4= 9 (9:9=1 - także podzielne przez 9).
Ale liczb: 235 i 141 nie dzieli się przez 9, bo 2+3+5= 10 i 1+4+1= 6 (i wiemy, że ani 10, ani 6 nie są podzielne przez 9 bez reszty).

Znaki podzielności przez 10, 100, 1000 i inne jednostki cyfrowe

Połączyłem te znaki podzielności, ponieważ można je opisać w ten sam sposób: liczba jest dzielona przez jednostkę cyfrową, jeśli liczba zer na końcu liczby jest większa lub równa liczbie zer w danej jednostce cyfry .
Innymi słowy, mamy na przykład następujące liczby: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . z których wszystkie są podzielne przez 1 0 ; 46400 i 867 000 są również podzielne przez 1 00 ; i tylko jeden z nich to 867 000 podzielna przez 1 000 .
Żadne liczby, które mają mniej zer na końcu niż jednostka cyfrowa, nie są podzielne przez tę jednostkę cyfrową, na przykład 600 30 i 7 93 niepodzielny 1 00 .

Test podzielności przez 11

Aby dowiedzieć się, czy liczba jest podzielna przez 11, należy obliczyć różnicę między sumami cyfr parzystych i nieparzystych tej liczby. Jeśli ta różnica jest równa 0 lub jest podzielna przez 11 bez reszty, to sama liczba jest podzielna przez 11 bez reszty.
Aby było jaśniej, sugeruję przyjrzenie się przykładom: 2 35 Liczba 4 jest podzielna przez 11, ponieważ ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 jest również podzielne przez 11, ponieważ ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Oto 1 1 1 lub 4 35 4 nie jest podzielne przez 11, ponieważ w pierwszym przypadku otrzymujemy (1+1)- 1 =1, a w drugim ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Test podzielności przez 12

Liczba 12 jest złożona. Jego znakiem podzielności jest zgodność ze znakami podzielności przez 3 i 4 jednocześnie.
Na przykład 300 i 636 odpowiadają zarówno znakom podzielności przez 4 (ostatnie 2 cyfry są zerami lub są podzielne przez 4), jak i znakom podzielności przez 3 (suma cyfr pierwszej i trzeciej liczby jest podzielna przez 3), ale ostatecznie są one podzielne przez 12 bez reszty.
Ale 200 czy 630 nie są podzielne przez 12, gdyż w pierwszym przypadku liczba spełnia jedynie kryterium podzielności przez 4, a w drugim jedynie kryterium podzielności przez 3, ale nie oba kryteria jednocześnie.

Test podzielności przez 13

Znakiem podzielności przez 13 jest to, że jeśli liczba dziesiątek liczby dodana do jednostek tej liczby pomnożona przez 4 jest wielokrotnością 13 lub równą 0, to sama liczba jest podzielna przez 13.
Weźmy na przykład 70 2. Zatem 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 dzieli się przez 13 bez reszty), co oznacza 70 2 dzieli się przez 13 bez reszty. Innym przykładem jest liczba 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Liczba 130 dzieli się przez 13 bez reszty, co oznacza, że ​​podana liczba spełnia kryterium podzielności przez 13.
Jeśli weźmiemy liczby 12 5 lub 21 2, wtedy otrzymamy 12 +4*5=32 i 21 Odpowiednio +4*2=29 i ani 32, ani 29 nie są podzielne przez 13 bez reszty, co oznacza, że ​​podane liczby nie są podzielne przez 13 bez reszty.

Podzielność liczb

Jak widać z powyższego, można założyć, że do każdego liczby naturalne możesz wybrać własny, indywidualny znak podzielności lub znak „złożony”, jeśli liczba jest wielokrotnością kilku różnych liczb. Ale jak pokazuje praktyka, w zasadzie im większa liczba, tym bardziej złożony jest jej znak. Możliwe jest, że czas poświęcony na sprawdzenie kryterium podzielności będzie równy lub większy niż sam podział. Dlatego zwykle używamy najprostszych znaków podzielności.

