Całki podwójne i ich własności. Własności całek podwójnych. Wyznaczanie granic integracji
Styczna i normalna do powierzchni
Definicja. Normalna do powierzchni w punkcie N 0 jest linią prostą przechodzącą przez punkt N 0, prostopadłą do płaszczyzny stycznej do tej powierzchni.
W dowolnym punkcie powierzchnia albo ma tylko jedną płaszczyznę styczną, albo nie ma jej wcale.
Jeżeli powierzchnię wyznacza równanie z = f(x, y), gdzie f(x, y) jest funkcją różniczkowalną w punkcie M 0 (x 0, y 0), to płaszczyzna styczna w punkcie N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) istnieje i ma równanie:
Równanie normalnej do powierzchni w tym punkcie wygląda następująco:
Zmysł geometryczny pełny mechanizm różnicowy funkcja dwóch zmiennych f(x, y) w punkcie (x 0, y 0) jest przyrostem zastosowania (współrzędne z) płaszczyzny stycznej do powierzchni podczas przemieszczania się od punktu (x 0, y 0) do punkt (x 0 + Dx, y 0 + Dу).
Jak widać, geometryczne znaczenie całkowitej różniczki funkcji dwóch zmiennych jest analogiem przestrzennym znaczenie geometryczne różniczka funkcji jednej zmiennej.
Przykład. Znajdź równania płaszczyzny stycznej i normalnej do powierzchni
w punkcie M(1, 1, 1).
Równanie płaszczyzny stycznej:
Równanie normalne:
Obliczenie całka podwójna we współrzędnych biegunowych.
Niech obszar D będzie ograniczony linią r = r() i promienie = I = , gdzie i R– współrzędne biegunowe punktu na płaszczyźnie powiązane z jego współrzędnymi kartezjańskimi X I y
Relacje (ryc. 5). W tym przypadku
Komentarz. Jeśli obszar D w Współrzędne kartezjańskie jest dana równaniem zawierającym na przykład dwumian itp., wtedy wygodniej jest obliczyć całkę podwójną po takim obszarze we współrzędnych biegunowych.
Całka podwójna. Podstawowe definicje i właściwości.
Całki podwójne.
Rozważmy zamkniętą krzywą na płaszczyźnie, której równanie wynosi
Zbiór wszystkich punktów leżących wewnątrz krzywej i na samej krzywej będzie nazywany obszarem zamkniętym D. Jeżeli wybierzesz punkty w obszarze bez uwzględnienia punktów leżących na krzywej, obszar ten nazwiemy obszarem otwartym D.
Z geometrycznego punktu widzenia D jest obszarem figury ograniczonym konturem.
Podzielmy obszar D na n częściowych obszarów siatką linii oddalonych od siebie wzdłuż osi x o odległość Dx i, a wzdłuż osi y o odległość Dу i. Ogólnie rzecz biorąc, ta kolejność podziału jest obowiązkowa; istnieje możliwość podziału obszaru na częściowe obszary o dowolnym kształcie i wielkości.
Stwierdzamy, że obszar S jest podzielony na elementarne prostokąty, których pola są równe S i = Dx i × Dy i.
W każdym obszarze częściowym weź dowolny punkt P(x i, y i) i utwórz sumę całkowitą
gdzie f jest funkcją ciągłą i jednoznaczną dla wszystkich punktów obszaru D.
Jeśli nieskończenie zwiększymy liczbę obszarów częściowych D i , wówczas oczywiście obszar każdego obszaru częściowego S i dąży do zera.
Definicja: Jeżeli, gdy krok podziału dziedziny D zbliża się do zera, sumy całkowe mają skończoną granicę, wówczas granicę tę nazywa się całka podwójna z funkcji f(x, y) w dziedzinie D.
Uwzględniając fakt, że S i = Dx i × Dy i otrzymujemy:
W powyższym zapisie znajdują się dwa znaki S, ponieważ sumowanie przeprowadza się po dwóch zmiennych x i y.
Ponieważ Podział obszaru integracji jest dowolny, podobnie jak wybór punktów Р i jest również dowolny, wówczas uznając wszystkie obszary Si za jednakowe, otrzymujemy wzór:
Warunki istnienia całki podwójnej.
Sformułujmy wystarczające warunki istnienie całki podwójnej.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f(x, y) jest ciągła w domenie D, to istnieje całka podwójna
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f(x, y) jest ograniczona w domenie D i jest w niej ciągła wszędzie z wyjątkiem skończonej liczby odcinkowo gładkich linii, to istnieje całka podwójna.
Własności całki podwójnej.
3) Jeśli D = D 1 + D 2, to
4) Twierdzenie o wartości średniej. Całka podwójna funkcji f(x, y) jest równa iloczynowi wartości tej funkcji w pewnym punkcie dziedziny integracji i obszaru dziedziny integracji.
