Geometryczne rozwiązanie równań z modułem. Równania z modułem. Ochrona danych osobowych
Moduł liczby jest łatwy do znalezienia, a teoria, która się za nim kryje, jest ważna przy rozwiązywaniu problemów.
Właściwości i zasady ujawniania stosowane przy rozwiązywaniu ćwiczeń i egzaminów przydadzą się uczniom i studentom. Zarabiaj wykorzystując swoją wiedzę na https://teachs.ru!
Co to jest moduł w matematyce
Moduł liczby opisuje odległość na osi liczbowej od zera do punktu, bez uwzględnienia kierunku, w którym punkt leży od zera. Notacja matematyczna : |x|.
Innymi słowy, jest to wartość bezwzględna liczby. Definicja dowodzi, że wartość ta nigdy nie jest ujemna.
Właściwości modułu
Ważne jest, aby pamiętać o następujących właściwościach:
Moduł liczby zespolonej
Wartość absolutna liczba zespolona jest długością skierowanego odcinka poprowadzonego od początku płaszczyzny zespolonej do punktu (a, b).
Ten skierowany segment jest również wektorem reprezentującym liczbę zespoloną a+bi, więc wartość bezwzględna liczby zespolonej jest taka sama jak wielkość (lub długość) wektora ją reprezentującego a+bi.
Jak rozwiązywać równania z modułem
Równanie z modułem to równość zawierająca wyrażenie wartość bezwzględna. Jeśli dla liczby rzeczywistej oznacza ona jej odległość od początku na osi liczbowej, to nierówności z modułem są rodzajem nierówności składających się z wartości bezwzględnych.
Równania takie jak |x| = za
Równanie |x| = ma dwie odpowiedzi x = a i x = –a, ponieważ obie opcje znajdują się na osi współrzędnych w odległości a od 0.
Równość z wartością bezwzględną nie ma rozwiązania, jeśli wartość jest ujemna.
Jeśli |x|< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.
Równania takie jak |x| = |y|
Kiedy po obu stronach równań znajdują się wartości bezwzględne, musimy rozważyć obie możliwości akceptowalnych definicji – wyrażenia pozytywne i negatywne.
Na przykład dla równości |x − a| = |x + b| są dwie możliwości: (x - a) = - (x + b) lub (x - a) = (x + b).
Równania takie jak |x| = y
Równania tego typu zawierają wartość bezwzględną wyrażenia ze zmienną po lewej stronie zera i inną nieznaną po prawej stronie. Zmienna y może być większa lub mniejsza od zera.
Aby uzyskać odpowiedź na tę równość, należy rozwiązać układ kilku równań, w którym należy upewnić się, że y jest wielkością nieujemną:
Rozwiązywanie nierówności modułem
Aby lepiej zrozumieć, jak rozwinąć moduł w różne typy równości i nierówności, trzeba przeanalizować przykłady.
Równania postaci |x| = za
Przykład 1(algebra 6. klasa). Rozwiąż: |x| + 2 = 4.
Rozwiązanie.
Równania takie rozwiązuje się w taki sam sposób, jak równości bez wartości bezwzględnych. Oznacza to, że przesuwając niewiadome w lewo, a stałe w prawo, wyrażenie nie ulega zmianie.
Po przesunięciu stałej w prawo otrzymujemy: |x| = 2.
Ponieważ niewiadome są powiązane z wartością bezwzględną, to równanie ma dwie odpowiedzi: 2 I −2 .
Odpowiedź: 2 I −2 .
Przykład 2(algebra klasy siódmej). Rozwiąż nierówność |x + 2| ≥ 1.
Rozwiązanie.
Pierwszą rzeczą do zrobienia jest znalezienie punktów, w których zmieni się wartość bezwzględna. Aby to zrobić, wyrażenie jest przyrównywane do 0 . Otrzymane: x = –2.
To oznacza, że –2 – punkt zwrotny.
Podzielmy przedział na 2 części:
- dla x + 2 ≥ 0
[−1; + ∞).
- dla x + 2< 0
Typową odpowiedzią na te dwie nierówności jest przedział (−∞; –3].
Ostateczna decyzja – łącząc odpowiedzi poszczególnych części:
X∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).
Odpowiedź: X∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .
Równania postaci |x| = |y|
Przykład 1(algebra klasy ósmej). Rozwiąż równanie za pomocą dwóch modułów: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.
Rozwiązanie:
Odpowiedź: x 1 = 3; x 2 = − 1.
