Fraktale są znane od prawie wieku, są dobrze zbadane i mają liczne zastosowania w życiu. Zjawisko to opiera się na bardzo prostym pomyśle: nieskończoną ilość kształtów, nieskończoną w pięknie i różnorodności, można uzyskać ze stosunkowo prostych konstrukcji za pomocą zaledwie dwóch operacji - kopiowania i skalowania.

Pojęcie to nie ma ścisłej definicji. Dlatego słowo „fraktal” nie jest terminem matematycznym. Jest to powszechnie określane jako kształt geometryczny, który spełnia co najmniej jedną z następujących właściwości:

• ma złożoną strukturę przy każdym powiększeniu;
• jest (w przybliżeniu) samopodobny;
• ma ułamkowy wymiar Hausdorffa (fraktalny), który jest bardziej topologiczny;
• można budować za pomocą procedur rekurencyjnych.

Na przełomie XIX i XX wieku badanie fraktali było raczej epizodyczne niż systematyczne, ponieważ wcześniejsi matematycy badali głównie „dobre” obiekty, które nadawały się do badań przy użyciu ogólnych metod i teorii. W 1872 r. niemiecki matematyk Karl Weierstrass skonstruował przykład funkcja ciągła którego nigdzie nie da się odróżnić. Jego konstrukcja była jednak całkowicie abstrakcyjna i trudna do uchwycenia. Dlatego w 1904 roku Szwed Helge von Koch wymyślił krzywą ciągłą, która nie ma nigdzie stycznej i jest dość prosta do narysowania. Okazało się, że ma właściwości fraktala. Jeden z wariantów tej krzywej nazywa się „płatkiem śniegu Kocha”.

Idee samopodobieństwa postaci podchwycił Francuz Paul Pierre Levy, przyszły mentor Benoita Mandelbrota. W 1938 opublikował artykuł "Płaskie i przestrzenne krzywe i powierzchnie, składające się z części podobnych do całości", w którym opisuje inny fraktal - krzywą C Levy'ego. Wszystkie powyższe fraktale można warunkowo przypisać jednej klasie konstruktywnych (geometrycznych) fraktali.

Kolejną klasą są fraktale dynamiczne (algebraiczne), do których należy zbiór Mandelbrota. Pierwsze badania w tym kierunku sięgają początku XX wieku i wiążą się z nazwiskami francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre'a Fatou. W 1918 roku ukazała się prawie dwustustronicowa praca Julii poświęcona iteracji złożonych funkcji wymiernych, w której opisano zbiory Julii - całą rodzinę fraktali blisko spokrewnionych ze zbiorem Mandelbrota. Praca ta została nagrodzona nagrodą Akademii Francuskiej, ale nie zawierała ani jednej ilustracji, więc nie można było docenić piękna odkrytych przedmiotów. Pomimo tego, że praca ta rozsławiła Julię wśród ówczesnych matematyków, szybko została zapomniana.

Uwaga na prace Julii i Fatou zwróciła się ponownie dopiero pół wieku później, wraz z pojawieniem się komputerów: to one uwidoczniły bogactwo i piękno świata fraktali. W końcu Fatou nigdy nie mógł spojrzeć na obrazy, które teraz znamy jako obrazy zestawu Mandelbrota, ponieważ wymaganej ilości obliczeń nie można wykonać ręcznie. Pierwszą osobą, która użyła do tego komputera, był Benoit Mandelbrot.

W 1982 roku ukazała się książka Mandelbrota „The Fractal Geometry of Nature”, w której autor zebrał i usystematyzował prawie wszystkie dostępne w tamtym czasie informacje o fraktalach i przedstawił je w łatwy i przystępny sposób. W swojej prezentacji Mandelbrot położył główny nacisk nie na uciążliwe formuły i konstrukcje matematyczne, ale na geometryczną intuicję czytelników. Dzięki ilustracjom uzyskanym za pomocą komputera i opowieściom historycznym, którymi autor umiejętnie rozmył naukowy komponent monografii, książka stała się bestsellerem, a fraktale stały się znane szerokiej publiczności. Ich sukces wśród niematematyków w dużej mierze wynika z faktu, że za pomocą bardzo prostych konstrukcji i formuł, które może zrozumieć licealista, uzyskuje się obrazy o niesamowitej złożoności i pięknie. Kiedy komputery osobiste stały się wystarczająco potężne, pojawił się nawet cały trend w sztuce - malowanie fraktali i prawie każdy właściciel komputera mógł to zrobić. Teraz w Internecie można łatwo znaleźć wiele stron poświęconych temu tematowi.

Koncepcje geometrii fraktalnej i fraktalnej, które pojawiły się pod koniec lat 70., zostały mocno ugruntowane przez matematyków i programistów od połowy lat 80-tych. Słowo fraktal wywodzi się z łacińskiego fractus iw tłumaczeniu oznacza fragmenty. Został zaproponowany przez Benoita Mandelbrota w 1975 roku, aby oznaczyć nieregularne, ale samopodobne struktury, nad którymi pracował. Narodziny geometrii fraktalnej są zwykle związane z publikacją książki Mandelbrota The Fractal Geometry of Nature w 1977 roku. W jego pracach wykorzystano wyniki naukowe innych naukowców, którzy pracowali w latach 1875-1925 w tej samej dziedzinie (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Ale dopiero w naszych czasach udało się połączyć ich pracę w jeden system.
Rola fraktali w dzisiejszej grafice komputerowej jest dość duża. Z pomocą przychodzą na przykład wtedy, gdy za pomocą kilku współczynników trzeba zdefiniować linie i powierzchnie o bardzo skomplikowanych kształtach. Z punktu widzenia grafiki komputerowej geometria fraktalna jest niezbędna do generowania sztucznych chmur, gór, powierzchni morza. W rzeczywistości znaleziono sposób na łatwe przedstawienie złożonych obiektów nieeuklidesowych, których obrazy są bardzo podobne do naturalnych.
Samopodobieństwo jest jedną z głównych właściwości fraktali. W samym prosty przypadek niewielka część fraktala zawiera informacje o całym fraktalu. Definicja fraktala podana przez Mandelbrota brzmi tak: „Fraktal to struktura składająca się z części, które są w pewnym sensie podobne do całości”.

Istnieje duża liczba obiekty matematyczne zwane fraktalami (trójkąt Sierpińskiego, płatek śniegu Kocha, krzywa Peano, zbiór Mandelbrota i atraktory Lorentza). Fraktale opisują z dużą dokładnością wiele zjawisk fizycznych i formacji świata rzeczywistego: góry, chmury, burzliwe (wirowe) prądy, korzenie, gałęzie i liście drzew, naczynia krwionośne, którym daleko do prostych geometrycznych kształtów. Po raz pierwszy Benoit Mandelbrot mówił o fraktalnej naturze naszego świata w swojej przełomowej pracy „The Fractal Geometry of Nature”.
Termin fraktal został wprowadzony przez Benoita Mandelbrota w 1977 r. w jego fundamentalnej pracy „Fraktale, forma, chaos i wymiar”. Według Mandelbrota słowo fractal pochodzi od łacińskich słów fractus - fractal i frangere - to break, co odzwierciedla istotę fraktala jako „złamanego”, nieregularnego zestawu.

Klasyfikacja fraktali.

Aby przedstawić całą różnorodność fraktali, wygodnie jest odwołać się do ich ogólnie przyjętej klasyfikacji. Istnieją trzy klasy fraktali.

1. Fraktale geometryczne.

Fraktale tej klasy są najbardziej ilustracyjne. W przypadku dwuwymiarowym uzyskuje się je za pomocą polilinii (lub powierzchni w przypadku trójwymiarowym) zwanej generatorem. W jednym kroku algorytmu każdy z segmentów tworzących polilinię jest zastępowany przez generator polilinii w odpowiedniej skali. W wyniku niekończącego się powtarzania tej procedury otrzymujemy fraktal geometryczny.

Rozważmy przykład jednego z takich obiektów fraktalnych - krzywą triady Kocha.

Konstrukcja triadycznej krzywej Kocha.

Weź odcinek linii prostej o długości 1. Nazwijmy to nasionko... Podziel ziarno na trzy równe części o długości 1/3, odrzuć środkową część i zastąp ją linią przerywaną dwóch ogniw o długości 1/3.

Otrzymamy polilinię składającą się z 4 ogniw o łącznej długości 4/3 - tzw. pierwsza generacja.

Aby przejść do następnej generacji krzywej Kocha, konieczne jest odrzucenie i zastąpienie środkowej części przy każdym łączu. W związku z tym długość drugiej generacji wyniesie 16/9, trzecia - 64/27. jeśli będziemy kontynuować ten proces w nieskończoność, wynikiem jest krzywa triady Kocha.

Rozważmy teraz święte wyspy krzywej triady Kocha i dowiedzmy się, dlaczego fraktale nazywano „potworami”.

Po pierwsze, krzywa ta nie ma długości - jak widzieliśmy, jej długość dąży do nieskończoności wraz z liczbą pokoleń.

Po drugie, nie da się skonstruować stycznej do tej krzywej - każdy z jej punktów jest punktem przegięcia, w którym pochodna nie istnieje - krzywa ta nie jest gładka.

Długość i gładkość są podstawowymi właściwościami krzywych, które są badane zarówno przez geometrię euklidesową, jak i geometrię Łobaczewskiego, Riemanna. Tradycyjne metody analizy geometrycznej okazały się nie mieć zastosowania do krzywej triady Kocha, więc krzywa Kocha okazała się potworem – „potworem” wśród gładkich mieszkańców tradycyjnych geometrii.

Budowa „smoka” Harter-Haytway.

Aby zdobyć kolejny obiekt fraktalny, musisz zmienić zasady konstrukcji. Niech elementem generującym będą dwa równe odcinki linii połączone pod kątem prostym. W generacji zerowej zastąp segment jednostki tym elementem generującym, tak aby róg znajdował się na górze. Można powiedzieć, że przy takiej wymianie przesuwa się środek ogniwa. Przy konstruowaniu kolejnych generacji zasada jest spełniona: pierwsze ogniwo z lewej strony jest zastępowane elementem generującym tak, że środek ogniwa jest przesunięty w lewo od kierunku ruchu, a przy wymianie następnych ogniw Kierunki przemieszczenia punktów środkowych segmentów powinny się zmieniać. Rysunek przedstawia kilka pierwszych generacji i 11. generację krzywej zbudowanej zgodnie z powyższą zasadą. Krzywa, ponieważ n dąży do nieskończoności, nazywana jest smokiem Harter-Heitwaya.
W grafice komputerowej wykorzystanie fraktali geometrycznych jest niezbędne przy uzyskiwaniu obrazów drzew i krzewów. Fraktale geometryczne 2D służą do tworzenia tekstur wolumetrycznych (rysowania na powierzchni obiektu).

2.Fraktale algebraiczne

To największa grupa fraktali. Uzyskuje się je za pomocą procesów nieliniowych w przestrzeniach n-wymiarowych. Najczęściej badane są procesy dwuwymiarowe. Interpretując nieliniowy proces iteracyjny jako dyskretny układ dynamiczny, można posłużyć się terminologią teorii tych układów: portret fazowy, proces w stanie ustalonym, atraktor itp.
Wiadomo, że nieliniowe układy dynamiczne mają kilka stanów stabilnych. Stan, w jakim znajduje się układ dynamiczny po określonej liczbie iteracji, zależy od jego stanu początkowego. Dlatego każdy stan stabilny (lub, jak mówią, atraktor) ma pewien obszar stanów początkowych, z których system z konieczności przejdzie w rozważane stany końcowe. W ten sposób przestrzeń fazowa układu podzielona jest na obszary przyciągania atraktorów. Jeżeli przestrzeń dwuwymiarowa jest przestrzenią fazową, to barwiąc obszary przyciągania różnymi kolorami, można uzyskać barwny portret fazowy tego układu (proces iteracyjny). Zmieniając algorytm wyboru koloru, możesz uzyskać złożone obrazy fraktalne z dziwacznymi wielokolorowymi wzorami. Niespodzianką dla matematyków była możliwość generowania bardzo złożonych, nietrywialnych struktur przy użyciu prymitywnych algorytmów.

Zestaw Mandelbrota.

Jako przykład rozważmy zestaw Mandelbrota. Algorytm jego budowy jest dość prosty i opiera się na prostym wyrażeniu iteracyjnym: Z = Z [i] * Z [i] + C, gdzie Zi oraz C- złożone zmienne. Iteracje są wykonywane dla każdego punktu początkowego z obszarem prostokątnym lub kwadratowym - podzbiorem płaszczyzny zespolonej. Iteracyjny proces trwa do Z [i] nie wyjdzie poza okrąg o promieniu 2, którego środek leży w punkcie (0,0), (oznacza to, że atraktor układu dynamicznego jest w nieskończoności) lub po wystarczająco dużej liczbie iteracji (np. , 200-500) Z [i] zbiega się do pewnego punktu na okręgu. W zależności od liczby iteracji, podczas których Z [i] pozostał wewnątrz okręgu, możesz ustawić kolor punktu C(Jeśli Z [i] pozostaje wewnątrz okręgu przez wystarczająco dużą liczbę iteracji, proces iteracyjny zostaje zakończony i ten punkt rastrowy jest pokolorowany na czarno).

3 stochastyczne fraktale

Inną dobrze znaną klasą fraktali są fraktale stochastyczne, które uzyskuje się, jeśli którykolwiek z jego parametrów zostanie losowo zmieniony w procesie iteracyjnym. Jednocześnie uzyskuje się obiekty bardzo podobne do naturalnych - drzewa asymetryczne, wcięte linie brzegowe itp. Do modelowania terenu i powierzchni morza wykorzystuje się dwuwymiarowe fraktale stochastyczne.
Istnieją inne klasyfikacje fraktali, np. podział fraktali na deterministyczne (algebraiczne i geometryczne) i niedeterministyczne (stochastyczne).

O korzystaniu z fraktali

Przede wszystkim fraktale to obszar niesamowitej sztuki matematycznej, przy użyciu najprostszych formuł i algorytmów uzyskuje się obrazy o niezwykłej urodzie i złożoności! W konturach konstruowanych obrazów często odgaduje się liście, drzewa i kwiaty.