5) Jeżeli f(x, y) ³ 0 w dziedzinie D, to .
6) Jeśli f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), to .
#43 Definicja Załóżmy, że krzywa C dany funkcja wektorowa gdzie jest zmienna S− długość łuku krzywej. Następnie pochodna funkcji wektorowej
Jest to wektor jednostkowy skierowany wzdłuż stycznej do tej krzywej (rysunek 1).
W powyższym wzorze α, β
I γ
− kąty pomiędzy stycznym i dodatnim kierunkiem osi O X, O y i O z odpowiednio.
Wprowadźmy funkcję wektorową zdefiniowaną na krzywej C, więc dla funkcji skalarnej
Istniała całka krzywoliniowa. Taka całka nazywana jest całką krzywoliniową drugiego rodzaju funkcji wektorowej wzdłuż krzywej C i jest oznaczony jako
Zatem z definicji
gdzie jest wektorem jednostkowym stycznej do krzywej C.
Ostatnią formułę można również przepisać w postaci wektorowej:
Gdzie.
Jeśli krzywa C leży w płaszczyźnie O xy, następnie zakładając R= 0, otrzymujemy
Własności całki krzywoliniowej drugiego rodzaju
Całka krzywoliniowa drugiego rodzaju ma następujące własności: Niech C oznacza krzywą rozpoczynającą się w punkcie A i punkt końcowy B. Oznaczmy przez −C krzywa w przeciwnym kierunku - od B Do A. Następnie
Jeśli C− łączenie krzywych C 1 i C 2 (Rysunek 2 powyżej), a następnie Jeśli krzywa C jest podawany parametrycznie w postaci , a następnie Jeśli krzywa C leży w płaszczyźnie O xy i podane jest równanie Tm (zakłada się, że R= 0 i t = x), to ostatnia formuła jest zapisywana w formularzu
Nr 49 Powierzchnia F jest podana wprost z = z(x,y), (x,y)О D (zwarta),
gdzie z(x,y) ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w D, to funkcja f(x,y,z) jest określona i ciągła na F. Istnieje wtedy całka równa
Dowód. Dla obszarów, które otrzymujemy
Wtedy sumy całkowite będą równe
Pierwsza z sum jest całkowalna dla , druga może być dowolnie mała, wybierając odpowiednio mały podział. To drugie wynika z jednostajnej ciągłości funkcji f(x,y,z(x,y)) na D.
nr 40 (ciąg dalszy) Wystarczający warunek istnienia całka krzywoliniowa Pierwszy rodzaj zostanie sformułowany później, gdy pokażemy, jak go obliczyć.
Definicja całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju ma taką samą strukturę jak definicja całki oznaczonej. Zatem całka krzywoliniowa pierwszego rodzaju ma takie same właściwości jak całka oznaczona. Prezentujemy te właściwości bez dowodu.
WŁAŚCIWOŚCI CAŁKI krzywoliniowej I RODZAJU
1. , gdzie jest długością krzywej.
2. Stały współczynnik można wyjąć ze znaku całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju, tj.
3. Całka krzywoliniowa pierwszego rodzaju z sumy algebraicznej dwóch (skończonych) funkcji jest równa sumie algebraicznej całek krzywoliniowych pierwszego rodzaju z tych funkcji, tj.
4. Jeżeli krzywa jest podzielona na dwie części i nie ma wspólnych punktów wewnętrznych, to
(właściwość addytywności całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju).
5. Jeśli funkcja () jest wszędzie na krzywej, to
6. Jeśli wszędzie na krzywej (),
7. (konsekwencja właściwości 6 i 1) Jeśli i są najmniejsze i odpowiednio najwyższa wartość funkcje na krzywej, a następnie
gdzie jest długość krzywej.
8. (twierdzenie o wartości średniej dla całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju) Jeżeli funkcja jest ciągła na krzywej, to istnieje punkt taki, że równość
gdzie jest długość krzywej.
Nr 42 Długość krzywej.
Jeżeli funkcja całkowa f(x, y, z) ≡ 1, to z definicji całki krzywoliniowej I rodzaju dowiadujemy się, że w tym przypadku jest ona równa długości krzywej, po której przeprowadzana jest całka:
Krzywa masa.
Zakładając, że funkcja całkowa γ (x, y, z) określa gęstość każdego punktu krzywej, masę krzywej wyznaczamy ze wzoru
3. Znajdziemy momenty krzywej l, rozumując analogicznie jak w przypadku obszaru płaskiego: -
momenty statyczne płaska krzywa l względem osi Ox i Oy;
moment bezwładności krzywej przestrzennej względem początku;
· momenty bezwładności krzywej względem osi współrzędnych.
