Warunki brzegowe i początkowe równania różniczkowego. I. Warunki brzegowe pierwszego rodzaju. Poprawność ustawienia warunków brzegowych

dom

Płyta winylowa

Jak zauważono we wstępie, równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu mają nieskończoną liczbę rozwiązań zależnych od dwóch dowolnych funkcji. Aby określić te dowolne funkcje lub, innymi słowy, wyodrębnić konkretne rozwiązanie, którego potrzebujemy, musimy nałożyć dodatkowe warunki na żądaną funkcję. Czytelnik zetknął się już z podobnym zjawiskiem przy rozwiązywaniu równań różniczkowych zwyczajnych, kiedy wybór rozwiązania wspólnego z ogólnego polegał na znalezieniu dowolnych stałych zgodnie z zadanymi warunkami początkowymi.

Rozważając problem drgań strun, dodatkowe warunki mogą być dwojakiego rodzaju: początkowe i brzegowe (lub brzegowe).

Warunki początkowe pokazują, w jakim stanie znajdowała się struna w momencie rozpoczęcia drgań. Najwygodniej jest przyjąć, że struna zaczęła drgać w pewnym momencie. Początkowa pozycja punktów struny jest określona przez warunek

i prędkość początkowa

gdzie podane są funkcje.

Zapis i oznacza, że funkcję przyjmuje się przy dowolnej wartości i przy , czyli podobnie. Ta forma zapisu jest stale wykorzystywana w przyszłości; więc np.

Warunki (1.13) i (1.14) są podobne do warunków początkowych w najprostszym problemie dynamiki materialny punkt. Tam, aby określić prawo ruchu punktu, oprócz równanie różniczkowe, musisz znać początkowe położenie punktu i jego prędkość początkową.

Inny charakter mają warunki brzegowe. Pokazują one, co dzieje się na końcach struny przez cały czas drgań. W najprostszym przypadku, gdy końce struny są ustalone (początek struny jest w początku, a koniec w punkcie, funkcja spełni warunki

Czytelnik spełnił dokładnie te same warunki na kursie wytrzymałości materiałów, badając zginanie belki leżącej na dwóch podporach pod działaniem obciążenia statycznego.

Fizyczne znaczenie faktu, że ustawienie warunków początkowych i brzegowych całkowicie determinuje przebieg procesu, najłatwiej prześledzić dla przypadku drgań swobodnych struny.

Niech np. struna zamocowana na końcach zostanie jakoś odciągnięta, tj. ustalona funkcja - równanie początkowego kształtu struny, i zwolniona bez prędkości początkowej (to znaczy, że) Jasne jest, że przez to dalsza natura wibracji zostanie całkowicie określona i jedyną funkcję znajdziemy przez rozwiązanie jednorodne równanie w odpowiednich warunkach. Możesz sprawić, by struna oscylowała w inny sposób, a mianowicie nadając punktom struny pewną prędkość początkową. Jest fizycznie jasne, że w tym przypadku dalszy proces oscylacji zostanie całkowicie określony. Nadanie punktów prędkości początkowej struny można wykonać uderzając w strunę (tak jak podczas gry na pianinie); pierwszy sposób wzbudzania struny jest używany podczas gry na instrumentach szarpanych (np. gitarze).

Sformułujmy teraz końcowe zadanie matematyczne, które prowadzi do badania drgań swobodnych struny zamocowanej na obu końcach.

Wymagane jest rozwiązanie jednorodnego liniowego równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Określa temperaturę na powierzchni ciała w danym momencie, tj.

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

Ryż. 2.4 - Izotermiczny warunek brzegowy.

Bez względu na to, jak zmienia się temperatura wewnątrz ciała, temperatura punktów na powierzchni jest zgodna z równaniem (2.15).

Krzywa rozkładu temperatury w ciele (ryc. 2.4) na granicy ciała ma zadaną rzędną Ts , które mogą zmieniać się w czasie. Szczególnym przypadkiem warunku brzegowego pierwszego rodzaju jest izotermiczny warunek brzegowy, w którym temperatura powierzchni ciała pozostaje stała podczas całego procesu wymiany ciepła:

T s = stała.