Niektóre z najpotężniejszych zastosowań fraktali znajdują się w grafice komputerowej. Po pierwsze jest to fraktalna kompresja obrazu, a po drugie konstruowanie pejzaży, drzew, roślin i generowanie fraktalnych tekstur. Współczesna fizyka i mechanika dopiero zaczynają badać zachowanie obiektów fraktalnych. I oczywiście fraktale są używane bezpośrednio w samej matematyce.
Zaletami fraktalnych algorytmów kompresji obrazu są bardzo mały rozmiar spakowanego pliku i krótki czas odzyskiwania obrazu. Obrazy spakowane fraktalnie można skalować bez pikselizacji. Ale proces kompresji zajmuje dużo czasu, a czasami zajmuje godziny. Algorytm stratnego pakowania fraktalnego pozwala ustawić współczynnik kompresji podobny do formatu jpeg. Algorytm opiera się na znalezieniu dużych fragmentów obrazu podobnych do niektórych małych fragmentów. I tylko który kawałek jest podobny do którego jest zapisywany w pliku wyjściowym. Podczas kompresji zwykle używają siatki kwadratowej (kawałki - kwadraty), co prowadzi do lekkiej kanciastości podczas przywracania obrazu, siatka sześciokątna jest pozbawiona takiej wady.
Firma Iterated opracowała nowy format obrazu „Sting”, który łączy w sobie bezstratną kompresję fraktalną i falową (np. jpeg). Nowy format pozwala na tworzenie obrazów z możliwością późniejszego wysokiej jakości skalowania, a objętość plików graficznych to 15-20% objętości nieskompresowanych obrazów.
Tendencja fraktali do upodabniania się do gór, kwiatów i drzew jest wykorzystywana przez niektórych edytorów graficznych, takich jak chmury fraktalne ze studia 3D MAX, góry fraktalne w World Builder. Drzewa fraktalne, góry i całe krajobrazy określane są prostymi wzorami, są łatwe do zaprogramowania i nie rozpadają się na osobne trójkąty i sześciany podczas powiększania.
Nie można zignorować użycia fraktali w samej matematyce. W teorii mnogości zbiór Cantora dowodzi istnienia doskonałych zbiorów nigdzie gęstych, w teorii miary samoafiniczna funkcja drabinkowa Cantora jest dobrym przykładem funkcji dystrybucji miary osobliwej.
W mechanice i fizyce fraktale są wykorzystywane ze względu na unikalną właściwość powtarzania konturów wielu naturalnych obiektów. Fraktale pozwalają na aproksymację drzew, powierzchni skalnych i pęknięć z większą dokładnością niż aproksymacje zestawem linii lub wielokątów (dla tej samej ilości przechowywanych danych). Modele fraktalne, podobnie jak obiekty naturalne, mają „chropowatość” i ta właściwość jest zachowywana przy dowolnie dużym powiększeniu modelu. Obecność miary jednostajnej na fraktalach pozwala zastosować całkowanie, teorię potencjału, wykorzystać je zamiast standardowych obiektów w już zbadanych równaniach.
W ujęciu fraktalnym chaos przestaje być błękitem nieładu i nabiera subtelnej struktury. Nauka fraktalna jest wciąż bardzo młoda i ma przed sobą wspaniałą przyszłość. Piękno fraktali jest dalekie od wyczerpania i nadal da nam wiele arcydzieł - tych, które cieszą oko, i tych, które wnoszą prawdziwą rozkosz do umysłu.

O budowaniu fraktali

Metoda kolejnych przybliżeń

Patrząc na ten obraz, łatwo zrozumieć, jak można skonstruować samopodobny fraktal (w tym przypadku piramidę Sierpińskiego). Trzeba wziąć zwykłą piramidę (czworościan), a następnie wyciąć jej środek (ośmiościan), w wyniku czego otrzymujemy cztery małe piramidy. Z każdym z nich wykonujemy tę samą operację itd. To nieco naiwne, ale intuicyjne wyjaśnienie.

Rozważmy istotę metody bardziej ściśle. Niech będzie jakiś system IFS, tj. system mapowania skurczów S= (S 1, ..., S m) S i: R n -> R n (na przykład dla naszej piramidy mapy mają postać S i (x) = 1/2 * x + oi, gdzie oi są wierzchołkami czworościanu, i = 1, .., 4). Następnie wybieramy jakiś zwarty zbiór A 1 w R n (w naszym przypadku wybieramy czworościan). I definiujemy przez indukcję ciąg zbiorów A k: A k + 1 = S 1 (A k) U ... U S m (A k). Wiadomo, że zbiory A k wraz ze wzrostem k coraz lepiej przybliżają poszukiwany atraktor układu S.

Zauważ, że każda z tych iteracji jest atraktorem powtarzalny system funkcji iterowanych(termin w języku angielskim Digraf IFS, RIFS i również IFS oparte na wykresach) i dlatego są łatwe do zbudowania za pomocą naszego programu.

Wykreślanie punktami lub metodą probabilistyczną

Jest to najłatwiejsza metoda do wdrożenia na komputerze. Dla uproszczenia rozważmy przypadek płaskiego zestawu samoafinicznego. Więc

) - jakiś system skurczów afinicznych. Odwzorowania S

reprezentowane jako: S

Naprawiono rozmiar matrycy 2x2 i poza

Kolumna wektorów dwuwymiarowych.

• Weź stały punkt pierwszej mapy S 1 jako punkt początkowy:
  x: = o1;
  Posłużymy się tutaj faktem, że wszystkie stałe punkty skurczów S 1, .., S m należą do fraktala. Jako punkt wyjścia możesz wybrać dowolny punkt, a sekwencja punktów przez niego wygenerowanych skurczy się do fraktala, ale wtedy na ekranie pojawi się kilka dodatkowych punktów.
• Zaznaczmy aktualny punkt x = (x 1, x 2) na ekranie:
  putpiksel (x 1, x 2, 15);
• Wybierzmy losowo liczbę j od 1 do mi przeliczmy współrzędne punktu x:
  j: = losowy (m) +1;
  x: = Sj (x);
• Przechodzimy do kroku 2 lub, jeśli wykonaliśmy wystarczająco dużą liczbę iteracji, zatrzymujemy się.

Notatka. Jeśli współczynniki kompresji map S i są różne, to fraktal będzie nierównomiernie wypełniony kropkami. Jeśli odwzorowania Si są podobieństwami, można tego uniknąć, nieco komplikując algorytm. W tym celu w trzecim kroku algorytmu należy wybrać liczbę j od 1 do m z prawdopodobieństwami p 1 = r 1 s, .., pm = rms, gdzie ri oznacza współczynnik kompresji odwzorowań S i, a liczba s (zwana wymiarem podobieństwa) pochodzi z równania r 1 s + ... + rms = 1. Rozwiązanie tego równania można znaleźć na przykład metodą Newtona.

O fraktalach i ich algorytmach

Fraktal pochodzi od łacińskiego przymiotnika „fractus”, aw tłumaczeniu oznacza składanie się z fragmentów, a odpowiedni łaciński czasownik „frangere” oznacza łamanie, to znaczy tworzenie nieregularnych fragmentów. Koncepcje geometrii fraktalnej i fraktalnej, które pojawiły się pod koniec lat 70., zostały mocno ugruntowane przez matematyków i programistów od połowy lat 80-tych. Termin ten został ukuty przez Benoita Mandelbrota w 1975 roku w odniesieniu do nieregularnych, ale samopodobnych struktur, z którymi miał do czynienia. Narodziny geometrii fraktalnej są zwykle związane z publikacją w 1977 roku książki Mandelbrota „The Fractal Geometry of Nature” – „Fraktal geometry of nature”. W swoich pracach wykorzystywał wyniki naukowe innych naukowców, którzy pracowali w latach 1875-1925 w tej samej dziedzinie (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff).

Korekty

Pozwolę sobie wprowadzić pewne poprawki do algorytmów zaproponowanych w książce H.-O. Peitgen i P.H. Richter „Piękno fraktali” M. 1993 wyłącznie po to, aby usunąć literówki i ułatwić zrozumienie procesów, ponieważ po ich przestudiowaniu wiele pozostało dla mnie zagadką. Niestety, te „zrozumiałe” i „proste” algorytmy prowadzą rockowy styl życia.

Konstrukcja fraktali opiera się na pewnej nieliniowej funkcji procesu złożonego ze sprzężeniem zwrotnym z => z 2 + c ponieważ z i c są liczbami zespolonymi, to z = x + iy, c = p + iq, należy rozwinąć to na x i y, aby przejść do płaszczyzny, która jest bardziej realna dla zwykłego człowieka:

x (k + 1) = x (k) 2 -y (k) 2 + p,
y (k + 1) = 2 * x (k) * y (k) + q.

Płaszczyzna składająca się ze wszystkich par (x, y) może być traktowana jak dla wartości stałych p i q i z dynamiczną. W pierwszym przypadku przejście przez wszystkie punkty (x, y) płaszczyzny zgodnie z prawem i pokolorowanie ich w zależności od liczby powtórzeń funkcji niezbędnej do wyjścia z procesu iteracyjnego lub niekolorowania (czarny) gdy dopuszczalne maksimum powtórzeń zostanie przekroczony, dostaniemy pokaz zestawu Julia. Jeżeli natomiast ustalimy początkową parę wartości (x, y) i prześledzimy jej losy kolorystyczne z dynamicznie zmieniającymi się wartościami parametrów p i q, to ​​otrzymamy obrazy zwane zbiorami Mandelbrota.

W kwestii algorytmów kolorowania fraktali.

Zazwyczaj korpus zestawu przedstawiany jest jako czarne pole, chociaż oczywiste jest, że czarny kolor można zastąpić dowolnym innym kolorem, ale jest to również wynik małego zainteresowania. Uzyskanie obrazu zestawu kolorowego we wszystkich kolorach jest zadaniem, którego nie da się rozwiązać za pomocą operacji cyklicznych. liczba iteracji tworzących korpus zbioru jest równa maksymalnej możliwej i jest zawsze taka sama. Możliwe jest pokolorowanie zbioru różnymi kolorami poprzez zastosowanie wyniku sprawdzenia warunku wyjścia pętli (z_magnitude) jako numeru koloru lub podobnego, ale przy użyciu innych operacji matematycznych.

Zastosowanie „mikroskopu fraktalnego”

aby zademonstrować zjawiska graniczne.

Atraktory - ośrodki walczące o dominację w samolocie. Pomiędzy atraktorami pojawia się granica, przedstawiająca pokręcony wzór. Zwiększając skalę rozważań w granicach zbioru można uzyskać nietrywialne wzorce odzwierciedlające stan chaosu deterministycznego – powszechnego zjawiska w świecie przyrody.

Badane przez geografów obiekty tworzą system o bardzo kompleksowo zorganizowanych granicach, przez co ich realizacja nie jest łatwym zadaniem praktycznym. Kompleksy naturalne mają jądra typowości, działające jak atraktory, które w miarę oddalania się tracą moc oddziaływania na terytorium.

Za pomocą mikroskopu fraktalnego do zbiorów Mandelbrota i Julii można sformułować wyobrażenie o procesach i zjawiskach brzegowych, które są równie złożone niezależnie od skali rozważań, a tym samym przygotować percepcję specjalisty na spotkanie z dynamicznym i pozornie chaotycznym obiektem naturalnym w przestrzeni i czasu, aby zrozumieć naturę geometrii fraktalnej. Wielokolorowa kolorystyka i fraktalna muzyka z pewnością pozostawią głęboki ślad w umysłach uczniów.

Tysiące publikacji i ogromne zasoby internetowe poświęcone są fraktalom, jednak dla wielu specjalistów dalekich od informatyki termin ten wydaje się zupełnie nowy. Fraktale, jako obiekty zainteresowania specjalistów z różnych dziedzin wiedzy, powinny otrzymać właściwe miejsce na kursie informatyki.

Przykłady

KRATKA SERPIŃSKA

Jest to jeden z fraktali, z którymi Mandelbrot eksperymentował podczas opracowywania koncepcji wymiarów fraktalnych i iteracji. Trójkąty utworzone przez połączenie punktów środkowych większego trójkąta są wycinane z trójkąta głównego, tworząc trójkąt z większą liczbą otworów. W tym przypadku inicjatorem jest duży trójkąt, a szablonem jest operacja wycięcia trójkątów podobnych do tego większego. Możesz również uzyskać trójwymiarową wersję trójkąta, używając zwykłego czworościanu i wycinając małe czworościany. Wymiar takiego fraktala wynosi ln3/ln2 = 1,584962501. Pozyskać Dywan Sierpińskiego, weź kwadrat, podziel go na dziewięć kwadratów i wytnij środkowy. To samo zrobimy z pozostałymi, mniejszymi kwadratami. W końcu powstaje płaska siatka fraktalna, która nie ma powierzchni, ale ma nieskończone połączenia. W swojej przestrzennej formie gąbka Sierpińskiego przekształca się w system form przelotowych, w którym każdy element przelotowy jest nieustannie zastępowany przez swój własny rodzaj. Ta struktura jest bardzo podobna do cięcia kości. Pewnego dnia takie powtarzające się struktury staną się częścią konstrukcji budowlanych. Ich statyka i dynamika, mówi Mandelbrot, zasługują na dokładne zbadanie.

KRZYWA KOHA

Krzywa Kocha jest jednym z najbardziej typowych fraktali deterministycznych. Został wynaleziony w XIX wieku przez niemieckiego matematyka Helge von Kocha, który studiując prace Georga Kontora i Karla Weierstraße, natknął się na opisy dziwnych krzywych o nietypowym zachowaniu. Inicjatorem jest linia prosta. Generator jest trójkątem równobocznym, którego boki są równe jednej trzeciej długości większego segmentu. Te trójkąty są dodawane do środka każdego segmentu w kółko. W swoich badaniach Mandelbrot intensywnie eksperymentował z krzywymi Kocha i uzyskał figury, takie jak Wyspy Kocha, Krzyże Kocha, płatki śniegu Kocha, a nawet trójwymiarowe reprezentacje krzywej Kocha za pomocą czworościanu i dodając mniejsze czworościany do każdej z jego ścian. Krzywa Kocha ma wymiar ln4/ln3 = 1.261859507.