Przykład 2(algebra klasy ósmej). Rozwiąż nierówność:
Rozwiązanie:
Równania postaci |x| = y
Przykład 1(algebra 10. klasa). Znajdź x:
Rozwiązanie:
Bardzo ważne jest, aby sprawdzić prawą stronę, w przeciwnym razie możesz wpisać błędne korzenie w swojej odpowiedzi. Z systemu jasno wynika, że nie leży on w luce.
Odpowiedź: x = 0.
Moduł sumy
Moduł różnicy
Wartość bezwzględna różnicy między dwiema liczbami X oraz y jest równe odległości pomiędzy punktami o współrzędnych X I Y na linii współrzędnych.
Przykład 1.
Przykład 2.
Moduł liczby ujemnej
Aby znaleźć wartość bezwzględną liczby mniejszej od zera, musisz dowiedzieć się, jak daleko jest ona od zera. Ponieważ odległość jest zawsze dodatnia (nie da się zrobić „negatywnych” kroków, są to po prostu kroki w drugą stronę), wynik jest zawsze dodatni. To jest,
Innymi słowy wartość bezwzględna liczba ujemna ma odwrotne znaczenie.
Moduł zerowy
Znana właściwość:
Dlatego nie można powiedzieć, że wartość bezwzględna jest liczbą dodatnią: zero nie jest ani ujemne, ani dodatnie.
Moduł kwadratowy
Kwadratowy moduł jest zawsze równy kwadratowi wyrażenia:
Przykłady wykresów z modułem
Często na testach i egzaminach pojawiają się zadania, które można rozwiązać jedynie poprzez analizę wykresów. Rozważmy takie zadania.
Przykład 1.
Biorąc pod uwagę funkcję f(x) = |x|. Konieczne jest zbudowanie wykresu od – 3 do 3 z krokiem 1.
Rozwiązanie:
Wyjaśnienie: Rysunek pokazuje, że wykres jest symetryczny względem osi Y.
Przykład 2. Należy narysować i porównać wykresy funkcji f(x) = |x–2| i g(x) = |x|–2.
Rozwiązanie:
Objaśnienie: Stała wewnątrz wartości bezwzględnej przesuwa cały wykres w prawo, jeśli jej wartość jest ujemna, i w lewo, jeśli jej wartość jest dodatnia. Ale stała zewnętrzna przesunie wykres w górę, jeśli wartość jest dodatnia, i w dół, jeśli jest ujemna (np. - 2 w funkcji g(x)).
Współrzędna wierzchołka X(punkt, w którym łączą się dwie linie, wierzchołek wykresu) to liczba, o którą wykres zostaje przesunięty w lewo lub w prawo. Współrzędna y– jest to wartość o jaką wykres przesuwa się w górę lub w dół.
Takie wykresy można tworzyć za pomocą aplikacji do tworzenia wykresów dostępnych online. Za ich pomocą można wyraźnie zobaczyć, jak stałe wpływają na funkcje.
Metoda przedziałowa w zagadnieniach modułu
Metoda interwałowa jest jedną z metod najlepsze sposoby znaleźć odpowiedź w problemach z modułem, szczególnie jeśli w wyrażeniu jest ich kilka.
Aby skorzystać z tej metody, musisz wykonać następujące czynności:
- Przyrównaj każde wyrażenie do zera.
- Znajdź wartości zmiennych.
- Nakreśl punkty uzyskane w kroku 2 na osi liczbowej.
- Określ znak wyrażeń (wartość ujemna lub dodatnia) na przedziałach i narysuj odpowiednio symbol – lub +. Znak najłatwiej określić metodą podstawieniową (podstawiając dowolną wartość z przedziału).
- Rozwiązuj nierówności o podanych znakach.
Przykład 1. Rozwiązać metodą przedziałową.
Rozwiązanie:
Nie wybieramy matematyki swój zawód, a ona wybiera nas.
Rosyjski matematyk Yu.I. Manina
Równania z modułem
Najtrudniejszymi problemami do rozwiązania w matematyce szkolnej są równania zawierające zmienne pod znakiem modułu. Aby pomyślnie rozwiązać takie równania, należy znać definicję i podstawowe właściwości modułu. Oczywiście studenci muszą posiadać umiejętności rozwiązywania równań tego typu.
Podstawowe pojęcia i właściwości
Moduł (wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej oznaczony przez i jest zdefiniowany w następujący sposób:
DO proste właściwości moduł zawiera następujące relacje:
Notatka, że dwie ostatnie właściwości obowiązują dla dowolnego parzystego stopnia.