Ryż. 2.5 - Stan pierwszego rodzaju

Aby wyobrazić sobie taki stan ciała, należy założyć, że inne, fikcyjne źródło ciepła znajdujące się poza nim ze znakiem ujemnym (tzw. radiator) działa symetrycznie do źródła ciepła działającego w ciele. Co więcej, właściwości tego radiatora dokładnie odpowiadają właściwościom rzeczywistego źródła ciepła, a rozkład temperatury jest opisany tym samym wyrażeniem matematycznym. Sumaryczny wpływ tych źródeł doprowadzi do tego, że na powierzchni ciała ustali się stała temperatura, w szczególnym przypadku T = 0 8C , podczas gdy w ciele temperatura punktów stale się zmienia.

Warunek brzegowy drugiego rodzaju

Określa gęstość Przepływ ciepła w dowolnym miejscu na powierzchni ciała w dowolnym momencie, tj.

Zgodnie z prawem Fouriera gęstość strumienia ciepła jest wprost proporcjonalna do gradientu temperatury. Zatem pole temperatury na granicy ma określony gradient (rys. b), w konkretnym przypadku stały, kiedy

Szczególnym przypadkiem warunku brzegowego drugiego rodzaju jest adiabatyczny warunek brzegowy, gdy strumień ciepła przez powierzchnię ciała wynosi zero (rys. 2.6), tj.

Ryż. 2.6 - Warunek brzegowy drugiego rodzaju

W obliczeniach technicznych często zdarza się, że strumień ciepła z powierzchni ciała jest mały w porównaniu z przepływami wewnątrz ciała. Wtedy możemy przyjąć tę granicę jako adiabatyczną. W przypadku spawania taki przypadek można przedstawić na poniższym schemacie (ryc. 2.7).

Ryż. 2.7 - Warunek drugiego rodzaju

w punkcie O działa źródło ciepła. Aby spełnić warunek, że granica nie przepuszcza ciepła, konieczne jest umieszczenie tego samego źródła symetrycznie do tego źródła na zewnątrz ciała, w punkcie około 1 , a przepływ ciepła z niego jest skierowany przeciwko przepływowi głównego źródła. Wzajemnie anihilują, to znaczy granica nie przepuszcza ciepła. Jednak temperatura krawędzi ciała byłaby dwa razy wyższa, gdyby to ciało było nieskończone. Ta metoda kompensacji przepływu ciepła nazywana jest metodą odbiciową, ponieważ w tym przypadku granicę nieprzepuszczalną dla ciepła można uznać za granicę odbijającą przepływ ciepła z metalu.

Warunek brzegowy trzeciego rodzaju.

Określa temperaturę otoczenia i prawo wymiany ciepła między powierzchnią ciała a otoczeniem. Najprostszą postać warunku brzegowego trzeciego rodzaju uzyskuje się, jeśli przenoszenie ciepła na granicy jest dane równaniem Newtona, które wyraża, że gęstość strumienia ciepła przenikania ciepła przez powierzchnię graniczną jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur między granicą powierzchni i otoczenia

Gęstość strumienia ciepła dopływającego do powierzchni granicznej od strony ciała, zgodnie z prawem Fouriera, jest wprost proporcjonalna do gradientu temperatury na powierzchni granicznej:

Przyrównując strumień ciepła dochodzący z boku ciała do strumienia przenoszenia ciepła, otrzymujemy warunek brzegowy 3. rodzaju:

wyrażające, że gradient temperatury na powierzchni granicznej jest wprost proporcjonalny do różnicy temperatur między powierzchnią ciała a otoczeniem. Warunek ten wymaga, aby styczna do krzywej rozkładu temperatury w punkcie granicznym przechodziła przez punkt kontrolny O z temperaturą na zewnątrz ciała w pewnej odległości od powierzchni granicznej (ryc. 2.8).

Rysunek 2.8 – Warunek brzegowy trzeciego rodzaju

Z warunku brzegowego III rodzaju można otrzymać as szczególny przypadek izotermiczny warunek brzegowy. Jeżeli , co ma miejsce przy bardzo dużym współczynniku przenikania ciepła lub bardzo małym współczynniku przewodzenia ciepła, to:

i , tj. temperatura powierzchni ciała jest stała przez cały proces wymiany ciepła i jest równa temperaturze otoczenia.