Fraktal MANDELBROT

To NIE jest zestaw Mandelbrota, który widzisz wystarczająco często. Zbiór Mandelbrota oparty jest na równaniach nieliniowych i jest fraktalem złożonym. To też jest wariant krzywej Kocha, mimo że ten obiekt na nią nie wygląda. Inicjator i generator różnią się również od tych używanych do tworzenia fraktali opartych na zasadzie krzywej Kocha, ale idea pozostaje ta sama. Zamiast dołączania trójkątów równobocznych do segmentu krzywej, kwadraty są dołączane do kwadratu. Z uwagi na fakt, że fraktal ten zajmuje dokładnie połowę przestrzeni przydzielonej dla każdej iteracji, ma on prosty fraktalny wymiar 3/2 = 1,5.

PENTAGON DARERA

Fraktal wygląda jak zbite ze sobą pięciokąty. W rzeczywistości powstaje przy użyciu pięciokąta jako inicjatora i trójkąty równoramienne, stosunek większego boku do mniejszego, w którym jest dokładnie równy tak zwanemu złotemu podziałowi (1,618033989 lub 1 / (2cos72)) jako generatora. Te trójkąty są wycinane ze środka każdego pięciokąta, co daje kształt, który wygląda jak 5 małych pięciokątów przyklejonych do jednego dużego. Wariant tego fraktala można uzyskać, używając sześciokąta jako inicjatora. Ten fraktal nazywa się Gwiazdą Dawida i jest dość podobny do sześciokątnej wersji płatka śniegu Kocha. Wymiar fraktalny pięciokąta Darera ln6/ln (1 + g), gdzie g jest stosunkiem długości większego boku trójkąta do długości mniejszego. W tym przypadku g jest złotą proporcją, więc wymiar fraktalny wynosi około 1,86171596. Wymiar fraktalny Gwiazdy Dawida ln6/ln3 lub 1.630929754.

Fraktale złożone

W rzeczywistości, jeśli powiększysz mały obszar dowolnego złożonego fraktala, a następnie zrobisz to samo z małym obszarem tego obszaru, oba powiększenia będą się znacznie różnić od siebie. Oba obrazy będą bardzo podobne w szczegółach, ale nie będą całkowicie identyczne.

Rys 1. Aproksymacja zbioru Mandelbrota

Porównaj na przykład podane tu zdjęcia zestawu Mandelbrota, z których jeden uzyskano poprzez powiększenie pewnego obszaru drugiego. Jak widać, absolutnie nie są identyczne, chociaż na obu widzimy czarny okrąg, z którego płonące macki rozchodzą się w różnych kierunkach. Elementy te powtarzają się w nieskończoność w Mandelbrocie w malejącej proporcji.

Fraktale deterministyczne są liniowe, natomiast fraktale złożone nie są. Chociaż nieliniowe, te fraktale są generowane przez to, co Mandelbrot nazwał nieliniowym równania algebraiczne... Dobrym przykładem jest proces Zn + 1 = ZnI + C, który jest równaniem używanym do skonstruowania zbiorów Mandelbrota i Julii drugiego stopnia. Rozwiązanie tych równania matematyczne obejmuje liczby złożone i urojone. Gdy równanie jest interpretowane graficznie na złożonej płaszczyźnie, wynikiem jest dziwna figura, w której linie proste zamieniają się w krzywe, a efekty samopodobieństwa pojawiają się na różnych poziomach skali, choć nie bez deformacji. Jednocześnie cały obraz jest nieprzewidywalny i bardzo chaotyczny.

Jak widać, patrząc na zdjęcia, złożone fraktale są naprawdę bardzo złożone i nie da się ich stworzyć bez pomocy komputera. Aby uzyskać kolorowe wyniki, ten komputer musi być wyposażony w potężny koprocesor matematyczny i monitor o wysokiej rozdzielczości. W przeciwieństwie do fraktali deterministycznych, fraktale złożone nie są obliczane w 5-10 iteracjach. Prawie każdy punkt na ekranie komputera jest jak osobny fraktal. Podczas przetwarzania matematycznego każdy punkt jest traktowany jako osobny rysunek. Każdy punkt odpowiada określonej wartości. Równanie jest wbudowane, stosowane do każdego punktu i wykonywane na przykład 1000 iteracji. Aby uzyskać stosunkowo niezniekształcony obraz przez czas akceptowalny dla komputerów domowych, możliwe jest wykonanie 250 iteracji dla jednego punktu.

Większość fraktali, które dzisiaj widzimy, jest pięknie pokolorowanych. Być może obrazy fraktalne zyskały tak wielką wartość estetyczną właśnie ze względu na ich kolorystykę. Po obliczeniu równania komputer analizuje wyniki. Jeśli wyniki są stabilne lub oscylują wokół określonej wartości, kropka zwykle zmienia kolor na czarny. Jeśli wartość na jednym lub drugim etapie dąży do nieskończoności, punkt jest zamalowany na inny kolor, może niebieski lub czerwony. Podczas tego procesu komputer przypisuje kolory dla wszystkich prędkości.

Zazwyczaj szybko poruszające się kropki są pomalowane na czerwono, wolniejsze na żółto i tak dalej. Ciemne plamy są prawdopodobnie najbardziej stabilne.

Fraktale złożone różnią się od fraktali deterministycznych tym, że są nieskończenie złożone, ale jednocześnie można je wygenerować za pomocą bardzo prostego wzoru. Deterministyczne fraktale nie potrzebują formuł ani równań. Wystarczy wziąć papier do rysowania i bez trudu zbudować sito Sierpińskiego do 3 lub 4 iteracji. Spróbuj z dużą ilością Julii! Łatwiej jest zmierzyć długość wybrzeża Anglii!

ZESTAW MANDELROSLU

Rys 2. Zbiór Mandelbrota

Zbiory Mandelbrota i Julii są prawdopodobnie dwoma najczęstszymi fraktalami złożonymi. Można je znaleźć w wielu czasopismach naukowych, okładkach książek, pocztówkach i wygaszaczach ekranu komputerowego. Zestaw Mandelbrota, który został zbudowany przez Benoita Mandelbrota, jest prawdopodobnie pierwszym skojarzeniem, jakie ludzie mają, gdy słyszą słowo fraktal. Ten kartopodobny fraktal z płonącym drzewem i dołączonymi do niego okrągłymi obszarami jest generowany przez prostą formułę Zn + 1 = Zna + C, gdzie Z i C są liczbami zespolonymi, a a jest liczbą dodatnią.

Najczęściej spotykanym zbiorem Mandelbrota jest zbiór Mandelbrota drugiego stopnia, czyli a = 2. Fakt, że zbiór Mandelbrota to nie tylko Zn + 1 = ZnІ + C, ale fraktal, którego wykładnik we wzorze może być dowolny Liczba dodatnia wprowadził w błąd wielu. Na tej stronie zobaczysz przykład zestawu Mandelbrota dla różnych wartości wykładnika a.
Rys 3. Pojawienie się pęcherzyków przy a = 3,5

Popularny jest również proces Z = Z * tg (Z + C). Włączając funkcję stycznej, otrzymujesz zestaw Mandelbrota otoczony obszarem przypominającym jabłko. Użycie funkcji cosinus daje efekt bąbelków powietrza. Krótko mówiąc, istnieje nieskończona liczba sposobów na dostosowanie zestawu Mandelbrota, aby był inny piękne zdjęcia.

DUŻO JULII

Co zaskakujące, zbiory Julii powstają według tej samej formuły, co zbiory Mandelbrota. Zestaw Julia został wymyślony przez francuskiego matematyka Gastona Julię, od którego pochodzi nazwa zestawu. Pierwsze pytanie, które pojawia się po wizualnej znajomości zestawów Mandelbrota i Julii, brzmi: „jeśli oba fraktale są generowane według tej samej formuły, dlaczego są tak różne?” Najpierw spójrz na zdjęcia zestawu Julia. Co dziwne, istnieją różne rodzaje zestawów Julia. Podczas rysowania fraktala przy użyciu różnych punktów początkowych (aby rozpocząć proces iteracji), generowane są różne obrazy. Dotyczy to tylko zestawu Julia.

Rys 4. Zbiór Julii

Chociaż nie widać tego na zdjęciu, fraktal Mandelbrota jest w rzeczywistości zbiorem fraktali Julii połączonych ze sobą. Każdy punkt (lub współrzędna) zbioru Mandelbrota odpowiada fraktalowi Julii. Zbiory Julii można generować wykorzystując te punkty jako wartości początkowe w równaniu Z = ZI + C. Ale to nie znaczy, że jeśli wybierzesz punkt na fraktalu Mandelbrota i zwiększysz go, możesz uzyskać fraktal Julii. Te dwa punkty są identyczne, ale tylko w sensie matematycznym. Jeśli weźmiesz ten punkt i obliczysz go za pomocą tego wzoru, możesz uzyskać fraktal Julii odpowiadający pewnemu punktowi fraktala Mandelbrota.

Jak odkryto fraktal

Formy matematyczne znane jako fraktale należą do geniuszu wybitnego naukowca Benoita Mandelbrota. Przez większość swojego życia uczył matematyki na Uniwersytecie Yale w USA. W latach 1977 – 1982 Mandelbrot opublikował prace naukowe poświęcone badaniu „geometrii fraktalnej” lub „geometrii przyrody”, w których rozbijał pozornie przypadkowe formy matematyczne na elementy składowe, które po bliższym zbadaniu okazały się powtarzalne – co dowodziło obecności pewnego wzoru do kopiowania... Odkrycie Mandelbrota miało znaczące konsekwencje dla rozwoju fizyki, astronomii i biologii.

Fraktale w przyrodzie

W przyrodzie wiele obiektów ma właściwości fraktalne, np.: korony drzew, kalafior, chmury, układ krążenia i pęcherzykowego człowieka i zwierząt, kryształy, płatki śniegu, których elementy układają się w jedną skomplikowaną strukturę, wybrzeża (koncepcja fraktalna pozwoliła naukowcom do pomiaru linii brzegowej Wysp Brytyjskich i innych, wcześniej niezmierzonych obiektów).

Rozważ strukturę kalafiora. Jeśli pokroisz jeden z kwiatów, oczywiste jest, że w twoich rękach pozostaje ten sam kalafior, tylko o mniejszym rozmiarze. Możesz ciąć raz za razem, nawet pod mikroskopem - jednak dostajemy tylko malutkie kopie kalafiora. W tym najprostszym przypadku nawet niewielka część fraktala zawiera informacje o całej końcowej strukturze.

Fraktale w technologii cyfrowej

Geometria fraktalna wniosła nieoceniony wkład w rozwój nowych technologii w dziedzinie muzyki cyfrowej, a także umożliwiła kompresję obrazów cyfrowych. Istniejące algorytmy kompresji obrazu fraktalnego opierają się na zasadzie przechowywania skompresowanego obrazu zamiast samego obrazu cyfrowego. W przypadku skompresowanego obrazu główny obraz pozostaje stałym punktem. Firma Microsoft wykorzystała jeden z wariantów tego algorytmu podczas publikowania swojej encyklopedii, ale z tego czy innego powodu pomysł ten nie był szeroko rozpowszechniany.

Matematyczną podstawą grafiki fraktalnej jest geometria fraktalna, gdzie zasada dziedziczenia po pierwotnych „obiektach macierzystych” jest podstawą metod konstruowania „obrazów-spadkobierców”. Same koncepcje geometrii fraktalnej i grafiki fraktalnej pojawiły się dopiero około 30 lat temu, ale zostały już mocno ugruntowane przez projektantów komputerów i matematyków.

Podstawowe pojęcia fraktalnej grafiki komputerowej to:

• Trójkąt fraktalny - figura fraktalna - obiekt fraktalny (hierarchia w porządku malejącym)
• Linia fraktalna
• Kompozycja fraktalna
• „Obiekt nadrzędny” i „Obiekt następcy”

Podobnie jak w grafice wektorowej i 3D, tworzenie obrazów fraktalnych jest obliczane matematycznie. Główna różnica w stosunku do dwóch pierwszych typów grafiki polega na tym, że obraz fraktalny jest budowany zgodnie z równaniem lub układem równań – w pamięci komputera nie trzeba przechowywać nic poza formułą, aby wykonać wszystkie obliczenia – i taka zwartość aparatu matematycznego umożliwiło wykorzystanie tej idei w grafice komputerowej. Po prostu zmieniając współczynniki równania można łatwo uzyskać zupełnie inny obraz fraktalny - za pomocą kilku współczynników matematycznych ustalane są powierzchnie i linie o bardzo skomplikowanych kształtach, co pozwala na realizację takich technik kompozycyjnych jak poziomy i pionowy, symetria i asymetria , kierunki ukośne i wiele więcej.

Jak zbudować fraktal?

Twórca fraktali pełni jednocześnie rolę artysty, fotografa, rzeźbiarza i naukowca-wynalazcy. Jakie są etapy pracy nad stworzeniem obrazu „od zera”?

• ustaw kształt obrazu za pomocą wzoru matematycznego
• zbadać zbieżność procesu i zmienić jego parametry
• wybierz typ obrazu
• wybierz paletę kolorów

Wśród fraktali edytory graficzne oraz inne programy graficzne można wyróżnić:

• „Artyściarz”
• „Malarz” (bez komputera żaden artysta nigdy nie dotrze do możliwości stawianych przez programistów tylko przy pomocy ołówka i pędzelka)
• „Adobe Photoshop” (ale tutaj obraz nie jest tworzony „od zera”, ale z reguły tylko przetwarzany)

Rozważ strukturę dowolnej fraktalnej figury geometrycznej. W jego centrum znajduje się najprostszy element - trójkąt równoboczny, który otrzymał tę samą nazwę: „fraktal”. Na środkowym odcinku boków skonstruuj trójkąty równoboczne o boku równym jednej trzeciej boku pierwotnego trójkąta fraktalnego. Na tej samej zasadzie buduje się jeszcze mniejsze trójkąty – spadkobierców drugiej generacji – i tak w nieskończoność. Powstały obiekt nazywamy „figurą fraktalną”, z której sekwencji otrzymujemy „kompozycję fraktalną”.

Źródło: http://www.iknowit.ru/

Fraktale i starożytne mandale

To jest mandala do przyciągania pieniędzy. Mówi się, że kolor czerwony działa jak magnes na pieniądze. Ozdobne wzory nic Ci nie przypominają? Wydawały mi się bardzo znajome i zacząłem badać mandale jako fraktal.