Co więcej, jeśli, gdzie, to i
Bardziej złożone właściwości modułu, które można skutecznie wykorzystać przy rozwiązywaniu równań z modułami, formułuje się za pomocą następujących twierdzeń:
Twierdzenie 1.Dla każdego funkcje analityczne I nierówność jest prawdziwa
Twierdzenie 2. Równość jest równoznaczna z nierównością.
Twierdzenie 3. Równość równoznaczne z nierównością.
Rozważmy typowe przykłady rozwiązywanie problemów na temat „Równania, zawierające zmienne pod znakiem modułu.”
Rozwiązywanie równań z modułem
Najpopularniejszą metodą rozwiązywania równań z modułem w matematyce szkolnej jest metoda, w oparciu o rozbudowę modułów. Ta metoda jest uniwersalna, jednakże w ogólnym przypadku jego użycie może prowadzić do bardzo uciążliwych obliczeń. W związku z tym uczniowie powinni znać inne, więcej skuteczne metody oraz techniki rozwiązywania takich równań. Zwłaszcza, konieczna jest umiejętność stosowania twierdzeń, podane w tym artykule.
Przykład 1. Rozwiąż równanie. (1)
Rozwiązanie. Równanie (1) rozwiążemy metodą „klasyczną” – metodą odkrywania modułów. Aby to zrobić, podzielmy oś liczbową kropki i na przedziały i rozważ trzy przypadki.
1. Jeśli , to , , i równanie (1) ma postać . Z tego wynika. Jednak tutaj znaleziona wartość nie jest pierwiastkiem równania (1).
2. Jeśli następnie z równania (1) otrzymujemy Lub .
Od tego czasu pierwiastek równania (1).
3. Jeśli wówczas równanie (1) przyjmuje postać Lub . Zauważmy to.
Odpowiedź: , .
Rozwiązując kolejne równania modułem będziemy aktywnie wykorzystywać właściwości modułów w celu zwiększenia efektywności rozwiązywania takich równań.
Przykład 2. Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie. Od i to z równania wynika. W związku z tym, , , i równanie przyjmuje postać. Stąd dostajemy. Jednakże , dlatego pierwotne równanie nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: brak korzeni.
Przykład 3. Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie. Od tego czasu. Jeśli, to i równanie przyjmuje postać.
Stąd dostajemy.
Przykład 4. Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie.Zapiszmy równanie w postaci równoważnej. (2)
Otrzymane równanie należy do równań typu .
Biorąc pod uwagę Twierdzenie 2, można argumentować, że równanie (2) jest równoważne nierówności . Stąd dostajemy.
Odpowiedź: .
Przykład 5. Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie. Równanie to ma postać. Dlatego, zgodnie z Twierdzeniem 3, tutaj mamy nierówność Lub .
Przykład 6. Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie. Załóżmy, że. Ponieważ , wówczas dane równanie przyjmuje postać równania kwadratowego, (3)
Gdzie . Ponieważ równanie (3) ma jeden pierwiastek dodatni i wtedy . Stąd otrzymujemy dwa pierwiastki pierwotnego równania: I .
Przykład 7. Rozwiąż równanie. (4)
Rozwiązanie. Od równaniajest równoważne kombinacji dwóch równań: I , wówczas przy rozwiązywaniu równania (4) należy rozważyć dwa przypadki.
1. Jeśli , to lub .
Stąd otrzymujemy , i .
2. Jeśli , to lub .
Od tego czasu.
Odpowiedź: , , , .
Przykład 8.Rozwiąż równanie . (5)
Rozwiązanie. Od i , wtedy . Stąd i z równania (5) wynika, że i , tj. tutaj mamy układ równań
Jednak ten układ równań jest niespójny.
Odpowiedź: brak korzeni.
Przykład 9. Rozwiąż równanie. (6)
Rozwiązanie. Jeśli oznaczymy , to i z równania (6) otrzymujemy
Lub . (7)
Ponieważ równanie (7) ma postać , równanie to jest równoważne nierówności . Stąd dostajemy. Ponieważ , wtedy lub .
Odpowiedź: .
