Wykresy i podstawowe własności funkcji elementarnych. Jak wykreślić funkcję Wykres e

Jedną z najbardziej znanych funkcji wykładniczych w matematyce jest wykładnik. Jest to liczba Eulera podniesiona do określonej potęgi. W Excelu istnieje osobny operator, który pozwala to obliczyć. Zobaczmy, jak można to wykorzystać w praktyce.

Wykładnik to liczba Eulera podniesiona do określonej potęgi. Sama liczba Eulera wynosi około 2,718281828. Czasami jest również nazywany liczbą Napiera. Funkcja wykładnicza wygląda następująco:

gdzie e to liczba Eulera, a n to wykładnik.

Liczyć ten wskaźnik Excel używa oddzielnego operatora - DO POTĘGI. Dodatkowo funkcję tę można przedstawić w postaci wykresu. Porozmawiamy o pracy z tymi narzędziami dalej.

Metoda 1: obliczenie wykładnika poprzez ręczne wprowadzenie funkcji

EXP(liczba)

Oznacza to, że ta formuła zawiera tylko jeden argument. Przedstawia tylko stopień, w jakim należy podnieść liczbę Eulera. Argument ten może mieć postać wartości liczbowej lub odwołania do komórki zawierającej wskaźnik stopnia.

Metoda 2: Korzystanie z Kreatora funkcji

Chociaż składnia obliczania wykładnika jest niezwykle prosta, niektórzy użytkownicy wolą go używać Kreator funkcji. Zobaczmy, jak to się robi na przykładzie.

Jeśli odwołanie do komórki zawierającej wykładnik jest używane jako argument, musisz umieścić kursor w polu "Numer" i po prostu zaznacz tę komórkę na arkuszu. Jego współrzędne zostaną natychmiast wyświetlone w polu. Następnie, aby obliczyć wynik, kliknij przycisk OK.

Metoda 3: wykreślenie wykresu

Dodatkowo w Excelu istnieje możliwość zbudowania wykresu na podstawie wyników uzyskanych w wyniku obliczenia wykładnika. Aby zbudować wykres na arkuszu, muszą być już obliczone wartości wykładnika różnych stopni. Możesz je obliczyć za pomocą jednej z metod opisanych powyżej.

Najpierw spróbuj znaleźć zakres funkcji:

Czy udało Ci się? Porównajmy odpowiedzi:

W porządku? Dobrze zrobiony!

Teraz spróbujmy znaleźć zakres funkcji:

Znaleziony? Porównywać:

Czy to się zgadzało? Dobrze zrobiony!

Popracujmy jeszcze raz z wykresami, tylko teraz jest trochę trudniej - znaleźć zarówno dziedzinę funkcji, jak i zakres funkcji.

Jak znaleźć zarówno dziedzinę, jak i zakres funkcji (zaawansowane)

Oto, co się stało:

Jeśli chodzi o grafikę, myślę, że sobie poradziłeś. Spróbujmy teraz znaleźć dziedzinę funkcji zgodnie ze wzorami (jeśli nie wiesz, jak to zrobić, przeczytaj rozdział o):

Czy udało Ci się? Kontrola odpowiedzi:

1. , ponieważ wyrażenie root musi być większe lub równe zero.
2. , ponieważ nie można dzielić przez zero, a radykalne wyrażenie nie może być ujemne.
3. , ponieważ odpowiednio dla wszystkich.
4. bo nie można dzielić przez zero.

Jednak wciąż mamy jeszcze jeden moment, który nie został rozwiązany ...

Pozwólcie, że powtórzę definicję i skupię się na niej:

Zauważony? Słowo „tylko” jest bardzo, bardzo ważnym elementem naszej definicji. Spróbuję ci wytłumaczyć na palcach.

Powiedzmy, że mamy funkcję określoną przez linię prostą. . Kiedy podstawimy tę wartość do naszej „reguły” i otrzymamy to. Jedna wartość odpowiada jednej wartości. Możemy nawet zrobić stół różne znaczenia i zbuduj wykres tej funkcji, aby się o tym przekonać.

"Patrzeć! - mówisz, - "" spotyka się dwa razy!" Więc może parabola nie jest funkcją? Nie to jest!