W zasadzie mandala jest geometrycznym symbolem o złożonej strukturze, którą interpretuje się jako model Wszechświata, „mapę kosmosu”. To pierwszy znak fraktali!

Są haftowane na tkaninie, malowane na piasku, wykonywane kolorowymi proszkami oraz wykonane z metalu, kamienia, drewna. Jasny i hipnotyzujący wygląd sprawia, że ​​jest to piękna dekoracja podłóg, ścian i sufitów świątyń w Indiach. W starożytnym języku indyjskim „mandala” oznacza mistyczny krąg wzajemnego połączenia duchowych i materialnych energii Wszechświata lub, innymi słowy, kwiat życia.

Chciałem napisać recenzję o fraktalnych mandalach bardzo małych, z minimum akapitów, pokazujących, że związek wyraźnie istnieje. Jednak próbując znaleźć ogarnąć i powiązać informacje o fraktalach i mandalach w jedną całość, miałem wrażenie kwantowego skoku w nieznaną mi przestrzeń.

Ogrom tego tematu ilustruję cytatem: „Takie fraktalne kompozycje czy mandale można wykorzystać zarówno w postaci obrazów, elementów wystroju pomieszczeń mieszkalnych i roboczych, amuletów do noszenia, w postaci taśm wideo, programów komputerowych… Ogólnie temat badań fraktali jest po prostu ogromny.

Jedno mogę powiedzieć na pewno, świat jest o wiele bardziej różnorodny i bogatszy niż nędzne wyobrażenia naszych umysłów na jego temat.

Fraktalowe zwierzęta morskie

Moje domysły na temat fraktalnych zwierząt morskich nie były bezpodstawne. Oto pierwsi przedstawiciele. Ośmiornica to morskie zwierzę bentosowe z rzędu głowonogów.

Patrząc na to zdjęcie, stało się dla mnie oczywiste fraktalna struktura jego ciała i przyssawki na wszystkich ośmiu mackach tego zwierzęcia. Przyssawki na mackach dorosłej ośmiornicy sięgają nawet 2000.

Ciekawostką jest to, że ośmiornica ma trzy serca: jedno (główne) napędza niebieską krew w całym ciele, a pozostałe dwa - skrzela - przepychają krew przez skrzela. Niektóre z tych fraktali głębinowych są trujące.

Przystosowując się i maskując do otoczenia, ośmiornica ma bardzo przydatną zdolność do zmiany koloru.

Ośmiornice są uważane za najmądrzejsze ze wszystkich bezkręgowców. Poznają ludzi, przyzwyczajają się do tych, którzy ich karmią. Ciekawie byłoby przyjrzeć się ośmiornicom, które łatwo się trenują, mają dobrą pamięć, a nawet rozróżniają kształty geometryczne. Ale wiek tych fraktalnych zwierząt jest krótkotrwały - maksymalnie 4 lata.

Człowiek używa atramentu tego żywego fraktala i innych głowonogów. Są poszukiwane przez artystów ze względu na trwałość i piękny brązowy odcień. W kuchni śródziemnomorskiej ośmiornica jest źródłem witamin B3, B12, potasu, fosforu i selenu. Ale myślę, że musisz być w stanie ugotować te morskie fraktale, aby cieszyć się ich jedzeniem.

Przy okazji należy zauważyć, że ośmiornice to drapieżniki. Swoimi fraktalnymi mackami trzymają zdobycz w postaci mięczaków, skorupiaków i ryb. Szkoda, żeby tak piękny mięczak stał się pokarmem tych fraktali morskich. Moim zdaniem również typowy przedstawiciel fraktali królestwa morskiego.

Jest to krewny ślimaków, ślimaków ślimaków nagoskrzelnych Glaucus, vel Glaucus, vel Glaucus atlanticus, vel Glaucilla marginata. Ten fraktal jest również niezwykły, ponieważ żyje i porusza się pod powierzchnią wody, utrzymywany przez napięcie powierzchniowe. Ponieważ mięczak jest hermafrodytą, następnie po skojarzeniu obu „partnerów” składa jaja. Ten fraktal występuje we wszystkich oceanach strefy tropikalnej.

Fraktale morskiego królestwa

Każdy z nas przynajmniej raz w życiu trzymał w dłoniach i z dziecinnym zainteresowaniem oglądał muszlę morską.

Zwykle muszle to piękna pamiątka przypominająca wyprawę nad morze. Kiedy spojrzysz na tę spiralną formację bezkręgowców, nie ma wątpliwości co do jej fraktalnej natury.

My, ludzie, trochę przypominamy te mięczaki o miękkim ciele, żyjące w wygodnych betonowych domach fraktalnych, umieszczające i przemieszczające nasze ciała w szybkich samochodach.

Innym typowym przedstawicielem fraktalnego podwodnego świata jest koral.
W naturze znanych jest ponad 3500 gatunków koralowców, w palecie których wyróżnia się do 350 odcieni kolorów.

Koral jest materiałem szkieletowym kolonii polipów koralowych, również z rodziny bezkręgowców. Ich ogromne nagromadzenia tworzą całe rafy koralowe, których fraktalny sposób powstawania jest oczywisty.

Koral można śmiało nazwać fraktalem z morskiego królestwa.

Jest również używany przez ludzi jako pamiątka lub surowiec na biżuterię i ozdoby. Ale bardzo trudno jest powtórzyć piękno i doskonałość fraktalnej natury.

Z jakiegoś powodu nie mam wątpliwości, że wiele zwierząt fraktalnych znajdzie się również w podwodnym świecie.

Po raz kolejny odprawienie w kuchni rytuału nożem i deską do krojenia, a następnie opuszczenie noża do zimna woda Po raz kolejny zalałam się łzami, próbując wymyślić, jak poradzić sobie z fraktalem łez, który pojawia się niemal codziennie w moich oczach.

Zasada fraktaliczności jest taka sama jak w przypadku słynnej matrioszki - gniazdowania. Dlatego fraktaliczność nie jest od razu zauważana. Dodatkowo jednolita barwa światła i jego naturalna zdolność do wywoływania nieprzyjemnych doznań nie sprzyjają dokładnej obserwacji wszechświata i identyfikacji fraktalnych wzorców matematycznych.

Ale cebula sałaty w kolorze liliowym, ze względu na swój kolor i brak fitoncydów łez, doprowadziła do refleksji na temat naturalnej fraktalności tego warzywa. Oczywiście jest to prosty fraktal, zwykłe koła o różnych średnicach, można nawet powiedzieć najbardziej prymitywny fraktal. Ale nie zaszkodzi pamiętać, że piłka jest uważana za idealną figurę geometryczną w naszym wszechświecie.

O użyteczne właściwości cebuli, w Internecie opublikowano wiele artykułów, ale jakoś nikt nie próbował badać tego naturalnego okazu z punktu widzenia fraktali. Mogę jedynie stwierdzić przydatność wykorzystania fraktali w postaci cebuli w mojej kuchni.

PS Kupiłem już krajalnicę do warzyw do szlifowania fraktala. Teraz musisz pomyśleć o tym, jak fraktalem jest tak zdrowe warzywo, jak zwykła biała kapusta. Ta sama zasada zagnieżdżania.

Fraktale w sztuce ludowej

Moją uwagę przyciągnęła historia znanej na całym świecie zabawki „Matrioszka”. Przyglądając się bliżej, możemy śmiało powiedzieć, że ta pamiątkowa zabawka jest typowym fraktalem.

Zasada fraktalności jest oczywista, gdy wszystkie figurki drewnianej zabawki są ustawione w szeregu, a nie zagnieżdżone w sobie.

Moje małe badania nad historią pojawienia się tego zabawkowego fraktala na światowym rynku wykazały, że to piękno ma japońskie korzenie. Matrioszka zawsze była uważana za pierwotnie rosyjską pamiątkę. Okazało się jednak, że jest pierwowzorem japońskiej figurki starego mędrca Fukurum, przywiezionej kiedyś do Moskwy z Japonii.

Ale to rosyjskie rzemiosło zabawkowe przyniosło światową sławę tej japońskiej figurce. Skąd pomysł na fraktalne zagnieżdżenie zabawki, dla mnie osobiście, pozostał tajemnicą. Najprawdopodobniej autor tej zabawki zastosował zasadę zagnieżdżania się postaci w sobie. A najłatwiej jest dołączyć podobne figurki o różnych rozmiarach, a to już jest fraktal.

Równie ciekawym obiektem badań jest malowanie fraktalnej zabawki. To jest obraz dekoracyjny - khokhloma. Tradycyjne elementy Khokhloma to ziołowe wzory kwiatów, jagód i gałęzi.

Znowu wszystkie oznaki fraktali. W końcu ten sam element można wielokrotnie powtarzać w różnych wersjach i proporcjach. Rezultatem jest ludowe malarstwo fraktalne.

A jeśli nikogo nie zaskoczysz nowomodnym malowaniem myszy komputerowych, pokrowców na laptopy i telefonów, to fraktalne tuningowanie samochodów w stylu ludowym jest czymś nowym w projektowaniu samochodów. Pozostaje tylko zdziwić się, jak świat fraktali objawia się w naszym życiu w tak niezwykły dla nas sposób w tak zwyczajnych dla nas rzeczach.

Fraktale w kuchni

Za każdym razem, gdy brałem kalafior w małe kwiatostany do blanszowania we wrzącej wodzie, ani razu nie zwracałem uwagi na oczywiste oznaki fraktalności, dopóki nie miałem tego okazu w rękach.

Typowy fraktal roślinny leżał na moim stole w kuchni.

Z całą moją miłością do kalafiora zawsze natrafiałem na okazy o jednorodnej powierzchni bez widocznych śladów fraktali, a nawet duża liczba zagnieżdżonych w sobie kwiatostanów nie dawała mi powodu, aby w tym widzieć zdrowe warzywo fraktal.

Ale powierzchnia tego konkretnego okazu o wyraźnej geometrii fraktalnej nie pozostawiała najmniejszych wątpliwości co do fraktalnego pochodzenia tego rodzaju kapusty.

Kolejny wyjazd do hipermarketu tylko potwierdził fraktalny status kapusty. Wśród ogromnej ilości egzotycznych warzyw było całe pudełko fraktali. Był to Romanescu, czyli romański brokuł, kalafior koralowy.

Okazuje się, że projektanci i artyści 3D podziwiają jego egzotyczne fraktalne kształty.

Pąki kapusty rosną w spirali logarytmicznej. Pierwsze wzmianki o kapuście Romanescu pochodzą z Włoch w XVI wieku.

A kapusta brokułowa wcale nie jest częstym gościem w mojej diecie, choć pod względem zawartości składniki odżywcze i mikroelementów, czasami przewyższa kalafior. Ale jego powierzchnia i kształt są tak jednolite, że nigdy nie przyszło mi do głowy, aby zobaczyć w nim roślinny fraktal.

Fraktale w quillingu

Widząc ażurowe rękodzieła wykonane techniką quillingu, nigdy nie opuściłam wrażenia, że ​​coś mi przypominają. Powtarzanie tych samych elementów w różnych rozmiarach – to oczywiście zasada fraktali.

Po obejrzeniu następnej lekcji mistrzowskiej na temat quillingu nie było nawet wątpliwości co do fraktali quillingu. Rzeczywiście, do produkcji różnych elementów do quillingu używa się specjalnej linijki z okręgami o różnych średnicach. Mimo całego piękna i wyjątkowości produktów jest to niezwykle prosta technika.

Prawie wszystkie podstawowe elementy rzemiosła quillingowego są wykonane z papieru. Aby zaopatrzyć się w papier do quillingu za darmo, wykonaj audyt swoich półek w domu. Z pewnością znajdziesz tam kilka błyszczących, błyszczących magazynów.

Narzędzia do quillingu są proste i niedrogie. Możesz znaleźć wszystko, czego potrzebujesz do wykonywania amatorskich prac quillingowych wśród domowych artykułów biurowych.

A historia quillingu zaczyna się w XVIII wieku w Europie. W okresie renesansu mnisi z klasztorów francuskich i włoskich używali quillingu do ozdabiania okładek książek i nawet nie podejrzewali, że wynaleziona przez nich technika zwijania papieru jest fraktalna. Dziewczęta z wyższych sfer uczęszczały nawet na kurs quillingu w szkołach specjalnych. W ten sposób technika ta zaczęła się rozprzestrzeniać w różnych krajach i kontynentach.

Ten quilling wideo klasy mistrzowskiej do tworzenia luksusowego upierzenia można nawet nazwać „fraktalami zrób to sam”. Za pomocą papierowych fraktali uzyskuje się wspaniałe ekskluzywne kartki walentynkowe i wiele innych interesujących rzeczy. W końcu fantazja, podobnie jak natura, jest niewyczerpana.

Dla nikogo nie jest tajemnicą, że Japończycy są w życiu bardzo ograniczeni w przestrzeni i dlatego muszą dołożyć wszelkich starań, aby skutecznie ją wykorzystać. Takeshi Miyakawa pokazuje, jak można to zrobić zarówno efektywnie, jak i estetycznie. Jego fraktalna szafa potwierdza, że ​​wykorzystanie fraktali w projektowaniu to nie tylko ukłon w stronę mody, ale także harmonijne rozwiązanie projektowe w ograniczonej przestrzeni.

Ten przykład użycia fraktali w prawdziwe życie, zastosowany do projektowania mebli, pokazał mi, że fraktale są prawdziwe nie tylko na papierze we wzorach matematycznych i programach komputerowych.

I wydaje się, że natura wszędzie posługuje się zasadą fraktalności. Wystarczy przyjrzeć się mu bliżej, a zamanifestuje się w całej swojej wspaniałej obfitości i nieskończoności istnienia.

Wstecz do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie do celów informacyjnych i mogą nie przedstawiać wszystkich opcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Autorski:
Bekbulatowa Alina,
Getmanova Sofia

Liderzy:
Mogutowa Tatiana Michajłowna,
Deryushkina Oksana Valerievna

Wstęp.

Część teoretyczna projektu:

• Historia rozwoju geometrii fraktalnej.
• Koncepcja fraktalna.
• Rodzaje fraktali:

a) fraktale geometryczne, przykłady fraktali geometrycznych;
b) fraktale algebraiczne, przykłady fraktali algebraicznych;
c) fraktale stochastyczne, przykłady.