Jedno równanie ruchu (1.116) nie wystarcza do matematycznego opisu procesu fizycznego. Konieczne jest sformułowanie warunków wystarczających do jednoznacznego zdefiniowania procesu. Rozważając problem drgań strun, dodatkowe warunki mogą być dwojakiego rodzaju: początkowe i brzegowe (brzegowe).

Sformułujmy dodatkowe warunki dla struny o ustalonych końcach. Ponieważ końce długości łańcucha są stałe, ich odchylenia w punktach i muszą być równe zeru dla dowolnego:

, .

(1.119)

Warunki (1.119) są wywoływane granica warunki; pokazują, co dzieje się na końcach struny podczas procesu wibrowania.

Oczywiście proces oscylacji będzie zależał od tego, jak struna zostanie wyprowadzona z równowagi. Wygodniej jest przyjąć, że struna zaczęła drgać w pewnym momencie. W początkowej chwili wszystkie punkty struny mają określone przemieszczenia i prędkości:

(1.120)

gdzie i mają dane funkcje.

Warunki (1.120) są wywoływane wstępny warunki.

W ten sposób fizyczny problem drgań strun został sprowadzony do następującego problemu problem matematyczny: znaleźć rozwiązanie równania (1.116) (lub (1.117) lub (1.118)), które spełniałoby warunki brzegowe (1.119) i warunki początkowe (1.120). Ten problem nazywa się mieszanym problemem brzegowym, ponieważ obejmuje zarówno warunki brzegowe, jak i początkowe. Udowodniono, że przy pewnych ograniczeniach nałożonych na funkcje i , problem mieszany ma unikalne rozwiązanie.

Okazuje się, że problem (1.116), (1.119), (1.120), oprócz problemu drgań struny, sprowadza się do wielu innych problemów fizycznych: rzucanie sprężysty pręt, drgania skrętne wału, fluktuacje cieczy i gazów w rurze itp.

Oprócz warunki brzegowe(1.119) możliwe są warunki brzegowe innych typów. Najczęstsze są następujące:

I. , ;

II. , ;

III. , ,

gdzie , są znanymi funkcjami, a , są znanymi stałymi.

Podane warunki brzegowe nazywane są odpowiednio warunkami brzegowymi pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju. Warunki I zachodzą, gdy końce przedmiotu (sznurka, pręta itp.) poruszają się zgodnie z danym prawem; warunki II - jeżeli określone siły są przyłożone do końców; warunki III - w przypadku elastycznego mocowania końcówek.

Jeżeli funkcje podane po prawej stronie równości są równe zeru, to wywoływane są warunki brzegowe jednorodny. Zatem warunki brzegowe (1.119) są jednorodne.

Łącząc różne wymienione typy warunków brzegowych, otrzymujemy sześć typów najprostszych problemów brzegowych.

Dla równania (1.116) można również postawić inny problem. Niech struna będzie wystarczająco długa, a nas interesują oscylacje jej wierzchołków, dostatecznie oddalonych od końców i przez krótki okres czasu. W takim przypadku tryb na końcach nie będzie miał znaczącego wpływu i dlatego nie jest brany pod uwagę; zakłada się, że ciąg jest nieskończony. Zamiast kompletne zadanie podaj problem graniczny z warunkami początkowymi dla nieograniczonego obszaru: znajdź rozwiązanie równania (1.116) dla co spełnia warunki początkowe:

, .

rozpatrywanego obszaru, odpowiednio.

Zwykle równanie różniczkowe ma nie jedno rozwiązanie, ale całą ich rodzinę. Warunki początkowe i brzegowe pozwalają wybrać z nich taki, który odpowiada rzeczywistemu procesowi lub zjawisku fizycznemu. W teorii równań różniczkowych zwyczajnych dowodzi się twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania problemu z warunkiem początkowym (tzw. problem Cauchy'ego). W przypadku równań różniczkowych cząstkowych uzyskuje się pewne twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla pewnych klas problemów początkowych i brzegowych.

Terminologia

Czasami warunki początkowe w problemach niestacjonarnych, takich jak rozwiązywanie równań hiperbolicznych lub parabolicznych, są również określane jako warunki brzegowe.

Dla problemów stacjonarnych warunki brzegowe dzieli się na główny I naturalny.

Warunki główne mają zwykle postać , gdzie jest granicą regionu.

Warunki naturalne zawierają również pochodną rozwiązania względem normalnej do granicy.