4. Współrzędne środka masy krzywej oblicza się korzystając ze wzorów
Nr 38 ust. 2. Zmiana zmiennych w całekach potrójnych
Podczas obliczania całki potrójnej, np. całki podwójnej, często wygodnie jest dokonać zmiany zmiennych. Pozwala to na uproszczenie postaci dziedziny całkowania lub całki.
Niech pierwotna całka potrójna będzie podana we współrzędnych kartezjańskich x, y, z w dziedzinie U:
Należy obliczyć tę całkę w nowych współrzędnych u, v, w. Zależność pomiędzy starymi i nowymi współrzędnymi opisana jest zależnościami:
Zakłada się, że spełnione są następujące warunki:
1. Funkcje φ, ψ, χ są ciągłe wraz z ich pochodnymi cząstkowymi;
2. Istnieje zgodność jeden do jednego pomiędzy punktami obszaru integracji U w przestrzeni xyz i punktami obszaru U" w przestrzeni uvw;
3. Jakobian transformacji I (u, v, w), równy
jest różna od zera i zachowuje stały znak w całym obszarze całkowania U.
Następnie wzór na zmianę zmiennych w całce potrójnej zapisuje się jako:
W powyższym wyrażeniu oznacza wartość bezwzględna Jakobian
Nr 38 Całki potrójne w współrzędne sferyczne
Współrzędnymi sferycznymi punktu M(x,y,z) są trzy liczby − ρ, φ, θ, gdzie
ρ jest długością wektora promienia punktu M;
φ jest kątem utworzonym przez rzut wektora promienia na płaszczyznę Oxy i oś Ox;
θ to kąt odchylenia wektora promienia od dodatniego kierunku osi Oz (rysunek 1).
Należy pamiętać, że definicje ρ, φ we współrzędnych sferycznych i cylindrycznych różnią się od siebie.
Współrzędne sferyczne punktu są powiązane z jego współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą relacji
Jakobian przejścia ze współrzędnych kartezjańskich na sferyczne ma postać:
Rozwijając wyznacznik na drugą kolumnę, otrzymujemy
W związku z tym wartość bezwzględna Jakobianu jest równa
Dlatego wzór na zmianę zmiennych przy konwersji współrzędnych kartezjańskich na współrzędne sferyczne ma postać:
Całkę potrójną wygodniej jest obliczyć we współrzędnych sferycznych, gdy dziedziną całkowania U jest kula (lub jej część) i/lub gdy całka ma postać f (x2 + y2 + z2).
Powierzchnia
Wybierzmy punkt M0 na gładkiej powierzchni (zamknięty lub ograniczony gładkim konturem) i narysujmy na nim normalną do powierzchni, wybierając dla niej określony kierunek (jeden z dwóch możliwych). Narysujmy zamknięty kontur wzdłuż powierzchni, zaczynając i kończąc w punkcie M0. Rozważmy punkt M otaczający ten kontur i w każdym jego położeniu rysujemy normalną do kierunku, w który w sposób ciągły przechodzi normalna z poprzedniego punktu. Jeżeli po przejściu po konturze normalna powraca w punkcie M0 do swojego pierwotnego położenia dla dowolnego wyboru punktu M0 na powierzchni, powierzchnię nazywamy dwustronną. Jeżeli kierunek normalnej po przebyciu przynajmniej jednego punktu zmienia się na przeciwny, powierzchnię nazywamy jednostronną (przykładem powierzchni jednostronnej jest wstęga Mobiusa. Z powyższego wynika, że wybór jest możliwy). kierunek normalnej w jednym punkcie jednoznacznie określa kierunek normalnej we wszystkich punktach powierzchni.
Definicja
Zbiór wszystkich punktów na powierzchni o tym samym kierunku normalnym nazywany jest bokiem powierzchni.
Orientacja powierzchni.
Rozważmy otwartą gładką dwustronną powierzchnię S, ograniczoną konturem L i wybierz jedną stronę tej powierzchni.
Definicja
Nazwijmy dodatnim kierunek przemieszczania się po konturze L, w którym ruch po konturze następuje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara względem obserwatora znajdującego się w punkcie końcowym normalnej do pewnego punktu powierzchni S odpowiadającego wybranej stronie powierzchni. Odwrotny kierunek nazywamy obejściem obwodu ujemnym.
Przepływ pola wektorowego.
Rozważmy pole wektorowe A(M) określone w dziedzinie przestrzennej G, zorientowaną gładką powierzchnię S G i pole normalnych jednostkowych n(M) po wybranej stronie powierzchni S.
Definicja 13.3. Całka powierzchniowa I rodzaju, (13.1)
gdzie An jest iloczynem skalarnym odpowiednich wektorów, a An jest rzutem wektora A na kierunek normalny, zwanym przepływem pola wektorowego A(M) przez wybraną stronę powierzchni S.