• Fraktale naturalne.
• Praktyczne zastosowanie fraktali:
• w literaturze;
• w telekomunikacji;
• w medycynie;
• w architekturze;
• w projektowaniu;
• w ekonomii;
• w grach, filmach, muzyce
• v nauki przyrodnicze
• w fizyce;
• w biologii
• fraktale dla gospodyń domowych
• nowoczesne obrazy- grafika fraktalna.
• Grafika fraktalna.
• Rola geometrii fraktalnej w życiu to hymn do fraktali!

Praktyczna część pracy nad projektem

• Stworzenie pracy naukowej „Podróż do świata fraktali”
• Umieszczenie w Internecie.
• Udział w olimpiadach, zawodach.
• Tworzenie własnych fraktali.
• Stworzenie broszury „Niesamowity świat fraktali”
• Organizacja festiwalu „Niesamowity świat fraktali.

Wstęp

Geometria jest często określana jako zimna i sucha. Jednym z powodów jest niemożność opisania wszystkiego, co nas otacza: kształtu chmury, góry, drzewa czy brzegu morza. Chmury nie są kulami, góry nie są stożkami, linie brzegowe nie są okręgami, a skorupa nie jest gładka, a błyskawice nie poruszają się w linii prostej. Z wielką radością dowiedzieliśmy się, że we współczesnym świecie istnieje nowa geometria – geometria fraktali.

Odkrycie fraktali zrewolucjonizowało nie tylko geometrię, ale także fizykę, chemię, biologię we wszystkich dziedzinach naszego życia.

Trafność projektu:

• Rola fraktali we współczesnym świecie jest dość duża
• Przekonującymi argumentami przemawiającymi za trafnością badania fraktali jest szeroki zakres ich zastosowania.

Hipoteza badawcza:

Geometria fraktalna to nowoczesna, bardzo ciekawa dziedzina ludzkiej wiedzy. Pojawienie się geometrii fraktalnej jest dowodem nieustannej ewolucji człowieka i ekspansji jego sposobów poznawania świata.

Cel projektu:

Zbadanie teorii fraktali w celu stworzenia pracy naukowej „Niesamowity świat fraktali” oraz opracowanie i wdrożenie na komputerze algorytmów rysowania fraktali na płaszczyźnie.

Cele projektu:

• Zapoznaj się z historią powstania i rozwoju geometrii fraktalnej;
• Poznaj rodzaje fraktali, ich zastosowanie we współczesnym świecie.
• Wykonywanie programów do tworzenia fraktali w językach programowania Pascal i Logo
• Tworzyć Praca naukowa o fraktalach, opublikuj je w Internecie.
• Utwórz broszurę „Niesamowity świat fraktali”
• Zorganizowanie festiwalu „Niesamowity świat fraktali” w celu zapoznania uczniów szkoły z efektami naszej pracy.

Nad projektem pracujemy od 4 miesięcy.

Główne etapy naszej pracy:

• Zbieranie niezbędnych informacji: korzystanie z Internetu, książek, publikacji na ten temat. (2 tygodnie)
• Sortowanie informacji tematycznie: usystematyzowanie i ustalenie kolejności pisania pracy. Praca trwała 2 tygodnie.
• Komponowanie pracy tekstowej: pisanie tekstu, częściowa rejestracja usystematyzowanych informacji. Zajęło to miesiąc.
• Stworzenie prezentacji: kompresja usystematyzowanych informacji, określenie struktury prezentacji, jej stworzenie i projekt, i odbyło się w ciągu miesiąca.
• Nauka programu do tworzenia fraktali i tworzenia własnych fraktali w językach programowania Pascal i Logo (do dziś)

Część teoretyczna projektu

Przestudiowaliśmy historię powstania geometrii fraktalnej.

Zainteresowanie obiektami fraktalnymi wskrzeszonymi w połowie lat 70. XX wieku.

Narodziny geometrii fraktalnej są zwykle związane z publikacją książki Mandelbrota The Fractal Geometry of Nature w 1977 roku. W jego pracach wykorzystano wyniki naukowe innych naukowców, którzy pracowali w latach 1875-1925 w tej samej dziedzinie (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Ale dopiero w naszych czasach udało się połączyć ich pracę w jeden system.

Czym więc jest fraktal?

Fraktal - figura geometryczna składająca się z kilku części, z których każda jest podobna do całej figury jako całości.

Mała część fraktala zawiera informacje o całym fraktalu. Słowo „fraktal” oznacza dziś najczęściej graficzną reprezentację struktury, która jest do siebie podobna w większej skali.

Fraktale dzielą się na geometryczne, geometryczne i stochastyczne.

Fraktale geometryczne nazywane są klasycznymi w inny sposób. Są najbardziej oczywiste, ponieważ mają tak zwaną sztywną samopodobieństwo, która nie zmienia się wraz ze zmianą skali. Oznacza to, że bez względu na to, jak bardzo powiększysz fraktal, nadal widzisz ten sam wzór.

Oto najsłynniejsze przykłady fraktali geometrycznych.

Płatek śniegu Kocha.

Wynaleziony w 1904 przez niemieckiego matematyka Helge von Kocha.

Do jego budowy bierze się segment jednostkowy, podzielony na trzy równe części, a środkowe ogniwo zastępuje trójkąt równoboczny bez tego ogniwa. W następnym kroku powtarzamy operację dla każdego z czterech powstałych segmentów. W wyniku niekończącego się powtarzania tej procedury otrzymujemy krzywą fraktalną.

Pięciokąt Dürera.

Fraktal wygląda jak zbite ze sobą pięciokąty. W rzeczywistości tworzy się go za pomocą pięciokąta jako inicjatora i trójkątów równoramiennych, których stosunek większego boku do mniejszego jest dokładnie równy tak zwanemu złotemu podziałowi. Trójkąty te są wycinane ze środka każdego pięciokąta, w wyniku na figurze, która wygląda jak 5 małych pięciokątów sklejonych z jednym dużym.

Serwetka Sierpińskiego.

W 1915 r. polski matematyk Wacław Sierpiński wymyślił ciekawy obiekt.

Do jego budowy przyjmuje się pełny trójkąt równoboczny. Pierwszy krok usuwa odwrócony trójkąt równoboczny ze środka. Drugi krok usuwa trzy odwrócone trójkąty z trzech pozostałych trójkątów i tak dalej.

Krzywa smoka.

Wynaleziony przez włoskiego matematyka Giuseppe Peano.

Dywan Sierpińskiego.

Bierze się kwadrat, podzielony na dziewięć równych kwadratów, z których środkowy jest wyrzucany, a z resztą ta sama operacja jest powtarzana w nieskończoność.

Drugi rodzaj fraktali to fraktale algebraiczne.

Otrzymali swoją nazwę, ponieważ są zbudowane na podstawie wzorów algebraicznych. W wyniku matematycznego przetworzenia tego wzoru na ekranie wyświetlany jest punkt o określonym kolorze. Rezultatem jest dziwna figura, w której linie proste zamieniają się w krzywe, efekty samopodobieństwa pojawiają się na różnych poziomach skali. Prawie każdy punkt na ekranie komputera jest jak osobny fraktal.

Przykłady najsłynniejszych fraktali algebraicznych.

Zestaw Mandelbrota.

Zbiory Mandelbrota są najczęstsze wśród fraktali algebraicznych. Można go znaleźć w wielu czasopismach naukowych, okładkach książek, pocztówkach i wygaszaczach ekranu komputerowego. Jest to fraktal przypominający kartę z dołączonymi do niego świecącymi, podobnymi do drzewa i okrągłymi obszarami.

Zestaw Julii.

Zestaw Julia został wymyślony przez francuskiego matematyka Gastona Julię. Nie mniej znany fraktal algebraiczny.

Baseny Newtona.

Fraktale stochastyczne.

Fraktale, podczas budowy których niektóre parametry są losowo zmieniane w systemie iteracyjnym, nazywane są stochastycznymi. Termin „stochastyczność” pochodzi od greckiego słowa oznaczającego „spekulację”.

Jednocześnie uzyskuje się obiekty bardzo podobne do naturalnych - drzewa asymetryczne, wcięte linie brzegowe itp. Do modelowania terenu i powierzchni morza wykorzystuje się dwuwymiarowe fraktale stochastyczne.

Te fraktale są wykorzystywane w modelowaniu terenu i powierzchni mórz, w procesie elektrolizy. Ta grupa fraktali stała się powszechna dzięki pracy Michaela Barnsleya z Georgia Institute of Technology.
Typowy przedstawiciel tej klasy fraktali „Plasma”.

Najbardziej zrozumiałe dla nas są tzw. fraktale naturalne.

„Wielka księga Natury napisana jest językiem geometrii” (Galileo Galilei).

Fraktale naturalne.

• W dzikiej przyrodzie:
• Rozgwiazdy i jeże
• Kwiaty i rośliny (brokuły, kapusta)
• Korony drzew i liście roślin
• Owoce (ananas)
• Układ krążenia i oskrzela ludzi i zwierząt
• W przyrodzie nieożywionej:
• Granice obiektów geograficznych (kraje, regiony, miasta)
• Szronowe wzory na szybach okiennych
• Stalaktyty, stalagmity, heliktyty.

Prawie wszystkie naturalne formacje: korony drzew, chmury, góry, wybrzeża mają strukturę fraktalną.
Co to znaczy?

Jeśli spojrzysz na obiekt fraktalny jako całość, potem na jego część w większej skali, potem na część tej części, łatwo zauważyć, że wyglądają tak samo.

Fraktale morskie.

Ośmiornica to morskie zwierzę bentosowe z rzędu głowonogów.

Jego ciało i przyssawki na wszystkich ośmiu mackach tego zwierzęcia mają strukturę fraktalną.

Innym typowym przedstawicielem fraktalnego podwodnego świata jest koral.

W przyrodzie znanych jest ponad 3500 gatunków koralowców.

Zielony fraktal - liście paproci.

Liście paproci mają kształt fraktalny - są do siebie podobne.

Łuk to fraktal, który sprawia, że ​​płaczesz. Oczywiście jest to prosty fraktal: zwykłe koła o różnych średnicach, można nawet powiedzieć, że prymitywny fraktal.

Uderzającym przykładem fraktala w naturze jest Romanescu", Ona jest" brokułem romańskim " lub " kalafiorem " .

kalafior- typowy fraktal.

Rozważ strukturę kalafiora.

Jeśli pokroisz jeden z kwiatów, oczywiste jest, że w twoich rękach pozostaje ten sam kalafior, tylko o mniejszym rozmiarze. Możesz ciąć raz za razem, nawet pod mikroskopem - jednak dostajemy tylko malutkie kopie kalafiora.

Matrioszka - pamiątka z zabawki to typowy fraktal. Zasada fraktalności jest oczywista, gdy wszystkie figurki drewnianej zabawki są ustawione w szeregu, a nie zagnieżdżone w sobie.

Człowiek jest fraktalem.

Dziecko rodzi się, dorasta, a temu procesowi towarzyszy zasada „samopodobieństwa”, fraktali.

Obszar zastosowania fraktali jest szeroki.

Fraktale w literaturze

Wśród utworów literackich są takie, które mają charakter tekstowy, strukturalny czy fraktalny. W literackich fraktalach elementy tekstu powtarzają się w nieskończoność:

Ksiądz miał psa
on ją kochał.
Zjadła kawałek mięsa
zabił ją.
zakopałem to w ziemi,
Napis pisał:
Ksiądz miał psa ...

„Oto dom.
Tego Jacka zbudował.
A oto pszenica.

W domu,
że Jack zbudował
A oto zabawna sikorka ptaka,
Kto sprytnie kradnie pszenicę
Który jest trzymany w ciemnej szafie
W domu,
Który Jack zbudował ... ” .

Fraktale w telekomunikacji.

Do transmisji danych na odległość stosuje się anteny o kształtach fraktalnych, co znacznie zmniejsza ich rozmiar i wagę.

Fraktale w medycynie.

W tej chwili fraktale są szeroko stosowane w medycynie. Samo ciało ludzkie składa się z wielu struktur fraktalnych: układu krążenia, mięśni, oskrzeli, dróg oskrzelowych w płucach, tętnic.

Teoria fraktalna służy do analizy elektrokardiogramów.

Oszacowanie wielkości i rytmów wymiaru fraktalnego pozwala na więcej wczesne stadium oraz z większą dokładnością i treścią informacyjną do oceny naruszeń homeostazy i rozwoju określonych chorób serca.

Obrazy rentgenowskie przetworzone algorytmami fraktalnymi dają lepszy obraz, a co za tym idzie lepszą diagnostykę !!

Kolejnym obszarem aktywnego wykorzystania fraktali jest gastroenterologia.

Nowa metoda badawcza w medycynie, elektrogastroenterografia to metoda badawcza, która pozwala ocenić aktywność bioelektryczną żołądka, dwunastnicy i innych części przewodu pokarmowego.

Fraktale w architekturze.

Fraktalna zasada rozwoju obiektów przyrodniczych i geometrycznych wnika głęboko w architekturę zarówno jako obraz zewnętrznego rozwiązania obiektu, jak i jako wewnętrzna zasada kształtowania architektonicznego.

Zaczęli projektanci z całego świata wykorzystać w swoich pracach niezwykłe struktury fraktalne, dopiero niedawno opisane przez wybitnych matematyków.

Wykorzystanie fraktali przeniosło prawie wszystkie obszary współczesnego designu na nowy poziom.

Wprowadzenie struktur fraktalnych w wielu przypadkach zwiększyło zarówno wizualne, jak i funkcjonalne aspekty projektu.

Jako dziecko projektant Takeshi Miyakawa marzył o zostaniu matematykiem.

Jak inaczej wytłumaczyć ten mebel: szafka nocna Fractal 23 zawiera 23 szuflady o różnych rozmiarach i proporcjach, które niejako potrafią ze sobą współistnieć w sześciennej szafce, wypełniając niemal całą dostępną im przestrzeń.

Fraktale w ekonomii.

Ostatnio fraktale stały się popularne wśród ekonomistów do analizy kursów giełdowych, rynków walutowych i handlowych.
Fraktale pojawiają się na rynku dość często.

Fraktale w grach.

Dziś w wielu grach (być może najbardziej uderzającym przykładzie Minecrafta), w których obecne są różnego rodzaju naturalne krajobrazy, algorytmy fraktalne są używane w taki czy inny sposób. Stworzono dużą liczbę programów do generowania krajobrazów i krajobrazów w oparciu o algorytmy fraktalne.