Przykład

Równanie opisuje ruch ciała w polu grawitacyjnym Ziemi. Spełnia ją dowolna funkcja kwadratowa postaci , gdzie są dowolnymi liczbami. Aby wyodrębnić określone prawo ruchu, konieczne jest wskazanie początkowej współrzędnej ciała i jego prędkości, czyli warunków początkowych.

Poprawność ustawienia warunków brzegowych

Zadania fizyka matematyczna opisz prawdziwe procesy fizyczne, dlatego ich formuła musi spełniać następujące naturalne wymagania:

Decyzja powinna istnieć w dowolnej klasie funkcji;
Rozwiązanie musi być jedyny w dowolnej klasie funkcji;
Decyzja powinna w sposób ciągły zależny od danych(warunki początkowe i brzegowe, wyraz swobodny, współczynniki itp.).

Wymóg ciągłej zależności rozwiązania wynika z faktu, że dane fizyczne są z reguły określane w przybliżeniu na podstawie eksperymentu, a zatem należy mieć pewność, że rozwiązanie problemu w ramach wybranego model matematyczny nie będzie istotnie zależeć od błędu pomiaru. Matematycznie wymóg ten można zapisać na przykład w następujący sposób (dla niezależności od terminu wolnego):

Niech dane będą dwa równania różniczkowe: z tymi samymi operatorami różniczkowymi i tymi samymi warunkami brzegowymi, to ich rozwiązania będą w sposób ciągły zależeć od wyrazu swobodnego, jeśli:

rozwiązania odpowiednich równań.

Nazywa się zestaw funkcji, dla których spełnione są wymienione wymagania klasa poprawności. Błędne ustawienie warunków brzegowych dobrze ilustruje przykład Hadamarda.

Zobacz też

Warunki brzegowe pierwszego rodzaju (problem Dirichleta) , pl:Warunek brzegowy Dirichleta
Warunki brzegowe 2. rodzaju (problem Neumanna) , pl:Warunek brzegowy Neumanna
Warunki brzegowe 3. rodzaju (problem Robina), pl:Warunki brzegowe Robina
Warunki idealnego kontaktu termicznego , pl:Doskonały kontakt termiczny

Literatura

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Zobacz, jakie „warunki początkowe i brzegowe” znajdują się w innych słownikach:

W teorii równań różniczkowych warunki początkowe i brzegowe są dodatkiem do głównego równania różniczkowego (pochodnych zwyczajnych lub cząstkowych), który określa jego zachowanie w początkowej chwili czasu lub na granicy rozważanego ... ... Wikipedii

Problem Neumanna w równaniach różniczkowych to problem wartości brzegowych z zadanymi warunkami brzegowymi dla pochodnej pożądanej funkcji na granicy obszaru, tzw. warunkami brzegowymi drugiego rodzaju. W zależności od rodzaju obszaru problem Neumanna można podzielić na dwa ... Wikipedia

warunki graniczne- sformalizowane warunki fizyczne na granicy strefy deformacji lub ich model matematyczny, które wraz z innymi umożliwiają uzyskanie unikalnego rozwiązania problemów obróbki ciśnieniowej. Warunki brzegowe dzielą się na…

warunki początkowe- opis stanu ciała przed deformacją. Zwykle w chwili początkowej podawane są współrzędne Eulera punktów xi0 powierzchni ciała, naprężenia, prędkości, gęstości, temperatury w dowolnym punkcie M ciała. Diya obszar przestrzeni, ... ... słownik encyklopedyczny w metalurgii

warunki przechwytywania- pewien stosunek podczas walcowania, który dotyczy kąta chwytu i współczynnika lub kąta tarcia, przy którym zapewniony jest pierwotny chwyt metalu przez rolki i wypełnienie strefy odkształcenia; Zobacz też: warunki pracy... Słownik encyklopedyczny metalurgii

Warunki- : Zobacz też: warunki pracy różniczkowe warunki równowagi warunki techniczne (TS) warunki początkowe ... Słownik encyklopedyczny metalurgii

warunki pracy- zestaw cech sanitarno-higienicznych otoczenie zewnętrzne(temperatura i wilgotność powietrza, zapylenie, hałas itp.), w których prowadzone są procesy technologiczne; regulowane w Rosji przez pracę ... ... Słownik encyklopedyczny metalurgii

Książki

Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics, Samarskiy AA Tradycyjne kursy metod rozwiązywania problemów fizyki matematycznej dotyczą problemów bezpośrednich. W tym przypadku rozwiązanie jest określane na podstawie równań różniczkowych cząstkowych, które są uzupełniane przez ...