Uwaga 1.
Jeśli wybierzesz drugą stronę powierzchni, wówczas normalna, a w konsekwencji strumień zmieni znak.
Uwaga 2.
Jeżeli wektor A określa prędkość przepływu płynu w danym punkcie, to całka (13.1) określa ilość płynu przepływającego w jednostce czasu przez powierzchnię S w kierunku dodatnim (stąd ogólne określenie „przepływ”).
Nr 53 Całka powierzchniowa drugiego rodzaju. Definicja i święci.
Definicja
Rozważmy powierzchnię dwustronną, gładką lub fragmentarycznie gładką i ustalmy którykolwiek z jej dwóch boków, co jest równoznaczne z wyborem określonej orientacji na powierzchni.
Dla pewności załóżmy najpierw, że powierzchnię wyznacza równanie jawne, a punkt zmienia się w obszarze płaszczyzny ograniczonej odcinkowo gładkim konturem.
Niech teraz zostanie określona funkcja w punktach tej powierzchni. Dzieląc powierzchnię siecią odcinkowo gładkich krzywych na części i wybierając punkt na każdej takiej części, obliczamy wartość funkcji w danym punkcie i mnożymy ją przez pole rzutu na płaszczyznę element, wyposażony w określony znak. Zróbmy sumę całkowitą:
Ostateczna granica tej sumy całkowej, gdy średnice wszystkich części dążą do zera, nazywana jest całką powierzchniową drugiego rodzaju
rozciąga się na wybraną stronę powierzchni i jest oznaczony symbolem
(tutaj) przypomina nam obszar rzutu elementu powierzchniowego na płaszczyznę
Jeśli zamiast płaszczyzny rzutujemy elementy powierzchniowe na płaszczyznę lub , to otrzymamy dwie inne całki powierzchniowe drugiego typu:
W zastosowaniach najczęściej spotyka się połączenia całek wszystkich typów:
gdzie są funkcje , określone w punktach powierzchni.
Zależność całek powierzchniowych drugiego i pierwszego rodzaju
Gdzie jest wektor normalny jednostkowy powierzchni - ort.
Właściwości
1. Liniowość: ;
2. Addytywność: ;
3. Kiedy zmienia się orientacja powierzchni, całka powierzchniowa zmienia znak.
Nr 60 Operatornabla (operator Hamiltona)- wektorowy operator różnicowy, oznaczony symbolem (nabla). Dla trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej o prostokątnych współrzędnych kartezjańskich operator nabla definiuje się następująco: gdzie są wektory jednostkowe wzdłuż osi x, y, z.
Własności operatora obserwowalnego. Ten wektor ma sens w połączeniu z funkcją skalarną lub wektorową, do której jest zastosowany. Jeśli pomnożysz wektor przez skalar φ, otrzymasz wektor reprezentujący gradient funkcji. Jeśli wektor zostanie pomnożony skalarnie przez wektor, wynikiem będzie skalar
to znaczy rozbieżność wektora. Jeśli pomnożysz przez wektor, otrzymasz wirnik wektora:
Uwaga: oprócz ogólnego oznaczania iloczynu skalarnego i wektorowego, gdy są one używane z operatorem nabla, wraz z tymi użytymi powyżej, często używa się równoważnych alternatywnych zapisów, na przykład zamiast często piszą , i zamiast nich pisać ; dotyczy to również wzorów podanych poniżej.
Odpowiednio iloczyn skalarny jest operatorem skalarnym zwanym operatorem Laplace'a. Ten ostatni jest również wyznaczony. We współrzędnych kartezjańskich operator Laplace'a definiuje się następująco: Ponieważ operator nabla jest operatorem różniczkowym, przy przekształcaniu wyrażeń należy uwzględniać zarówno zasady algebry wektorowej, jak i zasady różniczkowania. Na przykład:
Oznacza to, że pochodna wyrażenia zależna od dwóch pól jest sumą wyrażeń, w każdym z nich różnicowane jest tylko jedno pole. Dla wygody wskazania, na które pola działa nabla, ogólnie przyjmuje się, że w przypadku iloczynu pól i operatorów każdy operator działa na wyrażenie po prawej stronie, a nie na wszystko po lewej stronie. Jeśli operator ma wykonać działanie na polu po lewej stronie, pole to jest w jakiś sposób zaznaczane, np. poprzez umieszczenie strzałki nad literą: Taka forma zapisu jest zwykle stosowana w przekształceniach pośrednich. Ze względu na niedogodności próbują pozbyć się strzałek w ostatecznej odpowiedzi.
№61 Operacje różniczkowe na wektorach drugiego rzędu Nazywa się pięć następujących operacji:
1. gdzie jest operator Laplace'a.
- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -
2
- - - - - - - - - - - - -
3 .