Przykład 10.Rozwiąż równanie. (8)
Rozwiązanie.Zgodnie z Twierdzeniem 1 możemy pisać
(9)
Uwzględniając równanie (8) wnioskujemy, że obie nierówności (9) przekształcają się w równości, tj. istnieje układ równań
Jednakże zgodnie z Twierdzeniem 3 powyższy układ równań jest równoważny układowi nierówności
(10)
Rozwiązując układ nierówności (10) otrzymujemy . Ponieważ układ nierówności (10) jest równoważny równaniu (8), pierwotne równanie ma jeden pierwiastek.
Odpowiedź: .
Przykład 11. Rozwiąż równanie. (11)
Rozwiązanie. Niech i , to równość wynika z równania (11).
Wynika z tego i . Mamy zatem do czynienia z systemem nierówności
Rozwiązaniem tego układu nierówności jest I .
Odpowiedź: , .
Przykład 12.Rozwiąż równanie. (12)
Rozwiązanie. Równanie (12) zostanie rozwiązane metodą sekwencyjnego rozszerzania modułów. Aby to zrobić, rozważmy kilka przypadków.
1. Jeśli , to .
1.1. Jeśli , to i , .
1.2. Jeśli więc. Jednakże , dlatego w w tym przypadku równanie (12) nie ma pierwiastków.
2. Jeśli , to .
2.1. Jeśli , to i , .
2.2. Jeśli , to i .
Odpowiedź: , , , , .
Przykład 13.Rozwiąż równanie. (13)
Rozwiązanie. Ponieważ lewa strona równania (13) jest nieujemna, to . W związku z tym i równanie (13)
przyjmuje postać lub .
Wiadomo, że równanie jest równoważne kombinacji dwóch równań I , rozwiązanie, które otrzymujemy, . Ponieważ , wówczas równanie (13) ma jeden pierwiastek.
Odpowiedź: .
Przykład 14. Rozwiązać układ równań (14)
Rozwiązanie. Od i , następnie i . W konsekwencji z układu równań (14) otrzymujemy cztery układy równań:
Pierwiastki powyższych układów równań są pierwiastkami układu równań (14).
Odpowiedź: ,, , , , , , .
Przykład 15. Rozwiązać układ równań (15)
Rozwiązanie. Od tego czasu. W związku z tym z układu równań (15) otrzymujemy dwa układy równań
Pierwiastkami pierwszego układu równań są i , a z drugiego układu równań otrzymujemy i .
Odpowiedź: , , , .
Przykład 16. Rozwiązać układ równań (16)
Rozwiązanie. Z pierwszego równania układu (16) wynika, że .
Od tego czasu . Rozważmy drugie równanie układu. Od, To , i równanie przyjmuje postać, , Lub .
Jeśli zastąpisz wartośćdo pierwszego równania układu (16), następnie lub .
Odpowiedź: , .
Do głębszego zbadania metod rozwiązywania problemów, związane z rozwiązywaniem równań, zawierające zmienne pod znakiem modułu, możesz doradzić? pomoce dydaktyczne z listy polecanej literatury.
1. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów na studia / wyd. MI. Scanavi. – M.: Pokój i edukacja, 2013. – 608 s.
2. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: zadania o podwyższonym stopniu złożoności. – M.: CD „Librocom” / URSS, 2017. – 200 s.
3. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: niestandardowe metody rozwiązywania problemów. – M.: CD „Librocom” / URSS, 2017. – 296 s.
Nadal masz pytania?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Moduł jest wartością bezwzględną wyrażenia. Aby w jakiś sposób wskazać moduł, zwykle używa się nawiasów prostych. Wartość ujęta w nawiasy parzyste jest wartością przyjmowaną modulo. Proces rozwiązywania dowolnego modułu polega na otwarciu bardzo prostych nawiasów, które w języku matematycznym nazywane są nawiasami modułowymi. Ich ujawnienie następuje według określonej liczby zasad. Ponadto w kolejności rozwiązywania modułów znajdują się zestawy wartości wyrażeń znajdujących się w nawiasach modułowych. W większości przypadków moduł jest rozwijany w taki sposób, że wyrażenie, które było podmodułowe, otrzymuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, w tym także wartość zero. Jeśli zaczniemy od ustalonych właściwości modułu, wówczas w procesie kompilowane są różne równania lub nierówności z pierwotnego wyrażenia, które następnie należy rozwiązać. Zastanówmy się, jak rozwiązać moduły.