Fakt, że „” występuje dwukrotnie, nie jest powodem do oskarżania paraboli o niejednoznaczność!

Faktem jest, że kalkulując, mamy jeden mecz. A licząc z, mamy jedną grę. Więc to prawda, parabola jest funkcją. Popatrz na wykres:

Rozumiem? Jeśli nie, oto przykład z życia wzięty, daleki od matematyki!

Powiedzmy, że mamy grupę wnioskodawców, którzy spotkali się przy składaniu dokumentów, z których każdy powiedział w rozmowie, gdzie mieszka:

Zgadzam się, to całkiem realistyczne, że kilku facetów mieszka w tym samym mieście, ale jedna osoba nie może mieszkać w kilku miastach jednocześnie. Jest to niejako logiczna reprezentacja naszej „paraboli” - Kilka różnych x odpowiada temu samemu y.

Teraz wymyślmy przykład, w którym zależność nie jest funkcją. Powiedzmy, że ci sami faceci powiedzieli, o jakie specjalności się ubiegali:

Tutaj mamy zupełnie inną sytuację: jedna osoba bez problemu może ubiegać się o jeden lub kilka kierunków. To jest jeden element zestawy są wysyłane korespondencyjnie wiele elementów zestawy. Odpowiednio, to nie jest funkcja.

Sprawdźmy Twoją wiedzę w praktyce.

Określ na podstawie rysunków, co jest funkcją, a co nie:

Rozumiem? A oto jest odpowiedzi:

• Funkcja to - B, E.
• Nie funkcja - A, B, D, D.

Pytasz dlaczego? Tak, oto dlaczego:

We wszystkich liczbach z wyjątkiem W) I MI) jest kilka za jednego!

Jestem pewien, że teraz możesz łatwo odróżnić funkcję od niefunkcji, powiedzieć, co to jest argument, a co to zmienna zależna, a także określić zakres argumentu i zakres funkcji. Przejdźmy do następnej sekcji - jak zdefiniować funkcję?

Sposoby ustawiania funkcji

Jak myślisz, co oznaczają te słowa "ustaw funkcję"? Zgadza się, to znaczy wyjaśniać wszystkim, w jakiej funkcji ta sprawa jest omawiany. Ponadto wyjaśnij tak, aby wszyscy dobrze cię zrozumieli, a wykresy funkcji narysowane przez osoby zgodnie z twoim wyjaśnieniem były takie same.

Jak mogę to zrobić? Jak ustawić funkcję? Najłatwiejszy sposób, który był już wielokrotnie używany w tym artykule - za pomocą formuły. Piszemy formułę i podstawiając do niej wartość, obliczamy wartość. A jak pamiętacie, formuła jest prawem, regułą, według której staje się jasne dla nas i dla innej osoby, jak X zamienia się w Y.

Zwykle tak właśnie robią – w zadaniach widzimy gotowe funkcje określone formułami, jednak są inne sposoby ustawienia funkcji, o których wszyscy zapominają, stąd pytanie „jak inaczej ustawić funkcję?” dezorientuje. Przyjrzyjmy się wszystkiemu po kolei i zacznijmy od metody analitycznej.

Analityczny sposób definiowania funkcji

Metoda analityczna jest zadaniem funkcji wykorzystującej formułę. Jest to najbardziej uniwersalny, kompleksowy i jednoznaczny sposób. Jeśli masz formułę, to wiesz absolutnie wszystko o funkcji - możesz zrobić na niej tabelę wartości, możesz zbudować wykres, określić, gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje, ogólnie, zbadaj to w pełni.

Rozważmy funkcję. Co to za różnica

"Co to znaczy?" - ty pytasz. Wyjaśnię teraz.

Przypomnę, że w notacji wyrażenie w nawiasie nazywa się argumentem. A tym argumentem może być dowolne wyrażenie, niekoniecznie proste. W związku z tym, niezależnie od argumentu (wyrażenie w nawiasach), zapiszemy go zamiast tego w wyrażeniu.

W naszym przykładzie będzie to wyglądać następująco:

Rozważ inne zadanie związane z analityczną metodą określania funkcji, którą będziesz mieć na egzaminie.

Znajdź wartość wyrażenia, w.