- - - - - - - - - - - - - - - - -
4. Oto wielkość wektora uzyskana poprzez zastosowanie operatora Laplace'a do każdego rzutu wektora.
- - - - - - - - - - - - - - -
Podstawowe własności całki podwójnej
Właściwości całki podwójnej (i jej wyprowadzenie) są podobne do odpowiednich właściwości pojedynczej całki oznaczonej.
1°. Addytywność. Jeśli funkcja F(X, y) jest całkowalny w domenie D i jeśli obszar D za pomocą krzywej G obszar zerowy jest podzielony na dwa połączone obszary, które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych D 1 i D 2, a następnie funkcja F(X, y) jest całkowalna w każdej z dziedzin D 1 i D 2 i
2°. Własność liniowa . Jeśli funkcje F(X, y) I G(X, y) można zintegrować w domeny D, A α I β - każdy liczby prawdziwe, to funkcja [ α · F(X, y) + β · G(X, y)] jest również całkowalny w domenie D, I
3°. Jeśli funkcje F(X, y) I G(X, y) można zintegrować w domeny D, to iloczyn tych funkcji jest całkowalny D.
4°. Jeśli funkcje F(X, y) I G(X, y) oba można zintegrować domenowo D i wszędzie w tej okolicy F(X, y) ≤ G(X, y), To
5°. Jeśli funkcja F(X, y) jest całkowalny w domenie D, a następnie funkcja | F(X, y)| można zintegrować z obszarami D, I
(Oczywiście z całkowalności | F(X, y)| V D integralność nie następuje F(X, y) W D.)
6°. Twierdzenie o wartości średniej. Jeśli obie funkcje F(X, y) I G(X, y) można zintegrować w domeny D, funkcja G(X, y) jest nieujemna (niedodatnia) wszędzie w tym regionie, M I M- dokładne górne i dokładne dolne granice funkcji F(X, y) w okolicy D, wtedy jest liczba μ , spełniając nierówność M ≤ μ ≤ M i taki, że formuła jest poprawna
CAŁKI PODWÓJNE
WYKŁAD 1
Całki podwójne.Definicja całki podwójnej i jej własności. Całki iterowane. Redukcja całek podwójnych do powtarzalnych. Wyznaczanie granic integracji. Obliczanie całek podwójnych w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Całka podwójna jest uogólnieniem pojęcia całki oznaczonej na przypadek funkcji dwóch zmiennych. W tym przypadku zamiast segmentu integracyjnego pojawi się jakaś płaska figura.
Pozwalać D to jakiś zamknięty, ograniczony obszar, oraz F(x, y) jest dowolną funkcją zdefiniowaną i ograniczoną w tym obszarze. Zakładamy, że granice regionu D składają się ze skończonej liczby krzywych określonych równaniami postaci y=F(X) Lub X=g( y), Gdzie F(X) I G(y) są funkcjami ciągłymi.
Podzielmy obszar D losowo włączone N strony. Kwadrat I-ta sekcja będzie oznaczona symbolem D ja. W każdej sekcji losowo wybieramy punkt Liczba pi, i niech ma współrzędne w jakimś ustalonym układzie kartezjańskim ( x ja, y i). Komponujmy suma całkowa dla funkcji F(x, y) według regionu D, aby to zrobić, znajdź wartości funkcji we wszystkich punktach P ja, pomnóż je przez obszar odpowiednich sekcji Ds I i podsumuj wszystkie uzyskane wyniki:
Zadzwońmy średnica śr(G) obszary G największa odległość między punktami granicznymi tego obszaru.
Całka podwójna funkcje f(x, y) w dziedzinie D jest granicą, do której zmierza ciąg sum całkowitych (1.1) z nieograniczonym zwiększaniem liczby przegród n (naraz). Jest to zapisane w następujący sposób
Należy pamiętać, że ogólnie rzecz biorąc, suma całkowita dla dana funkcja a dana dziedzina integracji zależy od sposobu podziału domeny D i zaznaczanie punktów P ja. Jeśli jednak istnieje całka podwójna, oznacza to, że granica odpowiednich sum całkowych nie zależy już od wskazanych czynników. Aby całka podwójna istniała(lub, jak mówią, więc ta funkcja f(x, y) być całkowalna w dziedzinie D), wystarczy, że funkcja całkowa będzie ciągły w danej domenie integracyjnej.
Niech funkcja F(x, y) jest całkowalny w domenie D. Ponieważ granica odpowiednich sum całkowitych dla takich funkcji nie zależy od sposobu podziału dziedziny całkowania, podziału można dokonać za pomocą linii pionowych i poziomych. Następnie większość obszarów regionu D będzie miał kształt prostokąta, którego powierzchnia jest równa D ja=D x ja D tak, ja. Dlatego różnicę powierzchni można zapisać jako ds=dxdy. Stąd, w kartezjańskim układzie współrzędnych całki podwójne można zapisać w postaci
Komentarz. Jeżeli całka f(x, y)°1, wtedy całka podwójna będzie równa powierzchni obszaru integracji:
Należy zauważyć, że całki podwójne mają te same właściwości, co całki oznaczone. Zwróćmy uwagę na niektóre z nich.