Fraktale w kinie.

W kinie algorytm fraktalny służy do tworzenia różnych fantastycznych krajobrazów. Geometria fraktalna pozwala twórcom efektów specjalnych na łatwe tworzenie obiektów, takich jak chmury, dym, płomienie, gwiazdy i inne. Cóż więc możemy powiedzieć o animacji fraktalnej, to naprawdę niesamowity widok.

Muzyka elektroniczna.

Spektakl animacji fraktalnej jest z powodzeniem wykorzystywany przez VJ-ów. Szczególnie często takie instalacje wideo wykorzystywane są na koncertach wykonawców muzyki elektronicznej.

Nauki przyrodnicze.

Fraktale są często używane w geologii i geofizyce. Nie jest tajemnicą, że wybrzeża wysp i kontynentów mają pewien wymiar fraktalny, wiedząc, o którym można bardzo dokładnie obliczyć długość wybrzeży.

Badania nad tektoniką uskoków i sejsmicznością są czasem również eksplorowane przy użyciu algorytmów fraktalnych.

Geofizyka wykorzystuje fraktale i analizę fraktalną do badania anomalii pola magnetycznego, do badania propagacji fal i wibracji w ośrodkach elastycznych, do badania klimatu i wielu innych rzeczy.

Fraktale w fizyce.

W fizyce fraktale są bardzo szeroko stosowane. W fizyce ciał stałych algorytmy fraktalne umożliwiają dokładne opisywanie i przewidywanie właściwości ciał stałych, ciał porowatych, gąbczastych i aerożeli. Pomaga to w tworzeniu nowych materiałów o niezwykłych i użytecznych właściwościach.
Przykładem ciała stałego są kryształy.

Badanie turbulencji w przepływach bardzo dobrze dostosowuje się do fraktali.

Przejście na reprezentację fraktalną ułatwia inżynierom i fizykom lepsze zrozumienie dynamiki złożonych systemów.
Fraktale można również wykorzystać do modelowania płomieni.

Fraktale w biologii.

W biologii służą do modelowania populacji i opisu układów narządów wewnętrznych (układ naczyń krwionośnych). Po utworzeniu krzywej Kocha zaproponowano jej wykorzystanie przy obliczaniu długości linii brzegowej.

Fraktale dla gospodyń domowych.

Łatwo przenieść teorię fraktali do środowiska domowego, w tym do kuchni.

Efektem zastosowania może być wszystko: fraktalne kolczyki, fraktalna pyszna wątróbka i wiele więcej. Musisz połączyć tylko wiedzę i pomysłowość!

Grafiki fraktalne są szeroko stosowane we współczesnym świecie. Popularne obrazy są wynikiem grafiki fraktalnej.

I to nie przypadek. Podziwiaj piękno fraktalnej grafiki!

Praktyczna część projektu

• Stworzył pracę naukową „Podróż do świata fraktali”
• Studiowaliśmy programy do tworzenia fraktali w językach programowania Pascal i Logo
• Stworzyliśmy własne fraktale.
• Wykonane własnoręcznie "Sierpiński Serwetka" i "Dywan Sierpiński"
• Wykonane "Fraktal Kolczyki"
• Stworzył cykl obrazów „Cuda grafiki fraktalnej”
• Opublikował pracę „Podróż do świata fraktali” w Internecie.
• Brał udział z pracą „Podróż do świata fraktali” w VII Ogólnorosyjska Olimpiada uczniowie i studenci „Nauka 2.0” w przedmiocie akademickim „Matematyka”. Zajęliśmy pierwsze miejsce.
• Wziął udział z pracą „Podróż do świata fraktali” w ogólnorosyjskim konkursie „Wielkie odkrycia i wynalazki”. Zajęliśmy pierwsze miejsce.
• Wziął udział z pracą „Podróż do świata fraktali” w VIII Ogólnorosyjskiej Olimpiadzie dla uczniów i studentów „Jestem badaczem” z przedmiotu Matematyka. Zajęliśmy pierwsze miejsce.
• Stworzył prezentację „Niesamowity świat fraktali”
• Stworzone broszury „Zastosowanie fraktali” i „Fraktale wokół nas”
• Zorganizowaliśmy festiwal „Niesamowity świat fraktali” dla uczniów klas 8-11”

Możemy więc z pełnym przekonaniem powiedzieć o ogromnym praktyczne zastosowanie fraktale i algorytmy fraktalne do tej pory.

Spektrum obszarów, w których wykorzystywane są fraktale, jest bardzo rozległe i zróżnicowane.

I na pewno w niedalekiej przyszłości fraktale, geometria fraktalna staną się bliskie i zrozumiałe dla każdego z nas. Nie możemy się bez nich obejść w naszym życiu!

Miejmy nadzieję, że pojawienie się geometrii fraktalnej jest dowodem na trwającą ewolucję człowieka i poszerzanie jego sposobów poznawania i rozumienia świata. Być może nasze dzieci będą równie łatwo i sensownie operować pojęciami fraktali i dynamiki nieliniowej, jak my operujemy pojęciami fizyki klasycznej, geometrii euklidesowej.

Wyniki projektu

• Zapoznaliśmy się z historią powstania i rozwoju geometrii fraktalnej;
• Badaliśmy rodzaje fraktali, ich zastosowanie we współczesnym świecie.
• Stworzyliśmy własne fraktale w językach programowania Pascal i Logo
• Stworzył pracę naukową na temat fraktali.
• Stworzone broszury „Fraktale wokół nas” i „Zastosowanie fraktali”
• Zorganizowaliśmy festiwal „Niesamowity świat fraktali” dla uczniów klas 8-11.

Chaos to porządek, który trzeba rozszyfrować.

Jose Saramago, Podwójny

„Wiek XX zostanie zapamiętany dla przyszłych pokoleń tylko dzięki stworzeniu teorii względności, mechaniki kwantowej i chaosu… teoria względności rozwiała złudzenia Newtona na temat absolutnej czasoprzestrzeni, mechanika kwantowa rozwiała sen o determinizmie wydarzenia fizyczne i wreszcie chaos obalił fantazję Laplace'a o całkowitym predeterminowaniu rozwoju systemów ”. Te słowa słynnego amerykańskiego historyka i popularyzatora nauki Jamesa Gleicka oddają ogromną wagę problemu, o czym tylko pobieżnie przytoczono w przedstawionym czytelnikowi artykule. Nasz świat wyłonił się z chaosu. Gdyby jednak chaos nie przestrzegał własnych praw, gdyby nie było w nim specjalnej logiki, nie byłby w stanie niczego wygenerować.

Nowe to dobrze zapomniane stare

Pozwólcie, że wezmę kolejny cytat z Gleicka:

Myśl o wewnętrznym podobieństwie, że wielkie można zainwestować w małe, od dawna pieściła ludzka dusza...Według idei Leibniza, kropla wody zawiera w sobie cały mieniący się kolorami świat, w którym rozpryskuje się woda i żyją inne nieznane wszechświaty. „Zobacz świat w ziarnku piasku” – nalegał Blake, a niektórzy naukowcy próbowali przestrzegać jego przymierza. Pierwsi badacze płynu nasiennego widzieli w każdym plemniku rodzaj homunkulusa, czyli maleńkiego, ale już w pełni ukształtowanego człowieka.

Retrospektywę takich poglądów można skierować znacznie dalej w głąb historii. Jedną z podstawowych zasad magii - integralnego etapu rozwoju każdego społeczeństwa - jest postulat: część jest jak całość. Manifestował się takimi akcjami jak zakopywanie czaszki zwierzęcia zamiast całego zwierzęcia, modelu rydwanu zamiast samego rydwanu itp. Trzymając czaszkę przodka, krewni wierzyli, że nadal mieszka obok nich i brać udział w ich sprawach.

Nawet starożytny grecki filozof Anaksagoras uważał pierwotne elementy wszechświata za cząstki, podobne do innych cząstek całości i samej całości, „nieskończone zarówno w wielości, jak i małości”. Arystoteles scharakteryzował elementy Anaksagorasa przymiotnikiem „podobny”.

A nasz współczesny, amerykański cybernetyk Ron Eglash, badający kulturę plemion afrykańskich i Indian południowoamerykańskich, dokonał odkrycia: od czasów starożytnych niektórzy z nich wykorzystywali fraktalne zasady konstrukcji w ornamentach, wzorach stosowanych na ubraniach i przedmiotach gospodarstwa domowego, w biżuterii , ceremonie rytualne, a nawet w architekturze. Tak więc struktura wiosek niektórych plemion afrykańskich to krąg, w którym znajdują się małe kręgi - domy, wewnątrz których jeszcze mniejsze kręgi to domy duchów. W innych plemionach zamiast kół inne figury służą jako elementy architektury, ale są też powtarzane w różnych skalach, podlegające jednej strukturze. Co więcej, te zasady konstrukcji nie były prostą imitacją natury, ale były zgodne z panującym światopoglądem i organizacją społeczną.

Wydaje się, że nasza cywilizacja odeszła daleko od prymitywnej egzystencji. Jednak nadal żyjemy w tym samym świecie, wciąż jesteśmy otoczeni przez naturę, żyjąc według własnych praw, pomimo wszelkich ludzkich prób dostosowania jej do naszych potrzeb. A sam człowiek (nie zapominajmy o tym) pozostaje częścią tej natury.

Gert Eilenberger, niemiecki fizyk badający nieliniowość, zauważył kiedyś:

Dlaczego sylwetka nagiego drzewa wygina się pod naporem burzliwego wiatru na tle ponurego zimowego nieba jest postrzegana jako piękna, a kontury nowoczesnego wielofunkcyjnego budynku, mimo wszelkich wysiłków architekta, wcale nie wydają się więc? Wydaje mi się, że… nasze poczucie piękna „podsyca” harmonijne połączenie porządku i nieporządku, które można zaobserwować w zjawiskach naturalnych: chmurach, drzewach, pasmach górskich czy kryształach płatków śniegu. Wszystkie takie kontury są dynamicznymi procesami zamrożonymi w fizycznych formach, a charakterystyczne dla nich jest połączenie stabilności i chaosu.

U początków teorii chaosu

Co rozumiemy przez chaos? Niemożność przewidzenia zachowania systemu, nieregularne skoki w różnych kierunkach, które nigdy nie zamienią się w uporządkowaną sekwencję.

Za pierwszego badacza chaosu uważany jest francuski matematyk, fizyk i filozof Henri Poincaré. Powrót pod koniec XIX wieku. Badając zachowanie układu z trzema ciałami oddziałującymi grawitacyjnie, zauważył, że mogą istnieć nieokresowe orbity, które są stale i nie oddalają się od określonego punktu i nie zbliżają się do niego.

Tradycyjne metody geometrii, szeroko stosowane w naukach przyrodniczych, opierają się na aproksymacji struktury badanego obiektu za pomocą figur geometrycznych, na przykład linii, płaszczyzn, kul, których wymiary metryczne i topologiczne są sobie równe. W większości przypadków właściwości badanego obiektu i jego oddziaływanie z otoczeniem opisywane są integralnymi charakterystykami termodynamicznymi, co prowadzi do utraty znacznej części informacji o układzie i zastąpienia go mniej lub bardziej adekwatnym modelem. Najczęściej takie uproszczenie jest całkiem uzasadnione, jednak zdarzają się sytuacje, w których stosowanie modeli nieadekwatnych topologicznie jest niedopuszczalne. Przykład takiej rozbieżności podano w jego rozprawie doktorskiej (obecnie doktor nauk chemicznych) Władimir Konstantinowicz Iwanow: ujawnia się to przy pomiarze powierzchni rozwiniętej (na przykład porowatej) powierzchni ciał stałych za pomocą sorpcji metody rejestrujące izotermy adsorpcji. Okazało się, że wielkość obszaru zależy od liniowej wielkości molekuł – „mierząc” nie kwadratowo, czego należałoby się spodziewać z najprostszych rozważań geometrycznych, ale z wykładnikiem, czasem bardzo bliskim trzem.

Prognozowanie pogody to jeden z problemów, z którymi ludzkość boryka się od czasów starożytnych. Na ten temat istnieje znana anegdota, w której prognoza pogody jest przekazywana łańcuchem od szamana do hodowcy reniferów, potem do geologa, potem do redaktora programu radiowego, a na końcu krąg się zamyka, ponieważ okazuje się, że szaman dowiedział się o prognozie w radiu. Opisu tak złożonego układu, jakim jest pogoda, z wieloma zmiennymi, nie da się sprowadzić do prostych modeli. To zadanie zapoczątkowało wykorzystanie komputerów do modelowania nieliniowych systemów dynamicznych. Jeden z twórców teorii chaosu, amerykański meteorolog i matematyk Edward Norton Lorenz poświęcił wiele lat zagadnieniu prognozowania pogody. Już w latach 60. ubiegłego wieku, próbując zrozumieć przyczyny zawodności prognoz pogody, wykazał, że stan złożonego układu dynamicznego może silnie zależeć od warunki początkowe: Niewielka zmiana jednego z wielu parametrów może drastycznie zmienić oczekiwany wynik. Lorenz nazwał tę zależność efektem motyla: „Dzisiejsze trzepotanie skrzydeł ćmy w Pekinie za miesiąc może wywołać huragan w Nowym Jorku”. Zasłynął z pracy nad ogólnym obiegiem atmosfery. Badając układ równań z trzema zmiennymi opisującymi proces, Lorenz przedstawił graficznie wyniki swojej analizy: linie wykresu przedstawiają współrzędne punktów wyznaczonych przez rozwiązania w przestrzeni tych zmiennych (rys. 1). Powstała podwójna helisa, zwana Atraktor Lorenza(lub „dziwny atraktor”) wyglądał jak coś nieskończenie zagmatwanego, ale zawsze znajdował się w pewnych granicach i nigdy się nie powtarzał. Ruch w atraktorze jest abstrakcyjny (zmiennymi mogą być prędkość, gęstość, temperatura itp.), a mimo to przekazuje cechy rzeczywistych zjawisk fizycznych, takich jak ruch koła wodnego, konwekcja w zamkniętej pętli, promieniowanie laser jednomodowy, rozpraszające oscylacje harmoniczne (którego parametry pełnią rolę odpowiednich zmiennych).