Jestem pewien, że na początku byłeś przerażony, gdy zobaczyłeś taki wyraz twarzy, ale nie ma w nim absolutnie nic strasznego!

Wszystko jest takie samo jak w poprzednim przykładzie: niezależnie od argumentu (wyrażenia w nawiasach), zamiast tego zapiszemy go w wyrażeniu. Na przykład dla funkcji.

Co należy zrobić w naszym przykładzie? Zamiast tego musisz napisać, a zamiast -:

skróć wynikowe wyrażenie:

To wszystko!

Niezależna praca

Teraz spróbuj samodzielnie znaleźć znaczenie następujących wyrażeń:

1. , Jeśli
2. , Jeśli

Czy udało Ci się? Porównajmy nasze odpowiedzi: Przyzwyczailiśmy się, że funkcja ma postać

Nawet w naszych przykładach definiujemy funkcję w ten sposób, ale analitycznie możliwe jest na przykład niejawne zdefiniowanie funkcji.

Spróbuj samodzielnie zbudować tę funkcję.

Czy udało Ci się?

Oto jak go zbudowałem.

Jakie równanie otrzymaliśmy?

Prawidłowy! Liniowy, co oznacza, że ​​wykres będzie linią prostą. Zróbmy tabelę, aby określić, które punkty należą do naszej linii:

Właśnie o tym rozmawialiśmy… Jeden odpowiada kilku.

Spróbujmy narysować, co się stało:

Czy to, co mamy, jest funkcją?

Właśnie tak, nie! Dlaczego? Spróbuj odpowiedzieć na to pytanie obrazkiem. Co dostałeś?

„Ponieważ jedna wartość odpowiada kilku wartościom!”

Jaki wniosek możemy z tego wyciągnąć?

Zgadza się, funkcja nie zawsze może być wyrażona jawnie, a to, co jest „zamaskowane” jako funkcja, nie zawsze jest funkcją!

Tabelaryczny sposób definiowania funkcji

Jak sama nazwa wskazuje, ta metoda jest prostą płytą. Tak tak. Jak ten, który już zrobiliśmy. Na przykład:

Tutaj od razu zauważyłeś wzór - Y jest trzy razy większe niż X. A teraz zadanie „dobrze pomyśleć”: czy uważasz, że funkcja podana w formie tabeli jest równoważna funkcji?

Nie rozmawiajmy długo, ale rysujmy!

Więc. Rysujemy funkcję podaną na dwa sposoby:

Czy widzisz różnicę? Nie chodzi o zaznaczone punkty! Przyjrzyj się bliżej:

Widziałeś to teraz? Gdy ustawimy funkcję w sposób tabelaryczny, odbijamy na wykresie tylko te punkty, które mamy w tabeli i prosta (tak jak w naszym przypadku) przechodzi tylko przez nie. Kiedy zdefiniujemy funkcję w sposób analityczny, możemy przyjąć dowolne punkty, a nasza funkcja nie ogranicza się do nich. Oto taka funkcja. Pamiętać!

Graficzny sposób budowania funkcji

Graficzny sposób konstruowania funkcji jest nie mniej wygodny. Rysujemy naszą funkcję, a inna zainteresowana osoba może znaleźć, ile wynosi y przy pewnym x i tak dalej. Graficzny i sposoby analityczne jeden z najczęstszych.

Jednak tutaj musisz pamiętać, o czym mówiliśmy na samym początku - nie każdy „zawijas” narysowany w układzie współrzędnych jest funkcją! Zapamiętane? Na wszelki wypadek skopiuję tutaj definicję funkcji:

Z reguły ludzie zwykle nazywają dokładnie te trzy sposoby określenia funkcji, które przeanalizowaliśmy - analityczny (za pomocą wzoru), tabelaryczny i graficzny, całkowicie zapominając, że funkcję można opisać słownie. Lubię to? Tak, bardzo łatwo!