Matematykę w szóstej klasie rozpoczynamy od poznania pojęcia podzielności i znaków podzielności. Często ograniczają się one do kryteriów podzielności przez liczby:

• NA 2 : ostatnia cyfra musi wynosić 0, 2, 4, 6 lub 8;
• NA 3 : suma cyfr liczby musi być podzielna przez 3;
• NA 4 : liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry musi być podzielna przez 4;
• NA 5 : ostatnia cyfra musi wynosić 0 lub 5;
• NA 6 : liczba musi mieć znaki podzielności przez 2 i 3;
• Test podzielności dla 7 często pomijane;
• Rzadko mówią też o teście podzielności przez 8 , chociaż jest to podobne do kryteriów podzielności przez 2 i 4. Aby liczba była podzielna przez 8, konieczne i wystarczające jest, aby trzycyfrowa końcówka była podzielna przez 8.
• Test podzielności dla 9 Każdy wie: suma cyfr liczby musi być podzielna przez 9. Co jednak nie rozwija odporności na wszelkiego rodzaju sztuczki z datami, którymi posługują się numerolodzy.
• Test podzielności dla 10 , prawdopodobnie najprostsze: liczba musi kończyć się zerem.
• Czasami szóstoklasiści uczą się o teście podzielności przez 11 . Musisz dodać cyfry liczby znajdujące się w miejscach parzystych i odjąć od wyniku liczby znajdujące się w miejscach nieparzystych. Jeśli wynik jest podzielny przez 11, wówczas sama liczba jest podzielna przez 11.

Wróćmy teraz do testu na podzielność przez 7. Jeśli o tym mówią, łączą go z testem na podzielność przez 13 i radzą tak go używać.

Weźmy liczbę. Dzielimy go na bloki po 3 cyfry (najbardziej lewy blok może zawierać jedną lub dwie cyfry) i naprzemiennie dodajemy/odejmujemy te bloki.

Jeśli wynik jest podzielny przez 7, 13 (lub 11), wówczas sama liczba jest podzielna przez 7, 13 (lub 11).

Metoda ta, podobnie jak szereg chwytów matematycznych, opiera się na fakcie, że 7x11x13 = 1001. Co jednak zrobić z liczbami trzycyfrowymi, dla których kwestii podzielności również nie da się rozwiązać bez samego dzielenia.

Stosując uniwersalny test podzielności, można skonstruować stosunkowo proste algorytmy ustalania, czy liczba jest podzielna przez 7 i inne „niewygodne” liczby.

Ulepszony test podzielności przez 7
Aby sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 7, należy odrzucić ostatnią cyfrę liczby i odjąć ją dwukrotnie od wyniku. Jeśli wynik jest podzielny przez 7, wówczas sama liczba jest podzielna przez 7.

Przykład 1:
Czy 238 dzieli się przez 7?
23-8-8 = 7. Zatem liczba 238 jest podzielna przez 7.
Rzeczywiście, 238 = 34x7

Czynność tę można powtarzać wielokrotnie.
Przykład 2:
Czy 65835 dzieli się przez 7?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 jest podzielne przez 7 (gdybyśmy tego nie zauważyli, moglibyśmy zrobić jeszcze jeden krok: 6-3-3 = 0, a 0 z pewnością dzieli się przez 7).

Oznacza to, że liczba 65835 jest podzielna przez 7.

Opierając się na uniwersalnym kryterium podzielności, można poprawić kryteria podzielności o 4 i o 8.

Ulepszony test na podzielność przez 4
Jeśli połowa liczby jednostek plus liczba dziesiątek jest liczbą parzystą, to liczba ta jest podzielna przez 4.

Przykład 3
Czy liczba 52 jest podzielna przez 4?
5+2/2 = 6, liczba jest parzysta, co oznacza, że ​​jest podzielna przez 4.

Przykład 4
Czy liczba 134 jest podzielna przez 4?
3+4/2 = 5, liczba jest nieparzysta, co oznacza, że ​​134 nie jest podzielne przez 4.

Ulepszony test na podzielność przez 8
Jeśli dodasz dwukrotnie większą liczbę setek, liczbę dziesiątek i połowę liczby jednostek, a wynik będzie podzielny przez 4, wówczas sama liczba będzie podzielna przez 8.

Przykład 5
Czy liczba 512 jest podzielna przez 8?
5*2+1+2/2 = 12, liczba jest podzielna przez 4, co oznacza, że ​​512 jest podzielne przez 8.

Przykład 6
Czy liczba 1984 jest podzielna przez 8?
9*2+8+4/2 = 28, liczba jest podzielna przez 4, co oznacza, że ​​1984 jest podzielna przez 8.