Własności całek podwójnych.
1 0 .Własność liniowa. Całka z sumy funkcji jest równa sumie całek:
a stały współczynnik można usunąć ze znaku całki:
2 0 .Właściwość addytywna. Jeżeli dziedzinę całkowania D podzielimy na dwie części, wówczas całka podwójna będzie równa sumie całek po każdej z tych części:
3 0 .Twierdzenie o wartości średniej. Jeśli funkcja F( x, y)jest ciągła w obszarze D, to w tym obszarze znajduje się taki punkt(x, h) , Co:
Następne pytanie brzmi: jak oblicza się całki podwójne? Można to obliczyć w przybliżeniu, w tym celu zostało opracowane skuteczne metody zestawienie odpowiednich sum całkowitych, które następnie są obliczane numerycznie za pomocą komputera. Obliczając analitycznie całki podwójne, sprowadza się je do dwóch całek oznaczonych.
1.1 Definicja całki podwójnej
1.2 Własności całki podwójnej
Właściwości całki podwójnej (i jej wyprowadzenie) są podobne do odpowiednich właściwości pojedynczej całki oznaczonej.
1°. Addytywność. Jeżeli funkcja f(x, y) jest całkowalna w obszarze D i jeżeli obszar D jest podzielony krzywą Г obszaru zerowego na dwa połączone obszary D1 i D2, które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych, to funkcja f(x , y) jest całkowalny w każdym z obszarów D 1 i D 2, oraz
2°. Własność liniowa. Jeśli funkcje f(x, y) i g(x, y) są całkowalne w dziedzinie D, prawda? I? - dowolne liczby rzeczywiste, a następnie funkcja [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] jest także całkowalne w dziedzinie D, oraz
3°. Jeżeli funkcje f(x, y) i g(x, y) są całkowalne w dziedzinie D, to iloczyn tych funkcji jest także całkowalny w D.
4°. Jeśli funkcje f(x, y) i g(x, y) są całkowalne w dziedzinie D i wszędzie w tej dziedzinie f(x, y)? g(x, y), to
5°. Jeżeli funkcja f(x, y) jest całkowalna w dziedzinie D, to funkcja |f(x, y)| integrowalne w domenie D i
(Oczywiście całkowalność |f(x, y)| w D nie implikuje całkowalności f(x, y) w D.)
6°. Twierdzenie o wartości średniej. Jeśli obie funkcje f(x, y) i g(x, y) są całkowalne w dziedzinie D, funkcja g(x, y) jest nieujemna (niedodatnia) wszędzie w tej dziedzinie, M i m są supremum i infimum funkcji f( x, y) w dziedzinie D, to istnieje liczba spełniająca nierówność m ? ? ? M i takie, że wzór jest ważny
W szczególności, jeśli funkcja f(x, y) jest ciągła w D i dziedzina D jest spójna, to w tej dziedzinie istnieje punkt (?, ?) taki, że? = f(?, ?), a formuła przyjmuje postać
7°. Ważny właściwość geometryczna. równy obszarowi regionu D
Niech w przestrzeni będzie dane ciało T (ryc. 2.1), ograniczone od dołu obszarem D, od góry wykresem funkcji ciągłej i nieujemnej) z=f (x, y), które definiuje się w obszar D, z boków - powierzchnia cylindryczna, którego kierunek jest granicą obszaru D, a tworzące są równoległe do osi Oz. Korpus tego typu nazywany jest korpusem cylindrycznym.
1.3 Interpretacja geometryczna całki podwójnej
1.4 Pojęcie całki podwójnej dla prostokąta
Niech w dowolnym miejscu prostokąta R = ? będzie zdefiniowana dowolna funkcja f(x, y).
(patrz ryc. 1).< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.
Podzielmy segment a? X? b na n częściowych odcinków za pomocą punktów a = x 0
Podział ten za pomocą linii prostych równoległych do osi Ox i Oy odpowiada podziałowi prostokąta R na n · p prostokątów częściowych R kl = ?
(k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Wskazany podział prostokąta R oznaczamy symbolem T. W dalszej części tej sekcji pod pojęciem „prostokąt” będziemy rozumieć prostokąt o bokach równoległych do osi współrzędnych.