Słowny opis funkcji

Jak słownie opisać funkcję? Weźmy nasz niedawny przykład — . Ta funkcja można opisać jako „każda rzeczywista wartość x odpowiada jego potrójnej wartości”. To wszystko. Nic skomplikowanego. Oczywiście sprzeciwisz się - „istnieją tak złożone funkcje, że po prostu niemożliwe jest ustne ustawienie!” Owszem, jest ich trochę, ale są funkcje, które łatwiej opisać ustnie niż ustawić za pomocą formuły. Na przykład: „wszyscy wartość naturalna X odpowiada różnicy między cyframi, z których się składa, natomiast za odcięcie przyjmuje się największą cyfrę zawartą w zapisie liczby. Zastanówmy się teraz, jak nasz słowny opis funkcji jest realizowany w praktyce:

Największa cyfra w danej liczbie - odpowiednio - jest zmniejszana, a następnie:

Główne rodzaje funkcji

Przejdźmy teraz do najciekawszych - rozważmy główne typy funkcji, z którymi pracowałeś / pracujesz i będziesz pracować w trakcie matematyki szkolnej i instytutowej, czyli poznamy je, że tak powiem, i damy im krótki opis. Przeczytaj więcej o każdej funkcji w odpowiedniej sekcji.

Funkcja liniowa

Funkcja postaci, gdzie, są liczbami rzeczywistymi.

Wykresem tej funkcji jest linia prosta, więc konstrukcja funkcji liniowej sprowadza się do znalezienia współrzędnych dwóch punktów.

Położenie prostej na płaszczyźnie współrzędnych zależy od nachylenia.

Zakres funkcji (inaczej zakres argumentów) - .

Zakres wartości to .

funkcja kwadratowa

Funkcja formularza, gdzie

Wykres funkcji jest parabolą, gdy gałęzie paraboli są skierowane w dół, gdy - w górę.

Wiele właściwości funkcja kwadratowa zależy od wartości wyróżnika. Wyróżnik oblicza się według wzoru

Położenie paraboli na płaszczyźnie współrzędnych względem wartości i współczynnika pokazano na rysunku:

Domena

Zakres wartości zależy od ekstremum danej funkcji (wierzchołek paraboli) oraz współczynnika (kierunek gałęzi paraboli)

Odwrotna proporcjonalność

Funkcja dana wzorem, gdzie

Liczba ta nazywana jest współczynnikiem odwrotnej proporcjonalności. W zależności od wartości gałęzie hiperboli znajdują się w różnych kwadratach:

Domena - .

Zakres wartości to .

PODSUMOWANIE I PODSTAWOWA FORMUŁA

1. Funkcja to reguła, zgodnie z którą każdemu elementowi zbioru przypisuje się unikalny element zbioru.

• - jest to formuła oznaczająca funkcję, czyli zależność jednej zmiennej od drugiej;
• - zmienna lub argument;
• - wartość zależna - zmienia się, gdy zmienia się argument, czyli zgodnie z jakąś określoną formułą, która odzwierciedla zależność jednej wartości od drugiej.

2. Poprawne wartości argumentów, czyli zakres funkcji, jest tym, co jest związane z możliwością, w ramach której funkcja ma sens.

3. Zakres wartości funkcji- to właśnie przyjmuje wartości, z prawidłowymi wartościami.

4. Istnieją 4 sposoby ustawienia funkcji:

• analityczne (za pomocą formuł);
• tabelaryczny;
• graficzny
• opis słowny.

5. Główne typy funkcji:

• : , gdzie, są liczbami rzeczywistymi;
• : , Gdzie;
• : , Gdzie.

Wybierzmy się w samolocie układ prostokątny współrzędne i wykreślimy na osi x wartości argumentu X, a na osi y - wartości funkcji y = f(x).

Wykres funkcji y = f(x) nazywa się zbiór wszystkich punktów, dla których odcięte należą do dziedziny funkcji, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji.

Innymi słowy, wykres funkcji y \u003d f (x) jest zbiorem wszystkich punktów na płaszczyźnie, współrzędnych X, Na które spełniają zależność y = f(x).

na ryc. 45 i 46 to wykresy funkcji y = 2x + 1 I y \u003d x 2 - 2x.

Ściśle mówiąc, należy odróżnić wykres funkcji (której dokładna matematyczna definicja została podana powyżej) od wykreślonej krzywej, która zawsze daje tylko mniej lub bardziej dokładny szkic wykresu (a nawet wtedy z reguły nie cały wykres, a tylko jego część znajdująca się w końcowych częściach płaszczyzny). W dalszej części jednak będziemy zwykle odnosić się do „wykresu”, a nie „szkicu wykresu”.