Warunki początkowe

Aby móc odczytać zmiany temperatury w punktach ciała w tym czy innym kierunku w kolejnych chwilach czasu, należy dla każdego punktu ustawić początkowy początkowy stan termiczny. Innymi słowy, należy podać ciągłą lub nieciągłą funkcję o współrzędnych T0 (x, y, z), która całkowicie opisuje stan temperatury we wszystkich punktach ciała w czasie początkowym t = 0, oraz pożądaną funkcję T (x , y, z, t), które jest rozwiązaniem równania różniczkowego (1.8), musi spełniać warunek początkowy

T (x, y, z, 0i=o = T0 (x, y, z). (1.11)

Warunki graniczne

Ciało przewodzące ciepło może znajdować się w różnych warunkach zewnętrznego działania termicznego poprzez swoją powierzchnię. Dlatego spośród wszystkich rozwiązań równania różniczkowego (1.8) należy wybrać to, które spełnia dane warunki na powierzchni S, czyli dane określone warunki brzegowe. Stosowane są następujące formy matematycznego przypisania warunków brzegowych.

1. Temperatura w każdym punkcie powierzchni ciała może zmieniać się w czasie zgodnie z określonym prawem, tj. temperatura powierzchni ciała będzie ciągłą (lub nieciągłą) funkcją współrzędnych i czasu Ts (x, y, z, i ). W tym przypadku poszukiwana funkcja T(x, y, z, t), będąca rozwiązaniem równania (1.8), musi spełniać warunek brzegowy

T (x, y, z, 0 Jest = Ts (x, y, z, i). (1.12)

W najprostszych przypadkach temperatura na powierzchni ciała 7 (x, y, z, t) może wynosić funkcja okresowa czas lub może być stały.

2. Strumień ciepła przez powierzchnię ciała jest znany jako ciągła (lub nieciągła) funkcja współrzędnych punktów powierzchniowych i czasu qs (x, y, z, I). Wówczas funkcja T(x, y, z, I) musi spełniać warunek brzegowy:

X stopień T (x, y, z, 0u = Qs (*. y > z > 0-(1 -13)

3. Podano temperaturę otoczenia Ta i prawo przenoszenia ciepła między otoczeniem a powierzchnią ciała, dla uproszczenia których stosuje się prawo Newtona. Zgodnie z tym prawem ilość wydzielanego ciepła dQ

w czasie dt przez element powierzchniowy dS z temperaturą

Ts (x, y, z, t) do środowiska, określa wzór

dQ = k (Ts - Ta) dS dt, (1,14)

gdzie k jest współczynnikiem przenikania ciepła w cal/cm2 - sec-°C. Z drugiej strony, zgodnie ze wzorem (1.6), taka sama ilość ciepła jest dostarczana do elementu powierzchniowego od wewnątrz i jest określona przez równość

dQ \u003d - x (grad " 7") s dS dt. (1,15)

Zrównując (1.14) i (1.15) otrzymujemy, że pożądana funkcja T(x, y, z, t) musi spełniać warunek brzegowy

(gradnr)s = -±-(Ts-Ta). (1.16)

Jak wspomniano powyżej, przy łączeniu instalacji dwóch sekcji konstrukcji warunki spawania są najtrudniejsze. Wykonanie spawania całej sekcji w tym samym czasie jest całkowicie niemożliwe, dlatego po nałożeniu części szwów ...

Jeżeli na ogólne odkształcenie konstrukcji spawanych duży wpływ ma kolejność wykonywania poszczególnych szwów, to na lokalne odkształcenia i odkształcenia od płaszczyzny spawanych blach istotny wpływ ma sposób wykonania każdego szwu. …

Jak wspomniano powyżej, podczas spawania złożonych sekcji i konstrukcji kompozytowych charakter powstałych odkształceń zależy od kolejności spawania. Dlatego jednym z głównych sposobów zwalczania odkształceń w produkcji konstrukcji spawanych ...

Sekcje