Na każdym częściowym prostokącie R kl wybieramy dowolny punkt (? k, ? l). Stawiając?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, oznaczamy przez?R kl pole prostokąta R kl. Oczywiście, ?R kl = ?x k ?y l.
nazywa się sumą całkowitą funkcji f(x, y) odpowiadającej danemu podziałowi T prostokąta R i danemu wyborowi punktów pośrednich (? k, ? l) na częściowych prostokątach podziału T. Przekątną nazwiemy średnicą prostokąta R kl. Symbol? oznaczmy największą ze średnic wszystkich częściowych prostokątów przez R kl . Liczba I nazywana jest granicą sum całkowitych (1) przy? > 0 jeśli dla dowolnej liczby dodatniej? możesz to określić< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство
liczba dodatnia< ?.
?, o czym?
| ? - Ja |
Funkcja f(x, y) nazywa się całkowalną Riemanna na prostokącie R, jeśli istnieje skończona granica I sum całkowitych tej funkcji dla? > 0.
Podana granica I nazywana jest całką podwójną funkcji f(x, y) po prostokącie R i jest oznaczona jednym z następujących symboli:
Komentarz. Podobnie jak w przypadku pojedynczej całki oznaczonej, ustala się, że każda funkcja f(x, y) całkowalna na prostokącie R jest ograniczona na tym prostokącie. Daje to podstawę do rozważenia w dalszej części jedynie ograniczonych funkcji f(x, y).
1. CAŁKI PODWÓJNE
1.1. Definicja całki podwójnej
Całka podwójna jest uogólnieniem pojęcia całki oznaczonej na przypadek funkcji dwóch zmiennych. W tym przypadku zamiast segmentu integracyjnego pojawi się jakaś płaska figura.
Pozwalać D to jakiś zamknięty, ograniczony obszar, oraz F(X, y) jest dowolną funkcją zdefiniowaną i ograniczoną w tym obszarze. Zakładamy, że granice regionu D składają się ze skończonej liczby krzywych określonych równaniami postaci y=F(X) Lub X=g( y), Gdzie F(X) I G(y) są funkcjami ciągłymi.
R
Ryż. 1.1
obszar azobiem D losowo włączone N strony. Kwadrat I sekcja ta będzie oznaczona symbolem S I. W każdej sekcji losowo wybieramy punkt P I , i niech ma współrzędne w jakimś ustalonym układzie kartezjańskim ( X I , y I). Komponujmy suma całkowa dla funkcji F(X, y) według regionu D, aby to zrobić, znajdź wartości funkcji we wszystkich punktach P I, pomnóż je przez obszar odpowiednich sekcji s I i podsumuj wszystkie uzyskane wyniki:
.
(1.1)
Zadzwońmy średnica śr(G) obszary G największa odległość między punktami granicznymi tego obszaru.
Całka podwójna
funkcje
F(X,
y)
według regionu
D
jest granicą, do której dąży ciąg całek
kwoty
(1.1) z nieograniczonym zwiększaniem liczby przegród
N
(naraz
). Jest to zapisane w następujący sposób
.
(1.2)
Należy zauważyć, że ogólnie rzecz biorąc, suma całkowa dla danej funkcji i danej dziedziny całkowania zależy od metody podziału dziedziny D i zaznaczanie punktów P I. Jeśli jednak istnieje całka podwójna, oznacza to, że granica odpowiednich sum całkowych nie zależy już od wskazanych czynników. Aby całka podwójna istniała(lub, jak mówią, Do funkcjonować F(X, y) był zintegrowany z polemD), wystarczy, że funkcja całkowa wynosiciągły w danej domenie integracyjnej.
P
Ryż. 1.2
.
(1.3)
Komentarz . Jeśli całka F(X, y)1, wtedy całka podwójna będzie równa powierzchni obszaru integracji:
.
(1.4)
Należy zauważyć, że całki podwójne mają te same właściwości, co całki oznaczone. Zwróćmy uwagę na niektóre z nich.
Własności całek podwójnych.
1 0 . Własność liniowa. Całka z sumy funkcji jest równa sumie całek:
a stały współczynnik można usunąć ze znaku całki:
.
2 0 . Właściwość addytywna. Jeśli domena integracjiDpodzielić na dwie części, wówczas całka podwójna będzie równa sumie całek po każdej z tych części:
.
3 0 . Twierdzenie o wartości średniej. Jeśli funkcja F( X, y)ciągły w regionieD, to w tym regionie jest taki punkt() , Co:
.
Następne pytanie brzmi: jak oblicza się całki podwójne? Można to obliczyć w przybliżeniu; w tym celu opracowano skuteczne metody zestawiania odpowiednich sum całkowitych, które następnie oblicza się numerycznie za pomocą komputera. Obliczając analitycznie całki podwójne, sprowadza się je do dwóch całek oznaczonych.
1.2. Całki iterowane
Całki iterowane są całkami postaci
.