Z tysięcy publikacji składających się na specjalistyczną literaturę dotyczącą problemu chaosu prawie żadna nie była cytowana częściej niż artykuł „Deterministyczny przepływ nieokresowy” napisany przez Lorentza w 1963 roku. Chociaż symulacje komputerowe już podczas tej pracy przekształciły prognozowanie pogody ze „sztuki w naukę”, prognozy długoterminowe były nadal niewiarygodne i niewiarygodne. Powodem tego był sam efekt motyla.

W tych samych latach sześćdziesiątych matematyk Stephen Smale z Uniwersytetu Kalifornijskiego zebrał grupę badawczą młodych, podobnie myślących ludzi z Berkeley. Wcześniej został odznaczony Medalem Fieldsa za wybitne badania w topologii. Smale badał układy dynamiczne, w szczególności nieliniowe oscylatory chaotyczne. Aby odtworzyć całe nieuporządkowanie oscylatora van der Pola w przestrzeni fazowej, stworzył strukturę znaną jako „podkowa” – przykład układu dynamicznego o dynamice chaotycznej.

„Podkowa” (ryc. 2) to dokładny i widoczny obraz silnej zależności od warunków początkowych: nigdy nie zgadniesz, gdzie będzie punkt wyjścia po kilku iteracjach. Ten przykład był impulsem do wynalezienia przez rosyjskiego matematyka, znawcę teorii układów dynamicznych i równań różniczkowych, geometrii różniczkowej i topologii Dmitrija Wiktorowicza Anosowa, „dyfeomorfizmów Anosowa”. Później z tych dwóch prac wyrosła teoria hiperbolicznych układów dynamicznych. Minęła dekada, zanim twórczość Smale zwróciła uwagę innych dyscyplin. „Kiedy to się stało, fizycy zdali sobie sprawę, że Smale zwrócił się do całej gałęzi matematyki realny świat» .

W 1972 roku matematyk z University of Maryland, James Yorke, przeczytał wspomnianą pracę Lorenza, co go zaskoczyło. York widział w artykule żywy model fizyczny i uważał za swój święty obowiązek przekazać fizykom to, czego nie widzieli w pracach Lorenza i Smale'a. Przekazał kopię artykułu Lorenza Smale'owi. Był zdumiony, gdy odkrył, że niejasny meteorolog (Lorenz) dziesięć lat wcześniej odkrył to zaburzenie, które on sam kiedyś uważał za matematycznie nieprawdopodobne, i wysłał kopie do wszystkich swoich kolegów.

Biolog Robert May, przyjaciel Yorku, badał zmiany w populacjach zwierząt. Maj poszedł w ślady Pierre'a Verhlusta, który już w 1845 roku zwrócił uwagę na nieprzewidywalność zmian liczebności zwierząt i doszedł do wniosku, że tempo wzrostu populacji nie jest stałe. Innymi słowy, proces okazuje się nieliniowy. May próbował uchwycić to, co dzieje się z populacją, gdy wahania tempa wzrostu zbliżają się do pewnego punktu krytycznego (punktu bifurkacji). Zmieniając wartości tego nieliniowego parametru, odkrył, że możliwe są fundamentalne zmiany w samej istocie systemu: wzrost parametru oznaczał wzrost stopnia nieliniowości, co z kolei zmieniło nie tylko ilościowe, ale także cechy jakościowe wyniku. Taka operacja wpłynęła zarówno na ostateczną wartość liczebności populacji, która znajdowała się w równowadze, jak i na jej zdolność do osiągnięcia tej ostatniej w ogóle. W pewnych warunkach okresowość ustąpiła chaosowi, fluktuacjom, które nigdy nie wygasły.

York matematycznie przeanalizował w swojej pracy opisane zjawiska, udowadniając, że w dowolnym układzie jednowymiarowym dzieje się co następuje: jeśli pojawi się regularny cykl z trzema falami (płynne wzrosty i spadki wartości dowolnego parametru), to w przyszłości System zacznie pokazywać, jak poprawne cykle o dowolnym innym czasie trwania i całkowicie chaotyczne. (Jak się okazało kilka lat po opublikowaniu artykułu na Międzynarodowa Konferencja w Berlinie Wschodnim radziecki (ukraiński) matematyk Aleksander Nikołajewicz Szarkowski wyprzedził nieco Yorka w swoich badaniach). Yorke napisał artykuł do znanej publikacji naukowej American Mathematical Monthly. Jednak Yorke osiągnął coś więcej niż tylko wynik matematyczny: zademonstrował fizykom, że chaos jest wszechobecny, stabilny i ustrukturyzowany. Dał powody, by sądzić, że złożone układy, tradycyjnie opisywane trudnymi do rozwiązania równaniami różniczkowymi, można przedstawić za pomocą wykresów wizualnych.

May próbował zwrócić uwagę biologów na fakt, że populacje zwierząt przechodzą przez coś więcej niż tylko uporządkowane cykle. Na drodze do chaosu powstaje cała kaskada podwojenia epoki. To właśnie w punktach rozgałęzień niewielki wzrost płodności osobników mógłby doprowadzić np. do zastąpienia czteroletniego cyklu populacji ćmy cygańskiej cyklem ośmioletnim. Amerykanin Mitchell Feigenbaum postanowił zacząć od obliczenia dokładnych wartości parametru, który generował takie zmiany. Jego obliczenia wykazały, że nie ma znaczenia, jaka była początkowa populacja — wciąż zbliżała się do atraktora. Następnie, przy pierwszym podwojeniu okresów, atraktor, jak dzieląca się komórka, rozwidlał się. Potem nastąpiło kolejne zwielokrotnienie okresów i każdy punkt atraktora zaczął się ponownie dzielić. Liczba – niezmiennik uzyskany przez Feigenbauma – pozwoliła mu dokładnie przewidzieć, kiedy to się stanie. Naukowiec odkrył, że potrafi przewidzieć ten efekt dla najbardziej złożonego atraktora - w dwóch, czterech, ośmiu punktach... Mówiąc językiem ekologii, potrafił przewidzieć rzeczywistą liczbę, jaką osiąga się w populacjach podczas rocznych wahań. Tak więc Feigenbaum odkrył w 1976 roku „kaskadę podwajania okresu”, opierając się na pracach Maya i jego badaniach turbulencji. Jego teoria odzwierciedlała prawo naturalne, które ma zastosowanie do wszystkich systemów przechodzących transformację od uporządkowania do chaosu. York, May i Feigenbaum jako pierwsi na Zachodzie w pełni zrozumieli znaczenie podwojenia okresu i byli w stanie przekazać tę ideę całej społeczności naukowej. May stwierdził, że należy uczyć chaosu.

Radzieccy matematycy i fizycy posuwali się naprzód w swoich badaniach niezależnie od swoich zagranicznych kolegów. Badanie chaosu zapoczątkowała praca A. N. Kołmogorowa w latach 50. XX wieku. Ale pomysły zagranicznych kolegów nie pozostały bez ich uwagi. Pionierami teorii chaosu są sowieccy matematycy Andriej Nikołajewicz Kołmogorow i Władimir Igorewicz Arnold oraz niemiecki matematyk Jurgen Moser, który zbudował teorię chaosu zwaną KAM (teorią Kolmogorowa-Arnolda-Mosera). Inny nasz wybitny rodak, genialny fizyk i matematyk Jakow Grigorievich Synaj, zastosował w termodynamice rozważania podobne do „podkowy małej”. Dopiero w latach 70. zachodni fizycy zapoznali się z pracą Lorentza, która zyskała sławę w ZSRR. W 1975 roku, kiedy York i May nadal czynili znaczne wysiłki, aby zwrócić na siebie uwagę swoich kolegów, Synaj i jego towarzysze zorganizowali w Gorkim grupę badawczą, aby zbadać ten problem.

W ostatnim stuleciu, kiedy w nauce normą stała się wąska specjalizacja i dysocjacja między różnymi dyscyplinami, matematycy, fizycy, biolodzy, chemicy, fizjolodzy, ekonomiści walczyli o podobne problemy, nie słysząc się nawzajem. Idee, które wymagają zmiany zwykłego światopoglądu, zawsze mają trudności z przebiciem się. Jednak stopniowo stało się jasne, że takie rzeczy, jak zmiany w populacjach zwierząt, wahania cen na rynku, zmiany pogody, rozmieszczenie ciał niebieskich pod względem wielkości i wiele, wiele więcej - przestrzegają tych samych praw. „Świadomość tego faktu zmusiła menedżerów do ponownego przemyślenia swojego stosunku do ubezpieczeń, astronomów – pod innym kątem spojrzenia na Układ Słoneczny, polityków – do zmiany zdania na temat przyczyn konfliktów zbrojnych”.

W połowie lat 80. sytuacja bardzo się zmieniła. Idee geometrii fraktalnej zjednoczyły naukowców, którzy byli zaskoczeni własnymi obserwacjami i nie wiedzieli, jak je zinterpretować. Dla badaczy chaosu matematyka stała się nauką eksperymentalną, komputery zastąpiły laboratoria. Obrazy graficzne nabrały ogromnego znaczenia. Nowa nauka dała światu specjalny język, nowe pojęcia: portret fazowy, atraktor, bifurkacja, przekrój przestrzeni fazowej, fraktal…

Benoit Mandelbrot, czerpiąc z idei i prac poprzedników i współczesnych, wykazał, że tak złożonymi procesami, jak wzrost drzew, tworzenie się chmur, zmienność cech ekonomicznych czy liczebność populacji zwierząt, rządzą zasadniczo podobne prawa natury. To są pewne wzorce, według których żyje chaos. Z punktu widzenia naturalnej samoorganizacji są znacznie prostsze niż sztuczne formy znane cywilizowanej osobie. Można je uznać za złożone tylko w kontekście geometrii euklidesowej, ponieważ fraktale są określane przez określenie algorytmu, a zatem mogą być opisane przy użyciu niewielkiej ilości informacji.

Fraktalna geometria natury

Spróbujmy dowiedzieć się, czym jest fraktal i „z czym jest zjadany”. I naprawdę można niektóre z nich zjeść, jak na przykład typowego przedstawiciela pokazanego na zdjęciu.

Słowo fraktal pochodzi z łaciny fraktus - zmiażdżone, połamane, roztrzaskane na kawałki. Fraktal to zbiór matematyczny, który ma właściwość samopodobieństwa, czyli niezmienności skali.

Termin „fraktal” został ukuty przez Mandelbrota w 1975 roku i zyskał dużą popularność wraz z publikacją w 1977 roku jego książki „The Fractal Geometry of Nature”. „Nadaj potworowi jakieś przytulne, swojskie imię, a zdziwisz się, o ile łatwiej będzie go oswoić!” powiedział Mandelbrot. To pragnienie, aby obiekty zainteresowania (zbiory matematyczne) były bliskie i zrozumiałe, doprowadziło do narodzin nowych terminów matematycznych, takich jak pył, twarożek, serum, wyraźnie ukazując ich głęboki związek z procesami naturalnymi.

Matematyczne pojęcie fraktala identyfikuje obiekty o strukturach o różnych skalach, zarówno dużych, jak i małych, a tym samym odzwierciedla hierarchiczną zasadę organizacji. Oczywiście różne gałęzie drzewa, na przykład, nie mogą być dokładnie wyrównane względem siebie, ale można je uznać za podobne w sensie statystycznym. Podobnie kształty chmur, zarysy gór, linia brzegowa, wzór płomieni, układ naczyniowy, wąwozy, błyskawice, oglądane w różnych skalach, wyglądają podobnie. Choć idealizacja ta może okazać się uproszczeniem rzeczywistości, to jednak znacząco zwiększa głębię matematycznego opisu przyrody.

Mandelbrot wprowadził pojęcie „naturalnego fraktala” na określenie naturalnych struktur, które można opisać za pomocą zbiorów fraktali. Te naturalne obiekty zawierają element przypadku. Teoria stworzona przez Mandelbrota umożliwia ilościowe i jakościowe opisanie wszystkich form, które wcześniej nazywano splątanymi, falistymi, szorstkimi itp.

Omówione powyżej procesy dynamiczne, tzw. procesy sprzężenia zwrotnego, pojawiają się w różnych problemach fizycznych i matematycznych. Wszystkich łączy jedno – rywalizacja kilku ośrodków (zwanych „atraktorami”) o dominację w samolocie. Stan, w jakim znajduje się system po określonej liczbie iteracji, zależy od jego „miejsca startu”. Dlatego każdy atraktor odpowiada pewnemu regionowi stanów początkowych, z których system z konieczności znajdzie się w rozważanym stanie końcowym. Przestrzeń fazowa układu (abstrakcyjna przestrzeń parametrów związanych z określonym układem dynamicznym, punkty, w których jednoznacznie charakteryzują wszystkie jego możliwe stany) dzieli się na: obszary atrakcji atraktory. Następuje rodzaj powrotu do dynamiki Arystotelesa, zgodnie z którą każde ciało dąży do swojego zamierzonego miejsca. W wyniku takiej rywalizacji rzadko powstają proste granice między „przyległymi terytoriami”. To na tym pograniczu następuje przejście od jednej formy istnienia do drugiej: od porządku do chaosu. Ogólna forma wyrażenia prawa dynamicznego jest bardzo prosta: x n + 1 → f x n C. Cała trudność tkwi w nieliniowej relacji między wartością początkową a wynikiem. Jeśli rozpoczniemy iteracyjny proces wskazanego typu z jakąś dowolną wartością \ (x_0 \), to jego wynikiem będzie ciąg \ (x_1 \), \ (x_2 \), ..., który albo zbiega się do jakiejś wartości granicznej \ (X \) , dążąc do stanu spoczynku, albo dojdzie do pewnego cyklu znaczeń, który będzie się powtarzał w kółko, albo będzie zachowywał się przez cały czas losowo i nieprzewidywalnie. Właśnie te procesy badali w czasie I wojny światowej francuscy matematycy Gaston Julia i Pierre Fato.