Korzystając z wykresu, możesz znaleźć wartość funkcji w punkcie. Mianowicie, jeśli chodzi o x = za należy do zakresu funkcji y = f(x), a następnie znajdź numer fa)(czyli wartości funkcji w punkcie x = za) powinien to zrobić. Potrzebujesz przez kropkę z odciętą x = za narysuj linię prostą równolegle do osi rzędna; ta prosta przetnie wykres funkcji y = f(x) w jednym punkcie; rzędna tego punktu będzie, na mocy definicji wykresu, równa fa)(Rys. 47).

Na przykład dla funkcji f(x) = x 2 - 2x za pomocą wykresu (ryc. 46) znajdujemy f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.

Wykres funkcji wizualnie ilustruje zachowanie i właściwości funkcji. Na przykład z rozważenia rys. 46 jest jasne, że funkcja y \u003d x 2 - 2x przyjmuje wartości dodatnie, gdy X< 0 i o godz x > 2, ujemny - o 0< x < 2; najmniejsza wartość funkcjonować y \u003d x 2 - 2x przyjmuje o godz x = 1.

Aby wykreślić funkcję f(x) musisz znaleźć wszystkie punkty płaszczyzny, współrzędne X,Na które spełniają równanie y = f(x). W większości przypadków jest to niemożliwe, ponieważ takich punktów jest nieskończenie wiele. Dlatego wykres funkcji jest przedstawiony w przybliżeniu - z większą lub mniejszą dokładnością. Najprostsza jest metoda kreślenia wielopunktowego. Polega ona na tym, że argument X podaj skończoną liczbę wartości - powiedzmy x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k i sporządź tabelę zawierającą wybrane wartości funkcji.

Tabela wygląda następująco:

Po skompilowaniu takiej tabeli możemy nakreślić kilka punktów na wykresie funkcji y = f(x). Następnie łącząc te punkty gładką linią otrzymujemy przybliżony widok wykresu funkcji y = f(x).

Należy jednak zauważyć, że metoda kreślenia wielopunktowego jest bardzo zawodna. W rzeczywistości zachowanie wykresu między zaznaczonymi punktami i jego zachowanie poza segmentem między skrajnymi punktami pozostaje nieznane.

Przykład 1. Aby wykreślić funkcję y = f(x) ktoś skompilował tabelę wartości argumentów i funkcji:

Odpowiednie pięć punktów pokazano na ryc. 48.

Na podstawie położenia tych punktów doszedł do wniosku, że wykres funkcji jest linią prostą (pokazaną na ryc. 48 linią przerywaną). Czy ten wniosek można uznać za wiarygodny? Chyba że istnieją dodatkowe względy na poparcie tego wniosku, trudno go uznać za wiarygodny. niezawodny.

Aby uzasadnić nasze twierdzenie, rozważmy funkcję

.

Obliczenia pokazują, że wartości tej funkcji w punktach -2, -1, 0, 1, 2 są właśnie opisane przez powyższą tabelę. Jednak wykres tej funkcji wcale nie jest linią prostą (pokazano to na ryc. 49). Innym przykładem jest funkcja y = x + l + sinx; jego znaczenie opisano również w powyższej tabeli.

Te przykłady pokazują, że w swojej „czystej” postaci metoda kreślenia wielopunktowego jest zawodna. Dlatego, aby wykreślić daną funkcję, z reguły postępuj w następujący sposób. Najpierw badane są właściwości tej funkcji, za pomocą których można skonstruować szkic wykresu. Następnie, obliczając wartości funkcji w kilku punktach (których wybór zależy od ustawionych właściwości funkcji), znajdują się odpowiadające im punkty wykresu. I wreszcie, krzywa jest rysowana przez skonstruowane punkty przy użyciu właściwości tej funkcji.

Niektórymi (najprostszymi i najczęściej używanymi) właściwościami funkcji używanych do znajdowania szkicu wykresu zajmiemy się później, a teraz przeanalizujemy niektóre powszechnie stosowane metody kreślenia wykresów.

Wykres funkcji y = |f(x)|.