(1.5)
W tym wyrażeniu najpierw obliczana jest całka wewnętrzna, tj. Najpierw przeprowadzana jest integracja po zmiennej y(w tym przypadku zmienna X uważa się za wartość stałą). W wyniku integracji dobiegła końca y otrzymujesz pewną funkcję zgodnie z X:
.
Następnie uzyskaną funkcję całkuje się X:
.
Przykład 1.1. Oblicz całki:
A) 
, B) 
.
Rozwiązanie . a) Zintegrujmy się y, zakładając, że zmienna X= konst. Następnie obliczamy całkę X:
.
b) Ponieważ w całce wewnętrznej całkowanie odbywa się po zmiennej X, To y 3 można uwzględnić w całce zewnętrznej jako stały współczynnik. Ponieważ y 2 w całce wewnętrznej uważa się za wartość stałą, wówczas całka ta będzie tabelaryczna. Wykonywanie całkowania sekwencyjnego zakończone y I X, otrzymujemy
Istnieje związek między całkami podwójnymi i iterowanymi, ale najpierw spójrzmy na obszary proste i złożone. Obszar tzw prosty w dowolnym kierunku, jeżeli jakakolwiek linia prosta poprowadzona w tym kierunku przecina granicę regionu w nie więcej niż dwóch punktach. W kartezjańskim układzie współrzędnych zwykle uwzględnia się kierunki wzdłuż osi O X i O y. Jeśli obszar jest prosty w obu kierunkach, to krótko mówią - prosty obszar, bez podkreślania kierunku. Jeśli region nie jest prosty, mówi się, że taki jest złożony.
L
a b
Ryż. 1.4
Każdy złożony region można przedstawić jako sumę prostych regionów. Odpowiednio każdą całkę podwójną można przedstawić jako sumę całek podwójnych po prostych obszarach. Dlatego w dalszej części będziemy rozważać głównie całki w prostych dziedzinach.
Twierdzenie . Jeśli domena integracjiD– prosty w kierunku osiOj(patrz rys. 1.4a), wówczas całkę podwójną można zapisać w powtarzalnej formie w następujący sposób:
;
(1.6)
jeśli dziedzina integracjiD– prosty w kierunku osiWół(patrz rys. 1.4b), wówczas całkę podwójną można zapisać w powtarzalnej formie w następujący sposób:
.
(1.7)
mi
Ryż. 1.3
1.3. USTAWIANIE LIMITÓW INTEGRACJI
1.3.1. Prostokątny obszar integracji
P
Ryż. 1,5
Przykład 1.2. Oblicz całkę podwójną
.
Rozwiązanie . Zapiszmy całkę podwójną jako iterację:
.
1.3.2. Dowolna dziedzina integracji
Aby przejść od całki podwójnej do całki powtarzanej należy:
skonstruować dziedzinę integracji;
wyznaczać granice w całkach, pamiętając przy tym, że granice całki zewnętrznej muszą być wartościami stałymi (czyli liczbami) niezależnie od tego, z jakiej zmiennej obliczana jest całka zewnętrzna.
Przykład 1.3. Ułóż granice całkowania w odpowiednich całkach iterowanych dla całki podwójnej
, jeśli a) 
B) 
R
Ryż. 1.6
.
Niech teraz całkowanie w całce zewnętrznej zostanie przeprowadzone zgodnie z y, a w wewnętrznej – wg X. y W tym przypadku wartości X zmieni się z 0 na 2. Wtedy jednak będzie górna granica zmian wartości zmiennej X= y będzie składać się z dwóch części X/2 i y=1. Oznacza to, że obszar integracji należy podzielić na dwie części linii prostej X=1. Następnie w pierwszym obszarze y zmienia się z 0 na 1, oraz X= y od linii prostej X= y/2 do linii prostej X. W drugim regionie y zmienia się z 1 na 2 oraz X= y od linii prostej X– z linii prostej
.
=1. W rezultacie otrzymujemy
B
=0 do y od góry będzie ograniczona dwiema liniami: okręgiem i linią prostą. Na odcinku [–1;0] y; zmienna w segmencie y=1–X=0 do
.
. Zatem, y, a w wewnętrznej – wg X Niech teraz w całce zewnętrznej całkowanie zostanie przeprowadzone zgodnie z y. W tym przypadku X zmieni się z 0 na 1, a zmienna 
– z łuku koła X=1–y do linii prostej
.
Te przykłady pokazują, jak ważny jest wybór właściwej kolejności integracji.
Przykład 1.4. Zmień kolejność całkowania
A) 
; 
.
R
B)
.
Rezultatem jest następujący obszar integracji (patrz rys. 1.8). Na podstawie skonstruowanej figury wyznaczamy granice całkowania Ryż. 1.8 y Skonstruujmy dziedzinę całkowania. W segmencie dla X zmienny X=y B) 
do paraboli X=y; na odcinku - z linii prostej X=
do linii prostej
.