Proces rozwiązania
Rozwiązanie modułu rozpoczyna się od zapisania oryginalnego równania z modułem. Aby odpowiedzieć na pytanie, jak rozwiązać równania z modułem, musisz je całkowicie otworzyć. Aby rozwiązać takie równanie, moduł jest rozwijany. Należy wziąć pod uwagę wszystkie wyrażenia modułowe. Konieczne jest określenie, przy jakich wartościach nieznanych wielkości zawartych w jego składzie wyrażenie modułowe w nawiasach staje się zerem. Aby to zrobić, wystarczy przyrównać wyrażenie w nawiasach modułowych do zera, a następnie obliczyć rozwiązanie powstałego równania. Znalezione wartości należy zapisać. W ten sam sposób musisz także określić wartość wszystkich nieznanych zmiennych dla wszystkich modułów w tym równaniu. Następnie należy przystąpić do definiowania i uwzględniania wszystkich przypadków istnienia zmiennych w wyrażeniach, gdy są one różne od wartości zerowej. Aby to zrobić, należy zapisać jakiś układ nierówności odpowiadający wszystkim modułom pierwotnej nierówności. Nierówności należy zapisać tak, aby obejmowały wszystkie dostępne i możliwe wartości zmiennej znajdujące się na osi liczbowej. Następnie musisz narysować tę samą oś liczbową do wizualizacji, na której później wykreślisz wszystkie uzyskane wartości.
Prawie wszystko można teraz załatwić w Internecie. Moduł nie jest wyjątkiem od reguły. Możesz rozwiązać go online w jednym z wielu nowoczesnych zasobów. Wszystkie te wartości zmiennej, które znajdują się w module zerowym, będą specjalnym ograniczeniem, które zostanie wykorzystane w procesie rozwiązywania równania modułowego. W oryginalnym równaniu należy otworzyć wszystkie dostępne nawiasy modułowe, zmieniając znak wyrażenia tak, aby wartości żądanej zmiennej pokrywały się z wartościami widocznymi na osi liczbowej. Powstałe równanie należy rozwiązać. Wartość zmiennej, która zostanie uzyskana podczas rozwiązywania równania, należy sprawdzić z ograniczeniem określonym przez sam moduł. Jeżeli wartość zmiennej w pełni spełnia warunek, to jest ona poprawna. Wszystkie pierwiastki, które zostaną uzyskane podczas rozwiązywania równania, ale nie będą pasować do ograniczeń, należy odrzucić.
Jednym z najtrudniejszych tematów dla studentów jest rozwiązywanie równań zawierających zmienną pod znakiem modułu. Zastanówmy się najpierw, z czym to się wiąże? Dlaczego na przykład większość dzieci rozwiązuje równania kwadratowe jak orzechy, ale mają tak wiele problemów z tak odległym od złożonego pojęciem, jak moduł?
Moim zdaniem wszystkie te trudności wiążą się z brakiem jasno sformułowanych zasad rozwiązywania równań o module. Tak więc, rozwiązując równanie kwadratowe, uczeń wie na pewno, że musi najpierw zastosować wzór dyskryminacyjny, a następnie wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Co zrobić, jeśli w równaniu znajduje się moduł? Postaramy się jasno opisać niezbędny plan działania w przypadku, gdy równanie zawiera niewiadomą pod znakiem modułu. Dla każdego przypadku podamy kilka przykładów.
Ale najpierw pamiętajmy definicja modułu. Zatem modulo liczba A sama ta liczba nazywa się if A nieujemne i -A, jeśli liczba A mniej niż zero. Można to napisać w ten sposób:
|a| = a jeśli a ≥ 0 i |a| = -a jeśli a< 0
Rozmawiamy o zmysł geometryczny module należy pamiętać, że każda liczba rzeczywista odpowiada pewnemu punktowi na osi liczbowej – jej 
koordynować. Zatem moduł lub wartość bezwzględna liczby to odległość od tego punktu do początku osi liczbowej. Odległość jest zawsze podawana jako liczba dodatnia. Zatem moduł dowolnej liczby ujemnej jest liczbą dodatnią. Nawiasem mówiąc, nawet na tym etapie wielu uczniów zaczyna się dezorientować. Moduł może zawierać dowolną liczbę, jednak efektem użycia modułu jest zawsze liczba dodatnia.
Przejdźmy teraz bezpośrednio do rozwiązywania równań.
1. Rozważmy równanie w postaci |x| = c, gdzie c jest liczbą rzeczywistą. Równanie to można rozwiązać korzystając z definicji modułu.