Często konieczne jest wykreślenie funkcji y = |f(x)|, gdzie f(x) - dana funkcja. Przypomnij sobie, jak to się robi. Z definicji wartości bezwzględnej liczby można pisać

Oznacza to, że wykres funkcji y=|f(x)| można uzyskać z wykresu, funkcje y = f(x) w następujący sposób: wszystkie punkty wykresu funkcji y = f(x), którego rzędne są nieujemne, należy pozostawić bez zmian; dalej zamiast punktów wykresu funkcji y = f(x), mając współrzędne ujemne, należy skonstruować odpowiadające im punkty wykresu funkcji y = -f(x)(tj. część wykresu funkcji
y = f(x), która leży poniżej osi X, powinny być odbite symetrycznie względem osi X).

Przykład 2 Wykreśl funkcję y = |x|.

Bierzemy wykres funkcji y = x(Ryc. 50, a) i część tego wykresu, kiedy X< 0 (leżący pod osią X) jest symetrycznie odzwierciedlona wokół osi X. W rezultacie otrzymujemy wykres funkcji y = |x|(ryc. 50, b).

Przykład 3. Wykreśl funkcję y = |x 2 - 2x|.

Najpierw rysujemy funkcję y = x 2 - 2x. Wykresem tej funkcji jest parabola, której gałęzie są skierowane w górę, wierzchołek paraboli ma współrzędne (1; -1), jej wykres przecina oś odciętych w punktach 0 i 2. W przedziale (0; 2 ) funkcja przyjmuje wartości ujemne, więc ta część wykresu odbija się symetrycznie względem osi x. Rysunek 51 przedstawia wykres funkcji y \u003d |x 2 -2x |, na podstawie wykresu funkcji y = x 2 - 2x

Wykres funkcji y = f(x) + g(x)

Rozważ problem wykreślenia funkcji y = f(x) + g(x). jeśli dane są wykresy funkcji y = f(x) I y = g(x).

Zauważ, że dziedzina funkcji y = |f(x) + g(х)| jest zbiorem wszystkich tych wartości x, dla których obie funkcje y = f(x) i y = g(x) są zdefiniowane, czyli ta dziedzina definicji jest przecięciem dziedzin definicji, funkcje f(x) ) i g(x).

Niech punkty (x 0, y 1) I (x 0, y 2) odpowiednio należą do wykresów funkcji y = f(x) I y = g(x), tj. y 1 \u003d fa (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Wówczas punkt (x0;.y1 + y2) należy do wykresu funkcji y = f(x) + g(x)(Do f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2). i dowolny punkt wykresu funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać w ten sposób. Dlatego wykres funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać z wykresów funkcji y = f(x). I y = g(x) zastępując każdy punkt ( x n, y 1) grafika funkcji y = f(x) kropka (x n, y 1 + y 2), Gdzie y 2 = g(x n), tj. przesuwając każdy punkt ( x n, y 1) wykres funkcji y = f(x) wzdłuż osi Na według kwoty y 1 \u003d g (x n). W takim przypadku brane są pod uwagę tylko takie punkty. X n, dla którego zdefiniowano obie funkcje y = f(x) I y = g(x).

Ta metoda wykreślania wykresu funkcji y = f(x) + g(x) nazywamy dodawaniem wykresów funkcji y = f(x) I y = g(x)

Przykład 4. Na rysunku metodą dodawania wykresów konstruowany jest wykres funkcji
y = x + sinx.

Podczas rysowania funkcji y = x + sinx zakładaliśmy, że f(x) = x, A g(x) = sinx. Aby zbudować wykres funkcji, wybieramy punkty za pomocą odciętych -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Wartości f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx obliczymy w wybranych punktach i umieścimy wyniki w tabeli.

Wykładnik jest oznaczony jako , lub .

numer

Podstawą stopnia wykładnika jest numer. Ten Liczba niewymierna. Jest mniej więcej równy
mi ≈ 2,718281828459045...

Liczba e jest określona przez granicę ciągu. Ten tzw druga cudowna granica:
.

Ponadto liczbę e można przedstawić jako serię:
.

Wykres wystawcy

Wykres pokazuje wykładnik, mi w stopniu X.
y (x) = mi x
Wykres pokazuje, że wykładnik rośnie monotonicznie.