Badając odkryte przez nich zbiory, Mandelbrot w 1979 r. doszedł do obrazu na złożonej płaszczyźnie obrazu, który, jak to będzie jasne, jest rodzajem spisu treści dla całej klasy form zwanych zbiorami Julii. Zbiór Julii to zbiór punktów powstałych w wyniku iteracji przekształcenia kwadratowego: x n → x n − 1 2 + C, którego dynamika w sąsiedztwie jest niestabilna względem małych zaburzeń położenia początkowego. Każda kolejna wartość \ (x \) jest uzyskiwana z poprzedniej; Liczba zespolona\ (C \) nazywa się parametr kontrolny... Zachowanie ciągu liczb zależy od parametru \ (C \) i punktu początkowego \ (x_0 \). Jeśli naprawimy \ (C \) i zmienimy \ (x_0 \) w polu liczb zespolonych, otrzymamy zbiór Julii. Jeśli naprawimy \ (x_0 \) = 0 i zmienimy \ (C \), otrzymamy zestaw Mandelbrota (\ (M \)). Mówi nam, jakiego rodzaju zbioru Julia należy się spodziewać przy konkretnym wyborze \ (C \). Każda liczba zespolona \ (C \) należy albo do domeny \ (M \) (czarna na ryc. 3), albo nie. \ (C \) należy do \ (M \) wtedy i tylko wtedy, gdy „punkt krytyczny” \ (x_0 \) = 0 nie dąży do nieskończoności. Zbiór \ (M \) składa się ze wszystkich punktów \ (C \), które są powiązane z połączonymi zbiorami Julii, ale jeśli punkt \ (C \) leży poza zbiorem \ (M \), powiązany zbiór Julii jest rozłączony. Granica zbioru \ (M \) określa moment matematycznego przejścia fazowego dla zbiorów Julii x n → x n − 1 2 + C. Kiedy parametr \ (C \) pozostawia \ (M \), zestawy Julii tracą łączność, mówiąc w przenośni, eksplodują i zamieniają się w pył. Skok jakościowy występujący na granicy \ (M \) wpływa również na region przylegający do granicy. Złożoną dynamiczną strukturę obszaru brzegowego można w przybliżeniu pokazać poprzez kolorowanie (konwencjonalnie) różnymi kolorami stref z tym samym czasem "ucieczki do nieskończoności punktu początkowego \ (x_0 \) = 0". Te wartości \ (C \) (jeden odcień), przy których punkt krytyczny wymaga, aby określona liczba iteracji znajdowała się poza okręgiem o promieniu \ (N \), wypełniają lukę między dwiema liniami. Gdy zbliżamy się do granicy \ (M \), wymagana liczba iteracji wzrasta. Punkt jest coraz bardziej zmuszony wędrować krętymi ścieżkami w pobliżu zestawu Julii. Zestaw Mandelbrota ucieleśnia proces przechodzenia od porządku do chaosu.

Interesujące jest prześledzenie ścieżki, którą obrał Mandelbrot do swoich odkryć. Benoit urodził się w Warszawie w 1924, w 1936 rodzina wyemigrowała do Paryża. Po ukończeniu Ecole Polytechnique, a następnie Uniwersytetu w Paryżu, Mandelbrot przeniósł się do Stanów Zjednoczonych, gdzie studiował również na Kalifornijskim Instytucie Technologicznym. W 1958 dołączył do IBM Research Center w Yorktown. Pomimo czysto aplikacyjnej działalności firmy, jego stanowisko pozwoliło mu na prowadzenie badań w różnych dziedzinach. Pracując w dziedzinie ekonomii, młody specjalista zaczął studiować statystyki cen bawełny przez długi czas (ponad 100 lat). Analizując symetrię długoterminowych i krótkoterminowych wahań cen zauważył, że te wahania w ciągu dnia wydawały się przypadkowe i nieprzewidywalne, ale kolejność takich zmian nie zależała od skali. Aby rozwiązać ten problem, najpierw wykorzystał swoje osiągnięcia przyszłej teorii fraktalnej i graficzne przedstawienie badanych procesów.

Zainteresowany różnymi dziedzinami nauki, Mandelbrot zwrócił się do lingwistyki matematycznej, a potem przyszedł czas na teorię gier. Zaproponował także własne podejście do ekonomii, wskazując na porządek skali w rozproszeniu miast i miasteczek. Studiując mało znane dzieło angielskiego naukowca Lewisa Richardsona, opublikowane po śmierci autora, Mandelbrot zmierzył się z fenomenem wybrzeża. W artykule „Jak długa jest linia brzegowa Wielkiej Brytanii?” szczegółowo bada to pytanie, o którym niewiele osób przed nim myślało, i dochodzi do nieoczekiwanych wniosków: długość linii brzegowej jest równa… nieskończoności! Im dokładniej spróbujesz go zmierzyć, tym większa będzie jego wartość!

Aby opisać takie zjawiska, Mandelbrot wpadł na pomysł, aby zacząć od idei wymiaru. Fraktalny wymiar obiektu służy jako ilościowa charakterystyka jednej z jego cech, a mianowicie wypełnienia przestrzeni.

Definicja pojęcia wymiaru fraktalnego wywodzi się z pracy Felixa Hausdorffa, opublikowanej w 1919 roku, a ostatecznie została sformułowana przez Abrama Samoilovicha Besicovicha. Wymiar fraktalny jest miarą szczegółowości, załamania, nierówności obiektu fraktalnego. W przestrzeni euklidesowej wymiar topologiczny jest zawsze określony liczbą całkowitą (wymiar punktu to 0, prosta to 1, płaszczyzna to 2, ciało objętościowe to 3). Jeśli prześledzimy np. rzut na płaszczyznę ruchu cząstki Browna, która wydaje się składać z odcinków prostych, czyli ma wymiar 1, to bardzo szybko okaże się, że jej ślad wypełnia prawie całą płaszczyznę. Ale wymiar płaszczyzny wynosi 2. Rozbieżność między tymi wartościami daje nam prawo do przypisania tej „krzywej” fraktalom i nazwania jej wymiaru pośredniego (ułamkowego) fraktalem. Jeśli weźmiemy pod uwagę chaotyczny ruch cząstki w objętości, fraktalny wymiar trajektorii okaże się większy niż 2, ale mniejszy niż 3. Na przykład ludzkie tętnice mają fraktalny wymiar około 2,7. Wspomniane na początku artykułu wyniki Iwanowa dotyczące pomiaru powierzchni porów żelu krzemionkowego, których nie można interpretować w ramach zwykłych pojęć euklidesowych, znajdują sensowne wytłumaczenie przy wykorzystaniu teorii fraktali.

Tak więc z matematycznego punktu widzenia fraktal to zbiór, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha jest ściśle większy niż jego wymiar topologiczny i może być (i najczęściej jest) ułamkowy.

Należy podkreślić, że fraktalny wymiar obiektu nie opisuje jego kształtu, a obiekty, które mają ten sam wymiar, ale są generowane przez różne mechanizmy powstawania, są często zupełnie różne od siebie. Fraktale fizyczne są raczej statystycznie podobne.

Pomiar ułamkowy pozwala obliczyć cechy, których nie da się jednoznacznie zdefiniować w inny sposób: stopień nierówności, nieciągłość, chropowatość lub niestabilność obiektu. Na przykład kręta linia brzegowa, pomimo swojej niezmierzonej długości, ma nieodłączną tylko dla niej chropowatość. Mandelbrot wskazał sposoby obliczania ułamkowych pomiarów obiektów w otaczającej rzeczywistości. Tworząc swoją geometrię, przedstawił prawo o nieuporządkowanych formach występujących w przyrodzie. Prawo mówiło: stopień niestabilności jest stały w różnych skalach.

Szczególnym rodzajem fraktali są fraktale czasu... W 1962 roku Mandelbrot stanął przed zadaniem wyeliminowania szumów na liniach telefonicznych, które powodowały problemy z modemami komputerowymi. Jakość transmisji sygnału zależy od prawdopodobieństwa wystąpienia błędów. Inżynierowie zmagali się z problemem redukcji hałasu, wymyślając śmieszne i drogie sztuczki, ale nie uzyskali imponujących rezultatów. Opierając się na pracach twórcy teorii zbiorów, Georga Cantora, Mandelbrot wykazał, że występowania szumu - generowania chaosu - w zasadzie nie da się uniknąć, dlatego proponowane metody radzenia sobie z nimi nie przyniosą rezultatów. W poszukiwaniu prawidłowości występowania szumu otrzymuje "pył Cantora" - fraktalną sekwencję zdarzeń. Ciekawe, że rozmieszczenie gwiazd w Galaktyce podlega tym samym prawom:

„Substancja”, równomiernie rozłożona wzdłuż inicjatora (jednostkowego segmentu osi czasu), jest wystawiona na działanie wiru odśrodkowego, który „omiata” go do skrajnych tercji interwału… Gwardia Każdą kaskadę stanów niestabilnych, która ostatecznie prowadzi do zgęstnienia materii, można nazwać terminem twarożek potrafi określić objętość, w której określona cecha fizyczna staje się – w wyniku zsiadania – skrajnie skoncentrowana.

Zjawiska chaotyczne, takie jak turbulencje atmosferyczne, ruchliwość skorupy ziemskiej itp., wykazują podobne zachowanie w różnych skalach czasowych, podobnie jak obiekty niezmiennicze w skali wykazują podobne wzorce strukturalne w różnych skalach przestrzennych.

Jako przykład podamy kilka typowych sytuacji, w których przydatne jest użycie pojęcia struktury fraktalnej. Profesor Uniwersytetu Columbia Christopher Scholz specjalizował się w badaniu kształtu i struktury stałej materii Ziemi, badał trzęsienia ziemi. W 1978 przeczytał książkę Mandelbrota Fraktale: Forma, Losowość i Wymiar » i próbował zastosować teorię do opisu, klasyfikacji i pomiaru obiektów geofizycznych. Scholz odkrył, że geometria fraktalna zapewniła nauce skuteczną metodę opisywania specyficznego pagórkowatego krajobrazu Ziemi. Fraktalny pomiar krajobrazów planety otwiera drzwi do zrozumienia jej najważniejszych cech. Metalurdzy odkryli to samo na inną skalę - na powierzchniach z różnych rodzajów stali. W szczególności pomiar fraktalny powierzchni metalu często umożliwia ocenę jego wytrzymałości. Ogromna liczba obiektów fraktalnych powoduje zjawisko krystalizacji. Najczęstszym rodzajem fraktali powstających podczas wzrostu kryształów są dendryty, które w przyrodzie są niezwykle rozpowszechnione. Zespoły nanocząstek często demonstrują zastosowanie pyłu Levy'ego. Zespoły te w połączeniu z zaabsorbowanym rozpuszczalnikiem tworzą przezroczyste kompakty - szkła Levy'ego, potencjalnie ważne materiały dla fotoniki.

Ponieważ fraktale są wyrażane nie w pierwotnych formach geometrycznych, ale w algorytmach, zestawach procedur matematycznych, jasne jest, że ten obszar matematyki zaczął się rozwijać skokowo wraz z pojawieniem się i rozwojem potężnych komputerów. Chaos z kolei dał początek nowym technologiom komputerowym, specjalnej technice graficznej, która jest w stanie odtworzyć niesamowite struktury o niewiarygodnej złożoności generowane przez różnego rodzaju zaburzenia. W dobie Internetu i komputerów osobistych to, co było tak trudne w czasach Mandelbrota, stało się łatwo dostępne dla każdego. Ale najważniejszą rzeczą w jego teorii było oczywiście nie tworzenie pięknych obrazów, ale wniosek, że ten aparat matematyczny nadaje się do opisywania złożonych zjawisk i procesów przyrodniczych, które wcześniej w ogóle nie były uwzględniane w nauce. Repertuar elementów algorytmicznych jest niewyczerpany.

Po opanowaniu języka fraktali możesz opisać kształt chmury tak jasno i prosto, jak architekt opisuje budynek za pomocą planów, które używają języka tradycyjnej geometrii.<...>Minęło zaledwie kilkadziesiąt lat, odkąd Benoit Mandelbrot powiedział: „Geometria natury jest fraktalem!”

Na zakończenie pozwolę sobie przedstawić Państwu zestaw fotografii ilustrujących ten wniosek oraz fraktale skonstruowane za pomocą programu komputerowego. Eksplorator fraktali... Nasz następny artykuł będzie poświęcony zagadnieniu wykorzystania fraktali w fizyce kryształów.

Post Scriptum

W latach 1994–2013 w pięciu tomach opublikowano unikalne dzieło rosyjskich naukowców „Atlas czasowych odmian naturalnych procesów antropogenicznych i społecznych” - niezrównane źródło materiałów, które obejmuje dane z monitoringu z kosmosu, biosfery, litosfery, atmosfery, hydrosfery, społeczności oraz sfery technogeniczne i sfery związane ze zdrowiem i jakością życia człowieka. Tekst podaje szczegóły danych i wyników ich przetwarzania, porównuje cechy dynamiki szeregów czasowych i ich fragmentów. Ujednolicona prezentacja wyników umożliwia uzyskanie porównywalnych wyników w celu zidentyfikowania wspólnych i indywidualnych cech dynamiki procesów oraz związków przyczynowo-skutkowych między nimi. Materiał eksperymentalny wykazał, że procesy w różnych obszarach są po pierwsze podobne, a po drugie w mniejszym lub większym stopniu ze sobą powiązane.

Atlas podsumował więc wyniki badań interdyscyplinarnych i przedstawił analizę porównawczą zupełnie odmiennych danych w najszerszym zakresie czasu i przestrzeni. Książka pokazuje, że „procesy zachodzące w sferach ziemskich wynikają z dużej liczby oddziałujących na siebie czynników, które w różnych obszarach (i w różnym czasie) wywołują różne reakcje”, co mówi o „potrzebie zintegrowane podejście do analizy obserwacji geodynamicznych, przestrzennych, społecznych, ekonomicznych i medycznych.” Pozostaje wyrazić nadzieję, że te fundamentalne prace będą kontynuowane.

. Jurgens H., Peitgen H.-O., Saupe D. Język fraktali // W świecie nauki. 1990. Nr 10. S. 36-44.
. Atlas zmienności czasowej w naturalnych procesach antropogenicznych i społecznych. Vol. 1: Porządek i chaos w litosferze i innych sferach. M., 1994; T. 2: Dynamika cykliczna w przyrodzie i społeczeństwie. M., 1998; Tom 3: Naturalne i sfer społecznych jako część środowiska i jako obiekty oddziaływania. M., 2002; T. 4: Człowiek i trzy środowiska wokół niego. M., 2009. T. 5: Człowiek i trzy środowiska wokół niego. M., 2013.