Wszystkie liczby rzeczywiste dzielimy na trzy grupy: te, które są większe od zera, te, które są mniejsze od zera, a trzecia grupa to liczba 0. Rozwiązanie zapisujemy w formie diagramu:
(± c, jeśli c > 0
Jeśli |x| = c, wtedy x = (0, jeśli c = 0
(bez korzeni, jeśli z< 0
1) |x| = 5, ponieważ 5 > 0, wtedy x = ±5;
2) |x| = -5, ponieważ -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, wtedy x = 0.
2. Równanie postaci |f(x)| = b, gdzie b > 0. Aby rozwiązać to równanie, należy pozbyć się modułu. Robimy to w ten sposób: f(x) = b lub f(x) = -b. Teraz musisz rozwiązać każde z powstałych równań osobno. Jeśli w pierwotnym równaniu b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, ponieważ Zatem 4 > 0
x + 2 = 4 lub x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, ponieważ Zatem 11 > 0
x 2 – 5 = 11 lub x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 bez pierwiastków
3) |x 2 – 5x| = -8, ponieważ -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Równanie postaci |f(x)| = g(x). Zgodnie ze znaczeniem modułu równanie takie będzie miało rozwiązania, jeśli jego prawa strona będzie większa lub równa zeru, tj. g(x) ≥ 0. Wtedy będziemy mieli:
f(x) = g(x) Lub f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. To równanie będzie miało pierwiastki, jeśli 5x – 10 ≥ 0. Tutaj zaczyna się rozwiązanie takich równań.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Rozwiązanie:
2x – 1 = 5x – 10 lub 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Łączymy O.D.Z. i rozwiązanie otrzymujemy:
Pierwiastek x = 11/7 nie pasuje do ODZ, jest mniejszy niż 2, ale x = 3 spełnia ten warunek.
Odpowiedź: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Rozwiążmy tę nierówność metodą przedziałową:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Rozwiązanie:
x – 1 = 1 – x 2 lub x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 lub x = 1 x = 0 lub x = 1
3. Łączymy rozwiązanie i O.D.Z.:
Odpowiednie są tylko pierwiastki x = 1 i x = 0.
Odpowiedź: x = 0, x = 1.
4. Równanie postaci |f(x)| = |g(x)|. Takie równanie jest równoważne dwóm następującym równaniom f(x) = g(x) lub f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. To równanie jest równoważne dwóm następującym:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 lub x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 lub x = 4 x = 2 lub x = 1
Odpowiedź: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Równania rozwiązywane metodą podstawieniową (zastępowanie zmiennych). Ta metoda rozwiązania są najłatwiejsze do wyjaśnienia w konkretny przykład. Otrzymamy więc równanie kwadratowe o module:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Według własności modułu x 2 = |x| 2, więc równanie można przepisać w następujący sposób:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Dokonajmy zamiany |x| = t ≥ 0, wówczas będziemy mieli:
t 2 – 6t + 5 = 0. Rozwiązując to równanie stwierdzamy, że t = 1 lub t = 5. Wróćmy do zamiany:
|x| = 1 lub |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Odpowiedź: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Spójrzmy na inny przykład:
x 2 + |x| – 2 = 0. Według właściwości modułu x 2 = |x| 2, zatem
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Dokonajmy zamiany |x| = t ≥ 0, wówczas:
t 2 + t – 2 = 0. Rozwiązując to równanie, otrzymujemy t = -2 lub t = 1. Wróćmy do zamiany:
|x| = -2 lub |x| = 1
Brak pierwiastków x = ± 1
Odpowiedź: x = -1, x = 1.
6. Innym rodzajem równań są równania o „zespolonym” module. Takie równania obejmują równania, które mają „moduły w module”. Równania tego typu można rozwiązać wykorzystując właściwości modułu.
1) |3 – |x|| = 4. Postępujemy analogicznie jak w równaniach drugiego typu. Ponieważ 4 > 0, wówczas otrzymujemy dwa równania:
3 – |x| = 4 lub 3 – |x| = -4.
Wyraźmy teraz moduł x w każdym równaniu, a następnie |x| = -1 lub |x| = 7.
Rozwiązujemy każde z powstałych równań. W pierwszym równaniu nie ma pierwiastków, ponieważ -1< 0, а во втором x = ±7.
Odpowiedź x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Równanie to rozwiązujemy w podobny sposób:
3 + |x + 1| = 5 lub 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 lub x + 1 = -2. Żadnych korzeni.
Odpowiedź: x = -3, x = 1.
Istnieje również uniwersalna metoda rozwiązywania równań z modułem. Jest to metoda interwałowa. Ale przyjrzymy się temu później.
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.