Test podzielności przez 12- to jest suma znaków podzielności przez 3 i 4. To samo działa dla każdego n, które jest iloczynem liczb względnie pierwszych p i q. Aby liczba była podzielna przez n (co jest równe iloczynowi pq,actih, tak że gcd(p,q)=1), jedna liczba musi być podzielna zarówno przez p, jak i q.

Jednak bądź ostrożny! Aby kryteria podzielności złożonej działały, czynniki liczby muszą być względnie pierwsze. Nie można powiedzieć, że liczba jest podzielna przez 8, jeśli jest podzielna przez 2 i 4.

Ulepszony test na podzielność przez 13
Aby sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 13, należy odrzucić ostatnią cyfrę liczby i dodać ją czterokrotnie do otrzymanego wyniku. Jeśli wynik jest podzielny przez 13, wówczas sama liczba jest podzielna przez 13.

Przykład 7
Czy 65835 dzieli się przez 8?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Liczba 43 nie jest podzielna przez 13, co oznacza, że ​​liczba 65835 nie jest podzielna przez 13.

Przykład 8
Czy 715 dzieli się przez 13?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
Liczba 13 jest podzielna przez 13, co oznacza, że ​​liczba 715 jest podzielna przez 13.

Znaki podzielności przez 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 i inne liczby złożone, które nie są potęgami liczb pierwszych, są podobne do testów podzielności przez 12. Sprawdzamy podzielność tych liczb przez czynniki względnie pierwsze.

• Dla 14: dla 2 i dla 7;
• Dla 15: dla 3 i dla 5;
• Dla 18: na 2 i 9;
• Dla 21: na 3 i 7;
• Dla 20: o 4 i o 5 (innymi słowy ostatnia cyfra musi wynosić zero, a przedostatnia cyfra musi być parzysta);
• Dla 24: dla 3 i dla 8;
• Dla 26: na 2 i 13;
• Dla 28: dla 4 i dla 7.

Ulepszony test na podzielność przez 16.
Zamiast sprawdzać, czy 4-cyfrowa końcówka liczby jest podzielna przez 16, możesz dodać cyfrę jedności z 10-krotnością cyfry dziesiątek, poczwórnej cyfry setek i
pomnóż przez osiem razy cyfrę tysięcy i sprawdź, czy wynik jest podzielny przez 16.

Przykład 9
Czy liczba 1984 jest podzielna przez 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
Liczba 30 nie jest podzielna przez 16, co oznacza, że ​​rok 1984 nie jest podzielny przez 16.

Przykład 10
Czy liczba 1526 jest podzielna przez 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 nie jest podzielne przez 16, co oznacza, że ​​1526 nie jest podzielne przez 16.

Ulepszony test na podzielność przez 17.
Aby sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 17, należy odrzucić ostatnią cyfrę liczby i odjąć ją pięć razy od wyniku. Jeśli wynik jest podzielny przez 13, wówczas sama liczba jest podzielna przez 13.

Przykład 11
Czy liczba 59772 jest podzielna przez 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 jest podzielne przez 17, co oznacza, że ​​liczba 59772 jest podzielna przez 17.

Przykład 12
Czy liczba 4913 jest podzielna przez 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
Liczba 17 jest podzielna przez 17, co oznacza, że ​​liczba 4913 jest podzielna przez 17.

Ulepszony test na podzielność przez 19.
Aby sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 19, należy dodać dwukrotnie ostatnią cyfrę do liczby pozostałej po odrzuceniu ostatniej cyfry.

Przykład 13
Czy liczba 9044 jest podzielna przez 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
Liczba 19 jest podzielna przez 19, co oznacza, że ​​liczba 9044 jest podzielna przez 19.

Ulepszony test na podzielność przez 23.
Aby sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 23, należy dodać ostatnią cyfrę, powiększoną 7 razy, do liczby pozostałej po odrzuceniu ostatniej cyfry.

Przykład 14
Czy liczba 208012 jest podzielna przez 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Właściwie już można zauważyć, że 253 to 23,

Reguła

Test podzielności przez 7

Aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez \(\displaystyle 7\), musisz:

1. Weź oryginalny numer bez ostatniej cyfry.

2. Do liczby uzyskanej w pierwszym kroku dodaj ostatnią cyfrę pierwotnej liczby pomnożoną przez \(\displaystyle 5\).

Liczba jest podzielna przez \(\displaystyle 7\) wtedy i tylko wtedy, gdy suma uzyskana w drugim kroku jest podzielna przez \(\displaystyle 7\).