Formuły

Podstawowe wzory są takie same jak dla funkcji wykładniczej o podstawie stopnia e.

;
;
;

Wyrażenie funkcji wykładniczej o dowolnej podstawie stopnia a poprzez wykładnik:
.

Prywatne wartości

niech y (x) = mi x. Następnie
.

Właściwości wykładnika

Wykładnik ma właściwości funkcji wykładniczej o podstawie stopnia mi > 1 .

Dziedzina definicji, zbiór wartości

Wykładnik y (x) = mi x zdefiniowany dla wszystkich x .
Jego zakres to:
- ∞ < x + ∞ .
Jego zestaw znaczeń:
0 < y < + ∞ .

Skrajności, wzrost, spadek

Wykładnik jest funkcją rosnącą monotonicznie, więc nie ma ekstremów. Jego główne właściwości przedstawiono w tabeli.

Funkcja odwrotna

Odwrotnością wykładnika jest logarytm naturalny.
;
.

Pochodna wykładnika

Pochodna mi w stopniu X jest równe mi w stopniu X :
.
Pochodna n-tego rzędu:
.
Wyprowadzanie wzorów > > >

Całka

Liczby zespolone

Akcje z Liczby zespolone przeprowadzone przez Wzory Eulera:
,
gdzie jest jednostka urojona:
.

Wyrażenia w kategoriach funkcji hiperbolicznych

; ;
.

Wyrażenia w kategoriach funkcji trygonometrycznych

; ;
;
.

Rozwinięcie szeregów potęgowych

Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów szkół wyższych, Lan, 2009.

Wykres funkcji jest wizualną reprezentacją zachowania pewnej funkcji na płaszczyźnie współrzędnych. Wykresy pomagają zrozumieć różne aspekty funkcji, których nie można określić na podstawie samej funkcji. Możesz zbudować wykresy wielu funkcji, a każda z nich będzie dana określonym wzorem. Wykres dowolnej funkcji jest zbudowany zgodnie z pewnym algorytmem (jeśli zapomniałeś dokładnego procesu kreślenia wykresu określonej funkcji).

Kroki

Wykreślanie funkcji liniowej

Określ, czy funkcja jest liniowa. Funkcja liniowa jest dana wzorem postaci fa (x) = k x + b (\ Displaystyle F (x) = kx + b) Lub y = k x + b (\ Displaystyle y = kx + b)(na przykład ), a jej wykres jest linią prostą. Zatem formuła zawiera jedną zmienną i jedną stałą (stałą) bez wykładników, pierwiastków i tym podobnych. Mając funkcję o podobnej postaci, wykreślenie takiej funkcji jest dość proste. Oto inne przykłady funkcji liniowych:

Użyj stałej, aby zaznaczyć punkt na osi y. Stała (b) jest współrzędną „y” punktu przecięcia wykresu z osią Y. Oznacza to, że jest to punkt, którego współrzędna „x” wynosi 0. Zatem, jeśli x = 0 jest podstawiane do wzoru , wtedy y = b (stała). W naszym przykładzie y = 2x + 5 (\ Displaystyle y = 2x + 5) stała wynosi 5, czyli punkt przecięcia z osią Y ma współrzędne (0,5). Narysuj ten punkt na płaszczyźnie współrzędnych.

Znajdź nachylenie linii. Jest równy mnożnikowi zmiennej. W naszym przykładzie y = 2x + 5 (\ Displaystyle y = 2x + 5) ze zmienną „x” jest współczynnikiem 2; zatem nachylenie wynosi 2. Nachylenie określa kąt nachylenia linii prostej do osi X, to znaczy im większe nachylenie, tym szybciej funkcja rośnie lub maleje.

Zapisz nachylenie jako ułamek. Nachylenie jest równe tangensowi kąta nachylenia, czyli stosunkowi odległości pionowej (między dwoma punktami na linii prostej) do odległości poziomej (między tymi samymi punktami). W naszym przykładzie nachylenie wynosi 2, więc możemy powiedzieć, że odległość w pionie wynosi 2, a odległość w poziomie wynosi 1. Zapisz to jako ułamek: 2 1 (\ Displaystyle (\ frac (2) (1))).

• Jeśli nachylenie jest ujemne, funkcja jest malejąca.