Wyjaśnienie

Test podzielności przez 7 dla liczb czterocyfrowych

W przypadku liczby czterocyfrowej test podzielności przez \(\displaystyle 7\) można sformułować w następujący sposób:

1. \(\ Displaystyle (\ kolor (niebieski) X) (\ kolor (czerwony) Y) (\ kolor (zielony) Z) (\ kolor (niebieski) W) \rightarrow (\ kolor (niebieski) X) (\ kolor(czerwony)Y)(\kolor(zielony)Z)\).

2. \(\ Displaystyle (\ kolor (niebieski) X) (\ kolor (czerwony) Y) (\ kolor (zielony) Z) + 5 \ cdot (\ kolor (niebieski) W) \).

Liczba \(\ Displaystyle (\ kolor (niebieski) X) (\ kolor (czerwony) Y) (\ kolor (zielony) Z) (\ kolor (niebieski) W) \) jest podzielna przez \ (\ displaystyle 7 \) wtedy tylko wtedy, gdy liczba \(\ Displaystyle (\ kolor (niebieski) X) (\ kolor (czerwony) Y) (\ kolor (zielony) Z) + 5 \ cdot (\ kolor (niebieski) W) \) jest podzielna przez \ (\ displaystyle 7 \).

Podano liczbę \(\displaystyle 2367\). Przeprowadźmy obliczenia zgodnie z regułą opisaną powyżej.

\(\ Displaystyle (\ kolor (niebieski) 2) (\ kolor (czerwony) 3) (\ kolor (zielony) 6) (\ kolor (niebieski) 7) \rightarrow (\ kolor (niebieski) 2) (\ kolor ( czerwony)3)(\kolor(zielony)6)\).

2. Oblicz:

\(\ Displaystyle (\ kolor (niebieski) 2) (\ kolor (czerwony) 3) (\ kolor (zielony) 6) + 5 \ cdot (\ kolor (niebieski) 7) = 271 \).

Liczba \(\displaystyle 2367\) jest podzielna przez \(\displaystyle 7\) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba \(\displaystyle 271\) jest podzielna przez \(\displaystyle 7\).

Sprawdźmy, czy trzycyfrowa liczba \(\displaystyle 271\, (=(\color(niebieski)X)(\color(red)Y)(\color(green)Z))\ jest podzielna przez \(\displaystyle 7\) ). Następnie \(\ Displaystyle (\ kolor (niebieski) X = 2), (\ kolor (czerwony) Y = 7), (\ kolor (zielony) Z = 1) \).

1. Odrzucamy ostatnią cyfrę pierwotnego numeru:

\(\ Displaystyle (\ kolor (niebieski) 2) (\ kolor (czerwony) 7) (\ kolor (zielony) 1) \rightarrow (\ kolor (niebieski) 2) (\ kolor (czerwony) 7) \).

2. Oblicz:

\(\ Displaystyle (\ kolor (niebieski) 2) (\ kolor (czerwony) 7) + 5 \ cdot (\ kolor (zielony) 1) = 32 \).

Liczba \(\displaystyle 271\) jest podzielna przez \(\displaystyle 7\) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba \(\displaystyle 32\) jest podzielna przez \(\displaystyle 7\).

Ponieważ \(\displaystyle 32\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle 7\), to \(\displaystyle 271\) jest również nie udostępniane do \(\displaystyle 7\).

Ponieważ \(\ displaystyle 271 \) nie jest podzielne przez \ (\ displaystyle 7 \), to \ (\ displaystyle 2367 \) jest również nie udostępniane do \(\displaystyle 7\).

Odpowiedź: nie, nie jest podzielna przez \(\displaystyle 7\).

Liczba jest podzielna przez 2 wtedy i tylko wtedy, gdy jego ostatnia cyfra jest podzielna przez 2, to znaczy jest parzysta.

Na przykład:
2, 8, 16, 24, 66, 150 - podzielne przez 2 , ponieważ ostatnia cyfra tych liczb jest parzysta;
3, 7, 19, 35, 77, 453 - niepodzielne przez 2 , ponieważ ostatnia cyfra tych liczb jest nieparzysta.

Test na podzielność przez 3

Liczba jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład:
471 - podzielne przez 3 , ponieważ 4+7+1=12, a liczba 12 jest podzielna przez 3;
532 - niepodzielne przez 3 , ponieważ 5+3+2=10, a liczba 10 nie jest podzielna przez 3.

Test podzielności przez 4

Liczba jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Liczba dwucyfrowa jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy dwukrotność liczby dziesiątek dodanych do liczby jednostek jest podzielna przez 4.

Na przykład:
4576 - podzielne przez 4 , ponieważ liczba 76 (7,2+6=20) jest podzielna przez 4;
9634 - niepodzielne przez 4 , ponieważ liczba 34 (3,2+4=10) nie jest podzielna przez 4.

Test podzielności przez 5

Liczba jest podzielna przez 5 gdy ostatnia cyfra jest podzielna przez 5, tj. jeśli jest to 0 lub 5.

Na przykład:
375, 5680, 233575 - podzielone przez 5 , ponieważ ich ostatnia cyfra to 0 lub 5;
9634, 452, 389753 - niepodzielne przez 5 , ponieważ ich ostatnia cyfra nie jest równa 0 ani 5.

Test podzielności przez 6

Liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna zarówno przez 2, jak i 3, to znaczy jest parzysta, a suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład:
462, 3456, 24642 ​​– podzielne przez 6 , ponieważ są podzielne zarówno przez 2, jak i 3;
6 , ponieważ 861 nie jest podzielne przez 2, 3458 nie jest podzielne przez 3, 34681 nie jest podzielne przez 2.

Test podzielności przez 7

Liczba jest podzielna przez 7, jeśli różnica między cyfrą dziesiątek a podwójną cyfrą jedności jest podzielna przez 7.

Na przykład:

Numer 296492
Bierzemy ostatnią cyfrę „2”, podwajamy ją i otrzymujemy 4. Odejmujemy 29649-4=29645. Nie wiemy, czy jest podzielna przez 7. Sprawdźmy więc jeszcze raz.
Bierzemy ostatnią cyfrę „5”, podwajamy ją i otrzymujemy 10. Odejmujemy 2964-10=2954. Nie wiemy, czy jest podzielna przez 7. Sprawdźmy więc jeszcze raz.
Bierzemy ostatnią cyfrę „4”, podwajamy ją i otrzymujemy 8. Odejmujemy 295-8=287. Nie wiemy, czy jest podzielna przez 7. Sprawdźmy więc jeszcze raz.
Bierzemy ostatnią cyfrę „7”, podwajamy ją i otrzymujemy 14. Odejmujemy 28-14=14. Liczba 14 jest podzielna przez 7, co oznacza, że ​​pierwotna liczba jest podzielna przez 7

Test podzielności przez 8

Liczba jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna przez 8. Liczba trzycyfrowa jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jedności dodana do dwukrotności liczby dziesiątek i czterokrotności liczby setek jest podzielna przez 8.

Na przykład:

952 jest podzielne przez 8, ponieważ 9*4+5*2+2=48 dzieli się przez 8

Test podzielności przez 9

Liczba jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

Na przykład:
468, 4788, 69759 - podzielone przez 9 , ponieważ suma ich cyfr jest podzielna przez dziewięć (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 - niepodzielne przez 9 , ponieważ suma ich cyfr nie jest podzielna przez dziewięć (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Test podzielności przez 10

Liczba jest podzielna przez 10 wtedy i tylko wtedy, gdy kończy się na zera.

Na przykład:
460, 24000, 1245464570 - podzielone przez 10 , ponieważ ostatnia cyfra tych liczb to zero;
234, 25048, 1230000003 - niepodzielne przez 10 , ponieważ ostatnia cyfra tych liczb nie jest zerowa.

Test podzielności przez 11

Znak 1: liczba jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy moduł różnicy między sumą cyfr zajmujących pozycje nieparzyste a sumą cyfr zajmujących pozycje parzyste jest podzielny przez 11.

Na przykład liczba 9163627 jest podzielna przez 11, ponieważ dzieli się przez 11.

Innym przykładem jest to, że 99077 jest podzielne przez 11, ponieważ jest podzielne przez 11.

Znak 2: liczba jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy suma liczb tworzących grupy dwucyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 11.

Na przykład 103785 jest podzielne przez 11, ponieważ 11 jest podzielne przez

Test podzielności przez 13

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 13 gdy suma liczby dziesiątek i poczwórnej liczby jedności jest podzielna przez 13.

Na przykład 845 jest podzielne przez 13, ponieważ 13 jest podzielne przez

Znak 2: Zatem liczba jest podzielna przez 13, gdy różnica między liczbą dziesiątek a dziewięciokrotnością liczby jednostek jest dzielona przez 13.

Na przykład 845 jest podzielne przez 13, ponieważ 13 jest podzielne

Test podzielności przez 17

Liczba jest podzielna przez 17 gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a pięciokrotnością liczby jedności dzieli się przez 17.

Liczba jest podzielna przez 17 gdy moduł sumy liczby dziesiątek i liczby dwanaście pomnożonej przez liczbę jedności jest dzielony przez 17.

Na przykład 221 jest podzielne przez 17, ponieważ dzieli się przez 17.

Test podzielności przez 19

Liczba jest podzielna przez 19 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dziesiątek dodana do podwójnej liczby jednostek jest podzielna przez 19.

Na przykład 646 jest podzielne przez 19, ponieważ 19 jest również podzielne przez

Test podzielności przez 20

Liczba jest podzielna przez 20 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 20.

Inne sformułowanie: liczba jest podzielna przez 20 wtedy i tylko wtedy, gdy ostatnia cyfra liczby wynosi 0, a przedostatnia cyfra jest parzysta.

Testy na podzielność przez 23

Znak 1: liczba jest podzielna przez 23 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba setek dodana do potrójnej liczby utworzonej przez dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 23.

Na przykład 28842 jest podzielne przez 23, ponieważ 23 dzieli się również przez

Znak 2: liczba jest podzielna przez 23 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dziesiątek dodana do siedmiu razy liczba jednostek jest podzielna przez 23. Na przykład 391 jest podzielne przez 23, ponieważ dzieli się przez 23.

Znak 3: liczba jest podzielna przez 23 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba setek dodana do siedmiu razy liczby dziesiątek i trzykrotności liczby jednostek jest podzielna przez 23.

Na przykład 391 jest podzielne przez 23, ponieważ dzieli się przez 23.

Test na podzielność przez 25

Liczba jest podzielna przez 25 wtedy i tylko wtedy, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25.

Test podzielności przez 27

Liczba jest podzielna przez 27 wtedy i tylko wtedy, gdy suma liczb tworzących grupy trzycyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 27.

Test podzielności przez 29

Liczba jest podzielna przez 29 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dziesiątek dodana do trzykrotności liczby jedności jest podzielna przez 29.

Na przykład 261 jest podzielne przez 29, ponieważ dzieli się przez 29.

Test podzielności przez 30

Liczba jest podzielna przez 30 wtedy i tylko wtedy, gdy kończy się na 0, a suma wszystkich cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład: 510 jest podzielne przez 30, ale 678 nie.

Test podzielności przez 31

Liczba jest podzielna przez 31 wtedy i tylko wtedy, gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a trzykrotnością liczby jedności jest podzielny przez 31. Na przykład 217 jest podzielne przez 31, ponieważ dzieli się przez 31.

Test podzielności przez 37

Znak 1: liczba jest podzielna przez 37 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieląc liczbę na grupy trzycyfrowe (zaczynając od jedności), suma tych grup jest wielokrotnością 37.

Znak 2: liczba jest podzielna przez 37 wtedy i tylko wtedy, gdy moduł trzykrotności liczby setek dodany do czterokrotności liczby dziesiątek minus liczba jednostek pomnożona przez siedem jest podzielny przez 37.

Znak 3: liczba jest podzielna przez 37 wtedy i tylko wtedy, gdy moduł sumy liczby setek przez liczbę jedności pomnożoną przez dziesięć minus liczba dziesiątek pomnożona przez 11 jest podzielny przez 37.

Na przykład liczba 481 jest podzielna przez 37, ponieważ 37 dzieli się przez

Test na podzielność przez 41

Znak 1: liczba jest podzielna przez 41 wtedy i tylko wtedy, gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a czterokrotnością liczby jednostek jest podzielny przez 41.

Na przykład 369 jest podzielne przez 41, ponieważ dzieli się przez 41.

Znak 2: aby sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 41, należy ją podzielić od prawej do lewej na krawędzie po 5 cyfr każda. Następnie w każdej ścianie pomnóż pierwszą cyfrę po prawej stronie przez 1, pomnóż drugą cyfrę przez 10, trzecią przez 18, czwartą przez 16, piątą przez 37 i dodaj wszystkie powstałe iloczyny. Jeśli wynik jest podzielny przez 41, to i tylko wtedy sama liczba będzie podzielna przez 41.

Test podzielności przez 50

Liczba jest podzielna przez 50 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona przez jej dwie najniższe cyfry dziesiętne jest podzielna przez 50.

Test na podzielność przez 59

Liczba jest podzielna przez 59 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jedności pomnożona przez 6 jest podzielna przez 59. Na przykład 767 jest podzielne przez 59, ponieważ 59 dzieli się przez

Test podzielności przez 79

Liczba jest podzielna przez 79 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jednostek pomnożona przez 8 jest podzielna przez 79. Na przykład 711 jest podzielne przez 79, ponieważ 79 dzieli się przez 79.

Test podzielności przez 99

Liczba jest podzielna przez 99 wtedy i tylko wtedy, gdy suma liczb tworzących grupy dwucyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 99. Na przykład 12573 jest podzielne przez 99, ponieważ 99 dzieli się przez

Test podzielności przez 101

Liczba jest podzielna przez 101 wtedy i tylko wtedy, gdy moduł sumy algebraicznej liczb tworzących nieparzyste grupy dwucyfrowe (zaczynające się od jedności), wziętych ze znakiem „+” i parzystych ze znakiem „-”, jest podzielny przez 101.

Na przykład liczba 590547 jest podzielna przez 101, ponieważ 101 dzieli się przez

Nauczyciel TRIZ Siergiej Władimirowicz Jefremow opowiada o swoim wynalazku nowego kryterium podzielności przez 7, wygodnego do stosowania w szkole.

Pracując w szkole przygotowawczej, wszedłem do gabinetu szóstej klasy i zobaczyłem na ścianie plakat „Oznaki podzielności liczb”. Były oznaki podzielności dla liczb 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, ale dla liczby 7 takiego znaku nie było. Zapytałem nauczyciela matematyki:

— Dlaczego nie ma śladu podzielności przez siedem?

Powiedzieli mi, że istnieje, ale jest bardzo skomplikowany. Zapytałem o to w Internecie. Znalazłem trzy znaki.

Znak 1 : liczba jest podzielna przez wtedy i tylko wtedy, gdy potrójna liczba dziesiątek dodana do liczby jedności jest podzielna przez 7. Na przykład 154 jest podzielne przez 7, ponieważ 15*3+4=49 dzieli się przez 7.

Innym przykładem jest to, że liczba 1001 jest podzielna przez 7, ponieważ 100*3+1=301, 30*3+1=91, 9*3+1=28, 2*3+8=14 dzieli się przez 7.

Znak 2 . liczba jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy moduł sumy algebraicznej liczb tworzących nieparzyste grupy trzech cyfr (zaczynających się od jedności), wziętych ze znakiem „+” i liczb parzystych ze znakiem „-” jest podzielny przez 7. Na przykład 138689257 jest podzielne przez 7, ponieważ 7 dzieli się przez |138-689+257|=294.

Znak 3 . Liczba jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy wynik odjęcia dwukrotności ostatniej cyfry od tej liczby bez ostatniej cyfry jest podzielny przez 7 (na przykład 259 jest podzielne przez 7, ponieważ 25 - (2 9) = 7 jest podzielne do 7).

Sprawdźmy podzielność liczby 86 576 (osiemdziesiąt sześć tysięcy pięćset siedemdziesiąt sześć). W tym numerze 8 657 (osiem tysięcy sześćset pięćdziesiąt siedem) dziesiątek i 6 (sześć) jednostek. Zacznijmy od sprawdzenia podzielności tej liczby przez 7 (siedem):

8657 - 6 x 2 = 8657 - 12 = 8645

Ponownie sprawdzamy podzielność przez 7 (siedem), teraz liczba, którą już otrzymaliśmy 8 645 (osiem tysięcy sześćset czterdzieści pięć). Teraz mamy 864 (osiem sześćdziesiąt cztery) dziesiątki i 5 (pięć) jednostek:

864 - 5 x 2 = 864 - 10 = 854

Powtarzamy nasze działania ponownie dla numeru 854 (osiemset pięćdziesiąt cztery), w którym 85 (osiemdziesiąt pięć) dziesiątek i 4 (cztery) jednostki:

85 - 4 x 2 = 85 - 8 = 77

W zasadzie gołym okiem widać już, że jest to liczba 77 (siedemdziesiąt siedem) podzielone przez 7 (siedem) i wynik jest taki 11 (jedenaście). Podobny wynik rozważaliśmy już powyżej.

Jak widać, znaki są naprawdę złożone. Trudno jest używać ich w myślach, ponieważ duża ilość operacje. Najprostszy jest trzeci znak, ale są też dwie akcje, najpierw mnożenie, potem odejmowanie, a dla liczb powyżej 700 trzeba już wykonać kilka cykli.

Ustaw zadanie:

„Znajdź dzielenie przez 7 przy mniejszej liczbie operacji matematycznych”.

Użyłem narzędzia TRIZ – IFR (idealny efekt końcowy).

Sama liczba musi stanowić źródło obliczeń.

I ten zasób został znaleziony. Jeśli spojrzysz na tabliczkę mnożenia dla 7, to jej iloczyny mają charakterystyczną właściwość - ostatnia cyfra nie jest powtarzana: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. Na pierwszy rzut oka , komplikuje to zadanie, ponieważ .To. sprawdzana liczba z dowolną końcówką może być podzielna przez 7. Jednak zgodnie z regułą TRIZ: „Kto przeszkadza, pomaga”. Musimy wykorzystać tę właściwość na naszą korzyść.

Patrząc na ostatnią cyfrę sprawdzanej liczby, znamy już jeden znak odpowiedzi - jest to liczba z tabliczki mnożenia, która daje tę wskazówkę. Na przykład, jeśli sprawdzana liczba to 154, to jeśli jest podzielna przez 7, ostatnią cyfrą odpowiedzi powinno być 2 (7x2=14), a jeśli liczba wynosi 259, to ostatnią cyfrą odpowiedzi powinno być 7 (7x7=49).

Oto zasób, którego potrzebujesz - to jest tabliczka mnożenia przez 7 - 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.

Zakładamy, że mamy to w pamięci. Teraz używamy akcji z trzeciego (najprostszego) atrybutu - odejmowanie. Otrzymujemy nowy test na podzielność przez 7.

Liczba jest podzielna przez 7, gdy wynik odjęcia od tej liczby pierwszej cyfry znanego iloczynu bez ostatniej cyfry jest podzielny przez 7.

A teraz w prostych słowach.

— Patrzymy na sprawdzaną liczbę, na przykład znane już 259.

— Kończy się na 9. Bierzemy zasób z tabliczki mnożenia 49 . Jej pierwsza cyfra to 4.

— Odejmijmy tę liczbę od 25. 25 – 4 = 21

— Odpowiedź brzmi 21. Zatem liczba ta jest podzielna przez 7. To wygląda tak: 259: 7 = 37. Ostatnia cyfra to 7, jak się spodziewaliśmy.

Jeszcze kilka przykładów. Czy liczba 756 jest podzielna przez 7?

Kończy się na 6. Zasób wynosi 56. Odejmij 75 - 5 = 70. Liczba jest dzielona przez 756: 7 = 108

Liczba 392. Kończy się na 2. Zasób – 42. Odejmij 39 -4 = 35. Podziel 392: 7 = 56.

Liczba 571. Kończy się na 1. Zasób – 21. Odejmij 57 – 2 = 55. Niepodzielne.

Liczba 574. Kończy się na 4. Zasób – 14. Odejmij 57 – 1 = 56. Podziel 574: 7 = 82

W tej funkcji wykluczyliśmy jedną operację matematyczną – mnożenie.

Dodatek.

W przypadku testowanych liczb większych niż 700, aby uniknąć powtarzających się cykli, jak w przypadku znaku 3, użyj wielokrotności siódemek jako odejmowania.

Rozważmy na przykład liczbę 973. Kończy się na 3. Zasób wynosi 63. Odejmij 97 - 6 = 91. Możesz przejść do drugiego cyklu lub możesz odjąć nie 6, ale 76. 97 - 76 = 21. Dzieli .

Dodawania dokonuje się według systemu liczbowego siedmiu: 70, 140, 210 itd. w zależności od sprawdzanego numeru.

1. Tego znaku można bez większych trudności używać w myślach dla liczb do 1000. Pomoże Ci znaleźć wielokrotności do dzielenia.

2. Koledzy, wykorzystajcie TRIZ do rozwiązania swoich problemów! To oszczędza czas. Znalezienie tego znaku podzielności zajęło mi 3 godziny, biorąc pod uwagę wyszukiwanie analogów w Internecie.

Będzie mi miło, jeśli ten znak będzie komuś przydatny.