1. Z punktu, w którym linia przecina się z osią Y, narysuj drugi punkt, korzystając z odległości pionowej i poziomej. Funkcję liniową można wykreślić za pomocą dwóch punktów. W naszym przykładzie punkt przecięcia z osią Y ma współrzędne (0,5); od tego miejsca przesuń się o 2 pola w górę, a następnie o 1 pole w prawo. Zaznacz punkt; będzie miał współrzędne (1,7). Teraz możesz narysować linię prostą.

   Za pomocą linijki narysuj linię prostą przechodzącą przez dwa punkty. Aby uniknąć błędów, znajdź trzeci punkt, ale w większości przypadków wykres można zbudować za pomocą dwóch punktów. W ten sposób wykreśliłeś funkcję liniową.

   Rysowanie punktów na płaszczyźnie współrzędnych

   1. Zdefiniuj funkcję. Funkcja jest oznaczona jako f(x). Wszystkie możliwe wartości zmiennej „y” nazywane są zakresem funkcji, a wszystkie możliwe wartości zmiennej „x” nazywane są dziedziną funkcji. Rozważmy na przykład funkcję y = x+2, czyli f(x) = x+2.

      Narysuj dwie przecinające się prostopadłe linie. Linia pozioma to oś X. Linia pionowa to oś Y.

      Oznacz osie współrzędnych. Podziel każdą oś na równe segmenty i ponumeruj je. Punktem przecięcia osi jest 0. Dla osi X: w prawo (od 0) są kreślone liczby dodatnie, a po lewej stronie są ujemne. Dla osi Y: liczby dodatnie są wykreślane na górze (od 0), a liczby ujemne na dole.

      Znajdź wartości „y” z wartości „x”. W naszym przykładzie f(x) = x+2. Zastąp pewne wartości „x” w tym wzorze, aby obliczyć odpowiednie wartości „y”. Jeśli masz złożoną funkcję, uprość ją, izolując „y” po jednej stronie równania.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Narysuj punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Dla każdej pary współrzędnych wykonaj następujące czynności: znajdź odpowiednią wartość na osi x i narysuj linię pionową (linia przerywana); znajdź odpowiednią wartość na osi y i narysuj linię poziomą (linia kropkowana). Zaznacz punkt przecięcia dwóch kropkowanych linii; w ten sposób wykreśliłeś punkt wykresu.

      Usuń kropkowane linie. Zrób to po wykreśleniu wszystkich punktów wykresu na płaszczyźnie współrzędnych. Uwaga: wykres funkcji f(x) = x jest linią prostą przechodzącą przez środek współrzędnych [punkt o współrzędnych (0,0)]; wykres f(x) = x + 2 jest linią równoległą do prostej f(x) = x, ale przesuniętą o dwie jednostki w górę, a więc przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0,2) (ponieważ stała wynosi 2) .

   Wykreślanie złożonej funkcji

   Znajdź miejsca zerowe funkcji. Zerami funkcji są wartości zmiennej „x”, przy których y = 0, czyli są to punkty przecięcia wykresu z osią x. Należy pamiętać, że nie wszystkie funkcje mają zera, ale jest to pierwszy krok w procesie kreślenia wykresu dowolnej funkcji. Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji, ustaw ją na zero. Na przykład:

   Znajdź i oznacz asymptoty poziome. Asymptota to linia, do której wykres funkcji zbliża się, ale nigdy nie przecina (to znaczy funkcja nie jest zdefiniowana w tym obszarze, na przykład przy dzieleniu przez 0). Zaznacz asymptotę przerywaną linią. Jeśli zmienna „x” jest w mianowniku ułamka (np. y = 1 4 - x 2 (\ Displaystyle y = (\ frac (1) (4-x ^ (2))))), ustaw mianownik na zero i znajdź „x”. W uzyskanych wartościach zmiennej „x” funkcja nie jest zdefiniowana (w naszym przykładzie narysuj linie przerywane przez x = 2 i x = -2), ponieważ nie można dzielić przez 0. Ale asymptoty istnieją nie tylko w przypadkach, gdy funkcja zawiera wyrażenie ułamkowe. Dlatego zaleca się kierować się zdrowym rozsądkiem: